Relaciones binariasLlamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos

conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas formas:

1- Como pares ordenados (a, b).2- Indicando que aRb.3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).

Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M)

Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el conjunto.

Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de.De tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).

En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.

Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un subconjunto del producto cartesiano AxB.

FORMAS DE REPRESENTACIÓNPara representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos:

a) El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto. Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas.

b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y representaremos las relaciones mediante flechas.

Ejemplo: Representar la siguiente relación:R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}

a) Lo representaremos en primer lugar utilizando el diagrama cartesiano, en este caso utilizando la cuadrícula:

b) Utilizando el diagrama sagital, (la punta de la flecha indica la dirección de la relación):

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓNEl dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por

los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo 3 Sea A = {1, 2, 3, 4}  y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la

regla “y  es el doble de x” o  “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.SoluciónEl total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:A x B =  {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:                                                 R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho

de otro modo, “2 es preimagen de 4”.Así, el dominio y rango son:                                              D = {2, 3, 4}                                              Rg = {4, 6, 8}Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un

subconjunto de A.Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

DEFIICIÓN DE FUNCIONESEs una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de

elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1                          2 -------->   4                          3 -------->   9                          4 --------> 16Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.La regla es entonces "elevar al cuadrado":                           1 -------->   1

                          2 -------->   4                          3 -------->   9                          4 --------> 16                           x -------->   x2.Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de

función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".Usualmente se emplean dos notaciones:                                           x --------> x2      o     f(x) = x2 .Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a2, etc.Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde

un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividadDados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que

cumplen:Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B

FUNCIÓN BIYECTIVA

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

Formalmente, para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.

TeoremaSi es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.EjemploLa función es biyectiva.Luego, su inversa también lo es.

FUNCIÓN SOBREYECTIVAEn matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva),

si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

FUNCIÓN INVERSADada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma que se verifica:

si f(a) = b, entonces f-1(b) =a · Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: _ Despejar la variable independiente x. _ Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del

1.er cuadrante y del 3.er cuadrante.  Ejercicio:� Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en

el mismo sistema de ejes. Resolución:

 

· Se intercambian ambas variables:

 

FUNCIONES REALESSi   y   son conjuntos, una función de   en   es una correspondencia   que se establece

entre los elementos de   y los de  , de manera que se cumple lo siguiente: Para cada elemento   de  , hay un único elemento   en   que le corresponde. Se escribe   y se dice que   es la imagen, mediante  , de  . Para denotar que   es una función de   en  , se escribe:  y se dice que   es el dominio de   y   es el conjunto de llegada.