Relaciones Metricas

Colegios TRILCE La INTELIGENCIA como primera opcin

San Miguel - Faucett - Pershing - Escard III Bim. / GEOMETRA / 4TO. AO

143

Nace en Polonia, Benoit Mandelbrot.

1.er gobierno de Alberto Fujimori.

1982

1924

1986

1968

1985

1.er gobierno de Alan Garca Prez.

Recibe la Medalla nevada

Matanza de terroristas de San Juan de Lurigancho y el Frontn.

Publica en Science Cunto mide la costa de Gran Bretaa?, donde expone sus ideas tempranas sobre los fractales.

Public su libro Fractal Geometry of Nature.

Recibe el premio Barnard Medal for Meritorious Service to Science.

Recibe el premio Alexander Von Humboldt.

2.o gobierno de Fernando Belande Terry.

1.er gobierno de Fernando Belande Terry.

Es presidente del Per Augusto B. Legua.

1987

1991

Lnea de Tiempo:Benoit B. Mandelbort

La INTELIGENCIA como primera opcin Colegios TRILCE

III Bim. / GEOMETRA / 4TO. AO San Miguel - Faucett - Pershing - Escard

144

Observacin

Relaciones Mtricas en los Tringulos

Rectngulos

Proyeccin Ortogonal La proyeccin ortogonal de un punto viene a ser el pie de la perpendicular trazada por dicho punto a la recta.

P

P A B C D L

A

B D

C

Observacin

AH : Proyeccin ortogonal de AB sobre AC.

A

B

CH

A

B CH

a2+b2=c2

Teorema II:

a . b=h . c

Teorema III:

h2=n . m

Teorema IV:

a2 = c.mb2 = c.n

Teorema I:

Teorema V:

1h2 =

1a2 +

1b2

BA

C

n mc

b

a

h

Objetivos

1) Conocer las pr incipales relaciones entre las longitudes de un tringulo.

2) Conocer las diferentes maneras de medir las longitudes de las proyecciones de segmentos.

: Proyeccin ortogonal de CD sobre L.

CD

: Proyeccin ortogonal de AB sobre L.

AB

: Eje de proyeccin.L: ProyectantePP

PROPIEDADES

Naci en 1596, en el seno de una familia noble y acomodada. Se educ desde 1604 hasta 1612 en el colegio de los jesutas de la Flche. En 1617 se alist como voluntario en el ejrcito de Mauricio de Nassau, en 1619 en el del elector de Baviera y en 1621 en el del conde de Bucquoy. Su moderada fortuna le permiti dedicar su vida al estudio, a la ciencia y a la filosofa. De 1628 a 1649 permaneci en Holanda. Este ao se traslad a Estocolmo, donde muri al ao siguiente. Descartes aplica los mtodos algebraicos al estudio de las curvas; llegando a establecer la ecuacin de una curva y distinguiendo curvas geomtricas y curvas mecnicas. Estudi slo las primeras, aqullas en las que las dos coordenadas, x e y, estn enlazadas por una ecuacin algebraica.

Ren Descartes

Nota

x2 = (AH) (HB)

Bd H

x

P

R

A

= 2 Rr

x2 = m . d

BO

x

dmA

BH : Proyeccin ortogonal de AB sobre BC.

R r



145

Nivel I

1) Calcula x.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

1) Calcula a.

a

4 12

Resolucin:

Aplicando el teorema I de R.M. :a2=4(16) a=8

2) Calcula h.

h

818

Resolucin:

Por el teorema IV de R.M. : h2=18(8)

h=12

3) Calcula h.

Resolucin:

La hipotenusa AC=25(tringulo notable de 37 y 53) por el teorema III de R.M. : 15.20=h.25 12=h

h

A C

B

15 20

4) Calcula x.

Resolucin:

Por el Teorema de Pitgoras: (x-2)2+(x-9)2=x2

x2-22x+85=0 x -17 x=17 x -5 x=5(No cumple)

x-9x-2

x

Demostracin:

h

n mH

qA C

B

a

aq h2=m.n

x

9 16

2) Calcula h.

a) 20 b) 18 c) 16d) 19 e) 13

h

12 27

3) Calcula x.

a) 12 b) 11 c) 10d) 9 e) 8

x

9

7

4) Calcula x.

a) 20 b) 10 c) 12d) 13 e) 15

x

x-8 x-1

5) Calcula x.

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

x

8

12

6) Calcula x.

a) 30 b) 21 c) 25d) 23 e) 24

5

29

x7

7) Calcula h.

a) 4,67 b) 5,18 c) 6,72d) 3,28 e) 6,12

8) En la figura se pide la proyeccin de AB sobre la recta L.

a) 12 b) 10 c) 15d) 16 e) 17

h

25

24

(Teorema IV)

i) m C=m ABH ; m A=m HBC.ii) AHB BHC (Semejantes)

= n.m=h.h

h2=n.m

nh

hm

AB17

10 18

L



146

9) Calcula el radio x de la circunferencia si O es centro y T es punto de tangencia.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

A B

O

T8 2

x

10) Calcula x si ABCD e s u n rectngulo.

a) 9 b) 4 c) 5d) 10 e) 6

11) Calcula x.

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

24

x15

20

4,5 8

x

A

B C

D

12) Calcula x si P y Q son puntos de tangencia y O es centro de la semicircunferencia.

a) 5,1 b) 5,3 c) 6,4d) 6,8 e) 10,3

x

10

P

6

O Q

13) Calcula x si O y O1 son centros de las circunferencias y T es punto de tangencia.

a) 5 b) 5,6 c) 6d) 6,3 e) 7

O

5O1

x

T9

14) Calcula x.

a) 2 b) 3 c) 2,4d) 3,6 e) 5

x3

94

15) La suma de los cuadrados de los lados de un tringulo rectngulo es 200 m2. Calcula la hipotenusa.

a) 5 m b) 10 m c) 10 2md) 10 3m e) 5 2m

16) Calcula a.

a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 13

a

716

17) Calcula x.

a) 8 b) 10 c) 9d) 6 e) 5

Nivel II

6

4x

18) Calcula h.

a) 4 b) 6 c) 7,2d) 5,4 e) 4,8

12h9

19) Calcula x+y.

a) 20 b) 18 c) 21d) 24 e) 25

12

h

8

y

1

x

20) Calcula x si AC=8 y AO=10, adems O es centro y C y B son puntos de tangencia.

a) 6 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

O

x

AB

C

21) Halla h en la figura mostrada.

a) 8 b) 12 c) 18d) 6 e) 10

h

8 18

B

A CH



147

22) Calcula n, segn el grfico.

a) 8 b) 16 c) 6d) 10 e) 12

8

n 4

B

23) Halla m.

a) 10 b) 8 c) 12d) 5 3 e) 10 2

24) Calcula a.

a) 6 b) 2 10 c) 5d) 9 e) 8

12 a

4 10

25) Calcula x.

a) 160 b) 150 c) 140d) 164 e) 148

96

x

128

26) Calcula a.

a) 100 b) 120 c) 144d) 132 e) 112

312

288a

27) Calcula h en la figura mostrada.

a) 2 b) 1 c) 2,5d) 1,5 e) 2,4

m

5 10

4h

3

28) Halla h, segn el grfico.

a) 60/13 b) 4 c) 3d) 4 2 e) 3 2

12h

5

29) Calcula d si las circunferencias son tangentes exteriores.

a) 35 b) 40 c) 41d) 38 e) 37

Nivel III

31) Los lados de un tringulo miden 6,7 y 8. Cunto se le debe disminuir a cada lado para que resulte un tringulo rectngulo?

a) 1 b) 2 c) 1,5d) 3 e) 4

30) Halla r, en la figura mostrada.

a) 4,5 b) 4 c) 3 3d) 3 e) 3 2

2 4

x

32) C a l c u l a x , e n l a f i g u r a mostrada.

a) 2 3 b) 2 c) (4 3)/3d) 5 3 e) 3

8 18

h

33) Halla h, segn el grfico mostrado.

a) 3 13 b) 9 c) 8d) e) 9 236 13

13

34) Calcula a, en la figura mostrada.

a) 60 b) 37 c) 53d) 45 e) 30

a 3a

a

35) En la figura mostrada, calcula PQ si P y Q son puntos de tangencia.

a) 8 b) 6 c) 10d) 6 3 e) 5 2

4

P

10

Q

r

18

3r

16

d

25



148

36) Halla AB, si A y B son puntos de tangencia.

a) 25 b) 30 2 c) 24 2d) 20 e) 24

37) Halla h si O es centro.

a) 3 2 b) 4 c) 5d) 4 2 e) 3 3

O

h 6

3

38) Halla R si O es centro.

a) 16 b) 24 c) 15d) 20 e) 13

39) Halla PH si BH=4, HC=16 y CD=11.

a) 1 b) 2 c) 5,5d) 3 e) 4

25

A

18

B

O

12R

8

HB C

A D

P

40) Calcula R si AP=1 y BQ=8.

a) 12 b) 13 c) 15d) 20 e) 10

O B

Q

P

A

R

R

41) Halla BQ si AQ=18 y PQ=16.

a) 9 b) 10 c) 12d) 16 e) 13

Q

A C

B

Paa

m nA C

B

h

42) Halla h, en la figura.

a) m d) n

b) e)

c)

n(n+m)2

m-n2

m-n2

m(m-n)2

n(m-n)2

43) Calcula AB/AD si EC/AE=7/5.

a) 2 5/3 d) 2 15/3 b) 2 15/5 e) 2 3/5 c) 2 5

A C

B

H E

D

44) Calcula BC si AB=PQ=8u.

a) 10 b) 16 c) 8 3d) 12 3 e) 12

A

B C

DP

Q

D

A C

B

E

F

46) Segn el grfico, halla la longitud del radio de la semicircunferencia menor si OB=R.

a) R b) R/2 c) R/3d) R/4 e) R/5

47) En la siguiente figura, ABCD es un cuadrado. Halla x.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

A

B C

D

x+3x+5 x

A C

B

H

E F

P

2

3

6x

5

4

BO

A

T

B

A

CO

50) En el grfico, AB=6 y BC=10. Calcula la distancia de O a AC.

a) 31 b) 21 c) 33d) 39 e) 41

45) En la figura, si AF=1 y DC=8, calcula AC.

a) 5 5 b) 6 5 c) 7 5d) 8 5 e) 9 5

48) En la figura, P es un punto interior cualquiera del tringulo ABC. Halla x.

a) 2 2 b) 3 c) 6d) 22 e) 3 2

49) En un tringulo ABC, se traza la altura BH. Si (AB)2-(BC)2=10, calcula (AH)2-(HC)2.

a) 11 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

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