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I. RELACIONES Y FUNCIONES

PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y , escribindose ( ),x y donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Tenindose que dos parejas ordenadas ( ),x y y ( ),z w sern iguales si x z= y y w= .

1.1. PRODUCTO CARTESIANO

Definicin: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (se simboliza AxB ) es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( )yx, , tales que x pertenece al primer conjunto A y y pertenece al segundo conjunto B , es decir: ( ){ }, ,AxB x y x A y B= Nota: Se da por hecho, que el estudiante recuerda el conjunto de los nmeros reales ( )\ y su representacin sobre una lnea recta, as como los intervalos de nmeros reales:

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EJEMPLOS 1) Con los conjuntos { }3,2,1=A y { }baB ,= , obtener los productos cartesianos AxB y BxA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }bababaAxB ,3,,3,,2,,2,,1,,1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,,2,,1,,3,,2,,1, bbbaaaBxA = Vase que BxAAxB , esto es, el producto cartesiano no es conmutativo 2) Sean los intervalos abiertos ( )3,1=A y ( )4,2=B subconjuntos de \ , obtener los productos cartesianos AxB y BxA . Solucin En este caso el conjunto ( )3,1=A , corresponde al intervalo abierto de todos los nmeros reales comprendidos entre 1 y 3, y el conjunto ( )4,2=B , corresponde tambin al intervalo abierto de todos los nmeros reales entre 2 y 4, por consiguiente, AxB y BxA tendrn un nmero infinito de elementos (parejas ordenadas) y slo los representaremos grficamente como se muestra a continuacin, representando los elementos del primer conjunto sobre el eje horizontal y los del segundo sobre el eje vertical. Obsrvese que las lneas punteadas indican que no se incluye la frontera de la regin que representa AxB y BxA , por ser intervalos abiertos de nmeros reales, que no incluyen los extremos del intervalo tanto el conjunto A como el B . 3) Sean [ )3,2=A y [ ]4,2=B subconjuntos de \ , obtener el producto cartesiano AxB y BxA Solucin

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En los intervalos [ )3,2=A y [ ]4,2=B , el corchete indica que se debe incluir el extremo de dicho intervalo, por lo que en las grficas que indican este producto cartesiano, si se incluye la frontera donde es cerrado dicho intervalo, como se muestra a continuacin: 4) Para { }/1 5A x x= <

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EJERCICIOS 1) Sea { }7,3,0,2=A y { }1, 2,3B = , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y dibujar su grfica. 2) Sea { }1, 2,3, 4,5T = y { }1, 2S = , obtener el producto cartesiano TxS y SxT y graficarlos. 3) Con [ )2,1=A y ( )2,3=B subconjuntos de \ , obtener el producto cartesiano AxB y BxA y graficarlos. 4) Si { }/ 3 1K x x=

21

x 2 1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

x y 2 5 1 2

0 1 1 2 2 5

3) En forma numrica o de tabla:

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Relaciones Implcitas y Explcitas Una relacin implcita expresada en forma algebraica, es aquella en donde no est despejada ninguna de sus variables, y es explcita cuando alguna de sus variables si esta despejada.

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EJEMPLOS Dadas las siguientes relaciones implcitas, expresarlas en su forma explcita. 1) 922 =+ yx 4) yyxx =+ 223 22

2) 132 = yx 5) 21

532 =++

xyxyx

3) 12 +=+ xyyx Solucin Es costumbre llamar a la x variable independiente (v.i.) y a la y variable dependiente (v.d.) y generalmente, esta ltima es la variable que se despeja para obtener la forma explcita de una relacin. 1) 922 =+ yx 2) 132 = yx 3) 12 +=+ xyyx 22 9 xy = xy 213 = ( ) 112 +=+ xyx Factorizando 29 xy =

321

= xy

11

2 ++=

xxy

xy32

31 +=

4) yyxx =+ 223 22 022 232 =+ xxyy Por frmula general de 2 grado en y

( ) ( )( )( )22

22411 232 xxy

= a

acbby2

422,1

= ; 2=a ; 1=b ; 23 2xxc =

4

16811 23 xxy ++=

5) 21

532 =++

xyxyx ( )53

2= xy

( )12532 +=+ xyxyx 22532 +=+ xyxyx

( ) 253 = xy

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EJERCICIOS

Dadas las siguientes relaciones implcitas, expresarlas en su forma explcita. 1) 08632 =+ yxy 2) 0523 =+ yx 3) 012639 = xyxy

4) xyxxyx 4185

2642

2 =++ 5) xyxx 28 2 +=

1.3. FUNCIONES Las funciones pertenecen a las relaciones, por lo que cualquier funcin es relacin, pero no cualquier relacin es funcin, por lo siguiente: Definicin: Una funcin real de variable real, es una regla de correspondencia que asocia a cada nmero real x de un conjunto de partida A \ un nico nmero real ( )xf de un conjunto de llegada B \ . Una regla de correspondencia de una funcin real de variable real generalmente se da por medio de una o ms frmulas matemticas y se representa con ( )xf . El conjunto de partida A es el dominio de la funcin, el conjunto de llegada B se le llama codominio o contradominio y al conjunto de los elementos ( )xf de B se llama rango o imagen de la funcin. Notacin: Algunas formas de denotar algebraicamente la regla de correspondencia en una funcin, pueden ser las siguientes: ( )xfy = , ( )( )xfx, , BAf : , ( )qfp = , etc. En el orden, la simbologa anterior se lee: y es igual a efe de x , el conjunto de pares ordenados x , efe de x , efe es una funcin de A en B , p es funcin de q .

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EJEMPLOS Con las siguientes expresiones determine cul es funcin y cuando lo sea exprsela en diferente notacin. 1) 1863 22 =+ yx 2) yyx +=+ 3142 3) 12 23 =+ xxy

Solucin 1) 1863 22 =+ yx Despejando y se tiene: 22 3186 xy = 2

22

213

6318 xxy ==

2213 xy =

Esta ltima expresin nos indica que para cada valor que se pueda asignar a la variable x , se obtienen dos valores para la variable y , lo cual se contrapone con la definicin de funcin y por lo tanto es una relacin. 2) yyx +=+ 3142 Procediendo de la misma manera: trasladando las y al primer miembro y los trminos que no contienen a y al segundo miembro: xyy 2134 += Simplificando: 423 += xy , despejando a la

342 += xy

34

32 += xy

Esta ltima expresin es una funcin, ya que para cada valor asignado a la variable x , se obtiene uno solo para la variable y , lo cual cumple con la definicin. Diferentes formas de expresarla en el orden anterior son:

34

32 += xy ,

+

34

32, xx , :f \ \ donde ( )

34

32 += xxf ,

34

32 += qp

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3) 12 23 =+ xxy 12 23 += xxy 3 2 12 += xxy

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EJERCICIOS Con las siguientes expresiones determine cul es funcin y cuando lo sea exprsela en diferente notacin. 1) 1=xy 2) 01222 =+ xyyx 3) 4log =yx 4) 633 22 =+ yx 5) 42cos2 =+ xyx

1.4. DOMINIO Y RANGO En las funciones reales de una variable real, con frecuencia solo se da la regla de correspondencia en forma de ecuacin algebraica ( )y f x= , sin especificar cual es su Dominio, dando lugar esto a obtener lo que se conoce como Dominio natural de una funcin. Definicin: Dominio natural de una funcin real de variable real, son todos los valores reales que puede asignrsele a la x (v.i.), de tal modo que la y (v.d.) resulte un nico nmero real. Rango o Imagen de una funcin real de variable real, son todos los valores reales que se obtuvieron para y (v.d.) a travs de su regla de correspondencia ( )xf . Notacin: El dominio se representar con la letra D y el rango o imagen con la letra R . EJEMPLOS Obtener el Dominio natural y el Rango de las siguientes funciones reales de variable real dadas por su regla de correspondencia. 1) ( ) 2 5f x x= 4) ( ) 22 6f x x x= +

2) ( )x

xf 2

3) ( ) 4 5 2f x x=

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Solucin 1) ( ) 2 5f x x= Observe que en este ejemplo, la funcin es un polinomio de primer grado, donde la variable x puede tomar cualquier nmero real sin problema para que la variable y resulte tambin un nmero real, por lo que el dominio y el rango son respectivamente todos los reales, o sea: D = \ y R = \ , recordar que ( )y f x= .

2) ( )x

xf 23 +=

Cuando una funcin contiene una fraccin como en este ejemplo x2 , el dominio quedar

restringido para aquellos nmeros reales que anulen el denominador (en este caso, cuando 0=x ) por lo que { }0D = \ lo cual tambin se puede escribir como unin de intervalos, o

sea ( ) ( ),0 0,D = . Por lo que respecta a la obtencin del rango, de la funcin original podemos despejar la x ,

32= yx observando que la y puede tomar cualquier nmero

real excepto el 3 por lo que { }3R = \ tambin ( ) ( ),3 3,R = . 3) ( ) 4 5 2f x x= Cuando una funcin contiene radicales con ndice par como en este ejemplo, deber tenerse cuidado que en el subradical x25 la variable x no podr tomar valores reales que hagan que x25 sea negativo, esto nos obliga a que 025 x (el subradical sea no negativo). Resolviendo esta ltima desigualdad, se tiene x25 52 x ,

25x este resultado nos

indica que la variable x puede tomar cualquier valor real menor o igual a 25 , por lo que

5,2

D = . Para la obtencin del rango, podemos razonar de la siguiente manera:

Observando la funcin original ( ) 4 5 2f x x= , una vez que ya determinamos el dominio de esta funcin, se tiene que el radical siempre ser no negativo

025 x .

El coeficiente 4 convierte en negativo o cero a todos los valores del radical, por lo que el rango de esta funcin sern todos los nmeros reales menores o iguales que cero, o sea ( ],0R = .

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4) ( ) 22 6f x x x= + Esta funcin es un polinomio de segundo grado y por la misma razn que en el ejemplo 1), tanto su dominio y rango son todos los nmeros reales. Podemos decir que siempre que tengamos una funcin polinomial, su dominio y rango son todos los nmeros reales.

( ),D = ; ( ),R = o bien D = \ ; R = \

2

EJERCICIOS Obtener el Dominio natural y el Rango de las siguientes funciones reales de variable real dadas por su regla de correspondencia. 1) 0132 =++ yx 2) ( ) ( )22 1 3f x x= +

3) ( )12

12

+=xxxf

5) ( ) 144 2 ++= xxxf

33

34

35

36

37

EJERCICIOS Trazar la grfica de las siguientes funciones y decir si son inyectivas, suprayectivas, biyectivas o ninguna de las anteriores: 1) ( ) ( )22 1 3f x x= + ; :f \ \ 4) ( ) ( ) 222 += xxf ; :f \ \

2) ( ) 3 82

xf xx

= ; { } [ ): 2 3,f \ 5) ( ) 2f x x= ; :f + \ \ 3) ( ) 44 = xxf ; [ ) [ ): 1, 0,f

1.7. FUNCIN INVERSA Definicin: Si ( )xf representa una funcin inyectiva o biyectiva, entonces su inversa es la funcin

( )xf 1 si se cumple con la siguiente condicin: ( ) ( ),x y f x si y solo si ( ) ( )1,y x f x . Notas:

En la notacin ( )xf 1 , el exponente no funciona como tal, no lo es una forma convenida de denotar la inversa de una funcin.

La definicin indica que el Dominio de ( )xf es el Rango de ( )xf 1 y el Rango de ( )xf es el Dominio de ( )xf 1 .

Tambin la definicin indica que, para que la inversa de una funcin sea tambin una funcin, es necesario que la funcin original ( )xf sea inyectiva o biyectiva.

Tambin es posible obtener inversas de funciones que no son inyectivas ni biyectivas, resultando que estas ltimas no sean funciones.

La regla de correspondencia de la inversa de una funcin se puede obtener despejando x de la funcin original ( )y f x= , obteniendo ( )x f y= , luego se sustituye en esta ltima la x por la y y la y por la x , quedando finalmente

( )1y f x= su inversa.

EJEMPLOS Obtener la inversa de cada una de las siguientes funciones cuyo Dominio se especifica.

1) ( ) 23 = xxf ; D = \ 2) ( ) 221 2 += xxf ; D = \

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3) ( ) 12 ++= xxf ; ( )2,D = 4) ( )1

2+

=x

xf ; { }1D = \ 5) ( ) ( )1ln2 = xxf ; ( )1,D = Solucin 1) ( ) 23 = xxf Esta funcin es polinomial de primer grado, por lo que su dominio es el conjunto de los nmeros reales (\ ). Al tabular daremos algunos valores negativos, el cero y algunos positivos.

La inversa de la funcin ( ) 23 = xxf , la obtenemos cambiando la x por la y y la y por la x como sigue: 23 = yx . Despejando la variable y se tiene:

32

31 += xy . Que es la inversa ( )

32

311 += xxf , cuyas grficas

se muestran en la figura, observando que son simtricas respecto a la recta xy = .

2) ( ) 221 2 += xxf

El dominio es el conjunto de los nmeros reales (\ ) y el rango es el conjunto [ ),2 .

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La inversa de la funcin, ( ) 221 2 += xxf la obtenemos cambiando la x por

la y y la y por la x como sigue: 221 2 += yx . Despejando la

variable y se tiene: 42 = xy . Que es la inversa ( ) 421 = xxf que no es funcin, cuyas grficas se muestran en la figura, observando que son simtricas respecto a la recta xy = .

3) ( ) 12 ++= xxf Siguiendo el mismo procedimiento:

40

4) ( )1

2+

=x

xf

5) ( ) ( )1ln2 = xxf

41

EJERCICIOS Para cada una de las siguientes funciones, obtenga su inversa. 1) ( ) 14 = xxf ; D = \ 2) ( ) 3xxf = ; D = \ 3) ( ) xxf = 1 ; ( ], 1D =

4) ( )1

12 += xxf ; D = \

5) ( ) xxf 2= ; D = \