Relaciones_funciones 1 Real

8/18/2019 Relaciones_funciones 1 Real

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Relaciones y Funciones4.1 Relaciones

4.1.1 Defnición de RelaciónEl concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema.

Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación “… es menor que ...”. Bajoesta relación R el número se relaciona con el !" es menor que !, pero no as# al contrario$! no es menor que %.

Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo"R " x & y .

Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado $tambi'nllamada pareja ordenada% consta de dos elementos" $a, b% en donde el orden en que aparece $primero a, despu's b%indica la relación" a Rb de a con b.

Una relación asocia un elemento de un conjunto ( con un elemento de otro conjunto B o con un elemento delmismo conjunto (.

Ejemplos"* )ara (* +a, b, c

-* +$a, a% $a, b% $a, c% $b, a% $b, b% $b, c% $c, a% $c, b% $c, c%/ R * A0 A

* )ara ( * +Espa1a, 2nglaterra, 2taliaB* +)aris, -oma, 3adrid-" $Espa1a, )aris% $2nglaterra, -oma% $2talia, 3adrid%

* -!" $)epe, 3ar#a% $)epe, 4aura% $)epe, 5ere%

Esta relación puede ser" ... 6ermano de...7tro ejemplo:( * +8amilia -odr#gue9

3iembro Edad )eso Estatura

)apá (l:onso $(% ;

3amá Beatri9 $B% ;> ?< .@=

Aijo arlos $% C @ .==

Aijo Daid $D% < @@ .@!

Aijo ! Elena $E% ? ;= .?!

-" … es papá de … $(, % $(, D% $(, E%-" … es mas alto que … $, (% $, B% $, D% $, E% $(, B% $(, D% $(, E% $B, D% $B, E% $D, E%.-!" … es mas grande que … $(, B% $B, % $, D% $D, E%, $(, % $B, D% $, E%, $(, D% $B, E% $(, E%

-epresentaciones gráFcas de relacionesGráFca de relaciones no num'ricas


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Diagrama de Hec6as

1 2 3 4$ x , y % $ y , y % $ y , z % $ z , x %

Nomenclatura para relaciones $R%

• R*+$ x , y %I x & y relación" x & y

• Es menor que *+$ x , y %I x & y J x R y si R"...es menor que...

DeFnición"Kea - una relación / aRb* $a,b% L R Ejemplo"R *+$ x , y %,$ y , z %,$ y , y %,$ z , z %

z Ry es erdaderaM no

y Rz es erdaderaM Ki

-elación" ...es más grande que...Ki xRy , xRz , zRy , yRz , zRz , son erdaderas, uál es la relación -MR*+$ x , y %,$ x , z %,$ z , y %,$ y , z %,$ z , z %

Clasifcación de relaciones- -elaciones de equialencia- -elaciones de orden- 8unciones

1. Relaciones de equivalenciaaracter#sticas $propiedades%

1) Reexividad: xRx " O x LS/ xRx $ x está relacionada con x %Ejemplo" El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de claseS * +)edro, Paier, Esteban R " está en la misma 6abitación)edro R )edro Q reHeRiidad 2) imetr!a" O x , y LS . Ki x R y / y R x Ejemplo" )edro R Paier / Paier R )edro

") #ransitiva: O x , y , z LS Ki xRy S yRz / xRz )edro R Paier S Paier R Esteban / )edro R Esteban


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Defnición:

Una relación R , deFnida sobre un conjunto S es una relación de equialencia T tienen las tres propiedades" reHeRia,sim'trica S transitia

Ejemplos"R" x & y R " x y S *+a,b,c

R *+$a,a%,$c,c%,$a,c%,$c,a%

-eHeRiaM !&! -eHeRiaM !! -eHeRiaMaRa cRc bRb

Kim'tricaM ! & ? S ? & ! Kim'tricaM ! ? S ? ! Kim'tricaM aRc cRa

5ransitiaM? & @ / ! & @

! & ? 5ransitiaM? @ / ! @

! ? 5ransitiaM aRc cRbQ no aRbQ

no

Relación equivalente

V tiene la misma paridad $que sea par o impar)

! tiene la misma paridad que ! Q -eHeRia! tiene la misma paridad que ?? tiene la misma paridad que ! Kim'trica

? tiene la misma paridad que < 5ransitia

Relación de orden parcialEn matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es antisim$trica si se cumple que para todo a S

b pertenecientes a X si a está relacionado con b S b está relacionado con a entonces a * b.

En notación de conjuntos" .4a relación ser más alto que es una relación antisim$trica dado que a es más alto que b S b es más alto que

a no pueden cumplirse al mismo tiempo.Nótese que la antisimetr!a no es lo opuesto de la simetría $ a Rb S b Ra implican b * a%. ERisten relaciones

que son sim'tricas S antisim$tricas al mismo tiempo $como la relación de igualdad%, relaciones que no sonsim'tricas ni antisim'tricas $como la relación de diisibilidad%, relaciones que son sim'tricas pero no antisim'tricas$como la relación de congruencia módulo n%, S relaciones que son antisim'tricas pero no sim'tricas $la relación Wesmenor queW %.

4a relación ser menor o igual tambi'n es antisim'trica dado que si a es menor o igual que b S b es menor oigual que a es porque a b.

Una relación que es reHeRia, antisim'trica S transitia es llamada un orden parcial.En resume" cuando en una relación se tiene que a Rb S b Ra es porque el elemento a es igual al elemento b.Ejemplo"

A *+,,!,;,@, conjunto de diisores positios enteros de xRy Q x diideeRactamente a y

A Q A" xRy

X$,%$,%$,!%$,;%$,@%$,%YZZ $,%$,;%$,@%$,% Z Z

R*Z[$!,!%$!,@%$!,% Z\ Z$;,;%$;,% Z

Z ZZ]$@,@%$@,% Z^

Ki x diide a y eRactamente / y *ax Ki y diide a z eRactamente / z *by z *b$ax % 5ransitia z *bax 9 / x

diide eRactamente a z -eHeRia s# es porque -, -, ….


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Ki a-b / b-a sim'tricaKi a-b S b-a / a * b antisim'tricaKi a está en relación con bb está en relación con a _ a * b

4.2 %unciones2ntuitiamente una :unción es una regla que asocia elementos de un conjunto ( con elementos de un conjunto B

de modo que el elemento del conjunto ( se asocia con uno S sólo un elemento del segundo conjunto.

En otras palabras, una :unción es una máquina que trans:orma elementos en otros elementos S cada elementopuede trans:ormarse en un único elemento, no en dos o tres.

Defnición:Kean ( S B dos conjuntos. Una :unción de ( en B es un conjunto de pares ordenadas de ( R B $a, b% con la

propiedad de que cada elemento de ( es el primer componente de una pareja ordenada S para todo a L (, si $a,b% S $a, c% pertenece a : entonces b * c $porque a no se repite en otra pareja%

(" Dominio de la :unciónB" odominio2magen son los elementos de B que :orman el segundo componente de la pareja ordenada.

Ejemplo"(* +>, , , !, ;, ?, @, * +conjunto de caliFcaciones en base a >

B* +N(, K, B, 3B * +conjunto de s#mbolos que representan unrendimiento escolar

A0 ! son todas las posibles relacionesX$>, "A%$, "A% ... $>, "A% Z$>, S%$, S%$>, S%

A0! *Z[Z$>, !%$, !% $>, !%

Z]$>, #!%$, #!% $>, #!% A0! * ;; parejas

YZZ\ZZ^

R" Ki N( * no acreditada / caliFcación > ` ?

Ki K * suFciente / caliFcación @ ` <

Ki B * bien / caliFcación = ` C

Ki 3B * muS bien / caliFcación >

/ es una :unción porque a cada elemento de ( corresponde solo uno de B a la relación se le llama reglade correspondencia $ , entonces, b * :$a% un elemento del conjunto B está en :unción de un elemento del conjunto(.

Nomenclatura y * $ $ x %

Dominio de una :unción es el conjunto de los alores que puede tomar R o que toma R para que eRista la :unción.Codominio o rango de una :unción es el conjunto de los alores que se obtienen al sustituir los alores del dominioen la :unción.

#ipos de &unciones

%unción 'n(ectiva:


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( una :unción en la que a cualquiera par de elementos di:erentes del dominio les corresponde imágenes

di:erentes se le llama :unción inSectia $signiFca uno a uno%

Un ejemplo es la :unción cuadrática y * ax bx c cuSo dominio S cuSo codominio son los reales. (s#, para y * ! x x cuSa gráFca es

la :unción no toma los alores menores a `.

%unción upra(ectiva:Ki todo elemento del codominio de una :unción $ es imagen de al menos un elemento de su dominio,

entonces $ es una :unción supraSectia

4as :unciones trigonom'trica $seno, coseno, tangente, cotangente, secante S cosecante% son del tipo supraSectia$o sobreSectia%. El dominio son los reales S el codominio es `, por lo que para más de un alor de R lecorresponde el mismo alor de S.

%unción i(ectiva: Una :unción que es supraSectia e inSectia se llama BiSectia.


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Ejemplo de esta :unción es la :unción lineal" y *mx b cuSo dominio S cuSo codominio son los reales. )ara cadaalor de R le corresponde solo uno de S. 5odos los alores del codominio son la imagen de un alor S solo uno deldominio.

*tras &unciones

%unción +ntero ,a(or x " $:unción tec6o% redondea 6acia el siguiente entero. Ejemplos" y * !.>*; y * !.?*; y

* !.C*;

y * f!.>*f! y * f!.?*f! y * f!.C*f!

%unción +ntero ,enor x h" $:unción suelo% redondea 6acia el entero. Ejemplos"

y * !.>h*! y * !.?h*! y * !.Ch*! y * f!.>h*f ; y * f!.?h*f ; y * f!.Ch*f ;


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%$ f* RR:

%unción #runcar

%R&"'$ x %" da como resultado la parte entera. Ejemplos" y * trunc$!.>% * ! y * trunc$!.?% * ! y * trunc$!.C% * !

y * trunc$f!.>% *f! y * trunc$f!.?% *f! y * trunc$.!.C% *f!

%unción Compuesta: $og Ki $ " A Q ! S g " !Q' la :unción compuesta $og " A Q ' se deFne $og$a%* $ $g$a%%OaL A . Ejemplo"

A*+,,!,;,? ! *+(, x , y , z ' *+a,b,c

Ki $ *+$,(%$, x %$!, y %$;, z %$?, z % S g *+$(,a%$ x ,b%$ y ,c%$ z ,c% $ " A Q ! g " ! Q ' $og " A Q '+$,a%$,b%$!,c%$;,c%$?,c%

%unción 'nversaKi $ es una :unción uno a uno, entonces la inersa de $ , denotada por $ f es" $ f * +$ y , x %I$ x , y % está en $

)ropiedades"Ki $ f eRiste entonces"

• $ f es una :unción uno a uno

• El dominio de $ f es el rango de $

• El rango de $ f es el dominio de $ Determinación de la inersa de una :unción $ ". Encontrar el dominio de $ S determinar que es una :unción uno a uno. Ki $ no es una :unción uno a uno, entonces no

eRiste $ f . -esoler para x la ecuación y * $ $ x % . El resultado es una ecuación de la :orma x * $ f$ y %.

!. 2ntercambiar x S y en la ecuación encontrada. Esto eRpresa a $ f como una :unción de x .;. Encontrar el dominio S el rango de $ f .

+-emplo:

Encontrar $ f para $ $ x % * x f Kolución". Dominio de $ " ,% rango" y > , por lo tanto $ f eRiste.

y * x f

. Despejar x " y * x f

x * y

!. 2ntercambiar" y * $ f * x

;. Dominio S rango de $ f" dominio " x > , rango y


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*SR

%unción RecursivaUna :unción recursia es aquella que depende de alores precedentes $anteriores%.Debe contener"

ondiciones iniciales)rocedimiento ondición de t'rmino

Ejemplos"

urutina bonacci $*,*,n,*%

DeFnición de ariablesKi n k entonces *** *

* ** *** n*nf

llamar bonacci $*,*,n,*%

si no regresar

%unción &actorial $n, $ac%DeFnición de ariables Ki n * > entonces$ac * regresar $ac Ki nosi nk entonces $ac *

$acn n * n f$ac * :unción :actorial $n, $ac% regresar $ac


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4." /istoria1

4a palabra :unción :ue introducida en @C; por Gott:ried il6elm 4eibni9 $@;@ 51646 7 1816)

.

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