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Conocimientos básicos de Teoría de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a∉ A.

Ejemplos de conjuntos:

o

o

o ∅ : el conjunto vacío, que carece de elementos. o N: el conjunto de los números naturales. o Z: el conjunto de los números enteros. o Q : el conjunto de los números racionales. o R: el conjunto de los números reales. o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto por :

� extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.A={1,2,3, ... ,n} � comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza

B={p∈ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A ⊆ B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a ∈ A ⇒ a ∈ B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente

A ⊆ B y B ⊆ A; A ⊆ B esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

−= 5,0,

9

7,5,2A

{ }5/ quemenoresxNxB ∈=

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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto: A − B := {a ∈ A | a ∉ B}.

Se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto : A ∆ B := (A − B) ∪ (Β − A).

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir:

A ∪ B := { x | x ∈ A ο x ∈ B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que

son elementos de A y de B,es decir:

A ∩ B := {x | x ∈ A y x ∈ B}. A ∩ B

Ejercicios:

1) En los siguientes diagramas indicar si es V o F lo afirmado con respecto a la región sombreada

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2) Representar cada uno de las operaciones sombreando los diagramas adjuntos:

3) De 75 agricultores se sabe que: 18 plantan trigo, 35 plantan soja, 8 plantan trigo y soja. ¿Cuántos plantan: a) sólo trigo; b) sólo soja?, c) ¿cuántos no plantan ni trigo ni soja? 4) Se 50 personas, 10 estudian, 4 estudian y trabajan, 15 no estudian ni trabajan. a) Cuántas personas sólo estudian? b) ¿Cuántas personas sólo trabajan? c) ¿Cuántas personas trabajan? 5) En un instituto fueron encuestados 100 alumnos y se supo que: 21 estudian francés e inglés; 6 estudian sólo inglés y alemán; 7 estudian sólo francés y alemá ; 9 estudian los tres idiomas; 48 estudian francés ; 35 estudian alemán y 52 estudian inglés. ¿Cuántos alumnos estudian: a) sólo francés; b) sólo alemán; c) sólo inglés; d) sólo francés e inglés; e) cuántos no estudian ningún idioma? 6) indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Ζ⊂Ν b) Ν⊂Ζ c) Ν⊂Q d) ℜ⊂Q e) { }Ν=Ζ∩Ν f) { }QQ =Ν∩ g) { }IQ =ℜ∩ 7) Identifica a que conjunto numérico pertenece el resultado de cada una de las siguientes propuestas: a) Se tienen 43 CD para repartir entre 8 amigos, ¿Cuántos CD les toca a cada uno? b) Maria, Pedro y Mariana compraron 5 alfajores y se los reparten en partes iguales.¿cuanto le corresponde a cada uno? c) El siguiente cuadrado representa la Plaza Constitución, ¿Cuánto camina

Bart si lo hace en diagonal? d) ¿A cuantos metros bajo tierra, estuvieron los 33 mineros en Chile en el 2010? Expresa la respuesta como una expresión matemática. e) Representar en un eje orientado, los resultados obtenidos en las partes anteriores.

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8) Clasificar los números, completando la siguiente tabla:

N Z Q I

-3 4/7 6/3

9

2

-50/3 9) Completa con el número que falta para que la igualdad se cumpla: a) b) c)

d) e) f)

g) 10

9

2

11 =⋅ h) 15

4

95

3 =⋅ i) 203

:7

4 =

10) Escribe 3 fraccione distintas que representen la región sombreada de cada figura. 11) ¿Cuántas fracciones hay entre 17 y 18?¿cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 17 y 18?¿y con denominador 9? ¿y con denominador 21?

12) ¿Cuántas fracciones hay entre 9

4

3

1y ? ¿cuántas fracciones hay entre

9

4

3

1y que tengan

denominador 9? ¿y que tengan denominar 18? ¿y que tengan denominador 10? 13) Un agricultor riega, por la mañana, 2/5 de un campo. Por la tarde riega el resto, que son

6000 2m .¿Cuál e la superficie del campo?. 14) Un depósito, con una capacidad de 1500 litros , está lleno de agua. Se sacan, primero, dos quintos de su contenido, y después, un tercio de lo que quedaba .a) ¿qué fracción de depósito se ha extraído? B) Qué fracción queda? C) ¿cuántos litros se ha extraído y cuántos quedan?

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15) La amebas se reproducen por bipartición .Suponemos que inicialmente tenemos una ameba y que el fenómeno se produce cada una hora, a) Calcula el número de amebas cuando van tres horas b) Calcula el número de amebas cuando van tres horas c) Calcula el número de amebas cuando van t horas Propiedades de la potenciación 16) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia

17) Expresa las siguientes operaciones usando solo una potencia

18)

19) Calcula aplicando propiedades

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20) Volviendo al ejercicio de las amebas, ¿cuántas horas deben transcurrir para tener 1024 amebas? 21) Calcula, aplicando definición: a) 25log 5 b) 81log 3 c) 19log 19

d) 1log 7 e) 100log f) 100,0log g) L 3e

Propiedades de los logarítmos.

22) Completa el siguiente cuadro, aplicando propiedades.

a) 5log4log.......log 777 += c) ........log1log3

1log 7−=

b) .......log4log100log 222 += d) .............64 LLL −= 23) El pH nos da idea de la acidez o basicidad de una solución y se define así:

pH = - log [ ]+H Completa el siguiente cuadro:

24) Un capital de $100.000 fueron colocados a Interés compuesto al 8% anual capitalizando semestralmente. Si al finalizar la operación obtuvo un monto de $126.532, ¿cuántos años estuvo el capital colocados a I C?

sustancia [ ]+H

pH sustancia [ ]+H

pH

Ácido de batería

1 0,0 Agua pura 7,00

Jugo de limón

3108 −x sangre 8104 −x

Jugo de naranja

2,8 Jabón de tocador

10101 −x

café 5101 −x NaOH(1mol) 14,00