REPASO DE GEOMETRÍA MÉTRICA PLANA 1. Hal lar e l s imétr ico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).

2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

3. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a. Perpendiculares.

b. Paralelos. 3 Formen un ángulo de 60°.

4. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?

x1 = 7 y1 = 4 x2 = 5 y2 = 0

x3 = −1 y3 = 2

A(7, 4) B(5, 0) C(−1, 2)

No válida

5. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).

S i O es el centro de la c ircunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

6. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Recuerda que se cumple:

En este caso se cumple:

7. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a. 90°

b. 0°

c. 45°

Las dos soluciones son vál idas

8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

9. Calcula x para que el vector ( )xu ,21=�

sea unitario

2

3

4

31

4

11

2

1 222

2

±=→=→=+→=+

= xxxxu�

(las dos soluciones son válidas)

10. ¿Qué ángulo forman los vectores ( ) ( )3,41,3 −=−= vyu

��? ¿Y los vectores

( ) ( )5,11,3 −−=−= wys��

?

( )

( ) ´´06,30´7º277´´94,29´52º82º360,

´´94,29´52º8265

4cos

65

1

260

2

2610

2

5)1()1(3

5)1()1(3cos

2222

=−=

→=→=

==⋅

=+−⋅−+

−⋅−+−⋅=

⋅

⋅=

ws

ws

ws

��

��

��

ββ

β

( )

( ) ( )

( ) ´´1,54´33º161´´82,5´26º18º180,

´´82,5´26º1810

3cos

10

3

510

15

3413

3143),(cos

2222

=−=

→=→=

−=

⋅

−=

−+⋅+−

−⋅+⋅−=

⋅

⋅=

vu

vu

vuvu

��

��

����

αα

11. Calcula el producto escalar de ( ) vyu��

4,3= , sabiendo que 4=v�

y el ángulo que forman es de 30º

( )

3102

345º30cos

5434,3 22

=⋅⋅=⋅⋅=⋅→

=+=→=

vuvu

uu

����

��

12. Calcula un vector ortogonal a ( )8,6=u

� y que sea unitario.

13. Calcula x para que los vectores ( ) ( )xvyu ,14,3 ==��

sean: a. Ortogonales

( ) ( )4

3043,14,30 −=→=+=⋅→=⋅ xxxvu

��

b. Paralelos

3

44

1

3=→=→ x

xalesproporcionsonvyu

��

c. Formen un ángulo de 60º

( )

( ) ( )

( )

( ) 2

1

34,21.5

36,9334,2

2

1

12,015

48,0312,0

0119639

2525649636125162494

154322

1

143

43º60cos

22

21

2

2222

2

2222

≠−+

−−=

=−+⋅

−−=

→=++

+=++→+⋅=++⋅

+⋅=+⋅→=+⋅+

+=

válidanox

válidax

xx

xxxxxx

xxx

x

14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo y calcula su perímetro y su área.

( ) ( ) ( )

−

−

=→±=→=→=

−+→

=+

−=→

=+

=+

=+→=

=+→=+→=⋅→⊥

5

3,

5

4

5

3,

5

4:

5

3

5

41

16

251

4

3

1

4

3

1

043

11

04308608,6,:,

2

2

2

2222

22

Soluciones

yxxxx

yx

xy

yx

yx

yxw

yxyxyxuwcumplequeyxwBuscamos

∓

�

���

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 22222 101005202124,(),(

0442,12,4

0442,42,1

;2,1;2,4

;;;

uCDABDAdBAdalturabaseÁrea

BCAB

DCAD

BCADDCAB

BCABDCADBCADDCABlaresperpendicuesconcurrentladoslosy

dosadosparalelosserdebenopuestosladoslosrectángulounesSi

==⋅=−+⋅+=⋅=⋅=⋅=

⊥→=−=−⋅

⊥→=−=⋅−

=−===

⊥⊥==→

15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las coordenadas del cuarto vértice. Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD; paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD

a) ABCD sea paralelogramo. D (a, b) DCAB = (2, 3)=(4-a, -b) a=2; b=-3

b) ABDC sea paralelogramo

D (a, b) CDAB = (2, 3)=(a-4, b) a=6; b=3

c) ACBD sea paralelogramo

D (a, b) DBAC = (5, 2)=(1-a, 1-b) a=-4; b=-1

16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices A (0, 0); B (3,1); C(1,5).

( )

=

++++

=

++

=

++

=

++

2,3

4

3

510,

3

130

2

5,

2

1

2

50,

2

10

3,22

51,

2

13

2

1,

2

3

2

10,

2

30

G

P

N

M

17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).

B

C

A

D

D (2, -3)

D (6, 3) B

D

A

C

D (-4, -1) C

B

A

D

18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.

19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).

20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.

22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.

25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).

26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0

27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.

28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:

30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: a.

b.

c.

d.

31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Calcular su área.

32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.

33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.

34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?

35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.

36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto pendiente.

37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:

a. paralelas

( )( )

+−

≠

=→=+−→−=−→+−

≠−

−=

25

22

1

5

2

2

5

20322312

22

1

1

32aaaaa

aaa

b. perpendiculares

( ) ( ) 303033201320´´ =→=+−→=+−→=−⋅−+⋅→=⋅+⋅ aaaaaaBBAA

38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después halla su distancia.

( )

( ) ( )usAdsrd

yxsyxyxs

Ayxsiyxyxr

otralaaciadissucalcualseyelasdeunadepuntouneligeseciadissuCalcularPara

cumpleSemmm

m

15

107

912

189312),(),(

019123

1341

3

434

8,38303634123

4

:tantan

13

4

12

3

1

3

443

1

12

3

1

4

22=

+

+⋅−−⋅==

=+−≡→−=−→+−=−≡

−→=→−=→=−+−→=+−≡

+−

≠−

→−=→=−→+

≠−

=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 5222122

41

0102422841224

4

1

2

2

4

1

2

2

41

22

4,21,2

+−=→−−=−→−−

=−

=−+→+−=−→−−=−−

=−

−

−=

−

−→

+=

−=→

−+=→

xyExplícitaxyPendientePuntoxy

yxGeneralyxyxyx

yxVectorial

ty

txasParamétric

tOXVectorial

( )( )

( ) ( )

( )3

1

3

2

3

2

3

211

3

21

2

1

3

1

2

1

3

1

21

31

2,31,1

1,11013211

2,30132

+=→−=−→−=−→−

=−

−=

−→

+=

+=→

+=→

→=→=+−→=→

=→=+−

xyExplícitaxyPendientePuntoxyyx

yxVectorial

ty

txasParamétric

tOXVectorial

AyyxvalorelxadamosleAPunto

uldireccionavectoryx

�

39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0). Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.

40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)

41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0

( ) ( )

( )

( )

−=

−⋅−→

−⋅−=−≡′→−=→−=→+−=+→+

−−=

−=−≡→=→−=−→−=+→+

−=

→

→+

−±=→

+

−

±=→

+

−±=→

⋅+

−=→

′⋅+

′−=

→

=′=+−≡

−=−≡

17

171

27

13

7

1173434

34

341

27377343434

341

34

341

4

344

34

1

4

31

4

3

1

4

31

4

3

11

º45

:º45

4

30743

2.33,2

espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas

xypmmmmm

m

xypmmmmm

m

m

mm

m

m

m

m

m

mm

mmtg

cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas

mesyxtrectaladependienteLa

xmyppendientepuntoformaenescribimoslappedidarectaLaP

42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que equidista de ambos puntos

B

C

A

D

( )

( )

( )

( ) ( )( )

2

22

2214

7

752

5

720

21

70203513

,),(

3,131076

3

072

03

sec

0727010302

0,00006203

02

secint

u

DCladoAdCDdalturabaseÁrea

Dyxxx

xy

yx

yx

DCyADladoslosdeciónirtelaesDpuntoEl

yxDCKKKyxDC

CporpasayABaparaleloesDCladoEl

Ayxxxyxyx

yxA

rectaslasdeciónerlaesApuntoEl

=⋅

=⋅=−+

+⋅−⋅−++

=⋅=⋅=

−→=→−=→

=++

−=→

=+−

=+

→

=+−≡→=→=+−→=+−≡

→

→=→=→=+→=→

=+

=−≡

( )

( )

( )

)º4º2sec(

º135110

0022

001222022

2,2

1,22

02,

2

31

cuadranteydeltrizbilaesobtenidamediatrizla

tgesyxdePendienteLa

yxmyxm

CCCyxm

normalvectoresAB

Mm

=→−=→−=+

=+≡→=+≡→

=→=+−⋅+⋅→=++≡→

=

−=

+−+

≡

αα

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )10,10108082010044816

1024

,,tan

,º4º2sec

2222

2222

−→=→=→++−=+−++−→

→+−=+−+−→

=→

−

Pttttttttt

tttt

BPdAPdsByAdeequidisquePpuntoslosBuscamos

ttPformaladeescuadranteydeltrizbiladepuntoUn

43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6 unidades cuadradas

44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del punto B(3,1)

( )

( )

029125012

29

12

5:02

12

5

12

5:

12

5125912444

1

324

1

322

1

21322),(

02:12

22

2

2

22

=−−→=−−→=−−−

=→−=−→+−=+

→+

−=→

+

−=→

+

−−−=→=

=−−−→−=+→

yxyxryxr

válidasoluciónmmmmm

m

m

m

m

m

mmrBd

mymxrxmypendientepuntoformaenrectalaEscribemos

45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28= que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0

( )

( )

( )( )

( )7,552055

7,3320552055

20555

100255

43

122874355),(

287,2870287:

22

Pxx

Pxxx

xxxx

sPd

xxPesrdecualquierapuntounxyyxr

→=→−=

−→=→+−=→+−±=

→+−=→+−

=→+

−−−=→=

−→−=→=−−

46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas

y-2=0, 3y=4x-6

( )

( )

( )( )22,77142517565

3

16,

3

29

3

29

12

11611612517565

517565

5175655

51713

34

61534

10

2155),(),(

0634:02:

15,15015:

2222

−→−=→−=→+−=−

→==→=→−=−

→−±=−

−=−→−

=−→+

−−−=

+

−−=→=

=−−=−

−→−=→=−+

Pxxxx

Pxxxxxx

xxx

xxxx

tPdsPd

yxtys

xxPesrdecualquierapuntounxyyxr

B(-3,5) A(2,1)

C(4,m)

h ( ) ( ) ( )),(

411523,

2

16

22

ABladoCdhaltura

uBAdbase

alturabaseÁrea

=

=−+−−==

⋅==

( )

( )

( )3,431235

5

9,4

5

91235

12351235641

3541

2

1

41

35

54

1354401354

1305240544,5

1,2

22

−→−=→−=+

→=→=+

→±=+→=+→=+

⋅

+=

+

−⋅+⋅=→=−+≡

−=→=++⋅→=++≡→

−=≡

Cmm

Cmmmm

m

mmhyxABLado

KKKyxABldireccionaesAB

AAB

47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a

( ) ( )

( )VÁLIDASOLUCIÓNSÍa

VÁLIDASOLUCIÓNSÍa

aa

aaaaa

a

aa

a

a

a

a

a

a

sen

→=+

+=→=

→=→=

→=−⋅

→=−→++=+

→+

++=→

+

+=→

+

+=→

+⋅+

⋅=

=

−=→=

25

1004;

49576

2872424

49

2840

0247

01687784168978416

49

784168916

49

2834

495

283

5

4

49169

7,4,3

5

4

5

4

5

31cos

5

3

222

2

2

222

2

αα

48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).

49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre

la recta x+y+5=0. Halla su área.

B(-3,4) A(1,4)

C(-1,0)

h ( ) ( ) ( )

),(

44413,

2

1

22

ABladoCdhaltura

uBAdbase

alturabaseÁrea

=

=−+−−==

⋅=

( )

( )

2

22

4242

1

201

1101044

404040,4

4,1

uÁrea

hxABladoxABLado

KKKxABldireccionaesAB

AAB

=⋅⋅=

=+

−−=→=−≡→=+−≡

=→=+−→=+−≡→

−=≡

C(0,0)

a r

s: x+y+5=0

( )( )

2

2

222

22

2

3253

375

3

2515

6

5015

2

2

5

3

506

2

3

50

3

50

3

50

6

100

2

25

4

3

2

25

422

5

,

2

5

2

500,0,0

uapotemaPerímetro

Área

ladorr

rrr

rr

rectángulotriángulounformanapotemalayradiodelmitadlaradioel

tacircunscrinciacircunfereladeradioaligualesladoelregularhexágonoelEn

sdaapotema

====

⋅⋅

=⋅

=

=→=→==

→=→=−→

+

=

→

→

=++

==