Reporte de aplicación de conocimientos (Cálculo Diferncial I)

Materia: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

“APLICACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL”

Trabajo de aplicación de conocimientos

P r e s e n t aChristian Chantre Solano

REPORTE DE APLICACIÓN DE CONOCIMIENTOS

INDICE

INTRODUCCIÓN 31. NIVEL DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO 3

1.1. PROBLEMAS QUE FUNDAMENTAN EL CÁLCULO 31.2. NÚMEROS REALES 41.3. CONJUNTOS 51.4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 7

2. FUNCIONES Y SUCESIONES 82.1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 82.2. TIPOS DE FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 82.3. SUCESIONES 11

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD 123.1. LÍMITE DE FUNCIONES 123.2. TEOREMAS DE LÍMITES 123.3. LÍMITES INFINITOS 133.4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES 13

4. LA DERIVADA 134.1. REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADAS 144.2. REGLA DE LA CADENA 144.3. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 154.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 15

5. EJERCICIOS 166. CONCLUSIÓN 207. BIBLIOGRAFÍA 20

INTRODUCCIÓN

2


Debido que en esta sociedad actual las cogniciones matemáticas son

elementales para la resolución de problemas de los diferentes cambios

tecnológicos y científicos, es por eso que el Cálculo diferencial ha resultado

imprescindible para el desarrollo científico, y en particular para el avance de la

Física. Se considera que la resolución de problemas es un componente necesario

del proceso de la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Este factor se torna

en un componente importante relacionado con el éxito del estudio de las mismas,

puesto que el propósito central de este estudio es que uno se convierta en un

aprendiz exitoso, así como pensador crítico y planificador activo de su propio

aprendizaje, se asume que la resolución de problemas hará que uno vea la

necesidad de fortalecer más sus conocimientos, para poder enfrentar retos cada

vez más difíciles, porque modelar una función en cualquier nivel de las

matemáticas, o en otras asignaturas requiere de habilidades creadoras que

muchas veces no afloran, sino es con la práctica, por eso es muy importante

estructurar bien los conocimientos en los planos: conceptual, reflexivo y práctico.

1. NIVEL DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

11. Problemas que fundamentan el cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas

científicos y matemáticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de

un sólido.

Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier

tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en

cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se

especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la

distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

3


En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este

siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried

Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton. Los trabajos de

Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara

a las variables como "cantidades que fluyen") mientras que Leibniz conserva un

carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como

un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada

sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un

incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo

mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz

fue un cociente de diferenciales (dy/dx). Se puede decir que el cálculo de fluxiones

de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y

las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se

definen, no se comportan como incrementos. Dos siglos pasaron hasta que las

desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y hoy

aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más

profundos hallazgos del razonamiento humano1.

12. Números reales

El cálculo se basa en las propiedades de los números reales. Si se suma el

número real 1 sucesivamente a sí mismo se obtienen los enteros positivos 1, 2,

3, 4,…. Los números enteros constan de todos los enteros positivos y negativos

junto con el número real cero.

Un número racional es un número real que se puede expresar como el cociente

a / b de dos números enteros a y b con b ≠ 0. Los números reales que no son

racionales se llaman irracionales. Por ejemplo, la razón del perímetro de una

circunferencia a su diámetro es un irracional. Este número real se denota por π

otro ejemplo de un número irracional es √2.

1 El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo, http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

4


Los número reales se pueden representar por expresiones decimales infinitas por

ejemplo realizando la división puede verse que la representación decimal del

número racional 177 / 55 es 3.2181818…, en donde los dígitos 1 y 8 se repiten

indefinidamente.

13. Conjuntos

Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un

conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no

tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio

telefónico, un árbol.

Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C,...Los

elementos con letras minúsculas: a, b, c,…Al representarlos, para agrupar los

elementos utilizamos llaves f g, también podemos usar un diagrama de Venn, a

veces es más fácil, por eso debes utilizar las dos formas.

Ejemplo:

Representa el conjunto de los números dígitos.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Clases de conjuntos

Los conjuntos se clasifican según el número de elementos que posean, veamos:

Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa

vacía, se simboliza con Ø.

El conjunto de los números pares que terminan en 3 Representémoslo así:

P = {los números pares que terminan en 3}= Ø

Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.

B = {la capital de Colombia}

M = {Lucy}

C = {0}

5


Conjunto finito: es aquel que tiene un número finito de elementos .También es

finito el conjunto unitario.

S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

A = {a, b, c, d,…., x, y, z}

Conjunto infinito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos

se le llama conjunto infinito.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,

21,…}

Algebra de conjuntos

Unión de conjuntos. Los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, i, o, u} se

combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar

repetido {a, b, c, d, e, i, o, u}, a este conjunto lo llamaremos unión de A y B.

M = {1, 2, 3, 4, 5} y J = {1, 3, 5, 7, 9} entonces

M U J = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

Intersección de conjuntos. En esta operación de conjuntos se trata de encontrar

los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos, veamos:

M = {1, 2, 3, 4, 5} y J = {1, 3, 5, 7, 9} entonces La intersección la representamos

por:

M ∩ J = {1, 3, 5} pues son los que se repiten.

Diferencia de conjuntos. En los conjuntos V = {a, e, i, o, u} y A = {a, e,

o}.

La diferencia de V ̶ A es el conjunto formado por los elementos de V

que no están en A así: V 5 A = {i, o}

Complemento Para esta operación debemos definir primero un conjunto que nos

sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal o

referencial.

Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto A = {0, 1, 2, 3}

Llamaremos complemento de A, al conjunto formado por todos los elementos de U

que no están en A, o sea {4, 5, 6, 7, 8, 9}, a este conjunto lo denotaremos con A′

Nótese que A′ = U ̶ A

6


14. Desigualdades y valor absoluto

Una desigualdad es como una ecuación, excepto que en lugar del signo igual

incluye alguno de los símbolos ˂, ˃, ≤, o ≤. Resolver una desigualdad es encontrar

el conjunto de todos los números reales que hace que la desigualdad sea

verdadera. Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si

contiene por lo menos dos números y todos los números reales que están en

cualquier par de sus elementos.

Tabla 1.4 que muestra los diferentes tipos de intervalos.2

El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define de la manera

siguiente:

|a| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a < 0

PROPIEDAD 1 Para todo x, se tiene que

|x|² = x²


|x| = √x² (con √ se denota la raíz cuadrada no negativa).


|-x| = |x|

2 - Thomas, “Cálculo una variable” http://books.google.com.mx/books

7


PROPIEDAD 4 Sean x e y números reales arbitrarios, entonces

|x .y| = |x| |y|


x ≤ |x| y –x ≤ |x|

PROPIEDAD 6 Sean x e y números reales arbitrarios, entonces

|x + y| ≤ |x| + |y|

PROPIEDAD 7 Supóngase que d > O. Entonces,

|x|< d ↔ -d < x < d

2. FUNCIONES Y SUCESIONES

21. Definición de función

Una función es una regla ƒ de correspondencia que asocia a cada objeto x en un

conjunto denominado dominio un solo valor ƒ (x) de un segundo conjunto. El

conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función. La

variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se

denomina variable dependiente

22. Tipos de funciones y sus gráficas

La clasificación de las funciones depende del número de variables que contienen

es decir:

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE.- Cuando el valor de una variable “y” (función) de

pende del de una sol variable “x”, tenemos una función de una sola variable

independiente.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.- Cuando el valor de una variable “y”

(función) depende delos valores de dos o más variables, tenemos una función de

varias variables independientes.

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FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCEDENTES.- Una función “algebraica” es

aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas (suma,

resta, multiplicación, división, elevación de potencias y la extracción de raíces),

Ejemplo f(x) =

Una función “Trascendente” es aquella que no cumple con las condiciones de una

función algebraica; se consideran como funciones trascendentes a las circulares,

circulares inversas (también se denominan Trigonométricas inversas,

respectivamente), las exponenciales y las logarítmicas.

F(x) = tg x Función Circular o Trigonométrica.

F(x) = arc Sen 2x Función circular Inversa o Trigonométrica inversa.

F(x) = 10³ x² Función exponencial.

F(x) = ln (2x + 3) Función Logarítmica.

Las funciones algebraicas se dividen en racionales e irracionales, según las

operaciones a que estén sometidas las variables.

FUNCIÓN RACIONAL.- Es aquella cuyas variables no contienen exponentes

fraccionarios ni se encuentran bajo signo radical; también es cuando una función

se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales. Ejemplos:

F(x) = bx², f(x) = 11ax², f(x) = x³+27/ x+3

FUNCIÓN IRRACIONAL.- Es aquella en la cual algunas de las variables tienen

exponentes fraccionarios o se encuentran bajo signo radical. Ejemplo:

F(x) = - 5x + 8, f(x) = ax , f(x) = - 64

Las funciones racionales se dividen enteras y fraccionarias.

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FUNCIONES ENTERAS.- Es aquella que no tiene ninguna variable en el

denominador no está afectada por exponentes negativos. Ejemplo:

F(x) = 3x² + 5, f(x) = x² -4x + 8, f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1

FUNCIÓN POLINOMIAL.- Sea (f) una función de finida por

f(x) = a0 xn + a1 xn+1 + a2 xn-2 + a3 xn-3 …+ an xn-n, donde “n” es un número entero

positivo y a0, a1, a2, a3, …an, son números reales diferentes de cero, por lo que ƒ

es una función polinomial de grado n.

La función polinomial de grado igual a la unidad, se llama FUNCIÓN LÍNEAL.

ejemplo: f(x) = 5x – 2, f(x) = mx + b.

La función polinomial de grado igual a dos, se llama FUNCIÓN CUADRATICA.

Ejemplo: f(x) = 3x2 + 5x -6 , f(x) = ax2 + bx + c.

La función polinomial de grado igual a tres, se llama FUNCIÓN CÚBICA.

Ejemplo: f(x) = 4x3 + 2x2 – 6, f(x) = x3 – 5x + 7

La función lineal que se define por f(x) = x, se llama FUNCIÓN IDENTICA.

FUNCIONES FRACCIONARIAS.- Es aquella que tiene alguna variable como

denominador o está afectada por un exponente negativo. Ejemplo:

F(x) = , f(x) = 3x-2 + 1, f(x) = (ax2 – bx)-3

FUNCIÓN EXPLÍCITA.- Es aquella en la cual la variable independiente está

involucrada directamente con las operaciones indicadas, que al efectuarse

determina el valor de la función. Ejemplos:

Y = 7x -4 “y es una función explícita de x”

Y = “y es una función explícita de x”

FUNCIÓN IMPLICITA.- Es cuando se da una relación entre la variable

independiente y la variable dependiente por medio de una ecuación no resulta

para ninguna de las variables.

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Ejemplo:

7x – y – 4 = 0, x + 2x2y – 3xy2 – 5y = 10, x2 = 9y – xy

Otra manera de visualizar una función es mediante su gráfica. Si ƒ es una función

con dominio D, su gráfica consiste en el conjunto de todos los puntos en el plano

cartesiano cuyas coordenadas son los pares (ordenados) entrada-salida de ƒ.

En notación de conjuntos, la gráfica es:

{(x, ƒ(x)) | x Є D}

Imagen donde se representan los tipos de funciones.

23. Sucesiones

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números

naturales. Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar

de f(n).

An = 1/n

2.3.1 Sucesión de números reales

Podemos definir de manera más formal una sucesión de números reales como

una aplicación h delos números naturales N en el conjunto R de los números

reales: h: N → R, n n → h(n) = x.

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La Imagen de n recibe en nombre de término n-ésimo o término general de la

sucesión. Podemos también definir una sucesión de números reales como aquella

función f cuyo dominio es el conjunto infinito de todos los enteros positivos 1, 2, 3,

4, 5, K. El valor f (n) de la función se denomina el término n-ésimo de la sucesión.

De alguna forma hemos readaptado el concepto de función continua, donde

hemos fijado el dominio de la función como el conjunto de los naturales, N. En lo

que sigue, diremos que dos sucesiones { } n a y { } n b son iguales si n n x = y

para todo n∈ N.

2.3.2 Sucesión de cauchy

Es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida

que se avanza en la sucesión. El interés de las sucesiones de Cauchy radica en

que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son

convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de

Cauchy que obtener el punto de convergencia.

3. LÍMITES Y CONTINUIDAD

31. Límite de funciones

Sea ƒ(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente el

mismo x0. Decimos que el límite de ƒ (x) cuando x se aproxima a x0 es el número

L, y escribimos

Si, para cada número Є ˃ 0, existe un número ∞ ˃ 0 correspondiente tal que, para

toda x,

0 ˂ |x – x0| ˂ ∞ ⟹ |ƒ(x) – L| ˂ Є.

32. Teoremas de límites

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1.- Si ƒ(x) = c, una constante, entonces

2.- constante

3.-

4.-

5.- = , siempre que B 0

6.- = = , supuesto que es un número real3.

33. Límites infinitos

Sea ƒ una función definida en todo número real de un intervalo abierto que

contiene a c, salvo, posiblemente en el propio c. la expresión

∞

Significa que para todo M ˃ 0 existe un ∞ ˃ 0 tal que ƒ (x) ˃ M siempre que

0 ˂ |x – c| ˂ ∞

34. Continuidad de funcionesSe dice que la función ƒ es continua en el número a, si y sólo si se satisfacen las

tres condiciones siguientes:

1 ƒ(a) existe

2 existe

3

3 Se recoge para referencias posteriores los teoremas de los límites, Ayres, Frank Jr. Y Elliott Mendelso. (1991), “Cálculo Diferencial e Integral”, 3a ed., México. McGRAW-HILL / Interamericana de México, S. a. de C. V.

13


4. LA DERIVADA

La derivada de una función y = f(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva

de dicha función, en el punto de coordenadas P (x, y).

La función ƒ es derivable en a (interior al dominio ƒ) si existe . En

ese caso el límite se representa por ƒ’ (a) y se llama derivada de ƒ en a.

Podemos denotar la derivada de ƒ por medio de:

Dx ƒ(x) o ƒ’(x) o

41. Reglas para encontrar derivadas4

1. = 0 2. = 1 3. = + + …

4. = 5. +

6. = + +

7. = ≠ 0. 8. =

9. = , 10.

11.

4 Las fórmulas u, v y w son funciones diferenciables de x y c y m son constantes, pag. 89. Ayres, Frank Jr. Y Elliott Mendelso. (1991), “Cálculo Diferencial e Integral”, 3a ed., México. McGRAW-HILL / Interamericana de México, S. a. de C. V.

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42. Regla de la cadena

En esencia la regla de la cadena establece que si y cambia veces más rápido

que u, y además u cambia veces más rápido que x, entonces y cambia ( ) (

) veces más rápido que x.

43. Derivadas de orden superior

Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de

hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que

pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que

se conoce por derivadas de orden superior.

44. Máximos y mínimos

Una función puede contener varios máximos y mínimos, identificados por los

puntos extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntos

x1, x3 y x6 son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y

f(x3), a este punto se le conoce como máximo global de la función y a los

restantes como máximos locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los

que también existe un mínimo global f(x2) y un mínimo local f(x4). Como es de

lógico, solo puede existir un solo global y posiblemente varios locales.

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Imagen que representa los máximos y mínimos de una función.

5. EJERCICIOS

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Imagen donde muestra la elaboración propia de algunos ejercicios relacionados con desigualdad.Ejercicio donde se gráfica una función

17


Ejercicio donde se muestra la derivada

18


19


6. CONCLUSIÓN

La conclusión de este trabajo ha sido, pues, analizar el uso habitual del Cálculo

diferencial en la vida cotidiana, comprender el origen de las posibles deficiencias,

y plantear propuestas alternativas. Previamente ha sido necesario determinar

cuáles son los aspectos relevantes que guiaran el análisis, de acuerdo con la

intención de mejorar el uso de Cálculo con la ayuda de ejercicios donde se pone

en práctica la teoría descrita en el estudio.

7. BIBLIOGRAFÍA

- Ayres, Frank Jr. Y Elliott Mendelso. (1991), “Cálculo Diferencial e Integral”,

3a ed., México. McGRAW-HILL / Interamericana de México, S. a. de C. V.

- Granville, William Anthony. (2009) “Cálculo diferencial e integral = Elements

of differential and integral calculus”, México. Limusa.

- Stewart, James, Rodrigo Hernandez y Constanza Sanmiguel. (Se

desconoce el año de publicación) “Introducción al Cálculo”: Thomson.

- Swokowski, Earl W. (1983) “Cálculo con Geometría Analítica”, 2a ed.,

Boston, Massachusetts. Prindle, Weber & Schmidt.

- Leithold, Louis. (1998) “El Cálculo” 7 ed. México. Oxford University Press –

Harla México, S. A. de C. V.

- Purcell, Edwin J., Dale Varberg y Steven E. Rigdon. (2007) “Cálculo”,

México. Pearson Educación.

- Thomas, “Cálculo una variable” http://books.google.com.mx/books

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Reporte de aplicación de conocimientos (Cálculo Diferncial I)

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