Reporte de Investigacion Dosis Letal o Efectiva Media

5/10/2018 Reporte de Investigacion Dosis Letal o Efectiva Media - slidepdf.com

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o

o

Arch. de Farmacol, y Toxicol . (1980), VI: 161

Dosis Ietal 0 efectiva media: Un calculo rnanual Iacil

y rapido

PEDRO A. LEHMANN F.

o

Departamento de Farmacologia y Toxicologia.

Centro de Investigacion y de Estudios Avanzados.

Institute Politecnico Nacional.

A.P. 14-740, Mexico 14, D.F., Mexico. ~>

L])5~ Dr ~bJ() : An ~~d~LETHAL DOSIS 0 HALF EFFECTIVE: A RAPID AND EASY HANDY

CALCULATION

\ -'SUMMARY.-A method is described for calculating the median lethal dose

(tD50) of a toxon (or the median effective dose, ED50, of a pharrnacon) in

a few minutes, using only a five-function calculator, tables of natural loga-

rithms and milimetric graph paper. it can also be used to calculate the

relative potency of two pharrnaca or two preparations with different poten-

cies as well as for estimating the doses whic will produce other levels of

lethality or efficacy (Le. LD05 or ED95) which are necessary to deterrnl.-e

safety margins. With a few additional computations grtain statistical parameters (r2 of the tn dose/logit regression a r f c J 95 % confidence intervalsi

can be obtained which enable one to assess the reliability of the results

Obt:~~~~RAS CLAVE: Dt....., D~ ~.: h i o - d . ~ J ~~~ ~ ~ c lL :X :~ j.,;JA-<A.A:.~ N~

) . INTRODUCCION ~ vvJ-

1 -I'

En investigaciones Iarrnacobiologicas se presentan Irecuentemenre bioensa-

yos (l, 2, 3) de ripe cuantal, es decir, en donde Ia respuesta es del todo 0 nada (4,

5). Ejemplos son la determinacion de Ia dosis Ictal media (DL50) 0 de Ia dosis

efec~iva media en ,prue.bas q.ue resultan, 0 no, enun ci~rt2.. efe,c~std 99I}- • - .I;'~r".4J~l~~, ~la!-'9iEJ:l~sis~ etc. Se_, ~ ~ J.f J . ~/.'

~'1T- -EI metooo ~rman-Karber (3).

2) EI metoda grafico-nornografico de Litchfield y Wilcoxon (6).

3) EI analisis probit de Gaddum-Bliss-Finney (4); y4) El metodo logit de Berkson (7)..--1

Cada uno de ell os requiere ya sean tab las, nomogramas 0 papel grafico espt..J

cial, asf como acceso a las publicaciones originales. Como cstos no siempre son

asequibles, se ha desarrollado un metodo sencillo, rapido y comedo que solo re-

r-'.. Presentado en el xu Congreso Nacional de Ciencias Farrnaceuticas, Guaha'juato. Gto ..

25-27 X 1979; resumen Rev. Mcx, Cienc. Farm., 10: 46. 1979.

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162 PEDRO A. LEHMANN F.

quiere una calculadora de cinco funciones (+, -, X, _!_, If. papel milirnetrico

decimal y tablas de logaritmos naturales. •

En este trabajo se describira detalladamente: a) Como aplicarlo para calcu

lar una DLSO 0 DE5o . . . . .bJ ~~Iar la potencia relativa de dos sustancias 0 d

dos preparacionesj {jc6I'flo.lrarcliThr ciertos parametres estadisticos que perrn

ten .establecer la ~O_I1fiabilida? de los result.a?os obtenidos; y d) Como estjl!1¥r I

dOSlSque produciran otros niveles de efectividad. t0~ ~-.v:..- -d- - c A . . / qEn vista de la irnportancia fundamental que tiene este tipo de bioensayo e

Farmacologla, se describen tarnbien las bases teoricas del metodo a fin de que

aplique solo en situaciones apropiadas.

DESCRIPCION DEL METODO

Para ilustrar este metodo usarernos el ejemplo presentado en el RPS-lS (8), e

el cual se calculan primero por separado las potencias (en unidades arbitrarias

cualesquiera) de un estandar (E) y de una preparacion de potencia desconocida (P

con acrividad estrogenica, y en seguida, Sll potencia relativa. EI bioensayo se bas

en la induccion 0 no del estro en ratones (9).

I. ORGANIZACIONDE LOS DATOS (cuadro l)

1. En una hoja disponga 11 columnas encabezadas A a K y tantos renglones

como haya dosis probadas (N). No incluya dosis que produjeron efectos del

o del 100 por 100. En los calculos que siguen use por 10 rnenos tres cifras de

cimales.

2. Ponga las dosis empleadas en A, el mimero de animales probados (n) en

y el mirnero que reacciono (1') en D. Par razones explicadas adelante conviene qu

las dosis se expresen en unidades mayores de 1 0 menores de 10. Si no 10 son

multipliquelas 0 dividilas por un factor apropiado antes de enlistarlas.

3. Obtenga el logaritrno natural de la dosis (x), apuntelo en B y su cua

drado en I

44. Obtenga p ;:;= r/ n y apunte su valor en E.

?V 5. Obtenga q ,; 1 - P Y apunte su valor en F../ 6. Divida P por q y apunte su valor en G.

7. ' Obtenga ellogaritmo natural, L , de p/q. aptintelo en H y su cuadrado en J

8. Multiplique x por L y apunte XL en K.

9. Obtenga la suma pedida en B (Sx), divfdala por N para obtener X; mul

tiplique por N para restituir Sx y obtenga su cuadrado, (SX)2.

10. Obtenga las dernas cantidades pedidas en el cuadro L j Cuidado de no

confundir el cuadrado de la suma de x, (SX)2, can In surna de los cuadra-

dos de x, Sx2!



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164 ,PEDRO A. LEHMANN F.

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2 3 4

x = Ln dosis

2.72 739 20.09 54.60

Dosis

FIG. I.-Gr:ifica de la determinacion de la DE50 de dos preparaciones

con acti vidad estrogenica.

II. GRAFICA DE LOS DATOS (fig. 1)

11. Sobre papel milirnetrico sencillo disponga en la mitad central del eje

las abscisas un rango adecuado para cubrir todos los valores en B. En el eje de

ordenadas marque el cero a media escala e indique tantos valores como bas

para acomodar los datos en H. En general bastara ir de - 2 a + 2, pero p

ciertos casos sera conveniente que alcance 1esde - 3 hasta + 3.

12. G rafique los valores de x contra Lpara cada dosis.

III. CALCULOS PRINCIPALES (cuadro II)

13. Efecnie los calculos pedidos en el cuadro II, columna M, segun las ec

ciones de la columna L, usando los datos obtenidos en el cuadro I. Si hay

preparaciones efectue tambien aquellos pedidos en las columnas N y O. Si p

ble, uti lice cuatro decimales.

14. Si se ensayo una sola preparacion dibuje la lineo L = bx + a sobre

grafica (fig. 1, lineas interrumpidas). Si no' parece ser In linea de mejor aju



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UN CALCULO MANUAL fACIL Y RAl'IDO

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UN CALCULOMANUALFACIL Y RAPIDO

(i.e. minimos cuadrados), revise todos sus calculos, asf como la colocacion de los

puntos en la grafica.

15. Si se ensayaron dos preparaciones, dibuje am bas lineas individuales 'que

probablemente no seran paralelas), as i como las lineas paralelas, usando los coef'i-

ciente (b" can a", y a*p) en ° del cuadro II.

16. Indique claramcnte sus resultados finales, incluyendo las unidadcs de

lars) dosis efectiva(s), que deben ser las rnismas que las empleadas en el cuadro I.

columna A Si se codificaron los datos (-7- 10, x 100, etc.), efcctue la operacioninversa (xI0, -7 - 100, etc.).

IV. CALCULODE LOS PARAMETROSESTADISTICOS (cuadro III)

17. Si se dcsea obtener informacion accrca de la confiabilidad de los resul-

tados, efectue los calculos pedidos en Q, R y S del cuadro III segiin las ecuacio-

nes de P. Utilice cuatro cifras decimales si posible. Indique graficamente los Iimi-

tes fiduciaJcs en la figura 1.

COMENTARIOS AL METODO

1. Se usan logaritmos naturales por dos razones: a) Son los empleados por

BERKsoN y otros (7) porque sus valores sumados a 5 se aproximan a probits;y b) Siendo numeros mayores (x2,3) que los decimales, su redondeo a tres cifras

decimales resulta en menor error. Es por esto que conviene expresar tarnbien las

dosis por mimeros mayores de l.

Logaritrnos naturales pueden obtenerse de: a) Tablas. b) Multiplicando loga-

ritmos decimales par 2,30259. c) En ciertas reglas de calculo. d) En ciertas calcu-

ladoras: 0 e) Pueden aproximarse en una calculadora de cuatro funciones (10).

2. Algunos autores (Ref. 7, p. 39) sugieren el uso de p = 1/2n para r = °y p = 1 - (1/2n) para r = n, pero otros (Ref. 4, p. 37) desaconsejan la inclu-

sion de estos valores fictieios. Aunque no se incluyan en la regresion eonviene pre-

sen tar estos valores en la figura 1 mediante flee has (t 0~) para no descartar com-

pI eta mente la informacion que aportan ..

3. Para que las regresiones sean estadisticamente significativas al nivel de

P = 0,05, su coeficiente de determinaci6n < J t . ) debe sobrepasar ciertos valores

que dependen importantemente del mirnero de puntos incluidos en Ia regre-sion (N). Estos son (Ni re') = 3:0,994, 4:0,902, 5:0,772, 6:0,658, 7:0,569,

8:0,500,9:(',399 y 10:0,347.

4. Los limites fiduciales del 95 por 100 son los lirnites dentro de los cuales

se prediee ~ue quedara el valor de 13 DL50 19 de 20 veces que se repita la deter-

minacion.~ra su compute [= et c ± tsc) J se requieren los valores «t » de Student

para p = 0,95. Estos son (Nr t) = 3: 12,71, 4:4,:JO, 5: :3,18, 6:2,78, 7:2,57,

8: 2,45, 9: 2,36 y 10: 2,31. Para N mayor que to, t::::: 2,00.

5. EI logit t= In P/zt no corresponde exactamente al probit, pero esto no

tiene importancia. Usando l'= 0,6e + 5 se puede aproximar (7) el valor probit

.,;;




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- -3 III Y-5

• r = 1 n p/q

-4A t :::0.6 tl

-0.------.------.-----.------.-----4

o 0.1 02 0.3 0.4 0.5

Respues ta f race reno I

FIG. 2.-Comparacion de probits (12), logits (0) , logits ajustados r i~) en funcion

de la respuesta fraccional. La operacion I' = 0,6 1 + 5 proporciona valores

nurnericarnente parccidos a probits.

correspondicnte muy satisfactoriamente para 0,05 <P <0,95, como se mue

en la figura 2.

6. No incluye el factor ponderal probhlistico w (1). Si se desea ernplea

bastara incluir dos column as adicionales en el cuadro I: G' con w = pq y

can nw, y reernplazar los valores de x por nwx y de ~ por nWL antes de efectuarregresion. En particular se recomienda usa rio si alguna p es menor de 0,1

mayor de 0,9.

1

7. Aunque Ia desviacion estandar de c podrfa aproximarse por s, =(_.

b1

cs preferible LIsaI' la ecuacion completa prescntada en el cuadro III( especialrncn

si las dosis ernpleadas no se encuentran sirnetricarnente dispuestas en torno a c (

8. Extrapolacion de la linea de regresion x vs L a otros valores c i t : L nos p



Y d 9 j _ ! 2 ; 1 _ _ i .ZS~

a) [c. 1 debe ser

A

Y -=

b) Ultimos dos p~rrafos: aqui 121 X es en efeclo u na chi.

Pacdna 17 1..i!-:... _

~a' J., lla l I'ne a ••.• DL50 de d iq l t a l e s ••••

f:~§9~~~~,-_J1~cd debe s e r Fig. 11.

P a gin a . _ 2 . 1 1 .

a) Ultima linea: •.• en t e r m in o s de su media •••

P§~gin~ 74

a) La Ec , 2 es

b) La tc • 3 es

c) La siguiente ecuucion

L:>I -~-

que debe

IJ '<-

z,

s e r la Ec, 1 t es·

dJJ.

Paqina 17 5-_-_----a) Ultima linea

q

a

P.'3qina J 7 6~''''-----a) ~., 1T 2 debe s e r Jt.2

!'a gina 177

I. Statistical method in

3. (1979)It . Probit analysis

5. (1979)B . Pagina 145

10. B a l T n e a : Presione

II. Debe ser: Clear, c,

b , = , ~ ', b , = , r..

bioassay

- J ,x , =mas (r e 5u Itarlo 4, 95)x, =, f, Sxx, = , +, l/Sn, = . - ,

= una vez



,.l

,t

UN CALCULO MANUAL FACIL Y RAPIDO

miten predecir las dosis que resultarian en otros niveles de letalidad 0 efecti

dad. Supongamos que para un analgesico se obtuvieron los siguientes resultados

Toxicidad: 1= 3x· 15

Analgesia: 1 = 3X . 6

Podemos calcular su

DE50) (12):

Indice terapeutico (LT.) (definido como DLS

In DL50 =#~ 0 = 15;3 = 5

In DE50=XP_ (J= 6/3=2

e5 148,4

I.T. = -- = -- = 20,1

e2 7,4

Su margen de seguridad (M.S. = DL05/DE95) (12) se obtiene como sigu

El nivel de 05 (5 por 100 de letalidad) significa que uno de 20 animales mur

ron, 0 sea:p:::: r/n = 1/20 =0,05

q = l·p:::: 0,95

0,05

1= In =_2,944~_3

0,95

Y en forma similar para una efectividad del 95 par 100, ~ ~ + 3. Por tanto

e4 54,6

M.S. = -- =-= 2,7ea 20,1

In DL05 = X{'__-3 = 4

1n DE95 =~i-= 3

Se recomienda al lector de siempre graficar sus resultados como se ha hech

para estos en la figura 3.

9. Siendo III el In de la potencia relativa (v. gr. en nuestro ejemplo cornb

nado m ~,820 =- 0,200), entonces su desviacion estandar es:

Sm=A_ 1 / _1_+_1_+ (lE-lrF =0.107

b ¥ . SnE SnP b* Sxl

Y los Jimites fiduciales del 95 por 100 de la potencia relativa seran aprox

madamente:.(m - 2,78 sm)= 0,608

y

c(m + 2,78 sm)= 1.102




:\+4 c i ' ? ' 0.98

.+ 3 ~'t;095

~V :9+2 l' 0.8a

. .":

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-3 { ; ~M. 0.05 a : :

-4 0.02

0 2 3 .; 5 6 7

x (\n dcsis )

FIG. 3.-Aplicaci6n del metoda para la obtenci6n Indice terapeutico (l.T.) y

del margen de seguridad (M:S.) de un farmaco.

Estos pueden compararse con los obtenidos por un analisis probit compI

to (8) que Iueron potencia relativa PjE = 0,831, LFI = 0,561 Y LFS = 1,23

10. Para cornpletar la informacion que este analisis puede proporcionar,

si se desea, puede calcularse la fraccion de mortalidad esperada a cada dos

compararla con [ < 1 observada y obtener el pararnetro cstadisticox'. Primero obte

ga cl t, prcdicho para cada dosis por

/I.

1= bx + a

En seguida calcule Ia proporcion espcrada:

/I. I

p=----f'1J'r--

1 + e - iEc.

'"A continuacion: a) Obtenga (1 (el simbolo cachucha, indica el valoAA I\. 1\/\ 1\ 1\

csperado). b) Obtenga pq, np, npq, asi como (r-np) y su cuadrado (r-np)",

" 1 ' ' ' '

Obtenga para cada x, (r-np)2jnpq; d) La suma de estos valores es Ia X2• e)

mimero de grados de libertad (g. I.) correspondiente es N - 2, porque en

ecuacion ha y dos pararnetros (a y b), f) Si X2< N - 2, entonces In varianza

es normal y se justifica el tratamiento heche de los datos.

Para el ejernplo combinado de los cuadros I-III se obtiene X24 = 0,46 t, qu

siendo menos de 4, indica que los valores experimentales muestran una disper



UN CALCULO MANUAL FACIL Y RAPIDO 171

sion norma l. A sim ismo can la Ec . 1 puede predec irse la fracc ion de un grupo

de in sec tor que rnoriran aplic ando una dosis correspondien te a L = 4

A

p=---- ---=0,982

1 + 1/54,6 1,0183

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL BJOENSAYO CUANTAL

EI metodo desc rito , apa ren temcn te muy sencillo, es ta basado en Iunda rnen tos

teoricos solidos, pero IIeva implicitas ciertas suposic iones que deben compren-

derse pa ra aplicarlo correc tamen te. Aquf la s exam ina remos brevemente , reco-

mendando a l lec tor que desea pro lund iza r en la ma teria los tra tados ya c ita -

dos (1, 7 ).

I. DISTRIBUCION NORMAL DE LA TOLERANCIA

La forma idea l de determ ina r la DL5 0de un toxon hac ia una pob lac i6n es

Ja de tamar una muestra represenrativa y de med irIa pa ra cad a ind ividuo inc lu i-

do en ella . Pa r e jemplo , en los a n os 30 .se ma ta ron casi 300 ga tos (2 , 13 ), can

1 0 cua l se pudo estab lecer que su D L SO de digital is es d e 0 ,66 mg./Kg. Por infu-

sion de una tin tura d e digitalis se produce la rnuerte pa r paro card iaco a l a lc an -

za rse una c ier ta dosis dijerente para cada gato . Sin embargo, es ta s dosis le ta les

ind ividua les se encuemran norma lmente d istribuid as , 10 que perm iti6 conc lu ir

que en una poblac ion la s tolerancias a un tox6n estan distribuidas normalmente

en torn a a una toleranc ia media que corresponde a la dosis leta! media.

Este proced im ien to no es prac tice en muchos casos, ya que se requieren

ex tensas manipu lac iones experimenta les , n i posib le en otros, ya que la muerte

(a en Sll caso un c ierto efec to) no sicmpre se produce instan taneamente ni refle ja

tan d irec tamen te la dosis adm inis trad a . Genera lmente es necesario proced er de

otra forma : un m imero reduc ido de anirna les, v. gr. 48 ra tones, como en nuestro

ejemplo, se d ividen en tres 0 mas grupos y a cad a grupo se Ie adm inistra una

dosis c rec ien te de l toxon . Las toleranc ias ind ividua les nos son desconoc idas, pero

podemos suponer que estan d is tribuidas norma Imente . En nuestro ejemplo, a la

dosis mas ba ja de l estand ar, c in co de 16 ra tones en tra ron en estro . por 1 0 qu e

podemos aseverar que c inco de ell o s tuvieron una toleranc ia igual 0 menor a ladosis adm inistrad a. En otra s pa labra s, aunque no nos fue posib le establecer la

to leran cia ind ividua l d e cad a ra ton , sf pud imos establecer la tolerancia acumu-

lativa dentro de un grupo. Extend iendonos a los otros dos grupos tra tados con

dosis d iferen tes e inc luyendo a los 48 ind ividuos d e la muestra , podemos igua l-

mente establecer la to lcran c ia acumula tiva de la muestra y a pa rtir de e lla inferir

J a de la pob lac ion propia .

Una analcgia iitil pa ra la comprension de estos conceptos es e l juego de

dad os (fig. 4 ). Tomemos dos dados y contemos la s formas d iferen tes de a rroja r

un c ierto m imero del 2 a l 12 . Ahora gra fiquemos el histograma correspondien te .




10

DADO #: 1." . ....... .0 • ... r--1-36

D0 2 3 4 5 6 7 r--

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. . . . . : : : - : - : : - : - : : - : - : . : : - : . . : - : - : : - : - : > : - : 7 . - :~ : : : : : : : : : : : . - : - - : : - - : - - : . : - : - - : - : - : . . . . : : : . < : / : / .2 3. 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Total de dos dodos

FIG-4.-(a) labia de las posibles maneras de obtener un cierto

nurnero con dos dados: (b) histograrna de su distribucion

binominai; (c) histograrna de su frecuencia acumulativa.

20

o:>

+-

o:;,

E:;,

o

o·uc

soCJ. . .u

El mirnero total de combinaciones posibles es 36 y podemos ver clara

pOI. ejemplo, la probabilidad de lograr un 7 es de 6/36 = 1/6. Unasiete contra uno nos seria favorable. Pero cambiemos el juego a « [A

tirare seis 0 menos! ». La probabilidad de logarrlo es simplemente

las maneras posibles de lograr cualquier nurnero del 2 al 6, 0 sea,

probabilidad acumulativa se ha graficado en el lado derecho de la fi

evidente que esta depiccion acurnulativa contiene esencialmente to

macion en el histograms original y no es nada mas que su forma int

Pasando de una distribuci6n binomial discreta como la de los d

distribucion 1101111alcon un mimero infinito de individuos obtenem



UN CALCULO MANUAL FACIL Y RAl'flJO 173

curvas mostradas en la Figura 5. Es evidente que la DESO 0 DL50 sera dada en la

abscisa, correspondiendo al maximo en las ordenadas de la distribucion normal.

Pero tambien sera dada en la abscisa por el valor correspondiente al 0,5 en las

ordenadas de la curva de distribucion acumulativa, ya que este valor correspon-

de a la mitad del area bajo la curva de distribucion normal.

Una exposicion formal es como sigue: Consideremos ados individuos cuya

reaccion a un toxon se supone independiente pero igual, Si p es la probabiIidad

I

II

Iii

1.00 1.00

.90

c<, .80L. Q.>~

.70'0

Q.> .70 0

'0 .?:c

..20.60. :J-II>

E ~~ .50 .50 I:> :JUQ

Q.> en:J

.40 j .40o Q.>

0- .- ~u

c c'0 .30

Q.>

.30 :J

u uUQ.>

0 .20 .20 U :. .t...

.10 .10

0 0-30" -20- -10- 0 10- 20- 30-

Ln dosis

FIG. 5.-{a) Curva de la distribucion normal de tolerancia: (b) curva de su

probabilidad acumulativa.

de que mueran y q (= 1 - p) de que no mueran, entonces la probabilidad de

que ambos mueran es de p2, de que ambos sobrevivan es de q2 y de que solo

muera uno de ellos es de 2pq. Estos son los terrninos dela expansion binomi-nal (p + q)'. Generalizando, para n individuos de los que reaccionan, r, la pro-

babilidad de reaccion sera:

n!p(r) = pr qn-r

r! (n-r)!

Efectuando ciertas transformaciones sencillas sabre los datos originales, i.e. ex-

presando los valores en la abscisa en terrninos de media (!J.) y en multiples de su,A

.~




desviacion estandar (o ) , y los valores de las ordenadas como

que se toma igual a T, se pueden describir matemaricamente

~..1 [ ( X _ ~ L ) 2 ]dp = _ 1 : - exp _-----

6V:1i 2()~G

. . j x : : . f I t I (x - !-L)2 I

P -- exp

r - -\dx

_or!.v'2r L ~ t tCJ~

fraccion del

estas dos cu

dx

La DL50 entonces sera aqi.el valor de x para e leual P = 0,5.

x-IJ.

Definiendo U=--- y a = 1, esta ccuacion se sirnplifica a

p= __ r L U2 c lUv'2tr . _00 S!-.2

en donde L cor responde a 1a x original, pero expresada en unidades pro

Iisticas.

ESTIMACION LOGIT DE LA DL50 DE LA ROTENONA EN INSECTOS

1.0-,----------------

08•

.9 t - -48 .3.1 X

,f. 0.979•

r,0.$ ;-.: 0.4

2 0.3

;;:Ii 0.2

0.1/-

a (oj---r---.----,---,c--r----. II --,---r----,-----,o 246 a 1012

~e 0.1'y

~ 0.&

/ 1 -

/• : L ~ · ~ : , · 5 I

• 4.86"'9/1

•

1.0 1.5 2.0 2.5 1.0 1.5 Z.O 2.5

Oosis (m9/1 ) Ln dosis x • Ln dOli .

FIG_ 6.-Determinaci6n de la DL50 de In rotenona, un vencno de afidos;

datos de FINNEY (4).

II. LINEARIZACION DE LA CURVA DE TOLERANCIA ACUMULATIVA

Para poder analizar estadisticamente en forma conveniente (i.e. per cu

dos mfnimos) una curva se necesita transforrnarla en una linea recta. Para c

dosis-respucsta esto se hace en dos pasos (fig. 6). La curva sigmoidea, pero a



UN CALCULO MANUAL FACIL Y RAPIDO 175

trica, de respuesta contra dosis generalmente (2) se convierte en una sigrnoidea

sim etrica a l gra fica r respuesta contra el logari tmo de la dosis. Esta a su vez se

puede convertir en una linea recta al transformar fracci6n de respuesta (r/n)

en unidades de probabilidad, segun la Ec. 4, generalmente llamadas probits.

Esta t ransforrnacion no-lineal requiere tab las especiales 0 papel grafico es-

pecial.

III. LA TRANSFORMACION LocisTICA

Existe, sin embargo. otra funcion, IIamada logistica (14, 7), sencilla de compu-

tar; que es muy similar en casi toda su gama a la Iuncion de probabilidad acumu-

lativa (fig. 2);

y=------- (u + fJ x)

1 + e

Transponiendo y taman do logaritmos se obtiene:

u + fJ x = In ---l-y

Si deja mas que y = p (fraccion que responde) y 1 - y = q (fraccion que noresponde), podemos definir el legit de p como:

P1 = 1n -- = u + fJ x

q

donde (J. Y ( 3 son, respectivamente, el intercepto y la pendiente de la grafica de

~ contra x.

Cuando p = q (rnitad muere, mitad no),

I = I n 1 = O .

Por tanto, la DLSO sera aquel valor de x para el cual ~= 0

u

xR=o=Y=--, f J




Esto es precisamente 1 0 que se hizo en los calculos de los cuadros

que denotamos por a, b yc nuestras estimaciones de los valores reale

para la poblaci6n entera.

IV. SUMARIO

En resumen, entonces el metodo descrito consiste en los siguien

esenciales:

1) Usar los logaritmos de las dosis (x) para obtener una curva

puesta sigmoidca sirnetrica.

2) Transformar cada respuesta fraccional (p = r/n) en su logit

diente, ~= In p/q.

3) Graficar los valores de L contra x para obtener una recta.

4) Efcctuar un analisis de regresi6n linear de la recta L vs. x p

estimar los coeficientes de regresi6n (a, b y c), asi como para pode

ciertos parametres estadfsticos ( } ! e , s., LFI y LFS) que nos permiten

la confiabilidad de nuestra estimaci6n de la DE50.

Este metodo de compute no csta restringido al calculo de dosis

medias, sino que puede usarse tarnbien para evaluar estadisticamente

juego de datos que muestren un comportamiento logistico, viz. reaccio

catalfticas, porcentaje de ionizacion de acidos debiles en funci6n deltados de radioinfunoanalisis, relacion dosis-efecto continua, 0 en Ia

tica, el cambio temporal de los niveles plasrnaticos entre dos regimcnes

Iicacion cr6nica diferentes.

RESllMEN

Se describe un metoda para calcularTa dosis letal media (DL50) de un toxon

efectiva media. DE50, de lin farmaco) en unos minutes. que requiere s610 una

de cinco funciones. tablas de logaritmos naturales y papel milirnetrico. Puede usar

para calcular la potencia relativa de dos nirmacos 0 de dos preparaciones co

potencia, as! como para calcular las dosis que prcduciran otros niveles de letalida

vidad (v. gr .. DL05 0 DE95), que son necesarias paradeterminar un margen de

Con algunos computes adicionales se obtienen ciertos parametres estadisticos (r2

sian In dosis/Iogit), as! como los lirnites fiduciales del 95 por 100), que perrnitenla confiabilidad de los resultados.

AG RADEC IM IENTO

Agradecemos al M. en C. Manuel Martinez M. y a la Q. F. B. Liliana Favari

en la preparacion de este trabajo.



UN CALCULO MANUAL fACIL Y RAPIDO 1 77

BIBUOGRAFIA

I.~

FINNEY, D. 1. (1978): Statistical method in biossay, 3.n ed., Griffin y Cia., Londres.

2. E~IMENS, C. W. (1948): Principles of biological assay, Chapman & Hall , Ltd., Londres.

3. HARPLEY, F. W.; STEWART, G. A.. Y YOUNG, P. A. (197,): Biostatistics ill Pharmacology

(Ed. A. L. Dclaunois), International Encyclopedia of Pharmacology and Therapeutics.

seccion 7, vo.urnen II, pags. 984-986.

4. FINNEY, D. J. (1971): Prdoit analysis, 3: ed., Cambridge University Press, Cam-

bridge, U. K.

5. HEWLETT, P. S., Y PLACKETT, R. L.t1!79l: The interpretation of quanta! responses ill

Biology, Arnold, Lcndres.

6. LITCHFIELD, 1. T. (Jr.), y WILCOXON, F. (1949): "A simplified method for evaluating

dose-effect experiments", J. Pharmacol. Expcr. Thcrap ; 96: 99.

7. ASHTON, W. D. (1972): The logit transformation, Griffin & Co., Londres,

8. Remington's Pharmaceutical Sciences, Mack Pub!', Co., Easton, Pa., 15 a. Ed., pagi-na 16/5(975).

9. Ibidem, 14 a. Ed., pag. 639.

10. Un cornputo aproximado, pero laborioso, puede hacerse en ciertas calculadoras de

cuatro funciones. Se basa en que, con una precision de 0.1, In N = e" (0.1) = (1,105171)".

Para obtener el In 10, entre 1,105171, -i- , -i- , 10. Presione la tecla = repetidarnente y

cuente cuantas veces se hizo (n = 24) hasta re ducir la respuesta por debajo de I.

Reste 0,5 a n (= 23,5) Y divida por 10 (= 2,35), de rnanera que In 10 ~ 2,35 (exac-- 1,58

to 2,303). Para cbtener el.58 se procede a la inversa, 0 sea, Il =---- = 15,8

0,1

(entre 15 y 16). Entre 1,105171. x.x y presione = 14 veces (una vezjrienos que el limite

inferior) y apunte el resultado (4,48). Presione = una vez mas (rewltado 4,95). La

diferencia (0,47), rnultiplicada por la parte proporcicnal 0.8 (=0,376). sumada al resul-

tado inferior, es la respuesta, 0 sea, eU8 ~ 4,856 (exacto 4,855). Mayor precision seobtiene con eO •o s = 1,051271, eo . o l = 1,01005 Y eO .O O l= 1,001, pero se requiere un nurnero

,r~ enorms de operaciones iguales.

[ II. Un~se:uenc~ f~ctibl:...para calcular sc en una calculadora sencille es: clear, c, _, x , =,'. X,_, .,b,_, .,b,_,y.

12. ARIENS, E. J. ; LEHMANN, P. A, Y SIMONIS, A. M. (1978): "Introduccion a la Toxicologia

general", Diana, pags, 6 y 176.

13. BLISS, C. I., Y HANSON, J. c.. J. A mer. Pharma, Assoc., 28 (1939), 521 y 33 (1944), 225.



r'


14. BERKSON, 1. (1944): J. Amer. Statist. Assoc.. 39: 357.

15. Una secuencia factible para Sxx en una calculadora sencilla es clear, O. _, (Sx)2, =N, = . +, Sx2, =.

16. El lector que no disponga de datos experirnentales, pero dcsea ejercitarse en el us

metodo, puede sirnular la determinacion de la DL50 usando dos dados como sigue

a) Un animal probado corresponde ados dados arrojados.

b) A la dosis inferior se considera que el animal rnuere si los dados suman 10 6

(p= 6/36).

c) A Ia dosis interrncdia si surnan ocho 0 mas (p = 15/36).

d) A la dosis alta si suman seis 0mas (p = 27/36).



F e de Erratas

r .A . Lehmann F.

Dos j 51 eta J X e f e c t iv a me d i a: Un c a I C IJ 10m an u a I f a c iI Y rap ido.

ArchivQs de Farmacologf~ y Toxicologfa (Madrid) 6 (1980) 161-178.

Pagina 16 1---"-----a)' £1 tftulo en Ingles debe ser: LDSO or ED50: An easy and quick

hand calculation.

b) PaJabras clave: DL50, DE50, b io e s t a d f s t l ca, bioensayo c u a n t a l ,

calculo de potencia bio16gica relativa.

c ) 5 a '1 I n e a del a I N T R 0 DU eel 0 N: ••• hip nos is, etc. S e han des c r ito

cuatro m~todos diferentes para estimar estas dosis:

Pagina 1_62

a) 1a linea: (+,-,x,f,r)

b) S ••••• para obtener ~ ••••

c) N6tesc que el tip<5grafo usa indistintamente " . Il, l~para in-

dicar l o q it ,

f..~ina 163 (cuadro 1)

a) Las X deben ser x

b ) 1 debe ser l : : : : I n p/q

c) Columna B, ambas veces Sx=7,599

d) Columna K, Sxt del problema es - 3,280

P a 9 j n a I 6S ( C u a d r 0 11)

a) Columna H, 3a linea S'xl

b) Columna 0, ultima linea

..t. ...,-

(C"-C")e E p

_Pagina 1 6 6 (Cuadro 111)

a) Columnas Q y R , l1neasp6 -y 7: son ~xpresiones exponenciales

b) Columna R, 3a l In e a : S = = 0,083c

,P a 9 ina 167

a) 1., 2a)

'2b 3 < ~. 'I T

c) 4., 3adj 5., 1a

linea: Berkson

debe sustituirse por ~2

1 f n e a: •••• min a c i <5n. Par a sue <5mput 0.. • ••

ITnea: E l logit t = In p/q

Pa gin a 168

a) 6.: Factor ponderal probabilfstico

Eagina 169

a ) 1 r n e a s 6 ., 7 , r , .l>'- 5 "0 = X~ = = \ ~/3 .:: S~ ,A,,);C"

h>k: -:;c: =>';.:.:. = '-Y3 Z,

b) en forma similar en las l f n e a s 16 y 17

c) 9., 2a lInea m=ln 0,820d) 9'. En La formula para Sm; antes de la r a f z cuadrada es no

~~"",,,,, ..:_""i'''''''''''bj>~''''''''''~'''''><"_·''''<''''''''-' ...".-~C" -_. •• ,., = - - -



:0),S I'~:':E:3 P (/ E S r» CU If V TA L

t:» ac eTA

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Reporte de Investigacion Dosis Letal o Efectiva Media

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