Reporte de Velocidades Criticas en Rotores

8/11/2019 Reporte de Velocidades Criticas en Rotores

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Vibraciones mecánicas.

Una vibración es una pequeña oscilación alrededor de la posición de equilibrio.

Los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezaselásticas actúan fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, auncuando en algunos casos (transportadores vibratorios, p.e) se diseñan deliberadamente enla máquina.

El análisis de las vibraciones requiere el siguiente procedimiento general:■

Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio■

Calcular la cantidad de rozamiento actuante■

Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistemaaproximadamente equivalente de masas, resortes y amortiguadores.

■

Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado■

Resolver la ecuación e interpretar los resultadosEl sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un

amortiguador, como muestra la siguiente figura. Este sistema se define como un sistemade un grado de libertad.

Figura 1La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es: ) (1)

Dónde:■

m: masa■

k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)■

c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone queel amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la

velocidad.■

F(t): fuerza externa, función del tiempo■

x: desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático■

x,x: derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t.Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la

misma forma de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte esproporcional al desplazamiento y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad.Para el sistema general de un solo grado de libertad podemos escribir:

Donde son la masa equivalente, la constante de amortiguamientoequivalente y la constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento xpuede ser lineal o angular.



Ejemplo:

Vibraciones libres

Se presenten cuando después de una perturbación inicial, no existe ninguna fuerzaexterna de excitación, esto es, F(t)=0. La ecuación diferencial es:

Se buscan soluciones de la forma:

Así, la solución de esta ecuación puede escribirse :Donde:

( ) ( ) (4) y (5)

y A1 y A2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales. Al valor √ se denomina amortiguamiento crítico .

Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y elamortiguamiento crítico.

Se pueden distinguir tres casos:

CASO 1: AMORTIGUAMIENTO SUPERCRÍTIC( ) √ O

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:

La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipoexponencial decreciente, ytiende antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento ce:



CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTIC( ) √ O

Las raíces de la ecuación son dos soluciones iguales, reales y negativas:

Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuaciónpara vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de laperturbación inicial, regresa a la posición de equilibrio pero no oscila. Es decir, en estecaso, al igual que en el caso 1, la solución no es del tipo ondulatorio sino del tipoexponencial decreciente.

El Caso 1 corresponde con ξ > 1 y el Caso 2 con ξ = 1.

CASO 3: AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO ( ) √

Este caso corresponde con % < 1.

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas y complejas.

Figura 2



( )

donde las constantes X, Y se determinan de las condiciones iniciales.

(12) W d es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero, la

frecuencia seria , la cual se llama frecuencia natural.



Caso particular: amortiguamiento nulo (ejes)En este caso, x = X • sin(w dt + y). El sistema tras la perturbación inicial se queda

oscilando de forma indefinida ya que no ha rozamiento. La frecuencia de oscilación es

Vibraciones forzadasEn este caso, se considera que actúa la fuerza armónica F(t) = Fosin(wt)

me x+ ce x k e x = F(t) = Fosin(wt)

La solución de la ecuación diferencial es la dada anteriormente para vibracioneslibres, adicionada de una integral particular. La solución puede escribirse en la forma:

La primera parte de la expresión anterior representa la vibración transitoria, la cual

desaparece con el tiempo. La segunda parte se llama vibración en estado estacionario y esla parte que generalmente presenta más interés, ya que superado el periodo transitorio, elsistema permanecerá oscilando con una amplitud Y y una frecuencia w.



Conclusiones:

Para un sistema determinado (definido k,m,c), la amplitud Y depende de lafrecuencia w:

La función Y=Y(w) tiene un máximo, que se produce en la frecuencia crítica wc.

Cuando la frecuencia de la excitación coincide con wc, la deformación que seproduce es máxima. Si c « 0, entonces w c = w n.

No se debe trabajar en un eje en las proximidades de la velocidad crítica, ya que seproducirán amplitudes máximas. Cuando un sistema trabaja a frecuencias cercanas a la

velocidad crítica, se dice que se produce la resonancia. La frecuencia de operación(velocidad de giro del eje) se limita por ello a w o < 0.65 • w c

Velocidad crítica en ejesTodos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la

rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, dela masa total del eje, y de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con

respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema.La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje,

presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa,será un sistema de 1 gdl, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es ngdl, habrán n velocidades críticas.

Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente lasegunda tienen relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas dela s velocidades de operación.

En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible.En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un ejesoportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con ladel eje), se deforma según la configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rotaen la primera y la segunda velocidad crítica respectivamente.

m<2

m1 n1

Figura 7



Figura 8Donde:• x: deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa• e: excentricidad• k = fuerza / deformación

De la ecuación anterior se deduce que si la excentricidad e es nula, la deformación x

del eje también será nula, salvo que se cumpla queindeterminación.

Por lo tanto, si la excentricidad es nula, el único valor de velocidad en el cual sepuede producir deformación del eje se denomina frecuencia natural de oscilación wn, y

viene dada por la expresión siguiente:

Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación

con la masa que lleva unida:



Sea W el peso de la masa W=mg y 8 la deformación estática (deformación producidapor una fuerza W _ mg, en el punto de localización de la masa, esto es, deformacióndebida a su propio peso), y g es la constante de gravitación

Este valor es la primeravelocidad crítica del eje.

Puesto que hemos considerado un sistema de 1 gdl, será la única velocidad crítica.Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él (n grados delibertad) existen distintos métodos de cálculo de las n velocidades críticas:■ Método de Rayleigh: proporciona una aproximación para la primera velocidadcrítica de un sistema de masas múltiples (sobrestimación)■ Método de ecuación de frecuencias: proporciona valores exactos de las n

velocidades, pero resulta un método complejo para n>3

■

Método de Dunkerley: proporciona otra aproximación para la primera velocidadcrítica de unsistema de masas múltiples (subestimación)

Obsérvese que las ecuaciones de Rayleigh y Dunkerley son aproximaciones a laprimera frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica derotación (caso para c=0). En general, la ecuación de Rayleigh sobrestima la frecuencianatural, mientras que la de Dunkerley la subestima.

5.3.1. MÉTODO DE R AYLEIGH Consideremos un eje con n masas, y asumamos rozamiento nulo. Designemos por y

la deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa. Sean 5las deformaciones debidas a los pesos.



La energía cinética del sistema es:

La energía cinética adquirida es igual al trabajo de deformación necesario para llevarlas masas a las posiciones y 1, y 2 . . . . y n . Este trabajo de deformación es:

Igualando las expresiones, se obtiene:

La aproximación de Rayleigh consiste en considerar que las deformaciones o amplitudes Yson proporcionales a las deformaciones debidas a los pesos 8:

Y como:

Sustituyendo,

De donde se obtiene la primera velocidad critica

La misma ecuación puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un ejeque tiene una masa distribuida.



Se divide la masa distribuida en un número de partes, mi,m2, etc. Se considera la masa decada parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. La experienciada el número de subdivisiones que debe usarse, pero puede verse que con una partición nomuy refinada se obtiene una buena precisión.

Para un eje sin masas adicionales, se deduce que:

MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS

Este método permite el cálculo exacto de las n velocidades críticas de un eje.

Se plantea el análisis para un sistema de dos masas, y luego se extrapolará para el casogeneral de n masas.

La ecuación que se plantea es la ecuación de frecuencias, e incluye unos factores quese denominan coeficientes de influencia y que se definen a continuación.

A 11: deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en elpunto 1

a22: deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en elpunto 2a12: deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en elpunto 2a21: deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1

Debido al teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple que a12=B21



Demostración del método

Las deformaciones son:

Luego, sustituyendo las expresiones

Dividiendo ambas expresiones por w 2 y transformando el sistema anterior en unohomogéneo:

Para que exista una solución distinta de la trivial nula, el determinante del sistemahomogéneo anterior debe ser nulo:



Desarrollando este determinante:

Se obtienen así dos soluciones positivas y dos soluciones negativas. Las solucionesnegativas no tienen sentido físico, ya que no existen frecuencias negativas. Las solucionespositivas son las velocidades críticas w ci y w c2, tal que: w c2 > w ci

Para sistemas con más de dos masas, el cálculo del determinante se vuelve complejo,e interesará más obtener la solución aproximada por otro método (Rayleigh, p.e)

Las unidades de los coeficientes aij son

MÉTODO DE DUNKERLEY

De la ecuación de frecuencias se deduce una ecuación aproximada llamada deDunkerley, para el cálculo de la primera velocidad crítica.

Se puede despreciar el término en W c22 ya que con lo que:



Ya que

Y como sustituyendo en la expresión anterior,

wi: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 1. W2: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 2.

Así, en general

Es muy importante distinguir entre δ e y. Recordemos que y designa la deformación deleje durante la rotación a la frecuencia crítica. Debido al fenómeno de resonancia, estadeformación es superior a la correspondiente a la deformación correspondiente a los pesos

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