UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE QUMICA Materia: Laboratorio de Fsica Prctica 3: Determinacin de la aceleracin de la gravedad a travs del pndulo fsico Grupo: 50 Integrantes: -Santos Sanjuan Karen Yulissa 312142081-Marn Aquino Carlos 311009174 Rosas Landa Hernndez Emily I 312065933

Resumen: La siguiente prctica consisti en la determinacin de la aceleracin de la gravedad a travs de un pndulo fsico, en dicho experimento se busc encontrar la correlacin entre dos variables, como la longitud pendular y el ngulo para determinar el efecto que tiene cada una de la variables con respecto a la aceleracin de la gravedad y su explicacin fsica con base al fijo de energas dentro del sistema y el periodo de oscilacin de pndulo con ayuda de una Fotocompuerta establecer una relacin de proporcionalidad directa y graficarla por medio de un cambio de variable determinando as la aceleracin de la gravedad con la intervencin de fuerzas y energas que se encuentran dentro del sistema.Introduccin.La gravitacin es la fuerza de atraccin entre dos objetos que poseen masa, y en el caso particular de que uno de estos objetos sea la Tierra, la fuerza de atraccin se denomina peso. De esta forma, la masa (la cantidad de materia que tiene un cuerpo) ser atrada por la fuerza de gravedad de la Tierra. El fenmeno fsico asociado con esta fuerza de atraccin, es denominado aceleracin gravitacional o aceleracin de la gravedad, la cual vara de un lugar a otro en la Tierra por causa de la altitud.Experimentalmente, existen diversas experiencias de laboratorio que permiten determinar el valor de la aceleracin de la gravedad, por ejemplo, cada libre, movimiento uniformemente acelerado o en el caso del presente documento movimientos pendulares (pndulo de Kater, pndulo compuesto, pndulo simple, etc.). En este documento en el que se analizarn resultados obtenidos a partir de la experimentacin que se realiz con el uso del pndulo fsico, el cual est formado por un cuerpo suspendido de un hilo inextensible y de masa despreciable, en comparacin con la masa del cuerpo, que oscilar en torno a una posicin de equilibro, a travs del cual se busca determinar la aceleracin de la gravedad tomando en cuenta todas la fuerza que influyen en su movimiento adems de la gravedad, el flujo de energa dentro de este sistema como para poder ser denominado un movimiento perpetuo.Como justificacin de todos los fenmenos fsicos que se encuentran inmiscuidas dentro del sistema del pndulo se puede decir que existen bsicamente dos tipos de fuerzas, muy a grandes rasgos, que actanen el universo: estas son las fuerzas conservativas y las no conservativas. El nombre denota el hecho de que las primeras pueden generar un movimiento perpetuo mientras que las segundas no pueden.Fuerzas como la gravedad, la friccin, resistencia de los fluidos y si viscosidad, etc., afectan el movimiento. Newton propuso en su primera ley, conocida como ley inercial, que un objeto permanecer en su estado original, sea de movimiento o reposo, hasta que otra fuerza externa a l acte sobre el mismo y modifique su condicin inicial, ya sea llevndolo al movimiento si est en reposo, acelerndolo o desacelerndolo si se encontraba en movimientoExiste una forma de manipular las fuerzas que usualmente disminuiran la velocidad de un objeto (desacelerndolo) para lograr un estado de movimiento perpetuo. Tal es el caso de los pndulos simples, un tipo de sistema que se basa en la energa potencial y cintica de los objetos y de la conservacin de los mismos. Dado que se trata de un tipo de energa, la primera ley de la termodinmica nos dice que la energa no se crea ni se destruye, solamente se transforma. As, en la mayora de los casos parte de la energa cintica se pierde en forma de otro tipo de energa, como por ejemplo la calorfica, as que no toda la energa cintica puede volver a convertirse en energa potencial debido a que parte de la energa cintica se perdi en forma de calor.En los pndulos simples, toda la energa se conserva y se transforma ntegramente, lo que permite pasar de un tipo a otro sin problema. En un pndulo, este tipo de movimiento se conoce como movimiento armnico simple.

Se dice que una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posicinxdada en funcin del tiempotpor la ecuacinx=Asen (t+)

Donde Aes la amplitud. wla frecuencia angular. wt+jla fase. jla fase inicial.Las caractersticas de un M.A.S. son: Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre-Ay+A. La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempoPtal quew(t+P)+j=wt+j+2p.P=2/Cinemtica de un M.A.S.En unmovimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad.Laposicindel mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por la ecuacinx=Asen (t+)Derivando con respecto al tiempo, obtenemos lavelocidaddel mvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos laaceleracindel mvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuacin diferencial

Esta es la ecuacin diferencial de un M.A.S dondexpuede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.Puede comprobarse que la solucin de esta ecuacin diferencial esx=Asen (wt+j)Condiciones inicialesConociendo la posicin inicialx0y la velocidad inicialv0en el instantet=0.x0=Asen jv0=Awcos jSe determinan la amplitudAy la fase inicial

Dinmica de un M.A.S.Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresin de la fuerza necesaria para que un mvil de masamdescriba un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamientoxy de sentido contrario a ste.

Como lafuerzaFes conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energa potencialEp.

La expresin de la energa potencial es

Dondeces cualquier constante. Se toma como nivel cero de la energa potencialEp=0 cuando el mvil est en el origen,x=0, por lo quec=0La energa totalE, es la suma de la energa cinticaEky de la energa potencialEpque es constante.

Curva de energa potencialLa funcinEp=m2x2/2 representa una parbola cuyo vrtice est en el origen, que tiene un mnimo enx=0 cuyo valor esEp=0.Las regin donde se puede mover la partcula est determinada por la condicin de que la energa cintica ha de ser mayor o igual a ceroEk>=0. En otras palabras, que la energa total sea mayor o igual que la energa potencialE>=Ep. Si la partcula tiene una energa totalE, la partcula solamente se podr mover en la regin comprendida entre-Ay+A, siendoAla amplitud de su M.A.S.

El mdulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que acta sobre la partcula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situacin de equilibrio, que por coincidir con un mnimo de la energa potencial es de carcter estable.Dentro de la explicacin del movimiento armnico simple como de todo lo referente a la explicacin y anlisis de datos estar interviniendo el concepto de periodo que se define enfsica, elperodo de una oscilacin u onda(T) es eltiempotranscurrido entre dos puntos equivalentes de la ondaEs el mnimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. As, el periodo de oscilacin de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda. En trminos breves es el tiempo que dura un ciclo de la onda en volver a comenzar. Por ejemplo, en unaonda, el periodo es el tiempo transcurrido entre dos crestas o valles sucesivos. El periodo (T) es inverso a lafrecuencia(f):

Como el periodo siempre es inverso a la frecuencia, lalongitud de ondatambin est relacionada con el periodo, mediante la frmula de la velocidad de propagacin. En este caso la velocidad de propagacin ser el cociente entre lalongitud de onday el perodo.En fsica un movimiento peridico siempre es un movimientoacotado, es decir, est confinado a una regin finita del espacio de la cual las partculas nunca salen. Un ejemplo de ello es el movimiento unidimensional de una partcula por la accin de unafuerza conservativasies el potencial asociado a la fuerza conservativa, para energas ligeramente superiores a un mnimo de energala partcula realizar un movimiento oscilatorio alrededor de la posicin deequilibriodada por el mnimo local de energa. El perodo de oscilacin depende de la energa y viene dado por la expresin:1

Parasuficientemente pequeo el movimiento puede representarse por un movimiento cuasi-armnico de la forma:El trminoes la fase, siendoes la fase inicial,es lafrecuencia angulardndose la relacin aproximada:

Dependiendo el grado de aproximacin de lo cercana que est la energa al mnimo, para energas poco por encima del mnimo el movimiento est muy cercano al movimiento armnico dado por:

Un perodo de unafuncin realfes un nmero tal que para toda t se cumple que:

Ntese que en general existe una infinidad de valoresTque satisfacen la condicin anterior, de hecho el conjunto de los perodos de una funcin forma un subgrupo aditivo de. Por ejemplo f(t) = sen t tiene como conjunto de perodos a 2Z, los mltiplos de 2. Si el subgrupo es discreto, se llama el perodo defa su menor elemento positivo no nulo. En el ejemplo anterior, el perodo de la funcin seno es 2. Otras funciones peridicas, es decir que admiten un perodo, son elcoseno, latangentey la funcinx-E(x), dondeE(x) es laparte enteradex. Si el subgrupo escontinuo, no se puede definir el perodo. Por ejemplo, la funcin constanteg(t) =kadmite todo real como perodo, pero ninguno recibe el nombre del perodo de g. Un ejemplo ms esotrico: La funcin caractersticade, el conjunto de los racionales es como sigue: Sixes racional, entonces, y sixno es racional. El grupo de perodos deesque no tiene menor elemento positivo no nulo; por lo tanto tampoco existeelperodo de esta funcin.Una suma de funciones peridicas no es forzosamente peridica, como se ve en la figura siguiente con la funcin cos t + cos (2t):

Para serlo hace falta que el cociente de los perodos sea racional, cuando esa ltima condicin no se cumple la funcin resultante se dicecuasiperidica.Si bien el MAS tiene demasiada relacin con un movimiento pendular difiere en algo importante ya que en MAS se refiere a cuerpos que estn sujetos a resorte que causan adems de una oscilacin de la masa alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la trayectoria del periodo de oscilacin; pero, pongamos atencin, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultneo de todos los puntos de la cuerda.Por lo que tomando en cuenta lo anterior el funcionamiento del sistema fsico del pndulo funciona como sigue por Mtodo de NewtonConsideremos un pndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partcula desde la posicin de equilibrio hasta que el hilo forme un ngulo con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el pndulo oscilar en un plano vertical bajo la accin de lagravedad. Las oscilaciones tendrn lugar entre las posiciones extremas y -, simtricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud,, del hilo. Elmovimiento es peridico, pero no podemos asegurar que seaarmnico.Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir laecuacin del movimientode la partcula.La partcula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la accin de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensin del hilo (N), siendo lafuerzamotriz la componente tangencial delpeso. Aplicando lasegunda leydeNewtonobtenemos:

siendoat, laaceleracin tangencialy donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que lafuerza tangencialtiene siempre sentido opuesto aldesplazamiento(fuerza recuperadora).Al tratarse de unmovimiento circular, podemos poner

siendolaaceleracin angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

Esta ec. dif.nocorresponde a unmovimiento armnico simple(m.a.s.) debido a la presencia de la funcin seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del pndulo simple no es armnico simple, en general.Mtodo de LagrangeEl lagrangiano del sistema es

dondees laelongacinangular (ngulo que forma el hilo con la vertical) yes la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

y obtenemos la ecuacin del movimiento es

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un pndulo.Pequeas oscilaciones

Pndulo simple en movimiento armnico simple con oscilaciones pequeas.

Para pequeas oscilaciones, la funcin que representa la elongacin angular con el tiempo,, es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilacin ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud(negro), junto a un movimiento de pequea amplitud(gris).Si consideramos tan slo oscilaciones de pequea amplitud, de modo que el ngulosea siempre suficientemente pequeo, entonces el valor del senser muy prximo al valor deexpresado en radianes (sen, parasuficientemente pequeo), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

que es idntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refirindose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilneo, cuya solucin es:

siendo lafrecuencia angularde las oscilaciones, a partir de la cual determinamos elperodode las mismas:

Las magnitudesyson dos constantes "arbitrarias" (determinadas por lascondiciones iniciales) correspondientes a laamplitud angulary a lafase inicialdel movimiento. Ambas tienen dimensiones dengulo plano.Comparacin entre el valor de un ngulo (rad) y su seno.

()(rad)sendif.%()(rad)sendif.%

00,000000,000000,00150,261800,258821,15

20,034910,034900,02200,349070,342022,06

50,087270,087160,13250,436330,422623,25

100,174530,173650,51300,523600,500004,72

IsocronismoObsrvese que el periodo del pndulo simple es independiente de la masa de la partcula suspendida y, tambin, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que stas sean suficientemente pequeas como para que la aproximacin sensea aceptable. Esta ltima propiedad, conocida comoisocronismo de las pequeasoscilaciones, fue descubierta porGalileo(1564-1642), hacia el ao 1581, en la catedral de Pisa:"Un da en que asista, algo distrado sin duda, a una ceremonia religiosa, fij su mirada en una lmpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizs, con los ojos fijos en aquel metrnomo improvisado, uni su voz a la de los celebrantes; la lmpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a sus ltimos movimientos, observ que marcaba siempre el mismo comps"J. Bertrand:Galileo y sus trabajosEsta ltima circunstancia fue la que ms atrajo la atencin de Galileo; a pesar de que laamplitud de las oscilacionesse iba reduciendo, permaneca sensiblemente constante la duracin de las mismas. Galileo repiti muchas veces el experimento y acab por descubrir la relacin existente entre dicha duracin y la longitud de la cuerda que soportaba al peso oscilante. Ms adelante, hacia el ao1673,Christian Huygensencontr la expresin del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequea amplitud, basando su demostracin en las leyes de cada de los graves, segn las haba enunciado Galileo.Puesto que las pequeas oscilaciones del pndulo son iscronas, resulta til para la medida del tiempo Oscilaciones de mayor amplitudLa integracin de la ecuacin del movimiento, sin la aproximacin de pequeas oscilaciones, es considerablemente ms complicada e involucraintegrales elpticas de primera especie, por lo que omitimos el desarrollo que llevara a la siguiente solucin:

Dependencia del perodo del pndulo con la amplitud angular de las oscilaciones. Para pequeas oscilaciones, el cocienteT/T0tiende a la unidad 1; pero tiende a infinito para ngulos cercanos a 180.dondees la amplitud angular. As pues, el periodo es funcin de la amplitud de las oscilaciones.En la Figura hemos representado grficamente la variacin deT(en unidades de T0) en funcin de , tomando un nmero creciente de trminos en la expresin anterior. Se observar que el periodoTdifiere significativamente del correspondiente a las oscilaciones de pequea amplitud (T0) cuando > 20. Para valores de suficientemente pequeos, la serie converge muy rpidamente; en esas condiciones ser suficiente tomar tan slo el primer trmino correctivo e, incluso, sustituir sen/2 por /2, de modo que tendremos donde se expresar en radianes. Esta aproximacin resulta apropiada en gran parte de las situaciones que encontramos en la prctica; de hecho, la correccin que introduce el trmino 2/16 representa menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10.Para oscilaciones de pequea amplitud, las expresiones anteriores se reducen a center. Instrumento gravimtricoEl pndulo simple se utiliz en las primeras determinaciones precisas de la aceleracin producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de las oscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Podemos expresargen funcin deTy de: Ejemplo: Un pndulo simple se usa para medir la aceleracin de la gravedad, usando T=2(1/g , el periodo T medido fue de (1.240.02) s. Y la longitud de (0.3810.002) m. Cul es el valor resultante de g con 50% de incertidumbre absoluta y relativa?T^2 = 4 ^2 l / gg = 4 ^2 l / T^2g = 4 ^2 0.381 / (1.24)^2 = 15.641 / 1.5376 = 9.7821 m/s^2g = (l/l +2 T/T) gg = [(0.002/0.381) + 2 (0.02/1.24)] 9.7821 = 0.36 m/s^2g = 9.780.36 m/s^2

Material y equipo

Nombrecaractersticas

Masa.200 g

Fotocompuerta.

Flexmetro.5m

Hilo y tijeras.

Transportador.180

Pinza de tres dedos con nuez.

Soporte universal.

Elevador.

Procedimiento ExperimentalPaso 1: Construccin de un pndulo fsico con soporte universal, pinza de tres dedos hilo, pesa, tomando en cuenta la variacin de longitud que se tiene que realizar.Paso 2: Determinar la longitud con la que se iniciara, al tenerla definida se procede a construir el pndulo, montando primeramente el soporte universal con la pinza de tres dedos en lo ms alto del soporte y apretando las pinzasPaso 3: Hacerle un nudo en la punta del hilo donde se pueda atorar el gancho de la pesa y colocar la pesa de 200 gramosPaso 4: Atorar el hilo en la pinza de tres dedos y comenzar a medir la longitud del hilo, desde donde se comenzara a mover hasta el centro de la masa, deslizando el hilo hacia arriba o hacia abajo segn sea necesario hasta llegar a la longitud deseada.Paso 5: Darle varias vueltas a la pinza de tres dedos con el hilo, con el objeto de que no se caiga la pesa, con el mismo objetivo se pueden colocar el resto de las pesas sobre la base del soporte universal Paso 6: Ya que est listo nuestro sistema conectar y encender la Fotocompuerta, colocarla justo a la altura del centro de la base del pndulo es decir, alineada con el soporte universal o con la lnea de equilibrio del sistema, y que el sensor quede justo a la altura del centro de la masa.En caso de que la longitud sea muy grande se utilizara el elevador de tal manera de que se establezca lo mejor posible el sistema anteriormente descrito. Paso 7: Una vez establecido el sistema con su respectiva longitud se tendr que establecer el ngulo al que se medirn todas las longitudes el cual tiene que ser menor muy pequeo para que a la hora de el anlisis de datos pueda ser despreciable en nuestro caso elegimos 4 Paso 8: Se prosigui a medir el periodo con la Fotocompuerta y a verificar que el ngulo se cumpliera, colocando el transportador correctamente en el sistema es decir en el punto de equilibrio del sistema o alineado con el soporte.Paso 9: Ya con el transportador colocado el sistema en reposo y la foto compuerta colocada y encendida se comenz a mover la masa de tal manera que cumpliera con el ngulo requerido, ya sea aplicando ms fuerza o frenando la aceleracin de la masa segn se requiriera.Paso 10:Ya que cumpliera el ngulo se tomaba la medida del periodo que consista en presionar el botn start e la Fotocompuerta en el momento en que la masa estuviera fuera del alcance del censor, es decir cuando estuviera afuera de la Fotocompuerta. Paso 11: El paso 10 se repeta 5 veces ya sea deteniendo el sistema y establecerlo desde el principio o solo ajustando la aceleracin de la ms a para que cumpliera con el ngulo. Registrar los datosPaso 12: Los pasos 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 se repiten cuatro veces ms una por cada longitud distinta que se haya establecidoPaso 13: los pasos 1, 2, 3, 4, 5, 6 se realizarn nuevamente solo que esta vez en el paso 7 se cambiara el ngulo que se utilizara a 3 y una vez hecho esto se volvern a ejecutar los pasos 8, 9, 10 y 11 registrando los datos que arroja la Fotocompuerta.Paso 14: Con el sistema establecido en el paso 13 solo se cambiara de nuevo el ngulo a 5 y se realizarn de nuevo los pasos 8, 9, 10 y 11. Hasta tener las 5 mediciones Paso 15: Por ultimo con el sistema establecido en el paso 14 solo se cambiara de nuevo el ngulo a 10 y se realizarn de nuevo los pasos 8, 9, 10 y 11. Hasta tener las 5 mediciones.Anlisis de resultados:

Tabla 1. Periodos del pndulo a distintas longitudes pendular

Longitud pendularT1T2T3T4T5

Medida 11m2.03512.03642.03272.03392.0348

Medida 20.9m1.90851.91431.91591.91871.9174

Medida 30.6m1.55651.55761.56021.55671.5653

Medida 41.40m2.39432.39502.39212.34322.3944

Medida 50.3m1.10211.10111.10481.11171.1060

Promedio.2.034581.914961.559262.38381.10514

Tabla 2. Incertidumbres de los periodos de la masa a diferentes distancias pendulares

Longitud pendular cmPromedio de T (s)UAUBUC

Medida 1100cm2.034580.001235150.000552370.00010.00056134

Medida 290cm1.914960.003549420.001587340.00010.00159048

Medida 360cm1.559260.003295210.001473660.00010.00147704

Medida 4140cm2.38380.020323880.000908910.00010.00091439

Medida 530cm1.105140.003726980.001666750.00010.00124183

Promedio.0.0064261290.001237800.00010.00124183

Para buscar la incertidumbre es necesario encontrar la media que se define como:

(Ecuacin 1)

Realizando las operaciones de nuestros datos obtenemos que:X = 2.03458

Si se tiene la media, se puede realizar el clculo de la incertidumbre usando primero la desviacin estndar: (Ecuacin 2) Calculndola obtenemos que:0.006426129Ahora podemos utilizar sta para obtener, finalmente, la incertidumbre tipo A dada por la ecuacin: (Ecuacin 3)Por lo tanto, la incertidumbre del tipo A para la balanza es 0.00123780Por otro lado, en la Fotocompuerta nos indica que su incertidumbre es 0.0001, sta la sealaremos como incertidumbre tipo B (). Sin embargo, debemos tener una incertidumbre ms acertada, por lo que nos auxiliaremos en la incertidumbre combinada o que est definida como: (Ecuacin 4)Por ende, para este caso tenemos que 0.00124183Tabla 3.

Longitud Pendular mPromedio de T (s)L=42(LP)T=T^2m=gL(gT)

Medida 10.31.1051411.84352531.221334429.6972009411.8435253

Medida 20.61.5592623.68705062.431291759.7425784423.6870506

Medida 30.91.9149635.53057583.66707189.6890864935.5305758

Medida 412.0345839.47841764.139515789.5369651339.4784176

Medida 51.42.383855.26978465.682502449.7263107655.2697846

9.67842835promedio

Figura 1.