Representación de la adjunta en bases ortonormales ...

representación de la adjunta en bases ortonormales operadores autoadjuntos teoría espectral de operadores autoadjuntos

Representación de la adjunta en basesortonormales

Operadores autoadjuntos

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

14 de octubre de 2010


lema previo

lema general

lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto interno

T : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con

aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n


lema previo

lema general

lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal

B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con

aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n


lema previo

lema general

lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V

C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con

aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n


lema previo

lema general

lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W

entonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con

aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n


lema previo

lema general

lema representación matricial de una t.l.V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealB = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de Wentonces C(T )B = (aij) ∈Mm×n(K) con

aij = 〈T (vj),wi〉i = 1, . . . ,mj = 1, . . . ,n


lema previo

demostración

A =C (T )B matriz asociada a T

⇒ columna j=

a1ja2j...

amj

= coordC(T (vj))

como C base ortonormal,

T (vj) = 〈T (vj),w1〉w1 + · · ·+ 〈T (vj),wm〉wm

⇒ coordC(Tvj)=columna j de A =

〈T (vj),w1〉〈T (vj),w2〉

...〈T (vj),wm〉

⇒ aij = 〈T (vj),wi〉


matriz asociada de la adjunta


proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre K

T : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒

B(T ∗)C = [C(T )B]t




proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.

B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒

B(T ∗)C = [C(T )B]t




proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de V

C = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒

B(T ∗)C = [C(T )B]t




proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W

⇒B(T ∗)C = [C(T )B]

t




proposición (matriz asociada de la adjunta)V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.B = {v1, . . . , vn} base ortonormal de VC = {w1, . . . ,wm} base ortonormal de W⇒

B(T ∗)C = [C(T )B]t



demostración

sean A =C (T )B y B(T ∗)C

queremos ver que B = At

o sea, queremos ver que bij = aji

ahora

bij = 〈T ∗(wj), vi〉

= 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit



demostración




ahora

bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉)

= 〈T (vi),wj〉 = ajit



demostración




ahora

bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉

= ajit



demostración




ahora

bij = 〈T ∗(wj), vi〉 = 〈vi ,T ∗(wj〉) = 〈T (vi),wj〉 = ajit


operadores autoadjuntos

definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto interno

T : V → V operador lineal autoadjuntosi

T = T ∗



definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjunto

siT = T ∗



definición (operador autoadjunto)V e.v. con producto internoT : V → V operador lineal autoadjuntosi

T = T ∗


propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto interno

T : V → V operador linealentonces

T autoadjunto ⇔ 〈T (v),w〉 = 〈v ,T (w)〉 ∀v ,w ∈ V


propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador lineal

entonces



propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto internoT : V → V operador linealentonces



propiedades

demostración

ejercicio


propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto interno sobre C

T : V → V operador linealentonces

T autoadjunto ⇔ 〈T (v), v〉 ∈ R ∀v ∈ V


propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador lineal

entonces



propiedades

proposición

proposiciónV e.v. con producto interno sobre CT : V → V operador linealentonces



propiedades

demostración

no la vamos a dar (consultar libro rojo)

la proposición no vale si V e.v. sobre R


propiedades

demostración

no la vamos a dar (consultar libro rojo)la proposición no vale si V e.v. sobre R


matriz asociada - caso real

matriz simétrica

matriz simétrica

A ∈Mn(K) matriz simétricasi

At = A



matriz simétrica

matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétrica

siAt = A



matriz simétrica

matriz simétricaA ∈Mn(K) matriz simétricasi

At = A



teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre R

T : V → V operador linealSon equivalentes:

1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica



teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador lineal

Son equivalentes:




teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre RT : V → V operador linealSon equivalentes:




teorema


1 T autoadjunto

2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica



teorema


1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz simétrica

3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz simétrica



teorema





demostración 1 ⇒ 2

B(T )B =B (T ∗)B

= [B(T )B]t= [B(T )B]

t

xq T = T ∗ (autoadjunto)

proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB




B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t

= [B(T )B]t

xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anterior

xq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB




B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]

t

xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real

⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB




B(T )B =B (T ∗)B = [B(T )B]t= [B(T )B]

t

xq T = T ∗ (autoadjunto)proposición anteriorxq B(T )B matriz real⇒ B(T )B matriz simétrica para cualquier base ortonormalB




OBVIO

si vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal




OBVIOsi vale para toda base ortonormal, vale para alguna baseortonormal




sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétrica

entonces

B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t

= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0

por ser [B0(T )B0 ]t matriz real

por proposición anterior⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0

⇒ T = T ∗ (autoadjunto)




sea B0 tal que B0(T )B0 sea simétricaentonces

B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t

= [B0(T )B0 ]t=B0 (T ∗)B0








B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]

t

=B0 (T ∗)B0








B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]

t=B0 (T ∗)B0


por proposición anterior

⇒ T y T ∗ coinciden en la base B0






B0(T )B0 = [B0(T )B0 ]t = [B0(T )B0 ]

t=B0 (T ∗)B0





matriz asociada - caso complejo

matriz hermítica

definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermítica

siA = A

t



matriz hermítica

definición (matriz hermítica)A ∈Mn(K) matriz hermíticasi

A = At



teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre C

T : V → V operador linealSon equivalentes:

1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica



teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador lineal

Son equivalentes:




teorema

teoremaV e.v. de dimensión finita sobre CT : V → V operador linealSon equivalentes:




teorema


1 T autoadjunto

2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica



teorema


1 T autoadjunto2 ∀ B base ortonormal de V : B(T )B matriz hermítica

3 ∃ B0 base ortonormal de V tal que B0(T )B0 matriz hermítica



teorema





demostración

ejercicio


caso complejo

teorema

teoremaV e.v. complejo de dimensión finita

T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.


caso complejo

teorema

teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto

⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.


caso complejo

teorema

teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales

⇒ todas las raíces características son reales.


caso complejo

teorema

teoremaV e.v. complejo de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales⇒ todas las raíces características son reales.


caso complejo

demostración

λ vap de T

⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉

= λ〈v , v〉

por otro lado:

〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉

= λ〈v , v〉

ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2

como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración

λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep

⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉

= λ〈v , v〉

por otro lado:

〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉

= λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración

λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉

= λ〈v , v〉por otro lado:

〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉

= λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración

λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉

por otro lado:

〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉

= λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración

λ vap de T⇒ Tv = λv con v 6= ~0 vep⇒ 〈T (v), v〉 = 〈λv , v〉 = λ〈v , v〉por otro lado:

〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉

= λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración


〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración


〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉

ahora, por ser T autoadjunto 〈Tv , v〉 = 〈v ,Tv〉

⇒ λ‖v‖2 = λ‖v‖2

como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

demostración


〈v ,Tv〉 = 〈v , λv〉 = λ〈v , v〉


como v 6= ~0, λ = λ

⇒ λ ∈ R


caso complejo

corolario

corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica

⇒ todos los vap de A son reales


caso complejo

corolario

corolarioA ∈Mn(C) matriz hermítica⇒ todos los vap de A son reales


caso real

teorema

teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica

⇒ todos los vap de A son reales


caso real

teorema

teoremaA ∈Mn(R) matriz simétrica⇒ todos los vap de A son reales


caso real

demostración

A ∈Mn(R) matriz simétrica

⇒ At= At = A

⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales


caso real

demostración


⇒ At= At = A

⇒ A matriz hermítica

⇒ todas las raíces características de A son reales


caso real

demostración


⇒ At= At = A

⇒ A matriz hermítica⇒ todas las raíces características de A son reales


caso real

corolario

corolarioV e.v. real de dimensión finita

T : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales


caso real

corolario

corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto

⇒ todos los vap de T son reales


caso real

corolario

corolarioV e.v. real de dimensión finitaT : V → V autoadjunto⇒ todos los vap de T son reales

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