Representación multiresolución de terrenos mediante eliminación de...

Representación multiresolución de terrenos

mediante eliminación de curvas de nivel

Luis A. Zarrabeitia, Univ. de La Habana

Victoria Hernández, ICIMAF

IntroducciónObjetivo

Objetivo

Obtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.

L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel


ObjetivoObtener una representación multirresolución

de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.



ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno

mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.



ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo

que aproveche lainformación de curvas de nivel.



ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.


IntroducciónModelos digitales de terreno.

¿Qué son los MDT?

Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.

Obtenidas

Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .

Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel



¿Qué son los MDT?Son aproximaciones

a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.

Obtenidas





¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra

que permiten suestudio y representación mediante una computadora.

Obtenidas





¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.

Obtenidas






Obtenidas

Mediciones directas

Mapas existentesSatéliteRadar. . .





Obtenidas

Mediciones directasMapas existentes

SatéliteRadar. . .





Obtenidas

Mediciones directasMapas existentesSatélite

Radar. . .





Obtenidas

Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar

. . .





Obtenidas






Obtenidas


Representados mediante

Triangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel




Obtenidas


Representados medianteTriangulaciones irregulares

Mallas regulares (raster)Curvas de nivel




Obtenidas


Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)

Curvas de nivel




Obtenidas




IntroducciónCurvas de nivel

Terreno, Massachusetts

5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes

“curvas”poligonales

“de nivel”cerradas

funcióngrafo planar




5 x 4 Km

293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes







5 x 4 Km293 602 puntos

586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes







5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos

478 curvas de nivelMuchos datos redundantes







5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivel

Muchos datos redundantes






Curvas de nivel, Massachusetts









“curvas”

poligonales“de nivel”

cerradas







“de nivel”

cerradas








función

grafo planar


IntroducciónLiteratura previa

Esquemas generales

B-Splines producto tensorial jerárquicos.Splines de Powell-Sabin. Base de Dierckx.

Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.



Esquemas generales


Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )

Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.



Esquemas generales


Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.


IntroducciónEliminación de curvas

ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.




MDTz = f (x , y)




MDTz = f (x , y)

MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si




MDTz = f (x , y)

MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si

Simplificación

Si+1 = Si − ci


Algoritmo de eliminaciónPropuesta

Proceso de eliminación

Estimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do

Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.



Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.

while exista curva eliminable doBuscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.



Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do





Buscar curva c de menor error asociado.

Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.




Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.

Actualizar estimación del error para las restantes.


Algoritmo de eliminaciónEstimación del error

Estimando el error de una curva c

Determinar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.



Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.

Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.



Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.

Evaluar f en los vértices de c.

Interpolación: f := F 〈ce, ci1 , ci2〉

f (p) = he = h(ce) si p ∈ cef (p) = hij = h(cij ) si p ∈ cij



Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.

Evaluar ferrores = [|f (x)− h(c)| for x in c]error = m«ax(errores)



Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.

Interpolación: f := F 〈ce, ci1 , ci2〉

f (p) = he = h(ce) si p ∈ cef (p) = hij = h(cij ) si p ∈ cij


Algoritmo de eliminaciónInterpolación - Triangulación

Problemas

. . .

Ramificación Triángulos degenerados



Problemas

. . .

Ramificación

Triángulos degenerados



Problemas

. . .

Ramificación Triángulos degenerados


Algoritmo de eliminaciónDos funciones de interpolación

Dos funciones de interpolación: Curvas originales (arriba),Delaunay (izquierda), Basado en distancias (derecha)


Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias

Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)

No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).

ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.



Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.

C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).




Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.

Muy rápido de evaluar (versión discreta).




Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).





Problemas

No se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.




ProblemasNo se puede graficar directamente.

Las curvas internas deben tener igual altura.



Interpolación lineal

h : R2 → R

h(p) =hide(p) + di(p)he

de(p) + di(p)

dα(p) = minq∈cα‖p − q‖


Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación

Limitaciones

Las curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.

Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:

Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).

Eliminablesc, ce.

No eliminablesci1 , ci2



LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.

Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.



Eliminablesc, ce.




LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.



Eliminablesc, ce.



Algoritmo de eliminaciónNos falta...



ProblemaCurvas muy densas.

SoluciónSimplificación horizontal.


ReconstrucciónGraficando el interpolante

Algoritmo de reconstrucción

Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final




Aproximación de los ejes mediales

Generación de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final

Ejes mediales

Diagrama de VoronoiTriangulación de Delaunay






Ejes medialesDiagrama de Voronoi

Triangulación de Delaunay






Ejes medialesDiagrama de VoronoiTriangulación de Delaunay




Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevos

Evaluación del interpolanteRetriangulación 3D final

Puntos adicionales

Restricciones adicionalesPuntos de Steiner






Puntos adicionalesRestricciones adicionales

Puntos de Steiner






Puntos adicionalesRestricciones adicionalesPuntos de Steiner




Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolante

Retriangulación 3D final

Evaluación

Localizar cada punto añadidoObtener la función de interpolación






EvaluaciónLocalizar cada punto añadido

Obtener la función de interpolación






EvaluaciónLocalizar cada punto añadidoObtener la función de interpolación





Triangulación 3D

“Proyectar” los triángulos a R3

La iluminación “oculta” los triángulos


ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono

Subproblemas de implementación

Localización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.



Subproblemas de implementaciónLocalización.

Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.





LocalizaciónEn la eliminación.

En la reconstrucción.

Solución

Árbol de terreno





LocalizaciónEn la eliminación.En la reconstrucción.

Solución

Árbol de terreno



Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.

Estimación de la distancia punto-polígono.

Chequeo de interioridad

Lanzamiento de rayosPoligonales muy grandes

Descartar aristasQuadtree





Chequeo de interioridadLanzamiento de rayos

Poligonales muy grandes






Chequeo de interioridadLanzamiento de rayosPoligonales muy grandes




Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.

Distancia punto-polígono

Búsqueda exacta costosaCálculo aproximado

Vértice más cercanokd-tree





Búsqueda exacta costosa

Cálculo aproximado






Búsqueda exacta costosaCálculo aproximado



ImplementaciónResultados


ImplementaciónResultados - eliminación

205/450 curvas


Conclusiones y recomendacionesConclusiones

TeoríaFunciones de interpolación

Simplificación horizontalMedidas de error

Graficación

ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd

Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs

mediante eliminación iterativa de curvas de nivel





Graficación

Implementación

Solución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd







Graficación

ImplementaciónSolución a problemas clásicos:

Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd







Graficación

ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con Quadtree

Árbol de terrenoÁrbol-kd







Graficación

ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terreno

Árbol-kd







Graficación








Graficación


Resultado principal

Representación multirresolución de MDTsmediante eliminación iterativa de curvas de nivel





Graficación





Conclusiones y recomendacionesRecomendaciones

Combinar la simplificación horizontal y la eliminación.Eliminar vértices individuales además de curvas.

Extender el interpolante basado en distancias.Definirlo para alturas internas distintas.

Usar otras funciones de interpolación.Triangulaciones con restricciones.


FIN

FIN


Referencias

Laurent Demaret, Nira Dyn5, Michael S. Floater, Armin Iske

Adaptive Thinning for Terrain Modelling and ImageCompression.Advances in Multeresolution for Geometric Modelling, 2005

Horman K., Spinello S., Schröder P.C1-continuous Terrain Reconstruction from SparseContoursIn Proc. Vision, Modeling, and Visualization 2003 (2003),pp. 289–297


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