Representación de la

Información

Definición de Sistema de numeración.

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos.

La principal regla es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe.

Sistema Decimal: Es el sistema de numeración utilizado en la vida cotidiana, cuya base es diez, utilizando los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 .

Sistema Binario: los dos símbolos utilizados son el 0 y el 1, los que reciben el nombre de bit (binarydigit).

Sistema Octal: de base 8, los símbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7.

Sistema Hexadecimal: de base 16, los símbolos utilizados son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Sistemas de numeración

1. Sistema de numeración decimal. Es el más utilizado y está aceptado universalmente.

Utiliza diez símbolos o dígitos(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

El valor de cada dígito está asociado a una potencia de base 10 (número que coincide con la cantidad de símbolos utilizados por el sistema) y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito (contado desde la derecha) menos uno.

Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), donde estos tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. Usando la potencia de base 2.

Por ejemplo el numero binario 1011 tiene un valor en decimal que se calcula así: :

1⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅20 = 8 + 0 + 2 + 1=11y lo escribimos así: 10112=1110

Conversion de Decimal a Binario

Ejemplo Transformar el

número decimal 100 en binario.

En el sistema decimal el número 6259, por ejemplo, significa: 6 millares + 2 centenas + 5 decenas + 9 unidades

Es decir: 6 x 103 + 2 x 102 + 5 x 101 + 9 x 100

En el caso de números con decimales, algunos exponentes de las potencias serán negativos (los de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal)

El número 8245,97 se calcularía como:8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimas + 7 centésimas

8 x 103 + 2 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 + 9 x 10-1 + 7 x 10-2

Para convertir un numero decimal al sistema binario; basta con realizar divisiones sucesivas entre 2 y colocar los restos obtenidos, en cada una de ellas. Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos.

Ejemplo : Convertir el numero 77 en Binario.1.- Dividir 77 entre 2 Resto : 1

3

1

8

7

1

2.- Dividir 38 entre 2 Resto : 0

19 : 2 = 9 Resto 1 9 : 2 = 4 Resto 1 4 : 2 = 2 Resto 0 2 : 2 = 1 Resto 0 1 : 2 = 0 Resto 1

Para formar el número binario tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos quedando. 7710 = 10011012

1

1

9

80

En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. La conversión de un número decimal a octal, se realiza del mismo que la conversión a binario, la diferencia es que se emplea como base el número 8 en lugar del 2, colocando los restos obtenidos en orden inverso.

1

4

5

22

Ejemplo : Convertir el numero decimal 122 a Octal.

1.- Dividir 122 entre 8 = 15 Resto : 2

2.- Dividir 15 entre 8 = 1 Resto : 7

3.- Dividir 1 entre 8 = 0 Resto : 1

Para formar el número octal tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos quedando. 12210 = 1728

1

7

0

1

Otro Ejemplo de Conversión Decimal a Octal

Convertir 249 a Octal

24910 = 3718

249 8

31 8

3 8

0

1

7

3

a0

a1

a2

2. Sistema de numeración binario. Utiliza dos dígitos (0 y 1). El valor del dígito viene determinado por una potencia

de base 2 y un exponente igual a su posición (desde la derecha) menos uno.

Así, el número binario 10011 tendría un valor: 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 =

=16 + 2 + 1 = 19

Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1), donde estos tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupen. Usando la potencia de base 2.

Por ejemplo el numero binario 1011 tiene un valor en decimal que se calcula así: :

1⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅20 = 8 + 0 + 2 + 1=11y lo escribimos así: 10112=1110

En este sistema, los números se representan con dieciséis

símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los

caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades

decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay

dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno

de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que

se calcula mediante potencias de base 16.

Ejemplo : Convertir el numero decimal 1735 a Octal.

1.- Dividir 1735 entre 16 = 108 Resto : 7

1

1

0

3

7

8

13 5

2.- Dividir 108 entre 16 = 6 Resto : 12 = C

6

123.- Dividir 6 entre 16 = 0 Resto : 6

0

6

Para formar el número hexadecimal tomaremos los restos en orden inverso al que han sido obtenidos quedando. 173510 = 6C716

24910 = F916

249 16

15 16

0

9

F

a0

a1

Otro Ejemplo de Conversión Decimal a Hexadecimal

Convertir 24910 a Hexadecimal 16

Conversión de números decimales a binarios, y viceversa.

Para convertir un número expresado en sistema decimal al binario realizamos divisiones por 2 y colocamos los restos obtenidos y el último cociente.

Así, 75(10 = 1001011(2

Para convertir un número expresado en sistema binario al decimal, basta con desarrollar el número.

1001011(2 =

=1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x

20=1 x 64 + 1 x 8 + 1 x 2 + 1=

64 + 8 + 2 + 1=75

El total de números que se pueden representar con n dígitos binarios es 2n, mientras que el número más grande que se puede representar es 2n - 1

3. Sistema de numeración octal. Los números octales sirven para representar ciertos

números binarios de forma abreviada. El sistema octal utiliza ocho dígitos diferentes (0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7) que, dependiendo del lugar que ocupen, tienen un valor determinado por potencias de base 8.

Conversión de números binarios a octales, y viceversa.

Cada dígito de un número octal equivale a tres dígitos en el sistema binario; por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas equivale a “expandir” cada dígito octal a tres binarios o en “contraer” grupos de tres dígitos binarios a su correspondiente dígito octal.

Para convertir un número binario a decimal; hay que tener en

cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de

2, cuyo exponente es 0 en el BIT situado más a la derecha, y se

incrementa de 1 en 1 según vamos avanzando posiciones hacia la

izquierda.

Ejemplo : Convertir el numero 1010011 en Decimal.

1010011= 1¤26 + 0¤25 + 1¤24 + 0¤23 + 0¤22 + 1¤21 + 1¤20

1010011= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1

10100112 = 8310

4. Sistema de numeración hexadecimal. Los números hexadecimales (igual que los octales)

sirven para representar ciertos números binarios de forma abreviada.

El sistema hexadecimal utiliza dieciséis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F); los caracteres A, B,…, F representan las cantidades comprendidas entre 10 y 15. Estos símbolos, dependiendo del lugar que ocupen, tienen un valor determinado por potencias de base 16.

Conversión de números binarios a hexadecimales, y viceversa.

Se realiza “expandiendo” cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios o “contrayendo” cada grupo de cuatro dígitos binarios a su correspondiente dígito hexadecimal.

En el caso de no poder formar grupos de cuatro dígitos (o tres, como en el sistema octal), se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo.

Para convertir un número hexadecimal a decimal; hay que tener

en cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una

potencia de 16, cuyo exponente es 0 en el BIT situado más a la

derecha, y se incrementa de 1 en 1 según vamos avanzando

posiciones hacia la izquierda.

Ejemplo : Convertir el numero 1A3F16 en Decimal.

1A3F= 1¤163 + A ¤162 + 3¤161 + F ¤1601A3F= 1¤4096 + A ¤ 256 + 3 ¤ 16 + F 1A3F= 1¤4096 + 10 ¤ 256 + 3 ¤ 16 + 15 1A3F= 4096 + 2560 + 48 + 15 = 6719