Representacion Espacial de Un Manipulad

8/16/2019 Representacion Espacial de Un Manipulad

1/10

Universidad Politécnica Salesiana, Robótica, Representación Espacial de un Manipulador

Facultad de Ingeniería Eléctrica, Campus Kennedy, Quito - Ecuador

Abstract — Handling work performed by a robot involves

spatial movement of i ts end. Also, for the robot to pick up a

piece, i t i s necessary to know the posit ion and or ientation of

the latter relati ve to the robot base. The need for a set of

mathematical tools to specify the positi on and orientation in

space of par ts, tools and, in general , any object is then seen.

These tools must be powerf ul enough to al low easil y get

spatial relati onships between dif ferent objects and especial ly

between them and the manipul ator. However, we must

emphasize that these are generally applicable for the

treatment of problems of spatial l ocalization and therefore are

not exclusive appli cation in the field of robotics.

I. INTRODUCCION

a manipulación de piezas llevada a cabo por un robotimplica el movimiento espacial de su extremo. Asimismo, paraque el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la

posición y orientación de ésta con respecto a la base del robot.Se aprecia entonces la necesidad de contar con una serie deherramientas matemáticas que permitan especificar la posicióny orientación en el espacio de piezas, herramientas y, engeneral, de cualquier objeto.

Electrical Engineering StudentUniversidad Politécnica Salesiana

Quito-Ecuador

Pablo Achig – Santamaria Andres Artieda – CadenaElectrical Engineering Student Electrical Engineering Student

Universidad Politécnica Salesiana Universidad Politécnica Salesiana

Quito-Ecuador Quito-Ecuador [email protected] [email protected]

Paul Andrade – Montoya Alvaro Iza – MolinaElectrical Engineering Student Electrical Engineering Student

Universidad Politécnica Salesiana Universidad Politécnica SalesianaQuito-Ecuador Quito-Ecuador

[email protected] [email protected]

Geovanny Rivera – Arcos Satiago Yanez – CachacoElectrical Engineering Student Electrical Engineering Student

Universidad Politécnica Salesiana Universidad Politécnica SalesianaQuito-Ecuador Quito-Ecuador

[email protected] [email protected]

Representación Espacial de un Manipulador

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/10



Estas herramientas han de ser lo suficientemente potentes como para permitir obtener de forma sencilla relaciones espacialesentre distintos objetos y en especial entre éstos y elmanipulador. Sin embargo, es necesario resaltar que estas son

de aplicación general para el tratamiento de problemas delocalización espacial y que, por tanto, no son de aplicaciónexclusiva en el campo de la robótica.

Los dos primeros apartados presentan los distintos métodosexistentes para la representación de la posición y orientaciónespacial de un cuerpo rígido. Los conceptos se iránintroduciendo por orden creciente de dificultad, comenzandocon la representación en dos dimensiones, para seguidamente

pasar al análisis en tres. En el siguiente argumento se introduceel concepto de matriz de transformación homogénea. Necesaria

para la presentación conjunta de posición y orientación, juntocon sus propiedades y aplicaciones. Se trata de una herramientamuy útil para representar transformaciones espaciales, estandosu uso ampliamente extendido en diversos campos además delde la robótica, como por ejemplo en el de gráficos porcomputador.

Los denominados cuaternios, al tratarse de una herramienta deuso más restringido, no son analizados con el suficiente detalleen la bibliografía existente. Se trata de un método de graneconomía computacional utilizado incluso por algunos robotscomerciales para la representación de orientación, y por ello seha incluido un apartado dedicado a su estudio.

II. OBJETIVO GENERAL

Conocer los fundamentos de la robótica, estudiandoel modelo dinámico del manipulador robótico comomecanismo rígido.

III. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Analizar la cinemática de los parámetros básicos paradiferentes manipuladores.

1 Universidad Abierta y a Distancia, «datateca.unad.edu.co,» 2014. [En línea].Available:

Analizar los modelos matemáticos dinámicos demanipuladores y preparar su formulación para su

posterior control.

Conocer las técnicas básicas de control de robotsmanipuladores en cada uno de sus articulaciones y ensu conjunto.

IV. DESARROLLO

A. Representación de la posición.

La representación de posiciones, se debe definir sistemas decoordenadas y establecer las convenciones propias para larepresentación respectiva.

Este tema de la representación de la posición se enfoca en el plano y en el espacio es decir en dos y tres dimensionesrespectivamente.“E l primero cuenta con dos grados de libertad, en donde la posición debida a un punto, se definepor dos componentes ind ependientes. Para el caso tridimensional, se requiere usar tre s

componentes.”1

1) Representación de la posición en coordenadascartesianas.En el plano el sistema coordenado OXY de referencia, para elcual el punto a se expresa por las componentes (x,y). A este

punto le corresponde un vector p (x,y). [1]

Figura 1: Dos dimensiones (Coordenadas Cartesianas)

En el espacio el vector p está definido por las respectivascomponentes cartesianas (x,y,z).

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/299012/ROBOTICA%20AVANZADA%20EXE/UNIDAD%201/representacin_de_la_posicin1.html. [Último acceso: 6 11 2015].


3/10



Figura 2: Tres dimensiones (Coordenadas Cartesianas)

2) Representación de la posición en coordenadas polares ycilíndricas.En el plano la localización de un punto, es decir del vector pse tiene que expresarlo de la siguiente manera p (r, ϴ) encoordenadas polares.En donde r es la distancia desde el origen O hasta el extremodel vector p y donde ϴ es el ángulo formado con el vector pcon el eje OX. [1]

Figura 3: Dos dimensiones (Coordenadas Polares)

Mientras que cuando tenemos tres dimensiones el vector p,queda expresado como p (r, ϴ, Z). A esto se lo conoce comocoordenadas cilíndricas. [1]

Figura 4: Tres dimensiones (Coordenadas Cilíndricas)

3)

Representación de la posición en coordenadas esféricas.El vector p posee como coordenadas esféricas (r, ϴ, endonde la componente r es la distancia que va desde el origen Ohasta el extremo del vector p. La componente ϴ es el ánguloformado por la proyección del vector p sobre el plano OXYcon el eje OX y la componente es el ángulo formado por elvector p con el eje OZ. [1]

Figura 5: Tres dimensiones (Coordenadas Esféricas)

B. Representación de la orientación.

Cuando necesitamos definir un punto en el espacio, essuficiente a través de los datos correspondientes a su

posición. Pero, para el caso de un sólido, se precisaadicionalmente contar con su orientación respecto a unsistema de referencia. En el caso de los robots también serequiere indicar su orientación. Esto se puede traducir en tres

componentes linealmente independientes.

Se debe considerar, para realizar el análisis que la posición yorientación del sistema coinciden en el origen.El sistema de coordenadas que está fijo en el espaciotridimensional, se considera que es el sistema de referencia. Elotro sistema de coordenadas está girando con respecto alsistema de referencia.

Físicamente, podemos considerar que este sistema decoordenadas, es un sistema de coordenadas ligado al cuerpo.Es decir, se encuentra permanente y convenientemente unido aun cuerpo rígido, y se mueve junto con él. Un punto p en el

espacio se puede representar por sus coordenadas con respectoa ambos sistemas de coordenadas. Una forma de facilitar elanálisis, consiste en considerar al punto “p” en reposo y fijocon respecto al sistema que representa el giro. De esta manera,el punto p se puede representar por sus coordenadas, conrespecto a ambos sistemas de coordenadas.

Para definir y manipular cantidades matemáticas con lascuales podemos representar la orientación, nosotros debemos


4/10



definir sistemas de coordenadas y establecer las convenciones propias para la representación respectiva.

1) Representación de la orientación: Matrices de Rotación

2D.

El sistema OXY es el de referencia fija, y el sistema OUV esel móvil solidario al objeto. Los vectores unitarios del sistema

OXY son x , x, en tanto que los del sistema OUV son

u, v.

La representación en ambos sistemas del vector p en el plano,se registra de la siguiente manera:

= [, ]

= +

= , = +

Figura 6: Orientación de un sistema OUV respecto a otroOXY en un plano

Podemos encontrar algunas equivalencias, después de realizaruna serie de transformaciones:

= =

Donde R se denomina la matriz de rotación. Esta matriz es laencargada de definir la orientación del sistema OUV respectoal otro sistema OXY, la cual se emplea para trasformar lascoordenadas de un vector expresado en un sistema, en las delotro.Por ser una matriz orto normal, cumple la condición R-1=RT.También se le considera como matriz de cosenos directos.Para el caso de dos dimensiones, la posición relativa al sistemaOUV girado un Angulo sobre el sistema OXY, la matriz Rserá: = 2) Representación de la orientación: Matrices de Rotación3D.

En un espacio tridimensional los vertores unitarios OXYZ ix, jy, kz, mientras que los del sistema OUVW iu, jv, kw. lasrepresentaciones del vector p queda:

= [ , , ] = + + = , , = + +

=

Figura 7: sistema de referencia OXYZ y solidario al objetoOUVW

R como en el caso de 2D representa la matriz de rotación,mediante la cual definimos la orientación del sistema OUVWcon respecto al sistema OXYZ, en este momento cuando el ejeOU coincide con el eje OX, la orientación del sistema OUVWque representado por la matriz:


5/10



(,) = 1 0 00 0 De otra manera también podemos representar la orientacióndel sistema OUVW, cuando el eje OV coincide con el OY.

(, ) = 0 0 1 0 0 Y coincidiendo el eje OW con el eje OZ:

Figura 8: rotación del sistema OUVW con respecto a losejes OY y OZ

(, ) = 0 00 0 1 Ángulos de Euler

Para la representación de orientación en un espaciotridimensional mediante una matriz de rotación es necesariodefinir nueve elementos. Aunque la utilización de lasmatrices de rotación presente múltiples ventajas, como severá en el siguiente argumento, existen otros métodos dedefinición de orientación que hacen únicamente uso de trescomponentes para su descripción. Este es el caso de los

llamados ángulos de Euler. Todo sistema OUVW solidario al cuerpo cuya orientaciónse quiere describir, puede definirse con respecto al sistemaOXYZ mediante tres ángulos: Φ, ө, ⍦, denominadosángulos de Euler. Girando sucesivamente el sistema OXYZsobre unos ejes determinados de un triedo ortonormal losvalores de Φ, ө, ⍦, se obtendrá el sistema OUVW. Esnecesario, por tanto, conocer además de los valores de los

ángulos, cuáles son los ejes sobre los que se realizan losgiros. Existen diversas posibilidades (24 formalmentedefinidas), siendo las tres más usuales las que se muestran acontinuación

Ángulos de Euler ZXZ

Es una de las representaciones más habituales entre las querealizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le sueleasociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se

parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmentecoincidentes, se puede colocar al sistema OUVW encualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

Figura 9: Ángulos de Euler ZXZ

1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto aleje OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’.

2. Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo ө con respecto aleje OU’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3. Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo

⍦ con respecto

al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en elOU’’’V’’’W’’’.

Es importante que estas operaciones se realicen en lasecuencia especificada, pues las operaciones de girosconsecutivos sobre ejes no son conmutativas.

Ángulos de Euler ZYZ


6/10



Es otra de las representaciones más habituales entre las querealizan los giros sobre ejes previamente girados. Sólo sediferencia del anterior en la elección del eje sobre el que serealiza el segundo giro. Si se parte de los sistemas OXYZ y

OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar alsistema OUVW en cualquier orientación siguiendo lossiguientes pasos.

Figura 10: Ángulos de Euler ZXZ

1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto aleje OZ, convirtiéndose así en el OU’V’W’.

2. Girar el sistema OU’V’W’ un ángulo ө con respecto aleje OV’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3. Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ⍦ con respectoal eje OW’’ convirtiéndose finalmente en elOU’’’V’’’W’’’.

Como antes, es preciso considerar que el orden de los girosno es conmutativo.

Representación de la Orientación: Comentarios Adicionales(Representación RPY)

Principalmente intervienen los ángulos RPY (rool-balanceo, pitch-inclinación, yaw-orientación). En náutica corresponde alalabeo, cabeceo y guiñada. Si se parte de los sistemas OXYZ y

OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistemaOUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos:

1 girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OX, Esel denominado YAW o guiñada2 girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OY, esel denominado PITCH o cabeceado3 Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ, esel denominado ROLL o alabeo

AL igual que en los casos anteriores, y en general siempre quese concatenan varios giros seguidos, es necesario considerarque no se trata de una transformación conmutativa, debiéndoseseguir una secuencia determinada de aplicación de los mismos.

Las matrices de rotación pueden ser usadas para describirtransformaciones de una orientación a otra de un cuerpo rígido.Los ángulos RPY consideran rotaciones a los ejes de balanceodescritos anteriormente, estos son términos comunes en elcampo de la aeronáutica [1]

Figura 11: Ángulos RPY

De la misma forma que en Euler, podemos obtener las matricesde rotación para cada ángulo RPY y posteriormente la matrizresultante de la rotación, asumiendo que el sistema dereferencia se encuentra en la posición inicial R=1 [2]


7/10



Los resultados de los ángulos RPY son exactamente los mismosque para los ángulos de Euler. Lo cual lleva a concluir que el

producto de tres rotaciones puede ser representado desde dos puntos de vista distintos. Para que esto sea verdadero se tieneque cumplir restricciones:

1.- Los ejes del sistema de coordenadas deben ser ortogonalesentre si2.- Los ángulos representan tres rotaciones sucesivas, ya seacon respecto al sistema fijo (ángulos Euler) o al sistema móvil

(ángulos rpy)3.- la primera y tercera rotación deben tener un valor de ángulodentro de un rango de 360°, la segunda rotación en un rango de180° [2]

Representación de la Orientación: Par de Rotación

La representación de la orientación de un sistema OUVW conrespecto al sistema de referencia OXYZ también puederealizarse mediante la definición de un vector k (kx, ky, kz) yun ángulo de giro ө, tal que el sistema OUVW corresponde alsistema OXYZ girado un ángulo ө sobre el eje k. el eje k ha de

pasar por el origen O de ambos sistemas. Al par (k, ө) se le

denomina par de rotación y se puede demostrar que es único.[2]

Al igual que los ángulos de Euler, no se trata de un método que permita realizar una visualización sencilla de la orientación,salvo en casos muy concretos en los que el vector k coincidacon algunos de los ejes coordenados del sistema OXYZ. Lautilidad de este sistema se verá en argumentos posteriores. Parala definición de orientación con este método, es necesariodefinir cuatro parámetros distintos: kx, ky, kz y ө. Se puederepresentar como Rot (k, ө). [2]

La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un

ángulo ө alrededor del eje k se realiza a través de la siguienteexpresión:

[2]

V. PROCEDIMIENTO

Matrices de transformación homogénea

Las matrices de transformación son una herramienta muy útil y

muy utilizada para el cálculo de trayectorias y posicionamientode brazos robots industriales.El objetivo principal de las matrices de transformación es sercapaz de calcular la posición de cualquier elemento del brazoen función del sistema de referencia establecido en la base.

Una herramienta indispensable para describir la geometríaespacial de un manipulador es la representación en coordenadashomogéneas. El concepto de una representaciónen coordenadas homogéneas en un espacio euclídeotridimensional es útil para desarrollar transformacionesmatriciales que incluyan rotación, traslación, escalado ytransformación de perspectiva.

En general, una matriz de transformación homogénea es unamatriz que transforma un vector de posición expresado encoordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadashasta otro sistema de coordenadas. Una matriz detransformación homogénea se puede considerar que consiste encuatro submatrices:

= R3X3 P3 3 K = posición La submatriz superior izquierda representa la matriz derotación; la submatriz superior derecha representa el vector de

posición del origen del sistema de coordenadas rotado conrespecto al sistema de referencia; la submatriz inferior izquierdarepresenta la transformación de perspectiva; y el cuartoelemento diagonal es el factor de escala global. En aplicacionesde robótica, este factorde escala será siempre igual a 1.

Para analizar la cinemática del brazo robot se utiliza larepresentación de Denavit-Hartenberg, la cual establece enforma sistemática un sistema de coordenadas para cadaelemento de la cadena articulada. Dicha representación resultaen una matriz de transformación homogénea que representacada uno de los sistemas de coordenadas de los elementos en laarticulación con respecto al sistema de coordenadas delelemento previo, denominada matriz de transformación D-H.Para la aplicación particular, se establece el sistema decoordenadas como se ilustra en la siguiente figura:


8/10



A partir del sistema de coordenadas elegido y las medidas del brazo robot, se hallan los parámetros de la representación deDenavit-Hartenberg (ver Tabla I) para ser reemplazados en lamatriz de transformación D-H en sistemas de coordenadasadyacentes i e i-1, notados en la expresión (1). Estos cuatro

parámetros describen totalmente cualquier articulación prismática o de revolución. Para calcular los parámetros de larepresentación Denavit-Hartenberg se tienen las siguientesconsideraciones:

:Es el ángulo de la articulación del eje − al eje respectodel eje zi−1 (utilizando la regla de la mano derecha). : Es la distancia desde el origen del sistema de coordenadasi−1-ésimo hasta la intersección del eje zi−1 con el eje xi a lolargo del eje zi−1. : Es la distancia de separación desde la intersección del ejezi−1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo a lo largodel eje xi (ó la distancia más corta entre los ejes zi−1 y zi).

: Es el ángulo de separación del eje zi−1 al eje zi respecto del

eje xi (utilizando la regla de la mano derecha).

El robot cuenta con 5 grados de libertad, los 5 son rotacionalesy cada uno tiene sus restricciones de rotación, estasrestricciones y las de velocidad se muestran en la siguientetabla.

Articulación Limite deRotaciónDeg.

VelocidadMáximaDeg./s

q1 -150 a +150 180q2 -60 a +120 90

q3 -110 a +120 135q4 -90 a +90 180q5 -200 a +200 210

Las matrices de transformación homogénea para la cinemáticadirecta son representadas por la letra A, con un subíndice querepresenta el eje de coordenadas inicial y un superíndice querepresenta el eje de coordenadas final. Los términos qi

representan el ángulo en radianes de cada eslabón, partiendodesde la base y hasta el último eslabón y los Li representan lalongitud de cada eslabón, de igual forma desde la base y hastael último eslabón, considerando la herramienta.

La cinemática directa es el resultado de multiplicar todas lasmatrices de transformación homogénea, para tener una matrizque va del eje de coordenadas 0 al eje de coordenadas 6representada como 6 , como muestra la formula.

6 = = 2 23 34 45 56


9/10



Combinación de Rotación + Traslación Rotación + Traslación

Significado Transformaciones Geométrico

VI. CONCLUSIONES

Existen diferentes tipos de representar posiciones y podemos realizar conversiones de una forma a otra.

El modelo y control de robots hace necesarioconsiderar posiciones y orientaciones en el espacio.

Al momento de tomar en cuenta la rotación de un brazo robótico es indispensable tener en cuenta susejes de rotación y cuál será el eje fijo y el eje solidario.

Se debe tener en claro el cálculo matricial para realizarcálculos exactos de tipo de movimiento que realizara.

Como se puede observar la principal ventaja de larepresentación de orientación tanto de RPY como Parde Rotación es que su notación es compacta.

Se puede también apreciar que dichasrepresentaciones sirven para apreciar la orientación

Se observa de la misma manera que en dichasrepresentaciones existe gran dificultad en el manejo

para composición

VII. REFERENCIAS

[1.] REYES F., “ROBÓTICA CO NTROL DE ROBOTSMANIPULADORES”, MARCOMBO, 2011

[2.] REYES F., “MATLAB: APLICADO A ROBÓTICA YMECATRÓNICA”, ALFAOMEGA, 2012.

[3.] BARRIENTOS A., “FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA”, MCGRAW-HILL, 2007


10/10



VIII. BIOGRAFIAS

Pablo Achig, nació en Quito-Ecuador el 14de Noviembre de 1993. Realizó sus estudios

secundarios en el Colegio Técnico “DonBosco”. Estudia en la Universidad PolitécnicaSalesiana en la Facultad de IngenieríaEléctrica en la misma que está cursando el8vo nivel de ingeniería. ( [email protected] )

Andrés Artieda, nació en Quito-Ecuador el 1de Noviembre de 1992. Realizó sus estudiossecundarios en el Colegio Técnico “DonBosco”. Estudia en la Universidad Politécnica

Salesiana en la Facultad de IngenieríaEléctrica en la misma que está cursando el 8vonivel de ingeniería. ( [email protected] )

Paul Andrade, nació en Quito-Ecuador el 12de Noviembre de 1990. Realizó sus estudiossecundarios en el Colegio Técnico “DonBosco”. Estudia en la Universidad PolitécnicaSalesiana en la Facultad de Ingeniería

Eléctrica en la misma que está cursando el 8vonivel de ingeniería. ( [email protected] )

Alvaro Iza, nació en Quito-Ecuador el 21 de Noviembre de 1991. Realizó sus estudiossecundarios en el Colegio Técnico “DonBosco”. Estudia en la UniversidadPolitécnica Salesiana en la Facultad deIngeniería Eléctrica en la misma que estácursando el 8vo nivel de ingeniería.

( [email protected] )

Geovanny Rivera, nació en Quito-Ecuadorel 5 de Noviembre de 1990. Realizó sus

estudios secundarios en el Colegio Técnico“Don Bosco”. Estudia en la UniversidadPolitécnica Salesiana en la Facultad deIngeniería Eléctrica en la misma que estácursando el 7mo nivel de ingeniería. ( [email protected] )

Santiago Yanez, nació en Quito-Ecuadorel 5 de Noviembre de 1990. Realizó susestudios secundarios en el Colegio Técnico“Don Bosco”. Estudia en la Universidad

Politécnica Salesiana en la Facultad deIngeniería Eléctrica en la misma que estácursando el 8vo nivel de ingeniería. ( [email protected] )
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

Representacion Espacial de Un Manipulad

Documents

Transcript of Representacion Espacial de Un Manipulad