6.6. Una mnsula de fibra de vidrio ABCD de seccin transversal circular slida tiene la forma y dimensiones que se ven en la figura. Una carga vertical P = 8 Lb acta en el extremo libre D. Determine el dimetro mnimo dMIN permisible para la mnsula si el esfuerzo permisible de flexin en el material es de 3 500 psi y b = 1.5 pulg. (no considere el peso propio)

6.7. Cada trabe de un puente levadizo (vea la figura) tiene 170 pies de longitud y est simplemente apoyada en sus extremos. La carga de diseo para cada trabe es una carga uniforme de intensidad 1.2 KIb/pie. Las trabes estn fabricadas con placas de acero con mdulo de seccin S = 2800 pulg3. Cul es el esfuerzo deflexin mximo en un trabe?

6.8Dos vigas AB y CD idnticas, simplemente apoyadas, estn colocadas de modo que se cruzan en sus puntos medios (vea la figura). Antes de aplicar la carga uniforme, las vigas apenas se tocan en el punto de cruce. Determine los momentos flexionantes mximos (MAB)mx y (MCD)mx en uniforme si la intensidad de la carga es q= 6.4 kN/m y la longitud de cada viga L= 4 m.

6.9La viga AB en voladizo mostrada enla figura est hecha con un perfil S 6 x 12.5 de acero E = 30 x 106 psi. La viga simple DE es de madera con dimensiones transversales nominales de 4 in X 12 in y mdulo de elasticidad E = 1.5 x 106. Una barra de acero AC de 0.25 in de dimetro, 10 ft de longitud y E = 30 x 106 psi, sirve como colgante para unirlas. El colgante se ajusta exactamente entre las vigas antes de que la carga uniforme se aplique a la viga DE. Determine la fuerza F en el colgante y los momentos flexionantes mximos MAB y MDE en las dos vigas debido a la carga uniforme, que tiene intensidad q= 40 lb/ft. (Sugerencia: como ayuda para obtener el momento flexionante mximo en la viga DE, dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante)

CARGA AXIAL EXCENTRICA

Si adems del momento flector , acta una fuerza axial excntrica cuya lnea de accin pasa por el punto de coordenadas de la seccin transversal; en la distribucin de esfuerzo normal el E. N. no pasa por el origen del sistema de ejes principales.En la fig. (6.19) se esquematiza el sistema de cargas antes indicado.

107

Componentes del momento de la fuerza F con respecto al C. G.

(Mz)F = F YF

Fig. 6.19 Viga con momento flector y carga axial excntrica

Para el clculo del esfuerzo normal , se traslada al C. G. de la seccin y se considera el efecto de los correspondientes pares de transporte y .

La ecuacin (6.14) modificada para la distribucin del esfuerzo normal es ahora:= (Ec. 6.45)La convencin de signos para los momentos y esfuerzos es la misma considerada a lo largo del texto.

En el caso particular que la lnea de accin de coincida con el eje axial de la viga, la distribucin del esfuerzo normal obtenida por la ecuacin (6.41) slo debe adicionar el esfuerzo de compresin (o traccin): F/A; pues PROBLEMA 6.14. Para la viga de seccin hueca mostrada en la figura,a) Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flectorb) Localizar la seccin crticac) Determinar los esfuerzos mximos y mnimos.

SOLUCINLas componentes del momento flector debido a la fuerza de comprensin

Para el trazado de los DFC y DMF analizamos por separado dos planos de carga, x-y y x-z en los que consideramos a los respectivos momentos de F.

Plano x yReacciones:Fy = 0

RAY = 4,196 KNFx = 0RAx = 50 KNMA = 0:

Plano x-zReacciones:

MAY = - 1,5 KN

De los DMF obtenidos se observa que la seccin crtica es la seccin en el extremo del voladizo.

Para esta seccin:La seccin transversal es simtrica, entonces . Determinamos ahora los momentos de inercial e :

rea de la seccin:

La expresin del esfuerzo normal , lo obtenemos reemplazando valores en la ecuacin . (6.45)

Lnea neutra (L. N.): Cuya pendiente es Del grfico de distribucin de esfuerzo normal, tenemos para el esfuerzo mximo de traccin:Xmax = [3,120,1 3,17(-0,12)-0,174]104Xmax = 5,189 MPaY para el esfuerzo mximo de compresin:

ESFUERZOS CORTANTES POR LA FUERZA CORTANTE V

Habiendo realizado el anlisis para obtener la distribucin del esfuerzo normal en la seccin transversal de una viga, procedemos ahora a determinar la distribucin de los esfuerzos cortantes xy que se generan por la accin de la fuerza cortante V.

HIPTESIS: La distribucin de los esfuerzos normales en una seccin cualquiera de la viga, no se afectan por las deformaciones debido a los esfuerzos cortantes.

Figura( 6.20 a): Esquema de los esfuerzos internos en una seccin

H : resultante de las fuerzas horizontales cortantes.dAH: area diferencial de longitud dx y ancho b

Figura (6.20 b)H = xy dAHH = xy (b dx)(6.46)dF1 = x1 dA

Condicin de equilibrio: FX = 0 : H = F2F1Sustituyendo las expresiones obtenidas para H , F1 y F2 (6.47)Pero :

Es el momento esttico del rea de seccion recta que est encima de la distancia y, zona donde se considera el xy :

Si designamos con Q al momento esttico y con V= dM/dX, obtenemos la relacin:

Que nos representa el valor promedio del esfuerzo cortante a lo largo de la lnea de interseccin de la cara inferior del elemento con la seccin transversal.Ntese que si bien es cierto Q es mximo en y =0, no podemos generalizar que xy sea mximo a lo largo del eje neutro, puesto que tambin es funcin del ancho.En cambio, para y=c2 , Q=0;y por lo tanto xy=0 en la fibra externa.

PROBLEMA 6.15 .- Hallar la distribucin de esfuerzo cortante en la seccion a 5 cm del empotramiento.

SOLUCION

Del diagrama de fuerza cortante, tenemos para la seccin a 5 cm. del empotramiento:V= 30000 kgf

Para seccin rectangular: Momento de inercia:

Momento elstico:

Reemplazando en la ecuacin (6.48), tenemos para el esfuerzo cortante:

La grfica de esta ecuacin que nos representa la variacin del esfuerzo cortante xy se muestra en la figura adjunta.

PROBLEMA 6.16 Si el mximo esfuerzo de compresion en la seccion A-A es de 1400 kgf/cm2. Determinar el mximo esfuerzo cortante que se presenta en la misma seccion.

La viga est sometida a flexocompresin. Como la seccin transversal es simtrica y se tiene un solo plano de carga utilizaremos para el esfuerzo normal:

Clculo de reacciones:

Por dato,

Luego,

Trazaremos ahora los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

El momento flector en A: por semejanza de tringulos

El momento de inercia de la seccin circular:

Los valores de la fuerza de comprensin F y el rea A de la seccin son:

Reemplazando los valores obtenidos, en la ecuacin (1):

Ubicacin de la lnea neutra: de donde: de donde: y = 5.28 cm que es la ecuacin de una recta paralela al eje z.Evaluando el esfuerzo de comprensin mximo e igualando al valor dado como dato:

Con este valor de P, en el diagrama de fuerza cortante, tenemos para la seccin A-A:

Recordando la distribucin de esfuerzo cortante para una seccin circular.

Los valores de V e I ya se conocen, el ancho b de la seccin correspondiente al mximo esfuerzo cortante es: Procedamos a evaluar el momento esttico Q:

La fibra que soporta el esfuerzo cortante mximo est en

Luego, Reemplazando valores en (3):

PROBLEMA 6.17. La figura muestra un letrero metlico rgidamente sujeto al poste de madera de seccin rectangular por medio de abrazaderas.- los efectos de la fuerza resultante ejercitada por la presin del viento y del peso de la plancha se trasmiten al poste a travs de las abrazaderas en forma equitativa.

Considerando al poste AB como viga empotrada, se pide:a) b) Trazar los diagramas de Fza. cortante, momento flector y momento torsor.c) Hallar el giro angular del extremo B con respeto a la seccin de empotramiento A.d) El esfuerzo de corte mximo.e) Para la seccin situada a 4m del piso, determinar la posicin de la lnea neutra y mostrar un esquema que defina las zonas de traccin y de comprensin.

Considerar:acero = 7,9 gr/cm3

Emadera = 12,5 GPamadera = 0,25

SOLUCIN

Fuerza del viento:

.

Torque ejercido por el viento en cada abrazadera: T

Segn la figura dato,

Peso de la plancha de acero: W

Representamos los valores de la fuerza del viento y del peso w de la plancha en el DCL del poste.

De la figura deducimos que: La fuerza del viento genera: momento flector My y momento torsor T (con respecto al eje x) El momento flector Mz se produce por accin de la fuerza de 10 KN y del peso W de la plancha.

Para trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, consideramos dos planos de carga*.

* No debe olvidarse que tanto la fuerza del viento como el peso de la plancha se transmiten equitativamente por la abrazadera.Plano x-y. Trasladamos al eje axial del poste, en la ubicacin de las abrazaderas, el peso de la plancha del letrero considerando los respectivos pares de transporte.

Calculo de reacciones:

Plano xz: aqu, trasladamos la mitad de la fuerza del viento en cada abrazadera; y los pares de transporte, en este caso, son momentos torsores. Clculo de reacciones:Fz = 0RAx = Fv = 5,9136 KN

Momentos torsores:

Clculo del ngulo de torsin:

Se sabe que: a y b son las dimensiones de la seccin transversal,

c2 es una constante que obtenemos de tabla (pg. 203) con la relacin

El mdulo de Young por corte: G

Del diagrama de momentos torsores, en el tramo de longitud y en el tramo de longitud

Factorizando y reemplazando valores, tenemos:

Clculo del mximo esfuerzo cortante.

Del diagrama de torques, el mayor torque acta a lo largo de L1.

c1 lo obtenemos de la tabla indicada para la constante c2

Tenemos:

Distribucin de esfuerzo normal en la seccin a 4 m del piso.

(de acuerdo a los datos, no se considera el peso propio del poste).

La ecuacin que nos d la distribuci+on de esf. Normal, para seccin transversal simtrica respecto a los ejes centroidales:

Momento de inercia de la seccin:

De los diagramas de momentos flectores tenemos:

Reemplazando valores en (2)

La lnea neutra: Y = -54,75 z + 1,388

En el esquema siguiente se representa la distribucin de esfuerzo normal.

Se observa que los puntos U y V soportan los mayores esfuerzos de traccin y comprensin respectivamente.Las coordenadas y-z de estos puntos son:U : (75 , 50)V: (075 , - 50)

Esfuerzo de traccin mximo:

Esfuerzo de compremsin mximo

PROBLEMA 6.18 Una parte de una mquina tiene seccin transversal en forma de T y soporta las cargas que se ilustran.- Para la seccin 1-1: (a)- Trazar un diagrama que ejemplifique la distribucin del esfuerzo cortante a travs de la seccin.b) Determinar el esfuerzo cortante en los puntos M y NSOLUCIN

Para el clculo del esfuerzo en 1-1 se necesita el valor de la fuerza cortante V, por lo que primero trazamos los diagramas de fuerza cortante.

Del diagrama de fiuerza cortante:

En la seccin 1-1:v = 120,000 N

Localizacin del eje centroidal

Momento de inercia:

Esfuerzo cortante: ec. (6.48)

Para la seccin sobre el eje :

Tenemos para el esfuerzo cortante:

Para la seccin debajo del eje z :

Ala ancha: dA = 200 dY

Luego, el esfuerzo cortante:

En el tramo con ancho b = 50

Reemplazando valores en la ecuacin del esfuerzo cortante:

La grfica de las diferentes ecuaciones obtenidas se muestra en la figura siguiente:

PROBLEMA 6.19. La viga cantilever tiene seccin transversal circular de pared delgada y soporta la accin de la carga P=5 KN. Determinar en la seccin a x=1 m, para los puntos A, B y C; a) los esfuerzos principales. b) El esfuerzo cortante mximo.

SOLUCINTrasladamos la carga P al plano x-y considerando el respectivo par de transporte. Luego, trazamos los DFC, DMF y DMT.Recordemos las frmulas para los esfuerzos cortantes por torsin y esf. normales y cortantes por flexin:

Procedemos a calcular primero los valores de

Reemplazando valores,

Calculo de Q

dA = 2 (t dy)

Clculo de los esfuerzos principales en los puntos A, B y C de la seccin x = 1 m

- Punto B

El esfuerzo cortante en este punto se debe unicamente el efecto de torsin, pus el esfuerzo cortante por flexin es nulo (Q = 0)

La ecuacin que nos d los esfuerzos principales,

Sustituyendo valores:

El Esfuerzo cortante mximo:

Punto A, el eje z es el E. N. de la seccin: En A tenemos superposicin de esfuerzo: cortante por torsin hacia arriba y cortante por la fuerza cortante V hacia abajo.

. (2)

Reemplazando los valores obtenidos para en (2)

Se trata de un estado de esfuerzos conmocido como cortante puro:

El crculo de Mohr para este estado, nos d

- Punto C: El cortante por torsin y el debido a la fuerza cortante coinciden en la misma direccin (hacia abajo), por lo que se suman: reemplazando valores y efectuando operaciones:

Tambin aqu se presenta un estado de esfuerzo cortante puro .

PROBLEMA 6.20. Un eje ABCD de 6.75 cm de dimetro, apoyado en los cojinetes lisos A y C, est impulsado por un motor cuya potencia es de 3.6 KW situado a la izquierda de A, que lo hace girar a una velocidad de 1,800 rpm. Si cada polea de 40 cm toma igual potencia, determinar: a) La seccin crtica (seccin de mximo momento flector). b) Trazar la distibucin de esf. normales en la seccin crtica. c) Despreciando el esf. cortante debido a la fuerza cortante, hallar los esfuerzos principales en los puntos crticos de la seccin crtica.

SOLUCINEl eje soporta esfuerzo cortante por torsin y esfuerzo normal por flexin. Se sabe que la potencia en watts, la velocidad angular en rad/seg y el torque en N-m; guardan la relacin:

Los torques actuantes en los tramos AB y BD

Esfuerzo cortante por torsin:

La distribucin de esfuerzo normal en una seccin cualquiera obtenemos por la ecuacin:

Cargas sobre el eje

Polea

Polea

Con los valores de las fuerzas en B y D, trazamos los DMF

Reacciones en los apoyos

Observamos los tres diagramas (un DMT y dos DMF), conclumos que la seccin crtica est en la posicin de la polea B Seccin crtica:

Esfuerzo normal

Orientacion del eje neutro

En la figura adjunta se muestra la distribucion de esfuerzos normales en la seccion critica del eje.

B1 y B2 son los puntos criticos.

Esfuerzo cortante lo calculamos por la ecuacin (1) con

Esfuerzos principales:

En el punto

En el punto

Problema 6.21 El eje mostrado est recibiendo 5 HP mediante el engranaje (1) de dientes rectos, y los entrega a dos ejes meidante el engranaje (2) de dientes rectos, a 750 rpm. El material del eje es acero trefilado y recocido con Su = 55 000 psi; con superficie rectificada.

Nota: Los dos engranajes estn montados con ajuste forzado y canal chavetero.a) Trazar los diagramas de momento flector y de momento torsor en el eje.b) Calcular los esfuerzos en la seccin crticac) Trazar un esquema de esfuerzos segn (b).

SOLUCIN

En primer lugar debemos calcular el torque de ingreso al eje y los torques transmitidos a las mquinas A y B. asimismo las fuerzas tangenciales y radiales.5 HP = 3731,34 watts

Los torques actuantes en los tramos AB y BD

Fuerza tangencial y radial en el engranaje 1:T = Ft d/2 siendo Ft la fuerza tangencial; y la fuerza radial:Fr = Ft tan Para el engranaje 1: Ft = (47,5/0.06) = 791,2 N paralelo al eje z en direccin positiva; y la fuerza radial en direccin positiva del eje y : Fr = Ft tan 25

Fr = 368,7 N

Figura 1. Traslado de cargas al eje por el engranaje (1)

En los puntos de contacto del engranaje 2 con los engranajes de salida.Mquina A : para los 3 HP, corresponde un torque de 28,5 N-mFt = (28,5/0.04) = 712,5 N (direccin positiva del eje z)Fr = 712,5 tan 25 = 332 N (direccin negativa del eje y)Mquina B : para los 2 HP, corresponde un torque de 19 N-mFt = (19/0.04) = 475 N (direccin positiva del eje y)Fr = 475 tan 25 = 221,35 N (direccin positiva del eje z)Hacemos un esquema del eje indicando las cargas externas actuantes.

Con los valores de las cargas externas conocidas, para calcular reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores, consideramos el eje como una viga simplemente apoyada cuyos apoyos son tipo articulacin en el exquierdo y tipo rodillo en el externo derecho (para los planos x-y y x-z)

Plano X Y

Clculo de reacciones