Resistencia de Materiales...

Resistencia de MaterialesResistencia de Materiales

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 6 - Columnas

Tema 6

Columnas

Consideraciones iniciales

Tema 6 - Columnas Sección 1 - Consideraciones iniciales

Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable.

Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor de la sección transversal.

Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.______________________________________________________________________________

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Estabilidad de estructuras

Consideremos el montaje que se muestra en la figura. El mismo esta integrado por dos barras de longitud ‘L/2’, apoyadas por articulaciones que le permiten rotar en sus extremos, siendo solidarias entre sí mediante un pasador.



Luego, si se mueve dicho pasador un poco hacia un lado, provocando una pequeña inclinación “” en las barras y luego se aplica una carga axial “P” que mantenga dicha deformación, tenemos que la fuerza perturbadora en la dirección horizontal puede plantearse de la forma::

tan2 PF raperturbado

La fuerza restauradora, que sería en este caso la reacción del resorte, sería:

Como el ángulo “” es muy pequeño, es válida la aproximación ‘tg≈sin≈’. Entonces, si la fuerza restauradora fuese mayor que la perturbadora, tendríamos:

En esta situación, las barras volverían a su posición inicial; a esto se denomina equilibro estable. Si sucediese lo contrario:

De modo que el mecanismo se deformaría hasta una posición de equilibrio entre las fuerzas. A esto se llama equilibrio inestable.




4

LKP r

sin2

L

KF rrarestaurado

4

LKP r

Si ambas fuerzas fuesen iguales, entonces:

La carga axial crítica (“Pcri”) representa el estado del mecanismo con el cual éste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dicha carga las barras del mecanismo no sufrirían nigún desplazamiento, es decir: el mecanismo no se movería.




4

LKP rcri

Carga crítica en columnas articuladas

Tema 6 - Columnas Sección 2 - Carga crítica en columnas articuladas

Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante rótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestra en la figura. Si aplicamos una fuerza horizontal “H” en un punto medio de la viga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “”.



Supondremos que la deflexión “” es lo suficientemente pequeña como para que la proyección de la longitud de la columna sobre un eje vertical sea prácticamente la misma, estando flexada la viga.

Puede observarse que en la sección transversal que sufre la mayor deflexión, el momento flector es:

La fuerza “Pcri” es la carga necesaria para mantener la viga flexada sin empuje lateral alguno. Un incremento de esta carga, implica a su vez un aumento de la deflexión “” y viceversa.


Supongamos ahora que añadimos una carga axial céntrica a compresión “P” y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que disminuimos la carga “H”, de modo que se mantenga constante la deflexión “” constante.



criPM (6.2.1)


Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobre el que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cual se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la forma:



El signo (-) se debe a que la deflexión producida es negativa (según la orientación el eje “y”), y el momento flector es positivo.

Recordemos la ecuación de la elástica para vigas de sección transversal constante:

yPxM cri )( (6.2.2)

IE

xM

dx

yd

)(2

2

(6.2.3)

Luego, sustituyendo “M(x)” de la ecuación 6.2.2 en la ecuación 6.2.3, se obtiene:

La solución general de esta ecuación es:

Podemos obtener los valores de las constantes “C1” y “C2” aplicando las condiciones de frontera. Cuando ‘x=0’ → ‘y=0’, de modo que ‘C2=0’. Al plantear la segunda condición (‘x=L’ → ‘y=0’) queda:




(6.2.4)IE

yP

dx

yd cri

2

2

(6.2.5)

x

IE

PCx

IE

PCy cricri cossin 21

(6.2.6)

L

IE

PC crisin0 1

La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor de “Pcri”, pues debe cumplirse:




(6.2.7)

nLIE

Pcri

Donde ‘n=1,2,3…’ .

En la figura pueden verse distintas formas en que puede pandearse la columna utilizando distintos valores de “n”.

Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’. De modo que la carga crítica queda expresada de la forma:

A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler para columnas articuladas.

2

2

L

IEPcri




(6.2.8)

Relación de esbeltez, esfuerzo crítico

El momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

Donde “A” es el área de la sección transversal y “r” es una propiedad de área denominada radio de giro. Si sutituimos esta ecuación en la expresión 6.2.8, obtenemos:

Donde la proporción “L/r” se conoce como relación de esbeltez de la columna. Mas adelante observaremos cómo este parámetro sirve para clasificar un elemento cargado axialmente a compresión como una columna corta, larga ó intermedia.




2rAI (6.2.9)

2

2

)/( rL

AEPcri

(6.2.10)

Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término “A” a dividir hacia el lado izquierdo, obtenemos:

Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico (“cri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma comienza a pandearse. Obsérvese que los términos variables en esta expresión son la relación de esbeltez (“L/r”) y el esfuerzo crítico en cuestión. De modo que podemos construir una gráfica que nos indique cómo varía dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez en columnas. Como el módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material, tendremos distintas curvas para diferentes materiales.




cricri

rL

E

A

P

2

2

)/((6.2.11)

Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada material existe una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como se señala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse que el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación de esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tiene sentido práctico.




Columnas con variostipos de soporte

Tema 6 - Columnas Sección 3 - Columnas con varios tipos de soporte

En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base para el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula en los mismos. Dependiendo de los apoyos a los que se sujete una columna, dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el desarrollo de las ecuaciones. Con el objeto de compensar esto, se utiliza en la ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), la cual representa la distancia entre dos puntos de la columna en los cuales el momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.______________________________________________________________________________

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LKLe (6.3.1)

De manera que la ecuación del esfuerzo crítico en una columna quedaría planteada de la forma:

Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se ilustran en la figura.

Tema 6 - Columnas Sección 3 – Columnas con varios tipos de soporte



2

2

2

2

)/()/( rLK

E

rL

E

ecri

(6.3.2)

La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga).

Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga.

Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación de la carga.

Tema 6 - Columnas Sección 4 - Columnas sometidas a carga excéntrica



Columnas sometidas a cargaexcéntrica

Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección transversal, como se muestra.

Podemos plantear una expresión para determinar el momento flector en cualquier sección transversal:




)( yePM cri (6.4.1)

Al plantear la ecuación de la elástica de la viga, queda:

La solución general de esta ecuación es:

Al plantear los límites de frontera, se obtiene que cuando ‘x=0’ → ‘y=e’, de modo que ‘C2=e’ . Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:




IE

yeP

IE

xM

dx

yd cri

)()(

2

2

(6.4.2)

exIE

PCx

IE

PCy

cossin 21

(6.4.3)

2tan1

L

IE

PeC (6.4.4)

Finalmente, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:

La deflexión máxima en la viga ocurre cuando ‘x=0,5L. Si introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:

En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’. Sin embargo, si la excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no nulo.




1cossin

2tan x

IE

Px

IE

PL

IE

Pey (6.4.5)

2secmax

L

IE

Pey (6.4.6)

Entonces, como ‘sec(x)→∞’ cuando ‘x→/2’, podemos plantear:

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de carga excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajar con condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva (“Le”) en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.




22

L

IE

Pcri (6.4.7)

(6.4.8)2

2

L

IEPcri

Podemos entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la sección de mayor deflexión de la viga:

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la forma:

A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirve para determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexión como por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse: ‘P≤Pcri’.




I

cL

IE

PeP

A

P

I

cyP

A

P

2sec

)( maxmax (6.4.9)

r

L

AE

P

r

ce

A

P

2sec1

2max (6.4.10)

Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha demostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de la secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear la columna, como muestra el gráfico.

Tema 6 - Columnas Sección 5 - Columnas largas, cortas e intermedias



Columnas largas, cortas e intermedias

De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres grupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en los que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘max ≈ y’.

Columnas Intermedias. Cuando en los elementos cargados comienza a presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentar esfuerzos menores a “y”. La ecuación de Euler no se aproxima satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisión el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna).

Columnas Largas. Referida a aquellos elementos con grandes relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con precisión aceptable el comportamiento de estas columnas.




En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden usarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese que la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con exactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.

Fórmula de Gordon-Rankine:

Aproximación lineal:

Aproximación parabólica:




)/(22 rLk ecri

)/(1 1

1

rLk ecri

233 )/( rLk ecri

Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Euler para el diseño es completamente válido si la columna a tratar es perfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo, en las que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos.

En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de diseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a cabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementos sometidos a cargas axiales de compresión.

A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de diseño para columnas hechas de distintos materiales.

Tema 6 - Columnas Sección 6 - Diseño de columnas sometidas a carga axial céntrica



Diseño de columnas bajo cargaaxial céntrica

Columnas de acero

Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el American Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como especificaciones para la industria de construcción. Para columnas largas, se utiliza la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

para

Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva válido para la relación viene dado por:

Tema 6 - Columnas Sección 6 - Diseño de columnas bajo carga axial céntrica



)/(23

12 2

rKL

Eperm

200

r

LK

r

LK

c

yc

E

r

LK

2

(6.6.1)

(6.6.2)

En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajuste parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:

para




3

3

2

2

)/(

)/(81

)/()/(

83

35

)/(

)/(1

cc

cperm

rKL

rKLrKLrKL

rKL

rKL

cr

LK

r

LK

(6.6.3)

Columnas de aluminio

La Aluminium Association especifica el diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de aluminio (2014-T6) se usa:




ksiperm 28 120

r

LK(6.6.4)para

ksirKLperm )/(23,07,30 5512

r

LK(6.6.5)para

2)/(

54000

rKL

ksiperm

r

LK 55 (6.6.6)para

Columnas de madera

Las Aluminium Association especifica el diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de aluminio (2014-T6) se usa:




ksiperm 20,1 110

d

LK(6.6.7)para

ksidKL

perm

2

0,26

/

3

1120,1 2611

d

LK(6.6.8)para

2)/(

5400

dKL

ksiperm 5026

d

LK(6.6.9)para

Tema 6 - Columnas Sección 7 - Diseño de columnas sometidas a carga axial excéntrica



Diseño de columnas bajo cargaaxial excéntrica

Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna es excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el método del esfuerzo admisible y el método de interacción.

Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan del esfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la ecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:

I

cM

A

P max (6.7.1)




El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:

Y debe cumplirse:

Método de Interacción. Se llama así pues en él se observan cómo interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y por el momento flector ejercidos en la viga.

2

2

)/( rL

Eadm

(6.7.2)

adm max (6.7.3)




En este caso, la condición que debe cumplirse es:

Donde “[adm]axial” y “[adm]flexión” se calculan a partir de códigos de diseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente. Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga axial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico para cada caso. Según el método anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al esfuerzo admisible proporcionado por la ecuación de Euler.

1flexiónadmaxialadm

IcM

AP

(6.7.4)

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