Resistencia de materiales

Resistencia de los materiales La resistencia de materiales es el estudio de las propiedades de los cuerpos sólidos que les permite resistir la acción de las fuerzas externas, el estudio de las fuerzas internas en los cuerpos y de las deformaciones ocasionadas por las fuerzas externas. A diferencia de la Estática, que trata del estudio de las fuerzas que se inducen en las diferentes componentes de un sistema, analizándolo como cuerpo rígido, la Resistencia de Materiales se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de las cargas externas que actúan sobre un sistema deformable. Propiedades mecánicas de los materiales: cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, se presentan fuerzas resistentes en las fibras del cuerpo que llamaremos fuerzas internas. Fuerza interna es la resistencia interior de un cuerpo a una fuerza externa. Cuando usamos el término esfuerza, queremos decir la magnitud de la fuerza por unidad de área. Resistencia: la resistencia de un material es la propiedad que tienen para resistir la acción de las fuerzas. Los tres esfuerzos básicos son los de compresión, tensión y cortante. Por lo tanto, al hablar de la resistencia de un material deberemos conocer el tipo de esfuerzo a que estará sujeto. Por ejemplo, los esfuerzos de tensión y compresión del acero estructural son casi iguales, mientras que el fierro vaciado es más resistente a compresión y relativamente débil en tensión. Rigidez: La propiedad que tiene un material para resistir deformaciones se llama rigidez. Si, por ejemplo, dos bloques de igual tamaño, uno de acero y otro de madera están sujetos a cargas de compresión, el bloque de madera se acortara más que el de acero. La deformación (acortamiento) de la madera es probablemente 30 veces mayor que la del acero, y decimos que éste último es, por lo tanto, más rígido. Elasticidad: es la habilidad de un material para recuperar sus dimensiones originales al retirar el esfuerzo aplicado. Plasticidad: es la capacidad de un material para deformarse bajo la acción de un esfuerzo y retener dicha acción deformación al retirarlo. Ductilidad: es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse. Es una característica muy importante en el diseño estructural, puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas de impacto. Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran deformación. Fragilidad: es lo opuesto de ductilidad. Cuando un material es frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en carga estática sin previo aviso. Límite de proporcionalidad: es el punto de la curva en la gráfica de esfuerzo-deformación, hasta donde la deformación unitaria es proporcional al esfuerzo aplicado. Punto de cedencia: es el punto en donde la deformación del material se produce sin incremento sensible en el esfuerzo. Resistencia última: es el esfuerzo máximo basado en la sección transversal original, que puede resistir un material. Resistencia a la ruptura: es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la fractura del material. Su importancia en el diseño estructural es relativa ya que al pasar el esfuerzo último se produce un fenómeno de inestabilidad. Modulo de elasticidad: es la pendiente de la parte recta del diagrama de esfuerzo deformación y por consiguiente, la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Se denomina con la letra E y su valor para el acero es de 2,100,000 kg./cm2, la madera varía entre 77,300 y 1,237,500 kg./cm2, y del concreto es de 10,000 vf’c, en donde f’c es la resistencia del concreto en kg./cm2. (Articulo enviado por: Raul E. Mercedez M. Pais: España, Email: Prefiere anonimato)

Fuente: http://www.arqhys.com/construccion/materiales-resistencia.html

Definiciones

Entendemos como Resistencia de Materiales la parte de la Mecánica que estudia el comportamiento de los sólidos sometidos a cargas exteriores. La Resistencia de Materiales, más concretamente, estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas, sus efectos en el interior de los sólidos y las deformaciones que en ellos se producen.

La Mecánica se puede dividir en tres partes fundamentales:

Cinemática. Estudia el movimiento sin considerar la masa.

Estática. Estudia los sólidos rígidos en equilibrio estático.

Dinámica. Estudia los sólidos en movimiento relacionando la fuerza que actúa con la masa que se mueve.

Los contenidos refedios a la materia de Resistencia de Materiales se ordenarán según los siguientes temas:

1. Sistema de unidades 2. Esfuerzos 3. Tracción 4. Cortadura/Cizalladura 5. Círculo de Mohr

1. Sistema de unidades

1.1. Introducción

MAGNITUD. Es la propiedad de un cuerpo que se puede medir. Son magnitudes: el tiempo, la tempreratura, el volumen, etc, y no lo son, la simpatía, la bondad o la belleza.

MEDIR. Es comparar una magnitud con otra similar que tomamos como unidad. El resultado de una medida es siempre un número y una unidad, ya que carece de sentido uno sin el otro.

Tipos de medida:

MEDIDA DIRECTA. Si se compara directamente con la unidad adecuada.

MEDIDA DERIVADA. La que surge de la aplicación de una fórmula.

Tipos de magnitudes:

MAGNITUDES FUNDAMENTALES o Básicas. Aquellas que se determinan directamente mediante un proceso de medida. Existen siete magnitudes fundamentales en el sistema internacional: longitud (metro – m), masa (kilogramo – kg), tiempo (segundo – s), intensidad de corriente (amperio – A), temperatura termodinámica (kelvin – K), cantidad de sustancia (mol – mol) e intensidad luminosa (candela – cd).

MAGNITUDES DERIVADAS. Aquellas que se determinan a partir de otras fundamentales. Algunas de las magnitudes derivadas son: superficie (producto de longitudes – m2), volúmen (m3), densidad (proporción entre masa y volumen – ρ= Kg/m3), velocidad (v= l/t), fuerza (Newton – N), presión (pascal – Pa), trabajo (julios – J), potencia (vatios – W), etc.

1.2. Sistema internacional (SI)

El Sistema Internacional de Unidades (SI) es un sistema absoluto. La unidad de fuerza derivada recibe el nombre de Newton y su símbolo es N. Las unidades fundamentales son 7 y aparecen detalladas en el siguiente cuado:

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente amperio A

Temperatura termodinámica kelvin K

Conatidad sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Ampliación de contenidos

Prefijos nominales.

NOMBRE SÍMBOLO FACTOR

Giga G 1.000.000.000 = 109

Mega M 1.000.000 = 106

Kilo k 1.000 = 103

Mili m 0,001 = 10-3

Micro μ 0,000 001 = 10-6

Nano η 0,000 000 001= 10-9

Reglas para el empleo.

Los símbolos se escriben con minúscula a no ser que procedan del nombre de un científico en cuyo caso la primera letra es mayúscula.

Los nombres de las unidades se escriben con minúscula salvo grado Celsius. Utilizar únicamente los prefijos de múltiplos y submúltiplos en periodos de 1000. Se recomienda utilizar mm, m o km, pero no cm. Las unidades con prefijo no deben emplearse en el denominador de las unidades

derivadas. Se recomienda utilizar MN /m2, pero no N/mm2. Seleccionar los prefijos adecuados para obtener cifras con no más de 4 números enteros.

En lugar de 298000 m, se recomienda 298 km.

1.3. Sistema cegesimal (CGS)

El Sistema Cegesimal de Unidades (CGS) es un sistema absoluto. Las unidades fundamentales son el gramo (masa), el centímetro y el segundo. La unidad de fuerza derivada recibe el nombre de dina, y su símbolo es dina.

1.4. Sistema técnico (ST)

El sistema Técnico Métrico (ST) es un sistema gravitacional de unidades. Las unidades fundamentales son el kilogramo fuerza, el metro y el segundo. La unidad de masa derivada recibe el nombre de Unidad Técnica de Masa (UTM).

1.5. Sistema inglés de unidades

El Sistema Inglés de Unidades tiene cuatro unidades fundamentales. Éstas son la libra (masa), el pié, el segundo y la libra (fuerza).

1.6. Principales magnitudes

Velocidad lineal y angular Momento Teorema de Varignon Suma de fuerzas. Regla del paralelogramo

La fuerza tiene un comportamiento vectorial y para calcular la suma de dos fuerzas habrá que hacerlo vectorialmente. Regla del paralelogramo

1.7. Par de fuerzas

En mecánica newtoniana, se denomina momento de fuerza, torque, torca, o par (o sencillamente momento) [respecto a un punto fijado B] a la magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector). Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro punto B viene dado por:

Donde es el vector director que va desde B a A. Por la propia definición del producto

vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano formado por y .

Se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al Joule en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el Joule representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza.

1.8. PRESIÓN (P)

Magnitud que relaciona la fuerza con la superficie sobre la que actúa.

En física y disciplinas afines, la presión es una magnitud física que mide la fuerza por unidad de superficie, y sirve para caracterizar como se aplica una determinada fuerza resultante sobre una superficie.

En el Sistema Internacional de Unidades la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado.

1.9. TRABAJO (W)

En mecánica el trabajo efectuado por una fuerza aplicada sobre un cuerpo durante un cierto desplazamiento se define como la integral del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra

W (del inglés, Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura, normalmente representada con la letra T.

W = F . d

El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es newton por metro y se denomina joule o julio, y es la misma unidad que mide la energía. Por eso se entiende que la energía es la capacidad para realizar un trabajo o que el trabajo provoca una variación de energía.

1.10. POTENCIA (P)

En Física, potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo.

La potencia mecánica es la potencia transmitida mediante la acción de fuerzas físicas de contacto o elementos mecánicos asociados como palancas, engranajes, etc.

2. Esfuerzos

2.1. Introducción

Carga. Es la fuerza exterior que actua sobre un cuerpo.

Consecuencias:

Resistencia. Es cuando la carga actua y produce deformación. Es la capacidad de un cuerpo para resistir una fuerza aun cuando haya deformación.

Rigidez. Es cuando la carga actua y NO produce deformación. Es la capacidad de un cuerpo para resistir una fuerza sin deformarse.

Esfuerzos. Son las fuerzas intersas, debido a las cargas, sometidas a un elemento resistente.

Tipos de carga:

Carga estática. Se aplica gradualmente desde en valor inicial cero hasta su máximo valor.

Carga dinámica. Se aplica a una velocidad determinada. Pueden ser: Carga súbita, cuando el valor máximo se aplica instantaneamente; Carga de choque libre, cuando está producida por la caida de un cuerpo sobre un elemento resistente y Carga de choque forzado, cuando una fuerza obliga a dos masas que han colisionado a seguir deformándose después del choque.

2.2. Clasificación de los esfuerzos

Fuerza. Son esfuerzos que se pueden clasificar debido a las fuerzas. Generan desplazamiento. Dependiendo si están contenidos (o son normales) en el plano que contiene al eje longitudinal tenemos:

Contiene al eje longitudinal:

Tracción. Es un esfuerzo en el sentido del eje. Tiende a alargar las fibras.

Compresión. Es una tracción negatia. Las fibras se acortan.

Normal al plano que contiene el eje longitudinal:

Cortadura. Tiende a cortar las piezas mediante desplazamiento de las secciones afectadas.

Momento. Son esfuerzos que se pueden clasificar debido a los momentos. Generan giros. Dependiendo si están contenidos (o son normales) en el plano que contiene al eje longitudinal tenemos:

Contiene al eje longitudinal:

Flexión. El cuerpo se flexa, alargándose unas fibras y acortándose otras.

Normal al plano que contiene el eje longitudinal:

Torsión. Las cargas tienden a retorcer las piezas.

Otros:

Esfuerzos compuestos. Es cuando una pieza se encuentra sometida simultáneamente a varios esfuerzos simples, superponiéndose sus acciones.

Esfuerzos variables. Son los esfuerzos que varían de valor e incluso de signo. Cuando la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo es 0, el esfuerzo se denomina alternado. Pueden ocasionar rotura por fatiga.

2.3. Ensayo de tracción

A menudo se realizan una serie de pruebas a los materiales (fundamentalmente metales) para ver su comportamiento, a estas prueba se les llama ensayos. A partir de estos, se puede determinar:

Sus características para una posible utilización Los defectos de las piezas ya terminadas.

El ensayo de tracción es el más importante y el más empreado de todos. Se realliza con probetas de dimensiones normalizadas, que se someten a esfuerzos de tracción progresivamente crecientes, en dirección longitudinal, hasta producir su rotura.

El ensayo de tracción permite estudiar el alargamiento de la probeta en función de la fuerza o carga actuante. La forma del diagrama depende del material a ensayar. En la imagen podemos ver un diagrama característico de un material dúctil y maleable, como el acero extrasuave.

Período 1. ALARGAMIENTOS ELÁSTICOS. Los alargamientos son pequeños y proporcioales a los esfuerzos. Cuando el esfuerzo cesa la probeta recupera su estado inicial. ZONA ELÁSTICA.

Período 2. ALARGAMIENTOS PERMANENTES. Los alargamientos son grandes, cuando cesa la fuerza, la deformación permanece. ZONA PLÁSTICA.

Período 3. ALARGAMIENTOS LOCALIZADOS. Cuando la carga llega a cierto valor, el alargamiento se localiza en una zona concreta (hacia el centro de la probeta) llamada ZONA DE ESTRICCIÓN. Finaliza en rotura.

Puntos y conceptos:

1. Límite de elasticidad (E). Es la máxima tensión que se puede producirse sin que haya deformación permanente.

2. Límite de proporcionalidad (P). Es la máxima tensión que se puede producir en la zona donde la tensión es una función lineal. Suele coincidir con el anterior.

3. Límite de fluencia (B), también llamado límite aparente de elasticidad. Es una medida arbitraria tomada por acuerdo internacional. Surge a partir del punto donde se produce una deformación de 0,2%.

4. Carga de rotura (R) o límite de rotura. Es la carga máxima por unidad de sección que resiste el material antes de romperse.

5. Rotura efectiva (U). Punto donde rompe la probeta.6. Alargamiento de rotura. Es el alargamiento que sufre el material antes de romperse.7. Estricción. Es la reducción de la sección que sufre la probeta en la zona de rotura. El

alargamiento y la estricción se usan para ver el grado de ductibilidad de los materiales.

Ampliación de contenidos

2.4. Tipos de esfuerzo (cuadro)

3.1. Tensión

En física e ingeniería, se denomina tensión mecánica al valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material o medio continuo.

Un caso particular es el de tensión uniaxial, que se define en una situación en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un área A. En ese caso la tensión mecánica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega σ (sigma) y viene dada por:

σ=F/ASiendo las unidades [Pa] (pascal = [N/m²]), [MPa] = 106 [Pa] y también [kp/cm²].

3.2. Alargamiento unitario

Alargamiento unitario (ε) es la cantidad que alarga un cuerpo (δ) por unidad de longitud (L).

ε = δ/L (ε no tiene unidades)

3.3. Ley de Hooke

Existen materiales en los que la relacción entre tensión (σ) y alargamiento (ε) es constante. Se dice que estos materiales cumplen la ley de Hooke.

σ1/ε1 = σ2/ε2 = σ3/ε3 = σ/ε = cte = E

La relación entre ambas magnitudes (σ/ε) se llama Módulo de elasticidad (E) o Módulo de Young. E = σ/ε

3.4. Diagramas N, y σ ε

A partir de la barra de forma de la figura, el diagrama de esfuerzos normales tendrá la forma siguiente:

3.5. Alargamiento total para una pieza sometida a una fuerza externa

Para los alargamientos totales debido a la deformación producida por una fuerza externa (despreciando su propio peso), la fórmula a utilizar es:

δ = PL/AE

(siendo δ, el alargamiento total; P, la fuerza que actua; L, la longitud; A, la sección y E, el módulo de elasticidad.)

3.6. Tensión de un elemento suspendido y sometido a su propio peso

Cuando partimos de una barra y queremos hallar la tensión debida a su propio peso, tenemos que fijar primeramente que el peso equivale al volúmen de la barra por el peso específico del material que la compone. Como el volúmen lo podemos descomponer en la multiplicación del área por la longitud, tenemos que:

W = A • L • Pe

Dado que la tensión es σ = P/A y que la fuerza actuante, para este caso es W, podemos poner que σ = W/A. sustituyendo el peso en esta fórmula tenemos que σ = A • L • Pe/A. Quedando que la tensión máxima sería

σ = L • Pe

3.7. Alargamiento de una estructura debido a su propio peso

En el caso del estudio de alargamiento de una estructura debido a su propio peso, la fórmula a utilizar es:

δ = W L / 2AE

3.8. Elemento suspendido y sometido a su propio peso más una carga adicional

En el caso de que contemplemos el elemento sometido a su propio peso al que se aplica una carga adicional, tanto la tensión como el alargamiento será suma de las correspondientes por separado, es decir, contemplando el elemento con una carga adicional y sin peso, sumado al elemento sin carga adicional y con peso, esto es:

Tensión (peso + carga): σ = L Pe

Alargamiento (peso + carga): δ = (W/2 + P) L/AE

3.9. Tensión admisible o tensión de trabajo

La tensión admisible es aquella que asegura las no deformaciones permanentes en los materiales y que por tanto debe ser inferior a la tensión producida por las fuerzas exteriores.

Para que una estructura esté siempre en condiciones elásticas seguras se acostrumbra a escoger la tensión admisible bastante inferior al límite de proporcionalidad.

Dado que es dificil determinar este punto, se toman los puntos de fluencia o de rotura como base para determinar la tensión admisible.

σadm = σFl/n1 y σadm = σR/n2

Donde n1 y n2 son coeficientes de seguridad.

3.10. Tensiónes de origen térmico

Cuando a un sistema se le aplica un incremento de temperatura que hace que se dilate, y hay alguna causa que impide el alargamiento (debido a la dilatación) aparecen unas tensiones denominadas de origen térmico.

El alargamiento para un cuerpo suponiéndole sin rozamiento con el suelo, al que se le aplica un aumento de temperatura, se produce un alargamiento determinado por:

δ = α L ΔT

(siendo ΔT = incremento de temperatura, α = Coeficiente de dilatación y L = Longitud)

La tensión, en cambio, vendrá determinada por la siguiente fórmula:

σ = E α ΔT

3.11. Deformaciones en el estado simple, doble y triple de tensiones.

Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el sistema de referencia.Sobre cada una de las caras existirá un vector tensión total de manera tal que el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse según los ejes de referencia de manera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un estado de tensiones de estas características se dice que es un “estado triple o espacial”.

En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este estado se denomina “doble o plano”.

Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje, el estado se denomina “simple o lineal”.

En realidad, la definición de un estado como simple, doble o triple no solo depende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tenemos un estado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotación del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal.

3.12. Problemas de aplicación.

Problema 3.1. Tenemos una viga de acero AB con 2 mm de diámetro y 0,4 m de largo. Está articulado con la viga CD y diseñado para que la punta D toque el pulsador ¿A qué distancia tiene que estar el peso de 25 Kg para que la punta D toque al pulsador?. E = 200 GPa

Problema 3.2. Con las condiciones que se detallan en el dibujo, determinar el peso máximo que podemos colocar en W para no sobrepasar la tensión máxima del acero, ni del bronce.

Problema 3.3. Un bloque de hormigón de peso W está sujeto por dos vigas de acero y de aluminio tal como se indica en la figura. Calcular la relación de las secciones de las dos vigas para que siga mateniéndose en la misma forma.

Problema 3.4. Sabiendo que las barras de la figura son de acero, calcular el alargamiento o la compresión que se produce en las barras AD y EB.

Problema 3.5. Partiendo de los datos que se presentan, hallar las tensiones producidas en A y B.

Problema 3.6. Determinar la carga que puede resistir una barra de acero de sección circular de 20 mm de diámetro, si trabaja a 800 kg/cm2. Calcular también los alargamientos total y unitario, si la longitud de la barra es de 10 m. E = 2 x 106 Kg/cm2

4. Cortadura / Cizalladura

4.1. Cortadura

La cortadura (cizalladura o tensión cortante) es el esfuerzo que soporta una pieza cuando sobre ella actúan fuerzas contenidas en la propia superficie de actuación. Un ejemplo de esfuerzo de cortadura sería el que soportan los roblones después de colocados.

Generalmente, el esfuerzo de cortadura no se presenta aislado, suele ir acompañado de algún otro esfuerzo. En el caso de los roblones, por ejemplo, están sometidos además de a la tensión de cortadura, a otra tensión de tracción necesaria para mantener unidas dos chapas metálicas.

4.2. Problemas típicos de cortaduras

Problema 4.1. La probeta rectangular de la figura, de sección 2,5 x 5 cm2, se usa para determinar la resistencia a tracción de la madera. Determinar la mínima longitud que debe tener la medida a para que no se produzca un fallo por cortante antes de la rotura a tracción de la probeta, si se sabe que la tensión de rotura a cortante es de 6,5 MN/m2 y que la rotura a tracción de la probeta se ha producido para una carga P = 330 N.

Problema 4.2. La probeta formada por tacos inclinados de 4 cm de espesor de la figura, se usa para determinar la resistencia a cortante-compresión de la madera. Determinar la carga de rotura a cortante del encolado, si se necesita una fuerza vertical de 4.000 Kg para producir la rotura del ensamble.

Problema 4.3. El dispositivo de la figura permite determinar resistencias a cortante de probetas cilíndricas. Calcular la fuerza que hay que aplicar para romper un redondo de acero laminado de 20 mm de diámetro que tiene una resistencia última a cortante de 730 MN/m2.

Problema 4.4. Para determinar la resistencia a cortante de una unión encolada se usa el dispositivo de la figura. Si la carga de rotura es 12.000 N, calcular la tensión cortante media en la unión.

Problema 4.5. Una polea sometida a un momento torsor de 11.000 kp cm está enchaveta toda a un árbol por medio de una chaveta de 1,2 x 1,2 x 7,5 cm. Determinar la tensión cortante a la que está sometida la chaveta.

Problema 4.6. Una polea está enchavetada a un árbol de 6 cm de diámetro por medio de una chaveta de 1 x 1,5 x 7,5 cm. Los empujes T1 y T2, de la correa sobre la polea dan lugar a un momento de giro de 130 Nm. Determinar la tensión cortante a la que está sometida la chaveta.

Problema 4.7. Un perno de acero de 1 cm de diámetro está sometido a una carga de tracción axial de 1000 N, como se representa en la figura. Determinar la tensión cortante media que hay en la cabeza del perno, suponiendo que actúa sobre una superficie cilíndrica del mismo diámetro que el perno.

Problema 4.8. Se utiliza un punzón circular de 2 cm de diámetro para punzonar un agujero en una chapa de 12 mm de espesor. Si la fuerza necesaria para que el punzón atraviese el metal es de 30.000 N, determinar la tensión cortante máxima producida en el material.

5. Círculo de Mohr

5.1. Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.

Sea una barra, sometida a una carga P.Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a las que vamos a llamar σx porque van en la dirección del eje x.

σx = P / A

Si, ahora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua 2-2, de manera que la normal a la sección forme un ángulo φ con el eje de la barra, de donde: σ = σxcos φ

La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta máxima tensión vale σx.

En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σxcos φ.

5.2. Descomposición de en una tensión normal y en otra tangencial o cortante.σ

Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha sección, llamada tensión normal σn y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante .

En figura vemos que:

σn = σ cos φ = σx cos φ

= sen = x sen cos = ( x / 2 ) sen 2

5.3. Efectos que producen la tensión normal y la cortante.

Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

5.4. Convenio de signos de la tensión normal.

La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia de tensiones normales , pero estas tensiones normales también pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos también provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.

La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la existencia de tensiones tangenciales.

5.5. Convenio de signos de la tensión cortante.

La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar por la letra griega tau . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

5.6. Círculo de Morh para la tracción simple.

El circulo de Morh es un circulo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El circulo de Mohr  se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del circulo de morh.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares  son iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.

– El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.