Resistencia de Materiales Tema 4

Resistencia de MaterialesResistencia de Materiales

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones

Tema 4

Estados de Esfuerzos y Deformaciones



Índice de contenido

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesÍndice de contenido

•Sección 1 - Estado general de esfuerzos

•Sección 2 - Transformación de esfuerzos planos

•Sección 3 - Esfuerzos Principales

•Sección 4 - Estado plano de deformación

•Sección 5 - Transformación de deformaciones planas

•Sección 6 - Deformaciones principales

•Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana

•Sección 8 - Círculo de Mohr



Índice de contenido

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesÍndice de contenido

•Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación

•Sección 10 – Rosetas de Deformación

•Sección 11 – Resumen de Ecuaciones

•Sección 12 - Ejercicios

Estado general de esfuerzos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSección 1 - Estado general de esfuerzos

En capítulos anteriores se desarrollaron métodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una sección transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor.



Si consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que éste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes.

En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento esté equilibrado.

En este capítulo enfocaremos nuestra atención en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior.



Tema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSección 1 - Estado general de esfuerzos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 2 - Transformación de esfuerzos

Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal () y uno cortante (xy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo indica la dirección normal al plano de corte.



Transformación de esfuerzos planos

Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen x, y y xy sobre el elemento:



tan dydyP xyxx

dydyP xyyy tan


Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección q, podremos obtener el valor del esfuerzo :

Luego, al desarrollar la expresión nos queda:

Si utilizamos la identidades trigonométricas:

; ;



0cos

sincos

dyPPF yx

cossin2sincos 22 xyyx

2

2cos1cos2

2

2cos1sin 2

2cossin2 sen


Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación respecto a la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo ’=+90º, nos queda:



2sin2cos22

xy

yxyx

)1802sin()1802cos(22'

xy

yxyx


Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple:

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.



0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

ctteyx '


Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano . Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py sobre la dirección ’ (perpendicular a ), tenemos:

Desarrollando la expresión nos queda:

Recordando las identidades trigonométricas:

; ;



0cos

cossin ''

dyPPF yx

22

' cossincos)( xyxyyx sen

2

2cos1cos2

2

2cos1sin 2

2cossin2 sen


Podemos plantear finalmente:

Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación respecto a la dirección x.

Si planteamos la misma expresión para un ángulo ’=+90º, nos queda:



2cos2sin2'

xy

yx

)1802cos()1802sin(2'

xy

yx


Recordando que trigonométrica mente se cumple que:

Si sumamos los esfuerzos cortantes para y ‘ veremos que se cumple:

;

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revés.



0)180cos()cos(

0)180sin()sin(

0'' ''


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 3 - Esfuerzos Principales

En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la seguridad del miembro cargado.

La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable . Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos máximos:

De lo que resulta:



Esfuerzos Principales

2sin2cos

22

xy

yxyx

d

d

d

d

d

d

d

d

2cos22sin2

2

xy

yx

d

d

Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda:

Donde p es la orientación del plano principal. Recordando que la función tan se repite cada 180º, la función tan2 se repetiría cada 90º, por lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos visualizarla también de la forma:

Donde el término -2xy representaría el cateto opuesto de un triángulo rectángulo con ángulo interno 2p, y el término x-y representaría el cateto adyacente.______________________________________________________________________________

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yx

xyp

2

2tan

yx

xy

p

p

2

2cos

2sin


Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y hallar las expresiones para sin2 y cos2.



2

2

2 xyyxH

De la figura puede definirse la hipotenusa de triángulo:

Finalmente, se puede plantear para p1:

;

Para p2 las expresiones serían las mismas, pero con signo contrario.

Hxy

p

12sin

Hyx

p

2

2cos 1


Al introducir estas expresiones en la ecuación de , obtenemos:

Finalmente queda:

Donde p1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales.



2

2

2,1 22 xyyxyx

HHxy

xy

yx

yxyx

2

222,1


Si sustituimos sin(2p1,2) y cos(2p1,2) en la expresión referente a ’, obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.



02

221

HH

yx

xyxyyx

pp


También podemos obtener expresiones para determinar los esfuerzos cortantes máximos en el elemento. Si derivamos la expresión del esfuerzo cortante que depende del ángulo :

Finalmente queda:

De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales, existen dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las expresiones para sin2p y para cos2p.



0)22(2cos22

)('

send

dxy

yx

xy

yx

p

pp

22cos

2sin2tan


Se cumple que:

Por lo tanto:



Al sustituir esta expresión en la expresión de ’, nos queda:

2

2

2 xyyxH

Hxy

2cosH

yx

2

2sin

2

2

max 2 xyyx


Si sustituimos sin(2) y cos(2) en la expresión referente a , obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio (prom).



promyx

2'


Estado plano de deformaciones

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSección 4 - Estado plano de deformaciones

Si consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tenderán a alargar ó acortar el elemento diferencial en la dirección en que actúen, produciendo deformaciones normales unitarias (). El esfuerzo cortante distorsionará el elemento en el plano en que actúe, produciendo una deformación angular ) Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres deformaciones, como se muestra en la figura.



Transformación de deformaciones planas

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 5 - Transformación de deformaciones planas

Ahora enfocaremos nuestra atención en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier dirección en un elemento diferencial deformado.



Consideremos el elemento diferencial cortado en la dirección , como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los términos que resulten muy pequeños:



tan2

dxdx xyxx

dxdx xyyy

2tan


El alargamiento en la dirección x’ viene dado por la proyección de las deformaciones x y y sobre dicha dirección. Y la deformación unitaria normal, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresión, nos queda:



cos

sincos

''

dxyx

dxx

cossin2

sincossin2

cos 22 xyy

xyx


Utilizando las identidades trigonométricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos normales, para esta expresión también se cumple que:

2sin2

2cos22

xyyxyx



2

2cos1cos2

2

2cos1sin 2

2cossin2 sen

' yx


Ahora, proyectaremos las deformaciones x y y sobre una dirección perpendicular a x’. Y la deformación unitaria tangencial, es la razón entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x’ en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresión, nos queda:



cos

)90sin()90cos(

''

' dxyx

dxy

22

' cos2

cossinsin2

sincos xyy

xyx


Utilizando las identidades trigonométricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuación relativa a esfuerzos cortantes, para esta expresión también se cumple que:

Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos.

2cos2

2sin2'

xyyx



2

2cos1cos2

2

2cos1sin 2

2cossin2 sen

''


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 6 - Deformaciones Principales

La ecuación que muestra la variación de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable . Por ello podemos derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de las deformaciones máximas:

De lo que resulta:

Deformaciones Principales

2sin

22cos

22xyyxyx

d

d

d

d

d

d

d

d

2cos2

22sin2

2

xyyx

d

d



Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores máximos y minimos, queda:

Donde p es la orientación del plano principal. Observemos que la solución de esta ecuación es igual que aquella de la ecuación relativa a los esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones:

; ;

Entonces, podemos establecer la expresión para deformaciones principales:



yx

xyp

2tan

yy xx 2xy

xy

22

2,1 222

xyyxyx


Análogamente, la ecuación para determinar las deformaciones tangenciales máximas sería:

De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los planos donde ocurre la deformación unitaria normal máxima, la deformación unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformación unitaria tangencial es máxima, la deformación unitaria normal es prom.



22

max

222

xyyx

2yx

prom


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 7 - Relación entre esfuerzo y deformación plana

Cuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de tracción, sufre una deformación normal positiva (ó estiramiento) en la dirección en que se produce dicho esfuerzo, y una contracción en la dirección perpendicular a la que ocurre el mismo.

Relación entre Esfuerzo y Deformación plana



Si por el contrario, el esfuerzo normal es de compresión, el elemento se acortará en la dirección del mismo y se estirará en la dirección perpendicular.

El alargamiento ó acortamiento que experimenta un elemento diferencial en la dirección perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el módulo de Poisson (). En caso de que el esfuerzo se produzca en la dirección x, la deformación que sufriría el elemento en la dirección perpendicular (y/x) se puede determinar mediante la relación:

El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la dirección y, se podría determinar análogamente la deformación en la dirección x:



Ex

xx

y

Ex

yy

yx


Entonces, la deformación unitario normal resultante en una dirección depende no sólo del esfuerzo normal en la misma dirección, sino también del esfuerzo normal que actúa perpendicularmente al anterior.

Podemos entonces plantear una expresión para la deformación resultante en la dirección x, dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones x e y:

Al desarrollar esto, nos queda:

Análogamente, podemos establecer una expresión para y:



yx

xxx

)(1

yxx E

)(1

xyy E


Las expresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. También podemos expresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en función de las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la dirección x, tendríamos:

Y para el esfuerzo normal en la dirección y:

Note que el esfuerzo normal también depende de las deformaciones que ocurren en su dirección paralela y perpendicular.



)()1( 2 yxx

E

)()1( 2 xyx

E


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 8 - Círculo de Mohr

Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo PlanoObservemos las ecuaciones que describen cómo varían los

esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el que actúen:

Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda:

Círculo de Mohr



2cos2sin2'

xy

yx

2sin2cos22

xy

yxyx

2

2

2'

2

22 xyyxyx

Como la parte izquierda de la ecuación está compuesta de términos constantes, podemos escribirla de la forma:

De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma:

Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo.



2

2

2

2 xyyxR

22'

2 Rprom


Método para graficar el círculo de MohrA continuación describiremos un procedimiento para graficar el

círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos.

Su tomarán la siguiente convenciones:

- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada.

- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte derecha de la abscisa.

- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.

- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las ordenadas.______________________________________________________________________________




Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (x,xy) y (y,yx), que indican los esfuerzos que actúan sobre los planos x e y respectivamente.



Note que en este caso, xy hace girar al elemento en sentido antihorario y yx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convención establecida.

También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (x y y) son de tracción.


2. Trazar una línea que una los puntos (x,xy) y (y,yx) y definir la dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de las abscisas en el valor prom.

3. Con centro en el punto (prom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (x,xy) y (y,yx).




Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr

Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los parámetros x, y y xy, pero a partir de él pueden determinarse de forma rápida precisa:

- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento diferencial.

- Los esfuerzos principales (1 y 2).

- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales (p1 y p2).

- El esfuerzo cortante máximos (max)

- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante máximo.______________________________________________________________________________




Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con dirección , se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un ángulo igual a 2 respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos y ’ en el plano en cuestión.



Es importante acotar que se considerarán positivos los ángulos medidos en sentido antihorario.

Note que para el caso mostrado, el esfuerzo es de tracción (+) y el esfuerzo cortante ’ trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, según las convenciones establecidas.


Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal.



Note que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo.

Observe también que para cualquier círculo de Mohr, el ángulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2=180º, es decir, =90º.


El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas.



Puede observarse que es posible determinar la orientación del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x.

Note que para cualquier círculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos existe siempre un ángulo 2=90º, es decir, =45º.


Círculo de Mohr para Deformación planaObservemos las ecuaciones que describen cómo varían las

deformaciones unitarias normales y tangenciales en función de la dirección del plano en el que actúen:

Observe que las ecuaciones son idénticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:

; ;______________________________________________________________________________



2cos

22sin

22'

xyyx

2sin2

2cos22

xyyxyx

yy xx 2xy

xy


De modo que, de forma análoga al caso de esfuerzos, esta ecuación puede rescribirse de la siguiente manera:

Donde:

Entonces, el círculo de Mohr para deformación plana se trata de la misma forma que el círculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referirá a la variable en vez de , y el eje de las ordenadas se referirá a /2 en vez de , y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente.______________________________________________________________________________



22

'2

2Rprom

22

2

22

xyyxR


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformación

Recipientes de pared delgadaDesignaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos

contenedores de forma cilíndrica o circular en los que se cumpla la relación:

Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del mismo.

Ahora centraremos nuestra atención en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos.

Casos de estado planode esfuerzo y deformación



10t

r

En recipientes de forma cilíndrica sometidos a presión interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene dirección tangencial (T), y el otro tiene dirección longitudinal (L).

En recipientes esféricos sometidos a presión interna, se generan también dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales (T).




Si tomamos una porción longitudinal de un recipiente cilíndrico, observaremos que para que ésta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Donde P es la presión interna del recipiente. Finalmente puede plantearse:



rtrP L 22

t

rPL 2




Al hacer un corte longitudinal en el recipiente cilíndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Finalmente :

LtLrP T

t

rPT


En el caso de recipientes esféricos, para que se mantenga el equilibrio en una porción del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse:

Entonces, puede plantearse:



t

rPT 2

rtrP T 22


Barras sometidas a esfuerzos combinados…




Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 10 - Rosetas de deformación

En algunos casos, es muy difícil determinar analíticamente los esfuerzos a los que está sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que éste sufre, utilizando medidores de deformación por resistencia eléctrica. Al disponer estos en un patrón compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformación plana del elemento utilizando las relaciones:



Rosetas de deformación

bbxybybxb cossinsincos 22

aaxyayaxa cossinsincos 22

ccxycycxc cossinsincos 22

Resumen de ecuaciones



Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:

V: Fuerza Cortante en una sección transversalM: Momento Flector en una sección transversalx: Distancia desde un extremo de la viga

)(0

xqdx

dV

x

VLimx

Vdx

dM

x

MLimx

0

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones



Esfuerzo normal debido a momento flector:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección transversaly: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversalI: Momento de inercia de la sección transversal

I

yM

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Sección 11 - Resumen de ecuaciones

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