UNIVERSIDAD NACIONAL DESAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL EJERCICIOS PROPUESTOS DOCENTE:Ing.Danny Nieto Palomino ALUMNO:Alfred Christhiani Taco Soto.090763-k ASIGNATURA:RESISTENCIA DE MATERIALES 1 Cusco, Setiembre del 2011 PRESENTACION El siguiente trabajo ha sido resuelto y digitalizado para el curso de Resistencia de Materiales por Alfred Christhiani Taco Soto, Las ecuaciones han sido insertadas mediante el programa MATHTYPE 6.0. DEFORMACION EN VIGAS 605. Determinar la deflexin mxima en una viga simplemente apoyada de longitud L con una carga concentrada P en el centro de su claro. 222( ) ( )2 2d y P LEI x P x adx| |= |\ . Integrando (a)221( ) ( )4 2 2dy P P LEI x x C bdx| |= + |\ . integrando (b) 231 2( ) ( )12 6 2P P LEIy x x C x C c| |= + + |\ . Condiciones de Apoyo: x=0 y=0C2=0 x=L y=0( )321 22106 216P P LL L C x CLPLC| | | || |= + + || |\ . \ .\ .= Por Simetra la deflexin mxima ocurre en el centro de la luz: x=L/2 3 32max3max312 2 6 2 2 16 2;4848P L P L L PL LEIyPLy pero yEIPLEIoo| || || | | | | |= || |||\ .\ . \ . \ .\ .| |= = |\ .= 606. Determinar la deflexin mxima en una viga simplemente apoyada, de longitud L, que soporta una carga uniformemente distribuida de w N/m aplicada en toda su longitud. 2222 2d y wL wEI M x xdx| | | |= = ||\ . \ . 2 313 41 22 2 2 32 3 2 12dy wL x w xEI M CdxwL x w xEIy M C x C| | | || | | |= = + ||||\ . \ .\ . \ .| | | || | | |= = + + ||||\ . \ .\ . \ . Condiciones de Apoyo: x=0 y=0C2=0 x=L y=03 413102 6 2 1224wL x w xEIy C LwLC| | | || | | |= + + ||||\ . \ .\ . \ .= Por Simetra la deflexin mxima ocurre en el centro de la luz: x=L/2 3 434max412 3 24 12 24 25;3845384wL L w L wL LEIywLy pero yEIwLEIoo| || || | | || | | |= || || ||\ .\ . \ .\ . \ .\ .| |= = |\ .= 607. Determine el mximo valor de Ely en la mnsula de la figura P-607, cargada como se indica. Considerar el origen de coordenadas en el empotramiento. ( )22( ) ( ) ( )d yEI P x Pa P x a adx = ( )221( ) ( ) ( ) ( )2 2x ady xEI P Pa x P C bdx| | | | | = + | |\ .\ . Condiciones de Apoyo [la viga esta empotrada] x=0 y=0C1=0 dy/dx = 0 ( )33 22( )6 6 6P Pa PEIy x x x a C| | | | | |= + |||\ . \ . \ . [x=0 y=0] C2 = 0 La deflexin mxima ocurre en el extremo libre de la mnsula: x=L 332max( )6 6 6PL Pa PEIy L L a| || | | |= |||\ . \ .\ . 608. Obtener la ecuacin de la elstica de la mnsula de la figura P-608 sometida a una carga triangular que vara desde cero en el empotramiento hasta w N/m en el extremo libre. De la condicin de equilibrio: de momentos, a partir de la cual se calcula las ecuaciones de deflexin y pendiente. EI dy/dx = M = (WL/2)X (WL/3) (W/6L)X EI dy/dx = (WL/2)(X/2) (WL/3)(X) (W/6L) (X/4) +C1 De la condicin del problema en el empotradody/dx = 0 por lo tanto C1 = 0 EI Y = (WL/2) (X/6) (WL/3)(X/2) (W/6L) (X5/20) +C2 Cuando x= 0 tambin se cumple que y= 0 entonces C2= 0 EI Y = (WL/12)X - (WL/6)X - (W/120L)X5 De donde se obtiene: Y=w/20EI(LX/2 - LX +X5/20L) 609. Determinar el valor de E I bajo cada carga concentrada de la figura. 1m1m2m R1R2 400N300N SOLUCION: 1m1m2m R1 R2 Calculando la deflexindebajo de la carga de 400N (x=1m) EI 1 = (400)(3)(1)/(6)(4) (4-1-3) = 300Nm EI 2 = (300)(2)(1)/(6)(4) (4-1-2) = 275Nm Elaborando los diagramas de momentos por partes entre A Y O. 900N.m M=1500N.m A0V=0 1mp2m 1500N.m 900N.m (+)(+) 0 1mp2mAp (-) -600N.m Como EI tA/O = (area) AO .XA EI t A/O = (1)(900/2)(2/3)(1) +(2)(1500)(1+1) (2)(600)/4(1+2/5) EI t A/0 =5880N.m Pero :t A/o = 2EI(2) =5880N.m EI = 2940Nm 610. La viga apoyada de la figura P-610soporta una carga uniforme w simtricamente distribuida en una porcin de su longitud. Determinar la deflexin mxima y confrontar el resultado, poniendo a=0, con la solucin del problema 606. ( ) ( )2 22( ) (1)2 2x a bx aM wb x w w= +Calculamos la ec. De pendiente y deflexin a partir de (1): ( ) ( )( ) ( )223 3214 431 22( )2 2 3 2 326 24 24d yEI Mdxx a x a bdy x w wEI wb Cdxwb w wEIy x x a x a b C x C= | | | |= + + ||\ . \ .| | | | | |= + + + |||\ . \ . \ . Condiciones de apoyo: x=0 L=0 C2=0 Condiciones de apoyo: x=L, y=0 ( ) ( )4 4313 2 2 2310 26 24 243 36 8 4 2 8wb w wL L a L a b C Lw L L a La wbLC a| | | | | |= + + |||\ . \ . \ . ( | || |= + (||\ .\ . La deflexin mxima sucede cuando x=L/2 debido a la simetra de la viga. 3 4max 16 2 24 2 2wb L w L LELy a C| || | | || | | |= + | || ||\ .\ . \ .\ . \ . De donde: 43 4 3max43 4 33; , :24 163(2)24 16w LELy L a a bL como y entoncesw LL a a bLEIoo (| |= = (|\ . (| |= (|\ . Si a=0, entonces 2b = L, b=1/2 Reemplazamos en (2): 45384wLo = 611. Calcular el valor de EI ene l centro del claro en la viga representada en la figura P-611. Si E=10GN/m2, determinar el valor de I necesario para que la deflexin en el centro no sobrepase 1/360 del calor, indicacin. Considerar el origen de x en el apoyo derecho siendo x positiva hacia la izquierda. Considerando el sistema coordenado mostrado en la figura, tenemos que: ( )( )222321431 2150 150( 2)2150 1502 32525 22d yEI x xdxxdy xEI CdxEIy x x C x C= = += + + Condiciones de apoyo: X=0, y=0; de donde C2 = 0 X=4, y=0 121250 1600 (16) (4)2350CC Nm= += Luego: ( )432525 2 3502EIy x x x = +Del problema: ( )243(2)(2) (2)1 110 / , (4)2 360 902525 2 2 2 (350)(2) 5002500, 500LE GNm mELy xELy entonces EIoo| | | |= = = ||\ . \ .= = = = Entonces: ( )10 4106 4500 50045000 10110904.5 10I X mEI x mmo= = =| | |\ .= 612. Calcular el valor de EI oen el centro de la viga cargada como se indica en la figura. A partir de la ecuacin de momentos general calculamos la ecuacin de la pendiente y deflexin. 22 2223 3134 41 2225 150( 1,5) 150( 3,5)225 150 150( 1,5) ( 3,5)2 3 3225 150 150( 1,5) ( 3,5)6 12 12d yEI x x xdxdy xEI x x CdxxEIy x x C x C= + = + += + + + De las condiciones de apoyo: X=0, y=0; por lo tanto C2=0 X=4, y=0; de donde: 34 4121225(4 ) 150 1500 (4 1,5) (4 3,5) 46 12 12468,13CC Nm= + += Por lo tanto: 34 4225 150 150( 1,5) ( 3,5) 478,136 12 12xEIy x x x = + En el centro de luz, x=2m: 34(2)3(2)3225(2 ) 150(0, 5) 478,13(2)6 12657, 04657, 04EIyEIy NmNm o= = = METODO DEL AREA DE MOMENTOS: Calcular en cada una de las vigas de los problemas 624 a 629 el momento del area del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre los apoyos respecto de cada uno de estos. 624. Viga cargada como indica la figura P-624. Aplicando equilibrio en la viga 32(4) (900)(2) 6002 600 R N= += Equilibrio de fuerzas verticales R1=300 Elaborando los diagramas de momentos por partes: Tomando momentos respecto de A. (area) AB: 3(4)(1200) 2 (1800)(2) 2 1(4) 2 (2) (600) 32 3 2 3 2: ( ) 2500AAABxdedonde area x Nm| | | | | | | |= + + + ||||\ . \ . \ . \ .= 625. Viga cargada como indica la figura P-625, trazar el diagrama de momentos por partes, de derecha a izquierda. 626. Viga cargada como indica la figura P-626. 627. Viga cargada como indica la figura P-627, indicacin. Descomponer la carga trapezoidal en una uniforme y otra uniformemente variada. 628. Viga cargada con una carga uniformemente variada y un par, como indica la figura P-628. 629. Resolver el problema 628 si el sentido del par es contrario al del reloj. 630. En la viga de la figura P-630 calcular el valor de area (AD)xA, y de acuerdo con el resultado obtenido determinar si la tangente a la elstica en el punto B es ascendente o descendente hacia la derecha, indicacin. Tener en cuenta la ecuacin (6-5) y la figura 6-10. 632. En la viga de la figura P-632, calcular el valor de area (AB)xA. De acuerdo con el resultado obtenido, determinar i la tangente a la elstica en el punto B se dirige hacia arriba o hacia abajo, de izquiera a derecha, indicacin: Tener en cuenta la ecuacin (6-5) y la figura 6-10. ESFUERZOS COMBINADOS REGLAS PARA LA APLICACIN DEL CRCULO DE MOHR A LOS ESFUERZOS COMBINADOS 925. Dos piezas de madera de 50 x 100 mm de seccin estn ensambladas a lo largo de la junta AB como se indica en la figura P-925. Calcular los esfuerzos normal y cortante sobre la superficie de ensamble si P=100 KN. El Area de la seccin recta es: A= (0.05)(0.1)m2 = 5 x 10-3m2 Del diagrama En el corte AB: Donde: R=Psen(60); V=Pcos(60) Adems AB: area de la seccin oblicua; luego: (60)AABsen= Para los esfuerzos tenemos: (60) ( )(60)cos(60) ( )NR Psen AAB Av psen BAB Aot= == = Como de los datos P=100KN: en (A) y (B): 23 2100 35 10 2155 3NNkNx mMPaMPaoot | |= | |\ .==