RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. · 6 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica En...

RESOLUCIÓN DE

ECUACIONES

INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas más frecuentes en el trabajo científico y técnico es hallar raíces de

ecuaciones de la forma

donde está dada explícitamente (por ejemplo, un polinomio en x).

En algunos casos es posible obtener las raíces exactas de la ecuación (una ecuación de 2º

grado, una bicuadrada,...), pero en la mayoría esto resulta imposible. Además, incluso en

casos resolubles no nos va a interesar tanto la respuesta "exacta" como la PRECISIÓN con

la que podamos calcular las raíces. Por ejemplo: supongamos que tenemos que construir

una barra cuya longitud l verifique la ecuación ⟹ . Luego, la barra

habrá de medir . Es claro que esta respuesta no puede usarse para fines prácticos

por ser un número irracional (y por lo tanto con infinitos decimales). A la hora de

trabajar con representamos este número en el sistema decimal de cálculo tomando el

número de decimales que nuestra precisión exija. Además, la mayoría de las veces también

los coeficientes han sido obtenidos a partir de medidas experimentales, luego sujetos a

error.

Luego, nos interesa encontrar métodos para calcular las raíces de una ecuación con el

grado necesario de precisión.

Recordemos algunas definiciones.

2 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica

Definición: Sea una función. Llamamos ECUACIÓN a cualquier expresión

del tipo .

Si es una función polinómica, a le denominamos

ECUACIÓN ALGEBRAICA O POLINÓMICA. En cualquier otro caso, se

denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE.

Llamamos RAÍZ de la ecuación o CERO de la función a

cualquier número r que la verifique, es decir, que cumpla que

.

Las raíces de una función son los

puntos donde la gráfica de ésta

corta al eje de abscisas.

La función de la gráfica tiene tres

raíces: r1, r2 y r3

En principio una raíz también puede ser un número complejo; nosotros sólo estamos

interesados en la búsqueda de las raíces reales de una ecuación.

Pasos para la resolución de una ecuación

En general, la búsqueda de las raíces reales de un polinomio va a constar de tres pasos:

ACOTACIÓN

SEPARACIÓN

APROXIMACIÓN

Acotar consiste en encontrar dos números reales, a y b, de manera que tengamos

garantizado que fuera del intervalo [a, b] no se encuentra ninguna raíz real de la

ecuación.

y

r3r2r1

y f x ( )

Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica 3

Separar consiste en dividir el intervalo [a, b] en otros más estrechos de forma que

en cada uno de ellos o haya una única raíz o no haya ninguna.

Y, finalmente podemos pasar a aproximar cada una de las raíces con tanta

precisión como deseemos.

Vamos a dividir nuestro estudio en ecuaciones algebraicas y trascendentes ya que la forma

de trabajar con ellas es, a veces, bastante diferente, aunque encontraremos métodos

comunes para ambos tipos de ecuaciones.

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica.

Algunos de los resultados que veremos en este apartado son válidos para cualquier tipo de

ecuaciones algebraicas, ya tengan los coeficientes reales o complejos. Como nuestro

estudio de resolución de ecuaciones se va a limitar a polinomios con coeficientes reales,

siempre supondremos que los polinomios con los que trabajamos son polinomios con este

tipo de coeficientes; es decir, salvo que se especifique otra cosa, en adelante será un

polinomio general de grado n con coeficientes reales:

en donde los coeficientes son todos números reales.

Lema: Sea r un número complejo. Entonces:

r es una raíz del polinomio P(x)


⇕

P(x) es divisible por el factor ( x r ), es decir el polinomio P se

puede escribir como en donde es un

polinomio un grado menor que P(x).

Demostración: Dividiendo el polinomio P(x) entre (x r ) obtenemos:

P(x)= (x r ) Q(x) + R(x)

Como el grado del divisor siempre es estrictamente mayor que el del resto se tiene que

1 = grado (x r) grado R(x) y, por lo tanto, ha de ser grado R(x) = 0, es decir, R(x) = R

es una constante. La descomposición del polinomio P queda como:

P(x)= (x r ) Q(x) + R

Entonces:

r es raíz de P(x) P(r) = 0 (r r ) Q(r) + R = 0 R = 0

P(x) = (x r ) Q(x) P(x) es divisible por ( x r ).

Teorema Fundamental del Álgebra (T.F.A.)

Toda ecuación algebraica tiene al menos una raíz (1).

Consecuencia inmediata de los dos resultados anteriores es la factorización de un

polinomio en función de sus raíces, descomposición que nos es de gran utilidad y que,

desgraciadamente, no es posible encontrar en otro tipo de ecuaciones.

Así pues, sea P(x) un polinomio de grado n. Por el T.F.A., existe raíz de P(x) tal que:

con

Si , aplicando el T.F.A. a tenemos que existe raíz de tal que:

1 Dicha raíz puede ser real o compleja.


con

y, en consecuencia,

Actuando así sucesivamente llegaremos a que

donde , es decir, , una constante, y por lo tanto:

En definitiva, tenemos que si P(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales

entonces P(x) tiene exactamente n raíces. Las n raíces pueden ser tanto imaginarias

como reales. Esta conclusión también es válida cuando los coeficientes del polinomio son

números complejos.

Ejercicio 1: Encontrar la factorización del polinomio:

¿Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición?

Ejercicio 2: Encontrar la factorización del polinomio:

¿Qué tipo de coeficientes tienen los factores de la descomposición?

Otro hecho importante a tener en cuenta es el siguiente:

Sea P (x) un polinomio con coeficientes reales.

Si el número complejo es raíz de P (x), entonces su conjugado

también es raíz de P (x).


En consecuencia, el número de raíces complejas de un polinomio con

coeficientes reales es siempre par.

Ejercicio 3: Sea P(x) un polinomio de grado 5 con coeficientes reales. ¿Cuántas raíces

reales y cuántas complejas puede tener P? Da una lista con todos los casos

posibles. ¿Y si el polinomio fuera de grado 6?

Volvamos a la factorización: Las n raíces encontradas no tienen por qué ser todas distintas.

Agrupando los factores que corresponden a la misma raíz, la factorización queda como:

pm

pmm rxrxrxkxP )()()()( ...21

21

en donde , , … , son todos distintos y .

Definición: Al número mi se le denomina MULTIPLICIDAD de la raíz ri . Si mi = 1

se dice que ri es una raíz SIMPLE. Si mi 2, a ri se le denomina raíz

MÚLTIPLE.

Ejercicio 4: (a) Sea r una raíz de multiplicidad 5 del polinomio . Entonces, el

polinomio se puede escribir como en

donde . Además, el polinomio Q no se anula

en r, es decir, .

Demuestra que r también es raíz del polinomio . ¿Cuál es su

orden de multiplicad?

(b) Si r una raíz simple del polinomio , el polinomio se puede

escribir como con .

Además, el polinomio Q no se anula en r, es decir, .

¿Es r raíz de ?


Se puede demostrar que:

Si r es raíz de multiplicidad m de P (x)

⇓ r es raíz de multiplicidad m 1 de P’(x)

⇓ r es raíz de multiplicidad m 2 de

⇓ ...................................................................................

⇓ r es raíz de multiplicidad 1 de

⇓ r no es raíz de

Las condiciones anteriores nos ayudarán a esbozar la gráfica de un polinomio en torno a

sus raíces según cuál sea la multiplicidad de éstas.

Ejercicio 5: (a) Si r es una raíz de multiplicidad 2 del polinomio , ¿qué puedes

decir de la gráfica del polinomio P alrededor de ?

(b) Si r es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio , ¿qué puedes

decir de la gráfica del polinomio P alrededor de ?

(c) Demuestra que el polinomio tiene una raíz

simple en . ¿Tiene un punto de inflexión en dicho valor?

(d) Demuestra que el polinomio tiene una raíz

simple en . ¿Tiene un punto de inflexión en dicho valor?

(e) Sea r una raíz simple del polinomio . ¿Puede tener P un extremo

relativo en ?

En general, las raíces de multiplicidad par se comportan de la misma forma que las raíces

de multiplicidad 2 y las raíces de multiplicidad impar ( ) lo hacen igual que las de

multiplicidad 3.


Significado geométrico de la multiplicidad de una raíz

Raíces de multiplicidad par Raíces de multiplicidad impar

El polinomio tiene tangente horizontal en r

El polinomio presenta un extremo relativo en r

El polinomio no cambia de signo al pasar por r

El polinomio tiene tangente horizontal en r

El polinomio presenta un punto de inflexión en r

El polinomio cambia de signo al pasar por r

Raíces simples

El polinomio no tiene tangente horizontal en r

El polinomio cambia de signo al pasar por r

El polinomio puede presentar o no un punto de inflexión en r

Algoritmo de Euclides

Algunos de los métodos de resolución de ecuaciones que veremos más adelante necesitan

trabajar obligatoriamente con polinomios que tengan únicamente raíces simples. Por otra

parte, raíces múltiples de un polinomio elevan el grado del polinomio, lo cual puede

dificultar la búsqueda de las raíces. Podríamos preguntarnos:

Dado un polinomio, ¿cómo podemos encontrar otro que tenga las mismas

raíces pero todas simples?

El algoritmo de Euclides, que vamos a desarrollar en este apartado, contesta a la anterior

pregunta.

x

x

xx

xx


Una consecuencia de la caracterización de las raíces múltiples es la siguiente: Puesto que

las raíces múltiples de P(x) son raíces de un grado menos de multiplicidad de P '(x), se

tiene que:

Las raíces comunes de un polinomio P(x) y de su derivada P '(x)

son las raíces múltiples de P(x).

Así, podemos descomponer P(x) como:

)()()()()( xQrxrxrxxP pm

pmm

121 ...21

en donde mi 2. En el polinomio se han agrupado todas las raíces simples de P x( ) .

Entonces, el polinomio P '(x) admitirá una factorización:

)()()()()( xQrxrxrxxP pm

pmm

2

112

11 ...' 21

Los polinomios y no pueden tener raíces en común, pues de tenerlas serían

raíces simples de P x( ) y éstas, según hemos visto, no pueden ser raíces de la derivada.

Llegamos así a que el máximo común divisor de los polinomios (2) P(x) y P '(x) es

112

11 ...',.d.c.m 21

pm

pmm rxrxrxxPxP )()()()()(

Luego si definimos el polinomio Q(x) como

)()()()(

)()(

)()( xQrxrxrx

xPxP

xPxQ p 121 ...

',.d.c.m

se tiene que Q(x) es un polinomio con las mismas raíces que P(x) pero todas simples.

Ejercicio 6: (a) Dado el polinomio

2 Se define el máximo común divisor de dos polinomios como el polinomio de mayor grado que divide a ambos

polinomios a la vez. Es, por lo tanto, el polinomio formado por las raíces comunes a ambos con el menor grado de

multiplicidad.

El papel que juegan los números primos en la factorización de números enteros, lo desempeñan ahora los factores

lineales del tipo ( x r ).


encontrar el polinomio Q(x) que tiene las mismas raíces que P pero

todas simples.

(b) Dados los polinomios

hallar el )()( xPxP 21 ,.d.c.m .

Conociendo las raíces de los polinomios, encontrar el m.c.d. es muy simple. Veamos ahora

cómo hacerlo cuando no conocemos estas raíces.

Algoritmo de Euclides (3): m.c.d. de dos polinomios

Sean y dos polinomios con . Formemos la

siguiente sucesión de polinomios:

Dividiendo entre :

en donde

Dividiendo entre :

en donde

Y, en general, dividiendo entre :

en donde

Como la sucesión de los grados de los restos es decreciente se tiene que llegar a una

división en la que , es decir, es una constante.

Entonces, se verifica que:

3 El mismo método se puede utilizar para calcular el m.c.d. de dos números enteros.


Si ⟹ y no tienen raíces en común

Si ⟹

Ejemplo 1: Calcula el m.c.d. de los polinomios:

P x x x x x x

Q x x x x

( )

( )

5 4 3 2

4 2

9 14 8

10 15 6

Dividiendo ambos polinomios:

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

5 4 3 2 4 2

5 3 2

4 3 2

4 2

3 2

9 14 8 10 15 6

10 15 6 1

14 20 8

10 15 6

4 5 2

Ahora dividimos el divisor entre el resto obtenido:

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

4 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

10 15 6 4 5 2

4 5 2 4

4 15 17 6

4 16 20 8

3 2

Tomamos el nuevo el divisor y le dividimos entre el último resto obtenido:

x x x x x

x x x x

x x

x x

3 2 2

3 2

2

2

4 5 2 3 2

3 2 1

3 2

3 2

0

Como el resto es una constante hemos terminado. Además, como es igual a 0 los dos

polinomios tienen raíces comunes, siendo el máximo común divisor de ambos polinomios

el polinomio que hace de divisor en la última división, es decir,


23,.d.c.m 2 xxxQxP )()(

Nota: Al final de estos apuntes se puede encontrar un apéndice con comandos útiles para

la división de polinomios con wxMaxima

Ejercicio 7: (a) Calcula el máximo común divisor de los polinomios del ejercicio

anterior empleando wxMaxima.

(b) Dado el polinomio

encuentra, utilizando wxMaxima, el polinomio Q(x) que tiene las

mismas raíces que pero todas simples.

Según hemos dicho, el algoritmo de Euclides se puede emplear también para calcular el

máximo común divisor de dos números enteros. Se procedería a realizar divisiones

sucesivas hasta alcanzar una en la que el resto sea igual a 0. El máximo común divisor de

ambos números es el último resto no nulo.

Ejemplo 2: Calcula el m.c.d. de 130 266 y 42 930.

Dividimos 130 266 entre 42 930:

130 266 = 42 930 × 3 + 1476

Continuamos realizando divisiones sucesivas (en las que el dividendo es el divisor de la

división anterior y el divisor el resto de la anterior división) hasta llegar a una división en

la que el resto sea igual a 0:

42 930 = 1476 × 29 + 126

1 476 = 126 × 11 + 90

126 = 90 × 1 + 36

90 = 36 × 2 + 18

36 = 18 × 2 + 0

Llegamos a que el anteúltimo resto no nulo es 18. Por lo tanto:


m.c.d.(130 266, 42 930) = 18

(Comprobación: 130 266 = 2 × 32 × 7 237, 42 930 = 2 × 34 × 5 × 53)

Ejercicio 8: (a) Calcula el máximo común divisor de los números del ejercicio

anterior empleando wxMaxima.

(b) Calcula el máximo común divisor de 771 309 y 702 260.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

En este apartado vamos a tratar de encontrar las raíces reales de polinomios con

coeficientes reales.

Antes de comenzar con la búsqueda efectiva de los ceros de un polinomio, hagamos

algunas consideraciones que pueden ser útiles a la hora de buscar las raíces de una

ecuación algebraica.

Definición: Se dice que dos ecuaciones algebraicas son EQUIVALENTES cuando

tienen las mismas raíces y con los mismos grados de multiplicidad.

Se verifica que dos ecuaciones algebraicas son equivalentes si y sólo

si sus respectivos coeficientes son proporcionales

Por ejemplo, las ecuaciones

son equivalentes, es decir, tienen exactamente las mismas raíces y con los mismos grados

de multiplicidad.

14 Resolución de ecuaciones algebraicas

Sin embargo, a pesar de que las ecuaciones sean equivalentes, “los polinomios que las

producen” no tienen por qué ser iguales. En nuestro caso estos polinomios serían

Ejercicio 9: Dibuja y compara las gráficas de los polinomios , y ¿Qué

significa gráficamente que las ecuaciones

sean equivalentes?

Dado el polinomio P(x), definimos el nuevo polinomio Q(x) como:

Q(x) = P( x)

¿Qué relación hay entre las raíces de ambos polinomios? Es muy fácil demostrar que:

Si r es una raíz de Q(x) ⟹ r es raíz de P(x)

Si s es una raíz de P(x) ⟹ s es raíz de Q(x)

Por lo tanto, dada una raíz positiva r de Q(x), r es raíz negativa de P(x) y viceversa. Este

hecho lo utilizaremos en algunas ocasiones.

Veamos otra regla que nos puede ayudar a encontrar la repartición de las raíces.

Definición: Dada una sucesión de números reales , , … , diremos que dos

términos consecutivos y presentan una VARIACIÓN si tienen

signos opuestos.

Dada una sucesión de números reales, es fácil calcular el número de variaciones que

presenta. Por ejemplo, la sucesión

{ 5, 7, 2, 0, 1, 3, 4}

tiene 3 variaciones.

Resolución de ecuaciones algebraicas 15

Regla de Descartes.

Sea

un polinomio con coeficientes

reales. Supongamos que la sucesión de los coeficientes de

dicho polinomio presenta V variaciones. Entonces, el número de raíces reales

positivas de P(x) (contando sus multiplicidades) es menor o igual que V y además

de la misma paridad(4).

Para dar una cota para el número de raíces reales negativas de hay que aplicar

el criterio a P( x).

Por ejemplo: Sea 4342 235 xxxxxP )(

La sucesión de los coeficientes {2, 4, 3, 1, −4} tiene tres variaciones, luego P(x)

tendrá 3 ó 1 raíces reales positivas.

Si consideramos el polinomio ,4342 235 xxxxxP )( su sucesión de

coeficientes { 2, 4, 3, 1, 4} presenta dos variaciones. Por lo tanto, P( x) tiene o

bien 2 o bien 0 raíces reales positivas, o lo que es lo mismo, P(x) tiene 2 ó 0 raíces

negativas.

Ejemplo: Consideremos el polinomio .457 xxxP )(

La sucesión de coeficientes de P(x), {1, 5, 4}, tiene una variación, luego, el

polinomio tiene exactamente una raíz real positiva.

La sucesión de coeficientes del polinomio ,457 xxxP )( es { 1, 5, 4} y

no presenta ninguna variación de signo. Por consiguiente el polinomio P(x) no

tiene ninguna raíz real negativa.

En definitiva, el polinomio P(x) tiene una única raíz real r que es positiva; las otras

seis son complejas conjugadas dos a dos. Lo único que falta por hacer para conocer

perfectamente las raíces reales de la ecuación 0457 xx es dar una

aproximación al valor de su única raíz real r.

4 Es decir, si V es par el número de raíces positivas es par y menor o igual que V, y si V es impar el número de raíces positivas es

impar y menor o igual que V.


Dada la sencillez de la regla de Descartes, aunque a veces no sea muy informativa, puede

ser útil aplicarla.

Pasemos a desarrollar cada uno de los pasos.

Acotación de las raíces reales de una ecuación algebraica

Lema: Sea

con (5).

Sea Ks 0 es un número tal que al aplicar Ruffini todos los

coeficientes obtenidos en la división son mayores o iguales a cero.

Entonces, Ks es una cota superior para las raíces reales de la ecuación

P(x) = 0, es decir, si r es una raíz real de se puede asegurar que

.

Se pueden encontrar infinitos valores de Ks que verifiquen las hipótesis del lema, aunque

intentaremos que sea lo menor posible.

Para calcular una cota inferior de las raíces basta con aplicar el criterio a P( x), pues si k

es una cota superior para las raíces de P( x), k será cota inferior para las raíces de P(x).

Ejemplo 3: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio

7186 34 xxxxP )(

Tomando Ks = 6 (Ks = 5 no sirve)

1 6 0 18 7

6 6 0 0 108

1 0 0 18 115

5 En el caso de que sea a0 0 se multiplica al polinomio por ( 1) obteniéndose un polinomio equivalente al que se puede

aplicar el lema.

Todos son 0


Entonces, si r es una raíz real de P(x) se tiene que r 6 (6).

Una cota superior para las raíces de 7186 34 xxxxP )( es:

1 6 0 18 7

2 2 16 32 28

1 8 16 14 35

Por lo tanto, k = 2 es cota superior para las raíces de P( x), luego 2 es cota inferior para

las raíces del polinomio P(x).

Hemos demostrado que si r es una raíz real de la ecuación P(x) = 0, entonces r ∈ ( 2, 6).

Ejemplo 4: Calcular unas cotas para las raíces reales del polinomio

5865 23 xxxxP )(

Tomando Ks = 2 (Ks = 1 no sirve)

5 6 8 5

2 10 8 0

5 4 0 5

Entonces, si r es raíz de P(x) r 2 .

Pasemos ahora a calcular una cota superior para las raíces reales positivas del polinomio

5865 23 xxxxP )( Como el coeficiente de mayor grado es negativo, sea cual sea

el número con el que probemos al aplicar Ruffini, el primer coeficiente de la división

siempre va a ser negativo, lo que en principio nos imposibilita el cálculo de la cota inferior.

Esto tiene fácil solución sin más que cambiar de signo a todos los coeficientes de P( x) ya

que el polinomio obtenido es equivalente a P( x) y por lo tanto tiene exactamente el

mismo conjunto de raíces. Así pues,

))(()( 586515865 2323 xxxxxxxP

Ahora,

6 En principio sería r 6, pero, puesto que 6 no es raíz de P ( x ), se cumple que la desigualdad es estricta, es decir, r < 6.

Todos son 0

Todos son 0


5 6 8 5

2 10 32 48

5 16 24 43

En consecuencia, k = 2 es cota superior para las raíces reales de P( x), luego 2 es cota

inferior para las raíces reales del polinomio P(x).

Por lo tanto, si r es una raíz real de la ecuación P(x) = 0 entonces r ∈ ( 2, 2).

Propiedades particulares de raíces racionales de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros

En este apartado sólo consideraremos polinomios con coeficientes enteros. En particular,

vamos a ver cómo se pueden encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con

este tipo de coeficientes.

Sea

en donde ∈ para todo i.

Teorema: Sea

un polinomio con

coeficientes enteros (es decir, ∈ para todo i).

Sea aaaaaa una raíz racional de la ecuación entera P(x) = 0

(suponemos que m.c.d.(p, q) = 1). Entonces:

a0 es múltiplo de q

an es múltiplo de p.

Demostración: Por ser q

pr raíz de P(x) = 0 0

q

pP y, por lo tanto:

...0 1

1

10 nn

nn

aq

pa

q

pa

q

pa

Reduciendo a común denominador el lado derecho de esta expresión obtenemos que:

Todos son 0


nn

nn

nn qapqaqpapa

11

110 ...0 [1]

Despejando npa0 en la última ecuación:

nn

nn

nn qapqaqpapa

11

110 ...

y sacando factor común a q en el miembro de la derecha:

121

110 ...

n

nn

nnn qapqapaqpa

Como el polinomio tiene coeficientes enteros y tanto p como q son números enteros, los

cuatro factores de la expresión anterior son números enteros. Además, como q divide al

miembro de la izquierda ha de dividir también al término de la izquierda, es decir, a npa0 .

Al ser p y q números primos entre sí, q tiene que dividir a a0, o lo que es lo mismo, a0 es

múltiplo de q.

Despejando ahora an qn en la ecuación [1], obtenemos que:

pqapqapaqa nn

nnn 11

1100 ...

⟹

21

21

100 ...

n

nnnn qapqapapqa

Razonando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene que an es múltiplo de p.

Consecuencia 1: Sea r una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros.

Entonces, el término independiente del polinomio tiene que ser

múltiplo de r.

Consecuencia 2: Si el término de mayor grado a0 de un polinomio P(x) con

coeficientes enteros es igual a 1 ó a ( 1), todas las raíces

racionales de P han de ser enteras.

Definición: A los polinomios que tienen el coeficiente del término de mayor

grado a0 = (±1 ) se les denomina MÓNICOS.


Por lo tanto, si P(x) es un polinomio mónico y con coeficientes enteros, todas sus

raíces racionales han de ser enteras. Además estas raíces se han de encontrar entre

los divisores del término independiente del polinomio.

Ejemplo 5: Encontrar las raíces racionales del polinomio

Acotación de las raíces:

En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio

1 7 2 61 105

7 7 0 14 525

1 0 2 75 420

El polinomio viene dado por . Así:

1 7 2 61 105

3 3 30 96 105

1 10 32 35 0

En este caso, nos encontramos con que 3 es raíz del polinomio y cota superior de

las raíces de éste. Puesto que las raíces de y de son opuestas, tenemos que 3

será cota inferior de las raíces del polinomio y, también, raíz de éste. Luego:

De existir, todas las raíces reales de se encuentran en el intervalo

3 es raíz de

Aunque podríamos continuar trabajando con para buscar sus raíces racionales,

puesto que hemos encontrado una raíz de éste, lo primeros que haremos será factorizar el

polinomio en función de :

1 7 2 61 105

3 3 30 96 105

1 10 32 35 0

Por lo tanto, . Llamamos al polinomio

Todos son 0

Todos son 0


Podemos continuar con la búsqueda de las raíces racionales trabajando con , pero es

más cómodo proseguir con el polinomio . Evidentemente, toda raíz de también

lo es raíz de ; el intervalo de acotación es válido para ambos polinomios (7)

pero es mejor trabajar con puesto que es un polinomio de grado menor.

Búsqueda de las raíces racionales:

Según hemos visto, al ser un polinomio mónico y con coeficientes enteros, si admite

alguna raíz racional r, obligatoriamente r ha de ser un número entero que pertenezca al

intervalo de acotación . Además tiene que ser divisor del término independiente del

polinomio o, lo que es lo mismo:

es múltiplo de r.

Los divisores de 35 son . Eliminando aquéllos que no pertenecen al

intervalo , nos queda:

Veamos cuáles de estos números sí son raíces de y cuáles no. Sustituyendo cada

punto en obtenemos:

x 1 1 5

12 78 0

El polinomio Q tiene una única raíz racional que es 5. Luego, el polinomio tiene dos

raíces racionales:

Ejercicio 10: Termina de buscar las raíces del polinomio

del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes

reales.

7 Se podrían buscar unas nuevas cotas para las raíces del polinomio , pero no merece la pena


Ejemplo 6: Encontrar las raíces racionales del polinomio

Acotación de las raíces:

En primer lugar, acotemos las raíces del polinomio

9 6 8 3 2

2 18 24 32 70

9 12 16 35 72

El polinomio viene dado por . Así:

9 6 8 3 2

1 9 15 7 4

9 15 7 4 6

Por lo tanto, de existir, todas las raíces reales de se encuentran en el intervalo

.

Búsqueda de las raíces racionales:

Según hemos visto, al ser un polinomio con coeficientes enteros, si aaaaaa (en donde

m.c.d.(p, q) = 1)es una raíz racional de P(x), entonces:

es múltiplo de p

es múltiplo de q

Por lo tanto:

Posibles valores de p:

Posibles valores de q:

Cruzando todos los posibles valores de p con los de q obtenemos todos los números

racionales que admitir el polinomio como raíces, esto es:

De estos doce candidatos podemos eliminar aquéllos que no pertenezcan al intervalo de

Todos son 0

Todos son 0


acotación . Así, como quedan:

Del conjunto de candidatos hemos eliminado tres elementos. Lo único que falta por hacer

es comprobar cuáles de los números que han quedado sí son raíces de y cuáles no.

Sustituyendo cada punto en obtenemos:

x 1

0 2

0

Por lo tanto, el polinomio tiene exactamente dos raíces racionales:

Ejercicio 11: Termina de buscar las raíces del polinomio

del ejemplo anterior. Factorízalo en factores irreducibles con coeficientes

reales.

Ejercicio 12: Encuentra las raíces racionales de los polinomios:

Separación de las raíces reales de una ecuación algebraica

La separación consiste en encontrar intervalos de manera que tengamos garantía de que

en cada uno de ellos haya una única raíz o ninguna.


Vamos a estudiar tres métodos de separación: el método de Rolle, el método de Sturm y el

método de Budan-Fourier. El primero es válido para cualquier tipo de ecuación, tanto

algebraica como trascendente; lo único que se necesita para poder aplicarlo es conocer las

raíces de la función derivada. Los dos últimos métodos sólo son aplicables a ecuaciones

polinómicas.

Método de Rolle

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y derivable con derivada continua en el

intervalo (a, b). Sean las raíces que tenga la derivada en el

intervalo (a, b). Llamemos y .

A la sucesión se le denomina sucesión de Rolle de la función

f(x) en el intervalo [a, b].

Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle. Entonces,

Si en la función f(x) tiene una única raíz

Si en la función f(x) no tiene ninguna raíz (8)

Demostración:

Sean y dos elementos sucesivos de la sucesión de Rolle.

La función f no puede tener ningún extremo relativo entre y (¿por qué?).

Al ser f una función continua en y sin extremos relativos en dicho

intervalos, f ha der ser estrictamente creciente o decreciente en el intervalo

.

8 En el caso de que f fi i( ) ( ) 1 0 , al menos uno de los extremos del intervalo i i, 1 será raíz de la ecuación

f ( x ) = 0, no habiendo más raíces en el interior de dicho intervalo.

Por otra parte, sabemos que si f ( x ) es un polinomio, sus raíces múltiples también son raíces de la derivada; luego, de

haber raíces de este tipo lo serán los puntos i .


Luego, de cortar al eje de abscisas en el intervalo , la gráfica de f puede

hacerlo como mucho una vez. Es decir, la función f puede tener una o ninguna raíz

en el intervalo .

Entonces:

Si , las imágenes de los extremos del intervalo tienen distinto

signo, luego la gráfica de f ha de cortar al eje de abscisas entre y . Según

acabamos de ver, a lo sumo lo puede cortarlo una vez. Hemos demostrado, por lo

tanto, que f tiene una única raíz en .

Si , es claro que uno de los extremos del intervalo, o es

raíz de f. Además, como la función es estrictamente o decreciente, ha de ser única.

Si , las imágenes de los extremos del intervalo tienen el mismo

signo.

Supongamos que la función f fuera estrictamente creciente entre y :

Si y ⟹ al ser f estrictamente creciente, se cumple

que para cualquier ∈ . Luego f es

estrictamente positiva en y no tiene ninguna raíz entre y .

Si y ⟹ al ser f estrictamente creciente, se cumple

que para cualquier ∈ . Luego f es

estrictamente negativa en y no tiene ninguna raíz entre y .

De igual modo se demostraría si la función f fuera estrictamente decreciente entre

y .

⇒

⇒ f tiene una única raíz entre y

⇒

⇒ f tiene una única raíz entre y

⇒

⇒ f no tiene ninguna raíz entre y

f i( ) 1

f i( )

i

i1rx

yf i( ) 1

f i( )

i i1

x

y f i( ) 1

f i( )

i i1

x

y


Nota 1: El criterio también es válido para intervalos abiertos (a, b). Lo único

que hay que modificar es calcular y en vez de f(a)

y f(b).

Nota 2: Alguno o los dos extremos del intervalo pueden ser infinitos.

Nota 3: Para aplicar Rolle es muy importante trabajar siempre dentro de

intervalos en los que la función sea continua y derivable (salvo quizás

en los extremos del intervalo).

Ejemplo 7: Separar las raíces reales del polinomio

Puesto que es un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo, luego no

hay ningún problema para aplicar Rolle. Además, se comprueba que las raíces reales de

P(x) están en el intervalo ( 4, 3).

Busquemos las raíces de la derivada :

Así, la sucesión de Rolle de en el intervalo ( 4, 3).está formada por { 4, 2, 2, 3}.

Calculando el valor del polinomio P en dichos puntos:

x 4 2 2 3

P(x) 574 258 2 133

Observamos que sólo hay cambio de signo al pasar de 4 a 2. Por lo tanto:

P tiene una única raíz en el intervalo ( 4, 2)

P no tiene ninguna raíz entre 2 y 3.

Podemos concluir diciendo que las raíces de P(x) son:

r1 ∈ ( 4, 2) única raíz real.

r2, r3, r4 y r5 complejas (conjugadas dos a dos).



Al ser un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo y se puede aplicar

Rolle sin problemas. Se puede comprobar que, de existir, las raíces reales se hallan dentro

del intervalo ( 2, 0).

La derivada del polinomio es . Luego:

Es decir, no tiene raíces reales.

Luego, la sucesión de Rolle de en el intervalo ( 2, 0) está formada únicamente por

los extremos del intervalo, es decir, la sucesión de Rolle es { 2, 0}. Valorando el polinomio

en dichos puntos:

x 2 0

P(x) 9 5

Puesto que hay un único cambio de signo, P(x) tiene una única raíz real que se encuentra

en el intervalo ( 2, 0).

Concluimos que las raíces de P(x) son:

r1 ∈ ( 2, 0) única raíz real.

r2, y r3, complejas (conjugadas).

Método de Sturm

El método de Sturm es un método de separación exclusivo de ecuaciones polinómicas. Se

puede aplicar únicamente en polinomios que tengan todas las raíces simples.


Queremos conocer el número de raíces reales que tiene la ecuación P(x) = 0 en el

intervalo (a, b).

Llamamos f1 (x) = y f2 (x) = .

Dividimos los polinomios sucesivamente hasta obtener un resto de grado 0:

f1 (x) = f2 (x) C1 (x) + R1 (x)

f2 (x) = f3 (x) C2 (x) + R2 (x)

y llamamos f3 (x R1(x)

y llamamos f4 (x R2 (x)

…………………….……………………………………………………………………………

fk (x) = fk + 1 (x) Ck (x) + Rk (x) y llamamos fk + 2 (x Rk (x)

de manera que el grado de Rk (x) sea 0, es decir, continuamos dividiendo hasta que

el resto es una constante (9) A la sucesión de polinomios { f1 (x), f2 (x), … ,

fk + 2 (x)}, se le denomina sucesión de Sturm.

Entonces, si queremos saber el número de raíces que tiene el polinomio P(x) en el

intervalo (a, b), siendo P(a) P(b) 0 , procederemos de la siguiente forma:

Evaluamos la sucesión se Sturm en cada uno de los extremos del intervalo

x f1 (x) f2 (x) … fk + 2 (x) nº de variaciones

a f1 (a) f2 (a) … fk + 2 (a) v(a)

b f1 (b) f2 (b) … fk + 2 (b) v(b)

y, se verifica que:

El número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a, b) es igual a v(a) v(b).

Si lo que queremos es separar las raíces de la ecuación, tenemos que ir buscando pares de

puntos intermedios del intervalo de acotación de manera que la diferencia de variaciones

entre ellos sea de 1.


9 De hecho ha de ser una constante distinta de 0, pues Rk ( x ) = 0 sólo si P( x ) tiene raíces múltiples.


Unas cotas para las raíces reales del polinomio son 5 y 1. Además, las únicas posibles

raíces racionales de P(x) (10) (enteros entre 5 y 1 que dividan a an = 3) son { 1, 3}.

Se comprueba que ninguno de los dos valores anula al polinomio; luego todas sus raíces o

son irracionales o complejas.

Formemos la sucesión de polinomios de Sturm:

f x P x x x x x1

4 3 24 2 4 3( ) ( )

f x P x x x x x x x2

3 2 3 24 12 4 4 4 3 1( ) '( ) ( ) (11)

Dividiendo ambos polinomios:

x x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

4 3 2 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

4 2 4 3 3 1

3 1

3 3

3 1

4 4 4

)1(4)444()()( 22

13 xxxxxRxf (11)

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

3 2 2

3 2

2

2

3 1 1

4

4 2 1

4 4 4

2 3

10 Aunque no es necesario, conviene buscar las raíces racionales en primer lugar, puesto que de haberlas podemos

factorizar el polinomio y trabajar con otro de menor grado, lo cual nos puede ahorrar bastantes cálculos a la hora de

aplicar el método de Sturm.

11 Lo que nos interesa del polinomio f1(x ) es el signo que toma para los distintos valores, no el módulo. Por lo tanto, le podemos

multiplicar en cualquier momento por constantes positivas sin que el resultado se altere. Así, trabajamos con el polinomio

x3 3x

2 x 1 en vez de con 4x

3 12x

2 4x 4.

Es cómodo, sobre todo cuando se trabaja a mano, hacer lo mismo para los restos parciales de las divisiones, con el fin de no

trabajar con números fraccionarios. Si multiplicamos por una constante positiva a un resto parcial, el resto final queda

multiplicado por esa misma constante, pero el signo del resto, que es lo que nos interesa, no se modifica (lo que sí se altera es el

cociente).


f x R x x x4 2 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( )

x x x

x x x

x x

x

x

x

2 12)

2

2

1 2 3

2 2 2 2 1

2 3

2

2 2 4

2

7

(12)

( )

( )

3

f x R x5 3 7( ) ( )

Ese resto ya es constante (y distinto de 0), luego ya hemos terminado de formar la

sucesión de Sturm que está formada por los polinomios:

f x x x x x

f x x x x

f x x x

f x x

f x

1

4 3 2

2

3 2

3

2

4

5

4 2 4 3

3 1

1

2 3

7

( )

( )

( )

( )

( )

Para conocer el número total de raíces de P(x) valoramos la sucesión en x = 5 y en x = 1.

x f1 (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) nº de variaciones

5 52 44 31 13 7 3

1 4 4 1 1 7 1

Luego,

número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo ( 5, 1) =

=[número de variaciones en 5] [número de variaciones en 1]=

=3 1=2 raíces reales

Todavía hay que separar las 2 raíces que hay en el intervalo ( 5, 1) ; para ello evaluemos

la sucesión, por ejemplo, en x = 0. En este punto tenemos que:

x f1 (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) nº de variaciones

0 3 1 1 3 7 2

número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo ( 5, 0) =


= [ número de variaciones en 5] [ número de variaciones en 0] =

= 3 2 = 1 raíz real.

número de raíces reales del polinomio P(x) en el intervalo (0, 1) =

=[número de variaciones en 0]−[número de variaciones en 1]=

=2−1=1 raíz real.

Ya tenemos separadas las raíces de P(x) que son:

r1 ∈ ( 5, 0) (irracional)

r2 ∈ (0, 1) (irracional)

r3 y r4 complejas conjugadas entre sí.

Método de Budan-Fourier

El método de Budan-Fourier también es un método de separación exclusivo de ecuaciones

polinómicas. Es más cómodo de aplicar que el método de Sturm, pero no siempre consigue

separar las raíces del polinomio.

Sea P(x) un polinomio de grado n y consideremos la sucesión de polinomios

formada por P y sus n primeras derivadas:

{ P(x), P '(x), P ''(x), …, P n 1) (x), P n) (x)}.

Sean a < b dos números reales tales que P(a) P(b) 0.

Calculemos el número de variaciones de signo de cada sucesión:

x P(x) P '(x) … P n 1) (x) P n) (x) nº de variaciones

a P(a) P '(a) … P n 1) (a) P n) (a) v(a)

b P(b) P '(b) … P n 1) (b) P n) (b) v(b)

Se verifica que:

El número de raíces reales de P(x) en el intervalo (a, b) es menor o igual que


v(a) v(b) y de la misma paridad.

El método de Budan-Fourier tiene la ventaja sobre el método de Sturm de necesitar una

mucho menor complejidad aritmética ya que es mucho más cómodo formar la sucesión de

las derivadas que la sucesión de polinomios de Sturm. Sin embargo es muy importante

notar el hecho de que el método de Budan-Fourier no nos proporciona normalmente el

número exacto de raíces reales que tiene un polinomio en el intervalo (a, b) sino

exclusivamente una cota del número de raíces que tiene el polinomio en dicho intervalo.

Por lo tanto, muchas veces el método e Budan-Fourier no resuelve completamente el

problema de separación de las raíces de un polinomio. Únicamente si v(a) v(b) = 1

podremos decir que en el intervalo (a, b) el polinomio tiene una única raíz, o bien si

v(a) v(b) = 0 concluiremos que en el intervalo (a, b) el polinomio no tiene ninguna raíz.


utilizando el método de Budan-Fourier.

Se comprueba que las raíces reales del polinomio se encuentran entre 3 y 5 y que el

polinomio no tiene ninguna raíz racional. La sucesión de polinomios de Budan-Fourier es:

P(x) = x4 2 x3 9 x2 + 10 x 2

P '(x) = 4 x3 6 x2 18 x + 10

P ''(x) = 12 x2 12 x 18

P 3) (x) = 24 x 12

P 4) (x) = 24

Valoremos la sucesión en los extremos de intervalo de acotación:

x P(x) P '(x) P ''(x) P 3) (x) P 4) (x) nº de variaciones

3 22 98 126 84 24 4

5 198 270 222 108 24 0


v( 3) v(5) = 4 en el intervalo ( 3, 5) el polinomio P(x) tiene 4, 2 ó 0

raíces reales.

Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x = 0:


0 2 10 18 12 24 3

Ahora podemos decir que:

v( 3) v(0) = 1 en el intervalo ( 3, 0) el polinomio P(x) tiene

exactamente una raíz.

v(0) v(5) = 3 en el intervalo (0, 5) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces.

Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 5), por ejemplo,

en x = 2:


2 18 18 6 36 24 1

Nos encontramos con que:

v(0) v(2) = 2 en el intervalo (0, 2) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.

v(2) v(5) = 1 en el intervalo (2, 5) el polinomio P(x) tiene exactamente

una raíz.

Tomando un punto intermedio del intervalo (0, 2), por ejemplo x = 1:


1 2 10 18 12 24 1

podemos decir que:

v(0) v(1) = 2 en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.

v(1) v(2) = 0 en el intervalo (1, 2) el polinomio P(x) no tiene ninguna raíz.

Tomando de nuevo un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo x = 0,5:


0,5 0,56 0 21 0 24 2


tenemos que:

v(0) v(0,5) = 1 en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene


v(0,5) v(1) = 0 en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene


Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x)

tiene exactamente cuatro raíces reales en el intervalo ( 3, 5):

r1 ∈ ( 3, 0)

r2 ∈ (0, 0,5)

r3 ∈ (0,5, 1)

r4 ∈ (2, 5)


utilizando el método de Budan-Fourier.

Las raíces de este polinomio las hemos separado, en el ejemplo 9, utilizando el método de

Sturm. Hagámoslo ahora empleando el método de Budan –Fourier. Sabemos que las raíces

reales del polinomio se encuentran entre 5 y 1. La sucesión de polinomios de Budan-

Fourier es:

P(x) = x4 + 4 x3 2 x2 + 4 x 3

P '(x) = 4 x3 + 12 x2 4 x + 4

P ''(x) = 12 x2 + 24 x 4

P 3) (x) = 24 x + 24

P 4) (x) = 24

Valoramos dicha sucesión en los extremos de intervalo de acotación:


5 52 176 176 96 24 4

1 4 16 32 48 24 0


v( 5) v(1) = 4 en el intervalo ( 5, 1) el polinomio P(x) tiene 4, 2 ó 0

raíces reales.

Valoremos la sucesión en un punto intermedio, por ejemplo, en x = 0:


0 3 4 4 24 24 3

Ahora podemos decir que:

v( 5) v(0) = 1 en el intervalo ( 5, 0) el polinomio P(x) tiene


v(0) v(1) = 3 en el intervalo (0, 1) el polinomio P(x) tiene 3ó 1 raíces.

Volviendo a valorar la sucesión en un punto intermedio del intervalo (0, 1), por ejemplo en

x = 0,5:


0,5 0,94 5,5 11 36 24 1

Nos encontramos con que:

v(0) v(0.5) = 2 en el intervalo (0, 0,5) el polinomio P(x) tiene 2 ó 0 raíces.

v(0,5) v(1) = 1 en el intervalo (0,5, 1) el polinomio P(x) tiene


Por lo tanto, según el método de Budan-Fourier podemos concluir que el polinomio P(x)

tiene exactamente una raíz en el intervalo ( 5, 0) y otra raíz en el intervalo (0,5, 1). Sin

embargo, aunque sigamos tomando puntos intermedios, es incapaz de discriminar si en el

intervalo (0, 0,5) el polinomio tiene dos raíces o ninguna.

Aproximación de las raíces reales

Una vez separadas las raíces lo que falta es dar una aproximación a cada una de ellas con el

grado de precisión deseado.


Los dos métodos que vamos a estudiar, el Método de Newton y el Método del Punto Fijo.

Ambos son válidos para todo tipo de ecuaciones, ya sean algebraicas o trascendentes.

Método de Newton-Fourier o de las tangentes

Sea f(x) una función continua y dos veces derivable en el intervalo [a, b].

Supongamos que:

f(x) tiene una única raíz r∈ (a, b)

f(a) f(b) 0

f ' (x) no cambia de signo en el intervalo [a, b]

f '' (x) no cambia de signo en el intervalo [a, b]

Consideremos la función g(x) definida por:

Sea 0 el extremo del intervalo [a, b] en el que se verifica que:

∈

Formemos la sucesión 0, 1, 2, …, k , k + 1, … donde k + 1= g( k ).

Entonces, (12)

12 El hecho de que el límite de la sucesión sea r, nos permite calcular el valor de r con tanta precisión como deseemos.


Geométricamente, el método de Newton consiste en, dado k ,

sustituir la curva y = f(x) por la recta tangente a la función

en el punto ( k , f( k ) ). Entonces, k + 1 es el punto de corte

de dicha recta con el eje de abscisas.

En la práctica no demostraremos que se verifican todas las hipótesis del método, sino que

directamente, con cualquier punto del intervalo, empezaremos la iteración. Si la sucesión

no converge con dicho punto probaremos con otro hasta encontrar alguno para el cual la

sucesión formada sea convergente (el método de Newton converge en la gran mayoría de

los casos).

Ejemplo 12: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio

Sabemos que dicho polinomio tiene una única raíz r∈( 4, 2) (ejemplo 7).

La función de iteración g(x) es:

y f x ( )

x

y

012

0, f(0))

1, f(1))

desde 1 1, f( ))

desde 0 0, f( ))


Si tomamos 0 = 4 (no podemos comenzar con 2 (¿?)) la sucesión queda:

0 = 4

1 = g( 0 ) = g( 4) = 3,5217

2 = g( 1 ) = g( 3,5217) = 3,3331

3 = g( 2 ) = g( 3,3331) = 3,3057

4 = g( 3 ) = g( 3,3057) = 3,3051

Como buscábamos una aproximación con tres decimales exactos y éstos ya se han

estabilizado paramos la iteración. De todas las maneras hay que cerciorarse de que una

aproximación a la raíz con tres cifras decimales correctas es 3,305. Para ello calculemos

P( 3,305)= 0,072

P( 3,306)= 0,445

Luego, como en los extremos del intervalo ( 3,306, 3,305) hay cambio de signo, la raíz

del polinomio se encontrará dentro de éste intervalo(13). Así, podemos asegurar que

r 3,305 con tres cifras decimales correctas.

Método del Punto Fijo o de aproximaciones sucesivas

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y con una única raíz r en dicho

intervalo.

Supongamos que la ecuación f(x) = 0 se puede escribir equivalentemente de la

forma x = (x) (14).

Sea 0 cualquier punto de intervalo [a, b]. Formemos la sucesión 0, 1, 2, …, k ,

k + 1, … donde

13 Este criterio solamente es válido si la raíz que estamos aproximando no es de multiplicidad par.

14 Resolver la ecuación x x ( ) significa buscar los puntos de corte entre la curva y x ( ) y la recta y = x, o

equivalentemente, aquellos puntos sobre la curva ( , ( ))x x cuya abscisa es igual a su ordenada, es decir, aquellos puntos que

cumplen que ( , ( )) ( , )x x x x . A este tipo de puntos, se los denomina puntos fijos de una función.


Entonces, si la función (x) es derivable en [a, b] y se cumple que | ' (x) | 1,

para cualquier x ∈ [a, b], se tiene que:

Dado 0 calculamos .

Geométricamente: La recta horizontal que pasa por el punto es la recta de

ecuación o, equivalentemente, .

El punto de corte de esta recta con la recta es el punto de coordenadas .

Una vez obtenido , siguiendo los mismos pasos, encontramos

Ejemplo 13: Aproximar con tres cifras decimales exactas las raíces reales del polinomio

Este polinomio es el mismo que el del ejemplo anterior. Sabemos que la única raíz de P(x)

se encuentra en el intervalo ( 4, 2). Para poder aplicar el método del punto fijo

necesitamos escribir la ecuación en la forma x = (x) y la función (x) actuará como

función de iteración. En nuestro caso:

80

1300130800

55

x

xxxxP )(


Luego podemos tomar como función de iteración a

80

1305

xx)(

Empezando la iteración con, por ejemplo, 0 = 4 obtenemos como primer valor de la

sucesión a 1 = ( 4) = 11,1750 valor que, obviamente, se sale fuera del intervalo (15). Lo

mismo ocurre si empezamos la iteración con cualquier otro punto del intervalo ( 4, 2).

Podemos intentar buscar otra función de iteración probando a despejar otra " "x de la

ecuación. Así:

555 13080130800130800 xxxxxxxP )(

Si consideramos la nueva función de iteración

51 13080 xx)(

y comenzamos con 0 = 4 obtenemos la sucesión:

0 = 4

1 = 1( 0 ) = 1( 4) = 3,393 5

2 = 1( 1 ) = 1( 3,393 5) = 3,316 9

3 = 1( 2 ) = 1( 3,316 9) = 3,306 7

4 = 1( 3 ) = 1( 3,306 7) = 3,305 4

5 = 1( 4 ) = 1( 3,305 4) = 3,305 1

Una vez estabilizadas las tres primeras cifras decimales procederíamos del mismo modo

que lo hicimos en el método de Newton para comprobar que estas son correctas.

La ventaja del Método del Punto Fijo sobre el de Newton es que la función de

iteración del primero suele ser más sencilla a la hora de efectuar cálculos. Pero hay

que tener en cuenta que el método de Newton converge en muchos más casos que el

método del Punto Fijo y además suele necesitar un menor número de iteraciones.

15 La derivada de la función ( x ) es '( )xx

4

16. Entonces, si x∈ (4, 2 ) es evidente que '( )x 1 . Luego, el método del

punto fijo probablemente no converja.


Antes de finalizar con las ecuaciones algebraicas veamos algún ejemplo completo de cómo

resolver una ecuación de este tipo.

Ejemplo 14: Encontrar todas las raíces reales del polinomio

dando una aproximación a sus raíces de al menos cuatro cifras decimales

correctas.

1. Acotación y regla de Descartes

Busquemos una cota superior para las raíces de P(x). Claramente se puede tomar K = 0:

5 13 0 9

0 0 0 0

5 13 0 9

Luego, todas las raíces de P son menores que 0, es decir, P no tiene ninguna raíz real

positiva. Si hubiéramos aplicado la regla de Descartes, el resultado habría sido el mismo,

ya que la sucesión de coeficientes de P, , no tiene ninguna variación de signo y,

por lo tanto, Descartes asegura que P no tiene ninguna raíz real positiva.

El polinomio P( x) viene dado por . Como el coeficiente de

mayor grado es negativo tenemos que cambiar de signo a todos los coeficientes, puesto

que el polinomio resultante es equivalente. Tenemos que:

Acotando las raíces de este último polinomio

5 13 0 9

3 15 6 18

5 2 6 9

Entonces, si r es raíz de P(x) r 3. Además, como el número de variaciones de signo

de la sucesión de los coeficientes de P( x), es igual a 1, el número de raíces

Todos son 0

Todos son 0


reales negativas de P(x) es exactamente 1.

Por lo tanto:

El polinomio P tiene una única raíz real que pertenece al intervalo

(Las otras dos raíces son complejas conjugadas entre sí). Como las raíces de P ya están

separadas, lo único que falta es dar una aproximación.

2. Aproximación: Método de Newton

La función de iteración del método de aproximación de Newton viene dada por:

xx

xx

xx

xxx

xP

xPxxg

2615

91310

2615

9135

' 2

23

2

23

)(

)()(

Queremos aproximar la única raíz de P. Ésta se encuentra en el intervalo . Si

comenzamos la iteración con, por ejemplo, 0 = 3 (con 0 = 0 no se puede empezar) la

sucesión obtenida es:

0 = 3

1 = g( 0 ) = 2, 842 105

2 = g( 1 ) = 2, 825 644

3 = g( 2 ) = 2, 825 471

4 = g( 3 ) = 2, 825 471

Buscamos una aproximación con al menos cuatro decimales exactos; éstos ya se han

estabilizado en la cuarta iteración. De todas las maneras hay que asegurase de que una

aproximación a la raíz con seis cifras decimales correctas es 2, 825 471. Para ello

calculemos

P( 2, 825 471) = 2, 192 × 10−6 P( 2, 825 472) = 4, 409 × 10−6

Luego, como en los extremos del intervalo ( 2, 825 472, 2, 825 471) hay cambio de

signo la única raíz del polinomio se encontrará dentro de éste. Así, podemos asegurar que

la única raíz real de P es aproximadamente igual a 2, 825 471 con seis cifras decimales

correctas.

En definitiva,


Las raíces del polinomio son:

(única raíz real)

r2 y r3 complejas conjugadas entre sí.

Ejemplo 15: Encontrar todas las raíces reales del polinomio

dando una aproximación a sus raíces con cuatro cifras decimales

correctas.

1. Acotación y regla de Descartes

Busquemos una cota superior para las raíces de P(x).

3 40 18 0 20

1 3 43 25 25

3 43 25 25 45

Luego, de existir, todas las raíces reales de P son menores que 1.

La sucesión de los coeficientes de P es que tiene 2 variaciones. Por lo

tanto, la regla de Descartes asegura que P puede tener 2 ó 0 raíces reales positivas.

El polinomio P( x) viene dado por . Una cota superior

para las raíces de este polinomio es:

3 40 18 0 20

14 42 28 140 1 960

3 2 10 140 1 980

Entonces, si r es raíz de P(x) r 14. El número de variaciones de signo de la

sucesión de los coeficientes de P( x), , también es igual a 2, luego el

número de raíces reales negativas de P(x) es o bien 0 o bien 2.

Por lo tanto:

De tener P raíces reales, éstas pertenecerán al intervalo .

El polinomio P puede tener 2 ó 0 raíces reales positivas.

Todos son 0

Todos son 0


El polinomio P puede tener 2 ó 0 raíces reales negativas.

2. Separación: Método de Rolle

Por ser P un polinomio, es continuo y derivable en cualquier intervalo; luego se puede

aplicar Rolle (si conocemos las raíces de su derivada).

Busquemos las raíces de la derivada. La derivada de P es:

⇒

⇒

Luego:

⇔ ⇔ ⇒

⟹

⇒

Las raíces de la derivada de P son . Luego, la sucesión de Rolle

de P en el intervalo viene dada por:

Evaluemos P(x) en cada uno de los puntos de la sucesión:

x 14 0 1

P(x) 1 980 11 833, 48 20 19, 48 45

Por lo tanto, podemos concluir que:

P tiene una única raíz ∈

P tiene una única raíz ∈

P no tiene ninguna raíz en

(Evidentemente, estas conclusiones concuerdan con lo que nos decía la regla de Descartes)

3. Aproximación: Método de Newton

La función de iteración del método de aproximación de Newton viene dada por:


Aproximación de ∈ . Comenzamos la iteración con 0 = 14:

0 = 14

1 = g( 0 ) = 13, 777 628

2 = g( 1 ) = 13, 766 641

3 = g( 2 ) = 13, 766 615

Buscamos una aproximación con cuatro decimales exactos; éstos ya se han estabilizado en

la tercera iteración. Hay que asegurarse de que una aproximación a la raíz con cuatro

decimales correctos es . Calculamos:

P( 13, 766 6 ) = 0,12 P( 13, 766 7 ) = 0,69

Luego, como en los extremos del intervalo ( 13, 766 7 , 13, 766 6 ) hay cambio de signo,

la raíz se encontrará dentro de éste. Luego, con cuatro decimales

exactos.

Aproximación de ∈ . Puesto que no se puede comenzar con ninguno

de los extremos del intervalo, probaremos a iniciar la iteración con un punto

intermedio, por ejemplo con 0 = 5:

0 = 5

1 = g( 0 ) = 2, 883 929

2 = g( 1 ) = 1, 800 911

3 = g( 2 ) = 1, 174 617

4 = g( 3 ) = 0, 835 189

5 = g( 4 ) = 0, 700 341

6 = g( 5 ) = 0, 677 239

7 = g( 6 ) = 0, 676 587

8 = g( 7 ) = 0, 676 586

Buscamos una aproximación con cuatro decimales exactos; éstos se han estabilizado en la

octava iteración. Hay que asegurarse de que una aproximación a la raíz con cuatro

decimales correctos es . Calculamos:

P( 0, 676 5 ) = 0, 01 P( 0, 676 6 ) = 0,001


Luego, como en los extremos del intervalo ( 0, 676 6, 0, 676 5 ) hay cambio de signo, la

raíz se encontrará dentro de éste. Luego, con cuatro decimales correctos.

En definitiva:

Las raíces del polinomio son:

Raíces reales

( y complejas conjugadas entre sí)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRASCENDENTES

En general, para la resolución una ecuación trascendente seguiremos los mismos tres

pasos que con las ecuaciones algebraicas., es decir:

Acotación

Separación

Aproximación

Sin embargo, algunas veces nos encontraremos con ecuaciones en las que, por sus

características particulares, nos podamos separar de este esquema y seguir otros métodos.

1. Acotación

Normalmente, para resolver la ecuación f(x) = 0 utilizaremos como intervalo(s) de

acotación al dominio de f.

2. Separación

A la hora de separar las raíces de una ecuación trascendente f(x) = 0, pueden ocurrir dos

casos:

(a) Conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

(b) No conocemos las raíces de la ecuación f '(x) = 0.

Resolución de ecuaciones trascendentes 47

Caso A: Conocidas las raíces de f '(x) = 0

Si conocemos las raíces de f ' (x) = 0, para separar las raíces de la ecuación

f(x) = 0 podemos utilizar el método de Rolle

Hemos de recordar que tenemos que trabajar en intervalos donde la función

sea continua y derivable (salvo quizás en los extremos de los intervalos).

Caso B: No conocidas las raíces de f '(x) = 0

Consideremos la ecuación f(x) = 0. Supongamos que podemos descomponer

la función f(x) como una diferencia de dos funciones, es decir,

f(x) = g(x h(x) . Entonces:

⇔ ⇔

Luego, buscar las raíces de la ecuación f(x) = 0 es equivalente a buscar

las raíces de la ecuación g(x) = h(x) . Y buscar los valores para los cuales

se verifica esta última es buscar los puntos de corte de las curvas y = g(x) e

y = h(x).

Resolver la ecuación

g(x ) = h(x )

consiste en buscar los

puntos de corte de las

gráficas de las funciones

y = g(x ) e y = h (x ).

En este caso, la ecuación

g(x ) = h (x ) tiene 3

soluciones: .

Por lo tanto, el método gráfico de separación consiste en dibujar las gráficas

de las curvas y = g(x) e y = h(x) para conocer el número de veces que se

cortan (que coincide con el número de raíces de la ecuación f(x) = 0). Las

gráficas nos proporcionan una estimación inicial del valor de las raíces que

nos permitirá empezar las iteraciones de los métodos de aproximación.

x

y

y g x ( )

y h x ( )

r1 r2

r3

48 Resolución de ecuaciones trascendentes

3. Aproximación

Para aproximar las raíces de una ecuación trascendente se pueden emplear tanto el

método de Newton como el método del Punto Fijo.

Ejemplo 16: Resolver la ecuación

dando una aproximación a sus raíces con dos cifras decimales

exactas.

Sea 3ln5

x

xxf )( . Tratamos de resolver la ecuación . Tenemos que:

dom f = cont f = der f = (0,+).

1. Acotación

A falta de mayor información, trabajamos con (0,+) como intervalo de acotación.

2. Separación

Tratemos de aplicar el método de Rolle. Como f es continua y derivable en (0,+), este

método se podrá aplicar siempre y cuando conozcamos las raíces de la derivada. La

derivada de f es:

Por lo tanto:

⇔ ⇔

La sucesión de Rolle de f en (0,+) está formada por {0, e6, +}. Calculando el valor de la

función (o el límite) en cada punto de la sucesión:

330

3ln5

limlim00 x

xxf

xx)(


3

13

13

ln5666

66

eee

eef )(

31

31

/1lim333

ln5limlim

L´H

x

x

xxf

xxx)(

En definitiva, tenemos que:

x 0 e6 +∞

f(x) +

Por lo tanto, podemos concluir que:

f tiene una única raíz ∈

f no tiene ninguna raíz en ∞

3. Aproximación

Utilicemos, por ejemplo el método del punto fijo. Así,

xx

x

xxf

3

ln53

ln50)(

Podemos tomar como función de iteración a:

3

ln5 xx

)(

No podemos empezar la iteración con 0 = 0 ( (x) no está definida en x = 0), ni con

0 = e6 ((e6 ) = ( 1 /3), que está fuera del intervalo). Tomemos cualquier punto

intermedio del intervalo, como por ejemplo 0 = 1 Entonces:

0 = 1

1 = 1( 0 ) = 1(1) = 1, 666 67

2 = 1( 1 ) = 1(1, 666 67) = 1, 496 39

3 = 1( 2 ) = 1(1, 496 39) = 1, 532 31

4 = 1( 3 ) = 1(1, 532 31) = 1, 524 41

5 = 1( 4 ) = 1(1, 524 41) = 1, 526 13

Finalmente, comprobemos que r 1, 52 es una aproximación de la raíz de la ecuación con


dos cifras decimales correctas. Así:

f(1, 52)= 0, 014

f(1, 53)= 0, 001 0

Luego, hemos demostrado que ∈ y, por lo tanto, r 1, 52 es una

aproximación con dos cifras decimales exactas a la única raíz de la ecuación.

Por lo tanto, concluimos que:

La ecuación tiene una única raíz real r 1, 52.

Ejemplo 17: Resolver la ecuación

932 xex

dando una aproximación a sus raíces con dos cifras decimales

exactas.

Definimos ; dom f = cont f = der f =ℝ .

Le ecuación original es equivalente a la ecuación .

1. Acotación

Trabajamos con ( ∞, ∞) como intervalo de acotación.

2. Separación

Emplearemos el método gráfico (16). Para ello, reescribimos la ecuación de

manera que las dos funciones obtenidas sean lo más fáciles posible de dibujar,

xxx ex

exexxf

3

939930

222)( .

16 No podemos aplicar directamente el método de Rolle. La derivada de f es y no conocemos

directamente las raíces de la ecuación .


Podemos tomar 3

9 2xxg

)( (parábola simétrica respecto del eje de ordenadas)

y . Tenemos que:

)()()( xhxgxf 0

Representemos las funciones g y h:

En el dibujo observamos que las

funciones g y h se cortan en dos

únicos puntos.

Por lo tanto, la ecuación

tiene exactamente dos raíces:

r1 ∈ ( 3, 2)

r2 ∈ (0, 2)

De todas las maneras, como el dibujo puede ser no muy preciso, antes de ponerse a

aproximar conviene cerciorarse de que efectivamente las raíces se encuentran en los

intervalos anteriores, calculando la imagen en los extremos de éstos y verificando que

efectivamente hay cambio de signo. Tenemos que:

)()(

)(

)()(

)(

2,0 nteefectivame17,172

60

2,3 nteefectivame59,42

15,03

2

1

rf

f

rf

f

Por lo tanto, podemos concluir que f tiene exactamente dos raíces:

f tiene una única raíz r1 ∈ ( 3, 2)

f tiene una única raíz r2 ∈ (0, 2)

3. Aproximación

Y ya podemos pasar a aproximar dichas raíces. La función de iteración de Newton es:


Aproximación de ∈ . Comenzando la iteración con 0 = 3:

0 = 3

1 = g *( 0 ) = g *( 3) = 2, 974 47

2 = g *( 1 ) = g *( 2.97447) = 2, 974 35

Según parece, con tres decimales exactos. De todos modos,

comprobémoslo:

f( 2, 974) = 0, 002

f( 2, 975) = 0, 038

con lo que efectivamente tenemos demostrado que con tres cifras

decimales exactas.

Aproximación de ∈ . Comenzando la iteración con β 0 = 2:

β 0 = 2

β 1 = g *(β 0 ) = g *(2) = 1, 343 942

β 2 = g *(β 1 ) = g *(1, 343 942) = 1, 040 314

β 3 = g *(β 2 ) = g *(1, 040 314) = 0, 986 150

β 4 = g *(β 3 ) = g *(0, 986 150) = 0, 984 635

β 5 = g *(β 4 ) = g *(0, 984 635) = 0, 984 634

En cinco iteraciones se han estabilizado las tres primeras cifras decimales.

Comprobemos que con tres decimales exactos:

f(0, 984) = 0, 006 34

f(0, 985) = 0, 003 66

Luego, ∈ y, por consiguiente, se tiene que r2 0, 984 con tres cifras

decimales exactas.

Luego, según hemos demostrado:


La ecuación tiene exactamente dos raíces reales:

Para finalizar el tema, veamos cómo, en algunas ocasiones, podemos transformar

una ecuación en otra más sencilla de resolver

Ejemplo 18: Resolver las ecuaciones

.

La ecuación [1] siempre depende de x a través de 3 x .

La ecuación [2] depende de x a través de 4 1 x .

La ecuación [3] depende de x a través de 2x.

En situaciones como éstas podemos intentar hacer un cambio de variable que nos haga

más sencilla la resolución de la ecuación. Algunas veces, conseguiremos transformar las

ecuaciones en ecuaciones algebraicas.

En las ecuaciones del ejemplo nos encontramos con que:

[1] Haciendo el cambio de variable 3 xy , la ecuación [1] se convierte en:

0245 33 2 xx 02452 yy

[2] Haciendo el cambio de variable 4 1 xy , la ecuación [2] se convierte en:

024151 4 xx 02452 yy

[3] Haciendo el cambio de variable xy 2 , la ecuación [3] se convierte en:


05232 3 xx 052

232

3

x

x 052

33

y

y

051

24 y

y 05242

y

yy 02452 yy

En esta ocasión, en los tres casos la ecuación correspondiente se ha convertido en una

ecuación algebraica inmediata de resolver: 02452 yy . Las soluciones de esta última

son:

8ó32

121502452

yyyyy

Deshaciendo los cambios de variable encontramos las soluciones de las ecuaciones

originales:

[1] Ecuación [1]: Deshaciendo el cambio 3 xy :

y = 3 ⇒ 33 x ⇒ x = 33 = 27

y = 8 ⇒ 38 x ⇒ x = ( 8)3 = 512

Luego, las soluciones de la ecuación [1] son r1 = 27 y r2 = 512.

[2] Ecuación [2]: Deshaciendo el cambio 4 1 xy :

y = 3 ⇒ 4 13 x ⇒ x = 34 1 = 80

y = 8 ⇒ 4 18 x (esta ecuación no tiene solución)

Luego, la única solución de la ecuación [2] es r1 = 80.

[3] Ecuación [3]: Deshaciendo el cambio xy 2 :

y = 3 ⇒ x23 ⇒ 2ln3ln x ⇒

2ln

3lnx

y = 8 ⇒ x28 (esta ecuación no tiene solución)

Luego, la única solución de la ecuación [3] es r1 =2ln

3ln.

Polinomios y ecuaciones con wxMaxima 55

Apéndice 1

Algunas órdenes útiles de wxMaxima útiles para trabajar con polinomios y ecuaciones

Polinomios

coeff (expr, n) o coeff (expr, x^n) Devuelve el coeficiente de en expr, donde expr es un

polinomio o monomio en x.

hipow (expr, x) Devuelve el mayor exponente explícito de x en expr. El argumento x puede

ser una variable o una expresión general. Si x no aparece en expr, hipow devuelve 0.

La función hipow no tiene en cuenta expresiones equivalentes a expr. En particular, hipow no expande expr, de manera que hipow (expr, x) y hipow (expand (expr, x)) pueden dar resultados diferentes.

División de polinomios

quotient (P1, P2) Devuelve el cociente de la división del polinomio P1 dividido por el

polinomio P2.

56 Polinomios y ecuaciones con wxMaxima

remainder (P1, P2) Devuelve el resto de la división del polinomio P1 dividido por el

polinomio P2.

divide (P1, P2) Calcula el cociente y el resto de la división del polinomio P1 dividido por el

polinomio P2. El resultado de divide(P1, P2) es una lista cuyo primer miembro es el

cociente y el segundo miembro el resto de la división.

Las anteriores órdenes quotient, remaider y divide se pueden emplear también en la división de números enteros.

factor (expr) Factoriza la expresión expr, que puede contener cualquier número de

variables o funciones, en factores irreducibles respecto de los enteros.

La factorización que proporciona factor es la factorización irreducible dentro de , no

dentro de ℝ Puesto que el polinomio del ejemplo anterior tiene dos raíces reales, a saber,


y , su factorización irreducible dentro de ℝ sería

, que no es la que proporciona Maxima.

Se puede acceder a factor con wxMaxima en el menú Simplificar con:

Simplificar ⟶ Factorizar expresión

expand (expr) Expande la expresión expr. Se multiplican los productos de sumas y de

sumas con exponentes.

Se puede acceder a factor con wxMaxima en el menú Simplificar con:

Simplificar ⟶ Expandir expresión

Ecuaciones

En wxMaxima, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones escrita con el símbolo =

A una ecuación se le puede asignar un nombre:

Se puede operar con ella:


Las operaciones realizadas sobre una ecuación se realizan sobre ambos miembros de la

ecuación.

Nos podemos referir a cada miembro de la ecuación con rhs (nombr_ecu), miembro del lado

derecho de la ecuación, o lhs (nombr_ecuk)

Resolución de ecuaciones

solve (ecuac, var) o solve (ecuac) o solve (expr, var) o solve (expr) Intenta resolver

una ecuación de forma exacta, dando sus raíces reales. Consigue resolver exactamente

ecuaciones algebraicas de hasta grado 4.

Las cuatro órdenes del ejemplo siguiente son equivalentes. Si está claro de qué variable

depende la ecuación, se puede omitir var. Si en la expresión que ordenamos resolver no

aparece el término derecho, Maxima sobrentiende que éste es igual a 0.


Puede resolver ecuaciones que dependen de algún coeficiente desconocido. En estos

casos es obligatorio indicar cuál es la variable respecto de la que queremos resolver la

ecuación:

La salida de la orden solve es una lista en la que cada uno de los elementos es una

ecuación.

Se puede acceder a solve con wxMaxima en el menú Ecuaciones con:

Menú ecuaciones ⟶ Resolver

La función solve guarda las multiplicidades de las raíces encontradas en la variable

multiplicities.

es decir, la ecuación tiene tres raíces con multiplicidades 2, 1 y

4, respectivamente.


La orden solve es incapaz de encontrar las raíces de la mayor parte de polinomios de grado

mayor que 4:

También es incapaz de resolver la mayor parte de ecuaciones trascedentes. Si solve no

logra resolver una ecuación de forma exacta, intenta dar una versión simplificada de ésta:

La orden solve también puede resolver algunos sistemas de ecuaciones. En este caso, en

primer lugar se dará una lista con las ecuaciones que componen el sistema y, en segundo

lugar, una lista con las variables respecto de las que queremos resolverlo, es decir, solve (

[ecuac1, ecuac2,…,ecuacj] , [var1, var2, …, vark] ) . En el siguiente ejemplo se intentan

buscar los puntos de corte de la circunferencia de centro el origen y radio 1 con la bisectriz

del primer/tercer cuadrante:

allroots (polinom=0) o allroots (polinom) Calcula aproximaciones numéricas de las raíces

reales y complejas del polinomio polinom:

La orden allroots no funciona con ecuaciones trascendentes.

Se puede acceder a allroots con wxMaxima en el menú Ecuaciones con:


Menú ecuaciones ⟶ Raíces de un polinomio

bfallroots (polinom=0) o bfallroots (polinom) Calcula aproximaciones numéricas de las

raíces reales y complejas del polinomio polinom. En todos los aspectos, bfallroots es

idéntica a allroots, excepto que bfallroots calcula las raíces en formato bigfloat.

Se puede acceder a bfallroots con wxMaxima en el menú Ecuaciones con:

Menú ecuaciones ⟶ Raíces reales grandes de un polinomio

(Como puede observarse, la traducción de la orden en el menú es poco afortunada:

debería ser algo así como “raíces de un polinomio en formato bigfloat”).

realroots (polinom=0) o realroots (polinom) Calcula aproximaciones racionales de las

raíces reales del polinomio polinom. Los coeficientes del polinomio deben ser números

literales, por lo que las constantes simbólicas, como %pi, no son aceptadas.

La función realroots guarda las multiplicidades de las raíces encontradas en la variable

global multiplicities.

Se puede acceder a realroots con wxMaxima en el menú Ecuaciones con:

Menú ecuaciones ⟶ Raíces reales de un polinomio

find_root (expr, a, b) o find_root (f, a, b) Calcula una raíz de la expresión expr o de la

función f en el intervalo cerrado [a, b]. Si la expresión expr es una ecuación, find_root

busca una raíz de lhs(expr) − rhs(expr).


A pesar de que el manual de wxMaxima afirma que find_root encontrará la raíz buscada o

raíces en caso de existir varias, si las raíces de la función no están bien separadas Maxima

puede fallar. Las raíces de la función f del siguiente ejemplo son claramente 1, 2 y 3. Si le

pedimos a Maxima que encuentre las raíces de f en el intervalo , únicamente

encuentra la raíz .

find_root espera que la función en cuestión tenga signos diferentes en los extremos del

intervalo [a, b] en el que se esté buscando la raíz.

Se puede acceder a find_root con wxMaxima en el menú Ecuaciones con:

Menú ecuaciones ⟶ Calcular raíz

nroots (polinom, inf, sup) Devuelve el número de raíces reales del polinomio real

univariante polinom en el intervalo semiabierto (inf, sup]. Los extremos del intervalo

pueden ser menos y más infinito. La función nroots utiliza el método de separación de

Sturm.

Problemas propuestos 63

Apéndice 2:

Problemas propuestos

1. (a) Hacer un estudio de las diversas formas que puede tomar la gráfica de un

polinomio de grado 3.

(b) Hacer lo mismo para los polinomios de grado 4.

2. Hallar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones:

(a) x4 x3 11 x2 x 12 0

(b) 4 x5 20 x4 37 x3 38 x2 33 x 18 0

(c) 2 x3 x2 8 x 4 0

3. Calcular las raíces de la ecuación 2 x4 5 x3 4 x2 10 x 3

4. Dada la función f (x) a x2 b ln (x 1) c, separar sus raíces en los siguientes casos:

(a) a 2, b 3, c 1 (b) a 2, b 3, c 1

(c) a 1, b8

3 , c 1 (d) a 1, b

8

3 , c 0

(e) a 1, b8

3 , c 1

5. Separar las raíces de la función f (x) e1/x x a según el valor del parámetro a.

6. Separar las raíces reales del polinomio P(x) x5 20 x3 140 x 136.

7. Comprobar que la ecuación x 10x 2 tiene una raíz entre 0 y 1. Si aplicamos el

método de la iteración del punto fijo no converge. Encontrar una transformación de la

ecuación para la cual sí converja. Dar una aproximación a dicha raíz con un error

menor que una diezmilésima.

64 Problemas propuestos

8. Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas, dando sus raíces con dos cifras

decimales exactas:

(a) 2 x7 4 x5 3 x2 1 0 (b) 2 x6 7 x3 9 0

(c) 2 x4 6 x3 3 x2 4 x 15 0 (d) x4 x2 2 x 2 0

(e) x5 2 x3 2 x2 2 x 1 0 (e) x192 9 x152 50 0

9. Resolver las siguientes ecuaciones, dando una aproximación a sus raíces con dos

cifras decimales exactas:

(a) x

xln 3 0 (b) 2 cos x ch x 0

(c) 2x x2 8 (d) x4 4 x3 x2 6 x 2 0

(e) 2 x4 8 x3 33 x 30 0

(f) sh x (sh x 2 )1

3ch x (ch x 1 ) 0

(g) x5 2 x4 x3 2 x2 4 x 2 0 (h) x ex 3

(i) x3 9 x2 26, 25 x 24, 5 0 (j) x2 ln x 3

2

(k) 6 x3 23 x2 11 x 12 0

10. Separar las raíces de la ecuación 4 cos x ex 0 y aproximar con tres cifras decimales

exactas aquéllas que se encuentren en el intervalo (2, 2 ).

11. Hallar las raíces reales de la ecuación x 2 sen x 1 dando una aproximación a sus

raíces con cuatro cifras decimales exactas.

12. Dar una aproximación al valor de la raíz de la ecuación

01(

1130

1

112516

30

30

15

15

)

)(

)(

)(

rr

r

rr

r

que se encuentra próxima a 0 (nota: antes de resolver la ecuación tratar de

simplificarla utilizando el infinitésimo equivalente )( 111

xnxn ).

13. Encontrar los puntos de corte de las curvas cuyas ecuaciones son x2 4 y2 36 e

y x (x 6).

14. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

Problemas propuestos 65

f (x) x3 6 x2 30 x 3 x ln(x2) 21

15. Dada la ecuación implícita e

x

xy

2 3 x2 y ln y , calcular el valor de

dx

dy para x 2.

16. Dada la ecuación implícita y3 ln x 5 y2 x2 x 2 y e x, calcular el valor dedx

dy para

x 4.

17. La temperatura )(tT , medida en grados centígrados, de un líquido t horas después de

verse sometido a un experimento químico viene dada por:

2112355 234 tttttT )(

Encontrar, con al menos tres cifras decimales exactas, los momentos en que la

temperatura del líquido es de 20ºC.

18. El número de bacterias en una población t horas después del inicio de un experimento

viene dado por

1300020015153

40

423

45

ttttt

tN )(

Determinar los momentos, con 3 cifras decimales exactas, para los cuáles la población

crece y decrece lo más rápidamente desde el inicio hasta transcurridos:

(a) el primer día del experimento.

(b) los dos primeros días del experimento.

19. Se ha observado que t meses después de dejar de fumar, las unidades de nicotina N por

cm3 de sangre satisfacen la siguiente ecuación:

102 tNet N

Calcular el nivel de nicotina en sangre 2 meses después de dejar de fumar. ¿A qué

ritmo está cambiando el nivel de nicotina en este instante?

20. Para realizar un estudio sobre la mortalidad por causas naturales se tomaron 144

ratas. Todas estas ratas alcanzaron una edad de 5 meses. A partir de este momento

empezaron a registrarse las muertes por causas naturales.

Aunque la función de supervivencia es una función escalonada, se ha observado en

repetidas ocasiones que se puede ajustar muy bien si se emplea para ello la llamada

66 Problemas propuestos

fórmula de Gompertz o curva sigmoide. Según esta fórmula, el número NN (t) de

animales supervivientes en una población hasta el instante t es aproximadamente

igual a:

N N (t) kt

beea

donde a, b y k son constantes positivas.

(a) Si para la muestra de 144 ratas se observó que en el mes 25 (contando desde el

inicio del experimento) quedaban 100 ratas y en el mes 35 ya sólo quedaban 20

animales, dar una estimación de la función de supervivencia de las ratas (nota:

tomar el mes 5 como origen del tiempo).

(b) Si consideramos el experimento desde su inicio, ¿cómo queda la función de

supervivencia? Representarla gráficamente.

(c) Calcular N (15) y N '(15) y comentar los resultados.

(d) Calcular N (34) y N '(34) y comentar los resultados.

(e) ¿En qué momento la tasa de mortalidad es máxima? ¿Cuál es esa tasa de

mortalidad?

(f) ¿En qué momento se puede suponer que se han muerto todas las ratas?

21. Los beneficios de una empresa, en miles de euros, en el año x vienen dados por el

polinomio xxxxxp2

1

2

1

4

1

4

1 246 )( , donde 5,0x .

(a) Encontrar los beneficios máximos y mínimos conseguidos, así como los

momentos en los que se alcanzaron.

(b) ¿A qué ritmo varían los beneficios de la empresa en el año 4x ? Dar unidades e

interpretar el resultado.

(c) ¿En qué momento los beneficios de la empresa crecen más rápidamente?

(b) Representar gráficamente la función )(xp .

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. · 6 Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica En...

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