RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3 Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3. Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz. Aplicaciones de los determinantes:. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. - PowerPoint PPT Presentation
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES
TEMA 3
Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Aplicaciones de los determinantes:
Cálculo del rango de una matriz
Cálculo de la inversa de una matriz
DETERMINANTES DE ORDEN 2:
51·23·13121
·· 211222112221
1211
aaaaaaaa
16491405243·1·30·1·24·7·55·1·14·3·20·7·3014371523
············
············
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
DETERMINANTES DE ORDEN 3:
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1210111
111
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, el determinante es cero.
0000111
111
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
3. Si se permutan dos filas o columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo:
4111211
011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
4. Si en una matriz cuadrada , hay dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero.
0111111011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número:
20211
555011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante vale cero
0111022011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
7.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
abaabaaba
aaaaaaaaa
abaaabaaabaa
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
8. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada, le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas paralelas, su determinante no varía
2133 ·5 ,4157
111011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1·211
111011
FFFF
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
9.Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación linela de otras paralelas, su determinante vale cero
213 ·2 : 3 fila la ,0110112011
FFF
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
10.
BABA ··
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
2754321532
·1
:a elemento del Adjunto
2754321532
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
2112
12
12
33
A
A
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
108764512620
·1
:a elemento del Adjunto
108764512620
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
3333
33
33
33
A
A
16311512620
·1
:a elemento del Adjunto
16311512620
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
3443
43
43
43
A
A
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
ELEGIMOS CUALQUIER FILA O COLUMNA, GENERALMENTE LA QUE TIENE MÁS CEROS O NÚMEROS MÁS SENCILLOS Y DESPUÉS EL CÁLCULO ES COMO SE MUESTRA:
Fotos : Gabriel de Castro Manzano
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
EJEMPLO :
1165362917
·7)821362917
·1·(18211165917
0)821
1165362
·1·(4
82711161536029147
·7·1·0·4
82711161536029147
42322212
AAAA
“DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA”
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
Cuantos más ceros tenga la línea elegida, más fácil será el cálculo
¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8!
RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES
MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS
RANGO DE UNA MATRIZ : NÚMERO DE FILAS(COLUMNAS)LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Nº DE FILAS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
RANGO DE UNA MATRIZ
654113012133215021031
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
55031
F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0213
150031
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0113
250131
0
013350231
04113150031
05113250131
06113350231
F3 depende linealmente de F1 y F2
F4 depende linealmente de F1 y F2
654113012133215021031
A
Ran (A)=2
La matriz A tiene solo dos filas linealmente independientes por tanto:
2201832773151012
D
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
31512
F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0327315
012
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0827715112
F3 depende
linealmente de F1 y F2.
0201315
012 0
201715112
F4 no depende
linealmente de F1 y F2
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran Si el rango es menor que el nº de incógnitas : Infinitas soluciones ; Sistema Compatible Indeterminado
Si el rango es igual que el nº de incógnitas : Solución única ; Sistema Compatible determinado
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
111
azyxzayxzyax
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
21231111
1111
233 aaaaaaaaa
aa
21
021
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
2
aa
aa
AranASi
1)()(
111111111111
y 111111111
'
'
AranAran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si a=1,
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, INFINITAS SOLUCIONES.
111
azyxzayxzyax
Si a = -2,
02-1
12- ejemplopor que ya ,2)(
121111211112
y 211
121112
'
Aran
AA
3)(
09122114111121112
?)(¿
'
'
Aran
Aran
)()( 'AranAran
111
azyxzayxzyax
)()( 'AranAran
SISTEMA INCOMPATIBLE , SIN SOLUCIÓN
Si a = -2,
Sistema compatible determinado, solución única. Lo resolvemos por CRAMER
2y 1 aasi
3)()( ' AranAran
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
757143
157
zxmzyxzy
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
24549507
43570
mm
5024549
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
mm
AranASi
04370
,2)(
750715437570
y 507543570
'
Aran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si m=5,
757143
157
zxmzyxzy
¿Ran(A’)?
0707143770
¿Ran(A’)?
Ran(A’)=2
Si m =5, Ran(A)=2, Ran(A’)=2
Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones
750715437570
'A
Si m ≠5, Ran(A)=3, Ran(A’)=3
Sistema compatible determinado, solución única
En este caso, si nos piden resolverlo, lo haríamos por Cramer dejándolo en función de m
332313
322212
3121111
1
333231
232221
131211
1
) ( entonces
AAAAAAAAA
AA
AadjuntamatrizA
aaaaaaaaa
Atraspuesta
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
EJEMPLO:
:que así inversa, tiene0, A de tedeterminan como
11110111101011
; 111101011
AA
10111
21111
11101
11101
11101
01111
11001
11101
11110
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
111101011
A
121110111
121110111
A Entonces
11
-1
AA
