Resolución Parcial 301015 (1)

7/25/2019 Resolucin Parcial 301015 (1)

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Un objeto puntual P de masa mP, se desplaza apoyado sobre la pista sin friccin cuya geometra est

mostrada en la figura. El objetivo que se plantea es quePalcance el punto C. Los puntos A inicialy C final seencuentran a la misma altura h(nivel I) respecto del piso (nivel III). Se lleva P hasta el nivel I comprimiendo

una distancia x a un resorte de constante k. Al llegar al puntoB, Pimpacta con un pndulo de hilo inextensible

de masa m y longitud h/2. El impacto tiene un coeficiente de restitucin e.

Considerar g 10 m/s2, mP1 kg, h= 2 m, k= 1050 N/m, m = 1,2 kg, e = 0,4, x = 0,2 ma) Calcular la energa mecnica disponible en A

b) Fundamentar si se cumplir el objetivo.

Explicitar su estrategia de trabajob1) si se cumple el objetivo, hallar la energamecnica y la velocidad con la que P llega a C

b2) en caso negativo solucionar el problema

cambiando algn parmetro relevante sincambiar la ubicacin de C.

c) Fundamentar si el pndulo dar una vuelta

completa. En caso negativo calcular la altura

mxima que alcanza.d) Considerar el punto ms alto en la

trayectoria del pndulo (llegue o no a ese

punto). Graficar para esa posicin la tensin de la cuerda en funcin de la velocidad.e) Para(P+resorte+Tierra) realizar diagramas de barras de la energa cintica y potencial en A, B y (C o hmax)

la transformacin de los distintos tipos de energa mecnica y el intercambiode energa mecnica al/desde el

medio

a)Para poder calcular la energa mecnica de un sistema material, en este caso(P+ resorte+ Tierra), se debe

determinar el nivel de Ug = 0 J. En este caso se eligeel nivel III

= = = 20 J+ 21 J = 41 J (1)b)Estrategia de anlisis

Resumiendo:

calcular = = 20 0 = 20 J (2) = 0 = 0 /comparar (1) con (2)

{ >

C nivel I

nivel II

B

45o

A

nivel III

superficie lisa

hilo

P

h

Analizo energa mecnica disponible en A y mnima necesaria en Cpara evaluar si alcanza para llegar.

Es unprimer sondeo. Si no hay suficiente energa mecnica ya estoy en condiciones de decir que el

objetivo no se cumple. En caso de que alcance, debo recorrer todoel proceso para buscar posibles puntos

crticosque requieran mayor energa mecnica que C o detectar posibles prdidas localizadasde energa

mecnica.


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De (1) y (2) para el caso particular en estudio > Analizando el proceso, se ve que hay un choque de mPcon un pndulo. Se analizar entonces la posible prdida

energtica K durante el impacto.

Si EA ECmin+ K se cumple el objetivo. La energa mecnica en A alcanza para llegar a C.

Si EA< ECmin+ K no se cumple el objetivo. La energa mecnica en A no alcanza para llegar a C

Anlisis del impacto:

La utilizacin de las herramientas fsico matemticas asociadas a la conservacin de la cantidad de movimiento

lineal, implica elegir: 1) sistema material y

2) definir los estados inicial y final del proceso impulsivo

Sistema material(P + m)

Estado inicial: un instante antes del impacto (estado B)

Estado final: un instante despus del impacto (estado B`)(Lo que sucede antes o despus de estos estados queda fuera del anlisis del impacto)

Al tomar contacto P y m, sus superficies se deforman, quiz en forma permanente, se puede generar ruido,propagar ondas mecnicas, calor; todos procesos en los cuales hay transformaciones de energa mecnica en

formas no mecnicas que no pueden ser recuperadas por el sistema.

Kest asociada a estas ltimas

Para entender el funcionamiento del sistema en este proceso vamos a plantear esquemas vectoriales de cantidadde movimiento e impulsos lineales

Observaciones:

las partculas, que estn en la misma lnea, se muestran en distintas lneas horizontales por claridad deldibujo

se desprecia el impulso de los pesos sobre el sistema.

pp es horizontal pues se supone que no pierde contacto con la pista

pm es horizontalpor su condicin de vnculo (pndulo) en el estado final definido al comienzo de esteanlisis. Durante el proceso se asume que no vara la posicin de las partculas

P PProceso Impulsivo

pp

pm = 0

pp

pmJp/mJneto/m

Jm/pJneto/p


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Volviendo al anlisis:

Se trata de un proceso unidimensional; tomamos x positivo hacia la derecha.

+ = + (3) = () (4)Observacin:

(3) tiene dos incgnitas y por s sola admite infinitas soluciones compatibles con la limitacin dinmicagobernada por J= p.

de todas las soluciones anteriores posibles, (4) establece una limitacin energticaindependiente de la

anterior que define el problema en forma unvoca.

Despejando de (4) y reemplazando en (3) se obtiene: = + (5)

Relacin entre las velocidades de P antes y luego del impacto. (No nos olvidamos que estamos evaluando la

posible prdida localizada de Energa mecnica durante el impacto!)

Cmo podemos calcular ?Mediante un anlisis energtico entre A y B Clculo de Sistema material (P+resorte +Tierra)

Se conserva la energa mecnica entre A y Bpor lo que podemos afirmar:

== = = 2/mP= 82 =9,05 ( estado B)

en (5) = (1- 0,4 * 1,2 )/(1+1,2) * 9,05 = 2,14 (estado B)Ahora estamos en condiciones de calcular la prdida localizada de energa mecnica (cintica en este caso) durante

el choque para el sistema P

Jneto/p+m = 0 por lo que pp+pm= cte


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KB-B= KB- KB =mP(vP2-vP2) = - 38,66 J

Para solucionar el problema y cumplir el objetivo, se puede pensar que la energa necesaria en A ser la que

estrictamente requiere C ms lo que se pierde en el choque, es decir

EA nec = ECnec+ KB-B= 20 J + 38,66 J = 58,66 J = mP g h + k x2

(6)

Conviene elegir algn parmetro de las condiciones iniciales que al cambiarlo no afecte el resto de la energapuesta en juego, por ejemplo: h; k o x. Por qu no elegir mP?

Despejando de (6) cualquiera de ellos se cumplir el objetivo de llegar a C

Barras de Energa Mecnica

Alternativa I

0

10

20

30

40

50

A B B hmax

Ttulo del grfico

K (J) Ug (J) Uela (J) Wnc (J)

K (J) Ug(J) Uela(J) Wnc (J) E (J)

A 0 20 21 41

B 41 0 0 41

B 2,29 0 0 38,66 2,29

hmax 0 2,29 0 38,66 2,29

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

A B B hmax

Ttulo del grfico

K (J) Ug (J) Uela (J) Wnc (J)

Es decir de la energa disponible en A (41 J), la partcula P pierde en el choque 38,66 J

por lo que en B la energa que le qued para llegar a C es 2,29 J, que comparada con la

mnima que necesita para llegar a C (20 J) nos permite decir queno llegar a C

Alternativa II


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c) Pndulo

Debemos corroborar si el pndulo realizara una vuelta completa, girando respecto a O. Para ello debemos

analizar el punto con mayor solicitacin energtica, este es el punto superior del pndulo D.

Estr ategia de Anlisis:

Compararemos para el Sistema (m+Tierra)la energa Necesaria para dar una vuelta vs la energa disponible

de la masa luego del choque.

Si EB EnecD se cumple el objetivo. La energa mecnica en B alcanza para llegar a D.

Si EB < EnecDno se cumple el objetivo. La energa mecnica en B no alcanza para llegar a D

Para el clculo de la energa necesaria realizaremos un DCL de este punto en particular. Considerando el ejeradial positivo hacia el centro.

= = = (7)Para el clculo de VmDnec nos basaremos en el DCL, en donde la sumatoria de fuerzas nos queda:

= 8Donde como ya sabemos el mdulo de la aceleracin radial es igual a, donde el radio es igual a h/2.

= = = 9Combinando (8) y (9), obtenemos

= /2 10Para cuando la Tensin es igual a cero obtenemos el caso de mnima velocidad necesaria para que la masa de

una vuelta. Entonces despejamos vmDnec

D

N III

O

mm DCL

Pm Tar

VmD

E


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= 2 =3.16/

= 12 2 = 54 = 30 Ahora calculamos la energa disponible en B, luego del choque

= = 0 = (7)La velocidad despus del choque, Vm (estado B) ,la obtenemos de la ecuacin (3)

= = . /Entonces

= 12 =19.89La energa de EBes menor que la energa necesaria!!!!!!! Por lo tanto no dar la vuelta completa.

Calcularemos la posicin de mxima altura antes que la tensin se haga cero. Para ello vamos a corroborar si lamasa m supero la horizontal.

La energa necesaria para llegar al punto E, es solo potencial. Ya que si analizamos el DCL en este punto,podemos observar que la aceleracin radial slo depende de la tensin y en este punto cuando la tensin se hace

cero la velocidad tambin se hace cero. Entonces el requerimiento energtico de este punto es slo potencial

gravitatoria ya que admite velocidad cero en E.

= = = 12 JPodemos observar que la energa disponible en B es mayor que la energa necesaria para llegar a E. Entonces

la masa superara la horizontal.

Analicemos hasta donde llega. Para ello consideraremos el punto M en el cual la tensin se hace cero,

calculando la velocidad y realizando el balance de energa calculamos ese punto.

N III

O

mm

DCL

PmT ar

VDM

E

hM

M

atg


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De la sumatoria de fuerzas en el eje radial:

= /2 =/2 Entonces, si T=0 = La energa mecnica en M ser:

= = 12 = 2 12

=

2 3

2

Si igualamos la EM con la energa disponible despus del choque

= = 12 2 32 = 12

=12

232 =0.44

Entonces la altura mxima que alcanzara ser

= 2 =1.44d) En el siguiente grafico tenemos la tensin en funcin de la velocidad, como podemos ver es una ecuacin

cuadrtica con un valor de T=0 para la velocidad 3.16m/s

=

2


8/8

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8

T vs vT(N)

El grfico comienza desde

esta velocidad, ya que es la

minima velocidad para que

de una vuelta, v=3.16m/s

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