Taller II Facultad de Ciencias Física y Astronomía Instituto de Física

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Práctica Nº 6 Circuito RLC

1.- INTRODUCCIÓN Un circuito RLC es aquel formado por una resistencia, una bobina y un

condensador conectados en serie. La práctica constará de dos partes. En la primer parte estudiaremos la respuesta del circuito RLC a una alimentación con una onda sinusoidal (corriente alterna) en función de la frecuencia. Este tipo de respuesta es el llamado régimen estacionario o estado de régimen. En la segunda parte trataremos el régimen transitorio del circuito RLC. Este es el que se establece, por ejemplo, en el lapso inmediatamente posterior al cerrar, por medio de un interruptor, el circuito formado por una bobina, un condensador, una resistencia y una fuente continua. Más concretamente, veremos la respuesta del circuito RLC a una alimentación con una onda cuadrada. 2.- FUNDAMENTO TEÓRICO 2.1.- Régimen Estacionario Considere un circuito RLC como el de la figura 1, alimentado por una onda sinusoidal de frecuencia ω de la forma )tcos(V)t(V 0 ω= .

Figura 1 - Circuito RLC alimentado por una corriente alterna.

Usando la ley de mallas y que dtdQI = , se obtiene la ecuación diferencial que permite

hallar la carga:

2

20 dt

QdLdtdQR

CQ)tcos(V ++=ω (1)

donde: CQVC = RIVR = y

dtdILVL =

La ecuación diferencial anterior es una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea. La solución a dicha ecuación diferencial es la suma de dos partes, la solución de la homogénea (ecuación igualada a cero, sin el término sinusoidal) y una solución particular. El término homogéneo, decae rápidamente en un tiempo τ pequeño y a tiempos largos sólo sobrevive la solución particular, llamada solución de régimen o régimen estacionario. El lapso de tiempo comprendido entre el instante inicial y el instante en que la contribución de la solución homogénea se hace despreciable (que es del orden de τ) se llama transitorio y nos ocuparemos de él en la segunda parte de la práctica. La solución de régimen puede ser calculada utilizando el método de fasores, de la misma forma que se hizo en la práctica anterior. Utilizando dicha solución la corriente de régimen queda expresada como:

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2

)tcos()(IdtdQ)t(I 0 φ+ωω== (2)

donde la amplitud está dada por

22

00

C1LR

V)(I

ω−ω+

=ω (3)

y el defasaje:

ω−ω=Φ

R

LC1

Arctg (4)

Se observa que la solución de régimen no depende de las condiciones iniciales, por lo cual a tiempos largos (una vez amortiguada la parte homogénea de la solución), el circuito RLC alimentado por una onda sinusoidal se comportará del mismo modo, independientemente de cual fuera su estado inicial.

Las figura 2 muestra la dependencia de la amplitud I0(ω)y el defasaje Φ(ω) con la frecuencia ω de la onda sinusoidal con que el circuito RLC es excitado.

Figura 2 - Amplitud y Fase en función de la frecuencia para la corriente de régimen. Observamos la existencia de un máximo en la amplitud para cierta frecuencia ω0. Al excitar el circuito con dicha frecuencia, no sólo la amplitud de la corriente de régimen es máxima sino que también lo es la energía entregada por la fuente al circuito (se puede probar que la energía del circuito es proporcional al cuadrado de la amplitud de la corriente), por lo cual ω0 es llamada frecuencia de resonancia del circuito RLC. Al

Ejercicio 1 – Considerando que el circuito RLC serie de la figura 1 es alimentado por una fuente sinusoidal de la forma )tcos(V)t(V 0 ω= demostrar, utilizando el método de fasores, que la solución para la amplitud y la fase de la corriente vienen dadas por las ecs. (2) y (3)

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excitar el circuito con dicha frecuencia se observa además que el defasaje entre el voltaje de la fuente y la corriente de régimen es nulo. Por lo tanto obtenemos el valor de la frecuencia de resonancia como:

LC1

0 =ω (5)

Observamos que el valor de la frecuencia de resonancia no depende de la resistencia R.

2.2.- Factor de Calidad Q Para una bobina, condensador o circuito en general, se define el factor de calidad Q del circuito como:

( )ciclopor disipada energía

almacenada media energía2Q π=ω

Si bien la definición del factor de calidad es válida para cualquier valor de frecuencia, en general su uso práctico se limita al valor del mismo en la frecuencia de resonancia ω0.

Definamos las frecuencias ω1 y ω2 como aquellas para las cuales la amplitud de la corriente verifica:

( ) ( ) ( )2

III 00

2010ω

=ω=ω (ver figura 2)

donde ( )00I ω es la amplitud de la corriente en la resonancia. Estos valores se conocen como puntos de potencia mitad ya que la potencia disipada a estas frecuencias es la mitad de la máxima, correspondiente a la resonancia.

Si definimos en la figura 2 el ancho del pico de resonancia como:

2∆ = ω2 – ω1 se puede probar que el factor de calidad Q puede también ser expresado en la forma:

∆ω

=2

Q 0 (7)

Ejercicio 3 – Demostrar que para el circuito RLC serie de la figura 1, el factor de calidad en la resonancia se puede expresar como:

RL

Q 0ω= (6)

donde LC1

0 =ω es la frecuencia angular de resonancia.

Ejercicio 2 – Demostrar que la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie de la figura 1 viene dada por la ec. (5)

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Esta forma de expresar Q nos muestra una interpretación gráfica del factor de calidad, cuanto más pronunciado (y estrecho) sea el pico de resonancia de la amplitud, mayor será el factor de calidad del circuito.

3.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Como inductancia L se utilizará el bobinado de un transformador. Las pérdidas de dicho transformador a la frecuencia de trabajo son importantes por lo que habrá que tenerlas en cuenta. Para ello agregamos al modelo de la inductancia L una resistencia en serie RL. Esta resistencia no solo se debe a las pérdidas óhmicas (resistencia del alambre de cobre que forma el bobinado), sino que tiene en cuenta otros efectos asociados al núcleo del transformador y que dependen de la frecuencia de trabajo. El valor de RL es, en principio desconocido y se deberá hallar en la práctica. 3.1.- Régimen Estacionario. En primer lugar estudiaremos el estado de régimen de un circuito RLC alimentado por una onda sinusoidal como el de la figura 1.

• Conecte el circuito RLC como en la figura 5. • Conecte el osciloscopio para medir V0 en el canal X y VR en el canal Y. • Mida la amplitud de V0 y asegúrese de no modificarla durante las mediciones. • Frecuencia de resonancia f0

Encuentre y mida la frecuencia de resonancia f0 y su incertidumbre, usando el osciloscopio. Para ello haga uso de las figuras de Lissajous y además verifique el resultado con alguna de las condiciones que se cumplen en resonancia. Observe el adelanto y atraso de VR respecto a V0 en un entorno de la resonancia.

• Curvas de la amplitud de la corriente I0(ω) y del defasaje Φ(ω) Para distintos valores de frecuencia f mida I0 y Φ por medio de VR. Sugerencia: elija las frecuencias de forma que queden próximas a las siguientes fracciones respecto al valor de la frecuencia de resonancia:

=0ff 0.05, 0.3, 0.5, 0.75, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.5, 2, 3

Compare las curvas de amplitud y fase experimentales con las teóricas.

Ejercicio 4 – Demostrar que el ancho del pico de resonancia 2∆ = ω2 – ω1 puede escribirse como:

LR2 =∆ (8)

y usando el resultado del ejercicio 3 demostrar el factor de calidad se puede escribir

como:∆

ω=

2Q 0

Figura 5

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• Estimación de RL. Como vimos, RL modela las pérdidas debidas a varios efectos que presenta el transformador a las frecuencias de trabajo. Para estimar su valor, recordemos que en resonancia VL (voltaje en bornes de la inductancia ideal) es opuesto a VC (voltaje en bornes del condensador). Por ello, en resonancia el circuito se reduce al de la figura 6 y por lo tanto, midiendo la amplitud VR en resonancia, podremos calcular RL:

0R RIV =

L0

0 RRV

I+

=

y por lo tanto:

( )R

VVV

RR

R0L

−=

• Valor de la inductancia L.

Calcule el valor experimental de L y su incertidumbre a partir de la frecuencia de resonancia hallada.

• Factor de calidad Q. Determine el factor de calidad Q del circuito RLC por los siguientes métodos:

o a partir de los datos experimentales ω0 y ∆ usando ∆

ω=

2Q 0

o a partir de la expresión R

LQ 0ω= con el valor de L experimental.

4.- BIBLIOGRAFÍA.

• HALLIDAY, RESNICK Y KRANE, Física. Volumen 2, CECSA (1994). • EDMINISTER, J. Circuitos eléctricos, Serie Schaum. • A.P. FRENCH- Vibraciones y ondas Reverté (1987). • HOROWITZ & HILL, Art of electronics. 2º ed. Cambridge University Press,

1989.

Figura 6