Resp. Calculo Integral

MOISES VILLENA Respuestas a los Ejercicios Propuestos

161

CAPITULO 1: La Integral Indefinida

Ejercicios Propuestos 1.1

1. 3 101

14

1 28

3 101 1 3

ex x xx x C

e

2. 2

32

84

3 2

xx x C

3. 7 5 3

2 2 22 4 2

7 5 3x x x C

4. 7

3 5927 95 7

xx x x C

5. 3 29

27 27ln3 2

x xx x C

6. 13 9 5 1

2 2 2 22 2 6

213 3 5

z z z z C

7. Cxx

41

47

74 4

8. 9 7 5 3

4 4 4 4 48 2 24 12 2 4

59 7 5 3

x x x x C

9. 13 7 1

3 3 33 3

613 7

x x x C

10. 3

cos 2lnx x Cx

11. 2ln ln sec tanxe x x x C

12. 8

sinln8

xxe x C

13. 1 3tan 2ln cosxe x x C

14. 1 8

4ln csc8 ln8

x

x C

15. Cxx

44

1ln

16. 100 20

2 4ln 2 ln 4

x x C

17.

1 2

5 ln 55 2 ln 2xx

C

18. 1

cos sec7

x arc x C

19. arcsin 5 arctan7

ex x C

20. ln cscx x C


162


1.

C

x

23

2515

2

2. Cxx 3844

1 2

3.

5 32 22 1 2 1

10 6

x xC

4. Cxc 4

2tg2

1

5. cos sin 1 sin 2x x C x C

6. 2

2ln 12

xx x C

7. Cxx 21ln 8. 2arctan x C

9. 2

arctan x C

10. Cx

x

1

1ln

4

1 2

11. Cxx

2

32

311

3

1

12. Cxx 21arcsen

13. Cxx ln1ln23

2

14. Cx lnlnln

15. Caxaa

x arcsen22

16. Cba

xbxa

22

2222 cossen

17. 3

44

cot3

C

18. Cxx

22

31ln

3

2

19.

Cxx

xx

23

23ln

2ln3ln2

1

20. Cx 2112


1. Ce

ex xx

93

33

2.

Ceex xx

42

1 22

3. Cxxx 3sin9

2

3

3cos12

4.

Cxx

x

9

13sin

3

13cos

5. Cxxex

1224

22


163

6. 2

22 8 84

xex x C

7. Cxxxxx 2

ln2

2

8. 3

222 4 8

ln ln3 3 9x x x C

9. Cxx

3

2ln

3

22

3

10. csc ln csc cotx x x x C

11. 2 2 2

2arctan arctan 1arctan ln 12 2 2

x x xx x C

12. Cex x 12 13. Cxxxx 22 11ln

14. Cxxx 21arcsin

15. Cxxx 21ln2

1arctan

16. 1 arctanx x x C

17. Cxxx lncoslnsen2

18. Cxxx sen2cos2

19. Cxxx lncoslnsen2

20. cos ln tan ln csc cotx x x x C


1. 3

sin 42 8

xx C

2.

Cxx

9

3cos

3

3cos 3

3. Cxxxx

2sen

6

14sen

8

32sen2

2

5

8

1 3

4. 3 7 11

2 2 22 4 2

sen sen sen3 7 11

x x xC

5. Cxx 8sen16

12sen

4

1

6. Cx x 3

cos2

3cos

2

1

7. Cxx 1212

5cos2

15cos

10

1

8. Cxxx 5sen20

17sen

28

1sen

2

1

9. Cxx 2cos20

12cos

16

1 108

10. Cxxxx 6sen24

14sen

16

12sen

8

1

4

1

11. 4 21 1

tan tan ln cos4 2

x x x C

12. 5 3cot cot

cot5 3

x xx x C

13. 1

tan 5 55

x x C

14. 5 31

2 2 22 2

sec 4sec sec5 3

x x x C

15. 2cot 2x C


164

16. 2tan 2ln csc cot2

xx x C

17. 31

2 tan tan cot3

x x x C

18. 2 2

ln sec tan ln csc cot2 2

x x x x C

19. ln sec tan cscx x x C

20. 1 1

csc cot ln csc cot2 2

x x x x C


1.

2 281 9 2arcsen 1

8 3 9 9

x x x xC

2. 21

xC

x

3. Cx

x

x

arcsin

1 2

4.

29 9arcsen

2 3 2

x x xC

5.

22arcsen

22

x x xC

6. Cx

x

39ln

3

1 2

7.

2

2

1 3 3 9arccos

54

xC

x x

8.

32 21 1 1

3

x xC

x x

9.

2 22 2ln

2 2

x x xC

x

10. 2 22 426arcsin 4 4

2 2

x x xxx x C

11. 2

2

9 4 13

xC

x x

12. 2 16

ln4

x xe eC

13. Ce

ex

x

11

ln2

14.

2

tan 2 tan 2ln 1

3 3

x xC


165

15. Cxx

3

sensen9ln

2

1 24

16. 2 2arctan 1 ln 1x x x x C

17. Cex

x x

arctg212

1

18. 3 2 3

21 1arccos 13 3 9

x xx x C

19. 2 ln 21 4ln ln 2arcsin

5

xx x C

20.

2

4

1

2 1

xC

x


1. Cx

x

3

1ln

4

1

2. ln ln 2 2ln 1x x x C

3.

1 7 3ln 1 2ln 2 ln 3

4 4 2 3x x x C

x

4. Cxx

x

23ln

2

5. 21 1

ln 2 3 ln 4 arctan2 2 2

xx x C

6. 2ln 1 arctan 2ln 1x x x C

7. 2 8 1

ln 2 ln 12 3 3

xx x x C

8.

2

1 1 1ln 2 ln 3

3 3 2 2 2x x C

x x

9. 2

2

1 1ln arctan 2arctan 1

2 2 2

xx x C

x x

10. 3

2ln 4ln 93

xx x C

11. 2arctan ln 1 ln 1x x x C

12. 2ln 2 arctan 1x x C

13. 2

2

2

84ln 4

2 4

xx C

x

14. 2

2 2

2 2ln arctan

2 4 2 2

x xx C

x x

15. 21

ln 1 ln 1 2arctan2

x x x C

16. 7 9

ln ln 2 1 ln 2 14 16 16

xx x x C

17. 1 cos 3

ln5 cos 2

xC

x

18. tan 2

lntan 1

xC

x


166

19. 1 1 1

ln 2 cos ln 1 cos ln 1 cos3 6 2

x x x C

20. 6 6333ln 1 ln 1 3arctan2

x xx

x e e e C


1. 22 tan 11

arctan5 5

x

C

2. 22

2

4tan 82ln

5 316 tan 25

4

x

x

C

3. 22

2

4tan 22ln

5 316 tan 25

4

x

x

C

4. 2 arctan 2 tan2

x x C

5. 22 2

1 1ln tan tan

2 4

x x C

6. 2

2ln tan 1x x C

7. 22 2

3ln tan 1 ln 1 tan

2 2

x x x C

Miscelneos

1. 2ln 4ln 1

arctan4 8 2 2

xx xC

2. 2

2

1 1 1cos

2 2

xarc C

x x

3.

5 32 22 29 9

5 3

x xC

4. 2 2 2 21 1 33 2 3 12 2 4

x x xx x e x e e C

5. 10 164

3 3 33 3 3

sin 2 sin 2 sin 28 10 32

x x x C

6. 22ln 1 ln 1 4arctanx x x C

7. 1 sin

arctan2 2

xC

8. 2

2 2 21 15 3 2 52 4 4

xx x ex x e x e C

9. 2ln 2 4 1 ln 3x x xe e e C

10. 2cosh x xx C e e C

11. 21 2 1

ln 4 5 arctan 2 ln 110 5 5

x x x x C

12. 2 2ln 1 1 ln 1x x x C

13. 3 54 4

sin sin3 5

x x C

14. 2 arcsin 2 sin2

x C


167

15. sin 10 sin 420 8

x xC

16.

241 6 41 174 1ln 2 ln 2 3 arctan121 11 2 242 121 2 2

xx x x C

x

17. 21

ln cos 1 ln cos2

x x C

18. 2 21 ln 1 1 lnx x x C

19. 3

ln 33

x Cx

20.

3

2 21

2 225

25 253

xx C

21. 23 arctan 22

x C

22. 23 2 ln 1

arctan3 6 6

xx xx C

23. 2 2ln 1 1 4 ln 2 1 4x x x C

24. 2 21 2 sin cos5

x xe x e x C

25. ln sec tan ln secx x C

26. 21 4

4

x

x

eC

e

27. 4 ln 1x x C

28.

5 32 22 1 2 1

10 3

x xC

29. 2

2 12

xex C

30. 2 1 ln x C

31. 1 5 3

ln ln 3 ln 13 12 4

x x x C

32. 2 1

2 2ln 32 1

xx x C

x

33. 166arctan x C

34. 2 17

ln 3 16 9 27

x xx C

35. 1 3

3 1 sin 2 cos22 4

x x x C

36. 3

ln 2 32

x x x C

37. 7ln 2 5ln 1x x C

38. 2ln 4ln

2arctan4 8 2

xx xx C

39. ln cosx x C

40. 22 tan 1

1 1 2 5 2cos sin cos arctan

10 2 5 2 2 25 5

x

x x xC

41. arcsin 2 27 3

arcsin 1 8 12 2

xe x x x x C

42. 22

4 2arccosx Cx

43. sin 2 sin 4

4 4 16

x x xC


168

44. 5 3 1 1 1

4 4 2 4 44 4

2 4 4ln 15 3x x x x x x C

45. ln tan 12

xC

46. 3 2

3 2 5 ln 53 2

x xx x x x x C

47. 2

ln2

xx xe e e C

48. 4 23

52x x C

49. 41 arctan4

x C

50. 3 2 2 212 2 3 2 arctan 2 ln 12

x x x x x x x C

51. 3tan

tan3

xx C

52. 2 27 7

ln sec ln tan 6 tan 140 2 40 40 2 2

x x x xC

53. 2 sin 2cosx x x C

54. 21 1 2 1

ln 1 ln 1 3 arctan3 2 3

xx x x C

55. 21 1 1

ln ln 4 arctan4 8 2 2

xx x C

56. 21 3

2ln ln 1 2arctan2

x x x Cx

57. 21

ln 4ln 18

x C

58. 51

cot arcsin45 3

xC

59. 22ln 1 ln 2 2 3arctan 1x x x x C

60. 23 3

ln ln 4 arctan4 8 2

xx x C

61. 3 1

2 22 1 2 13

x xe e C

62. 21

arctan ln 12

x x C

63. 21 1

arcsin 12 2

x x x C

64. 2 3 1

ln 1 arctan3 3

xx C

65. 2

2 21 1624ln 16 24ln 4 162

xx x x x C

x

66. 27

4ln tan 1 ln sec2 2 2 2

x x xC

67. 3sec 4sinx x C

68. ln ln 3x C

69. 21

ln ln 12

x x C

70. 21 7 2 1

ln 2 3 arctan3 6 2

xx x C

71. 2 21 1

arcsin arcsin 12 2

x x x x x C

72. 1

22 tan x C

73. 2sin 1

arcsin3

xC


169

74. 5 3

2 24 41 1

5 3x x C

75. 21

ln 1 ln 2 22

x x x C

76. 2

41 3 5ln 5 arctan4 10 5

xx ee C

77. cos7 cos

28 4

x xC

78. 1 13 33 3arctanx x x C

79. 1

ln csc 2 cot 22

x x C

80. ln 1 cosc C

81. 2

21 1ln ln 12 1 2

x xx x C

x

82. 2 21 cos ln cos 12

x x C

83. 31 sin 2

sin cos4 8 6

x xx x x x C

84. 2 1 ln 1 1 ln 1 1x x xe e e C

85. 1

ln sin ln sin 1sin 1

x x Cx

86. 2

arctan 1

2 2 1

x xC

x

87. 3 7

2 21 1

cos 4 cos 46 14

x x

88. sin 2 sin 4 23 1

4 4 8 4

x xx C

89. sintan xx e C

90. arctan 21

2

te C

91. 2 21

ln2

x xe e C

92.

2sin3

arcsin2 7

xC

93. tan 4

5

5ln 5

x

C

94. 2

ln sec tan tan tan2 2

x x C

95. 3 3ln10 ln csc log cot log3 3

x x C

96. ln cot ln ln csc lnx x x C

97.

4 1

2 1 111

2

x

x xx ex e e C

98. 322cos cos3

x xe e C

99. 3 52 1

sin ln sin ln sin ln3 5

x x x x x x C

100.

24 21 1 2 1ln 2 arctan

4 2 3 3

xx x C

101.

44 41 ln 1 ln 2

4 11

xx x C


170

CAPITULO 2: La Integral Definida


1.- a) 6 b) 52

3 c)

2 2

2

b a d)

3 3

3

b a

2.-

1. 13

3 2.

5

12 3.

1

4.

3 3

2 3

sen

5. 23

ln 22

6. 5 7

ln 22 4

7. 13

21ln 23

8. ln 2

9. 3 22 1 47

9 2 18e e 10. e 11.

3 2

24

12. 31 37ln2 13. 9 3 5

ln 2 ln3 ln54 8 8

14. 1

12

e

15. 2ln2 1 16. 9 5

arcsin 52 3


1.

1. 0 2. 14

3 3.

28

3 4. 5 5.

29

2

6. 85

3 7.

9

2 8.

115

3 9.

13

2 10.

41

2

11. 45 12. 2 13. 0 ; es impar 14. 0 ; es impar

2. 6

3. 10

4. a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) V h) V

5. a) sincos ln

1 sin ln

xx xx

x x

b) 3 15 5 2 3 5 5 2tan

1 32 sec 6 sec 2 sec tan 1 ln tan ln secx

x x x x x x x x x x xx

c)

secsec tan ln3 1 ln3

2 ln sec2 3

x

x

e xe x x xe x

e x xe

d)

3 32

45 1024

2 sen 43 cos

1sen 1

x x xx x

xx x

e)

3 29 3 2 3 2

3 3 2 2

1 ln 1 21 sin tan 3 sin tan cos tan sec

cos sin tan sin sin tan cos ln 1 sin ln 1

x xx x x x x x x

x x x x x x

f)

2 232

3

12 1 sin 6log 2 1 sin

1 cosln 3 1 cos 6log

x x x

xx x

6. a) 3

1 b) 1sen c)

2

2 4

0

4.

1 5 1 5

x

dt x

t x


171

Miscelneos

1. a) V b) F c) F d) V e) V f) F g) V h) V i) F j) F k) V l) F m) V n) F o) F p) F q) V r) F s) F t) F u) F v) V w) V x) V y)F z)V

2. a) 6

1 b)

5

52

6

1 c)

152

d) 233 arctgarctg

e) 3

1 f) 6 g) 3

29 h) 4ln4

i) 75

516

j) 2041

21

25 lnln

4

3 k) 334 l)

277

m) 2 n) 0 o) 9 5

1 11

2 2e e p) 22 1e

3. Es cncava hacia arriba para 2x y 4x

4. 7

CAPITULO 3: Aplicaciones de la Integral


1) 92

2) 3

22 3) 3

16 4) 2

9 5) 3

32

6) 12.25 7) 4

131 8) 6

71 9) 8 10) 6

125

11) 3

8 12) 22


1). 4

2a 2) 3

3

8 3)

4

2729 4) 33 5)

62

38

6) 28 7) 2

32718 8) 1

2

9) 339


1). a) 6

5 b)

28 15 17 arctan 4 c) 3

11

2) a)

12

72ln22 b)

30

12ln2

3) 3

500 4)

32

875 5)

5

128 6) 13

7) a) 48

625 b)

4

125


172


1) 12ln2 2) 16 3) a 4) 133


1). 4

5A 4P

2) a) 6a b) 68


1). a) Divergente b) 2

c)

2

1 d) 0

e) Divergente f) Divergente

2) 2

1 3) 6 4)

3

4

5) a) 3 b) divergente

6) Diverge para 1p , converge a p1

1 si 1p

Miscelneos

1. a) 2e b) 2 32

e

2. a) 13

3 b)

214

15

c)

40

3

3. 992

3

4. 2

33

5. 32 2 2 1.48 6. 32 2 2 1.48

7. 14

3

8. 9

2

9. 2

10. 4 12 3 11. 16

12. a) 8 b) 160

3

13. 4

14. 5

3


173

15.

1.33

4

3

0

3.74 11

xP dx

x

16. 64

15V

17. a) 44

3 b)

32

3 c)

1312

15

18. 24

19. 318 9e

20. 16

5

21. 8 2

22. 1114

5

23. 8

3

24. 8

25. 4

2 33

26.

23

4

a

27. 69

10

28. 40

3

29. 4

30. a) 2 23 1

ln 22 8

e e e e

b) 2ln 2 2 ln 2 1e e e e

31. 2 1e

32. 992

5

33. 36

34. 11

3

35. 2

36. a) No es posible. Diverge. b)

37. 5

2

38. 92

39. Diverge.

40. 2

41. 42. Diverge

43. 1

ln 2


174

44. 56

45.

46.

1;

2 1 2

1;0

2

cc

V

c

47. a) e b) 2

2

e

48. 5 2P

CAPITULO 4: Sucesiones y Series


1). a) converge a 2

3 b) Diverge c) no converge d) converge a

3e

e) converge a 0 f) converge a 0 g) converge a e

2) a) Creciente b) Decreciente c) Creciente

d) no montona e) Creciente para 2n


1. a) 1

12

1 ; 22nn

a

a n

;Serie convergente, 0S

b)

1 ln 3

2 1ln ; 2

2 1n

a

na n

n

; Serie divergente

2. a) 1

11

nSn

, converge, 1S

b) 5 5

13 2

n

nS

, diverge.

c)

1 1

6 3 3 2nS

n

, converge,

1

6S

d) 1 1

3 22 3

n n

nS

, converge, 3S

e) 1 1

2 3nS

n

, converge,

1

2S


1. Serie convergente 2. Serie convergente 3. Serie divergente


175


a. Serie convergente b. Serie convergente c. Serie convergente d. Serie divergente e. Serie divergente f. Serie convergente h. Serie divergente i. Serie convergente j. Serie divergente


a. Condicionalmente convergente b. Divergente c. Absolutamente convergente d. Absolutamente convergente e. Divergente f. Absolutamente convergente


a.

b.

c. e x e

d. 1 1x

e. 4 8x


1. a)

352tan

3 15

xx x x b) 2 2 4

2sec 1

3x x x

c) 2 4 6

ln cos2 12 45

x x xx

2. a) 2 31 1

ln 1 1 12 3

x x x x b) Intervalo 0 2x

3. a. 1

0

1ln 1

1

n n

n

xx

n

; 1x

b.

2

2 1

0

1

2 1 !

n n

x

n

xe dx C

n n

; x

c. 3

0

1

1

n n

n

x

n

; 1x

d. 2 1

0

1

2 1

n n

n

x

n

; 1x

e. 2 2

0

1

2 1

n n

n

x

n

; 1x


176

f.

2 1

0

1

2 1 2 1 !

n n

n

xC

n n

; x

g. 2 1

0

1n n

n

x

; 0 1x

h.

4 3

0

1

2 !

n n

n

x

n

; x

i.

0

1 1

2 !

n n

n

x

n

; x

4. a.

0

1

! 2 1

n n

n

x

n n

b.

c.

0 0

1 1 1

2 ! 1

n

n n

n n n

d.

3

2

0

11

2

32 1 !

2

nn

n n n

e.

4 3

0

11

2

4 3 2 1

nn

n

n n

f.

0

1 1

2 !

n

n

n n

5. a. 2 1

0

1

2 1

n n

n

x

n

; 1x

b.

0

14

2 1

n

n

n

6. a. 2 1

0

1

!

n n

n

x

n

7. 1

4 4 8 1221 1 1

2 2 21 11 2 2

x x x x

8. a.

1

1

1

!

x n

n

e x

x n

b.

1

11 !

n

n

n

9. a. 22

1

1

!

n n

x

n

xx e

n

b.

1

1

2 24

!

n

n

n

n


177

10. a. 2

2

1

ln 1n

n

xx

n

b. 1 1x c. 1

1 8ln

99nn

n

11. a.

1

0

1 21

2

n n

n

n

x

x

b. 0 4x c. 1

2

1 11

42

n

n

n

n n

12.

Resp. Calculo Integral

Documents

Transcript of Resp. Calculo Integral