Respuesta de Sistemas de Control Discreto y ad
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RESPUESTA DE SISTEMAS DE
CONTROL Y ESTABILIDAD
Tema 4
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Indice
Respuesta Temporal
Mapeo del Plano s al Plano z
Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente Estabilidad. Transformación Bilineal
Lugar de las Raíces en z Respuesta en Frecuencia
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Respuesta Temporal
Considerando un sistema de control muestreado en lazo cerrado
la respuesta ante la señal de entrada será
G s( )
T
E s( ) E z( )
H s( )
C z( ) R s( ) +
-T
C zG z R z
GH z
k z z
z p
R z
i
m
i
n( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )=⋅
+=
⋅ −
−⋅
∏
∏
1
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Respuesta Temporal
Realizando la descomposición en fracciones simples
Las n fracciones representan la respuesta transitoria debida a lospolos del sistema en bucle cerrado, pues cada polo p i contribuye
y su numero y colocación es crítica de cara a establecer larespuesta transitoria del sistema.
El término C R (z) representa la respuesta permanente debida a
los polos de la función de entrada R(z).
C z
k z
z p
k z
z p C zn
n R( ) ( )=
⋅
− + +
⋅
− +1
1 K
Z k z
z pk p u k
i
i
i i
k − ⋅−
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
= ⋅1( ) ( )
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Mapeo del Plano s al Plano z
Las variables s y z están relacionadas a través del mapeo
Conocidos los efectos de la colocación de polos en el plano s , sepuede determinar los efectos correspondientes de la colocaciónde polos en el plano z .
Para
Por tanto, polos y ceros en s , cuyas frecuencias (ω ) difieren en2π /T son mapeados en las mismas localizaciones en z , es decir,
la correspondencia no es única.
z eTs=
s j= +σ ω
z e e e e e
T j T j T T j T k
= = ⋅ = ⋅
+ +( ) ( )σ ω σ ω σ ω π 2
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Mapeo del Plano s al Plano z
1
z
0
s
EL semiplano izquierdo de s se transforma en el interior delcirculo unidad en z, siendo la circunferencia unidad la imagen del
eje s = j ω
Por tanto, para que un sistema discreto LTI sea estable, los polosdel sistema han de estar situados en el interior del círculo unidad.
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Mapeo del Plano s al Plano z
Cada banda de anchura ωs se mapea en el círculo unidad. A laprimera banda se le llama banda primaria, y al resto bandas
complementarias. Esto prueba la no unicidad del mapeo s->z
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
Respuesta Transitoria
Las especificaciones de respuesta transitoria vienen dadas porlos valores de tiempo de subida, sobreoscilación y tiempo de
establecimiento, relacionados con ξ y ω n (sistema dominante 2ºorden).
Los valores de ξ y ω n determinarán la ubicación de los polos LC
en el plano z que satisfagan el transitorio. Es posible obtenerdiferentes lugares geométricos en el plano z usando . z e
Ts=
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
Abaco con los lugares de ξ y ωn constante (en función de ωs),
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente El efecto sobre la respuesta transitoria de una determinada
ubicación de polos en z que cumpla las especificaciones se
puede ver examinando la correspondencia entre la situación depolos en s y los polos en z
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
E ifi i d R
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente
E ifi i d R
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y Permanente La respuesta transitoria depende también de T , pues la ubicación
de los polos es . El valor de T debe cumplir
el teorema del muestreo no habiendo ningún polode la ecuación característica con pues habría solape y
la situación de polos y ceros original será cambiada
z e e esT T j T = = ⋅σ ω
s j1 1 1= +σ ω ω
ω 1
2> s
E ifi i d R t
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Especificaciones de Respuesta
Transitoria y PermanenteRespuesta Permanente
Considerando el sistema de control digital LC, y suponiendo elsistema estable para poder obtener valores en régimenpermanente, se va a ver el valor del error en régimenpermanente e(kT) ante diferentes referencias.
e t ( ) e t *( )
T
c t ( )G s p ( )
1 − −e
s
Ts u t ( )r t ( )
b t ( )
+
-
H s( )
E ifi i d R t
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Especificaciones de RespuestaTransitoria y Permanente
El sistema viene dado por la función de transferencia en lazocerrado
La señal de error E(z) será
e lim e t lim e kT lim z E zss t k z
∗
→∞
∗
→∞ →
−= = = − ⋅( ) ( ) (( ) ( ))1
11
C z
R z
G z
GH z
( )
( )
( )
( )
=
+1
E z R z B z R z GH z E z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = − ⋅
e lim zGH z
R zss z
∗
→
−= − ⋅+
⋅⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
11
1
1( )
( )( )
E ifi i d R t
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Especificaciones de RespuestaTransitoria y Permanente
1. Escalón: (error posición)
2. Rampa: (error velocidad)
e lim zGH z z
limGH zss z z
∗→
− − →= − ⋅ + ⋅ −⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥ = +11
11
11
1
1
1
1
1( )
( ) ( )
K lim GH z eK
p z ss
p
= ⇒ =+→
∗
1
1
1( )
( )e lim z GH z
T z
z lim
T
z GH zss z z
∗
→
−−
− → −= − ⋅ + ⋅
⋅
−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = − ⋅1
1
1
1 2 1 11
1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
v
ss zv
K e
zT
zGH zK
1)()1(lim
1=⇒
⋅−= ∗
→
Especificaciones de Resp esta
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Especificaciones de RespuestaTransitoria y Permanente
Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados según elnúmero de polos en z = 1 (integradores en el lazo GH ), tal que
para un sistema general
el sistema será tipo N , que indicará el valor de K p y K v.
El significado físico de las constantes de error estático es el
mismo que el visto en tiempo continuo, excepto que estas daninformación solo en los instantes de muestreo.
GH z z
A z
B z N ( )
( )
( )
( )=
−⋅
1
1
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Estabilidad. Transformación Bilineal
La estabilidad de un sistema de control muestreado estáasegurada si se cumple que las raíces de la ecuación
característica están en el interior del círculo unidaden el plano z .
El estudio de la estabilidad se va a hacer usando técnicas que
eviten el cálculo de las raíces de la ecuación característica:
1. Criterio de Jury
Maneja la ecuación característica directamente en z , esto es,
1 0+ =GH z( )
1 01
1
1 0+ = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + >−
−GH z Q z a z a z a z a an
n
n
n
n( ) ( ) ,K
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Estabilidad. Transformación Bilineal
A partir de los a j , se forma un arreglo
ba a
a ak
n k
n k
=−0
cb b
b bk
n k
n k
= − −
−
0 1
1
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Estabilidad. Transformación Bilineal
Las condiciones de estabilidad para Q(z) son 1.
2. 3. , , , … ,
Si 1 y 2 no se cumplen, no se seguirá adelante (ni siquiera seconstruirá el arreglo), ya que el sistema será inestable.
2. Criterio de Routh
Se usa el mismo criterio definido para sistemas continuoshaciendo uso de la llamada transformación bilineal que mapea elplano z en w , transformando el círculo unidad en z en el ejeimaginario en el plano w ( j ν ), para así poder aplicar el criterio deRouth a la ecuación característica .
Q( )1 0>
( ) ( )− ⋅ − >1 1 0
n
Qa an0 < b bn0 1
> − c cn0 2> − 20 mm >
1 0+ =GH w( )
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Estabilidad. Transformación Bilineal
Esta transformación bilineal viene dada por
Para el círculo unidad,
wT
z
z z
T
wT
w
= ⋅ −+
⇒ = + ⋅
− ⋅
2 1
1
1 2
12
z e j T
=ω
)2tan(
2
T T jw ω =⇒
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Estabilidad. Transformación Bilineal
La relación entre la frecuencia ν y la frecuencia ω, en los planosw y s es
Para valores deω
pequeños
esto es, valido para
)2 / tan(2 T T
j jw ω ν ==
ν ω ω
ω = ≈ ⋅ =2
22
2T tan T
T
T ( / )
ω π ω
π ω T
T
s
2 10
2
10 10≤ ⇒ ≤
⋅=
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Lugar de las Raíces en z
El método del lugar de las raíces (LR) desarrollado para sistemascontinuos es extensible a sistemas discretos, excepto que la
región de estabilidad límite cambia del eje jω al círculo unidad enz .
Esto es así porque la ecuación característica para STD tiene la
misma forma que en STC, esto es
No obstante, la localización de los polos en bucle cerrado queobtiene el LR en el plano z debe ser interpretada de formadiferente a la del plano s .
0)(1 =⋅+ zGH K
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Lugar de las Raíces en z
El T afecta al trazado del
lugar de las raíces
Para un valor crítico de K
dado, si aumenta T elsistema será menosestable, incluso inestable.
Análogamente, sidisminuye T , la K crítica esmayor
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Respuesta en Frecuencia
Si la entrada a un sistema discreto es una señal senoidal de
frecuencia ω, la respuesta en régimen permanente es también
una señal senoidal de la misma frecuencia.
Igual que la respuesta en frecuencia del STC era
la del STD es , periódica en ω con periodo ωs
c kT ( )u kT ( )G z( )
⇒= )()( kT senkT u ω c kT G e kT G e j T j T
( ) ( ) sen( ( ))= + ∠ω ω ω
G j G ss j
( ) ( )ω ω = =
G e G z j T
z( ) ( )
ω ==1
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Respuesta en Frecuencia
El desarrollo de técnicas de compensación en la respuesta enfrecuencia, hace necesario el uso más que de G(z) con
de G(w) con , por medio de la transformación bilineal.
De esta manera, es posible representar , y
frente a log ν mediante diagramas de Bode.
Hay que señalar que el Bode de presentaparticularidades, en concreto, es constante al estar
limitada , que corresponde a .
Además, la transformación bilineal hace G(w) sea una función detransferencia de fase no mínima.
z e j T = ω
w j= ν
G j( )ν ∠G j( )ν
lim Gγ
ν →∞
( )ν jwwG =|)(
0 2≤ ≤ω
ω s0 ≤ ≤ ∞ν
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Respuesta en Frecuencia
)924.0()14.12()2(0381.0)(
+⋅+⋅−⋅=
wwwwwG