EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

RESPUESTA FORZADA A EXCITACIN SINUSOIDAL

Ecuacin diferencial general para circuitos lineales de orden n

)()()()( 1

1

tcXtbXdt

tXda

dt

tXdf

n

kk

k

kn

n

, donde )(tX f es la excitacin

o una de sus derivadas (dependiendo de la variable circuital).

Si tKtKtX f sencos)( 21 , como )()()( tXtXtX ph

entonces se postula tBtAtX p sencos)( , ya que:

12 si ,sen)1(

2 si ,cos)1(cos

12

2

mkt

mkt

dt

tdmm

mm

k

k

12 si ,cos)1(

2 si ,sen)1(sen

121

2

mkt

mkt

dt

tdmm

mm

k

k

La respuesta forzada de un circuito lineal de cualquier orden ante una

excitacin definida como un seno, un coseno, o una combinacin lineal de

senos y cosenos de la misma frecuencia, es una combinacin lineal de

senos y cosenos con la misma frecuencia de la excitacin.

Ejemplo

)cos( 10)( tVtv

f=1 kHz, =6,28 krad/s

R=1 k, L=0,1 H

dttdiLtiRtv )()()(

222

)sen()cos( 10)(

LR

tLtRVti p

)sen(5,4)cos(17,7)( tttip mA

)sen(5,4)cos(17,7)( tttvR V

)sen(5,4)cos(83,2)( tttvL V

EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

Formas de onda de los voltajes del ejemplo

-10

-5

0

5

10

)(tv : Rojo

)(tvR : Azul

)(tvL : Verde

Escala de tiempo:

0,2 ms/div

Formas adicionales de postular la respuesta forzada a sinusoides

Con funcin coseno desfasada

)cos()( tCtX p , = ngulo de desfasaje (en grados)

tBtAtCtCtC sencossen)sen(cos)cos()cos(

22 BAC AB1tan

Para el ejemplo anterior, se tendra:

)1418,32cos(4674,8)( ttip mA

)1418,32cos(4674,8)( ttvR V

)8347,57cos(3159,5)( ttvL V

Con funcin exponencial compleja

) (eRe)cos( tjCtC (por identidad de Euler) Se excita con tjff t

e)( XX , donde jff eXX es complejo

Se postula entonces tjp t e)( XX , donde jeXX es complejo

Una vez determinada )(tpX , se obtiene )(tX p :

) cos(eRe)(Re)( tttX tjpp XXX

EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

Detalles sobre la obtencin de )(tpX (excitacin con exponencial compleja)

Al sustituir tjp t e)( XX y tjff t

e)( XX en la ecuacin

)()()()( 1

1

tcXtbXdt

tXda

dt

tXdf

n

kk

k

kn

n

,

se obtiene:

tjftj

n

k

tjkk

tjn cbjaj 1

1

eeee XXXX

Cada derivada k

k

dt

tXd )( queda remplazada por tjkj e X

Factorizando:

tjftj

n

k

kk

n cbjaj 1

1

ee XX

La ecuacin diferencial queda remplazada por un polinomio en j

cuyos coeficientes son los coeficientes de la ecuacin diferencial,

multiplicado por la solucin.

Dicho polinomio es el polinomio caracterstico asociado a la ecuacin

diferencial homognea, evaluado en js , donde es constante.

Despejando:

bjaj

c

n

k

kk

n

f

1

1

XX

Al postular la solucin como una exponencial compleja, se puede obtener

la solucin mediante operaciones algebraicas con nmeros complejos.

Adems, puede obtenerse la solucin prescindiendo del factor tj e .

EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

Anlisis de circuitos en rgimen sinusoidal permanente (RSP)

Se define como Rgimen sinusoidal permanente a la respuesta forzada de un

circuito lineal ante una excitacin sinusoidal, con condiciones iniciales nulas.

Dado que puede obtenerse dicha respuesta prescindiendo del factor tj e , se

utiliza la siguiente estrategia de anlisis:

1. Modelaje en el dominio fasorial: Se modela a cada fuente de voltaje o

corriente mediante un fasor, y a cada elemento pasivo por una inmitancia.

2. Solucin en el dominio fasorial: Se resuelve el circuito utilizando las

mismas tcnicas de anlisis utilizadas para circuitos de corriente continua

(anlisis algebraico), obtenindose los fasores de voltaje y/o corriente

correspondientes a las variables circuitales que se desea conocer.

3. Transformacin al dominio temporal: Pueden obtenerse las soluciones en

el dominio del tiempo aplicando la transformacin

)arg( coseRe)( XXX ttX tj

Concepto de fasor

Sean vtVtv cos)( e itIti cos)( cualquier voltaje o

corriente de un circuito en RSP. Entonces:

tjtj vVtv eReeRe)( V , donde v

jV

eV

tjtj iIti eReeRe)( I , donde i

jV

eI

Los nmeros complejos V e I se denominan fasores, contienen la

informacin de amplitud y fase inicial de )(tv e )(ti (respectivamente), y

representan a stos en el dominio fasorial.

EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

Representacin grfica de los fasores en el plano complejo

Voltaje vj

V

eV

Corriente ij

V

eI

Los nmeros complejos tj e V e

tj e I son fasores que giran en sentido

antihorario en el plano complejo, con velocidad angular y perodo

2/. El ngulo que forman los fasores giratorios con el eje real en cada

instante de tiempo es la fase instantnea del voltaje (o la corriente). A la

diferencia de fase (ngulo) entre dos fasores distintos cualesquiera de un

circuito se le llama desfasaje.

La proyeccin de los fasores giratorios tj e V e

tj e I sobre el eje real

son el voltaje instantneo )(tv y la corriente instantnea )(ti .

Leyes de Kirchoff en el dominio fasorial

Ley de los voltajes de malla

0eRe

eRe)(0

kk

tj

kk

k k

tjkk tv

VV

V

Diagrama fasorial

Ley de las corrientes de nodo

0eRe

eRe)(0

kk

tj

kk

k k

tjkk ti

II

I

Diagrama fasorial

EC2272 / Tema 2 Prof. Orlando Sucre Enero 2008

Definicin de inmitancia

La inmitancia de un elemento circuital (o combinacin de elementos) es la

relacin entre el fasor de la corriente que entra a sus terminales y el fasor

de voltaje entre los terminales. El concepto de inmitancia agrupa a los

conceptos de impedancia y de admitancia:

Impedancia

I

VZ ()

Admitancia

V

IY ( Siemens mho)

Inmitancias de los elementos pasivos bsicos

Resistencia

cia)(Conductan

ia)(Resistenc )()( 1 GRY

RZRtiRtv

R

RIV

Inductor

inductiva) ia(Suceptanc

inductiva) a(Reactanci )()( 1

LL

LL

jBLjY

jXLjZLj

dt

tdiLtv

IV

Condensador

)capacitiva ia(Suceptanc

)capacitiva a(Reactanci )()(

1-

CL

CL

jBCjY

jXCjZCj

dt

tdvCti

VI

Combinacin de inmitancias en serie y en paralelo

Serie

eqeq ZZZ IIIVV

ZZeq ;

YZZ

Yeq

eq1

111

Paralelo

eqeq YYY VVVII

YYeq ;

ZYY

Zeq

eq1

111