Respuesta transitoria de circuitos RC
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OBJETIVOS
1. Analizar practicamente la respuesta Transitoria para los circuitos: RC-Serie, RL-Serie.
2. Familiarizar a alumno con los parámetros de la respuesta transitoria de elementos eléctricos : inductor y capacitor.
MATERIAL Y EQUIPO:
Cables de conexiones tipo BNC.
cables banana caimán
Osciloscopio
Multimetro
Generador de funciones
Resistencias de 1 ohm ¼ watt
Capacitor de 3.3 [ μF ]
Bobina
EXPERIMENTO I DESARROLLO TEÓRICO
El circuito consiste en un capacitor conectado en serie con un resistor y con una fuente de señal cuadrada periódica. A continuación se muestra el análisis teórico a dicho circuito. La fuente con los parámetros dados tiene una señal
de salida: T=0.5 [s ]
Para t<0 ;V s=0 por lo que podemos representar el mismo circuito con la diferencia de que en vez de fuente se tendrá un corto circuito.
Si consideramos que el circuito estuvo así por largo tiempo, entonces el capacitor estará totalmente descargado. Por tanto:
V c (t<0 )=0
Para 0< t<250 [ms ]; la fuente vale 10 [V ], comienza a cargarse el capacitor.
Aplicando LVK: 10−R (i )−V c=0;
i=Cd V c
dt
Sustituyendo 10−R (C d V c
dt )−V c=0
Normalizando: V c' (t )+ 1
RCV c ( t )= 10
RC
Cuya solución general es: V c ( t )=K e−1RC
t+10 de donde el valor de K sale con la
condición inicial (por continuidad) V c (t<0 )=V c (0 )=0=K+10⟹K=−10
Así pues el voltaje en el capacitor para el primer semiperiodo: V c ( t )=10(1−e−1RC
t) [V ]
Sustituyendo datos: V c ( t )=10 (1−e−30.303t ) [V ]; para t=0.25 s, V c (0.25 )=9.99487 [V ]Para 250<t<500 [ms ];V s=0
Aplicando LVK: V c−iR=0
Pero i=−Cd V c
dt; sustituyendo en LVK:
V c+RCdV c
dt=0
Normalizando:dV c
dt+ 1RC
V c=0⟹V c ( t )=K e−1RC
t
Donde V c (0.25 )=9.99487=K e−30.303(0.25)⟹K=19493.2
Finalmente V c ( t )=19493.2e−30.303 t [V ]; con una
constante de tiempo τ=RC=33 [ms ]Lo anterior se vería reflejado de la siguiente forma:
Observar que la corriente cambia de dirección en cada semiperiodo, alcanzado valores máximos de 10 ó -10 mA para luego decaer a 0. Se ha obtenido el comportamiento del capacitor para un periodo, pero al ser un comportamiento periódico de la señal , solo basta con describir un periodo.
REPORTE
Debido a que la frecuencia era muy baja f=1T
= 10.5
=2 [ Hz ], resultó complicado ajustar el
generador para que diera esa señal, por ello a modo de sugerencia, sería bueno incrementar el valor de la frecuencia de la siguiente forma: a partir de la ecuación
V c (t )=10(1−e−1RC
t) [V ]; si T=6.25 [ms ]⟹ T2=3.125 [ms ] ;de donde f = 1
6.25ms=160 [Hz ] la cual ya
es una frecuencia reproducible por cualquier osciloscopio de manera clara. Este cambio naturalmente requiere un cambio de al menos un componente del circuito. Eligiremos el
resistor: V c (6.25 [ms ] ) =9.9949 (la misma amplitud alcanzada que para la frecuencia de
2 Hz, sustituyendo:
10(1−e−1RC
(3.125 x10−3 ))=9.9949Resolviendo para RC:
RC=4.125 x10−4 ;siC=3.3 [μF ]⟹R=125 [Ω ]
no obstante al reducir el valor de la resistencia en el circuito, incrementamos la corriente
máxima, imáx=10 [V ]125 [Ω ]
=0.08 [ A ], así que de 1 mA se incrementó a 80 mA, por lo tanto la
potencia disipada por el resistor también se incrementa Pmáx=(imáx )2R=0.8 [W ], por lo que
deberemos comprar un resistor de 125 [Ω ] a 1 W.
No obstante “Don rata” sólo tenía disponible resistencias de 100 [Ω ] a 1 W. por lo que habrá que conformarse con ellas. Observar que el cambio no es relevante
10(1−e−1RC
(3.125 x10−3 ))=9.9992 [V ] ; para R=100 [Ω ] y C=3.3 [μ F ]
Donde imáx=10 [V ]100 [Ω ]
=100 [mA ]; τ=RC=0.33 [ms ]
CONCLUSIONES
Los resultados experimentales corroboran lo que ya habíamos concluido acerca del comportamiento “carga-descarga” del capacitor a lo largo de un periodo en el desarrollo teórico, por otro lado la corriente la cual resultó un poco complicada de medir con la primera frecuencia de 2 Hz, sí se pudo medir de manera más sencilla en el circuito propuesto, pues la amplitud de la corriente máxima era mayor (100 veces), además por supuesto de una frecuencia mucho mejor leída por el osciloscopio como lo fue la de 160 Hz.
REPORTE con R=100 [Ω ] y f =160 [Hz ]
EXPERIMENTO II ANÁLISIS TEÓRICO
Se conectarán en serie un inductor, un resistor de 1 [K Ω ] y una fuente de onda
cuadrada de amplitud de 10 V y frecuencia f=1
2x 10−3=500 [ Hz ]
Por continuidad i (0 )=0⟹0=K+10R⟹K=−10
R
Por lo tanto: i (t )=10R
(1−e−RL
t) [ A ] ; τ=LR
Sustituyendo valores:
Para 1<t<2 [ms ]; V s=0
Aplicando LVK: V L−iR=0 ;V L=−Ldidt
Sustituyendo: 0¿−Ldidt
−iR⟹ didt
+RLi=0
Por tanto: i (t )=K e−RL
t
Sustituyendo valores:
para i (0.001 )=¿
Para t<0 ;V s=0 por lo que podemos representar el mismo circuito con la diferencia de que en vez de fuente se tendrá un corto circuito.
Si consideramos que el circuito estuvo así por largo tiempo, entonces el inductor estará totalmente descargado. Por tanto:
iL (t<0 )=0
Para 0< t<1 [ms ]; la fuente vale 10 [V ], comienza a cargarse el inductor.
Aplicando LVK: 10−iR−V L=0 ;V L=Ldidt
Sustityendo y normalizando: 10−iR−Ldidt
=0⟹ didt
+ RLi=10
L
De donde: i (t )=K e−RL
t+ 10
R