RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática
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MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA (I): PRUEBA DIRECTA Y
REDUCCIÓN AL ABSURDO
RESUELVETU DUDA ???
DIFERENTES VÍAS DE RESOLUCIÓN
A la hora de intentar resolver un problema matemático o de demostrar un teorema, existen diversos procedimientos utilizados comúnmente en Matemáticas.
Prueba directa, reducción al absurdo, inducción, analogía,…
Nos detendremos en los dos primeros y utilizaremos ejemplos prácticos…
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
Es el método generalmente empleado, el más intuitivo.
Procedimiento:
1) Se parte de los datos del problema.
2) Se aplican las reglas de la lógica y la teoría desarrollada.
3) Tras un número finito de pasos se llega a una solución o conclusión.
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración MatemáticaRESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
PRUEBA DIRECTA
Un hombre de 1,80 m. de estatura da la vuelta alrededor del mundo, siempre sobre el ecuador.
¿ HABRÁ RECORRIDO LA MISMA DISTANCIA SU CABEZA QUE SUS PIES?
PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
Aún sin saber la respuesta, es bastanteobvio el camino a tomar:Con los datos aportados, y a partir de
expresiones matemáticas ya demostradas,calcularemos y obtendremos DIRECTAMENTE una conclusión para elproblema propuesto.
RTierra
1,80 m.
Lcircunferencia=2ΠR
PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
1) Datos:
2-a) Teoremas ya demostrados:
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
2-b) Inferencias lógicas: Rpies = RTierra
Rcab. = RTierra + Altura hombreLpies = 2·Π·Rpies = 2·Π·RTierra
Lcab. = 2·Π·Rcab. = 2·Π·(RTierra + 1,80)
Operamos:Lcab.–Lpies =2·Π·(RTierra+1,80)-2·Π·RTierra =
=2·Π·RTierra+2·Π·1,80-2·Π·RTierra == 2·Π·1,80 = 11,31 m.
PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
3) Conclusión:- Por cada vuelta alrededor del mundo,la cabeza recorre 11,31 m. más que los pies.- Este resultado es independiente del radio del objeto alrededor del cual efectuamos el giro.
Cuando falla o no es obvia la Prueba Directa, otro de los enfoques más utilizados es la Reducción al Absurdo.
Procedimiento:
1) Suponemos que la proposición inicial a demostrar es falsa.
2) Usamos inferencias lógicas.
3) Llegamos a una contradicción, lo que demuestra la afirmación inicial.
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
REDUCCIÓN AL ABSURDO
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
Si estimamos que en España hay unapoblación de 40 millones de habitantes y sabiendo que en cada mm² de cuero cabelludo hay 5 pelos, averiguar (obviando las personas calvas) si habrá dos españoles con el mismo número depelos.
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
1) Proposición inicial falsa:“No hay dos españoles con el mismo nº de cabellos”.2-a) Inferencias lógicas:- Español nº 1 tiene 1 cabello.- Español nº 2 tiene 2 cabellos.………………………………………………………………………………………………
- Español nº 40.000.000 tiene 40.000.000 de cabellos.
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
2-b) Inferencias lógicas:
Si hay 5 pelos por cada mm², el cuero
cabelludo del español nº 40.000.000
debería ocupar, al menos, un área de:
________400000005
= 8000000 mm² = 8 m²
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
c) Contradicción lógica:Es imposible que el cuero cabelludo deun ser humano posea esa extensión.Por tanto:- Resulta FALSO que no haya dos
españoles con el mismo nº de cabellos.- Es más, debe haber BASTANTES
compatriotas cuyo total sea el mismo.
Video Youtube: COMO RESOLVER UN PROBLEMA MATEMÁTICO
http://youtu.be/0KbITwsKdZI