Resumen Control Estadístico de Proceso

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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Con base en el Texto de Control Estadístico de la Calidad de Douglas Montogomery DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR Diciembre, 2008 Página 1

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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO

Con base en el Texto de Control Estadístico de la Calidad deDouglas Montogomery

DR. PRIMITIVO REYES AGUILARDiciembre, 2008

Mail. [email protected] / Cel. 044 55 52 17 49 12

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CONTENIDOContenido1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA 61.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO61.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 8Antecedentes 8CEP en occidente 11CEP en Japón 12Desarrollo del Control Estadístico del Proceso 14Teorema del límite central 15Interpretación 161.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 18Hoja de verificación o registro 18Diagrama de Pareto 20Diagrama de Dispersión 24Histogramas 31Lluvia de ideas (Brainstorming) 32Diagrama de Causa efecto 33Carta de tendencias 38Diagrama de flujo 39Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo 40Diagrama de flujo de tiempo – valor agregado 44Diagrama de Flujo Físico 45Estratificación 46Las cartas de control 461.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA 47Los 7 desperdicios o Muda 47Métodos Lean para la mejora 48Mapeo de la cadena de valor 48Las 5 Ss y la administración visual 51Preparaciones rápidas (SMED) 52Poka Yokes o A prueba de error53Trabajo estandarizado 541.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS 55Diagrama de Afinidad 56Fig. 1.26 ejemplos de diagrama de interrelacionesDiagrama de árbol 60Diagrama de árbol 61Diagrama Matricial 64Matrices de Prioridades o prioritización 681.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD 78Cartas de control 78Diseño de experimentos 79Muestreo de aceptación 801.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL 82Costos de calidad 832. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) 85Concepto de variación 85

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2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL 85Estandarización de valores reales 912.2 PRUEBA DE NORMALIDAD 932.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS 952.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL 99Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo 106Subgrupos racionales 107Análisis de patrones en cartas de control 1082.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP 1093. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES 1113.1 INTRODUCCIÓN 1113.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS 111

Interpretación de cartas de control X−R 116Capacidad o habilidad del proceso 128La curva característica de operación 1353.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S 1383.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES 1453.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS 1493.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES 1524. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS 1544.1 INTRODUCCIÓN 1544.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p 1554.3 CARTA DE CONTROL np 1674.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE 1684.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL 1724.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u 176Tamaño de muestra constante - CARTA c 176Selección del tamaño de muestra 182Carta de control de defectos por unidad U 183Sistema de demeritos 189La curva característica de operación 1904.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm 1925. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES 1935.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN 193Cartas de control dnom 193Cartas de control de medias rangos estandarizada 194Cartas de control por atributos 1955.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN 195Cartas de control modificadas 195Cartas de control de aceptación 1975.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL 1995.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS 2025.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE 2055.6 CARTAS DE CONTROL Cusum 206Cusum normal 206Cusum en forma tabular 211EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V 214

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5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA) 2195.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL 2246. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO 2296.1 INTRODUCCIÓN 229Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso 2326.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD 234Índice de capacidad potencial Cp 234Índice de capacidad real Cpk 237Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm 2396.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL241Histograma 241Papel de probabilidad normal 243Capacidad del proceso con cartas de control 247Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales 250Capacidad de procesos no normales. 254Análisis de capacidad con experimentos diseñados 2556.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN 256Error del equipo de medición 256Repetibilidad y reproducibilidad (R&R) 259R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG 262Definiciones 263Exactitud : 264Estudios R&R - Método Corto del Rango 266Estudio de R&R Método largo 267Método de Promedios- Rango 268Cálculos con Excel o manual: 268Interpretación de los resultados 274Estudios de R&R por atributos 279Interpretación de resultados 2877. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS2897.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO 2897.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS 293Muestreo aleatorio simple 293La curva OC 293Puntos específicos en la curva OC 296Inspección rectificadora 297Muestreo doble, múltiple y secuencial 3007.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) 308Descripción de la norma 3087. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920) 315Planes de AOQL 316Planes de LTPD 3168. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES 318Ventajas y desventajas 3188.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA 3198.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES 3228.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993 3248.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES 332

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Muestreo secuencial por variables 332

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1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA

1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO

Las dimensiones de la calidad según Garvin son:Desempeño (¿sirve el producto para el uso adecuado?)Confiabilidad (¿qué tan frecuentemente falla el producto?)Durabilidad (¿cuál es la vida útil del producto?)Serviciabilidad (¿qué tan fácil se repara el producto?)Estética (¿tiene el producto el estilo, color, forma, empaque y apariencia adecuada?)Características (¿qué hace el producto más allá de su desempeño básico?)Calidad percibida (¿cuál es la reputación de la empresa o del producto?)Cumplimiento de estándares (¿el producto está hecho de acuerdo a estándares de diseño original?)

Así la calidad tradicionalmente es adecuación al uso.

Dentro de la adecuación al uso existen la calidad de diseño y la calidad de conformancia. La de diseño se refiere al diseño original del producto, los materiales utilizados, especificaciones, y métodos empleados. La calidad de conformancia se refiere a que tan bien cumple el producto los requerimientos de las especificaciones de su diseño, que básicamente depende del proceso de manufactura.

Una definición más moderna es que la calidad es inversamente proporcional a la variabilidad.

De esta forma se define la mejora de calidad como:Mejoramiento de la calidad es la reducción de la variabilidad en

productos y servicios.

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EUA JAPON

LIE Objetivo LSEFig. 1.1 Enfoques de conformancia

Como los métodos estadísticos tienen un papel importante en el mejoramiento de la calidad, son objeto de estudio de la Ingeniería de calidad. Los datos relacionados con la calidad se clasifican en atributos y en variables. Los de atributos son discretos, enteros. Los de variables corresponden a mediciones con valores reales como longitud, voltaje, etc. Existen diferentes herramientas estadísticas para tratar con ambos tipos de datos.

Los productos no conformes o defectivos son los que no cumplen una o varias especificaciones.

Un tipo específico de no cumplimiento de especificaciones es llamado defecto o no conformancia.

Características del producto: Son los elementos que en conjunto describen la calidad del producto, evaluadas respecto a especificaciones, como son:

Físicos: Longitud, peso, voltaje, viscosidadSensoriales: Gusto, apariencia, colorRelacionados con el tiempo: Confiabilidad, durabilidad, serviciabilidad.

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1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO

AntecedentesLa teoría de la administración se desarrolló básicamente en los países industrializados, en respuesta a los problemas que presentaron las grandes empresas características del sistema capitalista.1 Sus primeros indicios se observan con el economista Adam Smith con el concepto de división del trabajo para aumentar la productividad en 1776.2 Smith notó que en una industria de fabricación de alfileres, diez personas, cada una realizando una tarea específica, podrían producir 48,000 alfileres por día. Propuso que si cada uno trabajara por separado y en forma independiente, los diez trabajadores tendrían suerte en hacer 200 (o aún 10) alfileres al día.3

Smith concluyó que la división del trabajo incrementaba la productividad sin embargo se consideraba al trabajador como extensión de la máquina. Durante la revolución industrial, “iniciada en el siglo XVIII en Gran Bretaña…la mano de obra era sustituida por máquinas de una manera acelerada”.4 Esto, a su vez, abarató la fabricación de productos en las fábricas. Surge la administración científica con Frederick Taylor.

Frederick Winslow Taylor (1856-1915): él no desarrolló una teoría de administración, sino que hacía énfasis en los aspectos empíricos.5 En 1911 publicó sus “Principios de la Administración Científica”6 donde describe la administración científica, y usó este término para definir “la única y mejor manera” de realizar un trabajo. Los estudios realizados antes y después de esta publicación, lo erigieron como el padre de la administración científica.7 Sus cuatro principios son: 1. Crear una ciencia para cada elemento del trabajo del individuo, que sustituya al método empírico; 2. Escoger científicamente y luego entrenar, enseñar y desarrollar al trabajador; 3. Colaborar ampliamente con los trabajadores para asegurar que todo el trabajo se realice conforme a los principios de la ciencia que se ha ido desarrollando; 4. Hay una división casi igual del trabajo y la responsabilidad entre la administración y los trabajadores. La administración se encarga de todo el trabajo para el cual esté mejor dotada que los trabajadores.8

Taylor9 señaló que la creación de nuevos métodos de trabajo era responsabilidad única de gerentes y administradores. La mayor desventaja del taylorismo es que los trabajadores pueden ser descalificados “como si fueran extensión de las máquinas”,10 como consecuencia, se tiene poca motivación y alto ausentismo.

1 Simón, Nadima S., Evaluación Organizacional, SICCO, México, 1997, p. 7 2 Smith, Adam, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, A. Strahan and T. Cadell, London, 1793, pp. 7-8 3 Robbins, Stephen P., Management: Concepts and Applications, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1987, p. 31.4 Ibidem, p. 31.5 Simón, Nadima, op. cit., p. 96 Taylor, Frederick W., Principles of Scientific Management,, Harper & Bros., Nueva York, Estados Unidos de América, 19117 Robbins, Stephen, op cit. p. 33.8 Ibidem, p. 34 tomado de la obra de Frederick Taylor, Principles of Scientific Management, Nueva York, Harper and Brothers, 1911, pp. 36-37.9 Taylor, op. cit. 1911, p.20.

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Frank (1864-1924) y Lillian Gilberth: diseñaron arreglos laborales para eliminar movimientos manuales y corporales inútiles, también experimentaron en el diseño y uso de herramientas y equipo adecuado para optimizar el desempeño del trabajo.11 Encontraron que no es el trabajo monótono la causa de tanta insatisfacción laboral, sino la falta de interés que muestran los gerentes por los trabajadores.12

El “Fordismo” de Henry Ford: se implantó en empresas con líneas de productos durables en Estados Unidos de América, fomentó la modificación de las normas de consumo y de vida de los trabajadores, considerados como verdaderos consumidores potenciales, para lo cual era necesario aumentar su poder de compra y reducir costos de producción, con sistemas de protección social.13

Con las crisis de los años ochenta, la producción masiva uniforme ya no es competitiva, surge un nuevo paradigma que hace énfasis en la respuesta flexible frente a los cambios impredecibles del mercado. 14

Control de calidad por inspecciónDurante la primera guerra mundial el sistema de manufactura se volvió más complejo, involucrando a más trabajadores reportando a un supervisor de producción, con Taylor aparecen los primeros inspectores de control de calidad; los trabajadores y el supervisor se enfocaron a la producción, desligándose del auto - control de calidad de los artículos que producían, esto tuvo auge entre los años 1920's y 1930's. Para evitar quejas y devoluciones de los clientes, los productos se revisaban y separaban al final del proceso, identificando los defectuosos por un departamento de Control de Calidad, sin embargo como la inspección 100% realizada por personas tiene errores, se estableció un departamento de Servicio para corregir los productos defectuosos en el mercado.15 Se establecen después planes de muestreo militares, asumiendo que cualquier proceso producirá defectos, los esfuerzos se enfocan a detectarlos, no a prevenirlos. Los productos defectuosos, eran reprocesados o desechados, incrementando los costos de producción entre un 20 a 30% e incrementando el precio final del producto al menos 20%16, absorbiendo el cliente las ineficiencias de la empresa. El departamento de Control de Calidad se convierte en el "policía de la calidad" y se le responsabiliza de todos los problemas de calidad en la empresa, está formado por especialistas y técnicos que se encargan principalmente de detectar defectos en el producto final.

Con objeto de reducir el costo de la no calidad se desarrolló y aplicó el Control Estadístico del Proceso como una siguiente etapa.

10 Hall, Richard, Organizaciones: Estructura y proceso. México, Prentice Hall Hispanoamericana, 1982, p. 304 11 Ibidem, p. 3312 Koontz, Harold, op. cit. , p. 34.13 Neffa, Julio Cesar, “Transformaciones del proceso del trabajo y de la relación salarial en el marco del nuevo paradigma productivo. Sus repercuciones sobre la acción sindical”, en Sociología del Trabajo, Nueva época, núm. 18, primavera de 1993, pp. 80-82 14 Ibidem, p. 83-84 15 Vid. Valdez, Luigi, Conocimiento es futuro, CONCAMIN, México, 1995, pp. 122-12316 Ibidem, pp. 125-126

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Control estadístico del proceso (CEP) CEP en occidenteDurante la segunda guerra mundial se requirieron cantidades masivas de productos, las inspecciones de rutina de los inspectores no eran suficientes, en algunas compañías, tales como la Western Electric, bajo contrato de la American Bell Telephone Company, estableció métodos de control de calidad más rigurosos que infundieran confianza en sus instrumentos y electrodomésticos, en 1924 se formó su departamento de Ingeniería de Inspección, entre sus primeros miembros se encuentran Harold F. Dodge, Donald A. Qaurles, Walter A. Shewhart, Harry G. Romig y otros.

Según Duncan “Walter Shewhart de los Laboratorios Bell fue el primero en aplicar las cartas de control en 1924 haciendo un esbozo de la carta de control”17. Por otra parte “H. Dodge y H. Romig desarrollaron las tablas de inspección por muestreo de Dodge-Romig”18, como una alternativa a la inspección 100% al producto terminado, sin embargo su adopción en occidente fue muy lenta, Freeman, sugiere que esto se dio por “la tendencia de los ingenieros americanos a eliminar la variación, y su desdén por las teorías probabilísticas, así como a la falta de estadígrafos industriales, adecuadamente entrenados”.19

El trabajo de Shewhart, Dodge y Romig, constituye la mayor parte de lo que hoy se conoce como “Control Estadístico del Proceso”. De esta forma con objeto de hacer más eficientes a las organizaciones de inspección, “se proporciona a los inspectores con unas cuantas herramientas estadísticas, tales como cartas de control y tablas de muestreo”20. Se reduce el nivel de variación del proceso hasta los límites predecibles y se identifican las oportunidades de mejora. Se establecen sistemas de medición formales desde los proveedores hasta el producto final y el proceso se "estandariza”. Hoy en día la herramienta de las cartas de control (CEP) es utilizada por los círculos de control de calidad para la identificación de problemas.En 1931, W.A. Shewhart publica su libro “Economic Quality Control of Quality of Manufactured Product”, donde describe las cartas para el control estadístico del proceso. En medio de los años 30’s los métodos de control estadístico de calidad se empezaron a aplicar en la Western Electric, brazo de manufactura de los laboratorios Bell, sin embargo no fueron reconocidos estos métodos ampliamente.

Durante la II guerra mundial se expandió el uso de los métodos estadísticos de control de procesos en la industria de la manufactura, la American Society for Quality Control se formó en 1946 para promover su uso. De 1946 a 1949 W. Deming es invitado a Japón a dar seminarios sobre control estadístico de calidad a sus industriales, extendiendo el uso de éstos métodos. Aparecen las obras de Eugene L. Grant y A.J. Duncan sobre control estadístico del proceso. En occidente es hasta la década de los ochenta cuando se voltea hacia los métodos estadísticos ya muy comunes en Japón dado el éxito industrial de este país.

En los años recientes, empresas de alta tecnología como Motorola, General Electric, Xerox, AT&T, etc., desarrollan e implantan una metodología de calidad total denominada Calidad 6 sigma con el

17 Duncan, Acheson, op. cit.p. 16.18 Ibidem, p. 119 Freeman, H.D., “Statistical Methods for Quality Control”, MechanicalEngineering, April 1937, p. 261.20 Feigenbaum, A.V., op. cit., 1986, p. 16

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objetivo de reducir los errores y defectos a un máximo de 3.4 partes por millón (ppm), donde una de las herramientas clave es el control estadístico del proceso, que permite obtener ahorros de costos muy importantes.

CEP en JapónEn 1950 el experto Edwards W. Deming inició el entrenamiento en métodos estadísticos en el Japón, incluyendo conferencias dirigidas a los líderes industriales, en esta época Kaoru Ishikawa experto japonés en control de calidad inició sus estudios sobre conceptos de control de calidad, describe su propia motivación como sigue:Yo desarrollé un gran respeto por el Dr. Shewhart por medio del estudio profundo de sus conceptos en cartas de control y estándares... Sin embargo, me sorprendí un poco que en EUA, donde efectué una visita de estudio, sus métodos casi no se aplicaban. Yo deseo importar sus conceptos al Japón y asimilarlos para adaptarlos a situaciones en Japón, de tal forma que los productos japoneses mejoraran su calidad21

En 1955, Kaouru Ishikawa introdujo las técnicas de cartas de control en Japón, los japoneses aprendieron el control de calidad de occidente, invitaron a Deming, Juran y otros eruditos a Japón para que les enseñasen el control estadístico del proceso. Sin embargo la implantación de estas técnicas fue posible después de su modificación y adaptación a las empresas japonesas, incluyendo la creación de varias herramientas útiles como refinamiento del control estadístico de calidad, tales como las 7 herramientas estadísticas utilizadas normalmente por los círculos de control de calidad y la aplicación de técnicas estadísticas avanzadas.

Entre las 7 herramientas estadísticas se encuentran: Diagrama de Ishikawa, Diagrama de Pareto, Hoja de verificación, Diagrama de dispersión, Estratificación, Histogramas y Cartas de control.

Estas técnicas junto con las computadoras han alcanzado un alto nivel en Japón, “todas las industrias japonesas confían en los métodos estadísticos avanzados para el diseño de productos”,22

esto también ha permitido que los supervisores de las fábricas japonesas utilicen estadística de alto nivel para analizar problemas. Por ejemplo para el caso del diseño de experimentos se tiene: “el diseño estadístico de experimentos es el arreglo, bajo el cual se efectúa un programa experimental, incluye la selección de los niveles óptimos de los factores que tienen influencia en la calidad del producto “23, ayuda a optimizar el tiempo y los elementos de diseño, determinando los materiales más baratos de tal forma que el producto cumpla las especificaciones, y todavía se asegure que el producto se desempeñará en forma satisfactoria bajo condiciones variables.

Con la aplicación del Control Estadístico del Proceso, el trabajador tiene de nuevo la oportunidad de controlar la calidad de su trabajo, no a través de inspección 100%, sino a través de técnicas de muestreo y de cartas de control, como método preventivo de defectos, lo que permite su autocontrol para reducir la variabilidad del proceso de producción, se complementa con las siete herramientas estadísticas y el ciclo de control de Deming (planear, hacer, verificar y actuar).

Desarrollo del Control Estadístico del Proceso

21 Ishikawa, Kaouru, "Tributes to Walter A. Shewhart," Industrial Quality Control, Vol. 22, No. 12, 1967, pp. 115-116.22 Amsden, R., op. cit. , p. 537.23 Winer, B., Statistical Principles in Experimental Design, McGraw Hill, 1971. p. 5.

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W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de distribuciones casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las medias de esas muestras, al graficar las medias en un histograma siguen una distribución normal.24

* * * * * * * * *** * *

*** * *

Distribución de promediosUniverso de las muestras

Fig. 1.2 Experimentos de Shewhart para las cartas de control

Encontró que las medias de las muestras correspondían a las medias de la población y que la desviación estándar de las medias de las muestras se relacionaban con la desviación estándar de la población, como sigue (TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL):

σX__=

σ√n (1.1)

Donde n es el tamaño de la muestra y es la desviación estándar de la población.

Población con media m y desviación estándar y cualquier distribución.

X1 X2 X3X-media 1 X-media 2 X-media 3

Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias m y desviación estándar de las medias de las muestras / Ön. También se denomina Error estándar de la media.

24 Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co., 1931, p. 182

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Promedios

Freq

uenc

y

76543

14

12

10

8

6

4

2

0

Histogram of Promedios

Fig. 1.3 Distribución de las medias muestrales - Normal

En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.

Teorema del límite centralLa distribución normal tiene muchas propiedades útiles, una de estas se refiere a la combinación lineal de variables aleatorias independientes. Si x1, x2 x3, ...., xn son variables aleatorias independientes no necesariamente normales, con media m1, m2, ... mn y varianzas 1

2, 22 , ..., n

2 respectivamente, entonces la distribución del estadístico siguiente:

y = a1x1 + a2x2 + ............. + anxn

es normal con mediamy = a1m1 + a2m2 + ... + anmn

y varianza y

2 = a121

2 + a222

2...,+ an2n

2 donde a1, a2, ... an son constantes.

El Teorema del Límite Central establece que la distribución de la variable:

[y - ∑i=1

n

mi ] √∑i=1

n

σi2

(2.5)

Se aproxima a la distribución normal conforme n tiende a infinito. Es decir que la suma de las n variables aleatorias independientemente distribuidas es aproximadamente normal, independientemente de la distribución de las variables individuales.

La aproximación se mejora conforme se incrementa n, en general si las x i están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.

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InterpretaciónNormalmente para conocer el estado de un proceso en determinado momento, es necesario obtener un histograma de la característica de interés, tomando al menos 30 piezas. Se calcula la media y la desviación estándar de la muestra y se trata de inferir sobre las características del proceso. Haciendo esto periódicamente se pueden tener los comportamientos siguientes:

Hora 4Hora 2Hora 3Hora 1

a) Proceso fuera de control b)Proceso en controlen media y variabilidad en media y esv. est.

Fig. 1.4 Comportamiento de procesos en control y fuera de control25

Llevando un control de proceso a través de histogramas no sería práctico y aprovechando sus hallazgos del comportamiento de las medias Shewhart sugirió llevar un control del proceso tomando muestras no de 50 piezas, sino de sólo 5 consecutivas, monitoreando el comportamiento del proceso a través de las cartas de control de Shewhart, la media del proceso con las medias de las muestras y la variabilidad con su rango. Tomado límites de control establecidos a 3 de medias o rangos.

25 Ford Motor Co., Continuing Process Control and Process Capability Improvement, Dearborn, Michigan, 1983

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1.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Figura 3.1 Las 7 herramientas estadísticas de calidad

H

Fig. 1.5 Las 7 herramientas estadísticas para la mejora y solución de problemas

Hoja de verificación o registro Se utiliza para reunir datos basados en la observación del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y control de información relativa al proceso. Básicamente es un formato que facilita que una persona pueda tomar datos en una forma ordenada y de acuerdo al estándar requerido en el análisis que se esté realizando. Las hojas de verificación también conocidas como de comprobación o de chequeo organizan los datos de manera que puedan usarse con facilidad más adelante.

Pasos para la elaboración de una hoja de verificación:

Determinar claramente el proceso sujeto a observación. Los integrantes deben enfocar su atención hacia el análisis de las características del proceso.Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos. Esto puede variar de horas a semanas.Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar. Asegúrese de que todas las columnas estén claramente descritas y de que haya suficiente espacio para registrar los datos.Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Asegúrese de que se dedique el tiempo necesario para esta actividad.

Anotar frecuencia de ocurrencia de los eventos (con signos |, X, *, etc.)

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DEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. EquivocadoIIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIADEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. EquivocadoIIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIA

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Figura 1.6 Ejemplo de hoja de verificación o registro

Consejos para la elaboración e interpretación de las hojas de verificaciónAsegúrese de que las observaciones sean representativas.Asegúrese de que el proceso de observación es eficiente de manera que las personas tengan tiempo suficiente para hacerlo.La población (universo) muestreada debe ser homogénea, en caso contrario, el primer paso es utilizar la estratificación (agrupación) para el análisis de las muestras/observaciones las cuales se llevarán a cabo en forma individual.

Ejercicio: Hacer hoja de registro con las antigüedades en la organización y concluir:Antigüedad Registro0.5 -1 años1.1 – 2 años2.1 – 4 años4.1 – 7 añosMás de 7 añosConclusiones:

Diagrama de Pareto Se utiliza para identificar problemas o causas principales:Herramienta utilizada para el mejoramiento de la calidad para identificar y separar en forma crítica los pocos proyectos que provocan la mayor parte de los problemas de calidad.

El principio enuncia que aproximadamente el 80% de los efectos de un problema se debe a solamente 20% de las causas involucradas.

El diagrama de Pareto es una gráfica de dos dimensiones que se construye listando las causas de un problema en el eje horizontal, empezando por la izquierda para colocar a aquellas que tienen un mayor efecto sobre el problema, de manera que vayan disminuyendo en orden de magnitud. El eje vertical se dibuja en ambos lados del diagrama: el lado izquierdo representa la magnitud del efecto provocado por las causas, mientras que el lado derecho refleja el porcentaje acumulado de efecto de las causas, empezando por la de mayor magnitud.

Pasos para desarrollar el diagrama de Pareto:Seleccione qué clase de problemas se van a analizar. Decida qué datos va a necesitar y cómo clasificarlos. Ejemplo: Por tipo de defecto, localización, proceso, máquina, trabajador, método.Defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la recolección.Diseñe una tabla para el conteo de datos con espacio suficiente para registrarlos.

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DEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. EquivocadoIIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIADEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. EquivocadoIIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIA

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Elabore una tabla de datos para el diagrama de Pareto con la lista de categorías , los totales individuales, los totales acumulados, la composición porcentual y los porcentajes acumuladosOrganice las categorías por orden de magnitud decreciente, de izquierda a derecha en un eje horizontal construyendo un diagrama de barras. El concepto de “otros” debe ubicarse en el último lugar independientemente de su magnitud.Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

Ejes verticales:Eje izquierdo: Marque este eje con una escala desde 0 hasta el total generalEje derecho: Marque este eje con una escala desde 0 hasta 100%

Eje horizontal:- Divida este eje en un número de intervalos igual al número de categorías clasificadas.

Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto), Marque los valores acumulados (porcentaje acumulado) en la parte superior, al lado derecho de los intervalos de cada categoría, y conecte los puntos con una línea continua.Escriba en el diagrama cualquier información que considere necesaria para el mejor entendimiento del diagrama de Pareto.

Ejemplo de Diagrama de Pareto:El departamento de ventas de un fabricante de materiales de empaque tiene registrada una lista de las quejas que se han recibido durante el último mes. Tipo de queja No.

de quejas

TotalAcumulado

ComposiciónPorcentual

Porcentaje Acumulado

A) Entregas fuera de tiempo 25 25 35.71 35.71

B) Calibre fuera de especificaciones(B) Calibre fuera de especificaciones

23 48 32.85 68.56

C) Material sucio y maltratado 7 55 10 78.56

D) Material mal embalado 6 61 8.57 87.13

E) Dimensiones fuera de especificaciones 3 64 4.28 91.41

F) Inexactitud en cantidades 2 66 2..85 94.26

G) Mala atención del personal 1 67 1.42 95.68

H) Maltrato del material por transportistas 1 68 1.42 97.7

I) Fallas en documentación 1 69 1.42 98.52

J) Producto con códigos equivocados 1 70 1.4 99.94

Página 17

Page 18: Resumen Control Estadístico de Proceso

DIAGRAMA PARETO

Figura 1.7a Diagrama de Pareto

Las quejas A, B y C representan el 78.56%, siendo en estas en las que debemos de enfocarnos primero a resolver.

Ejemplo: Se tienen los gastos siguientes:TIPO_GTO GASTO CANT

APapelería 20

B Toners 60C Víaticos 80D Gasolina 30E Copiado 10

Página 18

123

67

23

25

78.56

87.13

95.68

97.7

99.94

35.71

68.56

91.41

A B C D E F G H I J

94.26

98.52

%

ACUMULADO

NO

DE

QUEJAS

50

Page 19: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de Pareto en MinitabCapture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)Seleccione: Stat>Quality Tools>Pareto ChartEscoja la opción Chart defects table , en el campo labels in seleccione: C1 y en Frequencies in seleccione: C3. Combine defects alter the first 80%.Clic en OKEl sistema despliega la gráfica de Pareto:

Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa

Coun

t

Perc

ent

C1Count

15.0 10.0 5.0Cum % 40.0 70.0 85.0 95.0 100.0

80 60 30 20 10Percent 40.0 30.0

OtherADBC

200

150

100

50

0

100

80

60

40

20

0

Pareto Chart of C1

Figura 1.7b Diagrama de ParetoEn la gráfica observamos que aproximadamente el 85% de los gastos es debido a los gastos C, B, D.Ejercicio: Hacer un diagrama de Pareto con los gastos principales:Ordenarlos de mayor a menorTipo de Gasto Descripción Frecuencia

Frecuencia %

Página 19

Page 20: Resumen Control Estadístico de Proceso

Conclusiones:

Diagrama de Dispersión Se utiliza para analizar la correlación entre dos variables, se puede encontrar: Correlación positiva o negativa, fuerte o débil o sin correlación.

El diagrama de dispersión es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables. Por ejemplo, entre una característica de calidad y un factor que le afecta.

La ventaja de utilizar este tipo de diagramas es que al hacerlo se tiene una comprensión más profunda del problema planteado.

La relación entre dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que cada relación está dada por un par de puntos (uno para cada variable).

La variable del eje horizontal x normalmente es la variable causa, y la variable del eje vertical y es la variable efecto.

Fig. 1.8 Gráfica de dispersión donde se observa una correlación positiva

La relación entre dos variables puede ser: positiva o negativa. Si es positiva, significa que un aumento en la variable causa x provocará una aumento en la variable efecto y y si es negativa significa que una disminución en la variable x provocará una disminución en la variable y.

Por otro lado se puede observar que los puntos en un diagrama de dispersión pueden estar muy cerca de la línea recta que los atraviesa, o muy dispersos o alejados con respecto a la misma. El índice que se utiliza para medir ese grado de cercanía de los puntos con respecto a la línea recta es la correlación. En total existen cinco grados de correlación: positiva evidente, positiva, negativa evidente, negativa y nula.

Página 20

Acci

dent

es la

bora

les

Numero de órdenes urgentes

Correlación positiva, posible

•••

•• •

•• ••

••

••

•• • •

• ••

• •••

Acci

dent

es la

bora

les

Numero de órdenes urgentes

Correlación positiva, posible

•••

•• •

•• ••

••

••

•• • •

• ••

• •••

Page 21: Resumen Control Estadístico de Proceso

Correlación entre las variables Y y XCorrelación Positiva

Evidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

YCorrelación Negativa

Evidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónPositiva

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónNegativa

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y0

5

0

Figura 1.9 Diagrama de dispersión y su correlación entre X,Y

Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos son:

a=∑ y∑ x2−∑ x∑ xy

n∑ x2−(∑ x )2

b=n∑ xy−∑ x∑ y

n∑ x2−(∑ x )2

El índice de correlación (r) se puede calcular estadísticamente mediante las ecuaciones que a continuación se presentan

r= SCxy√ SCx×SCy

SCxy=∑ xy−∑ x×∑ yn

SCx=∑ x2−(∑ x )

n

2

SCy=∑ y2−(∑ y )

n

2

Donde: r = Coeficiente de correlación lineal

Página 21

Page 22: Resumen Control Estadístico de Proceso

SCxy = Suma de cuadrados de xySCx = Suma de cuadrados de xSCy = Suma de cuadrados de y

∑ x2= Sumatoria de los valores de la variable x al cuadrado

∑ y2= Sumatoria de los valores de la variable y al cuadrado

∑ xy= Sumatoria del producto de xy

(∑ x )2= Cuadrado de la sumatoria de la variable x

(∑ y )2= Cuadrado de la sumatoria de la variable y n = número de pares ordenados (pares de datos x, y)

El factor de correlación es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.La correlación se utiliza para cuantificar el grado en que una variable provoca el comportamiento de otra. Por ejemplo si se encuentra que la variable temperatura tiene una correlación positiva con el porcentaje de artículos defectuosos, se deben buscar soluciones al problema de los artículos defectuosos mediante acciones asociadas con la variable temperatura; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.

Ejemplo: Un ingeniero que trabaja con botellas de refresco investiga la distribución del producto y las operaciones del servicio de ruta para máquinas vendedoras. El sospecha que el tiempo requerido para cargar y servir una máquina se relaciona con el número de latas entregadas del producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 25 expendios al menudeo que tienen máquinas vendedoras y se observa para cada expendio el tiempo de solicitud- entrega (en minutos) y el volumen del producto entregado (en latas). Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos se muestran a continuación:

Página 22

Observación No. Latas, x tiempo, y x^2 y^2 xy1 2.00 9.95 4.00 99.00 19.90 2 8.00 24.45 64.00 597.80 195.60 3 11.00 31.75 121.00 1,008.06 349.25 4 10.00 35.00 100.00 1,225.00 350.00 5 8.00 25.02 64.00 626.00 200.16 6 4.00 16.86 16.00 284.26 67.44 7 2.00 14.38 4.00 206.78 28.76 8 2.00 9.60 4.00 92.16 19.20 9 9.00 24.35 81.00 592.92 219.15

10 8.00 27.50 64.00 756.25 220.00 11 4.00 17.08 16.00 291.73 68.32 12 11.00 37.00 121.00 1,369.00 407.00 13 12.00 41.95 144.00 1,759.80 503.40 14 2.00 11.66 4.00 135.96 23.32 15 4.00 21.65 16.00 468.72 86.60 16 4.00 17.89 16.00 320.05 71.56 17 20.00 69.00 400.00 4,761.00 1,380.00 18 1.00 10.30 1.00 106.09 10.30 19 10.00 34.93 100.00 1,220.10 349.30 20 15.00 46.59 225.00 2,170.63 698.85 21 15.00 44.88 225.00 2,014.21 673.20 22 16.00 54.12 256.00 2,928.97 865.92 23 17.00 56.63 289.00 3,206.96 962.71 24 6.00 22.13 36.00 489.74 132.78 25 5.00 21.15 25.00 447.32 105.75

TOTALES 206.00 725.82 2,396.00 27,178.53 8,008.47

Page 23: Resumen Control Estadístico de Proceso

Utilizando las ecuaciones para obtener el coeficiente de correlación tenemos:

SCxy = 2027.71SCx = 698.56SCy = 6105.94 r = 0.98

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística para afirmar que el tiempo de entrega está relacionado con el número de latas.

f(x) = 2.9 x + 5.11R² = 0.963954368164427

Diagrama de dispersion

Numero de latas (x)

tiem

po d

e en

treg

a ( y

)

Figura 1.10 Diagrama de dispersión con tendencia

En la gráfica observamos que al aumentar el número de latas el tiempo de entrega aumenta.

Para realizar el gráfico de dispersión en Excel realice el siguiente procedimiento:

Seleccione el icono asistente para gráficos.Seleccione el tipo de gráfico xy(dispersión), y subtipo de gráfico: dispersión, compara pares de valores.(siguiente)En la pestaña rango de datos seleccione los valores de x y y de la tabla de datos. En la pestaña serie agregue el título, el rango de valores x, y se da por default al haber seleccionado el rango de datos .(siguiente) Ponga el titulo del gráfico y eje de valores x y y de la tabla de datos. En esta pantalla puede agregar líneas de división al gráfico y otras opciones (siguiente) (finalizar) Para realizar algún cambio, por ejemplo en la escala haga clic en la escala de valores y aparecerá un menú que le permitirá realizarlos.

Página 23

Observación No. Latas, x tiempo, y x^2 y^2 xy1 2.00 9.95 4.00 99.00 19.90 2 8.00 24.45 64.00 597.80 195.60 3 11.00 31.75 121.00 1,008.06 349.25 4 10.00 35.00 100.00 1,225.00 350.00 5 8.00 25.02 64.00 626.00 200.16 6 4.00 16.86 16.00 284.26 67.44 7 2.00 14.38 4.00 206.78 28.76 8 2.00 9.60 4.00 92.16 19.20 9 9.00 24.35 81.00 592.92 219.15

10 8.00 27.50 64.00 756.25 220.00 11 4.00 17.08 16.00 291.73 68.32 12 11.00 37.00 121.00 1,369.00 407.00 13 12.00 41.95 144.00 1,759.80 503.40 14 2.00 11.66 4.00 135.96 23.32 15 4.00 21.65 16.00 468.72 86.60 16 4.00 17.89 16.00 320.05 71.56 17 20.00 69.00 400.00 4,761.00 1,380.00 18 1.00 10.30 1.00 106.09 10.30 19 10.00 34.93 100.00 1,220.10 349.30 20 15.00 46.59 225.00 2,170.63 698.85 21 15.00 44.88 225.00 2,014.21 673.20 22 16.00 54.12 256.00 2,928.97 865.92 23 17.00 56.63 289.00 3,206.96 962.71 24 6.00 22.13 36.00 489.74 132.78 25 5.00 21.15 25.00 447.32 105.75

TOTALES 206.00 725.82 2,396.00 27,178.53 8,008.47

Page 24: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y C2):

Minitab > Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de determinación.

Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en Minitab:Minitab > Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X, seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.

Ejercicio: Hacer un diagrama de dispersión con los datos siguientes:Errores (escala 5 por división)

Antiguedad Conclusiones:

Página 24

Antigüedad Errores4 202 128 366 2810 445 257 321 5

Page 25: Resumen Control Estadístico de Proceso

Histogramas Se utilizan para ver la distribución de frecuencia de una tabla de datos

Figura 3.5 Distribución de frecuencias o histograma

Figura 1.11 Histograma en Excel

Pasos para hacer un histograma:

1. Contar el número de datos, identificar el valor máximo, el mínimo y el rango.

2. Determinar el ancho de clase = Rango / 5 a 8.

3. Contar cuantos datos entran dentro de cada celda.

4. Graficar las frecuencias de cada celda.

Ejercicio: Realizar un histograma con los datos de edades siguientes:2.41 17.87 33.51 38.65 45.70 49.36 55.08 62.53 70.37 81.213.34 18.03 33.76 39.02 45.91 49.95 55.23 62.78 71.05 82.374.04 18.69 34.58 39.64 46.50 50.02 55.56 62.98 71.14 82.794.46 19.94 35.58 40.41 47.09 50.10 55.87 63.03 72.46 83.318.46 20.20 35.93 40.58 47.21 50.10 56.04 64.12 72.77 85.839.15 20.31 36.08 40.64 47.56 50.72 56.29 64.29 74.03 88.6711.59 24.19 36.14 43.61 47.93 51.40 58.18 65.44 74.10 89.2812.73 28.75 36.80 44.06 48.02 51.41 59.03 66.18 76.26 89.5813.18 30.36 36.92 44.52 48.31 51.77 59.37 66.56 76.69 94.0715.47 30.63 37.23 45.01 48.55 52.43 59.61 67.45 77.91 94.47

Paso 1. Número de datos = Valor mayor = Valor menor = Rango = Paso 2. Ancho de clase = Rango / 6 = redondear a:Paso 3. Contar elementos para cada clase:Columna Intervalo Registro de frecuencias

Frecuencia1 0 -17

Página 25

02468

1012141618

15-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65-75

Frec.

Page 26: Resumen Control Estadístico de Proceso

2 18-353 36-534 54-715 72-896 90 en

adelantePaso 4. Hacer la gráfica del histograma:

Conclusiones:

Lluvia de ideas (Brainstorming)

En las sesiones de lluvia de ideas se generan nuevas ideas mediante la participación de todo el equipo.Para comenzar con el proceso de tormenta de ideas, en el cual se genera información la gente se reúne en una sala en la cual se recomienda la disposición de las mesas en forma de “U” para facilitar el debate. La gente que participa en la sesión deberá de pertenecer a diferentes áreas o tener puntos de vista diferentes, esto con el objeto de enriquecer la sesión.

El facilitador debe de contar con experiencia en la conducción de sesiones de tormentas de ideas, o al menos haber tenido experiencias previas. Para conducir un grupo se lleva a cabo la siguiente metodología:Seleccionar el problema a tratar.Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del problema, las cuales se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o malas sean estas.Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos concernientes al problema.Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy interesantes, que motivan a los participantes a generar más ideas.Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener mayor cantidad de ideas así existirán mayores posibilidades de conseguir mejores ideas.Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros.Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar las mejores ideas por medio del consenso del grupo de trabajo.

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Page 27: Resumen Control Estadístico de Proceso

Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solución.

La técnica tormenta de ideas puede ser aplicada con gran frecuencia al llevar a cabo otras herramientas, como por ejemplo, diagramas causa-efecto (Ishikawa), Diseño de experimentos, pruebas de confiabilidad, etc.

EJERCICIO: Realizar una lluvia de ideas para solucionar el problema de llegar a tiempo a algún lugar.

Diagrama de Causa efecto Muestra la relación entre una característica de calidad y los factores de influencia, para encontrar las causas posibles. Se usa la lluvia de ideas, debe hacerse sin juicios previos y respetando las opiniones.

Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuadoEl problema a analizar debe estar siempre visibleGenerar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlasMotivar a que todos participen con la misma oportunidadEl diagrama causa-efecto, también llamado “espina de pescado” por la semejanza de su forma, también es conocido por diagrama de Ishikawa.

Es utilizado para explorar, e identificar todas las causas posibles y relaciones de un problema (efecto) o de una condición específica en las características de un proceso.

Una vez elaborado, el diagrama causa-efecto representa de forma clara, ordenada y completa todas las causas que pueden determinar cierto problema.

Constituye una buena base de trabajo para poner en marcha la búsqueda de las verdaderas causas de un problema.

Los pasos para elaborar el diagrama de causa- efecto son los siguientes:

Seleccione el efecto (problema) a analizar. Se puede seleccionar a través de un consenso, un diagrama de Pareto, otro diagrama o técnica.Realice una lluvia de ideas para identificar las causas posibles que originan el problema.Dibuje el diagrama:Coloque en un cuadro a la derecha la frase que identifique el efecto (característica de calidad)Trace una línea horizontal hacia la izquierda del cuadro que contiene la frase. A esta línea se le conoce como columna vertebral.Coloque líneas inclinadas que incidan en la columna vertebral (causas principales).Dibuje líneas horizontales con flechas que incidan en las líneas inclinadas conforme a la clasificación de las causas (causas secundarias)Dibuje líneas inclinadas que incidan en las líneas de las causas secundarias (causas terciarias)

Clasifique las causas derivadas de la lluvia de ideas, de la siguiente manera:

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Page 28: Resumen Control Estadístico de Proceso

- Causas principales. Causas secundarias. Causas terciarias.

Jerarquice las causas por grado de importancia y defina aquellas que tengan un efecto relevante sobre la característica específica.Elabore y ejecute un programa de corrección de las causas relevantes.

Diagrama de IshikawaMedio

ambiente Métodos Personal

¿Quéproducebajas ventasdeTortillinasTía Rosa?

Climahúmedo

Calidad delproducto

Tipo deexhibidor

Falta demotivación Ausentismo

Rotación depersonal

Maquinaría Materiales

Clientes conventas bajas

Malositinerarios

Descomposturadel camiónrepartidor

Distancia dela agencia alchangarro

Medición

Seguimientosemanal

Conocimientode losmínimos porruta

Frecuenciade visitas

Elaboraciónde pedidos

Posición deexhibidores

Falta desupervición

Figura 1.12 Diagrama de causa efecto, de Ishikawa o espina de pescado

Ejemplo: En una fábrica de componentes electrónicos se detectaron fallas en la línea de ensamble al realizar la prueba de un circuito, por lo cual se procedió a realizar una investigación utilizando el diagrama causa-efecto.

El problema es soldadura defectuosa, siendo el efecto que se va a analizar.

Primero se determinan las causas principales M’s:MáquinasMano de obraMétodosMaterialesMedicionesMedio ambiente

Estas constituyen las causas primarias del problema y es necesario desafiarlas para encontrar causas más específicas secundarias y terciarias.Se construye el diagrama espina de pescado con las causas primarias (M´s), a partir de estas causas se agrupan las causas secundarias y terciarias derivadas de la lluvia de ideas.

Página 28

SOLDADURA DEFECTUOSA

MATERIALESMÉTODOS

MAQUINAS MANO DE OBRA

UNIONSOLDADURA

DESOXIDANTE

LACA DEPROTECCION

TERMINALES

CORTOS OXIDADOS

ANGULOINCORRECTO DE

LA FLAMA

TIEMPOS DEESPERA

SECUENCIASOLDADURA

VELOCIDAD DEAVANCE

DIMENSIONESINADECUADAS

TEMPERATURA

PUNTA OXIDADAFORMAPUNTA

HABILIDAD

FORMACION

LIMITESERGONOMICOS

MEDIO AMBIENTE

MEDICIONES

FUERA DEDIMENSIONESESPECIFICADS

SUPERFICIES CON

POLVO EIMPUREZAS

Page 29: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 1.13 Diagrama de causa efecto

El equipo analiza cada causa y por medio de eliminación y consenso determina cuales son las verdaderas causas que están ocasionando el problema. Una vez determinada las causas se realiza un análisis Por qué, Por qué, por qué (Why-Why Why), el cual consiste en preguntarnos cinco veces por qué?, para encontrar la causa raíz del problema.

En el ejemplo anterior las causas primarias fueron agrupadas en (M’s): mediciones, máquinas, personal, medio ambiente, métodos y materiales. Es posible realizar este diagrama con causas primarias diferentes a las M´s, ej:

Problema: Por qué la versión del sistema “Abacab”, no satisface los requerimientos del cliente.Las causas primarias en las que se organiza este problema son las siguientes:

Políticas y procedimientos del sistemaFuncionalidad.DiseñoAccesibilidadTiempo de respuestaConfiabilidad

Diagrama de Causa Efecto en MinitabCapture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)Seleccione: Stat>Quality Tools>Cause and Effect Diagram

Llenar las columnas C1 a C5 con las diferentes causas correspondientes a los conceptos de Personal, Máquinas, Materiales, Métodos, Mediciones y Medio ambiente.

Introducir los datos en la pantalla de entrada, indicando el problema en Effect y aceptar con OK.

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SOLDADURA DEFECTUOSA

MATERIALESMÉTODOS

MAQUINAS MANO DE OBRA

UNIONSOLDADURA

DESOXIDANTE

LACA DEPROTECCION

TERMINALES

CORTOS OXIDADOS

ANGULOINCORRECTO DE

LA FLAMA

TIEMPOS DEESPERA

SECUENCIASOLDADURA

VELOCIDAD DEAVANCE

DIMENSIONESINADECUADAS

TEMPERATURA

PUNTA OXIDADAFORMAPUNTA

HABILIDAD

FORMACION

LIMITESERGONOMICOS

MEDIO AMBIENTE

MEDICIONES

FUERA DEDIMENSIONESESPECIFICADS

SUPERFICIES CON

POLVO EIMPUREZAS

Page 30: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejercicio: Realizar un Diagrama de Causa efecto para identificar las causas potenciales de un problema y concluir.

Página 30

Page 31: Resumen Control Estadístico de Proceso

Carta de tendenciasDefinición:Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de manufactura.

Usos:• Saber el comportamiento de un sistema o proceso durante el tiempo.• Tomar las acciones correctivas a tiempo si la tendencia afectará en forma negativa.

Ejemplo: Se tienen los datos siguientes de errores de planeación de la producción durante 15 semanas: Se puede hacer en Minitab con Stat, Quality Tools, Run Chart, Subgroup size = 1

Permite observar el comportamiento de los datos durante un periodo de tiempo determinado.

Fig. 1.14 Carta de tendencias

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Page 32: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de flujo Dentro de los sistemas de calidad resulta de gran utilidad representar la estructura y relaciones de los sistemas mediante diagramas de flujo.

Ventajas de los diagramas de flujoProveen una secuencia gráfica de cada uno de los pasos que componen una operación desde el inicio hasta el final. Permitiendo una mejor visualización y comprensión del proceso.Los diagramas de flujo pueden minimizar grandes volúmenes de documentación, incluyendo la documentación ISO 9000.Facilitan el desarrollo de Procedimientos Estándar de Operación.Al tener un procedimiento de operación estándar se reduce en gran medida la variación y el tiempo de ciclo.Los diagramas de flujo permiten detectar áreas de mejora en los procesos.

Se utiliza para identificar los procesos, las características críticas en cada uno, la forma de evaluación, los equipos a usar, los registros y plan de reacción, se tienen los tipos siguientes:Diagramas de flujo de proceso detalladosDiagramas físicos de procesoDiagramas de flujo de valor

Símbolos para Diagramas de Flujo

Iniciar/Detener Transmisión

Operaciones(Valor agregado)Decisión

Inspección /Medición

Transportación

Almacenar

Entrada/Salida

Líneas de Flujo

Retraso

Fig. 1.15 Símbolos utilizados en los diagramas de flujo

Descripción de símbolosEn la construcción de diagramas de flujo de procesos se utilizan los símbolos descritos a continuación:

Operación de transformación: de la cual resulta un cambio físico o químico del producto.

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Page 33: Resumen Control Estadístico de Proceso

Inspección: Verificación de alguna característica mediante un estandar de calidad prestablecido.

Transporte: Movimiento físico del producto o un componente.

Demora: Indica la necesidad de un periodo de inactividad en espera de operación inspección o transporte.

Almacenamiento: Mantener un producto en almacenamiento hasta que continúe su procesamiento o sea vendido.

Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo

Describir el proceso a evaluar: Es importante comenzar con los procesos que se consideran de mayor impacto en la organización.

Definir todos los pasos que componen un producto o servicio: Existen diferentes maneras de hacerlo. Una de ellas consiste en que el equipo de trabajo anote en tarjetas los diferentes pasos que conforman el proceso, con este método el equipo puede arreglar y ordenar los pasos del proceso. Otra manera de hacerlo es mediante el uso de programas de diagramas de flujo en computadoras, de esta manera se tiene mayor flexibilidad que en el método anterior y se ahorra bastante tiempo. Cada paso deberá de ser discutido y analizado a detalle utilizando la pregunta “¿por qué se hace de esta manera?”

Conectar las actividades: Cuando los pasos que componen el proceso han sido descritos se construye el diagrama de flujo, conectando las actividades mediante flechas, cada símbolo debe describir la actividad que se realiza con pocas palabras.

Comparar el proceso actual con el proceso considerado como “ideal” las siguientes preguntas pueden servir de guía:¿Existen pasos demasiado complejos?¿Existe duplicidad o redundancia?¿Existen puntos de control para prevenir errores? ¿deberían de existir?¿El proceso funciona en la manera en la cual debería de hacerse?¿Se puede realizar el proceso de diferente manera?

Mejoras del proceso: Una vez que se contestan las preguntas mediante tormenta de ideas se realizan mejoras. Definiendo los pasos que agregan valor y los que no agregan se puede llevar a cabo una simplificación sustancial del proceso. Las mejoras son priorizadas y se llevan a cabo planes de acción.

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Page 34: Resumen Control Estadístico de Proceso

Implementar el nuevo procedimiento: Una vez realizadas las mejoras se dan a conocer a las personas involucradas en el proceso y se verifica su efectividad.

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Page 35: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de flujo: Una visita a la farmacia26

Ejemplo: Operación de despacho de una fórmula.

EVENTO SÍMBOLO TIEMPO(min.)

DISTANCIA (pies)

Abrir la puerta, caminar hacia el área de la farmacia del almacén.

0.8 50

Esperar para ser atendido. 1

Sacar la fórmula de la billetera o del bolsillo y entregarla al dependiente.

0.4

Esperar hasta cuando el dependiente despache la fórmula y calcule el valor.

10

Sacar la tarjeta de crédito de la billetera y entregarla al dependiente.

0.4

Esperar que el dependiente diligencie el desprendible de la tarjeta de crédito.

1

Verificar el desprendible 0.2

Firmar el desprendible 0.1

Esperar el desprendible y el medicamento 0.3

Colocar la tarjeta y el desprendible dentro de la billetera

0.2

Recoger el medicamento y caminar de regreso hasta la puerta

0.8 50

Figura 1.16 Ejemplo de diagrama de flujo

26 Adaptado de Hamid Noori/Russell Radford, Administración de Operaciones y producción, Ed. Mc.Graw Hill Pp.282

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Page 36: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejercicio: Hacer el diagrama de flujo de un proceso e identificar áreas de oportunidad

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Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo

SíNo

Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo

SíNo

Page 37: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de flujo de tiempo – valor agregadoEs utilizado para detectar cuales son las actividades que agregan valor al proceso y las que no agregan valor.

Pasos para realizarlo:• Dibujar una línea horizontal para representar el tiempo total que se ocupa en el proceso.• Relacione todos los pasos del proceso detalladamente, después decida si el paso tiene valor para el cliente.• Dibujar una línea vertical fina que represente el tiempo que se requiere para completar el paso.• Dibújela arriba de la línea, si representa valor agregado, o debajo si no lo representa.• En cada línea vertical señale el paso del proceso.• Puede dibujar una barra con el tiempo de valor agregado como porcentaje de tiempo total del proceso.

Ventajas:• Delinea gráficamente la cantidad de tiempo sin valor que se usa en el proceso.• Ayuda a reducir el tiempo sin valor y eliminar pasos innecesarios.

Ejemplo

Figura 1.17 Diagrama de flujo de valor

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Visita al consultorio médico

Espera Espera

RegistrarseSentarse

Llamada de

la enfermeraCaminar

Presión SanguíneaPeso

CaminarSentarse

Examen y

Prescripción

CaminarPagar

Salir del consultorio

Page 38: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de Flujo FísicoPasos para realizarlo:•Dibuje el esquema físico de su área de trabajo, incluyendo estaciones de trabajo, áreas de espera, áreas de máquinas, etc.•Use flechas para delinear el flujo de la parte dentro del área. Cada flecha debe delinear un paso del proceso.Ventajas

• Muestra el número de movimientos para completar el proceso.• Muestra la complejidad del flujo y las curvas.• Puede añadir tiempo a cada paso, para mostrar cuellos de botella y tiempo sin valor agregado Vs tiempo con valor agregado.

Figura 1.18 Ejemplo de diagrama de flujo físico

EJERCICIO: Realizar un diagrama de flujo de un proceso

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Edificio A

Edificio B

Page 39: Resumen Control Estadístico de Proceso

Estratificación Se utiliza para separar un aspecto general en los estratos que lo componen, por ejemplo, por regiones, estados, municipios, etc. Clasificación de los datos o factores sujetos a estudio en una serie de grupos con características similares.

Problemas con boletas Por región

Por estado

Por municipio

Figura 1.19 Estratificación de un problema

Ejercicio: Describir un ejemplo de estratificación de un aspecto poblacionalInicio:Primer paso:

Segundo paso:

Tercer paso:

Las cartas de control Sirven para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora. Hay dos tipos de cartas de control: por atributos (juzga productos como buenos o malos) y por variables (variables como, temperaturas).

Cartas de control

7.5

8.5

9.5

10.5

11.5

12.5

0 10 20 30

Límite Superior de

Control

Límite Inferior de

Control

LíneaCentral

Figura 1.20 Carta de control con sus límites de control y línea central

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Page 40: Resumen Control Estadístico de Proceso

“Escuche la Voz del Proceso” Región de control, captura la variaciónnatural del proceso

original

Causa Especialidentificada

El proceso ha cambiado

TIEMPO

Tendencia del proceso

LSC

LIC

Carta de controlMEDIDAS

CALIDAD

Figura 1.21 Patrones de anormalidad en cartas de control

Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso, denominadas “causas especiales o causas asignables de variación.”El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.

1.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA

A continuación se muestran los métodos para hacer más flexibles y esbeltas las operaciones en las organizaciones: Los 7 desperdicios o Muda

Son aspectos que no agregan valor al cliente, es decir no está dispuesto a pagar por ellos y hacen que la operación sea costosa y lenta:

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Page 41: Resumen Control Estadístico de Proceso

Servicios no requeridos Movimientos excesivos e innecesariosTransportes innecesariosInventarios innecesariosEsperas o firmas innecesariosErroresRetrabados o reinspecciones

Ejercicio: Identificar tres Mudas en la organización_______________________________________________________________._______________________________________________________________._______________________________________________________________.

Métodos Lean para la mejora

Para reducir el Muda se utilizan diversos métodos Lean como son:Mapeo de la cadena de valor Las 5 S’sCambios rápidos (SMED)Poka Yokes o A Prueba de errorTrabajo estandarizado

Mapeo de la cadena de valorSe trata de realizar un mapeo de los procesos, identificando las actividades que no agregan valor (Muda) para su reducción o eliminación, así como las actividades que agregan valor para su optimización, a continuación se presenta un ejemplo:

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Ejemplos de muda:

Caminar Esperar al ciclode máquina

Transporte de partes

Reportes sin uso

Movimientosinnecesarios

Inventarioinnecesario

Ejemplos de muda:

Caminar Esperar al ciclode máquina

Transporte de partes

Reportes sin uso

Movimientosinnecesarios

Inventarioinnecesario

Page 42: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejercicio: Mejora del tiempo de ciclo de atención en una sala de emergencia:

Se realiza un mapeo del proceso con todas las actividades relacionadas con la atención en una sala de emergencia, considerando tiempos y distancias.

Proceso Original

Resumen Símbolo Número Tiempo en Distancia Proceso: Admisión a la sala de emergenciade pasos minutos Sujeto: Paciente con una lesion en el tobillo

Operación 5 23 --- Principio: Entrada a sala de emergencia

Transporte 9 11 815 Final: Salida del hospital

Inspección 2 8 ---

Retraso 3 8 ---

Almacenaje 0 ---Total 19 50 815

No. de Pasos Tiempo Min.Distancia en pies Descripción1 0.5 15 X Entrada a la sala de emergencia (SE), acercarse a la ventanilla2 10 --- X Sentarse a llenar la historia clínica del paciente3 0.75 40 X La enfermera acompaña al paciente a la sala de evaluaciones 4 3 --- X La enfermera examina la lesión5 0.75 40 X Regresa a la sala de espera6 1 --- X Espera hasta que haya una cama disponible7 1 60 X Trasladarse hasta la cama de la (SE)8 4 --- X Espera hasta que llegue el médico9 5 --- X El médico examina la lesión y le hace preguntas al paciente

10 2 200 X La enfermera lleva al paciente a radiología11 3 --- X El técnico somete al paciente a los rayos X12 2 200 X Regresa a la cama asignada en la (SE)13 3 --- X Espera hasta que el médico regrese14 2 --- X El médico comunica su diagnositco y hace reconmendaciones15 1 60 X Regresa al área de entrada del servicio de Emergencias16 4 --- X Registrar la salida del lugar17 2 180 X Caminar hasta la farmacia18 4 --- X Recoger la prescripcion médica19 1 20 X Salir del Edificio

Total 50 815Se identifican las actividades que representan Muda y que son actividades que no agregan valor y se reducen o eliminan, quedando el proceso mejorado como sigue:

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Page 43: Resumen Control Estadístico de Proceso

Las 5 Ss y la administración visual

Objetivo: Encontrar cualquier cosa y tener idea del estado de la operación en menos de 30 segundos, por una persona familiarizada con el área de trabajo. Palabras japonesas que inician con s: Seiri, Seiton, Seiso, Seiketsu y Shitsuke.

1.- SEIRI significa: ORGANIZAR y SELECCIONAR:Trabajo en proceso, Herramientas innecesarias, Maquinaria no ocupada, Productos defectuosos, Papeles y documentos, lo más importante en este punto es:

Diferenciar entre lo necesario y lo innecesario.

Fig. 1.22 Áreas de oportunidad para 5S’s

2.- SEITON significa PONER LAS COSAS EN ORDEN.Las cosas deben mantenerse en orden de manera que estén listas para ser utilizadas cuando se necesiten.

Fig. 1.23 Implementación del orden de 5S’s

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1 2

1

2

2G974 0074D

2G974 0074D

1G569 6264D

1G569 6264D

3

3G235

3G235

9964D

9964D

A

1 2

B

Page 44: Resumen Control Estadístico de Proceso

3.- SEISO significa: LIMPIEZA. Mantener limpio el lugar de trabajo.

4.- SEIKETSU significa: LIMPIEZA ESTANDARIZADA. Hacer del aseo y de la pulcritud un hábito,

principiando con la propia persona.

5.- SHITSUKE (DISCIPLINA).Seguir los procedimientos en los procesos administrativos y de manufactura.

Las 5´s se han definido como Selección u Organización, Orden, Limpieza, Estandarización y Disciplina. Los dos elementos más importantes son la Organización y el Orden ya que de ellos depende el éxito de las actividades de Mejora.

Trabajan en medio del polvo, suciedad, desorden, aceite, etc. dificulta la búsqueda de piezas, útiles, información, requisiciones, herramientas etc. evitando esto se previenen los accidentes, no se generan defectos y todo se encuentra.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad de aplicación de las 5S’s en la organización_______________________________________________________________._______________________________________________________________._______________________________________________________________.

Preparaciones rápidas (SMED)

Objetivo: Cambiar el proceso para un servicio diferente en menos de 10 minutosFormar un equipo de trabajo Filmar las actividades de preparaciónSeparar actividades de preparación internas y externasConvertir actividades de preparación internas a externasAfinar las operaciones (paralelo, externas, etc.)Verificar resultados y dar reconocimiento al equipo

La Preparación interna (IED), son las operaciones realizadas con el servicio suspendido. La Preparación externa (OED), son las operaciones realizadas mientras se están proporcionando los servicios.

Ejemplo de Cambio rápido – SMED: Se redujo el tiempo de preparación en una estación de servicio de 11 minutos a 1 minuto, ya que antes primero se detenía, llamaban al dependiente, buscaba las mercancías, etc. ahora las mercancías clave están cerca del mostrador y no se pierde tiempo. Otro ejemplo es la obtención de pasaportes en 40 minutos o un trámite en las oficinas de hacienda.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar cambios rápidos.

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Page 45: Resumen Control Estadístico de Proceso

_______________________________________________________________._______________________________________________________________._______________________________________________________________.

Poka Yokes o A prueba de error

Objetivo: Prevenir o detectar la ocurrencia de errores humanos.Causas de los errores:Procedimientos incorrectos Variación excesiva en procedimientosProcesos o procedimientos no claros o no documentadosErrores humanos mal intencionados Cansancio, distracción, Falla de memoria o confianza, etc.

Pasos para el desarrollo de Poka Yokes1. Describir el defecto: Formar un equipo de trabajo, mostrar la tasa de errores 2. Identificar el lugar donde se descubren o producen los errores 3. Detalle de los procedimientos de la operación donde se producen los errores4. Identificar desviaciones de los procedimientos donde se producen los errores. Identificar las condiciones donde se ocurren los errores (investigar)6. Identificar el tipo de dispositivo Poka Yoke requerido para prevenir el error.7. Desarrollar un dispositivo Poka Yoke

Ejemplo: Instalación de puertas automáticas para permitir la entrada solo a personal autorizado.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar A Prueba de error / Poka Yokes._______________________________________________________________._______________________________________________________________._______________________________________________________________.

Trabajo estandarizadoObjetivo: Documentar en instructivos, procedimientos y ayudas visuales, la forma como deben realizarse las operaciones y actividades para que todos las realicen de la misma manera, para tener productos homogéneos.

Por estandarización se entiende:Siempre seguir la misma secuencia de trabajoLos métodos totalmente documentadosLos métodos están visibles en cada estación de trabajoEl material y documentos de trabajo están colocados siempre en el mismo lugarLa información se presenta de la misma forma en toda la organizaciónSe tiene el registro del movimiento detallado del cuerpo humano

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Page 46: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar procedimientos e instructivos para estandarizar las operaciones._______________________________________________________________._______________________________________________________________._______________________________________________________________.

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Page 47: Resumen Control Estadístico de Proceso

1.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS

Diagrama de afinidad:Organiza grandes cantidades de información

Diagrama doble de interrelaciones:Muestra los enlaces de causas y efectos entre aspectos relacionados

Diagrama de árbol:Diagrama los niveles de destalle para alcanzar un objetivo principal y los objetivos secundarios relacionados

Diagrama Matricial:Muestra las relaciones y correlaciones entre ideas

Matrices de prioridad:Asigna prioridades a asuntos, tareas o posibles opciones con base en criterios conocidos

Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP):Revela cadenas de eventos y planes de contingencia

Diagrama de redes y actividades:Desarrolla u programa para tareas complejas

APLICACIONES

Las herramientas para la mejora continua se emplean de manera ideal en los casos siguientes:Dividir un requerimiento general de detalles específicosIdentificar y eliminar las causas raíz de un problemaProgramar actividades complejasPlaneación de contingenciaAyudar a una organización a pasar de la manera antigua de pensar a otras formas más novedosas de hacerloRealizar una selección final de una lista de opcionesEvaluar opciones de diseño de producto

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Page 48: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de Afinidad

Es una herramienta que se emplea para organizar grandes cantidades de información agrupando los aspectos de la misma con base en relaciones clave entre ellos; también se conoce como método KJ. Cuando se emplea este diagrama, se organizan las ideas o áreas generales de problemas para adquirir la comprensión de un problema o asunto complejo, así como para identificar las causas potenciales de un problema. La herramienta ayuda a mejorar el compromiso y el apoyo del equipo.

Usar cuando existe un caos, el equipo aporta ideas, se requiere un pensamiento trascendental o el tema es un aspecto amplio.

PASOSReunir el equipo y elegir un líder, todos relacionados con el asunto a tratar. Establecer el asunto o problema en forma de pregunta.Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de trabajo.Desplegar las tarjetas en una mesa grande o muro.Acomodar las tarjetas en pilas similares o por “familias”.Crear tarjetas de encabezadoDibujar el diagrama de afinidadTrazar un círculo en torno a cada agrupamiento El diagrama queda completo cuando el equipo alcanza el consenso Discutir el diagrama de afinidad

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Page 49: Resumen Control Estadístico de Proceso

FUENTE HTTP://WWW.SAPDESIGNGUILD.ORG/RESOURCES/GLOSSARY_USAB/IMAGES/AFFINITYEE1.JPG

FUENTE: HTTP://WWW.MEX.OPS-OMS.ORG/DOCUMENTOS/TUBERCULOSIS/MEJORA/4_DIAGRAMA_AFINIDAD.PDF

Fig. 1.24 ejemplos de diagrama de afinidad

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Page 50: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama doble de Interrelaciones

Un diagrama doble de interrelaciones es una herramienta gráfica que se emplea para organizar problemas o aspectos complejos y que implican muchas variables, se emplea para estudiar las relaciones entre los elementos de un problema e identificar las causas raíz o las soluciones, es similar al diagrama de afinidad en la medida que el proceso de construcción de una gráfica doble interrelaciones es creativo.

Ayuda a identificar las causas potenciales de un problema. permite que el equipo observe al mismo tiempo muchos efectos y trace la relación entre dichos efectos y varias causas.

PASOSReunir el equipo y elegir un líder.Poner el asunto o problema en forma de pregunta.Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de trabajo.Analizar las relaciones.Revisar el Diagrama doble de interrelaciones.Identificar causas y efectos raíz.Una causa raíz es una categoría de la que sale la gran cantidad de flechas. Un efecto raíz es una categoría a la que llega una gran cantidad de flechas.7. Estudiar el Diagrama doble de interrelaciones.

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Page 51: Resumen Control Estadístico de Proceso

FUENTE: PRIMER CERTIFIED QUALITY MANAGER – WWW.QUALITY COUNCIL.COM

FIG. 1.25 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE INTERRELACIONES

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Page 52: Resumen Control Estadístico de Proceso

FUENTEHTTP://WWW.CALIDADEDUCATIVA.ORG/CONGRESO2008/MEMORIA/TUFINO_COMPLEMENTARIO/TUFINO_INTERRELACION.PDF

Fig. 1.26 ejemplos de diagrama de interrelaciones

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Page 53: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol (diagrama sistemático) es una técnica que se emplea para buscar la forma más apropiada y eficaz de alcanzar un objetivo específico. Esta herramienta gráfica de diagrama los diversos niveles de detalle, estos representan acciones (o tareas) que siguen rutas lógicas para implantar un objetivo amplio. Al implantar los puntos detallados de acción, se crea un efecto de dominio que lleva al logro del objetivo principal.

Cuando se trabaja sobre un objetivo amplio, un diagrama de árbol ayuda a orientar tareas específicas, es posible emplearlo para planear la implantación de una solución detallada en forma ordenada. El diagrama de árbol funciones para dividir un aspecto u objetivo más complejo.

PASOSReunir un equipo apropiado.Elegir la declaración de objetivo.Generar los encabezados de primer nivel del árbol Completar el diagrama de árbol bajo cada encabezado principal Revisar el diagrama de árbol terminado.

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Page 54: Resumen Control Estadístico de Proceso

FUENTE: HTTP://WWW.PROGRAMAEMPRESA.COM/EMPRESA/EMPRESA.NSF/PAGINAS/B274A80F363DE039C12570290041808D?OPENDOCUMENT

FUENTE HTTP://DGPLADES.SALUD.GOB.MX/2006/HTDOCS/HG/NUEVAS/HESTRA7.PDF

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Page 55: Resumen Control Estadístico de Proceso

FIG. 1.27 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

FIG. 1.28 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

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Page 56: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama Matricial

PERSONAL

CURSO Dirección Supervisión Ingenieros Trab. De Produc.

Trab. De Mant.

Trab. De Oficina

Control Estadístico del proceso

Diseño de productos

Despliegue de funciones de Calidad

Mejora de Procesos

Eficacia de equipos

Benchmarking

Ingeniería concurrente

Medición

Visión Global Taller de trabajo

FIG. 1.29 EJEMPLO DE DIAGRAMA MATRICIAL

Los diagramas matriciales son herramientas que se emplean para revelar las correlaciones entre ideas, tares y responsabilidad y que aparecen en diversas formas matriciales, es posible emplear estas herramientas para organizar y comparar dos o más conjuntos de artículos para mostrar cuáles de ellos están relacionados, asimismo pueden mostrar la fortaleza estadística y la dirección de influencia de cada relación.

Pueden tener cualquiera de las siguientes formas: L, T, Y, X y C

PASOSReunir a un equipo apropiadoElegir las consideraciones clave¿Qué tipo de información se desea mostrar en la matriz?Elegir la forma apropiada de la matrizDefinir los símbolos de relación a emplear y crear una leyendaConcluir la matriz.

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Page 57: Resumen Control Estadístico de Proceso

FUENTE: CQM PRIMER WWW.QUALITYCOUNCIL.COM FIG. 1.30 EJEMPLOS DE DIAGRAMA MATRICIAL

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Page 58: Resumen Control Estadístico de Proceso

DIAGRAMAS MATRICIALES 27

FIG. 1.31 DIAGRAMA MATRICIAL EN “L” DIAGRAMA MATRICIAL “A”

FIG. 1.32DIAGRAMA MATRICIAL EN “T” DIAGRAMA MATRICIAL EN “Y”

FIG. 1.33 DIAGRAMA MATRICIAL EN “X” DIAGRAMA MATRICIAL EN “C” TRIDIM

27 Diagramas tomados de la dirección www.fundibeq.org 28 de diciembre de 2008

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Page 59: Resumen Control Estadístico de Proceso

FIG. 1.34 APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DEL PRODUCTO (MATRIZ DE QFD):

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Page 60: Resumen Control Estadístico de Proceso

Matrices de Prioridades o prioritización

Las matrices de prioridades son herramientas para tomas decisiones. Utilizando criterios ponderados y acordados, se emplean tales herramientas para asignar prioridades a aspectos, tareas u opciones posibles. Se basan en la combinación de un diagrama de árbol y uno matricial.

Pueden ayudar a reducir el número de opciones; de modo que sea posible tomar decisiones con mayor facilidad, debido a que las matrices de prioridades proporcionan un enfoque lógico a la elección de un conjunto de opciones, son ideales para elegir un problema para que lo ataque el equipo y estrechar una lista de soluciones potenciales para un problema.

PASOS

Reunir un equipo apropiado.Establecer el objetivo principal a alcanzar y las opciones que ayuden a lograrlo.Generar los criterios por los que se juzgarán las opciones.Juzgar cada criterio contra todos los demás.Comparar entre sí las opciones para todos los criterios retenidos.Compara cada opción con base en todos los criterios combinados.

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Page 61: Resumen Control Estadístico de Proceso

Brassard28 proporciona tres tipos de matrices de prioridades:

El método del criterio analítico completoEl método del criterio de consensoEl método combinado de Diagrama de relaciones y Matriz

Loa criterios son prioritizados, ponderados y aplicados contra las opciones de decisión generadas, seleccionando una decisión con base en números como resultado.

28Brassard, M. (1989), The Memory jogger plus +, Methuen, Goal/QPC

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Page 62: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fuente: CQM PRIMER www.qualitycouncil.com

Fig. 1.35 Ejemplos de matrices de priorización

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Page 63: Resumen Control Estadístico de Proceso

Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP)

Fig. 1.36 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP - reunión

Una Carta de programa de decisión del proceso (CPDP) es una herramienta dinámica de planeación que se emplea para diagramar en forma sistemática todas las posibles cadenas de eventos para alcanzar un objetivo amplio o para implantar una solución compleja.

Se enumeran todos los eventos concebibles y una contramedida apropiada en este flujo cronológico, se emplea este método cuando existe incertidumbre en un proceso de implantación, cuando el problema u objetivo es único o desconocido.

Las Cartas de programa de decisión del proceso se clasifican por las herramientas que se emplea:CPDP “planeado por adelantado”: anticipan lo “inesperado” antes de la implantación verdadera. Se efectúa una tormenta de ideas de todas las distintas posibilidades y se elaboran planes de contingencia con anticipación.CPDP en tiempo real: se desarrollan alternativas durante la implantación.

La CPDP se clasifica por el formato gráfico:Gráfico: combinación de diagrama de árbol y diagrama de flujo.Descripción: lista numerada de eventos y contramedidas.

Se emplea una CPDP para describir de manera sistemática una solución u objetivo complejos, otro propósito es probar teorías durante la implantación de una solución compleja.

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= Seleccionado = No factible

Ordenar otro proveedor de

banquetes

Solicitar un menú distinto

Ordenar a otro proveedor

Reservar otro sitio

Rentar equipo audiovisual

Reservar otro sitio

Cambiar fecha de reunión

Menú no disponible

Banquete no disponible

Equipo audiovisual no disponible

Sala de reuniones no disponible

Efectuar los arreglos de

alimentación

Verificar equipo audiovisual

Reservar sala de reuniones

Planeación de una reunión

Page 64: Resumen Control Estadístico de Proceso

PASOSReunir el equipo apropiadoElegir el flujo básico de implantaciónElegir el formato de la cartaEstablecer el objetivo principalEnumerar los pasos del procesoDeterminar contramedidasEvaluar las contramedidasEvaluar las contramedidas y marcarlas en la forma siguiente = Seleccionada = No factible

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Page 65: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 1.37 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP en general

FUENTE HTTP://SYQUE.COM/QUALITY_TOOLS/TOOLS/TOOLS12.HTM

Fig. 1.38 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP para manufactura

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Page 66: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diagrama de redes de actividades

Un diagrama de redes de actividades (también conocido como diagrama de flechas) es una técnica de administración de redes de uso generalizado para la planeación e implantación de tareas complejas, en particular las más comunes que cuentan con subtareas conocidas. Es una combinación de la Técnica de Revisión y Evaluación y Programas (PERT) y el Método de Ruta Crítica (CPM).

Se emplea el diagrama de redes de actividades para desplegar soluciones complejas con programas muy estrictos de tiempo. Identifica los pasos y subtareas y muestra el flujo de rutas simultáneas de implantación

PASOSReunir el equipo apropiado.Los miembros del equipo deberán conocer a fondo las tareas y subtareasIdentificar todas las tareas que requiere el proyecto.Determinar la secuencia de actividades.Calcular el tiempo que se requiere cada actividad.Calcular la ruta crítica del proyecto.Calcular la fecha más tardía de inicio y más temprana de conclusión de cada subtarea.Calcular la holgura total.Diseñar el diagrama de redes de actividades.

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1 día

1 día

1 día

3 día

2 día

3 día

2 día

5 día

Page 67: Resumen Control Estadístico de Proceso

EJEMPLO: INAUGURACIÓN DE UN NUEVO RESTAURANTE

Página 67

Page 68: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 1.39 Ejemplo de diagrama de flechas (PERT)

El TE de un evento representa el tiempo más breve posible en que el evento puede alcanzarse, y se calcula sumando los tiempos t de la secuencia de actividades que conduce al mismo.Cuando hay más de un camino que conduce a un evento, el camino que consume el mayor tiempo, determina el tiempo más breve posible en que puede esperarse alcanzar dicho evento.El valor TE de un evento N se calcula de la siguiente manera:a) Se empieza con el primer evento (su TE es igual a cero), considerando sus directos sucesores etc..., hasta llegar al último evento del proyecto. (Su TE indica el tiempo mínimo esperado para terminar el proyecto).b) Se identifican todos los eventos que preceden directamente al evento N.c) Para cada uno de estos eventos se añade a su TE la duración t de la actividad que le conecta con el evento N.d) Se elige entre los resultados así obtenidos el mayor. Este será el único TE del evento N. Los demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.Los valores TE así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas por encima del respectivo evento.El TL de un evento representa el tiempo máximo en que debe alcanzarse el evento para poder seguir el proyecto tal y como ha sido planificado, siendo el TL del último evento el tiempo establecido para finalizar el proyecto.El valor TL de un evento N se calcula de la siguiente manera:a) Se empieza con el último evento (= fin del proyecto), operando en sentido inverso hasta el primero. El TL del último evento se considera aquí como un dato externo, ya establecido. (Deseo del cliente, compromiso, fecha "orientativa" interna, a menudo el valor TE obtenido en el Paso 4 para el evento final del proyecto, etc...).

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Page 69: Resumen Control Estadístico de Proceso

b) Se identifican todos los eventos sucesores del evento N.c) Para cada uno de estos eventos se resta de su TL la duración t de la actividad que le conecta con el evento N.d) Se elige entre los resultados así obtenidos el menor. Este será el único TL del evento N. Los demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.

Los valores TL así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas debajo del respectivo evento.

La holgura de un evento es la diferencia entre el tiempo máximo permisible y el tiempo mínimo posible para alcanzarlo.La holgura indica entonces el margen de seguridad de tiempo de que se dispone para alcanzar este evento, sin comprometer el plan de marcha del proyecto. La holgura de un evento puede ser positiva, negativa o igual a cero.

El camino crítico es aquella secuencia de actividades, desde el primer evento hasta el último, en la que los eventos disponen de la holgura mínima.Se identificará en el Diagrama de Flechas, el camino crítico, señalando las actividades que lo constituyen con líneas más gruesas.

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Page 70: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 1.40 Determinación de la Ruta Crítica en el diagrama de flechas (PERT)

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Page 71: Resumen Control Estadístico de Proceso

1.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD

Se utilizan tres métodos estadísticos principales para la mejora de la calidad y la solución de problemas: las cartas de control, el diseño de experimentos y el muestreo estadístico, además de las herramientas estadística para la solución de problemas en planta por grupos de trabajo o Círculos de calidad.

Cartas de controlEn 1924 WALTER SHEWHART realizó experimentos y desarrolló las Cartas de Control en la planta telefónica Western Electric de los los Bell Labs, las cuales tienen las siguientes características:Técnicas útiles para el monitoreo de procesosPermiten identificar situaciones anormales en 6MsSirven para prevenir la generación de defectivos

Fig. 1.41 Carta de controlLSC = Límite superior de controlLC = Línea centralLIC = Límite inferior de controlFig. 1.4 Carta de control de Shewhart y sus límites de control

La carta de control es una técnica muy útil para el monitoreo de los procesos, cuando se presentan variaciones anormales donde las medias o los rangos salen de los límites de control, es señal de que se debe tomar acción para remover esa fuente de variabilidad anormal. Su uso sistemático proporciona un excelente medio para reducir la variabilidad.

Diseño de experimentosUn experimento diseñado es muy útil para descubrir las variables clave que tienen influencia en las características de calidad de interés del proceso. Es un método para variar en forma sistemática los factores controlables del proceso y determinar los efectos que tienen esos factores en los parámetros finales del producto. Permite reducir la variabilidad en la característica de calidad y en determinar los niveles más adecuados de los factores controlables que optimicen el desempeño del proceso. Fisher inicia el desarrollo del diseño de experimentos en la agricultura en Inglaterra en los años 1920’s.

ENTRADAS CONTROLABLESX1 X2 XP

Página 71PROCESO

0

5

10

15LCSPromedioLCIPerfil

Page 72: Resumen Control Estadístico de Proceso

INSUMOS DEL PROCESO Y CARACT.DE CALIDAD

Materias primas,Componentes, etc.

Z1 Z2 ZQENTRADAS NO CONTROLABLES

Fig. 1.42 Proceso de producción, entradas y salidas

El principal método para diseñar experimentos es el diseño factorial, en el cual los factores son variados de tal forma de probar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.

El diseño de experimentos es una herramienta fuera de línea es decir se utiliza durante el desarrollo de los productos o procesos, más que durante su fabricación.

Una vez que se han identificado las variables que afectan el desempeño del proceso, normalmente es necesario modelar la relación entre estas variables y la característica de calidad de interés. Para lo cual se puede utilizar el análisis de regresión.

El monitoreo en el proceso de las variables relevantes que afectan las características de calidad se hace por medio de cartas de control.

Muestreo de aceptaciónEstá relacionado con la inspección y prueba del producto, donde se selecciona e inspecciona una muestra aleatoria de un lote mayor, resultando en una aceptación o rechazo de ese lote mayor, esto ocurre en la recepción de materias primas y componentes y en el producto terminado.

Tiene las siguientes ventajas:

El costo de evaluación es menor que con la inspección al 100%Se puede aplicar más fácilmente cuando se trata de realizar pruebas destructivas.Se puede aplicar presión sobre la calidad de los lotes de proveedores ya que con una pequeña muestra puede ser rechazado el total de us lote.Entre sus desventajas se encuentran:Se pueden cometer errores al aceptar lotes defectivos, dada la probabilidad finita de encontrar productos defectivos en la muestra.Si los lotes no son uniformes, el muestreo no es una técnica confiable.No se garantiza que los lotes aceptados estén libres de defectivos.

LOTE MUESTRA ALEATORIA

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Page 73: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 1.43 Esquema del muestreo estadísticoEn 1926 HAROLD F. DODGE Y HARRY G. ROMIG, desarrollaron las técnicas de Muestreo Estadístico.

A continuación se muestran diferentes esquemas de la aplicación del método.

a) INSPECCIÓN EN LINEA ENVIO

b) INSPECCION DE RECIBOENVIO

c) INSPECCION RECTIFICADORA ACEPTAR ENVIO

RECHAZO

DISPOSICIÓN DE LOTES

Fig. 1.44 Variaciones del muestreo de aceptación

El muestreo de aceptación tiende a reforzar el apego o conformancia a especificaciones pero no tiene un efecto de retroalimentación en el proceso de producción o diseño que mejoren la calidad.

En el transcurso del tiempo, las tres técnicas estadísticas anteriores han tenido la evolución siguiente:

100%

0%TiempoFig. 1.45 Evolución de la aplicación de métodos estadísticos

1.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL

Página 73

PROCESO INSPECCION CLIENTE

PROCESO INSPECCIONCLIENTE

PROCESO INSPECCION

CLIENTE

SCRAP RETRABAJO

MUESTREO DEACEPTACION

CONTROL DE PROCESO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Page 74: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para que sean efectivas las herramientas estadísticas, su aplicación debe ser parte de un programa mayor de Calidad Total (Total Quality Management en EUA, Company Wide Quality Control en Japón, Seis Sigma de Motorola, Modelo de Dirección por Calidad de México (PNC), Malcolm Baldrige de EUA, QS 9000, ISO TS 16949, VDA 6.1 VW, ISO 9000:2000, etc.), donde la alta dirección lleve el liderazgo por la calidad, no funcionarán como elementos aislados.

La filosofía de Deming y Juran implica que la responsabilidad por la calidad se expande a toda la organización, sin embargo para no caer en el error de que “la responsabilidad de todos es la de nadie”, la calidad debe planearse.

Deming impulso el uso del CEP y los métodos estadísticos en Japón para la reducción de la variabilidad y mejora continua de calidad, con sus 14 recomendaciones a la dirección.

EL CEP ES PARTE DEL SISTEMA DE CALIDADISO TS 16949 ISO 9001:2000

MEJORA CONTINUA

Cliente

Requerimientos

Satisfaccion

Responsabilidadde la Dirección

Administraciónde Recursos

Medición,análisis,mejora

Realizacióndel Producto(y/o servicio)

Producto/

ServicioEntrada Salida

Información

Información

Fig. 1.46 Modelo de gestión de calidad ISO 9000

Costos de calidadSon costos asociados con producir, identificar, evitar o reparar productos que no cumplan especificaciones. Normalmente se clasifican en cuatro categorías: Prevención, Apreciación, Falla interna y Falla externa, algunos de los elementos que incluyen son los siguientes:

Costos de prevención Costos de falla internaPlaneación e Ingeniería de calidad Scrap o desperdicioRevisión de nuevos productos RetrabajosDiseño de productos y procesos Re-inspección

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Page 75: Resumen Control Estadístico de Proceso

Control de proceso Análisis de fallaEntrenamiento IneficienciasColección y análisis de datos de calidad Descuentos

Costos de apreciación Costos de falla externaInspección y prueba en recibo Atención de quejasInspección y prueba de productos Producto regresadoMateriales usados en pruebas Cargos por garantíaMantenimiento de equipo de prueba Costos legales

Costos de prevención Son los costos asociados con los esfuerzos de diseño y manufactura enfocados a la prevención de defectos, de tal forma de hacer bien las cosas a la primera vez.

Costos de apreciación Son los costos asociados con la medición, evaluación, o auditoría a productos, componentes y materiales comprados para asegurar su conformancia a los estándares establecidos.

Costos de falla interna Son los costos incurridos cuando los productos, componentes o materiales y servicios no cumplen los requerimientos de calidad, y los defectos son descubiertos antes de embarcar al cliente.

Costos de falla externa Son los costos incurridos cuando el desempeño del producto no es el adecuado una vez que lo utiliza el cliente.

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Page 76: Resumen Control Estadístico de Proceso

2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP)

Concepto de variaciónLos métodos estadísticos se basan en que no existen dos productos EXACTAMENTE iguales de un proceso de manufactura, por tanto la VARIACIÓN es inevitable, su análisis se hace con el apoyo de la estadística.

2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL

Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento:

LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:

Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal

LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:SIZE TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

UBICACIÓN DISPERSIÓN FORMA

. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS

Distribución gráfica de la variación – La Curva normal

Fig. 2.1 Construcción de la distribución normal

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.

Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.

Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con letras griegas, tales como: promedio o media = m (mu), y desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) = (sigma). Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.

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Page 77: Resumen Control Estadístico de Proceso

Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal estándar tiene media μ = 0 y desviación estándar =1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.

Fig. 2.2 Propiedades de la distribución normal

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1. La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar. La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetrosμ , σ , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales.

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

m

3.9 = 5.0

3.9 = 5.0

Límite inferior de especs. Límite superior de especificacionesFig. 2.3 Distribuciones normales con varias desv. estándar

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z0 1 2 3-1-2-3

z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3XX

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal

Page 78: Resumen Control Estadístico de Proceso

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

m= 5, = 3m = 9, = 6m = 14, = 10

m= 5, = 3m = 9, = 6m = 14, = 10

LIE LSEFig. 2.4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar

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Page 79: Resumen Control Estadístico de Proceso

Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para ±1σ tiene un

porcentaje de 68.26%, ±2σ = 95.46% y ±3σ=99 .73 % .

Fig. 2.5 Área bajo la curva de Distribución normal

Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).

En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.

La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.

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Page 80: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 2.1a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.P(Z<= -1) = 0.1587

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.P(Z<= - 2) = 0.0228c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1359

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Page 81: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 2.2a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.P(Z <= 1) = 0.8413

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.P(Z <= 2) = 0.9772 8c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369EJERCICIO 2.1:

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Page 82: Resumen Control Estadístico de Proceso

¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de los siguientes rangos? a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) = b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =

Estandarización de valores reales

En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Zσ entre algún valor X y la media de la población μ o de la muestra X como sigue:

Z= X−μσ sí se consideran los datos completos del proceso.

Z= X−X̄s sí se consideran sólo los datos de una muestra.

Ejemplo 2.3 El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media μ= 485 y desviación estándar σ= 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

Z= X−μσ =

500−48530

=0 .5

Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde la probabilidad de que la

calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el porcentaje pedido es P(X≥500) la solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba. Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.

Página 82

485

Z.05

30.85%

Page 83: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 2.6 Área bajo la curva de Distribución normal

Ejemplo 2.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:

Fig. 2.7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z

El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X¿ 24), la probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587

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Page 84: Resumen Control Estadístico de Proceso

EJERCICIO 2.2:

Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.?c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.?e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?

2.2 PRUEBA DE NORMALIDADPara probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson Darling o Ryan si el tamaño de muestra es mayor a 15 y se utiliza la prueba de Kolmogorov Smirnov para 15 datos o menos de muestra, observando la gráfica de probabilidad normal.

a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad P de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los siguientes pasos:

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con:1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02 OK

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Anderson Darling o Ryan Joiner como sigue:

Stat > Basic statistics > Normality Test Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente

Datos

Perc

ent

350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

>0.100

269.3StDev 30.72N 100RJ 0.994P-Value

Probability Plot of DatosNormal

Fig. 2.7 Gráfica de probabilidad de un proceso normal

b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:Graph > Probability plot > Normal

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Page 85: Resumen Control Estadístico de Proceso

Graph Variable C1 Distribution Normal OKLos puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución.

Datos

Perc

ent

400350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.533

269.3StDev 30.72N 100AD 0.317P-Value

Probability Plot of DatosNormal - 95% CI

Fig. 2.8 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza

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Page 86: Resumen Control Estadístico de Proceso

2.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Se pueden cometer dos tipos de errores cuando se prueban hipótesis:

Error tipo I, se rechaza Ho cuando es verdadera.Error tipo II, no se rechaza Ho cuando es falsa.

Las probabilidades de esos dos tipos de errores son: = P(error tipo I) = P(error tipo II)

donde la potencia de la prueba es

Potencia = 1 - = Probabilidad de rechazar correctamente Ho.

Alfa a veces se denomina riesgo del productor, denotando la probabilidad de que un lote bueno o un proceso que produce partes aceptables en relación a una característica de calidad sea rechazado.

Beta a veces se denomina riesgo del consumidor denotando la probabilidad de aceptar lotes de calidad pobre, o permitiendo que un proceso continúe operando de manera insatisfactoria respecto a una característica de calidad.

El procedimiento general para pruebas de hipótesis es especificar una probabilidad de error tipo I o , y diseñar un procedimiento de prueba que minimice la probabilidad de error tipo II.

Conforme se incrementa el tamaño n de muestra, se reduce la probabilidad de error tipo II.

PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II

Tomando como estadístico de prueba Zc, y asumiendo que sigue una distribución normal N(0,1).

Zc=(X− μ0 )/σ√n (2.6)

Para encontrar la probabilidad de error tipo II, se debe asumir que Ho es falsa y entonces hallar la distribución de Zc. Suponiendo que la media de la distribución realmente es:

m1 = m0 + con > 0

La hipótesis alterna H1 es verdadera y bajo esta suposición, el estadístico Zc es:

Zc≈N ( δ√n

,1) BAJO H0 BAJO H1

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Page 87: Resumen Control Estadístico de Proceso

- Z/2 0 Z/2 Zc’ = √n/σ Fig. 2.9 La distribución de Zc bajo Ho y H1

La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que Zc se encuentre entre - Z/2 y Z/2 dado que la hipótesis alterna es verdadera.

Para evaluar esta probabilidad, se evaluan F(Z/2) ) – F(-Z/2), donde F es la distribución acumulativa normal estándar. La probabilidad de error tipo II es (funciona igual para cuando < 0):

β=Φ (Zα /2−δ √nσ )−Φ (−Z α /2−

δ √nσ )

(2.7)

Ejemplo 2.5: si los estándares especifican que la media de una lata de café es de 16.0 oz., y de acuerdo a la experiencia se sabe que la desviación estándar del contenido es de 0.1 oz. Las hipótesis son:

Ho: m = 16.0Ho: m 16.0

Asumiendo una probabilidad de error tipo I de 0.05 y tomando una muestra de 9 latas, se tiene que el estadístico de prueba es:

Z0=( X−16 )/ 0 .1√9

Se rechaza Ho si Zo > Z0.025 = 1,96

Suponiendo que se desea encontrar la probabilidad del error tipo II si el valor verdadero de la media es m1 =16.1 implicando que = 16.1 – 16.0 = 0.1, se tiene:

β=Φ (Zα /2−δ √nσ )−Φ (−Z α /2−

δ √nσ )

β=Φ (1 .96−0 .1√90 .1 )−Φ(−1 .96−0 . 1√9

0 .1 ) = (- 1.4 ) - ( -4.96 ) = 0.1492

Es decir que la probabilidad de no rechazar Ho si la media es 16.1 oz. Es de 0.1492, o que la potencia de la prueba es de 1 - = 1 – 0.1492 = 0.8508.

De la ecuación anterior para , se observa que es una función de n, y de , tomando como 0.05 y graficando contra d = / , se obtienen las curvas características de operación (OC).

(ver gráfica de curva OC)

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Page 88: Resumen Control Estadístico de Proceso

En las curvas OC se observa que:

Entre mayor sea el valor de , se reduce la probabilidad de error tipo II para una n y dadas. Es decir que la prueba detecta más fácilmente grandes diferencias.Conforme se incrementa n, la probabilidad de error tipo II es más pequeño para una y dadas. Es decir que la prueba se hace más potente si se incrementa el tamaño de muestra.

Las cartas de control fueron desarrolladas por el Dr. Walter A. Shewhart de los Bell Telephone Labs., se denominan Cartas de Control de Shewhart y se usan para el monitoreo del proceso en línea. A continuación se explica la teoría de variabilidad de Shewhart.

Causas comunes y causas especiales

La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que está en control estadístico.

Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas, errores de operadores o materiales defectuosos. Esta variabilidad es muy grande en relación con la variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso opere fuera de control estadístico (ver página siguiente).

De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se encuentra dentro de los límites de control (LSC y LIC). Sin embargo cuando el proceso está fuera de control, una gran proporción del proceso se encuentra fuera de estos límites.

El Objetivo del CEP es la detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se utilizan las cartas de control en línea, permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible.

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Page 89: Resumen Control Estadístico de Proceso

2.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL

Una carta típica representando un proceso en control estadístico se muestra a continuación. Contiene una línea central que representa el valor promedio de la característica de calidad correspondiente al estado “en control” y dos líneas adicionales llamadas límites inferior y superior de control (LIC y LSC), los cuales se seleccionan de tal forma que casi la totalidad de los puntos se encuentren dentro de ellos, si esto ocurre no se requiere tomar ninguna acción.

LSC

LC

LIC Tiempo

Fig. 2.10 Carta de control de Shewhart

Un punto que se encuentre fuera de los lÍmites de control mostrará evidencia que el proceso está fuera de control y será necesario una investigación de la causa especial y la acción correctiva necesaria para eliminarla. También se tendrá un alto riesgo de situación fuera de control si los puntos se agrupan es forma sistemática dentro de los límites de control o muestran una tendencia.

Por ejemplo, la carta de control de medias prueba la hipótesis de que la media del proceso está en

control y tiene un valor m0 si un valor de media muestral X i cae dentro de los límites de control; de otra forma se concluye que el proceso está fuera de control y que la media del proceso tiene un valor diferente del de m0, por decir m1, donde m1 m0.

Se puede decir que las probabilidades de los errores tipo I y tipo II de la carta de control, son esquemas de prueba de hipótesis para analizar el desempeño de las cartas de control.

La probabilidad del error tipo I de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.

La probabilidad de error tipo II de la carta de control se presenta cuando se concluye que el proceso está en control cuando en realidad está fuera de control. La curva característica de operación (OC), con en el eje vertical, indica la capacidad de la carta para detectar corridas de la media o rango del proceso de diferentes magnitudes.

Ejemplo 2.6: Para el caso de pistones, evaluando la característica de calidad de diámetro interno del anillo. Si la media del proceso es 74 y la desviación estándar es de 0.01mm, con un tamaño de muestra de n=5, se tiene:

La desviación estándar de las medias es:

σ X=

σ√n=. 01√5=0 .0045

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Page 90: Resumen Control Estadístico de Proceso

Asumiendo que el proceso está en control y de acuerdo al teorema del límite central se asume que

las medias X i se distribuyen normalmente, se debe espera que el 100(1- )% se encuentren entre 74 Z/2 (0.0045).

Si se escoge arbitrariamente a Z/2 = 3, se obtienen los límites de control a “3 sigma”:LSC = 74 + 3 (0.0045) = 74.0135LIC = 74 – 3 (0.0045) = 73.9865

74.0135

74

74.9865 Tiempo

Fig. 2.11 Carta de Control típica

El ancho de los límites de control es inversamente proporcional al tamaño de muestra n, para un múltiplo de sigma dado, La selección de los límites de control es equivalente a preparar la región crítica para probar la hipótesis en el tiempo:

H0 : m = 74 H1 : m 74

Con = 0.01 conocida.

Se puede definir un modelo general para una carta de control, si w es un estadístico muestral que mide alguna característica de calidad de interés y asumiendo que su media es mw con desviación estándar w se tiene:

LSC = mw + Lw (2.8)LC = mw LIC = mw - Lw

Donde L es la distancia de los límites de control a partir de la línea central expresada en unidades de desviación estándar.

El uso más importante de la carta de control es la mejora del proceso, a través de su monitoreo, al principio se observará que los procesos no están en control estadístico, sin embargo con las cartas de control se podrán identificar causas especiales que al ser eliminadas, resulten en una reducción de la variabilidad mejorando el proceso.

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Page 91: Resumen Control Estadístico de Proceso

DISTRIBUCION DISTRIBUCION COMPORTAMIENTO DEL PROCESODE LOS VALORES DE LAS MEDIAS LSC = 74.0135, LC = 74, LIC = 73.9865

INDIVIDUALES =.01 σ X=0 . 0045

Fig. 2.12 Comparación de la variabilidad de la población y la de las medias y operación de la carta de control

El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la supervisión, operador e ingeniería, la carta de control sólo detecta causas especiales o asignables.

Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las causas raíz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de acción para situaciones fuera de control OCAP, activado con la ocurrencia de cada evento. Incluye Puntos de chequeo que son causas potenciales asignables y terminadores que son las acciones que resuelven la situación fuera de control. Este documento OCAP es un documento vivo que debe ser actualizado constantemente.

ENTRADA PROCESO SALIDA

SISTEMA DE EVALUACIÓN

Verificación Detección de causa y seguimiento asignable

Implantar Identificar causaAcción raíz del problemaCorrectiva

Fig. 2.13 PROCESO DE MEJORA USANDO LA CARTA DE CONTROL

La carta de control es un dispositivo de estimación de parámetros del proceso una vez que exhibe control estadístico, se puede estimar la media, varianza, proporción, etc. que pueden ser utilizados para determinar la capacidad de los procesos para producir productos aceptables, base de decisiones gerenciales y contractuales.

Las cartas de control pueden ser clasificadas en dos clases: por atributos y por variables dependiendo de cómo se evalúe la característica de calidad.

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Page 92: Resumen Control Estadístico de Proceso

Si la característica de calidad se puede evaluar y expresar como un número real en alguna escala de medición continua, se denomina una variable. En tales casos se utilizan cartas de control de medias, que describan la tendencia central y cartas de control basadas en rango o desviación estándar para controlar la variabilidad del proceso.

Muchas características de calidad no pueden ser medidas en una escala continua, en esos casos se puede juzgar cada producto como conforme o como no conforme sobre la base de que posea o no ciertos atributos, o se pueden contar el número de no conformidades o defectos que aparecen en una unidad de producto. Las cartas de control para tales características de calidad, se denominan cartas de control por atributos.

Un factor importante en la aplicación de cartas de control es su diseño, es decir la selección de tamaño de muestra, límites de control y frecuencia de muestreo. Para la carta de control por variables del ejemplo se utilizó una muestra de 5 partes, límites de control a 3-sigma y una frecuencia de muestreo cada hora.

Si se incrementa el tamaño de muestra, decrece la probabilidad del error tipo II, aunque el diseño de la carta de control también debe tomar consideraciones económicas considerando los costos de muestreo, pérdidas por fabricar productos defectuosos y costo de investigar indicaciones fuera de control que son “falsas alarmas”.

Otra consideración en el uso de cartas de control es el tipo de variabilidad exhibida por el proceso:

1. Procesos estacionarios: los datos del proceso varían alrededor de una media fija de una manera fija y estable. Es decir se tiene un proceso en control de acuerdo a Shewhart es el área de aplicación de las cartas de control más efectivo.

2. Procesos con datos no correlacionados: las observaciones dan la apariencia de haberse extraído de una población estable (normal u otra), en análisis de series de tiempo se denomina “ruido blanco”. En este caso los datos pasados históricos no dicen nada en relación a predecir su comportamiento futuro.

3. Procesos estacionarios con datos correlacionados: las observaciones sucesivas de en estos datos son dependientes; es decir un valor por arriba de la media tiende a ser seguido por otro valor arriba de la media y viceversa, esto produce corridas lentas y largas en algún lado de la media.

4. Procesos no estacionarios: ocurren en los procesos químicos e industrias de proceso, los procesos son muy inestables y tienen corridas inestables alrededor de una media fija. En estos casos se estabiliza el desempeño de los procesos por medio de control automático por retroalimentación.

Las cartas de control han sido muy populares por las siguientes razones:

Son una herramienta probada para mejorar la productividad. Su aplicación exitosa ayuda a reducir desperdicios y retrabajos, que son factores que reducen la productividad (productos buenos por hora).

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Son efectivas como herramientas de prevención de defectos. Apoyan el concepto de hacerlo bien a la primera vez, es más costoso seleccionar productos buenos en un lote con productos defectuosos, que fabricarlos bien desde el principio.Evitan que se hagan ajustes innecesarios en el proceso. Apoyan el concepto de “si no esta mal, no lo arregles”, ya que identifican las causas comunes de las especiales, evitan que se hagan ajustes cuando sólo se están teniendo variaciones aleatorias en el proceso.Proporcionan información de diagnóstico. Proporcionan un patrón de puntos que permite la toma de decisiones para la mejora del proceso, al operador o al ingeniero experimentado.Proporcionan información acerca de la capacidad o habilidad del proceso. Proporcionan información acerca de los parámetros importantes del proceso y de su estabilidad con el tiempo, permitiendo la estimación de la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones.

SELECCIÓN DE LOS LÍMITES DE CONTROL

Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027. Si se selecciona el nivel de riesgo de error tipo I en 0.002 o 0.001 en cada lado, se tienen los límites de control a una distancia de 3.09-sigmas y los límites de control serán:

LSC = 74 + 3.09 (0.0045) = 74.0139LIC = 74 – 3.09 (0.0045) = 73.9861

Estos límites de control se denominan límites probabilísticos a 0.001. A continuación se presenta una comparación entre límites.

+3.09 +3.0

LC

-3.00 -3.09

Fig. 2.14 Límites de control de Shewhart y Europeos

Los límites de control a 0.001 se utilizan en países europeos.Algunos analistas sugieren el uso de límites preventivos trazados a 2-sigmas de la línea central, para el caso de límites de control a 3-sigmas y a 0.025 de probabilidad para límites de control a 0.001. Estos límites aumentan la sensibilidad de la carta de control para identificar corrimientos de la media del proceso, en forma más rápida. Si un punto cae fuera de los límites preventivos, Una desventaja es que crean confusión con el personal y se incrementa el riesgo de error tipo I (falsas alarmas).

Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo

Al diseñar una carta de control, se debe especificar tanto el tamaño de muestra como la frecuencia de muestreo, tamaños de muestra grandes permiten detectar pequeñas corridas en la media del proceso como se observa en las curvas características de operación.

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Para la frecuencia de muestreo, la práctica industrial sugiere tomar muestras pequeñas frecuentes, principalmente en producción masiva o cuando existe la posibilidad de que existan muchas causas especiales, actualmente con las computadoras esto es cada vez más fácil.

Otra forma de determinar la frecuencia de muestreo y el tamaño de muestra, es a través de la longitud media de racha de la carta de control (ARL), que es el número de puntos que deben ser graficados antes de que un punto indique una condición fuera de control.

ARL= 1p (2.9)

donde p es la probabilidad de que un punto exceda los límites de control. Para el caso de 3-sigma p=0.0027 y el ARL0 = 370. Es decir que si el proceso está en control, se generará un punto fuera de control como falsa alarma cada 370 puntos.

Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo en horas (h), entonces aparecerá una falsa alarma cada tiempo promedio de indicación (ATS) en horas.

ATS=ARLh (2.10)

En el ejemplo si se toman muestras cada hora, se genera una falsa alarma cada 370 horas.

Para evaluar que tan efectiva es la carta para detectar corrimientos en la media del proceso, se utilizan las curvas características de operación. Por ejemplo, si n=5 y la media se corre de 74.015mm, la probabilidad de que un punto caiga dentro de los límites de control es aproximadamente 0.50, por tanto utilizando p=0.50, se puede calcular el ARL1 para una situación fuera de control como sigue:

ARL1=1p= 1

0 . 5=2

Esto significa que el proceso requiere 2 muestras antes de detectar el corrimiento. Si el muestreo se hace cada hora, el ATS = 2 h, si esto fuera inaceptable, se podrían tomar muestras más frecuentes por ejemplo cada media hora o incrementar el tamaño de muestra. Si n=10, de la curva característica de operación se observa que p=0.9 y el ARL1 = 1.11 y el ATS = 1.11 h, lo cual puede ser más aceptable.

En resumen las dos alternativas siguientes dan un resultado similar:

Diseño 1 Diseño 2n = 5 n = 10Frec. Cada ½ hora Frec. cada hora.

Las muestras se toman de manera más frecuente a la ocurrencia de cambios en el proceso registrados en bitácoras (cambio de turno, cambio de materiales, ajustes, fallas, etc.), con objeto de detectar las causas de situaciones fuera de control.

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Page 95: Resumen Control Estadístico de Proceso

Subgrupos racionales

La idea fundamental en las cartas de control es colectar los datos de la muestra de acuerdo al concepto de subgrupo racional es decir que el subgrupo debe seleccionarse de tal forma que si están presentes causas asignables, la diferencia entre los subgrupos sea maximizada, minimizando la diferencia dentro del subgrupo. El tiempo en que se tomen las muestras es una buena base para formar subgrupos, evitando que algunas observaciones se tomen al final de un turno y las restantes al inicio del siguiente ya que ocasiona diferencias dentro del subgrupo.

Por lo anterior se recomienda tomar productos consecutivos de producción para formar la muestra (cuyo tamaño puede ser entre 4 y 6), minimizando diferencias dentro del subgrupo. En algunos procesos como los químicos, es suficiente tomar una sola unidad de producto como muestra, dado que existe homogeneidad.

Análisis de patrones en cartas de control

Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando uno o más puntos caigan más allá de los límites de control o cuando los puntos graficados formen un patrón no aleatorio de comportamiento.

En general una racha o corrida es una secuencia de observaciones del mismo tipo. Además de las corridas ascendentes o descendentes, se encuentran las que están por debajo o sobre la media.

Dado que una corrida de 8 o más puntos tiene una probabilidad de ocurrencia muy baja, se considera que una racha o corrida con una longitud de 8 puntos indica una condición fuera de control.

Fig. 2.15 Proceso fuera de control por tendencias o corridas

Otro patrón de inestabilidad se presenta cuando el comportamiento del proceso muestra patrones cíclicos.

Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo del proceso.

En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control:

Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma.Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma.

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Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1-sigma o más allá a partir de la línea central. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central.

Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:

Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente.Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea central (adhesión a la media).Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo.Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central.Un patrón no usual o no aleatorio de datos.Uno o más puntos cerca de los límites preventivos.

Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP.

2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP

El CEP proporciona un retorno sobre la inversión apreciable cuando se implanta exitosamente, ya que permite la mejora continua a través de la reducción de la variabilidad. Las cartas de control son una herramienta importante para esta mejora.

El CEP no sirve si se implanta y después no se mantiene, ya que la mejora continua debe ser parte de la cultura de la organización.

Para su implantación es necesario el liderazgo gerencia y el trabajo en equipo, así como evaluar los avances y comunicarlos a la organización, lo cual puede motivar a mejorar otros procesos.

Los elementos recomendados para un programa de CEP exitoso son:

Liderazgo gerencialUn enfoque de grupo de trabajoEducación y entrenamiento de empleados en todos los nivelesÉnfasis en la mejora continuaUn mecanismo para reconocer el éxito y comunicación hacia la organización.

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Page 97: Resumen Control Estadístico de Proceso

3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

3.1 INTRODUCCIÓN

Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable. Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de control de X−R son ampliamente utilizadas para monitorear la media y la variabilidad de las variables, con objeto de evitar o minimizar que se tengan productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos.

LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE

MEDIA Y DESV. ESTANDAR MEDIA CORRIDA DESVIACION ESTANDAREN NIVELES NORMALES MAYOR A LA REQUERIDA

Fig. 3.1 Estados posibles de un proceso en control

3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS

Asumiendo que una característica de calidad está distribuida normalmente con media m y desviación estándar ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una muestra de tamaño n entonces se puede calcular la media de la muestra X .

Ahora como las medias de las muestras están normalmente distribuidas con media μX i = /

√n , y siendo que la probabilidad 1- de que cualquier media muestral caerá entre los límites:

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Page 98: Resumen Control Estadístico de Proceso

μ+Zα /2σ X=μ+Zα /2σ√n (3.1)

y

μ−Zα /2σ X=μ−Zα /2σ√n

Lo anterior será válido aún si la distribución de la población no es normal pero si estable.

En la práctica los límites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras preliminares o subgrupos, el tamaño de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si se tienen m subgrupos, la gran media se calcula como sigue:

¯̄X=∑i=1

m

X i

m (3.2)Representa la línea central de la carta de medias.

Para estimar la del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos, para cada uno de los subgrupos el rango es calculado como:

R = xmax – xmin (3.3)Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio es:

R=∑i=1

m

Ri

m (3.4)

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Page 99: Resumen Control Estadístico de Proceso

DESARROLLO DE LA FORMULA PARA LOS LÍMITES DE CONTROL

La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviación estándar como sigue:

W = R / (3.5)

Los parámetros de la distribución de W son función de n. La media de W es d2. Por tanto un estimador de es R / d2 , donde d2 está tabulado para diferentes valores de n, de esta forma si R es el rango promedio de las primeras muestras, usando:

σ= Rd2 (3.6)

Los límites de control de la carta de medias son:

LSC=X+ 3 Rd2√n Límite superior de control (LSC)

LIC=X− 3 Rd2√n Límite inferior de control (LIC) (3.7)

X Línea central (LC)

Si de define a A2=

3 Rd2√n se tienen las ecuaciones siguientes:

LSC = X + A2R (3.8)

LIC = X - A2R

El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.

Para el caso de los rangos, la línea central es R . El estimador para R puede hallarse de la distribución del rango relativo W = R / , si la desviación estándar de W es d3 en función de n, se tiene:

R = W (3.9)La desviación estándar de R es:

R = d3 Como es desconocida, se puede estimar de = R / d2, resultando:

σ R=d3Rd2 (3.10)

De esta forma los límites de control para el rango son:

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Page 100: Resumen Control Estadístico de Proceso

LSC = R + 3σ R = R + 3d3

Rd2 = R [ 1+ 3

d3

d2 ] = D4R (3.11)

LIC = R - 3σ R = R - 3d3

Rd2 =R [ 1- 3

d3

d2 ] = D3R

Donde las constantes A2 , d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el cálculo de los límites de control como sigue:

Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R

n A2 D3 D4 d2

2 1.88 0 3.267 1.1283 1.023 0 2.574 1.6934 0.072 0 2.282 2.0595 0.577 0 2.115 2.3266 0.483 0 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.9710 0.308 0.223 1.777 3.078

Para valores pequeños de n, el rango es un buen estimador de la varianza tal como lo hace la varianza de la muestra S2. La eficiencia relativa del método del rango a la S2 se muestra abajo:

Eficiencian Relativa

1.0000.9920.9750.9550.9300.850

Para n >= 10 el rango pierde eficiencia rápidamente ya que ignora los valores intermedios entre xmax y xmin sin embargo para valores pequeños de n (4,5 o 6) empleados en las cartas de control, es adecuado. Para cuando n>10 se utiliza la desviación estándar en vez del rango.

EQUIPO DE MEDICIÓNLa resolución del equipo debe ser de al menos 1/10 de la tolerancia y debe tener habilidad para realizar la medición con un error por Repetibilidad y Reproducibilidad (R&R) menor al 10% (ver procedimiento de estudios R&R).

LIMITES PRELIMINARESSiempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es muy importante llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y descripción) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía,

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arranque de máquina, etc. Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la toma de acciones correctivas.

Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y grafican los límites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en control (ver procedimiento de Gráficas de Control). Para probar esta hipótesis, se analizan todos los puntos graficados y se hace un análisis para identificar si hay puntos fuera de los límites de control o patrones anormales de comportamiento, si así fuera, los límites de control preliminares se pueden utilizar para el control futuro del proceso.

Si no se prueba la hipótesis de que el proceso está en control, por algún patrón de anormalidad presente, se determina la causa especial de la anormalidad, se toman acciones correctiva para que no vuelva a presentar, se eliminan los puntos correspondientes al patrón de anormalidad y se re-calculan o revisan los límites de control. Se analiza la carta de control para observar un comportamiento aleatorio, si aun no se tiene, se repite el proceso anterior hasta lograrlo. Una vez teniendo todos los puntos en control, los nuevos límites de control más cerrados que los originales se utilizan para el control futuro del proceso.

Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la determinación de los límites de control revisados para el control futuro del proceso.

Interpretación de cartas de control X−R

Se debe iniciar con la interpretación de la carta R, identificando causas especiales y después analizar la carta X . Además de la situación de un punto fuera de control, se tienen otros patrones de anormalidad como los siguientes:Patrones cíclicos: Puede ser ocasionado por cambios ambientales, fatiga del operador, o fluctuaciones en las presiones u otras variables del proceso.

LSC

LC

LICFig. 3.2 Patrón de anormalidad cíclico

Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media.

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Page 102: Resumen Control Estadístico de Proceso

LSC

LC

LIC

Fig. 3.3 Patrón de anormalidad con mezcla de lotes

Corrimiento en la media del proceso. Esto puede ser generado por un cambio en métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.4 Patrón de anormalidad con corrimiento en media

Una tendencia ascendente o descendente: Son causadas por deterioración gradual de herramientas u otro componente crítico del proceso, en los procesos químicos puede deberse a la separación de algún componente.

LSC

LC

LICFig. 3.5 Patrón de anormalidad de tendencia ascendente

Estratificación: Se muestra como una adhesión a la media, puede ser causado por límites mal calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolución del equipo de medición.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.6 Patrón de anormalidad de “estratificación”

Por lo general la carta R es más sensible a cambios en la normalidad de los procesos, por ejemplo cuando n = 4 el error tipo I no es 0.00027 sino 0.00461.

En resumen los patrones de anormalidad más comunes son:Un punto fuera de los límites de controlSiete puntos formando una tendencia ascendente o descendente

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Dos de tres puntos a más de dos sigma de la línea central en el mismo ladoCuatro de cinco puntos a más de una sigma de la línea central del mismo lado.Siete puntos en secuencia sobre o bajo la línea centralCatorce puntos alternándose arriba y debajo de la mediaQuince puntos dentro de una sigma de la línea central en ambos ladosCualquier otro patrón de anormalidad

Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones de automóvil, se desea establecer un control estadístico para el diámetro interno de los anillos, a través de una carta de medias-rangos. Se toman 25 subgrupos de 5 piezas cada uno.

El análisis se inicia con la carta R ya que los límites para la carta X dependen de la variabilidad del proceso, y a menos que esta variabilidad se encuentre en control, esos límites tendrán poco significado.

De las cartas de control se calcula un rango promedio R de 0.023mm (ver tabla de constantes para D3 y D4 con n=5):

LICR = R D3 = 0.023 (0) = 0LSCR = R D4 = 0.023 (2.115) = 0.049

Si la carta de control para R se encuentra en control estadístico, se puede ahora calcular los límites

para la carta X donde la línea central X es 74.001 (ver tabla de constantes para obtener el valor de A2 con n=5).

LSC = X + A2R = 74.001 + (0.577) (0.0023) = 74.014

LIC = X - A2R = 74.001 - (0.577) (0.0023) = 73.988

Si no se observan condiciones fuera de control en la carta X . Si ambas cartas están en control, se puede concluir que el proceso está en control y se pueden adoptar los límites actuales para el control futuro del proceso.

Ejemplo 3.2: Se toman datos de la dimensión crítica de una parte, con el proceso corriendo normalmente, en 25 subgrupos de tamaño n=5, uno cada hora:

X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos Desv. Est.138.1 110.8 138.7 137.4 125.4 130.1 27.9 12.1149.3 142.1 105.0 134.0 92.3 124.5 57.0 24.7115.9 135.6 124.2 155.0 117.4 129.6 39.1 16.2118.5 116.5 130.2 122.6 100.2 117.6 30.0 11.1108.2 123.8 117.1 142.4 150.9 128.5 42.7 17.7102.8 112.0 135.0 135.0 145.8 126.1 43.0 17.9120.4 84.3 112.8 118.5 119.3 111.1 36.1 15.2132.7 151.1 124.0 123.9 105.1 127.4 46.0 16.7

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Page 104: Resumen Control Estadístico de Proceso

136.4 126.2 154.7 127.1 173.2 143.5 47.0 20.2135.0 115.4 149.1 138.3 130.4 133.6 33.7 12.3139.6 127.9 151.1 143.7 110.5 134.6 40.6 15.9125.3 160.2 130.4 152.4 165.1 146.7 39.8 17.9145.7 101.8 149.5 113.3 151.8 132.4 50.0 23.2138.6 139.0 131.9 140.2 141.1 138.2 9.2 3.6110.1 114.6 165.1 113.8 139.6 128.6 55.0 23.5145.2 101.0 154.6 120.2 117.3 127.7 53.6 21.8125.9 135.3 121.5 147.9 105.0 127.1 42.9 16.0129.7 97.3 130.5 109.0 150.5 123.4 53.2 20.7123.4 150.0 161.6 148.4 154.2 147.5 38.2 14.4144.8 138.3 119.6 151.8 142.7 139.4 32.2 12.1

Los cálculos y gráficas se hicieron utilizandoel paquete MINITAB y se muestran a continuación.

Las cartas de control quedan como sigue:

191715131197531

150

140

130

120

110

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=130.88

UCL=154.45

LCL=107.31

191715131197531

80

60

40

20

0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=40.86

UCL=86.40

LCL=0

Xbar-R Chart of X11, ..., X15

Fig. 3.7 Cartas de control iniciales

El proceso se observa en control estadístico, con estos límites de control calculados, se continúa corriendo el proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos Desv. Est.131.0 184.8 182.2 143.3 212.8 170.82 81.8 33.2801181.3 193.2 180.7 169.1 174.3 179.72 24.1 9.0461

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Page 105: Resumen Control Estadístico de Proceso

154.8 170.2 168.4 202.7 174.4 174.1 47.9 17.5943157.5 154.2 169.1 142.2 161.9 156.98 26.9 9.9693216.3 174.3 166.2 155.5 184.3 179.32 60.8 23.222186.9 180.2 149.2 175.2 185.0 175.3 37.7 15.2797167.8 143.9 157.5 171.8 194.9 167.18 51 18.8798178.2 186.7 142.4 159.4 167.6 166.86 44.3 17.1516162.6 143.6 132.8 168.9 177.2 157.02 44.4 18.3454172.1 191.7 203.4 150.4 196.3 182.78 53 21.5062

28252219161310741

180

165

150

135

120

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=144.26

UCL=169.04

LCL=119.47

28252219161310741

80

60

40

20

0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=43.0

UCL=90.9

LCL=0

11

11

11

11

Xbar-R Chart of X11, ..., X15

Fig. 3.8 Cartas de control con 10 puntos adicionales del proceso

Suponiendo que se identificaron las causas asignables responsables de los puntos fuera de control identificados en la carta de medias y que se hicieron ajustes al proceso para corregirlo, se tomaron otros diez datos con los resultados siguientes:X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos131.5 143.1 118.5 103.2 121.6 123.6 39.9111.0 127.3 110.4 91.0 143.9 116.7 52.9129.8 98.3 134.0 105.1 133.1 120.1 35.7145.2 132.8 106.1 131.0 99.2 122.9 46.0114.6 111.0 108.8 177.5 121.6 126.7 68.7125.2 86.4 64.4 137.1 117.5 106.1 72.7145.9 109.5 84.9 129.8 110.6 116.1 61.0123.6 114.0 135.4 83.2 107.6 112.8 52.285.8 156.3 119.7 96.2 153.0 122.2 70.5

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Page 106: Resumen Control Estadístico de Proceso

107.4 148.7 127.4 125.0 127.2 127.1 41.3

Las cartas de control quedan como sigue:

28252219161310741

160

140

120

100

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=127.06

UCL=153.18

LCL=100.95

28252219161310741

100

75

50

25

0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=45.3

UCL=95.7

LCL=0

Xbar-R Chart of X11, ..., X15

Fig. 3.9 Cartas de control con causas identificadas y eliminadas de puntos anormales

Ejemplo 3.3 Se considera otro ejemplo con los datos individuales siguientes, procesados con el paquete Minitab:HORA X1 X2 X3 X4 X5 Medias Rangos1 -30 50 -20 10 30 8 802 0 50 -60 -20 30 0 1103 -50 10 20 30 20 6 804 -10 -10 30 -20 50 8 705 20 -40 50 20 10 12 906 0 0 40 -40 20 4 807 0 0 20 -20 -10 -2 408 70 -30 30 -10 0 12 1009 0 0 20 -20 10 2 4010 10 20 30 10 50 24 4011 40 0 20 0 20 16 4012 30 20 30 10 40 26 3013 30 -30 0 10 10 4 6014 30 -10 50 -10 -30 6 8015 10 -10 50 40 0 18 6016 0 0 30 -10 0 4 40

Página 106

Page 107: Resumen Control Estadístico de Proceso

17 20 20 30 30 -20 16 5018 10 -20 50 30 10 16 7019 50 -10 40 20 0 20 6020 50 0 0 30 10 18 50

Las cartas de control quedan como sigue:

191715131197531

40

20

0

-20

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=10.9

UCL=47.53

LCL=-25.73

191715131197531

150

100

50

0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=63.5

UCL=134.3

LCL=0

Xbar-R Chart of X1, ..., X5

Fig. 3.10 Cartas de control iniciales

Se realizan pruebas de normalidad a las medias y a los rangos para ver si se tienen un proceso normal:

Página 107

Page 108: Resumen Control Estadístico de Proceso

3020100-10

99

9590

80706050403020

105

1

Medias

Perc

ent

Mean 10.9StDev 8.065N 20AD 0.355P-Value 0.425

Probability Plot of MediasNormal

Fig. 3.11 a y b Prueba de normalidad en medias y rangos de un proceso estable e

120100806040200

99

9590

80706050403020

105

1

Rangos

Perc

ent

Mean 63.5StDev 22.54N 20AD 0.478P-Value 0.210

Probability Plot of RangosNormal

Por las pruebas de normalidad de rangos y medias, se deduce que el proceso está en Control Estadístico (en ambos casos el P value es mayor a 0.05).

Página 108

Page 109: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 3.4 Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con muestras de cinco partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora).Se toman varios datos de hilos y se construye una carta de medias – rangos con m = subgrupos, donde el rango se calcula tomando el valor mayor menos el valor menor del subgrupo, con n = 5. Por ejemplo:

VariablesSubgrupo 1

Subgrupo 2

Subgrupo m

X1 2 5 3X2 4 3 4X3 3 6 1X4 5 7 5X5 1 4 2

09:00 a.m. 10:00 a.m. 11:00 a.m.Media 3 5 3Rango 4 4 4

Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para proceder a determinar los límites de control como sigue:

LSC = X + 0.577xR

LIC = X - 0.577xR

Para el caso de los rangos, la línea central es R los límites de control para el rango son:LSC = 2.114xR

LIC = 0

Se identifican situaciones fuera de control, se investigan las causas y se toman acciones preventivas para prevenir la reincidencia y se recalculan los límites de control futuros.

Página 109

Page 110: Resumen Control Estadístico de Proceso

Sample

Sam

ple

Mea

n

2018161412108642

602

600

598

__X=600.23

UCL=602.474

LCL=597.986

Sample

Sam

ple

Rang

e

2018161412108642

8

6

4

2

0

_R=3.890

UCL=8.225

LCL=0

11

Xbar-R Chart of Supp2

Figura 3.12 Carta de control X-R fuera de control

Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los subgrupos 2 y 14 y tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se eliminan los subgrupos fuera de control y se recalculan los límites de control.

Sample

Sam

ple

Mea

n

18161412108642

602

601

600

599

598

__X=599.938

UCL=602.247

LCL=597.629

Sample

Sam

ple

Rang

e

18161412108642

8

6

4

2

0

_R=4.003

UCL=8.465

LCL=0

Xbar-R Chart of Supp2

Figura 3.13 Carta de control de medias rangos X-R estable.Ejercicio Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos.

Página 110

Page 111: Resumen Control Estadístico de Proceso

Capacidad o habilidad del proceso

Página 111

F

ECHA

DE

TERM

INO

Cp. :

CPK:

MUE

STRA

FREC

UENC

IATI

PO D

E EV

ALUA

CIÓN

% Z

Sup

.:

%

Z In

f.:

% N

C:

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

FECHA

HORA

1n

A2D4

D3d2

B4B3

22

1.88

3.27

01.

133.

270

33

1.02

2.57

01.

702.

570

44

0.73

2.28

02.

062.

270

55

0.58

2.11

02.

332.

090

X

RSU

MA

CAUS

AS D

E NO

RE

GIS

TRO

R RANGOS

CON

STAN

TES

LECTURAS

INIC

IALE

S

PROMEDIOSx

L.S.

C. R

L.I.C

. RX

L.S.

C.x

L.I.C

.xR

UNID

ADES

NOMI

NAL

L.S.

E.L.

I.E.

G

RAFI

CA D

E CO

NTRO

L DE

PRO

MED

IOS

Y RA

NGOS

No. D

E GR

AFIC

AFE

CHA

DE IN

ICIO

NOMB

RE D

E PA

RTE

No. D

E PA

RTE

ÁREA

OPER

ACIÓ

NM

AQUI

NACA

RACT

ERÍS

TICA

CALI

BRAD

OR

I

NSTR

UCCI

ONE

S

1.- E

ncie

rre e

n un

círc

ulo

los

patro

nes

anor

mal

es d

e co

mpo

rtam

ient

o ( p

unto

s fu

era

de lo

s lím

ites

de c

ontro

l, te

nden

cias,

adh

esio

nes,

etc

).

2.- I

nves

tigue

y c

orrij

a la

ca

usa

del c

ompo

rtam

ient

o. S

i no

es

posib

le ll

ame

a su

su

perv

isor o

Ing.

de

Man

ufac

tura

.

3.- R

egist

re la

(s) c

ausa

(s)

del c

ompo

rtam

ient

o en

la

bitá

cora

(al r

ever

so d

e la

gr

áfica

), as

í com

o la

s ac

cione

s re

aliza

das

o pr

opue

stas

par

a co

rregi

r la

falla

.

4.- I

ndiq

ue e

n el

últi

mo

reng

lón,

just

o ab

ajo

del

subg

rupo

cor

resp

ondi

ente

, las

ca

usas

por

las

cual

es s

e de

ja

de g

rafic

ar d

e ac

uerd

o a

la

frecu

encia

indi

cada

, si e

s qu

e se

pre

sent

an e

l cas

o. U

tilice

la

s sig

uien

tes

clave

s:

A) F

in d

e co

rrida

de

prod

ucció

nB)

Fal

ta d

e m

ater

ial

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juste

de

línea

/ m

áqui

naD)

Cam

bio

de m

odel

oE)

Fin

de

turn

oF)

Otro

(ind

icar)

Page 112: Resumen Control Estadístico de Proceso

Una vez que se tiene un proceso en control estadístico, se puede estimar su capacidad o habilidad, tomando como referencia la desviación estándar del proceso estimada .

Ejemplo 3.3 (continuación..)

=

Rd2 =

0 .0232. 326 = 0.0099

Donde el valor de d2 se encuentra en las tablas de constantes para una n=5. Si la especificación de los anillos de pistones es de 74.000 0.05 mm, se tienen como límites inferior y superior de especificaciones los siguientes:

LIE = 73.950LSE = 74.0500

Los límites de tolerancia naturales del proceso inferior y superior (LTNI y LTNS) se encuentran a 3-sigma del proceso por abajo y por arriba de la media del proceso, o sea en:

LTNS = X + 3 = 74.001 + 3 (0.0099) = 74.0307

LTNI = X - 3 = 74.001 - 3 (0.0099) = 73.9713

LIE LTNI MEDIA LTNS LSEFig. 3.14 Localización de Límites de especificaciones y naturales

Se observa que los límites de tolerancia naturales del proceso se encuentran dentro de los límites de especificación, por tanto en principio no se observa que haya partes fuera de especificaciones.

Otra forma de expresar lo anterior es con el índice de habilidad potencial Cp (o PCR) siendo:

Cp =

LSE−LIE6 σ (3.12)

Cp =

74 . 05−73 .956(0 . 0099 )

= 0 .100. 05984

=1. 68

Se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Si Cp es menor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia naturales es mayor que la banda permitida por los límites de especificación.

Página 112

Page 113: Resumen Control Estadístico de Proceso

LTNI LIE LSE LTNS

Caso 2. Si Cp es igual a 1, implica que las bandas para los límites de tolerancia natural y de especificaciones coinciden (aunque para el caos de 3-sigma aun hayan 2700 ppm fuera de especificaciones).

LIE LSE LNTI LNTS

Caso 3. Si Cp es mayor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia natural del proceso, es menor que la banda permitida por las especificaciones.

Página 113

Page 114: Resumen Control Estadístico de Proceso

LIE LTNI LTNS LSE

La fracción de la banda de las especificaciones utilizada por el proceso se estima como sigue:

CR = (1 / Cp) 100% (3.13)CR = (1 / 1.68) 100% = 59.2%

Es decir que el proceso utiliza aproximadamente el 60% de la banda especificada.

Se puede estimar la fracción de anillos no conformes producidos, con ayuda de la distribución normal, como sigue:

p = P { x < 73.950 } + P { x > 74.001 }

= Φ (73 .950−74 . 001

0 . 0099 )−Φ (74 . 050−74 . 0010 .0099 )

= (-5.15) + 1 - (4.04) ¿ 0 + 1 – 0.99998 ¿ 0.00002

Por lo anterior alrededor de 0.002% o 20 partes por millón (ppm) de los anillos producidos estarán fuera de especificaciones.

Página 114

Page 115: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 3.2 (continuación...). Para la carta de control de las medias, después de haber eliminado las causas especiales y tomado acciones para prevenir su recurrencia, se tiene el cálculo de habilidad como sigue (considerando que los límites de especificación son 85 y 175):

1801601401201008060

LSL USL

LSL 85Target *USL 175Sample Mean 127.063Sample N 150StDev(Within) 19.4626StDev(Overall) 19.8965

Process Data

Cp 0.77CPL 0.72CPU 0.82Cpk 0.72

Pp 0.75PPL 0.70PPU 0.80Ppk 0.70Cpm *

Overall Capability

Potential (Within) Capability

PPM < LSL 26666.67PPM > USL 6666.67PPM Total 33333.33

Observed PerformancePPM < LSL 15338.42PPM > USL 6888.71PPM Total 22227.13

Exp. Within PerformancePPM < LSL 17253.10PPM > USL 7991.57PPM Total 25244.67

Exp. Overall Performance

WithinOverall

Process Capability of X11, ..., X15

Fig. 3.15 Capacidad de proceso del ejemplo 3.2

Página 115

Page 116: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 3.3. Para las cartas X-R se tiene el cálculo de la capacidad o habilidad del proceso, una vez estable (considerando que los límites de especificación son -80 y +80):

60300-30-60

LSL USL

LSL -80Target *USL 80Sample Mean 10.9Sample N 100StDev(Within) 27.3001StDev(Overall) 25.2301

Process Data

Cp 0.98CPL 1.11CPU 0.84Cpk 0.84

Pp 1.06PPL 1.20PPU 0.91Ppk 0.91Cpm *

Overall Capability

Potential (Within) Capability

PPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00

Observed PerformancePPM < LSL 434.76PPM > USL 5684.82PPM Total 6119.59

Exp. Within PerformancePPM < LSL 157.38PPM > USL 3083.22PPM Total 3240.59

Exp. Overall Performance

WithinOverall

Process Capability of X1, ..., X5

Fig. 3.16 Capacidad de proceso del ejemplo 3.3

Para el cálculo de otros índices que toman en cuenta la posición de la media, revisar el capítulo de capacidad del proceso o el procedimiento de cartas X –R.

REVISIÓN O RE-CÁLCULO DE LA LÍNEA CENTRAL Y LÍMITES DE CONTROL

Los límites de control calculados como límites preliminares, deben ser revisados en forma periódica que puede ser por semana, mes o cada 25, 50 o 100 puntos dependiendo del proceso en particular.

Lo recomendable en cada revisión es tomar las acciones necesarias para que la media del proceso X se acerque cada vez más a la media de las especificaciones (en caso de ser bilaterales) o se aleje lo más posible de la especificación (en caso de ser unilateral).

En cada carta de control X o R es necesario identificar las causas especiales que originen condiciones fuera de control, tomar acciones correctivas para prevenir su reincidencia, eliminar

esos puntos tanto en la carta X como en la carta R y recalcular los límites de control, para usarse en el control futuro del proceso.

LÍMITES DE CONTROL, DE ESPECIFICACIÓN Y DE TOLERANCIA NATURAL

Página 116

Page 117: Resumen Control Estadístico de Proceso

Es importante hacer notar que no existe ninguna relación matemática entre los límites de especificación y los de control o los de tolerancia natural.

Los límites de especificación son establecidos externamente al proceso por ingenieros de manufactura, el cliente o por los diseñadores del producto.

SUBGRUPOS RACIONALESPara el caso de la carta de medias-rangos, los subgrupos se seleccionan de tal forma de minimizar la variabilidad entre muestras individuales, observando sólo su variabilidad aleatoria y maximizando la posibilidad de detectar corridas en la media del proceso en función del tiempo.

De esta forma la carta X monitorea la variabilidad entre subgrupos respecto al tiempo y la carta R monitorea la variabilidad interna entre muestras en un tiempo dado.

CAMBIO DE TAMAÑO DE MUESTRACuando el proceso ya mostró estabilidad durante un periodo largo de tiempo, es posible reducir el esfuerzo y costo de control a través de reducir el tamaño de muestra. Los límites de control se pueden recalcular sin tomar muestras adicionales como sigue:

Rant= rango promedio para el tamaño de subgrupo anteriorRnuevo= rango promedio para el tamaño de subgrupo nuevonant = tamaño de subgrupo anteriornnuevo = tamaño de subgrupo nuevod2 ant = factor d2 para el tamaño de subgrupo anteriord2 nuevo = factor d2 para el tamaño de subgrupo nuevo Los nuevos límites de control para la carta X son (seleccionando A2 en base al nuevo tamaño de subgrupo nnueva , la línea central no se cambia):

LSCX = X + A2 [d2 nuevo / d2 ant ] Rant (3.14)

LICX = X - A2 [d2 nuevo / d2 ant ] Rant

Para el caso de la carta R los nuevos límites de control son (seleccionando D3 y D4 para el nuevo tamaño de muestra nnueva):

LSCR = D4 [d2 nuevo / d2 ant ] Rant (3.15)

LCR = Rnuevo= [d2 nuevo / d2 ant ] Rant

LICR = max { 0, D3 [d2 nuevo / d2 ant ] Rant }

Si en Ejemplo 3.1 de trabajo se quisiera cambiar de n=5 a n=3, se tendría:

De la tabla de constantes se tiene: d2 ant. = 2.326, d2 nueva = 1.693, A2 nueva = 1.023, por tanto los límites nuevos son:

LSCX = 74.001 + (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 74.018LICX = 74.001 - (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 73.984

Página 117

Page 118: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para la carta R, de la tabla de constantes para n=3 se tiene D3 = 0, D4 = 2.578, por tanto:

LSCR = (2.578) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.043LICR = (0) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.0LCR = [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.017

LIM.SUP.NVO

LIMITESANTERIORES CARTA X

LIM.INF.NVO.

LIMITE SUP. ANT.LIMITE SUP.NVO.

CARTA R

0

Fig. 3.17 Revisión de límites de control cambiando de n=5 a 3

Como se puede observar el efecto de reducir el tamaño de muestra hace que se incremente el

ancho de los límites de control en la carta X (porque

σ√n es más pequeño con n=5 que con n=3) y

se reduzca la media de R y su límite superior en la carta R.

La curva característica de operación

La habilidad de las cartas de control X−R para detectar corrimientos en la media del proceso es indicada por su curva característica de operación (OC). Su determinación se muestra a continuación.Si en la carta para X se conoce la desviación estándar del proceso y es constante, cuando la media del proceso m0 cambia a otro valor m1 = m0 + k , la probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra subsecuente es el riesgo , donde:

= P { LIC <= X <= LSC m1 = m0 + k } (3.16)dado que X N (m, 2/n) y que los límites de control son:

LSC = m0 + L /√n (3.17)

LIC = m0 - L /√n

La probabilidad de que un punto de X i caiga dentro de límites de control sabiendo que la media del proceso ya es m1, es igual a la probabilidad de que el punto se encuentre abajo del límite superior (LSC) menos la probabilidad de que se encuentre abajo del límite inferior de control (LIC). Considerando la desviación Estándar de las medias, o sea:

Página 118

Page 119: Resumen Control Estadístico de Proceso

+ LSC ( ZLSC, x)

X i LC

( ZLIC, x)LIC

-

Fig. 3.18 Cálculo del error Beta o tipo II

Entonces = Φ [ LSC−( μ0+kσ )

σ /√n ]-Φ [ LIC−(μ0+kσ )

σ /√n ]

= Φ [ μ0+Lσ /√n−(μ0+kσ )

σ /√n ]-

Φ [ μ0−Lσ /√n−( μ0+kσ )σ /√n ]

(3.18)

Donde es la distribución normal acumulativa. La expresión anterior se reduce a:

= ( L – k √n ) - ( - L – k √n ) (3.19)

Ejemplo 3.4 Para una carta X−R con L=3 (límites a 3-sigma de medias), tamaño de muestra n=5, y se desea determinar el corrimiento a m1 = m0 + 2 en la primera muestra subsecuente al corrimiento de la media del proceso, se tiene:

= ( 3 – 2 √5 ) - ( - 3 – 2 √5 ) = (-1.47) - (-7.37) = 0.0708

Este es el riesgo o la probabilidad de no detectar tal corrimiento. La probabilidad de sí detectarlo es 1- == 1 – 0.0708 = 0.9292.

Con las fórmulas anteriores se construyen las curvas características de operación para diferentes valores de n en función de k.

Si n=5 y el corrimiento es de +1, de las curvas OC se tiene que = 0.75 y la probabilidad de detectar el corrimiento en la segunda muestra se calcula como (1- ) = 0.19, y así sucesivamente. La longitud de la corrida media es el número esperado de muestras antes de que el corrimiento sea detectado, se denomina ARL o :

ARL =

11−β (3.20)

Página 119

Page 120: Resumen Control Estadístico de Proceso

En este caso ARL = 1 / 0.25 = 4. Es decir que el se requieren tomar cuatro muestras antes de detectar un corrimiento de 1.0 con n = 5. Para construir la curva OC para la carta de rangos, se utiliza la distribución del rango relativo W=R/. Si el valor de la desviación estándar cuando el proceso está en control es 0, entonces la curva OC muestra la probabilidad de no detectar un corrimiento a un nuevo valor 1, donde 1>0

, en la primera muestra después del corrimiento. Se grafica contra = 1/0.

Por ejemplo si = 2 con n=5, sólo se tienen una probabilidad del 40% de detectar este corrimiento en cada muestra subsecuente. Por tanto la carta R tiene poca sensibilidad de detectar pequeños corrimientos en sigma, para cual se debe usar la carta S con n>10.

LONGITUD DE CORRIDA MEDIA

La longitud de corrida media para la carta de Shewhart cuando el proceso está en control es:

ARL = 1 / P ( un punto fuera de control) = ARL0 = 1 / (3.21)

Cuando el proceso está fuera de control es:

ARL1 = 1 / ( 1 - ) (3.22)

De las gráficas de ARL anexas, se observa que para detectar un corrimiento de 1.5 con n=3, se requiere un ARL1 = 3. Se puede reducir el ARL1 a 1 si se incrementa la n=16.

3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S

Estas cartas de control son recomendadas cuando:

El tamaño de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios).El tamaño de muestra es variable.

Su construcción es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar del rango R en cada subgrupo se calcula la desviación estándar S.

Página 120

Page 121: Resumen Control Estadístico de Proceso

191715131197531

40

20

0

-20

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=10.9

UCL=46.91

LCL=-25.11

191715131197531

60

45

30

15

0

Sample

Sam

ple

StDe

v

_S=25.23

UCL=52.71

LCL=0

Xbar-S Chart of X1, ..., X5

Figura 3.19 Ejemplo de carta X-S

S2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2 sin embargo S no es un estimador insesgado de . Si la distribución es normal, entonces S estima a c4 donde c4 es una constante

que depende del tamaño de muestra n. Además la desviación estándar de S es σ √1−c4 .

c4=( 2n−1 )

1/2 Γ (n/2)Γ ((n−1 )/2) (3.18)

CASO DE n CONSTANTE

Con esta información se pueden establecer los límites de control para la carta X y S, cuando se conoce el valor de dado que existe un historial.

Para la carta S se tiene: Para la carta X se tiene:

LSCs = c4 + 3 σ √1−c4 = B6 LSCX = m + A (3.20)LCs = c4 LC = m

LICs = c4 - 3 σ √1−c4 = B5 LICX = m - A

Los valores para las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores de n en la tabla de constantes.

Página 121

Page 122: Resumen Control Estadístico de Proceso

En el caso de que no se conozca la desviación estándar de la población, se puede estimar utilizando diversas muestras m con datos históricos, donde se obtenga la desviación estándar en cada una de ellas y se promedien.

S= 1m∑i=1

m

S i(3.21)

σ= S__

c4 (3.22)

Como el estadístico S /c4 es un estimador insesgado de , los parámetros de la carta serán los siguientes:

LSCs = S+3 S

c4√1−c4

2

= B4S (3.23)

LCs = S

LICs = S−3 S

c4√1−c4

2

= B3 S

Para el caso de la carta X , cuando S /c4 se una para estimar los límites de control para esta carta son:

Página 122

Page 123: Resumen Control Estadístico de Proceso

LSCx = X + 3 S

c4√n = X + A3 S (3.24)

LCx = X

LICx = X - 3 S

c4√n = X - A3 S

Todas las constantes c4, A’s y B’s se encuentran tabuladas en función de n en la tabla de constantes, como sigue:

Tabla 3.2 Constantes para límites de control en cartas X-S

n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 .

5 0.94 1.342 1.427 0 2.089 0 1.9646 0.9515 1.225 1.287 0.03 1.97 0.029 1.8747 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.8068 0.965 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.7519 0.9693 1 1.032 0.239 1.761 0.232 1.70710 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.66911 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.63712 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.6113 0.9794 0.832 0.85 0.382 1.618 0.374 1.58514 0.981 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.56315 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.54416 0.9835 0.75 0.763 0.448 1.552 0.44 1.52617 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.51118 0.9854 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.49619 0.9862 0.688 0.698 0.497 1.503 0.49 1.48320 0.9869 0.671 0.68 0.51 1.49 0.504 1.4721 0.9876 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.45922 0.9882 0.64 0.647 0.534 1.466 0.528 1.44823 0.9887 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.43824 0.9892 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.42925 0.9896 0.6 0.606 0.565 1.435 0.559 1.42

CASO DE n VARIABLE

En el caso de tamaño de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las medias y de las desviaciones estándar como sigue:

Página 123

Page 124: Resumen Control Estadístico de Proceso

X=∑i=1

m

ni X i

∑i=1

m

ni(3.25)

S=[∑ (ni−1)S i2

∑i=1

m

ni−m ]1/2

(3.26)Ejemplo 3.4 Para una carta X-S con límites variables, se tomaron los datos siguientes, corriendo en Minitab:Datos Muestra Datos Muestra Datos Muestra Datos Muestra74.030 1 74.000 7 73.994 14 74.009 2174.002 1 73.985 8 74.000 14 74.005 2174.019 1 74.003 8 73.984 14 73.996 2173.992 1 73.993 8 74.012 15 74.004 2274.008 1 74.015 8 74.014 15 73.999 2273.995 2 73.998 8 73.998 15 73.990 2273.992 2 74.008 9 74.000 16 74.006 2274.001 2 73.995 9 73.984 16 74.009 2273.998 3 74.009 9 74.005 16 74.010 2374.024 3 74.005 9 73.998 16 73.989 2374.021 3 73.998 10 73.996 16 73.990 2374.005 3 74.000 10 73.994 17 74.009 2374.002 3 73.990 10 74.012 17 74.014 2374.002 4 74.007 10 73.986 17 74.015 2473.996 4 73.995 10 74.005 17 74.008 2473.993 4 73.994 11 74.006 18 73.993 2474.015 4 73.998 11 74.010 18 74.000 2474.009 4 73.994 11 74.018 18 74.010 2473.992 5 73.995 11 74.003 18 73.982 2574.007 5 73.990 11 74.000 18 73.984 2574.015 5 74.004 12 73.984 19 73.995 2573.998 5 74.000 12 74.002 19 74.017 2574.014 5 74.007 12 74.003 19 74.13 2574.009 6 74.000 12 74.005 1973.994 6 73.996 12 73.997 1973.997 6 73.983 13 74.000 2073.985 6 74.002 13 74.010 2073.995 7 73.998 13 74.013 2074.006 7 74.006 14 73.998 21

Página 124

Page 125: Resumen Control Estadístico de Proceso

73.994 7 73.967 14 74.001 21

252321191715131197531

74.02

74.01

74.00

73.99

73.98

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=74.0009

UCL=74.02046

LCL=73.98134

252321191715131197531

0.024

0.018

0.012

0.006

0.000

Sample

Sam

ple

StDe

v

_S=0.00736

UCL=0.02403

LCL=0

Xbar-S Chart of Datos

Tests performed with unequal sample sizes

Fig. 3.20 Ejemplo de carta X-S con límites variables

Página 125

Page 126: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 3.5 Otro ejemplo con n variable, la X = 74.001 y la S = 0.0098, por tanto los límites de control son:

LSCX = 74.015LCX = 74.001LICX = 73.987

Para la carta SLSCS = 0.020LCS = 0.0098LICS = 0

Como método alterno para n variable se puede utilizar la n si no hay mucha variación entre los

diferentes tamaños de muestra (dentro de n 25%).

ESTIMACIÓN DE

El valor de la desviación estándar puede ser estimado del valor de S como sigue:

σ= Sc4

Para el ejemplo:

σ= Sc4 = 0.0094 / 0.94 = 0.01, tomando el valor de c4 para n=5.

Existe una variante de las cartas de medias-desviación estándar denominadas cartas de medias-varianza.

Página 126

Page 127: Resumen Control Estadístico de Proceso

3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES

Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo:Cuando hay inspección automática de piezas individuales.La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de más de una pieza.Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición de laboratorio) como en procesos químicos.En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene una variabilidad muy baja a través del rollo.

En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos móviles se

empiezan a calcular a partir de la segunda muestra como MR i = X i−X i−1.

Para este caso, los límites de control para la carta X son:

LSCx = X+3 MR

d2

LCx = X

__

(3.27)

LICx = X−3 MR

d2

n = 2

Ejemplo 3.6 Se toman varios datos de viscosidades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de subgrupos.

Lote Viscocidad1 33.752 33.053 34.004 33.815 33.466 34.027 33.688 33.279 33.4910 33.2011 33.6212 33.0013 33.54

Página 127

Page 128: Resumen Control Estadístico de Proceso

14 33.1215 33.84

151413121110987654321

34.5

34.0

33.5

33.0

32.5

Observation

Indi

vidu

al V

alue

_X=33.523

UCL=34.802

LCL=32.245

151413121110987654321

1.6

1.2

0.8

0.4

0.0

Observation

Mov

ing

Rang

e

__MR=0.481

UCL=1.571

LCL=0

I-MR Chart of Viscocidad

Fig. 3.21 Carta de lecturas individuales o rango móvil (I-MR)

El proceso está en control estadístico.

Ejemplo 3.7: Se toman varios datos de edades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de valores individuales.

Página 128

Page 129: Resumen Control Estadístico de Proceso

Por ejemplo:Valores individuales Rango23 -15 811 424 1338 1419 19

Al final se hace un promedio de los valores individuales X y un promedio de rangos móviles R y los límites de control para la carta I-MR se calculan con las fórmulas siguientes:

Para la carta I: LSCx=X̄+(2 .66∗R̄ ) LICx=X̄−(2 .66∗R̄ ) y para la carta R: LICr=0 LSCr=3 .27∗R̄

Observation

Indi

vidu

al V

alue

1009080706050403020101

601

600

599

598

_X=599.548

UCL=601.176

LCL=597.920

Observation

Mov

ing

Rang

e

1009080706050403020101

2.4

1.8

1.2

0.6

0.0

__MR=0.612

UCL=2.000

LCL=0

1

1

1

1

1

I-MR Chart of Supp1

Figura 3.22 Carta de control I-MR. El proceso no está en control estadístico.

Ejercicio Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos.

Página 129

Page 130: Resumen Control Estadístico de Proceso

Página 130

F

ECHA

DE

INIC

IOFE

CHA

DE

TER

MIN

O

Cp. :

CPK:

FREC

UEN

CIA

TIPO

DE

EVAL

UA.

% Z

Sup

.:%

Z In

f.:%

NC:

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

FECHA

HORA

XE

2D

2D

3 D

4

R2.

671.

130

3.27

RANGOS

CONS

TANT

ES

VALORES

INIC

IALE

S

Rx LECTURAS

L.I.C

. R

T. M

UEST

RA

UNID

ADES

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INAL

L.S.

E.L.

I.E.

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S.C

.xL.

I.C.x

RL.

S.C

. R

GRAF

ICA

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GR

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ÁREA

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IÓN

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RAC

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Page 131: Resumen Control Estadístico de Proceso

Las cartas por atributos tiene la ventaja que consideran varias características a la vez clasificando la unidad como conforme o no conforme, si no cumple alguna de esas características. Por otra parte si esas características se controlan como variables, debe llevarse una carta de control para cada una de esas características, lo cual es más laborioso, otra alternativa es el C.E.P. multivariado.

Las cartas por variables proporcionan mayor información del proceso que las de atributos, tal como la media del proceso y su variabilidad, también proporcionan información para realizar estudios de capacidad de los procesos.

Las cartas por variables permiten tomar acciones cuando se presentan situaciones fuera de control, antes de que se produzcan artículos no conformes, lo que no sucede con las cartas por atributos hasta que el proceso genere más disconformes.

LIE m1 m2 m3 LSEReacción de carta X-R Reacción de carta p

Fig. 3.23 Comparación de sensibilidad entre cartas de control

Tal vez la ventaja más importante de la carta X-R es que proporciona un indicador de inicio de problemas y permite al personal operativo tomar acciones correctivas antes que se produzcan defectivos realmente, de esta forma las cartas X-R son indicadores guía de falla, mientras que las cartas p (o c o u) no reaccionan a menos que el proceso haya cambiado tanto que se produzcan más defectivos.

En la figura, cuando la media del proceso esta en m1 se producen pocas no conformidades, si la media del proceso se corre hacia arriba, cuando llegue a m2 la carta X-R habrá mostrado un patrón anormal o puntos fuera de control para tomar acciones correctivas, mientras que la carta p no reaccionará hasta que la media del proceso se haya recorrido hasta m3, o hasta que el número de unidades no conformes producidas se haya incrementado. Por tanto las cartas X-R son más poderosas que las cartas p.

Para el mismo nivel de protección contra corrimientos del proceso, la carta p requiere un tamaño de muestra mayor, la X-R requiere tomar mucho menos unidades aunque las mediciones toman más tiempo. Esta consideración es importante para el caso de pruebas destructivas.

Ejemplo 3.8 Si el proceso se controla con una carta X , donde el valor medio de la característica de calidad es 50 y la desviación estándar es 2, para límites de 3-sigma y especificaciones LIE=44 y LSE=56, cuando el proceso está en control en el valor nominal de 50, la fracción no conforme es 0.0027.

Suponiendo que la media del proceso del proceso se corre a 52, la fracción defectiva producida será aproximadamente 0.0202, si se desea que la probabilidad de detectar este corrimiento en la siguiente muestra subsecuente sea del 0.50, entonces el tamaño de muestra en la carta X debe ser tal que se cumpla que el LSC sea 52 o sea:

Página 131

Page 132: Resumen Control Estadístico de Proceso

50+ 3(2)√n=52

donde n=9,

Si se utiliza una carta p entonces el tamaño de muestra requerido para tener la misma probabilidad de detectar el corrimiento es:

n=( kδ )2

p(1−p )

Con k = 3, que es el ancho de los límites de control, p = 0.0027 y es la magnitud de incremento en fracción defectiva o sea = 0.0202 – 0.0027 = 0.0175, de esta forma,

n = 79.23 80

Donde se observa que a menos que el costo de medir 9 muestras sea mayor que 9 veces el costo de inspección por atributos, las carta X es más económica de aplicar.

GUÍA PARA IMPLEMENTAR CARTAS DE CONTROL

Se sugiere lo siguiente:Determinar cual es la característica a controlar. Seleccionar un tipo de carta de control.Identificar el proceso donde se implantarán las cartas de control.Tomar acciones para mejorar el proceso, como resultado de la aplicación de la carta de control.Seleccionar el sistema de colección de datos y software de C.E.P.

SELECCIÓN DE LA CARTA DE CONTROL ADECUADASe prefiere una carta por variables en las situaciones siguientes:Se inicia un proceso o producto nuevo.El proceso ha estado mostrando un comportamiento inconsistente en forma crónica.Se requieren pruebas destructivas.Se desea economizar el control cuando el proceso es estable.Existen tolerancias muy cerradas u otros problemas de manufactura.El operador debe decidir si ajustar el proceso o no, o cuando evaluar el ajuste.Se debe presentar evidencia de estabilidad y de capacidad como en industrias reguladas.

Se prefiere una carta por atributos en las situaciones siguientes:Los operadores controlan las causas asignables y es necesario mejorar el proceso.El proceso es una operación de ensamble compleja y la calidad se evalúa por la ocurrencia de no conformidades (computadoras, autos, etc.).Es necesario un control del proceso, pero no se pueden hacer mediciones.Se requiere un historial del desempeño del proceso para revisión ejecutiva.

Cartas de control por lecturas individuales

Página 132

Page 133: Resumen Control Estadístico de Proceso

Es inconveniente o difícil obtener más de una medición por muestra, o la repetición de muestras sólo mostrará errores de medición de laboratorio, tal como ocurre en proceso químicos.Se cuenta con inspección automatizada de cada unidad de producto. Para estos casos también se deben considerar las cartas de sumas acumuladas o de media móvil ponderada.Los datos disponibles son muy lentos en el tiempo, por ejemplo datos contables mensuales.

3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

Algunas de las aplicaciones de las cartas de control por variables son:

Mejora de procesos de proveedores. Reducir su variabilidad a través de centrar su proceso y tomar acciones correctivas.Selección de equipo productivo a través de demostración de su capacidad antes de su embarque.Corridas cortas en talleres de manufactura. Se controla la desviación respecto a la media especificada, de una característica específica de calidad para diferentes productos similares.Aplicaciones no manufactureras. En estos casos se tiene que: (1) no hay especificaciones, (2) se requiere más imaginación para aplicar las cartas de control. Se usan por ejemplo para reducir el tiempo de proceso de las cuentas por pagar (pago de cheques).

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROLLas constantes para límites de control en las cartas X-R son:

n A2 D3 D4 d2

2 1.88 0 3.267 1.1283 1.023 0 2.574 1.6934 0.072 0 2.282 2.0595 0.577 0 2.115 2.3266 0.483 0 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.9710 0.308 0.223 1.777 3.078

n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 .

5 0.94 1.342 1.427 0 2.089 0 1.9646 0.9515 1.225 1.287 0.03 1.97 0.029 1.8747 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.8068 0.965 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.7519 0.9693 1 1.032 0.239 1.761 0.232 1.70710 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.66911 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.63712 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.6113 0.9794 0.832 0.85 0.382 1.618 0.374 1.58514 0.981 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

Página 133

Page 134: Resumen Control Estadístico de Proceso

15 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.54416 0.9835 0.75 0.763 0.448 1.552 0.44 1.52617 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.51118 0.9854 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.49619 0.9862 0.688 0.698 0.497 1.503 0.49 1.48320 0.9869 0.671 0.68 0.51 1.49 0.504 1.4721 0.9876 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.45922 0.9882 0.64 0.647 0.534 1.466 0.528 1.44823 0.9887 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.43824 0.9892 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.42925 0.9896 0.6 0.606 0.565 1.435 0.559 1.42

Página 134

Page 135: Resumen Control Estadístico de Proceso

4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

4.1 INTRODUCCIÓN

Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente, denominándose atributos. En tales casos cada artículo completo se clasifica como conforme o no conforme a especificaciones y/o estándares, es decir como defectivo o no defectivo, no defectuoso o defectuoso, bueno o malo, discrepante o no discrepante.

Fig. 4.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme, defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio.

Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p de fracción defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se aplica a productos simples (tornillos, lápices, botellas, etc.)

Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se observan en un producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o defectos c cuando la muestra es constante o la u cuando es variable o constante. Se aplica a productos complejos (coches, TV, cámaras de video, escritorios, refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una discrepancia respecto a los estándares establecidos o a las especificaciones.

Fig. 4.1 El producto puede ser funcional pero puede tener defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio.

Página 135

Page 136: Resumen Control Estadístico de Proceso

4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p

La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes entre el total de artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se puede expresar en porcentaje. El artículo puede tener varias características de calidad que son examinadas por un inspector, si el artículo no está de acuerdo a los estándares, se le considera como defectuoso o no conforme.

La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre el número de unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea:

pi=Di

ni (4.1)

La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto:

μ= p__

(4.2)

σ p2=

p(1−p )n (4.3)

Del modelo general para la carta de control de Shewhart, si w es un estadístico que mide una

característica de calidad, con media mw y varianza σ w2

, los límites de control son:

LSC = mw + Lw

LC = mw (4.4)LIC = mw - Lw

Donde L es la distancia de la línea central hasta los límites de control, es común usar L = 3.

Por tanto los límites de control de la carta p considerando L = 3 son:

LSCp = p__+3√ p

__(1− p

__)

n

LCp = p__

(4.5)

LICp = p__

−3√ p__(1−p

__)

n

Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción defectiva pi y se

grafíca en la carta, mientras no se observe ningún patrón anormal y pi se localice dentro de límites de control, se puede concluir que el proceso está en control, de otra forma, se concluirá

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Page 137: Resumen Control Estadístico de Proceso

que la fracción no conforme se ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera de control.

Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos observados en m muestras iniciales, cada una de tamaño n , por lo general se toman 20 a 25 de estas. Así si D i son unidades no conformes en la muestra i , la fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada como:

pi = Di / n i = 1, 2, 3,....., m (4.6)

y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es desconocida es:

p=∑i=1

m

Di

mn=∑i=1

m

pi

m (4.7)

El estadístico p estima la fracción desconocida p, y los límites preliminares de control son:

LSC p=p+3√ p(1−p )n (4.5) anterior

LC p=p

LIC p=p−3√ p (1−p)n

Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se encuentre fuera de control debe ser investigado, si se encuentra una causa asignable o especial, deben tomarse medidas correctivas para prevenir su recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera de control se eliminan y se calculan de nuevo los límites de control preliminares.

Ejemplo 4.1 Para el llenado de cajas de concentrado de jugo de naranja de 6 oz., se inspecciona cada caja y se inspecciona el sello para evitar fugas, se lleva una carta de control para tomar acciones y mejorar el desempeño de la maquina selladora.

Para establecer la carta de control, se toman 30 muestras de 50 piezas cada una en intervalos de una hora. Hora Defectos Hora Defectos1 12 16 82 15 17 103 8 18 54 10 19 135 4 20 116 7 21 207 16 22 18

Página 137

Page 138: Resumen Control Estadístico de Proceso

8 9 23 249 14 24 1510 10 25 911 5 26 1212 6 27 713 17 28 1314 12 29 915 22 30 6

Como en total se encontraron 347 cajas no conformes, se estima p como sigue:

p=∑i=1

m

Di

mn=∑i=1

m

pi

m =

347(30 )(50 ) = 0.2313

Los límites de control usando Minitab son:LSCp = 0.4102LCp = 0.2313LICp = 0.0524

28252219161310741

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Prop

ortio

n

_P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.0524

1

1

P Chart of Defectos

Figura 4.1 Carta de control p fuera de control

De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23 están fuera de los límites de control, de tal forma que el proceso esta fuera de control.

Página 138

Page 139: Resumen Control Estadístico de Proceso

Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la muestra 15 corresponde a el cambio de un nuevo lote de cajas el cual fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un operador sin experiencia asignado temporalmente a la máquina.

Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de las causas anteriores y calculando nuevos límites preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con Minitab:

LSCp = 0.3893LCp = 0.2150LICp = 0.0407

28252219161310741

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Prop

ortio

n

_P=0.215

UCL=0.3893

LCL=0.0407

1

P Chart of Defectos

Figura 4.2 Carta de control p fuera de control en un punto

En la gráfica de límites revisados, se observa que la muestra 20 excede el límite superior de control, sin embargo no se encontró una causa asignable, por tanto se retiene este punto para el cálculo de los límites preliminares. Tampoco se observan patrones de anormalidad, la mayor racha o corrida tiene 5 puntos sobre la línea central, lo cual no representa una situación fuera de control.De esta forma se concluye que el proceso está en control a una p = 0.2150 adoptando los límites preliminares para control futuro.

Página 139

Page 140: Resumen Control Estadístico de Proceso

252219161310741

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Prop

ortio

n _P=0.2081

UCL=0.3804

LCL=0.0359

P Chart of Defectos

Figura 4.3 Carta de control p en control estadístico

Se observa que a pesar de que el proceso está en control, no se tienen presentes problemas controlables por el operador, por tanto las causas de variabilidad son comunes y su reducción depende sólo del control de la administración, una vez que interviene e Ingeniería realiza una serie de ajustes a la máquina, se monitorea la mejora.

Continuando con el ejemplo, se toman 24 muestras adicionales durante los siguientes 3 turnos, la gráfica se hizo utilizando Minitab:

Se observa que la p media del proceso ha mejorado con los ajustes y una mejor atención de los operadores.

Página 140

Page 141: Resumen Control Estadístico de Proceso

Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos, difiere de la fracción no conforme preliminar, con el procedimiento de prueba de hipótesis:

H0: p1 = p2 H1: p1 > p2

Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares

(p1 = p1 = 0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo actual. Para estimar p2 se toman las últimas 24 muestras o sea:

p2=∑i=31

m

Di

mn=∑i=31

m

pi

m =

133(50 )(24 )

=1331200

=0 . 1108

El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es:

Z0=p1− p2

√ p(1− p )( n1+n2n1n2 ) con

p=n1 p1+n2 p2

n1+n2

por tanto:

p=(1400 )(0 .2150 )+(1200 )(0 .118 )1400+1200

=0 .1669

Z0=0 . 2150−0 . 1108

√(0 . 1669)(0 .8331)( 11400

+ 11200 )

=7 . 10

Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que:

Z0 = 7.10 > Z.05 = 1.645

Por tanto se rechaza la hipótesis Ho concluyendo que hubo una reducción en la fracción defectiva promedio del proceso.

Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:

LSCp = 0.2440LCp = 0.1108LICp = -0.0224 = 0

Continuando con el ejemplo, usando los nuevos límites de control, para las siguientes 40 muestras se observa una mejora del proceso, dentro de control. Es muy importante que para identificar

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Page 142: Resumen Control Estadístico de Proceso

fácilmente las causas asignables, se lleve una bitácora de cambios, donde se anote cada cambio que ocurra, independientemente que afecte o no al proceso.

Figura 4.4 Carta de control p con nuevos puntos tomados

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Page 143: Resumen Control Estadístico de Proceso

Diseño de la carta de control

Determinación del tamaño de muestra:

Método 1.El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al menos una unidad no conforme por muestra sea al menos .

Ejemplo 4.2, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de hallar al menos una unidad no conforme sea al menos 0.95, si D es el número de artículos no conformes, entonces:

P{ D >= 1 }>= 0.95

Con la distribución de Poisson se encuentra que = np debe ser mayor a 3.00, por tanto si p = 0.01, implica que el tamaño de muestra debe ser al menos de 300.

Método 2.Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga aproximadamente un 50% de probabilidad de detectar el corrimiento de la media de un proceso en una cierta cantidad.

Asumiendo que la distribución normal es una buena aproximación a la binomial, se selecciona n de tal forma que el límite superior de control coincida con la fracción defectiva en el estado fuera de control.

Entonces n debe satisfacer:

δ=L√ p(1−p )n (4.8)

Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones estándar, por tanto,

n=( Lδ )2

p(1−p )(4.9)

Ejemplo 4.3, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de 0.50, entonces = 0.05 – 0.01 = 0.04 y si L = 3-sigma, se tiene:

n = ( 30 . 04 )

2

(0 .01 )(0 .99 )=56

Método 3.Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar n tan grande de tal forma que el límite inferior tenga un valor positivo, para poder investigar la causa de

Página 143

Page 144: Resumen Control Estadístico de Proceso

generación de muy bajas cantidades de artículos defectuosos con objeto de identificar errores de inspección o de los equipos de medición. Se tiene:

LIC p=p−L√ p(1−p )n

>0(4.10)

Implica que,

n>(1−p )p

L2

(4.11)

Ejemplo 4.4, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3-sigma, el tamaño de muestra será:

n> 0 . 950 . 05

(3)2=171

Si n>171 unidades, la carta de control tendrá un límite inferior de control positivo.

Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es decir que la probabilidad de ocurrencia de artículos defectivos es constante y que las unidades producidas son independientes. Si no es el caso, se debe desarrollar una carta de control basada en el modelo de probabilidad adecuado.Ejemplo 4.3 Para un servicio de mantenimiento se tomaron datos de 30 muestras de 50 servicios contabilizando las quejas en cada uno como sigue:

Servicio No conformes Servicio No conformes ServicioNo conformes

1 12 11 5 21 202 15 12 6 22 183 8 13 17 23 244 10 14 12 24 155 4 15 22 25 96 7 16 8 26 127 16 17 10 27 78 9 18 5 28 139 14 19 13 29 910 10 20 11 30 6

Como en total se encontraron 347 quejas o servicios no conformes, se estima p como sigue:

p=∑i=1

m

Di

mn=∑i=1

m

pi

m =

347(30 )(50 ) = 0.2313

Los límites de control usando Minitab son:LSCp = 0.4102 LCp = 0.2313 LICp = 0.0524

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Page 145: Resumen Control Estadístico de Proceso

3020100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for No confo

11

P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.05243

Fig. 4.4a. Carta de control P para la fracción de servicios no conformes.

Ejercicio Hacer una carta de control P por atributos.

Página 145

Page 146: Resumen Control Estadístico de Proceso

Página 146

Page 147: Resumen Control Estadístico de Proceso

4.3 CARTA DE CONTROL np

En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante, se pueden utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes np, para evitarle operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta son:

LSC np=np+3√np (1−p)LCnp=np

(4.12)LICnp=np−3√np(1−p )

Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p .El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de graficar e interpretar por los operadores que llevan el C.E.P.

Ejemplo 4.5, con los últimos 39 datos de las cajas de concentrado de jugo de naranja, se tiene:

252219161310741

20

15

10

5

0

Sample

Sam

ple

Coun

t

__NP=10.41

UCL=19.02

LCL=1.80

NP Chart of Defectos

Figura 4.5 Carta de control np en control estadístico con límites de control constantes

4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE

En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los lotes producidos en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:

Método 1. Límites variables

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Page 148: Resumen Control Estadístico de Proceso

Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su

tamaño de muestra con p±3 √ p(1−p )/ni . La amplitud de los límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.

Ejemplo 4.6, Se tomaron datos del resultado de la inspección diaria, registrando la producción total y los defectivos del día.

n-var nodef Fra-def LSC LIC Des-est

100 12 0.120.183686

0.007335 0.0293918

80 8 0.10.194093 -0.00307 0.0328611

80 6 0.0750.194093 -0.00307 0.0328611

100 9 0.090.183686

0.007335 0.0293918

110 100.090909

0.179582

0.011438 0.028024

110 120.109091

0.179582

0.011438 0.028024

100 11 0.110.183686

0.007335 0.0293918

100 16 0.160.183686

0.007335 0.0293918

90 100.111111

0.188455

0.002565 0.0309817

90 60.066667

0.188455

0.002565 0.0309817

110 200.181818

0.179582

0.011438 0.028024

120 15 0.1250.176003

0.015017 0.026831

120 9 0.0750.176003

0.015017 0.026831

120 80.066667

0.176003

0.015017 0.026831

110 60.054545

0.179582

0.011438 0.028024

80 8 0.10.194093 -0.00307 0.0328611

80 10 0.1250.194093 -0.00307 0.0328611

80 7 0.08750.194093 -0.00307 0.0328611

90 5 0.05555 0.18845 0.00256 0.0309817

Página 148

Page 149: Resumen Control Estadístico de Proceso

6 5 5

100 8 0.080.183686

0.007335 0.0293918

100 5 0.050.183686

0.007335 0.0293918

100 8 0.080.183686

0.007335 0.0293918

100 10 0.10.183686

0.007335 0.0293918

90 60.066667

0.188455

0.002565 0.0309817

La fracción defectiva media se calcula como sigue:

p=∑i=1

25

Di

∑i=1

25

ni

=2342450

=0 .096

Y los límites de control se calculan como sigue:

LSCp= p+3σ p=0 .096+3√(0 . 096 )(0.904 )

ni

LC = 0.096

LICp= p−3σ p=0 .096−3 √(0 .096)(0 . 904 )

ni

Página 149

Page 150: Resumen Control Estadístico de Proceso

2321191715131197531

20

15

10

5

0

Sample

Sam

ple

Coun

t

__NP=8.58

UCL=16.94

LCL=0.22

1

NP Chart of nodef

Tests performed with unequal sample sizesFigura 4.6 Carta de control np en control estadístico con límites de control variables

Se observa que la muestra 11 está fuera de control.

Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de anormalidad no tiene sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta variando y no es posible visualizar corridas o rachas.

Método 2. Tamaño de muestra promedioEn este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este método no es adecuado.

n=∑i=1

m

ni

m=2450

25=98

Con límites de control basados en n=98 :

LSCp= p+3σ p=0 .096+3√(0 . 096 )(0.904 )

98=0 . 185

LC = 0.096

LICp= p−3σ p=0 . 096−3 √(0 . 096)(0 . 904 )

98=0 . 007

Página 150

Page 151: Resumen Control Estadístico de Proceso

Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control.

Método 3. Carta de control estandarizada.

En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la carta de control estandarizada, la línea central es cero y los límites de control están a +3 y –3 respectivamente, la variable a graficar en la carta es:

Zi=p i−p

√ p(1−p )ni (4.13)

donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su condición de control estadístico; pi , ni son datos de la muestra.

Ejemplo 4.7 Con los 25 datos anteriores se obtiene una carta estandarizada, por medio de Minitab.

n-var nodef Frac.-def LSC LIC Media Z-Estand100 12 0.12 3 -3 0 0.8165580 8 0.1 3 -3 0 0.1217280 6 0.075 3 -3 0 -0.63905

100 9 0.09 3 -3 0 -0.20414110 10 0.090909 3 -3 0 -0.18166110 12 0.109091 3 -3 0 0.46713100 11 0.11 3 -3 0 0.47632100 16 0.16 3 -3 0 2.1774890 10 0.111111 3 -3 0 0.4877490 6 0.066667 3 -3 0 -0.94679

110 20 0.181818 3 -3 0 3.06231120 15 0.125 3 -3 0 1.08084120 9 0.075 3 -3 0 -0.78268120 8 0.066667 3 -3 0 -1.09326110 6 0.054545 3 -3 0 -1.4792580 8 0.1 3 -3 0 0.1217280 10 0.125 3 -3 0 0.882580 7 0.0875 3 -3 0 -0.2586690 5 0.055556 3 -3 0 -1.30543

100 8 0.08 3 -3 0 -0.54437100 5 0.05 3 -3 0 -1.56506100 8 0.08 3 -3 0 -0.54437100 10 0.1 3 -3 0 0.1360990 6 0.066667 3 -3 0 -0.94679

Página 151

Page 152: Resumen Control Estadístico de Proceso

2321191715131197531

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0

Observation

Indi

vidu

al V

alue

_X=-0.028

UCL=2.871

LCL=-2.926

2321191715131197531

4

3

2

1

0

Observation

Mov

ing

Rang

e

__MR=1.090

UCL=3.560

LCL=0

1

1

I-MR Chart of Z-Estand

Figura 4.7 Carta de control p estandarizada (Zi)Esta carta tiene la ventaja de poder identificar patrones de anormalidad e identificar curva característica de operación, lo que no puede hacerse con la carta de límites de control variables. Una aplicación diferente de la manufactura sería el control de órdenes de compra erróneas para cada semana.

4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL

La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de control estadístico (i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva proporciona una evaluación de la sensibilidad de la carta de control, o sea la habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no

conforme del proceso, desde su valor nominal p a algún otro valor p .

La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no conforme es:

β=P {p<LSCp}− P {p≤LICp} = P {D<nLSCp}− P {D≤nLICp} (4.14)

Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error puede ser obtenido de la función de distribución acumulativa (la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación). Ejemplo 4.8 Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error tipo II se calcula como sigue:

β=P {D<(50)(0 . 3697 )p}−P {D≤(50 )(0 .030 )p}=P {D<18. 49p}−P {D≤1. 52p}Sin embargo como D debe ser un entero, se toma,

Página 152

Page 153: Resumen Control Estadístico de Proceso

β=P {D<18p}−P {D≤1p}La curva OC se construyó utilizando Excel y Minitab.

NOTA: Se debe usar la distribución de Poisson para np <=5 y distribución Normal en caso contrario.A continuación se muestran curvas OC con 3 distribuciones.

Página 153

CURVA OC POR BINOMIAL CURVA OC POR POISSONLIC = 1, LSC =18, n = 50 LIC = 1, LSC =18, n =50

p P(d<=18|p) P(d<=1|p) Beta=dif np P(d<=18|p) P(d<=1|p) Beta=dif0.01 1 0.910564687 0.089435313 0.5 1 0.90979599 0.0902040.03 1 0.555279873 0.444720127 1.5 1 0.5578254 0.4421750.05 1 0.279431752 0.720568248 2.5 1 0.2872975 0.712703

0.1 0.99999986 0.03378586 0.966214001 5 0.999998598 0.04042768 0.9595710.15 0.999940418 0.002905453 0.997034965 7.5 0.999697003 0.00470122 0.994996

0.2 0.997488797 0.000192678 0.997296118 10 0.992813495 0.0004994 0.9923140.25 0.97126684 1.0005E-05 0.971256835 12.5 0.948148253 5.031E-05 0.948098

0.3 0.859440124 4.0337E-07 0.85943972 15 0.819471712 4.8944E-06 0.8194670.35 0.621587051 1.2349E-08 0.621587038 17.5 0.608934016 4.6453E-07 0.608934

0.4 0.335613264 2.7751E-10 0.335613263 20 0.381421949 4.3284E-08 0.3814220.45 0.127345115 4.36961E-12 0.127345115 22.5 0.202192955 3.976E-09 0.202193

0.5 0.032454324 4.52971E-14 0.032454324 25 0.092040859 3.6109E-10 0.0920410.55 0.005296752 2.84312E-16 0.005296752 27.5 0.036606283 3.249E-11 0.036606

CURVA OC POR NORMAL COMPARACION DE LAS LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, n = 50 BETAS CON 3 DECIMALES

p Sigma LSC Z-Value LIC Z Value PZLSC PZLIC Beta np BINOM POISSON NORMAL0.01 0.014071247 25.56276589 1.442658181 1 0.925442 0.074558435 0.5 0.089 0.090 0.0750.03 0.024124676 14.08101803 0.0124354 1 0.504961 0.495039094 1.5 0.445 0.442 0.4950.05 0.03082207 10.37243767 -0.639152399 1 0.261362 0.738638167 2.5 0.721 0.713 0.739

0.1 0.042426407 6.356889963 -1.642844755 1 0.050208 0.949792486 5 0.966 0.960 0.9500.15 0.050497525 4.350708304 -2.370413218 0.999993 0.008884 0.991109116 7.5 0.997 0.995 0.991

0.2 0.056568542 2.999900519 -2.999900519 0.99865 0.00135 0.997299184 10 0.997 0.992 0.9970.25 0.061237244 1.954692815 -3.587685977 0.97469 0.000167 0.97452355 12.5 0.971 0.948 0.975

0.3 0.064807407 1.075494349 -4.161561348 0.858923 1.58E-05 0.858907423 15 0.859 0.819 0.8590.35 0.067453688 0.292052231 -4.739548131 0.614877 1.07E-06 0.614875519 17.5 0.622 0.609 0.615

0.4 0.069282032 -0.437342829 -5.336159863 0.330931 4.76E-08 0.33093135 20 0.336 0.381 0.3310.45 0.070356236 -1.141334502 -5.965356044 0.126865 1.22E-09 0.126865425 22.5 0.127 0.202 0.127

0.5 0.070710678 -1.842720272 -6.642561102 0.032685 1.55E-11 0.032684871 25 0.032 0.092 0.0330.55 0.070356236 -2.562672611 -7.386694153 0.005194 7.58E-14 0.005193524 27.5 0.005 0.037 0.005

Page 154: Resumen Control Estadístico de Proceso

La curva OC calculada con las diferentes distribuciones de probabilidad se muestra a continuación:

Para esta carta de control, también se puede calcular la longitud de corrida media ARL.

Cuando es proceso está en control:

ARL0 = 1 /

Cuando el proceso está fuera de control:

ARL1 = 1 / (1 - )

Estas probabilidades de errores tipo I y II se pueden obtener o por calculo de probabilidades o usando las curvas OC.

Figura 4.8 Curva característica de operación np

Ejemplo 4.9, suponiendo que el proceso se corre a p1 = 0.3, siendo su valor nominal p0 = 0.2. De la curva OC se observa que en este caso es 0.9973 estando en control, en este caso = 1 - = 0.0027 y el valor de ARL0 es:

ARL0 = 1 / = 1 / 0.0027 = 370

Indicando que cada 370 puntos se puede tener una falsa alarma.

Página 154

Page 155: Resumen Control Estadístico de Proceso

4.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u

Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con la especificación del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad diferente desde menores hasta críticas. Se pueden desarrollar cartas de control para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de no conformidades por unidad.

Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de tamaño constante son modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir implica que las oportunidades o localizaciones potenciales para las no conformidades sea muy infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y constante. Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad” idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se cumplen, el modelo de Poisson no es apropiado.

Tamaño de muestra constante - CARTA c

Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente registrar el número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10 unidades de producto, etc. Suponiendo que los defectos o no conformidades ocurren en la unidad de inspección de acuerdo a la distribución de Poisson, o sea:

p( x )= e−c c x

x ! (4.15)Donde la media y la desviación estándar tienen valor c; para x = 0, 1, 2, .......Por tanto considerando L = 3-sigma, los límites de control para la carta de no conformidades son:

Página 155

Page 156: Resumen Control Estadístico de Proceso

LSCc = c + 3 √cLCc = c (4.16)

LICc = c - 3 √c en el caso que sea negativo toma el valor cero.

Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades observadas en una

muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso los parámetros de la carta son:

LSCc = c + 3 √cLCc = c (4.17)

LICc = c - 3 √c en el caso que sea negativo toma el valor cero

Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares.

Ejemplo 4.18 Para el número de no conformidades observadas en 26 unidades de inspección sucesivas de 100 muestras de circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes:No Conformidades 21 1924 1016 1712 1315 225 1828 3920 3031 2425 1620 1924 1716 15

Donde,LSC = 33.22

LC = 516 / 26 = 19.85 = cLIC = 6.48

De la carta de control preliminar, se observa que hay 2 puntos fuera de control, el 6 y el 20.

Página 156

Page 157: Resumen Control Estadístico de Proceso

252219161310741

40

30

20

10

0

Sample

Sam

ple

Coun

t

_C=19.85

UCL=33.21

LCL=6.48

1

1

C Chart of NoConform

Figura 4.9 Carta de control C fuera de control estadístico

Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un inspector nuevo calificó los circuitos impresos pero no tenía la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue causado por una falla en el control de temperatura de la soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se toman acciones para evitar recurrencia, se eliminan y se recalculan los límites de control.

Página 157

Page 158: Resumen Control Estadístico de Proceso

2321191715131197531

35

30

25

20

15

10

5

Sample

Sam

ple

Coun

t

_C=19.67

UCL=32.97

LCL=6.36

C Chart of NoConform

Figura 4.9 Carta de control C dentro de control estadístico

Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos límites se tomarán como base para el siguiente periodo, donde se tomaron 20 unidades de inspección adicionales.

No Conformidades 116 1818 2112 1615 2224 1921 1228 1420 925 1619 21

Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de control, sin embargo el promedio de defectos es alto, requiere la acción de la administración.

Página 158

Page 159: Resumen Control Estadístico de Proceso

191715131197531

35

30

25

20

15

10

5

Sample

Sam

ple

Coun

t

_C=19.67

UCL=32.98

LCL=6.36

C Chart of C4

Figura 4.10 Carta de control C dentro de control estadístico para otras 20 muestras – muy alta c

Haciendo un análisis de Pareto de los principales defectos se observó que el principal defecto de soldadura insuficiente y soldadura fría, acumulan el 69% del total, por lo que se deben enfocar los esfuerzos a resolver estos problemas.

Figura 4.11 Pareto de no conformidades

Página 159

Page 160: Resumen Control Estadístico de Proceso

Puede ser necesario estratificar el problema identificando en que modelo de circuito impreso se presentan los defectos principalmente.

Otra forma de análisis es el diagrama de causa efecto para identificar las diferentes fuentes de no conformidades.

Figura 4.12 Diagrama de Ishikawa de causas potenciales para la falla de soldadura

Selección del tamaño de muestra

Aumentando el tamaño de muestra se tiene más oportunidad de encontrar no conformidades o defectos, sin embargo esto también depende de consideraciones económicas y del proceso, si en lugar de tomar 1 unidad de inspección, se toman n unidades de inspección, entonces los nuevos límites de control se pueden calcular por los siguientes métodos:

Método 1. Con ncEn este caso tanto la línea central como los límites de control se modifican por el factor n,

quedando como sigue (c es la media de las no conformidades observada en la unidad de inspección anterior):

LSCnc=nc+3 √nc LCnc=nc (4.18)LICnc=nc−3√nc

Por ejemplo si se deciden utilizar 2.5 unidades de inspección para el caso de los circuitos impresos (es decir inspeccionar 250 tarjetas) con n=2.5, se tiene:

LSCnc=nc+3 √nc = (2.5)(19.67) + 3 √(2 .5 )(19 .67 )=70 . 22

Página 160

Page 161: Resumen Control Estadístico de Proceso

LCnc=nc = (2.5)(19.67) = 49.18LICnc=nc−3√nc = (2.5)(19.67) - 3 √(2 .5 )(19 .67 )=28 .14

Carta de control de defectos por unidad UMétodo 2. Carta uSi se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de inspección, entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u es:

u= cn (4.19)

Como c es una variable aleatoria que sigue la distribución de Poisson, los parámetros de la carta u de número de no conformidades o defectos por unidad son:

LSCu=u+3√ un

LCu=u (4.20)

LSCu=u+3√ un

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites preliminares.

Ejemplo 4.10 Para un fabricante de computadoras registrando los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de inspección es una computadora y se toman 5 unidades de inspección a un tiempo.

No conformidades en cada 5 unidades – carta u10 912 58 714 1110 1216 611 87 1010 715 5

Se calculan los límites de control con:

Página 161

Page 162: Resumen Control Estadístico de Proceso

u__= Suma .de .no .conformidades

Suma .de .unidades .inspeccionadas

u =38.60 / 20 = 1.93LSC = 3.79LIC = 0.07

La carta de control queda como sigue:

191715131197531

4

3

2

1

0

Sample

Sam

ple

Coun

t Per

Uni

t

_U=1.93

UCL=3.794

LCL=0.066

U Chart of C6

Figura 4.13 Carta de control de defectos por unidad U con tamaño de muestra constante en control estadístico

En la carta de control no se observa falta de control estadístico, por tanto los límites preliminares se pueden utilizar en corridas futuras.

MUESTRA VARIABLE – CARTA u

En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la inspección 100% de la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central constante y los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de muestra n.

La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:

Página 162

Page 163: Resumen Control Estadístico de Proceso

LSCui=u+3√ u

ni

LCu=u (4.21)

LSCui=u+3√ u

ni

Ejemplo 4.11 En una planta textil, se inspeccionan defectos por cada 50m2 los datos se muestran a continuación.

Unidades No conform10 148 1213 2010 119.5 710 1012 2110.5 1612 1912.5 23

La línea central es u=153

107 .5=1. 42

Donde u = Total de defectos observados / Total de unidades de inspección De la gráfica no se observan puntos fuera de control.

Página 163

Page 164: Resumen Control Estadístico de Proceso

10987654321

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Sample

Sam

ple

Coun

t Per

Uni

t

_U=1.423

UCL=2.436

LCL=0.411

U Chart of No conform

Tests performed with unequal sample sizesFigura 4.14 Carta de control para defectos por unidad con tamaño de muestra variable

Existen otras dos alternativas para el manejo de la carta u con n variable:

Usando un promedio de tamaños de muestra.

n=∑i=1

m ni

m (4.22)

Usando una de control estandarizada (opción preferida). Se grafica Z i con límites de control en +3 y –3, línea central cero.

Zi=ui−u

√ un i (4.23)

Página 164

Page 165: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 4.11 (Cont...) Estandarizando la carta se tiene:

Unidades NoConf SigmaU Ui-Uprom Zu10 14 0.377261 -0.02325581 -0.061648 12 0.42179 0.07674419 0.18194913 20 0.330879 0.11520572 0.3481810 11 0.377261 -0.32325581 -0.856859.5 7 0.387061 -0.68641371 -1.773410 10 0.377261 -0.42325581 -1.1219212 21 0.34439 0.32674419 0.94876110.5 16 0.368169 0.10055371 0.27311912 19 0.34439 0.16007752 0.46481412.5 23 0.337432 0.41674419 1.235046

U prom 1.423256

La carta de control estandarizada para U, se encuentra en control estadístico como se muestra abajo.

10987654321

3

2

1

0

-1

-2

-3

Observation

Indi

vidu

al V

alue

_X=0

UCL=3

LCL=-3

I Chart of Zu

Figura 4.15 Carta de control U estandarizada

Sistema de demeritos

Con productos complejos, se identifican diversos tipos de defectos, desde los que se consideran menores hasta los que ponen en riesgo la salud del usuario. Por lo cual es necesario dar una

Página 165

Page 166: Resumen Control Estadístico de Proceso

ponderación a esos diversos tipos de defectos de acuerdo a su gravedad, un esquema posible es el siguiente:

Defectos tipo A – Muy serios: La unidad no puede funcionar o fallará en el campo, o puede causar daño al usuario.Defectos tipo B – Serios: La unidad tendrá menos vida útil, o puede causar una falla de funcionamiento mayor.Defectos tipo C – Poco serios: La unidad puede tener fallas pero continuar funcionando, o puede incrementar los costos de mantenimiento, o tener una mala apariencia como usada.Defectos tipo D – Menores: La unidad no fallará en servicio pero tiene defectos de apariencia, terminados o calidad de trabajo.

Supóngase que para los defectos anteriores se tengan los números ciA, ciB, ciC, ciD respectivamente en la i-ésima unidad inspeccionada. Se asume que cada clase de defectos es independiente y que la ocurrencia de defectos de cada clase es modelada bien con la distribución de Poisson. Entonces se puede definir el número de deméritos en la unidad de inspección por ejemplo como:

di = 100ciA + 50ciB + 10ciC + ciD (4.24)

Suponiendo que se toma una muestra de n unidades de inspección, entonces el número de

Deméritos por unidad es (con ∑i=1

n

d inúmero total de deméritos en todas las unidades de

inspección):

ui = D / n =

∑i=1

n

d i

n (4.25)Como u es una combinación lineal de variables aleatorias independientes de Poisson, el estadístico ui puede ser graficado en una carta de control con los parámetros siguientes:

LSC = u + 3 u

LC = u (4.26)

LIC = u + 3 u,

Donde,u=100u A+50uB+10uC+1uD (4.27)

yσ u=[ (100)2u A+(50 )2uB+(10 )2uC+(1 )

2uD

n ]1 /2

(4.28)

Los números uA ,uB ,uC , uD , representan el número promedio de defectos de la clase A, clase B, clase C y clase D respectivamente. Se determina a partir de datos preliminares tomados cuando el proceso está en control estadístico.

La curva característica de operación

Página 166

Page 167: Resumen Control Estadístico de Proceso

La curva característica de operación (OC) puede ser obtenida tanto para la carta c como para la carta u a partir de la distribución de Poisson.

Para la carta c, la curva OC muestra la probabilidad del error tipo II contra la media real del numero de defectos c, se expresa como sigue:

β=P {x<LSCc }− P{x≤LICc} (4.29)

Donde x es una variable aleatoria de Poisson con parámetro c.

Ejemplo 4.12, para el caso de la carta c anterior con LSC = 33.22, LIC = 6.48, se tiene:

β=P {x<33 . 22c }− P{x≤6 . 48c }cómo las cantidades deben ser enteras, esto es equivalente a:

β=P {x<33c }−P {x≤7c }La curva OC se obtiene con la distribución de Poisson como sigue:C P(x<=33) P(x<=7) Pa=Beta1 1.000 1.000 0.0003 1.000 0.988 0.0125 1.000 0.867 0.1337 1.000 0.599 0.4019 1.000 0.324 0.67611 1.000 0.143 0.85713 1.000 0.054 0.94615 1.000 0.018 0.98217 1.000 0.005 0.99419 0.999 0.002 0.99721 0.994 0.000 0.99423 0.981 0.000 0.98125 0.950 0.000 0.95027 0.892 0.000 0.89229 0.801 0.000 0.80131 0.682 0.000 0.68233 0.546 0.000 0.54635 0.410 0.000 0.41037 0.289 0.000 0.28939 0.191 0.000 0.191C promedio 19.67

Página 167

Page 168: Resumen Control Estadístico de Proceso

Pa=Beta

Pa=Beta

Figura 4.16 Curva característica de operación de la carta C con media 19.67

Página 168

Page 169: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para el caso de la carta u, la curva OC puede generarse con:

β=P {x<LSCu}− P {x≤LICu}β=P {c<nLSCu}−P {c≤nLICu} (4.30)

β=P {nLICu<c≤nLSCu}

4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm

Las cartas por atributos c y u no son convenientes en estos casos ya que tendrían ceros la mayor parte del tiempo, una alternativa es graficar los intervalos de tiempo entre ocurrencias de los defectos o “eventos”.

Asumiendo que los defectos ocurren de acuerdo a la distribución de Poisson, entonces la distribución de tiempo transcurrido entre eventos sigue la distribución exponencial, sin embargo daría una carta de control muy asimétrica.

Nelson, sugiere una alternativa transformando la variable aleatoria exponencial a una variable aleatoria de Weibull de tal forma que sea una buena aproximación a la normal. Si y representa la variable aleatoria exponencial original, la transformación adecuada es:

x = y1/3.6 = y0.277 (4.31)

Por tanto se construye una carta de control para x, asumiendo que x sigue una distribución normal.

Por ejemplo para el monitoreo de fallas de una válvula importante, se usará el número de horas entre fallas como la variable a monitorear. En la página siguiente se muestra este ejemplo.

Página 169

Page 170: Resumen Control Estadístico de Proceso

5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES

5.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN

Cartas de control dnom

Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas de producción sean cortas, tomando las desviaciones respecto a la media de especificaciones en lugar del valor como tal.

Ejemplo 5.1 Si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la dimensión nominal de la pieza A TA = 50mm, y la dimensión nominal de la pieza B es TB = 25mm, cuando se produce las piezas A o B se toman muestras y se evalúa la desviación respecto a su media.

Muestra Pieza M1 M2 M3 D1 D2 D3 Media Rango1 A 50 51 52 0 1 2 1.00 22 A 49 50 51 -1 0 1 0.00 23 A 48 49 52 -2 -1 2 -0.33 44 A 9 53 51 -1 3 1 1.00 45 B 24 27 26 -1 2 1 0.67 36 B 25 27 24 0 2 -1 0.33 37 B 27 26 23 2 1 -2 0.33 48 B 25 24 23 0 -1 -2 -1.00 29 B 24 25 25 -1 0 0 -0.33 110 B 26 24 25 1 -1 0 0.00 2

Ver carta en la página siguiente.

Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas:La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin esto no se cumple usar la carta de medias estandarizada.El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es constante para todas las diferentes partes.La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a excepción de cuando se tiene sólo un límite de especificación.

Página 170

Page 171: Resumen Control Estadístico de Proceso

10987654321

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=0.167

UCL=2.929

LCL=-2.596

10987654321

6.0

4.5

3.0

1.5

0.0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=2.7

UCL=6.950

LCL=0

Xbar-R Chart of D1, ..., D3

Figura 4.1 Carta DNOM para corridas cortas

Cartas de control de medias rangos estandarizada

Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se usan estas cartas. Sean Ri . .. ..T i el rango medio y el valor nominal de x para un número de parte específico. Para todas las muestras de este número de parte, graficar,

RS= RR i (5.1)

Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se puede estimar de con

Ri≈Sd2

c4 sus límites de control son D3 y D4. Para la media graficar,

xS=x−T i

Ri (5.2)

La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de control son LSC = A2 y LIC = -A2 .

Cartas de control por atributos

Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control LSC=+3 y LIC=-3. Los estadísticos a graficar son:

Página 171

Page 172: Resumen Control Estadístico de Proceso

Carta p Zi=

p i−p

√ p (1−p)/n

Carta np Zi=

npi−n p

√n p(1−p )(5.3)

Carta c Zi=

c i−c

√c

Carta u Zi=

ui−u

√u /n

5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN

Cartas de control modificadasLas cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es pequeña respecto a los límites de especificaciones, es decir el Cp es mucho mayor que 1. En este caso la media del proceso puede variar sobre un rango permitido sin afectar el desempeño del proceso. La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la media verdadera del proceso m, está localizada de tal forma que el proceso genere una fracción de productos no conformes mayor de algún valor especificado .

Se permite que m varíe entre mI y mS de tal forma que no se exceda la fracción defectiva . Se asume que el proceso está normalmente distribuido y que sea conocida y esté en control.

Página 172

Page 173: Resumen Control Estadístico de Proceso

m LIEsp. |--- 6 ---| LSEsp.

Figura 5.2 Proceso con habilidad alta, Cp>>1

LIE mI mS LSE Z

Z

/ √n

LIC LSC

Figura 5.3 Localización de los límites de control

Donde:μI=LIE+Zδσ (5.4)μS=LSE−Zδσ

Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se especifica un error , los límites de control superior e inferior son:

LSC=μS+Zα σ

√n=LSE−(Z δ−

√n )σ (5.5)

LIC=μI−Zα σ

√n=LIE+(Zδ−

√n )σ Lo común es que Z =3.

En las cartas modificadas, es una fracción no conforme que se acepta con una probabilidad (1-). Si la variabilidad del proceso cambia, éstas cartas no son apropiadas, de tal forma que se recomienda siempre usar en forma adicional una carta R o S, de donde incluso se estime la inicial.

Página 173

Zα σ

√nZα σ

√nZα σ

√n

Page 174: Resumen Control Estadístico de Proceso

Cartas de control de aceptación

En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea de rechazar un proceso que opera en forma satisfactoria o de aceptarlo si opera en forma insatisfactoria.

Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y una fracción no conforme del proceso que nos gustaría rechazar con una probabilidad (1-), por tanto:

LSC=μS−

Zβ σ

√n=LSE−(Zγ+

√n )σ (5.5)

LIC=μI+Zβ σ

√n=LIE+(Zγ+

√n )σEs posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma que se obtengan los requerimientos para , , y . Igualando los límites de control superiores:

LSC=LSE−(Zδ−Zα

√n )σ = LSE−(Zγ−

Z β

√n )σSe obtiene

n=( Zα+Z β

Zδ−Zγ )2

(5.6)

Ejemplo 5.2 Si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y beta = 0.20, haciendo los cálculos se obtiene una n = 31.43 32.

n=( 3. 00+0 . 842 .33−1. 645 )

2

Ejemplo 5.3 De Duncan se tiene:29

LSE =0.025

LSE-1.96

Amplitud de variación 0.10

Aceptable para X__

0.10

LIE+1.96

29 Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530

Página 174

Page 175: Resumen Control Estadístico de Proceso

LIE =0.025

Figura 5.4 Carta de control de aceptación

En la figura si suponemos que =0.025 y = 0.10, asumiendo un proceso normal, los límites para la carta de control de aceptación estarán en:

LSC = LSE – 1.96 - 1.282/√n

LIC = LIE + 1.96 + 1.282/√n

5.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL

Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural en la carta de control, la distancia entre los límites de especificación debe ser mucho mayor que 6X, por lo que se puede usar el concepto de la carta de control modificada (X = R/d2).

El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite inferior de especificación, y el máximo que se le permite variar es hasta 3x abajo del límite superior de especificación. Esto minimiza los ajustes a realizar durante las corridas de producción. Se puede utilizar un valor diferente de Z = 3 si se requiere una mayor protección en la fracción defectuosa. Para este problema también se puede utilizar la carta de regresión.

LSE

σ

X¿

LSE-3x Amplitud dentro de la cual

se espera encontrar las 6σ

X¿

medias de las piezas Distribución de xσ

X¿

LIE+3x

LIE

Fig. 5.5 Carta de control para desgaste de herramienta o material

Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la amplitud de los límites de especificación es suficiente mayor a 6x para alojar la carta de control.

La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden calcular por los métodos siguientes:

Página 175

Page 176: Resumen Control Estadístico de Proceso

Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y estimando en forma gráfica la pendiente.Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un total de m muestras con el número de muestra i = 1,2,3…..m la pendiente b es (los datos se pueden codificar para facilidad):

b=[12∑ iXi/ (m(m2−1) ) ]−[6∑ X i/(m(m−1 )) ] (5.7)

Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de mínimos cuadrados.

Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son μ1 , , μ2 donde:μ1=LIE+3σ x=LIE+3 R /d2 (5.8) μ2=LSE−3σ x=LSE−3R /d2

El número de puntos que tienen que pasar para llegar de μ1 , , μ2 es:

M* = (μ1 , - μ2 ) / b (5.9)

Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para desgaste es indispensable asegurarse que la carta de rangos está en control estadístico. En caso de que la media en lugar de

crecer, decrezca, las μ1 , , μ2 se invierten:

Los límites de control se encuentran a una distancia vertical A2 R¿

de la línea central.

Página 176

Page 177: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 5.4 El diámetro exterior de una válvula tiene una especificación de 1.1555 0.0005”. Se han tomado 13 muestras de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de corte, en intervalos de media hora. Los resultados son:

Muestra i 1 2 3 4 5 6 7 8

X¿

i 1.15530, 1.15540,1.15544, 1.15546, 1.15550, 1.15556, 1.15568, 1.15570,

Ri 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020

Muestra 9 10 11 12 13

X¿

i 1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590Ri 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020

Los resultados obtenidos son:

R-medio=0.0001769; LSCR=0.000374, = 0.000076053;

b = 0.0000492

μ1 , , μ2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772

m* = 11.056, los límites de control están a A2 R¿

= 0.5768(0.0001769)=0.000102.

Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para reajustar el procesoLSEμ2

Pendiente b

LSC

μ1 , LIC

LIE

Fig. 5.6 Tiempo “t” o número de muestras antes de ajuste

Página 177

Page 178: Resumen Control Estadístico de Proceso

5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS

Es una técnica usada para detectar irregularidades en el proceso, que pueden resultar en la producción de unidades fuera de especificaciones. Pre-control, principalmente se presta para el uso de aparatos de medición hechos previamente sobre los límites de las especificaciones. El uso de éstos aparatos de medición permite seleccionar fácilmente las unidades que proceden de las que no. Pre-control es usado con frecuencia para determinar los valores de las variables del proceso durante el período de arranque de la producción.

También se denomina carta de objetivo, utiliza los límites de especificación para su establecimiento, situados a 3 es fácil de construir y usar, sin embargo, no permite mejorar el proceso. La carta tiene tres áreas:ZONA ROJA Límite superior de especificaciones

ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA VERDE Esta zona comprende 1.5 o 86%ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA ROJA Límite inferior de especificacionesFigura 5.7 Carta de Pre – Control y sus zonas

En la carta de pre – control hay un 1/14 de probabilidad de que una parte caiga en la zona amarilla y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta zona, en este caso se considera que el proceso se salió de control.

Pre-control se basa en la hipótesis de que si el proceso está operando correctamente, la probabilidad de encontrar dos unidades fuera de los límites de control consecutivamente es demasiado pequeña. Por lo tanto si dos unidades son encontradas consecutivamente fuera de los límites de control, es razón suficiente como para indicar una falla en el proceso.

Ventajas: Pre-control es una técnica simple que a diferencia con el control estadístico del proceso (CEP) no requiere de gráficas de control, ni de cómputos.

Desventajas:No existen gráficas de control, por lo tanto, las reglas y procedimientos para reconocer patrones de fallas no pueden ser usados. Dado que se requiere una cantidad muy pequeña de muestras, es riesgoso inferir sobre la totalidad del proceso. Finalmente, Pre-control no proporciona información suficiente para someter el proceso bajo control o para reducir la variabilidad. Asume que el proceso es hábil y que es normal.

Recomendaciones:

Página 178

Page 179: Resumen Control Estadístico de Proceso

Pre-control sólo debe ser usado cuando la capacidad del proceso (Cp)30 es mayor que uno (algunos textos recomiendan como mínimo Cp=2)31, y cuando se han alcanzado cero defectos en el proceso.

Definición de los límites de Pre-control. Existen dos límites de Pre-control (PC): Upper Pre-control limit (UPCL) y Lower Pre-control limit(LPCL). Cada uno representa ¼ de la distancia entre el límite de especificaciones inferior (LSL) y el límite de especificaciones superior (USL). La siguiente figura considera un proceso distribuido de acuerdo a la distribución normal.Figura 5.8 Distribución de áreas de probabilidad para la carta de pre-control

Pasos a seguir para aplicar Pre-control.

A continuación se muestran las reglas de uso de la carta:

Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones, parar, corregir e iniciar de nuevo. Deberán caer en la zona verde.Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si cae nuevamente en la zona amarilla parar y corregir el proceso, de otra forma continuar.Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir frecuencia de chequeo.

30 C p=

(USL−LSL)6 σ , donde USL = Upper Specification Limit y LSL = Lower Specification Limit.

31 Montogomery, Douglas C. “Statistical Quality Control”, John Wiley & Sons, Inc., 1991, pp. 332-334.

Página 179

LSL LPCL UPCL USLm

0 114

12

34

LSL LPCL UPCL USLm

0 114

12

34

Inicie el proceso

Verifique1a. Unidad

Fuera deEspecificaciones

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Verifique2a. Unidad

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Dentro dede límites

De Pre-control

Dentro deEspecificaciones

Fuera de EL OTROlímite de Pre-control

Continuar el proceso.Detener sólo si DOS

Unidades consecutivasEstan fuera de los

Límites dePre-control

Variabilidad delProceso fuera de

Control.

¡!

AInicie el proceso

Verifique1a. Unidad

Fuera deEspecificaciones

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Verifique2a. Unidad

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Dentro dede límites

De Pre-control

Dentro deEspecificaciones

Fuera de EL OTROlímite de Pre-control

Continuar el proceso.Detener sólo si DOS

Unidades consecutivasEstan fuera de los

Límites dePre-control

Variabilidad delProceso fuera de

Control.

¡!

A

Page 180: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 5.9 Pasos a seguir para el Pre-Control

Página 180

Inicie el proceso

Verifique1a. Unidad

Fuera deEspecificaciones

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Verifique2a. Unidad

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Dentro dede límites

De Pre-control

Dentro deEspecificaciones

Fuera de EL OTROlímite de Pre-control

Continuar el proceso.Detener sólo si DOS

Unidades consecutivasEstan fuera de los

Límites dePre-control

Variabilidad delProceso fuera de

Control.

¡!

AInicie el proceso

Verifique1a. Unidad

Fuera deEspecificaciones

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Verifique2a. Unidad

Dentro deEspecificacionesFuera de límitesDe Pre-control

Dentro dede límites

De Pre-control

Dentro deEspecificaciones

Fuera de EL OTROlímite de Pre-control

Continuar el proceso.Detener sólo si DOS

Unidades consecutivasEstan fuera de los

Límites dePre-control

Variabilidad delProceso fuera de

Control.

¡!

A

Page 181: Resumen Control Estadístico de Proceso

Notas:Si cinco unidades están dentro de los límites de Pre-control, cambie a verificación intermitente.Cuando se encuentre en verificación intermitente, no ajuste el proceso hasta que una unidad exceda algún límite de Pre-control. Examine la siguiente unidad, y proceda en A.Si se reinicia el proceso, al menos cinco unidades consecutivas deben caer dentro de los límites de pre-control para cambiar a verificación intermitente.Si el operador toma más de 25 muestras sin reiniciar el proceso, reduzca la frecuencia de las verificaciones.

5.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE

Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por ejemplo diversos husillos que en principio producen piezas similares. El usar una carta de control para cada husillo por separado sería prohibitivo, sin embargo se tiene la alternativa de ésta carta de control siempre que la producción entre husillos no esté correlacionada. Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada salida, hasta completar 20 o 25 subgrupos, por ejemplo si se toman muestras de n = 4 de 6 husillos repetido en 20 subgrupos, se habrán tomado 20 x 6 = 120 medias y rangos de n = 4 observaciones. De éstos se calculan la media

de medias X=

y el R¿

, los límites de control se calculan como en una carta de medias-rangos convencional con n = 4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282:

LICX = X=

- A2R¿

LICR = D3R¿

(5.10)

LSCX = X=

+ A2R¿

LSCR = D4R¿

Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y la menor de las 6 lecturas promedio considerando todas las salidas o en este caso husillos de la máquina, si se encuentran en control, se asume que las demás están en control. Para el rango se grafica sólo el mayor de todos los rangos. Cada punto es identificado por el número de husillo o salida que lo produjo. El proceso se encuentra fuera de control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se pueden aplicar pruebas de rachas a estas cartas.

Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias en una fila, puede ser evidencia de que es diferente a los otros. Si el proceso tiene s salidas y si r es el número de veces consecutivas que se repite como el mayor o el menor, el ARL para este evento es:

ARL0=

sr−1s−1 (5.11)

Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si el proceso está en control, se esperará que una salida repita un valor extremo 4 veces en la carta una vez de cada 259 muestras. Si esto sucede con más frecuencia se debe sospechar que la salida es diferente a las demás. Algunos de los pares adecuados de (s,r) son (3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones dan ARLo adecuados.

Página 181

Page 182: Resumen Control Estadístico de Proceso

5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum

Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del proceso con los últimos datos del subgrupo, e ignoran la información de la secuencia completa de puntos, esto hace que estas cartas de control sean insensibles a pequeños corrimientos de la media del proceso, de 1.5 o menos. Los límites preventivos y criterios múltiples de prueba de corridas o tendencias toman en cuenta otros puntos de la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable.

Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la media, se pueden utilizar como alternativa, las cartas de sumas acumuladas (cusum), y promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA).

Cusum normalPara pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es ineficiente, en esos casos la carta de sumas acumuladas de Page, que funciona con n >=1 es mejor, ya que incorpora toda la información anterior en el valor de la muestra al graficar la suma acumulada de las desviaciones

con referencia a un valor objetivo m0. Si se colectan muestras de tamaño n >= 1 siendo x j el valor promedio de la muestra j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada hasta la muestra i,

C i=∑j=1

i

( x j−μ0 )(5.12)

Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para el control de procesos químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media tiene un corrimiento hacia arriba, la carta mostrará una tendencia ascendente y viceversa.

La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un mecanismo similar ya sea en forma tabular o por medio de una mascara en V, como la mostrada en el ejemplo de las páginas siguientes.

Ejemplo Suponiendo que la Posición de una parte (A) se mueve hacia arriba y hacia abajo una cierta distancia de la posición ideal de referencia (B). AtoBDist es esta distancia. Para asegurar la calidad, se toman 5 mediciones al día durante el primer periodo de tiempo y después 10 al día en un siguiente periodo de tiempo.

AtoBDist-0.44025 4.52023 4.75466 4.90024 3.81341 -1.15453 5.039455.90038 3.95372 1.1424 1.28079 -3.78952 2.29868 1.965832.08965 7.99326 0.9379 2.87917 -3.81635 5.15847 -0.210260.09998 4.98677 -7.30286 1.83867 -4.8882 0.08558 0.275172.01594 -2.03427 -5.22516 -0.75614 -3.24534 -3.09574 -5.327974.83012 3.89134 -4.06527 3.72977 -0.27272 5.167443.78732 1.99825 -1.91314 3.77141 -4.33095 0.29748

Página 182

Page 183: Resumen Control Estadístico de Proceso

4.99821 0.01028 2.0459 -4.04994 -1.83547 -4.668586.91169 -0.24542 4.93029 3.89824 -3.98876 -2.137871.93847 2.08175 0.03095 1.76868 -4.97431 -0.0045-3.09907 -4.86937 -2.80363 2.2731 -5.1405 0.18096-3.18827 -2.69206 -3.12681 -3.82297 -0.10379 4.302475.28978 -3.02947 -4.57793 -2.26821 2.21033 -2.217080.56182 2.99932 -3.17924 -2.07973 5.13041 7.17603-3.1896 3.50123 -2.44537 0.01739 -1.89455 5.865257.93177 -1.99506 1.36225 3.71309 0.95119 0.956993.72692 -1.62939 0.92825 1.72573 -5.15414 -4.034413.83152 2.14395 -0.24151 3.07264 4.82794 -2.05086-2.17454 -1.90688 -0.83762 0.15676 0.13001 -3.103192.81598 8.02322 -1.99674 -0.05666 -0.09911 -1.83001

Al llevar una carta X – R en el subgrupo no se encontró una causa asignable, ahora se desea tratar de detectar corridas pequeñas en la media.

Corrida en Minitab1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW.2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 3. OK.

252015105Subgroup 0

5

0

-5

Sam

ple

Mea

n

Mean=0.4417

UCL=4.802

LCL=-3.918

15

10

5

0

Sam

ple

Ran

ge

R=7.559

UCL=15.98

LCL=0

Xbar/R Chart for AtoBDist

Figura 5.10 Carta de control X media – R Se puede observar que no detecta ninguna situación anormal

Página 183

Page 184: Resumen Control Estadístico de Proceso

10

5

0

-5

5.67809

-5.67809

2520151050

Subgroup Number

Cum

ulat

ive

Sum

Upper CUSUM

Low er CUSUM

CUSUM Chart for AtoBDist

Figura 5.11 Carta de control Cusum

Se puede observar que detecta una situación anormal debido a un corrimiento lento de la media del proceso.

Otro ejemplo de Carta Cusum:Considerar los datos siguientes con m= 10 a 11 y una = 1:

Muestra Xi Xi - 10Ci = (Xi-10) + Ci-1

Media = 10 1 9.45 -0.55 -0.55Sigma = 1 2 7.99 -2.01 -2.56

3 9.29 -0.71 -3.274 11.66 1.66 -1.615 12.16 2.16 0.556 10.18 0.18 0.737 8.04 -1.96 -1.238 11.46 1.46 0.239 9.2 -0.8 -0.5710 10.34 0.34 -0.2311 9.03 -0.97 -1.212 11.47 1.47 0.2713 10.51 0.51 0.7814 9.4 -0.6 0.1815 10.08 0.08 0.2616 9.37 -0.63 -0.3717 10.62 0.62 0.2518 10.31 0.31 0.5619 8.52 -1.48 -0.9220 10.84 0.84 -0.08

Media = 11 21 10.9 0.9 0.82

Página 184

Page 185: Resumen Control Estadístico de Proceso

Sigma = 1 22 9.33 -0.67 0.1523 12.29 2.29 2.4424 11.5 1.5 3.9425 10.6 0.6 4.5426 11.08 1.08 5.6227 10.38 0.38 628 11.62 1.62 7.6229 11.31 1.31 8.9330 10.52 0.52 9.45

Observation

Indi

vidu

al V

alue

30272421181512963

12

10

8

_X=10

UCL=13

LCL=7

Observation

Mov

ing

Rang

e

30272421181512963

4

3

2

1

0

__MR=1.128

UCL=3.686

LCL=0

I-MR Chart of Xi_1

Figura 5.12 Carta I-MR casi en control estadístico

28252219161310741

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Sample

Cum

ulat

ive

Sum

0

UCL=4

LCL=-4

CUSUM Chart of Xi

Figura 5.13 Carta Cusum muestra un corrimiento lento de la media del procesoCon parámetros Media objetivo (Target) =10, S = 1

Cusum en forma tabular

La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de m0 sobre el objetivo con un estadístico C+ o debajo de este con un estadistico C-, también llamados Cusums de lado superior o inferior respectivamente. Se calculan como sigue:

Página 185

Page 186: Resumen Control Estadístico de Proceso

C i+=max [0 , xi−(μ0+K )+Ci−1

+ ] (5.13)C i−=max [0 ,(μ0−K )−xi+Ci−1

− ] (5.14)

donde los valores iniciales para C+ y C- son cero.

En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se selecciona como un valor intermedio entre la m0 objetivo y la m1 fuera de control en la que estamos interesados en detectar.

Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar m1 = m0 + , entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento:

K = / 2 = Valor absoluto de (m1 - m0) / 2 (5.15)

Cuando cualquier estadístico C+ y C- excede el intervalo de decisión H, se considera al proceso fuera de control. Un valor razonable para H es cinco veces el valor de .

Ejemplo: si m0 = 10, n=1, = 1, y asumiendo que se quiere detectar un corrimiento de 1 = 1, para lo cual se utiliza H = 5 sigmas, se tiene:m1 = 10 + 1 = 11K = ½ = 1/2H = 5 = 5

C i+=max [0 , x i−10 .5+Ci−1

+ ]C i−=max [0,9. 5−xi+C i−1

− ]

Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene:C1+=max [0,9. 45−10 .5+0 ]=0

C1−=max [0,9 .5−9 . 45+0 ]=0 . 05

Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene:C1+=max [0,7 . 99−10 .5+0 ]=0

C1−=max [0,9 .5−7 .99+0 .05 ]=1 .56

Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se obtiene la tabla de siguiente:a b

Muestra Xi xi - 10.5 Ci+ N+ 9.5 - xi Ci- N1 9.45 -1.05 0.00 0 0.05 0.05 12 7.99 -2.51 0.00 0 1.51 1.56 23 9.29 -1.21 0.00 0 0.21 1.77 34 11.66 1.16 1.16 1 -2.16 0.00 05 12.16 1.66 2.82 2 -2.66 0.00 06 10.18 -0.32 2.50 3 -0.68 0.00 07 8.04 -2.46 0.04 4 1.46 1.46 18 11.46 0.96 1.00 5 -1.96 0.00 0

Página 186

Page 187: Resumen Control Estadístico de Proceso

9 9.20 -1.30 0.00 0 0.30 0.30 110 10.34 -0.16 0.00 0 -0.84 0.00 011 9.03 -1.47 0.00 0 0.47 0.47 112 11.47 0.97 0.97 1 -1.97 0.00 013 10.51 0.01 0.98 2 -1.01 0.00 014 9.40 -1.10 0.00 0 0.10 0.10 115 10.08 -0.42 0.00 0 -0.58 0.00 016 9.37 -1.13 0.00 0 0.13 0.13 117 10.62 0.12 0.12 1 -1.12 0.00 018 10.31 -0.19 0.00 0 -0.81 0.00 019 8.52 -1.98 0.00 0 0.98 0.98 120 10.84 0.34 0.34 1 -1.34 0.00 021 10.90 0.40 0.74 2 -1.40 0.00 022 9.33 -1.17 0.00 0 0.17 0.17 123 12.29 1.79 1.79 1 -2.79 0.00 024 11.50 1.00 2.79 2 -2.00 0.00 025 10.60 0.10 2.89 3 -1.10 0.00 026 11.08 0.58 3.47 4 -1.58 0.00 027 10.38 -0.12 3.35 5 -0.88 0.00 028 11.62 1.12 4.47 6 -2.12 0.00 029 11.31 0.81 5.28 7 -1.81 0.00 030 10.52 0.02 5.30 8 -1.02 0.00 0

Corrida en Minitab1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW.2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10. 3. Cusum Options: Standar deviation 1 Plan Type h 5 k 0.5 OK.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Ci+

Ci-

Figura 5.14 Carta Cusum en Excel para el ejemplo

Página 187

Page 188: Resumen Control Estadístico de Proceso

Sample

Cum

ulat

ive

Sum

30272421181512963

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

0

UCL=5

LCL=-5

CUSUM Chart of Xi_1

Figura 5.15 Carta Cusum en Minitab para el ejemplo

De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C29+ fue de 5.28, lo que sugiere

una situación fuera de control, usando el contador N+ cuyo valor es 7, indica que el último punto en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23.

También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta, denominada Carta de Estatus de Cusum, graficando Ci

+ y Ci- contra el número de muestra. Esto da una idea gráfica al operador

del desempeño del proceso.

En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso, identificar la causa asignable o especial, tomar acción correctiva e iniciar de nuevo la Cusum Tabular.

Cuando el proceso se corre, la nueva media m puede estimarse de:

μ=μ0+K+Ci+

N+ , si C i+>H (5.16)

μ=μ0−K−Ci−

N− , si C i−>H (5.17)

En el ejemplo, en el periodo 29 con C29+

= 5.28, la nueva media del proceso es,

μ=10+0 .5+ 5 .287=11.25

Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste.

Página 188

Page 189: Resumen Control Estadístico de Proceso

Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas anteriores se debe remplazar

a xi por x i y por la x =

σ√n , aunque se recomienda usar un tamaño de muestra 1 con

frecuencia de muestreo mayor que para el equivalente de Shewart.

La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado con C+ o C-.

EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V

Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la mascarilla en V propuesta por Barnard (1959), esta mascarilla es aplicada a valores sucesivos del estadístico,

C i=∑j=1

i

y j= y i+C i−1(5.18)

donde yi = (xi - m0) / observación estandarizada. Una mascarilla en V se muestra a continuación:

Ci

O d P

2A 1A

1 2 3 4 5 ............................................. i

Figura 5.16 Carta de control Cusum con mascarilla en V

El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta Cusum, con el punto O sobre el último valor de Ci y la línea OP paralela al eje horizontal. Si todos los puntos anteriores C1, C2,....,Cj se encuentran dentro de los dos brazos de la mascarilla, el proceso está en control, sin embargo si cualquier punto de las sumas acumuladas se encuentra fuera de los brazos de la mascarilla, se considera al proceso fuera de control.

En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan pronto como es graficado, los brazos de la mascarilla se asumen extendidos hasta el origen.

La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia al vértice d y el ángulo . La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si,

k = A tan () (5.19)y

h = A d tan () = d.k (5.20)

Página 189

Page 190: Resumen Control Estadístico de Proceso

Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos sucesivos en términos de unidades de distancia de la escala vertical.

Ejemplo 5.6 Para la forma tabular con k = ½ y h = 5, seleccionando A =1 se tiene

k = A tan () => ½ = (1) tan ()o = 26.57

de h = d.k => 5 = d (1/2) o d =10

Estos son los parámetros de la mascarilla en V.

Sample

Cum

ulat

ive

Sum

24222018161412108642

25

20

15

10

5

0 Target=0

Vmask Chart of AtoBDist

Figura 5.17 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para AtoBDist

Corrida en Minitab con los datos de la Cusum Tabular:

Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10. Cusum Options: Standar deviation 1 Plan Type Seleccionar Two sided (V Mask) h 4 k 0.5 OK.

Página 190

Page 191: Resumen Control Estadístico de Proceso

28252219161310741

30

20

10

0

-10

Sample

Cum

ulat

ive

Sum

Target=0

Vmask Chart of Xi

Figura 5.18 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para Xi

Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla en V, con las fórmulas siguientes:

θ=tan−1( δ2 A ) (5.21)

y

d=( 2δ 2) ln( 1−β

α )(5.22)

Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el proceso está en control y es la probabilidad de no detectar un corrimiento de magnitud .

d

ln (α )δ cuando es muy pequeño.

Ejemplo 5.7 si = 0.05 y = 0.05 y = 1, se obtiene la mascara en V siguiente:

d=( 212 ) ln( 1−0 .05

0 .05 ) = 5.888

θ=tan−1( 12 )=26 . 56

No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas desventajas como son:

Página 191

Page 192: Resumen Control Estadístico de Proceso

Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado.Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla en V, dificultando la interpretación del proceso.Existe ambigüedad asociada con alfa y beta.

Página 192

Page 193: Resumen Control Estadístico de Proceso

5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA)

El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas, con n=1.

Su estadístico se define como sigue:

zi= λxi+(1−λ ) zi−1 (5.23)

donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo del proceso, de tal forma que:

z0=μ0 a veces igual a x

Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con varianza 2 , entonces la varianza de zi es:

σ zi2=σ ( λ

2−λ ) [1−(1−λ )2 i ](5.24)

Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o tiempo i, son:

LSC=μ0+ Lσ√( λ2−λ ) [1−(1−λ )2i ]

(5.25)LC=μ0 (5.26)

LIC=μ0−Lσ √( λ2− λ ) [1−(1−λ )2i ]

(5.27)

Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se incrementa, esto significa que cuando la carta EWMA ha corrido durante varios periodos de tiempo, los límites de control se estabilizan en:

LSC=μ0+ Lσ√ λ2−λ (5.28)

LC=μ0 (5.29)

LSC=μ0+ Lσ√ λ2−λ (5.30)

Ejemplo Utilizando los datos de la carta Cusum con = 0.10, L = 2.7, m0 = 0 y = 3.5, se tiene la carta EWMA mostrada en la página siguiente.

Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73 con la fórmulas anteriores.

Página 193

Page 194: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC = 9.64, conforme se incrementa i los límites se estabilizan en LSC = 10.62 LIC = 9.38.

La carta EWMA tiene un ARL0 500 y una ARL1 14.3 equivalente a la Cusum con h=5 y k=1/2.Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido como la hace la carta de Shewart, este mismo comportamiento lo tienen tiene la carta Cususm.

Corrida en Minitab:1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW.2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 4. Weight of EWMA 0.1 5. EWMA Options > Parameters Mean 0.0 Standar Deviation 3.5S Limits These multiples of the estándar deviation 2.76. OK.

252321191715131197531

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Sample

EWM

A __X=0

+2.7SL=0.967

-2.7SL=-0.967

EWMA Chart of AtoBDist

Figura 5.19 Ejemplo de carta de control EWMA

Otro ejemplo de carta EWMA:Con los datos del ejemplo anterior, considerando una Lamda de 0.1, L = 2.7, m0=10, y la desviación estándar = 1, a continuación se muestran los cálculos de la carta EWMA:

Muestra Xi EWMA, Zi1 9.45 9.9452 7.99 9.74953 9.29 9.70364 11.66 9.89925 12.16 10.12536 10.18 10.13077 8.04 9.9217

Página 194

Page 195: Resumen Control Estadístico de Proceso

8 11.46 10.07559 9.20 9.988010 10.34 10.023211 9.03 9.923812 11.47 10.078513 10.51 10.121614 9.40 10.049515 10.08 10.052516 9.37 9.984317 10.62 10.047818 10.31 10.074019 8.52 9.918620 10.84 10.010821 10.90 10.099722 9.33 10.022723 12.29 10.249524 11.50 10.374525 10.60 10.397126 11.08 10.465427 10.38 10.456828 11.62 10.573129 11.31 10.646830 10.52 10.6341

Los límites de control son los siguientes:

Muestra Xi EWMA, Zi LSC LIC1 9.45 9.945 10.2700 9.73002 7.99 9.7495 10.3632 9.63683 9.29 9.7036 10.4240 9.57604 11.66 9.8992 10.4675 9.53255 12.16 10.1253 10.4999 9.50016 10.18 10.1307 10.5247 9.47537 8.04 9.9217 10.5440 9.45608 11.46 10.0755 10.5591 9.44099 9.20 9.9880 10.5710 9.429010 10.34 10.0232 10.5805 9.419511 9.03 9.9238 10.5881 9.411912 11.47 10.0785 10.5942 9.405813 10.51 10.1216 10.5991 9.400914 9.40 10.0495 10.6030 9.397015 10.08 10.0525 10.6062 9.393816 9.37 9.9843 10.6087 9.391317 10.62 10.0478 10.6107 9.389318 10.31 10.0740 10.6124 9.387619 8.52 9.9186 10.6137 9.3863

Página 195

Page 196: Resumen Control Estadístico de Proceso

20 10.84 10.0108 10.6148 9.385221 10.90 10.0997 10.6157 9.384322 9.33 10.0227 10.6164 9.383623 12.29 10.2495 10.6170 9.383024 11.50 10.3745 10.6174 9.382625 10.60 10.3971 10.6178 9.382226 11.08 10.4654 10.6181 9.381927 10.38 10.4568 10.6184 9.381628 11.62 10.5731 10.6186 9.381429 11.31 10.6468 10.6187 9.381330 10.52 10.6341 10.6189 9.3811

8.68.8

99.29.49.69.810

10.210.410.610.8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

EWMA, ZiLSCLIC

Figura 5.20 Carta EWMA graficada en ExcelLa carta con Minitab es:1. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA2. In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1. 3. Weight of EWMA 0.1 4. EWMA Options > Parameters Mean 10.0 Standar Deviation 1S Limits These multiples of the estándar deviation 2.76. OK.

Página 196

Page 197: Resumen Control Estadístico de Proceso

Sample

EWM

A

30272421181512963

10.75

10.50

10.25

10.00

9.75

9.50

__X=10

+2.7SL=10.619

-2.7SL=9.381

EWMA Chart of Xi_1

Figura 5.21 Carta EWMA graficada en Excel5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL

Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA para detectar pequeñas corridas de la media. Asumiendo que se define un rango de observaciones w en el tiempo i, su media móvil es:

M i=x i+x i−1+. .. . .+x i−w+1

w (5.31)Los límites de control son:

LSC=μ0+3σ√w (5.32)

LC=μ0 (5.33)

LIC=μ0−3σ√w (5.34)

Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el estadístico M i para periodos i 5.

M i=x i+x i−1+. .. . xi−4

5 (5.35)Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1, 2, 3, ...i.Ejemplo 5.9 Los límites de control son con m0 =10 y =1, se tiene:

LSC = 10 + 3 (1.0) / 51/2 = 11.34LSC = 10 - 3 (1.0) / 51/2 = 8.66

Ejemplo La carta de media móvil para los datos del ejemplo anterior con un tamaño de corrida de 5 es la siguiente:

Corrida en Minitab:1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW.

Página 197

Page 198: Resumen Control Estadístico de Proceso

2. Stat > Control Charts > Time Weighted charts > Moving Average3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5. 4. Lenght of MA 55. OK.

2520151050

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

Sample Number

Mov

ing

Ave

rage

Moving Average Chart for AtoBDist

Mean=0.4417

UCL=2.346

LCL=-1.463

Figura 5.22 Ejemplo de carta de control de Media móvil

Otro ejemplo de carta de media móvil:Se quiere monitorear el peso en libras de 45 lotes de arena embarcados semanalmente a un cliente. Cada lote pesa aproximadamente 930 libras. Comparar el monitoreo con una carta I-MR y una carta de promedio móvil.

Los datos son los siguientes:Weight905 875930 985865 970895 940905 975885 1000890 1035930 1020915 985910 960920 945915 965925 940860 900905 920

Página 198

Page 199: Resumen Control Estadístico de Proceso

925 980925 950905 955915 970930 970890 1035940 1040860

Instrucciones de Minitab1. Open worksheet EXH_QC.MTW.2. Seleccionar Stat > Control Charts > Time-weighted charts > Moving Average.3. Seleccionar All observations for a chart are in one column, poner Weight.4. En Subgroup sizes, poner 1. Click OK.La carta de promedio móvil es:

Sample

Mov

ing

Aver

age

44403632282420161284

1025

1000

975

950

925

900

875

850

__X=936.9

UCL=979.6

LCL=894.1

Moving Average Chart of Weight

Figura 5.23 Carta de media móvil del ejemploLa carta I-MR es la siguiente:

Página 199

Page 200: Resumen Control Estadístico de Proceso

Observation

Indi

vidu

al V

alue

44403632282420161284

1050

1000

950

900

850

_X=936.9

UCL=1010.9

LCL=862.8

Observation

Mov

ing

Rang

e

44403632282420161284

100

75

50

25

0

__MR=27.8

UCL=91.0

LCL=0

111

1

11

1

I-MR Chart of Weight

Figura 5.25 Carta I-MR del ejemploSe observa una mejor detección de corrida de la media en la carta EWMA

Ejemplo de media móvil:

Usando los datos siguientes con M = 5, con desviación estándar = 1 y media = 10:

Muestra Xi Mi LSC LIC1 9.45 9.450 13.0000 7.00002 7.99 8.720 12.1213 7.87873 9.29 8.910 11.7321 8.26794 11.66 9.598 11.5000 8.50005 12.16 10.110 11.3416 8.65846 10.18 10.256 11.3416 8.65847 8.04 10.266 11.3416 8.65848 11.46 10.700 11.3416 8.65849 9.20 10.208 11.3416 8.658410 10.34 9.844 11.3416 8.658411 9.03 9.614 11.3416 8.658412 11.47 10.300 11.3416 8.658413 10.51 10.110 11.3416 8.658414 9.40 10.150 11.3416 8.658415 10.08 10.098 11.3416 8.658416 9.37 10.166 11.3416 8.658417 10.62 9.996 11.3416 8.658418 10.31 9.956 11.3416 8.658419 8.52 9.780 11.3416 8.658420 10.84 9.932 11.3416 8.658421 10.90 10.238 11.3416 8.658422 9.33 9.980 11.3416 8.6584

Página 200

Page 201: Resumen Control Estadístico de Proceso

23 12.29 10.376 11.3416 8.658424 11.50 10.972 11.3416 8.658425 10.60 10.924 11.3416 8.658426 11.08 10.960 11.3416 8.658427 10.38 11.170 11.3416 8.658428 11.62 11.036 11.3416 8.658429 11.31 10.998 11.3416 8.658430 10.52 10.982 11.3416 8.6584

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

XiMi

LSCLIC

Figura 5.26 Carta de media móvil en Excel

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Page 202: Resumen Control Estadístico de Proceso

6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO

6.1 INTRODUCCIÓN

Las técnicas estadísticas ayudan durante el ciclo del producto a reducir la variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos.

Nigel´s Trucking Co.

Teoría del camión y el túnelEl túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayorque la especificación.

Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra formachocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´

Definiciones básicas.Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción.Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los límites de especificaciones de calidad.Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso.Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación.

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Page 203: Resumen Control Estadístico de Proceso

Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas comunes de variación en las características de calidad.Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

La aplicación del análisis de capacidad de los procesos tiene los objetivos siguientes:

Predecir que tanto cumplirá las tolerancias especificadas el proceso.Apoyar a los diseñadores en la selección o modificación de un proceso.Soportar la determinación de intervalos de muestreo para monitoreo del proceso.Determinar el desempeño de un equipo nuevo.Planear la secuencia de procesos productivos cuando hay un efecto interactivo de procesos o tolerancias.Seleccionar de entre diversos proveedores.Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura.

La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta variabilidad:La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea).La variabilidad en el tiempo.

Es usual tomar 6-sigma de la población como la dispersión en la distribución de la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso.

Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran en m 3 , o sea:

LTNS = m + 3 (6.1)LTNI = m - 3

Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos limites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente:

.00135 LTNI m LTNS .00135Fig. 6.1 Localización de los límites de tolerancia natural

Existen diversas técnicas para evaluar la capacidad del proceso, entre las que se encuentran: Histogramas o papel de probabilidad, cartas de control y experimentos diseñados.

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Page 204: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 6.2 Fracción defectiva fuera de especificaciones

p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de especificaciones. En el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.

Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.

También podríamos cambiar la media.

Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.

Figura 6.3 Algunas alternativas para mejorar la capacidad

Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso

Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes supuestos32:

El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la media y/o la desviación estándar del proceso no son estables y, en consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la capacidad potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un estudio de capacidad.Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar el error de muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen de menos de 100 valores, entonces deben calcularse los límites de confianza inferiores.Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para asegurar que las condiciones del proceso presentes durante el estudio sean representativos de las condiciones actuales y futuras.El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad normal, de otra manera, los porcentajes de los productos asociados con los índices de capacidad son incorrectos.

32 J.M. Juran, Análisis y planeación de la Calidad, Tercera Edición Mc. Graw Hill, Pp.404

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Page 205: Resumen Control Estadístico de Proceso

También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la variación en el sistema de medición no sea mayor al 10%.

Variación a corto plazo y a largo plazoExisten dos maneras de expresar la variabilidad:

Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras causas especiales.

Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a determinar subgrupos racionales importantes.

Figura 6.4 Variabilidad a corto plazo

Variación a Largo Plazo(Zlt) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que sea probable que contenga algunos cambios de proceso y otras causas especiales. Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

Figura 6.5 Variabilidad a largo plazo

Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas:

Zst=(límite especif .−nom . )

desv . stdST (6.1)

ZLT=límite especif .−media

desv . stdLT

dónde:

Zst = variación a corto plazo.nom = Valor nominal u objetivoZlt = variación a largo plazo.

Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5 desviaciones estándar.

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Page 206: Resumen Control Estadístico de Proceso

Zlt = Zst-1.5shift

6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD

Índice de capacidad potencial Cp

El índice de capacidad potencial Cp = PCR compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso.

Cp=PCR= LSE−LIE6σ (6.2)

Ejemplo 6.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE = 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la

carta R se estimó σ= R

d2=0 . 0099

por tanto se tiene:Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6

= (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099) = 1.68

La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de especificaciones usada por el proceso.

P=( 1Cp )100

(6.3)

Para el caso del ejemplo se tiene:

P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%

Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se define como:

Cps=PCR S=LSE−μ

3σ para el límite superior (6.4)

Cpi=PCRI=μ−LIE

3σ para el límite inferior

Ejemplo 6.2 Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el LIE = 200psi,

Cp=PCRI=264−200

3(32)=64

96=0.67

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Page 207: Resumen Control Estadístico de Proceso

Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite inferior es:

Z I=LIE−μ

σ=200−264

32=−2

P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de especificaciones

Algunos de los índices de capacidad potencial Cp y las piezas defectivas en partes por millón (ppm) que están fuera de especificaciones se muestran a continuación:

Cp 1-lado 2-lados0.25 226,628 453,2550.5 66,807 133,6140.6 35,931 71,8610.7 17,865 35,7290.8 8,198 16,3951 1,350 2,7001.1 484 9671.2 159 3181.3 48 961.4 14 271.5 4 71.6 1 21.7 0.17 0.342 0.0009 0.0018

Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6-sigma.

Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional.

Índice de capacidad real Cpk

Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso se denomina Cpk o PCRk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue,

Cpk=PCRk=min(PCRS , PCRI ) debe ser mayor a 1(6.5)

donde,

Cps=PCR S=LSE−μ

3σ para el límite superior (6.6)

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Page 208: Resumen Control Estadístico de Proceso

Cpi=PCRI=μ−LIE

3σ para el límite inferior

Ejemplo 6.3 Para un proceso donde los límites de especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea m=53 y su desviación estándar =2, se tiene:

Cps=PCR S=62−5332

=1. 5para el límite superior

Cpi=PCR I=53−3832

=2 .5para el límite inferior

Por tanto, el índice de capacidad real es:Cpk=PCRk=min(PCRS , PCRI )=min(1. 5,2. 5 )=1.5

Note que el PCR a considerar corresponde al límite de especificación más cercano a la media del proceso. Siempre se cumple que,

Cpk <= Cp

Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centradoNORMALIDAD Y CAPACIDAD DEL PROCESO

Las consideraciones anteriores se basan en la suposición que el proceso tiene un comportamiento normal, si no es así, puede ser necesario transformar los datos con alguna función matemática para dar la apariencia de normalidad, por ejemplo la distribución siguiente de acabado superficial en una parte maquinada no es normal:

Frec.a)

Microdureza

Se puede transformar cada valor x con su inverso o sea con y=1/x de esta forma la distribución transformada es la siguiente (ver método de Box Cox con Lamda óptima en Minitab):

Frec.

b)

Y = 1 / x

Figura 6.6 Transformación de datos para normalizarlos

Lo cual representa una distribución normal.

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Page 209: Resumen Control Estadístico de Proceso

Página 209

Page 210: Resumen Control Estadístico de Proceso

Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm

Dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:

LIE m LSE LIE m LSE PROCESO A: Cpk = 1 PROCESO B: Cpk =1

Figura 6.7 Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente

ÍNDICE DE CAPACIDAD CpmUn nuevo índice Cpm que toma en cuenta el centrado es el siguiente:

Si T=1

2(LSE+LIE )

(6.7)

τ=√σ2+( μ−T )2 (6.8)

ξ=T−μ

σ (6.9)Se tiene,

Cpm=PCRkm=LSE−LIE

6 τ= LSE−LIE

6√σ 2+( μ−T )2= LSE−LIE

√1+ξ2(6.10)

Una condición necesaria para que Cpm sea mayor de uno es:

μ−T < 16(LSE−LIE )

Ejemplo 6.4 Para los procesos A y B ilustrados anteriormente se tiene:

Límites de especificación: LIE = 38, LSE = 62, T = 50Proceso A: Media = 50, desv. estándar = 5Proceso B: Media = 57.7, desv. estándar = 2.5

Entonces Cpm (A) =

1√1+0

=1. 0

Cpm (B) =

2

√1+(−3 )2=0. 63

Por tanto es mejor el proceso A, centrado en la media.

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Page 211: Resumen Control Estadístico de Proceso

ÍNDICE DE CAPACIDAD CpkmEn base a lo anterior se ha propuesto otro índice de capacidad por Pearn (1992), que toma en cuenta el descentrado de la media del proceso respecto de la media de especificaciones, o sea:

Cppmk=PCR pmk=Cpk√1+ξ2

(6.11)Cuando T es igual a X media del proceso, Cpkm = Cpk

Ejemplo:De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:m = X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23 [ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

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Page 212: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejercicio:De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

d) Determinar el Cp

e) Determinar el Cpk

f) Determinar el Cpm

g) Determinar el Cpkm

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL

Histograma

Para el estudio se requieren alrededor de 100 o más observaciones para permitir que el proceso se estabilice, deben seguirse los pasos previos siguientes:

Procedimiento:1. Seleccionar un proceso específico para realizar el estudio2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso3. Seleccionar un operador entrenado4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)5. Cuidadosamente recolectar la información6. Construir un histograma de frecuencia con los datos7. Calcular la media y desviación estándar del proceso8. Calcular la capacidad del proceso

El histograma junto con la media y la desviación estándar de la muestra S, proporciona información acerca de la capacidad del proceso.

Ejemplo 6.4 Se tiene la resistencia de botellas de vidrio de 1-litro en psi. Los datos se muestran se muestran a continuación. HIST265 346 265 221 261

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Page 213: Resumen Control Estadístico de Proceso

205 317 254 176 248263 242 281 248 260307 258 294 263 274220 276 223 231 337268 300 260 334 250260 208 308 280 278234 187 235 265 254299 264 283 272 274215 271 277 283 275197 280 200 265 278286 242 235 262 250274 260 246 271 265243 321 328 245 270231 228 296 301 298267 250 276 280 257281 299 264 274 210265 258 269 253 280214 267 235 287 269318 293 290 258 251

330300270240210180

Median

Mean

270268266264262260258

1st Quartile 248.00Median 265.003rd Quartile 280.00Maximum 346.00

257.71 270.41

260.00 271.00

28.11 37.19

A-Squared 0.75P-Value 0.049Mean 264.06StDev 32.02Variance 1025.15Skewness -0.129448Kurtosis 0.518454N 100Minimum 176.00

Anderson-Darling Normality Test

95% Confidence Interval for Mean

95% Confidence Interval for Median

95% Confidence Interval for StDev95% Confidence I ntervals

Summary for HIST

Figura 6.8 Resumen gráfico de los datos

X=264 .06 S = 32.02

Página 213

Page 214: Resumen Control Estadístico de Proceso

Consecuentemente la capacidad el proceso se estima en X±3S 264 96 psi.

Esta primera estimación de la capacidad es independiente de las especificaciones.

Papel de probabilidad normal

Es una herramienta que permite evaluar la capacidad aproximada del proceso con resultados parecidos a los del histograma pero con un número menor de muestras y sin las operaciones del histograma, a continuación se muestra un ejemplo de esta herramienta.

Ventajas

1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el histograma, 10 son suficientes 2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de clase como en el histograma. 3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de ajuste 4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

Procedimiento

1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente, asignándoles una posición ( j ) entre 1 y n. 2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente:

Pj = (j - 0.5) / n 3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj)4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos 5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se procede a hacer las identificaciones:

La media corresponde al percentil 50 y la desviación estándar es estimada por la diferencia del percentil 84 menos el percentil 50,

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5La desviación estándar es la diferencia en Xj corresp. a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

Ejemplo 6.5 .-Se tomaron los datos siguientes (Xj) ordenamos los datos y, calculamos la probabilidad de su posición (Pj)

Página 214

Page 215: Resumen Control Estadístico de Proceso

Con ayuda del gráfico podemos obtener la media, la desviación estándar y el porcentaje de valores que se encuentran fuera de especificaciones.

Figura 6.9 Capacidad del proceso con papel normal

El trazo normal es el siguiente:

El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales. El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.

Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi, puede predecirse usando una línea sólida como modelo. Por ejemplo, sólo más del 20% de los datos del proceso serían valores de 225 o inferiores.

Ejemplo 6.6 Cálculo de capacidad con papel normal en MinitabDatos271 197275 200

Página 215

0.5

X Media

0.84

Desv. Estándar

Xj

Pj

LIE

FracciónDefectiva

Page 216: Resumen Control Estadístico de Proceso

277 215278 221280 231283 242290 245301 258318 265346 265

350300250200150

99

9590

80706050403020

105

1

Datos

Perc

ent

Mean 262.9StDev 38.13N 20AD 0.262P-Value 0.667

Probability Plot of DatosNormal

De este diagrama se obtiene:μ=262. 9σ=298−262. 9=35. 1 psi

Note que los valores no difieren mucho de los del histograma con media 264.06 y desviación estándar S = 32.02.

Página 216

Page 217: Resumen Control Estadístico de Proceso

Con esta gráfica se pueden estimar también los porcentajes de partes fuera de las especificaciones, por ejemplo si se traza el Límite Inferior de Especificación LIE en 200 psi, se observa que se tiene un 5% aproximadamente fuera de especificaciones.

Nota: Es muy importante que el proceso sea normal, de lo contrario se obtendrán resultados inexactos. Cuando los procesos son ligeramente anormales se pueden utilizar los métodos de Pearson, transformar los datos por Box Cox o usar Weibull.

Capacidad del proceso con cartas de control La carta de control es un mejor instrumento para evaluar la capacidad del proceso porque se puede observar que el proceso esté en control ya sea en forma instantánea o durante el tiempo antes de evaluar la capacidad.

Se puede observar que cuando el proceso está en control, no existen causas asignables que puedan ser corregidas, y la única alternativa para reducir la variabilidad es con la intervención de la administración.

En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente inesperadas tenemos un proceso inestable ó impredecible.

Página 217

Page 218: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 6.10 Comportamiento de un proceso fuera de control

Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso “estable”. La distribución será “predecible” en el tiempo.

Fig. 6.11 Comportamiento de un proceso dentro de control

Cálculo de la desviación estándar del proceso

σ= Rd2 ó

σ= SC4 (Para cartas de control X-R y X-S respectivamente)

Donde,El factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk.

S = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R

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?? ?

? ?? ?

Predicción

Tiempo

Page 219: Resumen Control Estadístico de Proceso

C4 = Ídem al anterior para una carta X - S

En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma rangos / (n -1)

Ejemplo 6.7 (carta X - R)

De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el

proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:¯̄x = 64.06 , R̄ = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

μ=¯̄x (media de medias )

σ= R̄d2=77 .3

2.326=33 .23

Si el límite de especificación es: LIE = 200.

El C pk=

(200−264 .06 )3×33 . 23 = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones.

Ejemplo 6.8 (carta X - S) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el

proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: ¯̄x=100 , s̄=1 .05

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

μ=¯̄x=100

σ= s̄

C4 =

1. 05.094

=1 .117

C4 para n = 5 tiene el valor 0.94

Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.

ElC pk=

(105−100 )3×1 .117

=1 .492

Página 219

Page 220: Resumen Control Estadístico de Proceso

El C p=

(105−85 )6×1. 117

=2 . 984

Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.

Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con

1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan como sigue:

3. Stat > Basic statistics > Normalita Test 4. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente

Datos

Perc

ent

350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

>0.100

269.3StDev 30.72N 100RJ 0.994P-Value

Probability Plot of DatosNormal

Fig. 6.12 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05

Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

5. Graph > Probability plot > Normal 6. Graph Variable C1 7. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución.

Página 220

Page 221: Resumen Control Estadístico de Proceso

Datos

Perc

ent

400350300250200150

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.533

269.3StDev 30.72N 100AD 0.317P-Value

Probability Plot of DatosNormal - 95% CI

Fig. 6.13 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05

Determinación de la capacidad del proceso

Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:

Stat > Quality tools > Capability análisis > NormalSingle column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:

360330300270240210

LSL USLProcess Data

Sample N 100StDev(Within) 30.83472StDev(Overall) 30.80011

LSL 200.00000Target *USL 330.00000Sample Mean 269.25354

Potential (Within) Capability

CCpk 0.70Overall Capability

Pp 0.70PPL 0.75PPU 0.66Ppk

Cp

0.66Cpm *

0.70CPL 0.75CPU 0.66Cpk 0.66

Observed PerformancePPM < LSL 10000.00PPM > USL 30000.00PPM Total 40000.00

Exp. Within PerformancePPM < LSL 12353.30PPM > USL 24415.36PPM Total 36768.66

Exp. Overall PerformancePPM < LSL 12272.69PPM > USL 24288.79PPM Total 36561.48

WithinOverall

Process Capability of Datos

Fig. 6.14 Capacidad del proceso

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Page 222: Resumen Control Estadístico de Proceso

Interpretación:

La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal.

La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de todos los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico.

Opción Six PackPara mostrar toda la información relevante:

Determinar la capacidad con:Stat > Quality tools > Capability Six Pack > NormalSingle column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:

Indi

vidu

al V

alue

1009080706050403020101

320

240

160

_X=269.3

UCL=361.8

LCL=176.7

Mov

ing

Rang

e

1009080706050403020101

100

50

0

__MR=34.8

UCL=113.6

LCL=0

Observation

Valu

es

10095908580

300

250

200

360330300270240210

400300200

Within

Overall

Specs

WithinStDev 30.83472Cp 0.70Cpk 0.66CCpk 0.70

OverallStDev 30.80011Pp 0.70Ppk 0.66Cpm *

11

Process Capability Sixpack of DatosI Chart

Moving Range Chart

Last 25 Observations

Capability Histogram

Normal Prob PlotAD: 0.317, P: 0.533

Capability Plot

Figura 6.15 Resultados de capacidad del proceso Six Pack

En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una distribución normal.Capacidad de procesos no normales.

Página 222

Page 223: Resumen Control Estadístico de Proceso

Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar el estudio de capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull.

Ejemplo en Minitab

En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es referente a la deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10 días. El límite superior de especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de capacidad con la ayuda de Minitab e interprete los resultados.

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con

Calc > Random data > Weibull Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

Determinar la capacidad con:Stat > Quality tools > Capability análisis > NoNormalSingle column C1 Dsitribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo y los datos, ya que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que algunos datos caen fuera del límite superior de especificación. Lo cual quiere decir que en algunos casos la deformación será mayor a 3.5 mm.

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Page 224: Resumen Control Estadístico de Proceso

3.53.02.52.01.51.00.50.0

USLProcess Data

Sample N 100Shape 1.24929Scale 0.88470

LSL *Target *USL 3.50000Sample Mean 0.82279

Overall CapabilityPp *PPL *PPU 0.85Ppk 0.85

Observed PerformancePPM < LSL *PPM > USL 10000PPM Total 10000

Exp. Overall PerformancePPM < LSL *PPM > USL 3795.26PPM Total 3795.26

Process Capability of Datos1Calculations Based on Weibull Distribution Model

Fig. 6.16 Determinación de la capacidad del proceso por Weibull - Datos no normales

El índice Ppk y Ppu33 = 0.85 lo cual nos dice que el desempeño del proceso no es capaz ya que 0.85<.1.33

También observamos que PPM > USL 3,795 lo cual significa que aproximadamente 3,795 PPM estarán fuera de los límites de especificaciones.

También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.

Análisis de capacidad con experimentos diseñados El diseño de experimentos es un método sistemático para variar el nivel de los parámetros controlables del proceso y analizar sus efectos en los resultados finales o productos. De esta forma se puede determinar el nivel de los parámetros que optimizan el proceso.

6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN

Error rror del equipo de mediciónEn cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la variación del equipo de medición, o sea:

33 Los índices Pp y Ppk son similares a los índices Cp y Cpk , se refieren a la capacidad del proceso a largo plazo.

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Page 225: Resumen Control Estadístico de Proceso

σ total2 =σ producto

2 +σequipo .medición2

(6.13)

Ejemplo 6.8 Tomando 20 partes y evaluándolas 2 veces por un mismo operador con el mismo instrumento de medición, se obtienen los resultados mostrados a continuación:

PARTS OP1IN1OP1IN2 X-media Rango

1 21 20 20.5 12 24 23 23.5 13 20 21 20.5 14 27 27 27 05 19 18 18.5 16 23 21 22 27 22 21 21.5 18 19 17 18 29 24 23 23.5 110 25 23 24 211 21 20 20.5 112 18 19 18.5 113 23 25 24 214 24 24 24 015 29 30 29.5 116 26 26 26 017 20 20 20 018 19 21 20 219 25 26 25.5 120 19 19 19 0

Figura 6.16 Cartas X-R del estudio

Página 225

Page 226: Resumen Control Estadístico de Proceso

191715131197531

30

25

20

Sample

Sam

ple

Mea

n

__X=22.3UCL=24.18

LCL=20.42

191715131197531

3

2

1

0

Sample

Sam

ple

Rang

e

_R=1

UCL=3.267

LCL=0

1

1

11

1

1

111

1

Xbar-R Chart of C1, ..., C2

Figura 6.17 Cartas de control X-R de las mediciones del operador en sus dos intentos

Notar que la carta X indica muchos puntos fuera de control, lo cual es normal ya que se espera que el instrumento distinga las diferentes unidades de producto. La carta R representa las diferencias entre mediciones de la misma unidad con el mismo instrumento. En este caso la carta R está en control, indicando que el operador no tiene dificultad para realizar las mediciones en forma consistente. Si hubiera puntos fuera de control, indica que el operador tiene dificultad para utilizar el instrumento.

La desviación estándar del error de medición, instrumento puede estimarse como:

σ instrumento=Rd2= 1.0

1. 128=0 . 887

Como la distribución del error de medición es aproximadamente normal, entonces 6instrumento es un buen estimador de la capacidad del instrumento de medición.

En este caso, 6instrumento = 6 (0.887) = 5.32, de tal forma que 2.66 de error de medición se puede asignar al error del instrumento de medición.

Es usual comparar la capacidad del instrumento de medición contra el rango de las especificaciones (LSE – LIE), denominado P/T, como sigue:

PT=

6 σ instrumento

LSE−LIE (6.14)

Página 226

Page 227: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para el caso del ejemplo se tiene:

PT=

6 (0 .887 )60−5

=5.3255

=0 .097

Los valores de P/T menores a 0.1 implican una capacidad adecuada del instrumento de medición. Basado en su precisión debe ser al menos de 0.1 de la tolerancia de la característica evaluada.

La variabilidad total de los datos de las mediciones incluyen la variabilidad del producto y las del instrumento de medición. Por tanto,

σ total2 =S2

σ producto2 =σ total

2 −σ instrumento2

De los datos del ejemplo se tiene:

Variable N Mean Median TrMean StDev SE MeanOP1IN1 40 22.300 21.500 22.167 3.172 0.502

σ total2 =S2

= 3.17 x 3.17 = 10.0615

σ producto2 =σ total

2 −σ instrumento2

= 10.0615 – 0.7867 = 9.2748

Por tanto la desviación estándar de la característica del producto es:

= 3.045

La variabilidad del instrumento de medición también puede expresarse como un porcentaje de la variabilidad de la característica del producto como sigue:

σ instrumento

σ productox 100

(6.15)

Para el ejemplo se tiene:σ instrumento

σ productox 100

=

0 .8873 .045

x100=29 .13 %

6.6.2 Rrepetibilidad y reproducibilidad (R&R)

Se pueden determinar los componentes del error debidos a diferentes operadores (repetibilidad) y debidos al instrumento de medición en sí (reproducibilidad).

σ error .medición2 =σrepetibilidad

2 +σreproducibilidad2

(6.16)

Página 227

Page 228: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 6.9 Se tienen los datos de mediciones de 20 partes por 3 operadores, haciendo 2 intentos cada uno como sigue.

PARTS OP1IN1OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 OP3IN2 RANGO3

1 21 20 1 20 20 0 19 21 22 24 23 1 24 24 0 23 24 13 20 21 1 19 21 2 20 22 24 27 27 0 28 26 2 27 28 15 19 18 1 19 18 1 18 21 36 23 21 2 24 21 3 23 22 17 22 21 1 22 24 2 22 20 28 19 17 2 18 20 2 19 18 19 24 23 1 25 23 2 24 24 010 25 23 2 26 25 1 24 25 111 21 20 1 20 20 0 21 20 112 18 19 1 17 19 2 18 19 113 23 25 2 25 25 0 25 25 014 24 24 0 23 25 2 24 25 115 29 30 1 30 28 2 31 30 116 26 26 0 25 26 1 25 27 217 20 20 0 19 20 1 20 20 018 19 21 2 19 19 0 21 23 219 25 26 1 25 24 1 25 25 020 19 19 0 18 17 1 19 17 2

PARTS OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 OP3IN2 RANGO31 21 20 1 20 20 0 19 21 22 24 23 1 24 24 0 23 24 13 20 21 1 19 21 2 20 22 24 27 27 0 28 26 2 27 28 15 19 18 1 19 18 1 18 21 36 23 21 2 24 21 3 23 22 17 22 21 1 22 24 2 22 20 28 19 17 2 18 20 2 19 18 19 24 23 1 25 23 2 24 24 010 25 23 2 26 25 1 24 25 111 21 20 1 20 20 0 21 20 112 18 19 1 17 19 2 18 19 113 23 25 2 25 25 0 25 25 014 24 24 0 23 25 2 24 25 115 29 30 1 30 28 2 31 30 116 26 26 0 25 26 1 25 27 217 20 20 0 19 20 1 20 20 0

Página 228

Page 229: Resumen Control Estadístico de Proceso

18 19 21 2 19 19 0 21 23 219 25 26 1 25 24 1 25 25 020 19 19 0 18 17 1 19 17 2

La media de los rangos medios para cada operador es:

R=13(R1+R2+R3 )=

13(1.0+1 . 25+1. 20 )=1. 15

por tanto la desviación estándar de la repetibilidad es:

σ repetibilidad=Rd2=

1.151.128=1 .02

tomando d2 para n=2 lecturas

La reproducibilidad es causada por diferencias entre los 3 operadores, es decir,

xmax=max( x1 , x2 , x3 )xmin=min( x1 , x2 , x3 )

Rx= xmax−xmin

σ reproducibilidad=Rx

d2 considerando el número de operadores.

Del ejemplo, se tiene que para 3 operadores, d2 =1.693, por tanto:xmax = 22.60, xmin =22.28 y Rx=0.32, y

reproducibilidad = 0.32/1.693 = 0.19

Por tanto la variabilidad total del error de medición es:

σ instrument .medición2 =σ repetibilidad

2 +σ reproducibilidad2

= 1.022 + 0.192 = 1.08instrumento.medición = 1.04

La relación P/T = 6 (1.04) / (60-5) = 0.11

Por otra parte utilizando el paquete Minitab se obtuvieron las respuestas siguientes (tomando 5.15 sigmas):

Gage R&R Study - XBar/R Method

Gage R&R for OP1IN1

Gage name: DISPOSITIVO DE PRUEBADate of study: 20 JULIO 2000

Página 229

Page 230: Resumen Control Estadístico de Proceso

Reported by: P. REYES Tolerance: 5 Misc:

%ContributionSource Variance (of Variance) Total Gage R&R 1.0424 9.91 Repeatability 1.0394 9.88 Reproducibility 0.0030 0.03 Part-to-Part 9.4801 90.09 Total Variation 10.5225 100.00

StdDev Study Var %Study Var %ToleranceSource (SD) (5.15*SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 1.02096 5.2579 31.47 9.56 Repeatability 1.01950 5.2504 31.43 9.55 Reproducibility 0.05449 0.2806 1.68 0.51 Part-to-Part 3.07898 15.8568 94.92 28.83 Total Variation 3.24384 16.7058 100.00 30.37

Number of distinct categories = 4

De esta forma cuando se toman en cuenta ambas la repetibilidad y la reproducibilidad, la capacidad del sistema de medición se reduce. Es necesario entrenar al operador en el uso del instrumento de medición y en todo caso a encontrar otro equipo de medición.

Página 230

Page 231: Resumen Control Estadístico de Proceso

6.6.3 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAGEn muchas ocasiones las organizaciones no consideran el impacto de no tener sistemas de medición de calidad, el hecho de que las mediciones no sean exactas puede llevar a cometer errores en el cálculo, y en los análisis y conclusiones de los estudios de capacidad de los procesos.

Cuando los operadores no miden una pieza de manera consistente, se puede caer en el riesgo de rechazar artículos que están en buen estado o aceptar artículos que están en mal estado. Por otro lado si los instrumentos de medición no están calibrados correctamente también se pueden cometer errores. Cuando sucede lo mencionado anteriormente tenemos un sistema de medición deficiente que puede hacer que un estudio de capacidad parezca insatisfactorio cuando en realidad es satisfactorio. Lo anterior puede tener como consecuencia gastos innecesarios de reproceso al reparar un proceso de manufactura o de servicios, cuando la principal fuente de variación se deriva del sistema de medición.

Posibles Fuentes de la Variación del Proceso

Figura 6.18 Diagrama de variabilidad observada en el proceso

DefinicionesReproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte.

Página 231

Variación del proceso, real Variación de la medición

Variación del proceso

Reproducibilidad

Repetibilidad Estabilidad Linealidad Sesgo

Variación originada

por el calibrador

Calibración

Variación del proceso, real

Reproducibilidad

Repetibilidad

Variación dentro de lamuestra

Estabilidad Linealidad Sesgo

Equipo demediciòn

Calibración

Reproducibilidad

Operador-A

Operador-C

Operador-B

Page 232: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 6.19 Evaluación de la reproducibilidad

Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte.

Figura 6.20 Evaluación de la repetibilidad

Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST34

Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una misma zona

Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor verdadero.

Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.

Figura 6.21 Evaluación de la precisión y exactitud

34 ·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología

Página 232

Reproducibilidad

Operador-A

Operador-C

Operador-B

REPETIBILIDAD

Page 233: Resumen Control Estadístico de Proceso

- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.

Figura 6.22 Evaluación de la estabilidad

Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición.

Figura 6.23 Evaluación de la linealidadSesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero. Error sistemático o desviación.

Figura 6.24 Evaluación de la exactitud o sesgoCalibración: Es la comparación de un estándar de medición con exactitud conocida con otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento.

Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso.

<10% Aceptable10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas.>30%. ¡Inaceptable!

Página 233

Valor Verdadero

Sesgo

m

Tiempo 1

Tiempo 2

Tiempo 1

Tiempo 2

Page 234: Resumen Control Estadístico de Proceso

En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25% como máximo.

En cualquier problema que involucre mediciones, algunas de las variaciones observadas son debidas al proceso y otras son debidas al error o variación en los sistemas de medición. La variación total es expresada de la siguiente manera:

σ 2 total=σ2 proceso+σ2error mediciòn

Estudios R&R - Método Corto del Rango

Es un método que proporciona un valor aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores.Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una sola vez.Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final el rango promedio.

La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2*. El % de R&R se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso

Partes Evaluador A Evaluador B Rango A,B1 0.85 0.80 0.052 0.75 0.70 0.053 1.00 0.95 0.054 0.45 0.55 0.105 0.50 0.60 0.10

Rango medio = 0.35/5 = 0.07

GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588Desv. Estándar del proceso = 0.0722%GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%

Por tanto el sistema de medición requiere mejora

Figura 6.25 Método corto del rango

Página 234

Page 235: Resumen Control Estadístico de Proceso

Estudio de R&R Método largo

• Generalmente intervienen de dos a tres operadores• Generalmente se toman 10 unidades • Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variación del proceso.

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso. Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% de la variación)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior.

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado.Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición.Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1).Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos Determine las estadísticas del estudio R&RRepetibilidadReproducibilidad% R&RDesviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionadosAnálisis del porcentaje de toleranciaAnalice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.

Métodos de estudio del error R&R:

I. Método de Promedios- RangoPermite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la Repetibilidad.Los cálculos son más fáciles de realizar.

Página 235

Page 236: Resumen Control Estadístico de Proceso

II. Método ANOVAPermite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la Repetibilidad.También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte.Calcula las varianzas en forma más precisa.Los cálculos numéricos requieren de una computadora.El Método ANOVA es más preciso

Cálculos con Excel o manual: Introducir los datos en la hoja de colección de datos siguiente por cada operador y hacer los cálculos indicados en la zona gris:

Página 236

Page 237: Resumen Control Estadístico de Proceso

ESTU

DIO DE

REPE

TIBILID

AD Y

REPR

ODUC

IBILID

AD ( R

& R )

No. d

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e y No

mbre:

460006

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Fecha

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07/20

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060Ela

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por:

No

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mbre

de GA

GE:8

881-H

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metro

RECO

LECC

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DATO

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OPER

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A.-B.-

C.-col

umna

1col

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2col

umna

3col

umna

4Pro

medio

colum

na 5

colum

na 6

colum

na 7

colum

na 8

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diocol

umna

9col

umna

10col

umna

11col

umna

12Pro

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Prom.

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ra1er

Inten

to2do

Inten

to3er

Inten

toRa

ngo

X1er

Inten

to2do

Inten

to3er

Inten

toRa

ngo

X1er

Inten

to2do

Inten

to3er

Inten

toRa

ngo

X

10.0

045

0.0045

0.0

045

-

0.0045

0.0

045

0.0045

0.0

045

-

0.0045

0.0

050

0.0045

0.0

045

0.0005

0.0

047

0.0045

562

0.0045

0.0

055

0.0045

0.0

010

0.0048

0.0

055

0.0050

0.0

045

0.0

010

0.0050

0.0

055

0.0045

0.0

045

0.0010

0.0

048

0.0048

893

0.0045

0.0

045

0.0045

-

0.0

045

0.0045

0.0

045

0.0045

-

0.0

045

0.0045

0.0

045

0.0040

0.0

005

0.0043

0.0

04444

40.0

050

0.0050

0.0

045

0.0005

0.0

048

0.0050

0.0

050

0.0050

-

0.0

050

0.0050

0.0

050

0.0050

-

0.0050

0.0

04944

50.0

045

0.0045

0.0

045

-

0.0045

0.0

040

0.0045

0.0

040

0.0

005

0.0042

0.0

045

0.0045

0.0

040

0.0005

0.0

043

0.0043

33

60.0

050

0.0055

0.0

045

0.0010

0.0

050

0.0060

0.0

050

0.0050

0.0010

0.0

053

0.0050

0.0

050

0.0050

-

0.0050

0.0

05111

70.0

050

0.0045

0.0

045

0.0005

0.0

047

0.0055

0.0

045

0.0050

0.0010

0.0

050

0.0045

0.0

050

0.0050

0.0

005

0.0048

0.0

04833

80.0

050

0.0050

0.0

050

-

0.0050

0.0

050

0.0050

0.0

050

-

0.0050

0.0

060

0.0050

0.0

050

0.0010

0.0

053

0.0051

119

0.0050

0.0

045

0.0050

0.0

005

0.0048

0.0

045

0.0045

0.0

050

0.0

005

0.0047

0.0

055

0.0045

0.0

045

0.0010

0.0

048

0.0047

7810

0.0040

0.0

040

0.0040

-

0.0

040

0.0040

0.0

040

0.0040

-

0.0

040

0.0045

0.0

045

0.0045

-

0.0045

0.0

04167

Totale

s0.0

470

0.0475

0.0

455

0.0035

0.0

467

0.0485

0.0

465

0.0465

0.0040

0.0

472

0.0500

0.0

470

0.0460

0.0

050

0.0477

Su

ma0.1

400

SUM:

0.0012

5R:

0.0004

16667

Nota :

Las c

onsta

ntes y

las fo

rmula

s esta

n esta

blecid

as par

a 3 int

entos

y 3 op

erador

es

Página 237

Page 238: Resumen Control Estadístico de Proceso

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )MÉTODO LARGO

Aseguramiento de Calidad

No. de Parte y Nombre: 4600066 PARTE A Fecha: 01/07/2003

Tolerancia Especificada: 0.0060 Elaborado por: 0

No. y Nombre de GAGE: 8881-H Calibrador Digital Característica: Diametro

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008

R= 0.000416667 X Diff = 0.0001000000 Rp = 0.000944444

Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]EV= R x K1 = % EV = 63.74%

EV= 0.001270833 INTENTOS K1

2 4.56 % EV vs Tol. = 21.18%3 3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]AV = [(XDiff x K2)

2 - (EV2/nr)]1/2 % AV = 6.93%

AV = 0.00027

AV = 7.29E-08 % AV vs Tol = 2.30%

AV = 5.38339E-08

AV = 1.90661E-08 n= 10AV = 0.00013808 r = 3

OPERADOR 2 3 n= Numero de PartesK2 3.65 2.7 r = Numero de Intentos

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) % de R & R = 100 [ R & R /TV ]R & R = [EV2 + AV2]1/2 % de R & R = 64.1164%

R & R2 = 1.63408E-06 PARTES K3 % de R & R vs Tol = 21.31%

R & R = 0.001278313 2 3.65

Variación de la Parte ( PV ) 3 2.7 % PV = 100 [ PV/TV ]PV = RP x K3 4 2.3 % PV = 76.7403%

PV = 0.00153 5 2.08

6 1.937 1.82

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 8 1.74 Categoria de DatosTV = ( R & R2 + PV2 )1/2

9 1.67 d2 = 1.693TV = 3.97498E-06 10 1.62 PV / R&R x d2= 2.0

TV = 0.001993736

Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD

Página 238

Page 239: Resumen Control Estadístico de Proceso

ESTU

DIO DE

REPE

TIBILID

AD Y R

EPRO

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ILIDAD

( R &

R )

No. de

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RECO

LECC

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A.-B.-

C.-col

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1col

umna

2col

umna

3col

umna

4Pro

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colum

na 5

colum

na 6

colum

na 7

colum

na 8

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umna

9col

umna

10col

umna

11col

umna

12Pro

medio

Prom.

Parte

Muest

ra1er

Intent

o2do

Intent

o3er

Intent

oRa

ngoX

1er Int

ento

2do Int

ento

3er Int

ento

Rango

X1er

Intent

o2do

Intent

o3er

Intent

oRa

ngoX

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totale

sSu

ma

SUM: R:

Nota :

Las c

onstan

tes y l

as for

mulas

estan

estab

lecida

s para

3 inte

ntos y

3 oper

adores

Página 239

Page 240: Resumen Control Estadístico de Proceso

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )MÉTODO LARGO

Aseguramiento de Calidad

No. de Parte y Nombre: 0 0 Fecha: 00/01/1900

Tolerancia Especificada: 0.0000 Elaborado por: 0

No. y Nombre de GAGE: 0 0 Característica: 0

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008

R= X Diff = Rp =

Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]EV= R x K1 = % EV =

EV= INTENTOS K1

2 4.56 % EV vs Tol. =3 3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]AV = [(XDiff x K2)

2 - (EV2/nr)]1/2 % AV =

AV =

AV = % AV vs Tol =

AV =

AV = n= 10AV = r = 3

OPERADOR 2 3 n= Numero de PartesK2 3.65 2.7 r = Numero de Intentos

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) % de R & R = 100 [ R & R /TV ]R & R = [EV2 + AV2]1/2 % de R & R =

R & R2 = 0 PARTES K3 % de R & R vs Tol =

R & R = 2 3.65

Variación de la Parte ( PV ) 3 2.7 % PV = 100 [ PV/TV ]PV = RP x K3 4 2.3 % PV =

PV = 5 2.08

6 1.937 1.82

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 8 1.74 Categoria de DatosTV = ( R & R2 + PV2 )1/2

9 1.67 d2 = 1.693TV = 0 10 1.62 PV / R&R x d2=

TV =

Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD

Página 240

Page 241: Resumen Control Estadístico de Proceso

Una vez colectados los datos proceder a realizar la carta de rango R y observar que esté en control, de otra forma repetir las mediciones para ese operador y parte específica errónea.

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de rangos para el ejemplo

Ahora revisar la carta X media, debe tener al menos el 50% de puntos fuera de control indicando que identifica las variaciones en las diferentes partes presentadas:LSCX = 0.005143 X = 0.004717 LICX = 0.004290417

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de medias para el ejemplo

Se procede posteriormente a determinar los errores o variabilidad del sistema de medición con la hoja de trabajo siguiente, calculando los campos con sombra gris:

Página 241

LICX

LSX

Page 242: Resumen Control Estadístico de Proceso

Interpretación de los resultados1. El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa para liberar producto terminado la referencia es la tolerancia del cliente; si el equipo se usa para control del proceso, la referencia es la variación total del proceso.

2. El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo distingue las partes que son diferentes.

Ejemplo 2 (MINITAB)Primero se visualizan las mediciones replicadas de cada operador en cada parte como sigue:

34

Operator

Resp

onse

Mean

1.0

0.8

0.6

0.4

1.0

0.8

0.6

0.4

Mean

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Operator

3

12

Gage name:Date of study:

Reported by:Tolerance:Misc:

Panel variable: Part

Gage Run Chart of Response by Part, Operator1 File > Open worksheet > GAGEAIAG.MTW.2 Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart.3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Operators, seleccionar Operator.5 En Measurement data, seleccionar Response. Click OK.

Figura 6.27 Gráfica que muestra el comportamiento de las mediciones de los operadores

Método X Barra - RSe seleccionan 10 muestras de un proceso de manufactura, cada parte es medida dos veces por tres operadores. Realice un estudio R&R mediante el método Xbar-R.

Página 242

Page 243: Resumen Control Estadístico de Proceso

OPERADOR A.- B.- C.-columna 1

columna 2

columna 3

columna 5

columna 6

columna 7

columna 9

columna 10

columna 11

Muestra1er Intento

2do Intento

3er Intento

1er Intento

2do Intento

3er Intento

1er Intento

2do Intento

3er Intento

1 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.00452 0.0045 0.0055 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0055 0.0045 0.00453 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.00404 0.0050 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.00505 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0045 0.0040 0.0045 0.0045 0.00406 0.0050 0.0055 0.0045 0.0060 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.00507 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.00508 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0060 0.0050 0.00509 0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0055 0.0045 0.004510 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0485 0.0465 0.0465 0.0500 0.0470 0.0460

Capture los datos en la hoja de trabajo de Minitab en tres columnas C1, C2, C3

PartesOperadores

Medición Partes

Operadores

Medición Partes

Operadores Medición

1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0052 1 0.0045 2 2 0.0055 2 3 0.00553 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.00454 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.0055 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.00456 1 0.005 6 2 0.006 6 3 0.0057 1 0.005 7 2 0.0055 7 3 0.00458 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.0069 1 0.005 9 2 0.0045 9 3 0.005510 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.00451 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.00452 1 0.0055 2 2 0.005 2 3 0.00453 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.00454 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.0055 1 0.0045 5 2 0.0045 5 3 0.00456 1 0.0055 6 2 0.005 6 3 0.0057 1 0.0045 7 2 0.0045 7 3 0.0058 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.0059 1 0.0045 9 2 0.0045 9 3 0.004510 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.00451 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.00452 1 0.0045 2 2 0.0045 2 3 0.0045

Página 243

Page 244: Resumen Control Estadístico de Proceso

3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0044 1 0.0045 4 2 0.005 4 3 0.0055 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.0046 1 0.0045 6 2 0.005 6 3 0.0057 1 0.0045 7 2 0.005 7 3 0.0058 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.0059 1 0.005 9 2 0.005 9 3 0.004510 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)Método de Análisis X Bar and REn Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerante 0.006

Los resultados se muestran a continuación:Gage R&R Study - XBar/R Method

%ContributionSource VarComp (of VarComp)Total Gage R&R 0.0000001 41.00 Repeatability 0.0000001 40.52 Reproducibility 0.0000000 0.48Part-To-Part 0.0000001 59.00Total Variation 0.0000001 100.00

Study Var %Study Var %ToleranceSource StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler)Total Gage R&R 0.0002476 0.0012750 64.03 21.25 Repeatability 0.0002461 0.0012675 63.65 21.12 Reproducibility 0.0000269 0.0001384 6.95 2.31Part-To-Part 0.0002970 0.0015295 76.81 25.49Total Variation 0.0003867 0.0019913 100.00 33.19

Number of Distinct Categories = 1

Análisis de los resultados:El error de R&R vs tolerancia es 21.25% y vs variación total del proceso es 64.03% lo que hace que el equipo de medición no sea adecuado para la medición.

Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el instrumento discrimina las diversas partes diferentes.

Página 244

Page 245: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 6.27 Resultados del estudio R&R por el método de Xbarra-R

La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma adecuada.

La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, lo cual debería ser al menos el 50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.

Ejemplo 3: por el Método de ANOVA se tiene:Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)Método de Análisis ANOVAEn Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 Process tolerante 0.006 Alfa to remove interaction 0.25

Los resultados se muestran a continuación: Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction

Source DF SS MS F PPartes 9 0.0000086 0.0000010 12.2885 0.000Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.9605 0.401Partes * Operadores 18 0.0000014 0.0000001 0.7398 0.757Repeatability 60 0.0000063 0.0000001Total 89 0.0000165

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Page 246: Resumen Control Estadístico de Proceso

Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes Two-Way ANOVA Table Without Interaction

Source DF SS MS F PPartes 9 0.0000086 0.0000010 9.67145 0.000Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.75592 0.473Repeatability 78 0.0000077 0.0000001Total 89 0.0000165

Gage R&R

%ContributionSource VarComp (of VarComp)Total Gage R&R 0.0000001 50.93 Repeatability 0.0000001 50.93 Reproducibility 0.0000000 0.00 Operadores 0.0000000 0.00Part-To-Part 0.0000001 49.07Total Variation 0.0000002 100.00 Study Var %Study Var %ToleranceSource StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler)Total Gage R&R 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Repeatability 0.0003150 0.0016222 71.36 27.04 Reproducibility 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00 Operadores 0.0000000 0.0000000 0.00 0.00Part-To-Part 0.0003092 0.0015923 70.05 26.54Total Variation 0.0004414 0.0022731 100.00 37.88

Number of Distinct Categories = 1

La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de medición no es adecuado, ni el número de categorías.

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Page 247: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 6.28 Resultados del estudio R&R por el método de ANOVA Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.

Estudios de R&R por atributosEjemplo 4.Se utiliza el análisis de acuerdo por atributos para evaluar las calificaciones nominales u ordinales proporcionadas por varios evaluadores. Las mediciones son calificaciones subjetivas de la gente en vez de mediciones físicas. Algunos ejemplos incluyen:Calificaciones de desempeño de los automóvilesClasificación de calidad de las fibras como “buena” o “mala”.Calificaciones de color, aroma y gusto del vino en una escala de 1 a 10.En estos casos la característica de calidad es difícil de definir y evaluar. Para obtener clasificaciones significativas, más de un evaluador debe calificar la medición de respuesta. Si los evaluadores están de acuerdo, existe la posibilidad de que las apreciaciones sean exactas. Si hay discrepancias, la utilidad de la evaluación es limitada.Los datos pueden ser texto o numéricos. Las calificaciones asignadas pueden ser Nominales u ordinales.Los datos nominales son variables categóricas que tienen dos o más niveles sin orden natural. Por ejemplo, los niveles en un estudio de gustación de comida que puede incluir dulce, salado o picoso.Los datos ordinales son variables categóricas que tienen tres o más niveles con ordenamiento natural, tales como: en desacuerdo total, en desacuerdo, neutral, de acuerdo, y completamente de acuerdo.

Ejemplo 4. Comparación pasa no pasa

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Page 248: Resumen Control Estadístico de Proceso

Un sistema de medición de atributos compara cada parte con un estándar y acepta la parte si el estándar se cumple. La efectividad de la discriminación es la habilidad del sistema de medición de atributos para discriminar a los buenos de los malos.1. Selecciona un mínimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el espectro completo de la variación del proceso (buenas, erroneas y en límites).2. Un inspector “experto” realiza una evaluación de cada parte, clasificándola como “Buena” o “No Buena”.3. Cada persona evaluará las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definirá como “Buenas” o “No Buenas”.4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema de medición.

Muestra Atributo Persona 1A Persona 1B Persona 2A Persona 2B1 G G G G G2 G G G G G3 G G G G G4 G G G G G5 G G G G G6 G NG G G G7 G G G G G8 G G G G G9 NG G G NG NG10 NG NG NG G G11 G G G G G12 G G G G G13 NG NG NG NG NG14 G G G G G15 G G G G G16 G G G G G17 NG NG NG NG NG18 G G G G G19 G G G G G20 G G G G G

Sistema de Medición de AtributosPasa no pasa –Instrucciones en Minitab1 Usar los datos anteriores.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis.3 En Multiple columns, con Persona 1A - Persona 2B.4 En Number of appraisers, 2.5 En Number of trials, 2.6 En Known standard/attribute, poner Atributo7 no Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK

Los resultados se muestran a continuación:

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Page 249: Resumen Control Estadístico de Proceso

Attribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 19 95.00 (75.13, 99.87) 2 20 20 100.00 (86.09, 100.00) # Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Fleiss' Kappa Statistics Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) 1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 Each Appraiser vs Standard Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 18 90.00 (68.30, 98.77) 2 20 19 95.00 (75.13, 99.87) Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000 NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

Figura 6.29 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos

Appraiser

Perc

ent

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% CIPercent

Appraiser

Perc

ent

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% CIPercent

Date of study: Reported by:Name of product:Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers Appraiser vs Standard

Figura 6.30 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos por avaluador

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Page 250: Resumen Control Estadístico de Proceso

Interpretación de Resultados% del Evaluador es la consistencia de una persona.% Evaluador vs Atributo es la medida de el acuerdo que hay entre la evaluación del operador y la del “experto”. % de Efectividad de Selección es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores. % de Efectividad de Selección vs. el Atributo es una medida general de la consistencia entre los operadores y el acuerdo con el “experto”.

Aunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de atributos, la siguiente guía se usa frecuentemente:

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Porcentaje GuíaDe 90% a 100%De 80% a 90%Menos de 80%

AceptableMarginalInaceptable

Page 251: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 5.Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para la porción escrita de un examen estándar de doceavo grado. Se requiere determinar la habilidad de los evaluadores para calificar el examen de forma que sea consistente con los estándares. Cada uno de los evaluadores califica 15 exámenes en una escala de cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):1 Abrir el archivo File > Openworksheet > ESSAY.MTW.2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis.3 En Attribute column, poner Rating.4 En Samples, poner Sample.5 En Appraisers, poner Appraiser.6 En Known standard/attribute, poner Attribute.7 Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK

El contenido del archivo es como sigue:Appraiser Sample Rating Attribute Appraiser Sample Rating AttributeSimpson 1 2 2 Duncan 8 0 0Montgomery 1 2 2 Hayes 8 0 0Holmes 1 2 2 Simpson 9 -1 -1Duncan 1 1 2 Montgomery 9 -1 -1Hayes 1 2 2 Holmes 9 -1 -1Simpson 2 -1 -1 Duncan 9 -2 -1Montgomery 2 -1 -1 Hayes 9 -1 -1Holmes 2 -1 -1 Simpson 10 1 1Duncan 2 -2 -1 Montgomery 10 1 1Hayes 2 -1 -1 Holmes 10 1 1Simpson 3 1 0 Duncan 10 0 1Montgomery 3 0 0 Hayes 10 2 1Holmes 3 0 0 Simpson 11 -2 -2Duncan 3 0 0 Montgomery 11 -2 -2Hayes 3 0 0 Holmes 11 -2 -2Simpson 4 -2 -2 Duncan 11 -2 -2Montgomery 4 -2 -2 Hayes 11 -1 -2Holmes 4 -2 -2 Simpson 12 0 0Duncan 4 -2 -2 Montgomery 12 0 0Hayes 4 -2 -2 Holmes 12 0 0Simpson 5 0 0 Duncan 12 -1 0Montgomery 5 0 0 Hayes 12 0 0Holmes 5 0 0 Simpson 13 2 2Duncan 5 -1 0 Montgomery 13 2 2Hayes 5 0 0 Holmes 13 2 2Simpson 6 1 1 Duncan 13 2 2Montgomery 6 1 1 Hayes 13 2 2Holmes 6 1 1 Simpson 14 -1 -1

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Page 252: Resumen Control Estadístico de Proceso

Duncan 6 1 1 Montgomery 14 -1 -1Hayes 6 1 1 Holmes 14 -1 -1Simpson 7 2 2 Duncan 14 -1 -1Montgomery 7 2 2 Hayes 14 -1 -1Holmes 7 2 2 Simpson 15 1 1Duncan 7 1 2 Montgomery 15 1 1Hayes 7 2 2 Holmes 15 1 1Simpson 8 0 0 Duncan 15 1 1Montgomery 8 0 0 Hayes 15 1 1Holmes 8 0 0

Los resultados del análisis se muestran a ontinuación:

Gage R&R for Datos Assessment Agreement

Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CIDuncan 15 8 53.33 (26.59, 78.73)Hayes 15 13 86.67 (59.54, 98.34)Holmes 15 15 100.00 (81.90, 100.00)Montgomery 15 15 100.00 (81.90, 100.00)Simpson 15 14 93.33 (68.05, 99.83)

# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.

Kendall's Correlation Coefficient

Appraiser Coef SE Coef Z PDuncan 0.89779 0.192450 4.61554 0.0000Hayes 0.96014 0.192450 4.93955 0.0000Holmes 1.00000 0.192450 5.14667 0.0000Montgomery 1.00000 0.192450 5.14667 0.0000Simpson 0.93258 0.192450 4.79636 0.0000 Between Appraisers Assessment Agreement

# Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with each other.Fleiss' Kappa StatisticsResponse Kappa SE Kappa Z P(vs > 0)-2 0.680398 0.0816497 8.3331 0.0000-1 0.602754 0.0816497 7.3822 0.00000 0.707602 0.0816497 8.6663 0.00001 0.642479 0.0816497 7.8687 0.00002 0.736534 0.0816497 9.0207 0.0000

Página 252

Page 253: Resumen Control Estadístico de Proceso

Overall 0.672965 0.0412331 16.3210 0.0000

Kendall's Coefficient of Concordance

Coef Chi - Sq DF P0.966317 67.6422 14 0.0000

All Appraisers vs Standard

Assessment Agreement

# Inspected # Matched Percent 95 % CI 15 6 40.00 (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.

Fleiss' Kappa Statistics

Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0)-2 0.842593 0.115470 7.2971 0.0000-1 0.796066 0.115470 6.8941 0.00000 0.850932 0.115470 7.3693 0.00001 0.802932 0.115470 6.9536 0.00002 0.847348 0.115470 7.3383 0.0000Overall 0.831455 0.058911 14.1136 0.0000

Kendall's Correlation Coefficient Coef SE Coef Z P0.958102 0.0860663 11.1100 0.0000

* NOTE * Single trial within each appraiser. No percentage of assessment agreement within appraiser is plotted.

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Page 254: Resumen Control Estadístico de Proceso

Figura 6.31 Resultados del estudio de R&R por atributos

Interpretación de resultados

Minitab muestra tres tablas como sigue: Cada evaluador vs el estándar, Entre evaluadores y Todos los evaluadores vs estándar. Los estadísticos de Kappa y Kendall también se incluyen en cada una de las tablas. En general estos estadísticos sugieren buen acuerdo.

El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los evaluadores vs estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del desempeño de Duncan y Haues indica que no se apegan al estándar.

La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno de los evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación de acuerdos para los cinco evaluadores.

Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento adicional. Método sencilloTomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de especificaciones y 10 fuera de especificaciones Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadoresSi no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages “pasa, no pasa” no son confiables

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Page 255: Resumen Control Estadístico de Proceso

7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS

7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO

Se ha estado utilizando para calificar los lotes de proveedores, sin embargo ha estado siendo desplazado por métodos preventivos como el CEP y el diseño de experimentos.

Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas de las características del producto, en base a los resultados se toma una decisión sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o rechazados para que el proveedor tome acciones.

Fig. 7.1 Proceso de inspección por muestreo

Hay 3 aspectos importantes del muestreo:Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote.No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o rechazan lotes.Sirven como herramienta de auditoría para segurar que la calidad de un lote esté de acuerdo a especificaciones.

Existen 3 alternativas para calificar un lote:Aceptar sin inspección. Con proveedores confiables.Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos.Realizar un muestreo de aceptación.

La aceptación por muestreo es más util en las situaciones siguientes:Cuando las pruebas son destructivas.Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto.Cuando la inspección 100% es muy tardada.Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar productos defectuosos.Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es baja.Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO

Página 255

Muestreo aleatorio estadístico

Lote N

Muestra n

Muestreo aleatorio estadístico

Lote N

Muestra n

Page 256: Resumen Control Estadístico de Proceso

Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes:Es más barato, requiriendo menos inspección.Existe un menor manejo de producto o menor daño.Se aplica a pruebas destructivas.El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al proveedor a mejorar su calidad.

El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas:Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos.La información que se genera respecto al producto o proceso es poca.El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la inspección 100%.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Existen diversas clasificaciones de estos planes, una de ellas es la de variables y atributos. Una característica se expresa en variables si se puede medir, o en atributos si se califica como “pasa no pasa”.

Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta c productos defectivos.

Un plan de muestreo doble implica que después de tomar una muestra e inspeccionar, se toma una decisión de (1) rechazar, (2) aceptar o (3) tomar una segunda muestra, si esto sucede, se combina la información de la primera y de la segunda para tomar una decisión.

Un plan de muestreo múltiple es una extensión del doble, en el cual más de dos muestras pueden ser necesarias antes de tomar una decisión. Los tamaños de estas muestras son más pequeños que en el muestreo doble.

El muestreo secuencial implica la selección de unidades del lote, una por una, tomando decisiones de aceptar o rechazar el lote después de un cierto número de unidades.

Se pueden desarrollar planes de muestreo que produzcan resultados similares con cualquiera de las modalidades anteriores.

FORMACIÓN DE LOTES

Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:

Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones correctivas para lotes mezclados.Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es más eficiente.Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente, las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño y permitir la selección de muestra en forma sencilla.

MUESTREO ALEATORIO

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Page 257: Resumen Control Estadístico de Proceso

Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de las capas superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y seleccionar con tablas de números aleatorios o también se puede estratificar el lote.

GUÍA DE APLICACIÓN DE PLANES DE MUESTREOUn plan de aceptación es el establecimiento del tamaño de muestra a ser usado y el criterio de aceptación o rechazo para calificar lotes individuales.

Un esquema de aceptación es un conjunto de procedimientos de planes de aceptación en los cuales se relacionan los tamaños de lote, tamaño de muestra, criterio de aceptación o rechazo, la cantidad de inspección 100% y de muestreo.

Un sistema de muestreo es un conjunto de esquemas de muestreo. Los procedimientos de muestreo de aceptación son:

Procedimiento Procedimiento Objetivos por atributos por Variables

1. Asegurar niveles de calidad Plan específico Plan específicoPara el consumidor y productor en base a curva OC en base a curva OC

2. Mantener la calidad en el Sistema de AQL Sistema de AQLobjetivo MIL-STD-105E MIL-STD-414

3. Asegurar el nivel de Sistema de AOQL Sistema de AOQLcalidad de salida de Dodge-Romig

6. Asegura la calidad no Planes LTPD de Planes LTPD conmenor que el objetivo de Dodge-Romig prueba de hipótesis.Los clientes están enfocados a mejorar la calidad de sus proveedores, seleccionando a los mejores y trabajando en forma cercana para reducir su variabilidad, con técnicas de control estadístico del proceso. El muestreo de aceptación se utiliza mientras se mejora la calidad con el proveedor.

7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS

Muestreo aleatorio simpleUn plan de muestreo simple se define por su tamaño de muestra n y el número de aceptación c. El tamaño del lote se especifica como N.

Por ejemplo si se tiene el plan:N=10,000n=89c=2

Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza.

La curva OC

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Page 258: Resumen Control Estadístico de Proceso

La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el lote (Pa o en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo.

Fig. 7.2 Curva característica de operación y plan de muestreo

La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea:

Pa=P ¿¿ (7.1)

Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos prácticos.

Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación:

Binomial=distr.binom(c, n, p, 1) ó Poisson=Poisson(c, n*p, 1)p P(A<x<X)

0.01 0.91

0.02 0.736 Pa

0.03 0.555

0.04 0.400

0.05 0.279

0.06 0.190

0.07 0.126

0.08 0.083

0.09 0.053

0.1 0.034

0.11 0.021

0.12 0.013

0.13 0.008

0.14 0.005

0.15 0.003

0.16 0.002 p

0.17 0.001 Traza la curva OC Tipo B para el plan de muestreo ùnico n=50 y c=1.

0.18 0.001

0.19 0.000

0.2 0.000

P(A<x<X)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09 0.

1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19 0.

2

Página 258

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov.

Pa10.80.50.30.1

Curva característica de Operación dado una Tamaño de muestra n y un criterio de aceptación c

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov.

Pa10.80.50.30.1

Curva característica de Operación dado una Tamaño de muestra n y un criterio de aceptación c

Page 259: Resumen Control Estadístico de Proceso

Fig. 7.3 Cálculo de la Curva característica de operación OC

En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se rechazarán 26.

A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n constante y después manteniendo c como constante y variando n.

Manteniendo n constante y variando c se tiene:

p n = 89, c=0

n = 89 c=1

n = 89, c =2

0.01 0.64 0.93 0.990.01 0.41 0.78 0.940.02 0.17 0.47 0.740.03 0.07 0.25 0.500.04 0.03 0.12 0.300.05 0.01 0.06 0.170.06 0.00 0.03 0.090.07 0.00 0.01 0.050.08 0.00 0.01 0.020.09 0.00 0.00 0.01

Pa

P (fracción defectiva en el lote)

Figura 7.4 Curvas características de operación diversas para n = 89 y c = variable

Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene:

pn = 50, c=2

n = 100, c = 2

n = 200, c = 2

0.0050.997944 0.9859

0.920161

0.01 0.98618 0.9206 0.67667

Página 259

c=0, 1, 2

Page 260: Resumen Control Estadístico de Proceso

3 9

0.020.921572 0.6767

0.235148

0.030.810798 0.4198

0.059291

0.040.676714 0.2321

0.012489

0.050.540533 0.1183

0.002336

0.060.416246 0.0566 0.0004

0.070.310789 0.0258 6.40E-05

0.080.225974 0.0113 9.66E-06

0.09 0.16054 0.0048 1.39E-06

Pa

p (fracción defectiva en el lote)

Figura 7.5 Curvas características de operación diversas para n = variable y c =2

Puntos específicos en la curva OC

Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción defectiva que tiene un 95% de ser aceptada ( = 0.95).

Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a una probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También se el denomina Nivel de Calidad Rechazable.

CURVAS OC TIPO A y B.

La curva OC tipo A utilizando la distribución hipergeométrica se construye cuando se tiene un lote aislado de tamaño finito, se utiliza cuando n/N >=0.10.

La curva OC tipo B utiliza la distribución binomial o de Poisson cuando n/N < 0.1, sin embargo en los niveles donde n/N=0.1 ambas curvas A o B son muy parecidas.

DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO EN BASE A CURVA OC

Página 260

n=50, 100, 200 2

Page 261: Resumen Control Estadístico de Proceso

En este método se especifican 2 puntos por los que debe pasar la curva OC, uno de ellos tiene coordenadas (p1, 1-) y el otro (p2 , ), con p1 > p2 . Se utiliza el nomograma Binomial para encontrar los valores de n y c para el plan.

En el nomograma se hacen coincidir con una línea recta el valor de p1 en el eje vertical izquierdo con 1- en el eje vertical derecho, y con otra línea recta se hace coincidir p2 en el eje vertical izquierdo con en el eje vertical derecho. En el punto de cruce se encuentra el valor de n y de c del plan de muestreo simple. Ver nomograma y ejemplo en la página siguiente.

Cuando p1 es igual al AQL y p2 es el LTPD, los puntos correspondientes en la curva OC se denominan riesgo del productor (1-) y riego del consumidor .

Inspección rectificadora

Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de salida final hacia la planta.

Fig. 7.6 Inspección rectificadora (las piezas malas son reemplazadas y reintegradas al lote)Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p0 , después de la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán aceptados y otros serán rechazados. Los lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando los artículos defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan a la planta obteniéndose una fracción defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ, en lotes de tamaño N se tiene:

n artículos de la muestra no contienen defectivos.N-n artículos los cuales si el lote se rechazó no contenían defectivos.N-n artículos los cuales si el lote se acepta contienen p(N-n) defectivos.

Así los lotes después del proceso rectificador, contienen un núemro esperado de defectivos igual a Pap(N-n) con la cual se puede expresar una fracción defectiva media AOQ como sigue,

AOQ=

Pa p(N−n )N (7.2)

Página 261

Entrada de 100 lotes de cierto proveedor con N=10,000 y

p = 0.02

n =200c = 1

P=0.02

Pa

91 lotes son rechazados y seleccionados por el proveedor, deja 910,000 piezas OK

9 lotes son aceptados a pesar de tener un 2% defectivo:

Es decir ingresan

88,820 piezas OK

Y 1800 piezas KO

Total de piezas OK

998,820

Piezas defectivas

1,800

0.18% AOQ

AOQ

Alm.

Entrada de 100 lotes de cierto proveedor con N=10,000 y

p = 0.02

n =200c = 1

P=0.02

Pa

91 lotes son rechazados y seleccionados por el proveedor, deja 910,000 piezas OK

9 lotes son aceptados a pesar de tener un 2% defectivo:

Es decir ingresan

88,820 piezas OK

Y 1800 piezas KO

Total de piezas OK

998,820

Piezas defectivas

1,800

0.18% AOQ

AOQ

Alm.

Page 262: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 7.1 Suponiendo que N=10,000, c=2 y que la calidad de entrada p=0.01.Como en la curva característica de operación (para n=89, c=2) cuando p=0.01, Pa = 0.9397, entonces el AOQ es:

AOQ=Pa p(N−n )

N=( 0.9397 )(0 . 01)(10000−89 )10000

=0 . 0093

AOQ 0.93% en lugar del 1% entrante.

Cuando N es grande respecto al tamaño de muestra n, se tiene,

AOQ≈Pa p (7.3)

La curva de AOQ versus p se muestra a continuación:

Página 262

Page 263: Resumen Control Estadístico de Proceso

CURVA AOQp P(A<x<X) AOQ

0.001667 1.00 0.002

0.003333 0.99 0.003

0.005000 0.96 0.005

0.006667 0.92 0.006

0.008333 0.87 0.007 Pa Probabilidad de aceptación del lote teniendo una fracción defectiva p

0.010000 0.81 0.008

0.011667 0.74 0.009

0.013333 0.68 0.009

0.015000 0.61 0.009

0.016667 0.54 0.009

0.018333 0.48 0.009

0.020000 0.42 0.008

0.021667 0.37 0.008

0.023333 0.32 0.007

0.025000 0.27 0.007

0.026667 0.23 0.006

0.028333 0.20 0.006

0.030000 0.17 0.005

0.031667 0.14 0.005

0.033333 0.12 0.004

0.035000 0.10 0.004

0.036667 0.08 0.003 Fracción defectiva en el lote p0.038333 0.07 0.003

0.040000 0.06 0.002

0.041667 0.05 0.002

0.043333 0.04 0.002

0.045000 0.03 0.001

0.046667 0.03 0.001

0.048333 0.02 0.001

0.050000 0.02 0.001

AOQ

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0 0

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.05

0.05

0.05

0.05

AOQL

n=89, c=2Figura 7.7 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)

De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ tiene un valor máximo o la peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite de calidad de salida promedio AOQL el cual es aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo.

El número promedio de inspección total por lote es ATI, igual a:

ATI=n+(1−Pa)(N−n) (7.4)

Ejemplo 7.2 Con N=10000, n=89, c=2 y p=0.01. Como Pa = 0.9397 se tiene:ATI = 89 + (1-0-9397)(10000 – 89) = 687

Siendo este el total de piezas que en promedio se inspeccionarán por lote, algunas por el cliente (n) y otras por el proveedor (N-n) en base al plan de muestreo.

Las curvas ATI para diferentes tamaños de lote se muestra a continuación, para n = 89 y c = 2:

p Pa ATI-N=1000 ATI-N=5000 ATI-N=100000 1 98 140 1910 1 144 385 6870 1 329 1383 27000 0 546 2552 50600 0 723 3506 69850 0 843 4155 8295

Página 263

Page 264: Resumen Control Estadístico de Proceso

0 0 916 4549 90890 0 957 4770 95360 0 979 4887 97720 0 990 4947 9892

Figura 7.8 Curvas de número de muestras inspeccionadas promedio por el cliente y por el proveedor

Los planes de Dodge-Romig minimizan el ATI para un AOQL dado, haciendo más eficiente la inspección por muestreo. Muestreo doble, múltiple y secuencial

Estos tipos de muestreo son extensiones del muestreo simple, se pueden diseñar curvas CO equivalentes.

PLANES DE MUESTREO DOBLE

Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el cual, bajo ciertas circunstancias, se requiere una segunda muestra para calificar el lote. El plan se define por los parámetros siguientes:

n1 = tamaño de muestra en la primera muestra.c1 = criterio de aceptación en la primera muestra.n2 = tamaño de muestra en la segunda muestra.c2 = criterio de aceptación en la segunda muestra.

Al aplicar el plan el número de defectivos observados en la primera muestra es d1 y los defectivos observados en la segunda muestra es d2.

Suponiendo que:n1 = 50c1 = 1n2 = 100c2 = 3

En la primera muestra de n=50 artículos, se acepta el lote si el total de defectivos d1 <= c1=1, rechazándose si d1 >c2=3.

Página 264

ATI

p

N=10000

N=5000

N=1000

Page 265: Resumen Control Estadístico de Proceso

Si d1 es igual a 2 o a 3, se toma una segunda muestra de 100 artículos, se inspecciona y se determina el número de defectivos d2 . Se acepta el lote si [d1+d2 <= c2=3] y se rechaza en caso contrario.

En ambas muestras la primera y segunda, la inspección se continua hasta inspeccionar todos los artículos, por eso se denomina inspección completa, el número promedio de artículos inspeccionados por muestra ASN es,

ASN=n1+n2(1−P1) (7.5)

donde P1 es la probabilidad de tomar una decisión en la primera muestra o sea:P1=P{el lote se acepta en la primera muestra} + P{el lote es rechazado en la primera muestra}

Si por el contrario la inspección de los artículos se suspende cuando se encuentra un número de defectivos mayor al criterio de aceptación c2 y no se inspeccionan todos los artículos, el método se denomina inspección recortada, el comportamiento de ambos esquemas se muestra a continuación,

Insp. completa

n = cte.Insp. recortada

Figura 7.9 Diferencias en muestras inspeccionadas por el cliente promedio con inspección completa y recortada

Por tanto el muestreo doble es más económico que el simple sólo para ciertos valores de p, ya que si p tiene valores intermedios el ASN es mayor implicando mayores costos de inspección.

La inspección recortada si es más económica sin embargo proporciona menos información acerca del lote.

CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓNDel ejemplo anterior, si Pa es la probabilidad de aceptación, esta se forma con la probabilidad de aceptación en la primera muestra más la probabilidad de aceptación en la segunda muestra ya sea usando la distribución binomial o la de Poisson. O sea:

Pa=PaI+Pa

II(7.6)

PaI=P(d1≤1n1 ) (7.7)

Página 265

p

ASN

Page 266: Resumen Control Estadístico de Proceso

PaII=P(d1=2n1)xP( d2≤1n2 )+P(d1=3n1 )xP( d2=0n2) (7.8)

Fig. 7.7 Curva característica de operación bajo muestreo doble

pPa (1º muestra)

Pa(2a.muestra) Pa Total En 1a. Muestra

0.005 0.974 0.023 0.997 0.9760.01 0.911 0.060 0.971 0.9290.02 0.736 0.083 0.819 0.8770.03 0.555 0.056 0.611 0.9080.04 0.400 0.027 0.428 0.9710.05 0.279 0.011 0.290 1.0220.06 0.190 0.004 0.194 1.0470.07 0.126 0.001 0.128 1.0520.08 0.083 0.000 0.083 1.0460.09 0.053 0.000 0.053 1.036

Pa

Pa totalPa1ª muestraPa 2ª muestra

pFigura 7.10 Probabilidad de aceptar en la primera o en la segunda muestra en muestreo doble

DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO DOBLEComo en el caso del muestreo simple, es frecuentemente necesario diseñar un plan de muestreo doble tomando como referencia las coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ) ya sea con n1=n2 o con n2 = 2n1. Para lo que se emplean las tablas de Grubbs (ver páginas siguientes).

Página 266

Page 267: Resumen Control Estadístico de Proceso

INSPECCIÓN RECTIFICADORA

Cuando se usa el esquema de inspección rectificadora, la curva AOQ está dada por,

AOQ={Pa

I (N−n1 )+PaII (N−n1−n2 )}pN (7.9)

Asumiendo que todos los defectivos son remplazados por artículos buenos en los lotes rechazados, la curva de inspección total promedio es,

ATI=nPaI+(n1+n2)Pa

II+N (1−Pa ) (7.10)

donde Pa=PaI+Pa

II

PLANES DE MUESTREO MÚLTIPLE

Un muestreo múltiple es una extensión del doble, donde pueden requerirse más de dos muestras para calificar el lote, por ejemplo un plan de 5 etapas es el siguiente:

Muestraacumulada Aceptar Rechazar20 0 340 1 460 3 580 5 7100 8 9

Al terminar cada etapa de muestreo, si el número de defectivos es menor o igual al número de aceptación, se acepta el lote. Si en cualquier etapa el número de defectivos acumulado excede el número de rechazo, se rechaza el lote, de otra forma se sigue tomando una siguiente muestra.

Una ventaja que tiene es que el tamaño de muestra es más pequeño que en el caso del simple o del doble, con una mejor eficiencia de inspección. Sin embargo es más complejo de administrar.

MUESTREO SECUENCIAL

Es una extensión de los planes anteriores, aquí se toma una secuencia de muestras del lote, cuya magnitud será determinada por los resultados del proceso de muestreo. Si el tamaño del subgrupo inspeccionado en cada etapa es mayor que uno, se denomina muetreo secuencial de grupo, si es uno, como es nuestro caso, se denomina muestreo secuencial artículo por artículo, basado en Wald (1947).

En este caso se tienen 2 líneas, una de aceptación y otra de rechazo, teniendo como dato las coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ), las ecuaciones de las líneas son:

Página 267

Page 268: Resumen Control Estadístico de Proceso

X ACEPTACION=−h1+sn (7.11)X RECHAZO=h2+sn

h1=( log 1−αβ )÷k

h2=(log 1−βα )÷k

(7.12)

k=logp2(1−p1 )p1(1−p2 )

s=log( 1− p1

1− p2)÷k

Ejemplo 7.3 Si p1=0.01, p2=0.06, =0.05, =0.10, se tiene al substituir valores en las ecuaciones anteriores:

k = 0.80066h1=1.22h2=1.57s=0.028

Por tanto las ecuaciones de las líneas de aceptación y rechazo son:

XA= -1.22 + 0.028n Línea de aceptaciónXB= 1.57 + 0.028n Línea de rechazo

Haciendo una tabla de valores donde el número de aceptación es el entero más próximo menor que o igual a XA y el número de rechazo es el entero más próximo superior que o igual a XR.

MUESTREO SECUENCIALn Xa Xr Xa Xr n Xa Xr Xa Xr1 -1.192 1.598 -1 2 24 -0.548 2.242 -1 32 -1.164 1.626 -1 2 25 -0.52 2.27 -1 33 -1.136 1.654 -1 2 26 -0.492 2.298 -1 34 -1.108 1.682 -1 2 27 -0.464 2.326 -1 35 -1.08 1.71 -1 2 28 -0.436 2.354 -1 36 -1.052 1.738 -1 2 29 -0.408 2.382 -1 37 -1.024 1.766 -1 2 30 -0.38 2.41 -1 38 -0.996 1.794 -1 2 31 -0.352 2.438 -1 39 -0.968 1.822 -1 2 32 -0.324 2.466 -1 310 -0.94 1.85 -1 2 33 -0.296 2.494 -1 311 -0.912 1.878 -1 2 34 -0.268 2.522 -1 312 -0.884 1.906 -1 2 35 -0.24 2.55 -1 3

Página 268

Page 269: Resumen Control Estadístico de Proceso

13 -0.856 1.934 -1 2 36 -0.212 2.578 -1 314 -0.828 1.962 -1 2 37 -0.184 2.606 -1 315 -0.8 1.99 -1 2 38 -0.156 2.634 -1 316 -0.772 2.018 -1 3 39 -0.128 2.662 -1 317 -0.744 2.046 -1 3 40 -0.1 2.69 -1 318 -0.716 2.074 -1 3 41 -0.072 2.718 -1 319 -0.688 2.102 -1 3 42 -0.044 2.746 -1 320 -0.66 2.13 -1 3 43 -0.016 2.774 -1 321 -0.632 2.158 -1 3 44 0.012 2.802 0 322 -0.604 2.186 -1 3 45 0.04 2.83 0 323 -0.576 2.214 -1 3 46 0.068 2.858 0 3

En este caso no se puede tomar una decisión de aceptación hasta que hayan transcurrido las suficientes muestras, que hagan que la línea de aceptación tenga valores positivos en Xa, 44 en este caso, y no se puede rechazar hasta en la 2ª. Muestra.

Página 269

Page 270: Resumen Control Estadístico de Proceso

3 2 1 0 20 40 60 -1

Fig. 7.11 Comportamiento del muestreo secuencial

CURVA OC y ASNPara esta curva se incluyen 3 puntos, (p1, 1-), (p2, ) y el punto medio de la curva en p=s y Pa = h2 /(h1+h2). Las muestras inspeccionadas promedio son:

ASN=Pa( AC )+(1−Pa )BC (7.13)

Donde,

A=log β1−α

B=log 1−βα

C=p log( p2

p1)+(1−p ) log (1−p2

1−p1)

INSPECCIÓN RECTIFICADORA

La calidad media de salida AOQ Pap y el número promedio de muestras inspeccionadas total es:

ATI=Pa ( AC )+(1−Pa)N(7.14)

Página 270

Línea de aceptación

Línea de Rechazo

No. de defectos acumulado

Número de

Page 271: Resumen Control Estadístico de Proceso

7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859)

Descripción de la norma

Esta norma se desarrolló durante la segunda guerra mundial emitiéndose en 1950 con la versión A. La versión D se publicó en 1963 y en 1971 fue adoptada por la ANSI con pequeños cambios como la Z1.4 y en 1973 fue adoptada por la ISO como la norma ISO 2859. En 1989 se liberó la versión E.

La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes):Muestreo simple.Muestreo doble.Muestreo múltiple

En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones:

Inspección normal.Inspección estricta.Inspección reducida.

Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es buena, reduciendo los tamaños de muestra.

El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y 10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0% para defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por cada 100 unidades, los noveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto para controlar fracción defectiva como defectos por unidad.

El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y por la selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el nivel II se considera normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Hay también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los riesgos grandes del muestreo sean aceptables.

Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el estándar MIL-STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o mejor. También proporciona un mecanismo de cambio de cambio a inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se describe a continuación.

Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados.

Página 271

Page 272: Resumen Control Estadístico de Proceso

Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.

Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes:

Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal.El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar.La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores. La inspección reducida se considera adecuada por la función responsable de la inspección por muestreo.

Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes:

Un lote es rechazado.Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote.La producción es irregular o se retarda en entregas.Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.

La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad.

Fig. 7.12 Reglas de cambio de planes de inspección

Página 272

10 lotes aceptados Producción regular Aprobado por la autoridad

responsable.

Se rechaza un Lote Lotes aceptados con no

conformidades encontrándose entre Ac y Re del plan, o

Producción irregular Otras condiciones de detección.

2 de 5. Lotes consecutivos. No aceptados.

5 consecutivos. Lotes aceptados

Reducido

10 Lotes consecutivos aceptados

Normal

Estricto

Inspección discontinua con Z1.4

INICIO Iniciando las reglas para el Sistema ANSI Z1.4

Page 273: Resumen Control Estadístico de Proceso

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05

Normal Rigurosa Reducida

Fig. 7.13 Comparación entre los planes normal, reducido y estricto

PROCEDIMIENTOLos pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:

Negociación del AQL (cliente – proveedor).Decisión del nivel de inspección.Determinación del tamaño del lote.Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente al tamaño del lote y el nivel de inspección.Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble, múltiple).Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se encuentran en el apéndice). Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran hacer cambios.

Ejemplo 7.4 Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de inspección:

La tabla I indica la letra código K.La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2.La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1.

La flecha descendente cambia la c, la letra de código y el tamaño de muestra, lo mismo para la ascendente. Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G con tamaño de muestra 32 en lugar de 20.

Para el caso de muestreo doble con los datos anteriores, la letra código es K y de las III-A, III-B y III-C se obtienen los planes de inspección normal (n1= n2=80, c1a=0, cir=3, c2a=3), estricta (mismas que n1 y n2, c1a=0, cir=2, , c2a=1, c2r=2) y reducida (n1= n2=32, c1a= c2a=0, c2r=3, c2r=4).

DISCUSIÓN

Página 273

Page 274: Resumen Control Estadístico de Proceso

Todas las curvas OC son tipo B, también se proporcionan curvas para el ASN y datos del AOQL.

El estándar MIL-STD-105E está orientado al AQL, se enfoca al lado de riesgo del productor de la curva OC, la parte restante de la curva depende de la selección del nivel de inspección. Los tamaños de muestra seleccionados son 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250 y 2000. Si se grafica el tamaño medio del rango de lotes contra el logaritmo del tamaño de muestra se obtiene una recta hasta n=80 y después una recta con una pequeña pendiente. Como la razón de N a n es decreciente conforme aumenta N se economiza en la inspección.

El estándar civil ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859 es la contraparte del estándar MIL-STD-105E, difiriendo en que:

Se usa el término “No conforme” o “no conformancia” o “porcentaje no conforme”.Cambian ligeramente las reglas de cambio agregándose una opción para inspección reducida sin el uso de números límite.Se agregan varias tablas que muestran el desempeño de los planes, como el AOQL, fracciones defectivas para Pa = 0.1 y Pa = 0.95, curvas de ASN y OC.Hay una descripción detallada de los planes de muestreo simples.Se proporciona un esquema ilustrando las reglas de cambio en inspección.

MIL-STD-105ELote S-1 S-2 S-3 S-4 I II III

2-8 A A A A A A B9-15 A A A A A B C16-25 A A B B B C D26-50 A B B C C D E51-90 B B C C C E F91-150 B B C D D F G151-280 B C D E E G H281-500 B C D E F H J501-1 200 C C E F G J K1 201-3 200 C D E G H K L3 201-10 000 C D F G J L M10 001-35 000 C D F H K M N35 001-150 000 D E G J L N P150 001-500 000 D E G J M P Q500 001 ----- D E H K N Q R

Niveles de inspección generalesNiveles de inspección especialesLetras código para el tamaño de muestra

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Page 275: Resumen Control Estadístico de Proceso

Tabla de inspección normal II-ALetra código para tamaño Tamaño de 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4de muestra muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

A 2B 3 0 1C 5 0 1D 8 0 1E 13 0 1 1 2F 20 0 1 1 2 2 3G 32 0 1 1 2 2 3 3 4H 50 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6J 80 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8K 125 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11L 200 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15M 315 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22N 500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22P 800 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22Q 1250 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22R 2000 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación

Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo

Niveles de calidad aceptables AQL (%)

Tabla de inspección rigurosa II-B Letra código para tamaño Tamaño de 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4de muestra muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

A 2B 3C 5 0 1D 8 0 1E 13 0 1F 20 0 1 1 2G 32 0 1 1 2 2 3H 50 0 1 1 2 2 3 3 4J 80 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6K 125 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9L 200 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13M 315 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19N 500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19P 800 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19Q 1250 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19R 2000 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19S 3150 1 2

Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación

Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo

Niveles de calidad aceptables AQL (%)

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Page 276: Resumen Control Estadístico de Proceso

Tabla de inspección reducida II-CLetra código para tamaño Tamaño de 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4de muestra muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

A 2B 2 0 1C 2 0 1D 3 0 1E 5 0 1 0 2F 8 0 1 0 2 1 3G 13 0 1 0 2 1 3 1 4H 20 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5J 32 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6K 50 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8L 80 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10M 125 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13N 200 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13P 315 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13Q 500 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13R 800 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación

Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo

NOTA: Si se ha excedido el número de aceptación, sin alcanzar el número de rechazo, aceptar el lote pero regresar a la inspección normal

Niveles de calidad aceptables AQL (%)

.Figura 7.14 Tablas de muestreo simple por atributos

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Page 277: Resumen Control Estadístico de Proceso

7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920)

Desarrollaron dos tipos de planes usando inspección rectificadora:Planes para el porcentaje defectuoso tolerable en el lote LTPD yLos que proporcionan un límite de la calidad máxima promedio de salida AOQL especificado.

Los planes anteriores basados en AQL no son adecuados para el caso del ensamble de productos complejos. La tabla siguiente muestra la fracción defectiva en ppm dependiendo del AQL “aceptable”.

AQL ppm10% 100,0001% 10,0000.10% 1,0000.01% 1000.00% 100.00% 1

Ejemplo 7.5 Un equipo que tiene 100 componentes y que sus componentes tienen en promedio un AQL = 0.5% , por tanto la probabilidad de que el equipo trabaje es de:

P( funciónadecuada )=(0 . 995 )100=0 . 6058

Por tanto es obvio que se requieran planes de protección del LTPD, aun cuando el AQL sea muy bajo. Para esto se utilizan los planes de Dodge-Romig principalmente para inspección de sub-ensambles.

Los planes de Dodge-Romig de AOQL y LTPD están diseñados para minimizar la inspección total promedio (ATI).

Para ambos se tiene una tabla de muestreo doble y simple. Son útiles cuando el rechazo medio del proceso es bajo (alrededor de 100 ppm).

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Page 278: Resumen Control Estadístico de Proceso

Planes de AOQL

Las tablas de Dodge-Romig (1959) tienen planes para valores de AOQL de 0.1%, 0.25%, 0.75%, 1%, 1.5%, 2.5%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10% en cada una se especifican seis valores para medias de proceso. Se tienen planes para muestreo simple y doble. Ejemplo 7.5 De la tabla para AQOL=3%; para N= 5,000, AOQL= 3% y la fracción disconforme del proveedor del 1%.

De la tabla 13.21 se obtiene n=65, c=3, LTPD=10.3%. Da una seguridad del 90% de que serán rechazados los lotes que tengan desde un 10.3% defectuoso.

Suponiendo que los lotes recibidos tengan un promedio de 1% de defectivo y la probabilidad de aceptación sea Pa=0.9957, se tiene:

ASN= n + (1-Pa)(N-n)= 65 +(1-0.9957)(5000-65)=86.22.

De esta forma se inspeccionarán 86 partes del lote en promedio.

Planes de LTPD

Se diseñaron de tal forma que la probabilidad de aceptación del LTPD sea 0.1. Se proporcionan tablas para valores de LTPD de 0.5%, 1%, 2%, 3%, 4%, 5% 7% y 10%.

Ejemplo 7.6 Suponiendo N=5,000 con fracción promedio de defectivos del proveedor de 0.25% de productos no conformes y el LTPD=1%.

De la tabla 13.23, el plan obtenido es n=770 y c=4, si los lotes rechazados son seleccionados al 100% y los artículos defectuosos se reemplazan por artículos buenos, el AOQL=0.28%.

Cuando el promedio del proceso es mayor que la mitad del LTPD, la inspección 100% es mejor económicamente.

ESTIMACIÓN DEL PROMEDIO DEL PROCESO

La utilización de los planes de Dodge-Romig depende del conocimiento de la fracción promedio no conforme del proveedor. Se puede estimar la fracción defectiva promedio del proceso por medio de carta de control p para los primeros 25 lotes del proveedor, con las causas especiales eliminadas y el proveedor haya tomado acciones para prevenir su reincidencia.

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Page 279: Resumen Control Estadístico de Proceso

8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES

Ventajas y desventajas

La principal ventaja del muestreo por variables es que se puede obtener la misma curva característica de operación con tamaño de muestra menor que el que requeriría un plan por atributos. Otra ventaja es que los datos por variables proporcionan más información del proceso que los atributos. Cuando los AQLs son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra requerido en el caso de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño. Cuando la inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más económicos.

Como desventajas se tienen el probable alto costo de las mediciones versus juzgar por atributos, a pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que es necesario un plan de muestreo para cada característica importante del producto.

Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser normal ya que de otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan de muestreo por variables. Esto es más crítico cuando las fracciones defectivas son muy pequeñas.

En la figura de la página siguiente se muestran las diferencias para varias distribuciones. Si la distribución no es normal se puede diseñar un plan si se puede determinar la fracción defectiva a partir de la media y la desviación estándar de esa distribución.

Los planes especifican el número de artículos a muestrear en los cuales se hacen mediciones en la característica de calidad seleccionada, y el criterio de aceptación de esos lotes.

Una comparación entre los diferentes tipos de muestreo se da a continuación, considerando una p1 = 0.01, p2 = 0.08, = 0.05 y = 0.10:

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Page 280: Resumen Control Estadístico de Proceso

Tipo de muestreo n ó ASN1. Muestreo simple por atributos n = 67.2. Muestreo doble por atributos ASN en p1 = 453. Muestreo múltiple por atributos ASN en p1 = 416. Muestreo simple por variables, n=27 sigma desconocida, método de s7. Muestreo simple por variables n=10 Sigma conocida

Como se observa, si la distribución es normal y la desviación estándar es conocida, el costo de muestreo por variables es menor.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Existen dos tipos de planes de muestreo por variables, los que controlan la fracción defectuosa del lote y los que controlan un parámetro del proceso tal como la media.

8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA

Como la característica de calidad es una variable, siempre existirá ya sea un límite de especificación inferior LIE, límite de especificación superior o ambos, que definan los valores aceptables de esa característica.

Considerando una característica de calidad x normalmente distribuida y un límite inferior de especificaciones LIE, la fracción defectiva p es función de la media del lote m y su desviación estándar .

Asumiendo que la desviación estándar del proceso es conocida, se desea tomar una muestra del lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la fracción defectiva p es aceptable. Para esto se tienen dos métodos.

p

LIE X__

x

Figura 8.1 Bases del muestreo por variables

Procedimiento 1.

Tomando una muestra aleatoria de n artículos del lote y calculando el estadístico

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Page 281: Resumen Control Estadístico de Proceso

ZLIE=X−LIE

σ (8.1)

ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el límite inferior de especificación LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra estará más alejada del LIE y en consecuencia menor será la fracción defectiva p.

Si hay un valor crítico p que no deba ser excedido con una probabilidad establecida, se puede traducir el valor de p en una distancia crítica por decir k para ZLIE. De esta forma si ZLIE <= k, se aceptará el lote ya que automáticamente la fracción defectiva p es satisfactoria, en caso contrario la fracción defectiva p es mayor que la aceptable y se rechazará el lote.

Ejemplo 8.1 Si m=100, =10 y LIE= 82:

ZLIE=X−LIE

σ=82−100

10=−1 .8

Donde (-1.8) = 0.0359 o sea el 3.59% defectuoso.

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de tener un límite superior de especificación unilateral LSE.

ZLSE=LSE−X

σ (8.2)

Cuando se tiene un solo límite de especificación, la relación entre Z y la fracción defectiva (p) es:

p Zs ó Zi

0.67450.84161.03641.28161.64492.05372.3263

Procedimiento 2.

A partir de una muestra sencilla de tamaño n del lote, se calcula ZLIE o QLIE=Z LIE√n /(n−1) (más exacto) y se estima la fracción defectiva p como el área bajo la curva normal debajo de ZLIE, si esta fracción estimada p, excede un valor máximo M, se rechaza el lote, de otra forma se acepta.

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Page 282: Resumen Control Estadístico de Proceso

Para el caso de límites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.

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Page 283: Resumen Control Estadístico de Proceso

QLIE=X−LIE

σ √n /(n−1)(8.3)

QLSE=LSE−X

σ √n/( n−1)

Se estiman las fracciones defectivas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada en el apéndice para estimar las fracciones defectivas pI y pS, si la suma de ambas fracciones defectivas no excede al valor máximo permitido M se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote.

Cuando la desviación estándar es desconocida, se puede estimar de la desviación estándar de la muestra s, remplazando en las fórmulas anteriores a por s.

8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES CON UNA CURVA CO ESPECÍFICA

Para diseñar un plan de muestreo por variables usando el procedimiento 1, el método de k, que tiene una curva OC especificada por dos puntos (p1, 1-), (p2, ) donde p1 y p2 son las fracciones defectivas que corresponden a niveles de calidad aceptables y rechazables respectivamente se utiliza un nomograma.

L. J. Jacobson propuso un nomograma mostrando dos escalas diferentes (ver página siguiente), para estimar n y k con sigma conocida y sigma desconocida.

Utilizando este nomograma podemos obtener la curva característica de operación CO, cambiando los valores de las fracciones defectivas p y hallando sus probabilidades de aceptación si se mantiene fijo n y k.

Ejemplo 8.2 Un embotellador ha establecido que la resistencia mínima para una botella de plástico sea de LIE= 225 psi, si a lo más el 1% no pasa el límite, se aceptará el lote con una probabilidad del 95% (p1=0.10 y 1-= 0.95), mientras que si el 6% o más están abajo del límite, el embotellador rechazará el lote con una probabilidad de 90% (p2=0.06, = 0.10).

Para hallar el plan de muestreo por variables n, k, se traza una línea que une a el punto 0.01 en la escala de fracción defectivas con el punto 0.95 en la escala de probabilidad de aceptación. Después se traza una línea similar que conecta los puntos p2 = 0.06 y Pa=0.10, en la intersección de esas líneas se lee, k=1.9 y n=40 para desconocida (siguiendo la línea curveada) o n=15 (bajando una línea perpendicular) para conocida.

Procedimiento 1Si se desconoce la desviación estándar, se toma una muestra aleatoria de n = 40 piezas calculando la media y la desviación estándar s, se calcula ahora:

ZLIE=X−LIE

σ

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Page 284: Resumen Control Estadístico de Proceso

Si ZI k = 1.9 se acepta el lote, de otra forma se rechaza.

Si se conoce la desviación estándar, la n pasa de 40 a 15 con menos costos, al bajar en forma perpendicular en el punto de intersección hacia la escala de n.

Procedimiento 2.

Una vez obtenidas n 40 y k = 1.9, se obtiene el valor de M del nomograma de la fig. 14.3,

La abscisa se calcula como sigue (con n = 40 y k = 1.9):

12− k √n

2(n−1)= 1

2−1 .9√40

2(39 )=0 .35

Esto indica que M = 0.30.

Por ejemplo si se toma una muestra de n=40 partes y se observa que la media de la muestra X=255 y s = 15, el valor de ZLIE es:

Z LIE=X−LIE

s=225−225

15=2

de las tablas para fracción defectiva al final de este capítulo se obtiene una p = 0.020, y siendo que es menor que M = 0.030, se acepta el lote.

Para límites bilaterales se obtienen ambas pi y ps en base a Zi y Zs, si pi + ps M se acepta el lote, si no se cumple lo anterior, el lote se rechaza.

8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993

Originalmente se emitieron las tablas MIL-STD-414 sin embargo posteriormente fueron homologadas con las tablas MIL-STD-105E (incluyendo inspección normal, reducida y estricta y concordancia en las letras código de los planes para cada AQL) para su uso en la industria dando lugar a las tablas Z1.9 de la ASQC.

Se enfoca al AQL (entre 0.1% a 10%) con cinco niveles generales de inspección (el normal es el II), el nivel III tiene una curva más abrupta que el nivel II. Se pueden usar niveles más bajos (S3 S4) para reducir costos muestrales si se toleran riesgos mayores.

Tiene la siguiente organización:

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Page 285: Resumen Control Estadístico de Proceso

Variabilidad VariabilidadDesconocida Conocida

Método de S

Especificación EspecificacionesUnilateral Bilaterales

Procedimiento 1 Procedimiento 2 Procedimiento 2(Método de k) (Método de M) (Método de M)

Fig. 8.2 Organización del muestreo por variables

Tienen 4 secciones:

A. Descripción general, con definición de términos, código de letras de tamaño de muestra, y curvas OC de los planes.B. Planes basados en la desviación estándar de la muestra con sigma del proceso desconocida.C. Planes basados en la amplitud de la muestra con sigma desconocida (ya descontinuado).Planes basados en la media de la muestra cuando se conoce la sigma del proceso.

USO DE LAS TABLAS

Las tablas se encuentran en el apéndice y su uso se ilustra con un ejemplo:

Ejemplo 8.4 Para el caso del embotellador: Si el límite inferior LIE = 225 psi, suponiendo que el nivel de calidad aceptable en este límite es AQL = 1% y que las botellas se embarcan en lotes de N = 100,000, con sigma desconocida se tiene:

Procedimiento 1. En la tabla A-2 se identifica el código de letra, en este caso, la N: En la tabla B-1 se determina la n y k en este caso con la letra N y AQL= 1.00 negociado entre proveedor y cliente, se obtiene k = 2.03. Para el caso de inspección severa (escala inferior) k = 2.18. Para el caso de inspección reducida k = 1.8 de la tabla B-2.En la tabla B-3 se determina M en el renglón de N y columna de AQL= 1% obteniéndose M= 2.05%. Para inspección severa M = 1.42%. Para inspección reducida, de la tabla B-4 se obtiene k = 3.44%.4. La inspección estricta se usa cuando 2 de 5 lotes han sido rechazados5. La inspección reducida se usa cuando los 10 lotes anteriores se han aceptado y su fracción defectiva estimada es menor que un límite inferior especificado y la producción es estable.

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Page 286: Resumen Control Estadístico de Proceso

6.La tabla B-6 se usa para obtener la desviación estándar máxima que se debe obtener en la muestra con base a la tolerancia. Si el valor de s excede este valor, se rechaza el lote.

Nota: Es posible pasar de planes de muestreo con sigma desconocida a planes con sigma conocida con menor n si se demuestra estabilidad en una gráfica X -s para los lotes (al menos para 30). Los planes específicos para este tipo de planes se deben consultar en el estándar.

EJEMPLOS TOMADOS DEL ESTANDAR Z1.9-1993

VARIABILIDAD DESCONOCIDA – MÉTODO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

B1. Plan de muestreo para límite especificación unilateral. Forma 1De la tabla A2 seleccionar la letra código de función del tamaño del lote y el nivel de inspección.Usar tablas B1 (normal y estricta) y B2 (reducida) para obtener el plan.n - tamaño de muestra.K - constante de aceptabilidadObtener mediciones de muestras , calcular¯X y s.Criterio de aceptación.LSE - Límite superior de especificación.LIE - Límite inferior de especificación.

Comparar (LSE – ¯X) / s ó (¯X– LIE) / s con k. Si es mayor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Ejemplo 8.5 La máxima temperatura de operación es de 209ºF. Un lote de 40 artículos se inspecciona, tomando AQL = 1%, nivel II.

Solución.De tabla A2, se selecciona la letra D.De la tabla B1, n = 5, k= 1.52Suponiendo lecturas 197º, 188º, 184º, 205º y 201º.¯X= 195 , s = 8.8( LSE - ¯X ) / s = (209 – 195) / 8.8 = 1.591.59 > k por tanto se acepta el lote.

B5- Usando la forma 2Usar tablas B3 ( normal y estricta) y B4 (reducida) y obtener el plan de inspección, n y M Porcentaje máximo de no conformes.Obtener mediciones de muestras, calculando¯X y s.Criterio de aceptación.Calcular el índice de calidad QS= (LSE - ¯X ) / s

QI= (¯X – LIE ) / sEn tabla B5 entrar con QU o QL para encontrar porcentaje estimado no conforme PS o PI.

Comparar PS o PI con M , si es igual o menor se acepta el lote, se rechaza en caso contrario.

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Page 287: Resumen Control Estadístico de Proceso

Ejemplo 8.6 De lo anterior; ¯X = 195 ; s = 8.8De la tabla B3 se obtiene M = 3.33% para letra D, n = 5 y AQL = 1%.De la taba B5 con QS= 1.59 se obtiene PS = 2.19%Como PS M se acepta el lote.

B8. Plan de muestreo para doble límite de especificación.Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.Obtener el plan n y M de tabla B3 y B4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite M I y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M.Obtener mediciones del muestreo.Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - ¯X ) / s y QL =( ¯X – LIE ) /sDe tabla B5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.Pestimada= PI + PS

Comparar Pest. Con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Nota: Cuando hay diferente AQL para cada límite:Aceptar si PI MI y PS MS y P = PI + PS mayor (MS, MI)

Ejemplo 8.7 Se inspecciona un lote de 40 muestras con nivel de inspección II, inspección normal y

en base a temperaturas de los ejemplos anteriores, n = 5, X¿

= 195; s= 8.8; considerando LIE= 180F; LSE= 209F; AQL= 1% donde de tabla B-3 M = 3.32%

QS=

209−1808. 8

= 1.59 ; PS = 2.19% (de tabla B-5)

QI=

195−1808. 8

=1.704; PI = 0.66% (de tabla B-5) por tanto la fracción defectiva total es de

p = 2.85%

Como P < M se acepta el lote.

Ejemplo 8.8 Si el AQLS= 1% y AQLI= 2.55% de tabla B3, MS= 3.32% , MI=9.8%PS= 2.19% ; PI= 0.66% P = 2.85%Comparando PS MS ; PI MI y P MI

Se acepta el lote.

VARIABILIDAD CONOCIDA

D.1 Sólo un límite de especificación. Forma 1. Usar tabla D1 y D2 para obtener n y k

Ejemplo 8.9 Se toma un lote de 500 artículos para inspección. LIE= 58,000 psi. N= 500, nivel II, inspección Normal. AQL= 1.5%. La variabilidad es conocida con valor 3,000 psi

a) de tabla A2, se identifica la letra I y de tabla D1 obtenemos n = 10

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Page 288: Resumen Control Estadístico de Proceso

Valores de muestra 62,500; 60,500; 68,000; 59,000; 65,50062,000; 61,000; 96,000; 58,000; 64,500.

Cálculo de ¯X= 63,000 ; ( ¯X – LIE) / = 1.67De tabla D1 ; k = 1.7Comparando ( ¯X – LIE)/ < k y el lote se rechaza.

D.5 Usando la forma 2.Usar tablas D3 y D4 obteniendo n, M y VCalcular QS= (LSE - ¯X) V / y QL=( ¯X – LIE) V / Usando tabla D5 estimar PS y PI

Comparar D= PS + PI M para aceptabilidad

Ejemplo 8.10 Sea LIE= 58,000 psi; tamaño del lote 500 artículos;¯AQL = 1.5%; Inspección nivel II,

normal. De los datos anteriores se obtuvo X¿

= 63,000; n = 10 ; = 3,000. De tabla A-2 se obtiene la letra I.Obtención en tabla D3 de n, M y V como 10, 3.63%, 1.054 respectivamente.Cálculo de QL =(63,000 - 58,000) * 1.054 / 3,000 = 1.756Determinar PL de tabla D5 con QL= 1.756 es 3.92%Como PL > M se rechaza el lote.

D9. Plan de muestreo para doble límite de especificaciónDeterminar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.Obtener el plan n, el factor v y el porcentaje máximo aceptable M de tabla D3 y D4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M.Obtener mediciones del muestreo en n partes.Calcular la media de los datos.Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - ¯X ) v / y QL =( ¯X – LIE ) v / De tabla D-5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.Pestimada= PI + PS

Ejemplo 8.11 La especificación para una colada de acero es de 67,000 y 58,000 psi respectivamente. Un lote de 500 artículos se somete a inspección. El nivel de inspección es II, inspección normal con AQL = 1.5%. La variabilidad conocida con valor 3,000 psi.

De tabla D-3 se obtuvo n = 10, v = 1.054, M = 3.63%

De las mediciones de las 10 muestras se obtuvo X¿

=63 ,000Los índices QS con QL son respectivamente 2.459 y 3.162 con fracciones estimadas defectuosas 0.697% y 0.078% de la tabla D-5.Como la fracción defectiva total no excede el valor de M = 3.63%, se acepta el lote.

NOTA: Comparar Pestimada con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

DISCUSIÓN DE LA NORMA ASQC Z1.9 e ISO 3951 (1981)

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Page 289: Resumen Control Estadístico de Proceso

Una consideración muy importante en el uso de las normas es que la población de donde se obtienen las muestras debe ser normal. Es más crítico para pequeños valores de AQL.

Es muy importante realizar pruebas de normalidad en los extremos de la distribución para asegurar que la norma Z1.9 es aplicable sin modificaciones.

Los ajustes que se hicieron en la norma ASQC Z1.9 (1980) e ISO 3951 (1981) son:Los rangos de tamaño de lotes se ajustaron para corresponder con la MIL-STD-105E por atributos.Se ordenaron las letras código para tener la misma protección que con la MIL-STD-105E.Los niveles de inspección originales I, II, III, IV y V se denominaron S3, S4, I, II y III.En la ISO 3951 se eliminaron los planes que consideran a los rangos en vez de las desviaciones estándar.En la ISO 3951 y en la Z1.9 se eliminaron los AQLS de 0.04, 0.065 y 15%.Cambios en las reglas de transferencia.Se adoptan las mismas reglas que en la 105E para el paso de inspección normal a severa y viceversa con ligeras modificaciones.La norma Z1.9 permite el paso de inspección normal a reducida si:10 lotes en inspección normal fueron aceptados.La producción es continua.La inspección reducida es aprobada.La ISO 3951 permite el paso a inspección reducida si 10 lotes sucesivos han sido aceptados y:El AQL es un paso menor.El proceso está bajo control estadístico.La inspección reducida es aprobada.La ISO 3951 permite el paso de un método de sigma desconocida a sigma conocida, utilizando como sigma el valor promedio estimado en la carta de control estable con al menos 30 subgrupos. Requiriendo la continuación de la carta s o R.

Su ventaja principal es que se puede iniciar con un esquema de muestreo por atributos con la MIL-STD-105E, obtener información suficiente y después cambiar a un esquema por variables manteniendo la misma combinación de letra para el AQL.

Es muy importante una prueba de normalidad a partir de los datos variables de cada lote.

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Page 290: Resumen Control Estadístico de Proceso

8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES

ASEGURAMIENTO DE LA MEDIA DEL PROCESOLos planes de muestreo por variables también pueden utilizarse para asegurar la calidad media de un material en lugar de su fracción defectiva. El método general que aquí se emplea es el de prueba de hipótesis, lo cual se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 8.12 Se considera aceptable un lote si tiene menos de 0.3 ppm de emisiones de formaldeído en maderas. Se diseña un plan de muestreo con una probabilidad de aceptación del 95% si las emisiones son en promedio de 0.3 ppm, y los lotes con un 0.4 ppm tengan una probabilidad de aceptación del 10%. Si por experiencia se sabe que la desviación estándar es 0.10 ppm, se tiene:

Si X A es la media muestral debajo de la cual se aceptará el lote, está normalmente distribuida y tiene una probabilidad de 0.95 de aceptación, entonces,X A−0 .3

σ√n

=X A−0 . 30 .1

√n

=+1.645

(8.4)

En forma similar si los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.40 ppm tienen una probabilidad de 0.10 de aceptación, entonces,

X A−0 . 4σ√n

=X A−0 . 40. 1√n

=−1. 282

(8.5)resolviendo para X A y n se obtiene:

XA = 0.355 n= 9

Muestreo secuencial por variablesSimilar al de atributos graficando la suma acumulada de las mediciones de la característica de calidad. Las líneas para aceptación del lote, rechazo del lote y continuación del muestreo se construyen en forma similar a las de atributos (ver Duncan 1986).

APÉNDICES

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Page 291: Resumen Control Estadístico de Proceso

FORMULAS DE CARTAS DE CONTROL

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLESCARTAS Xbarra-R

Límites de control para medias n =5

LSC = X + A2R

LIC = X - A2R

Límites de control para rangos n=5LSC = D4

RLIC = D3

R

CARTAS Xbarra-SLímites de control para medias

LSCx = X + A3 S

LCx = X

LICx = X - A3 S

Límites de control para desviaciones estándar

LSCs = B4S

LCs = S LICs = B3

S

CARTAS I-MR de valores individualesPara los valores individuales n=2

LSCx = X+3 MR

d2

LCx = X

__

LICx = X−3 MR

d2

Para el caso del rango se usan las mismas de la carta Xbarra-R con n=2

CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

CARTA p

pi=Di

ni

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Page 292: Resumen Control Estadístico de Proceso

p=∑i=1

m

Di

mn=∑i=1

m

pi

m

LSCp = p__+3√ p

__(1− p

__)

n

LCp = p__

LICp = p__−3√ p

__(1−p

__)

n

CARTAS np

LSC np=np+3√np (1−p)LCnp=npLICnp=np−3√np(1−p )

CARTAS c

LSCc = c + 3 √cLCc = c

LICc = c - 3 √c

CARTAS u

u= cn

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de datos preliminar

LSCu=u+3√ un

LCu=u

LSCu=u+3√ un

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROLLas constantes para límites de control en las cartas X-R son:

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Page 293: Resumen Control Estadístico de Proceso

n A 2 D3 D 4 d 2 2 1.880 0.000 3.267 1.1281.023 0.000 2.574 1.6930.729 0.000 2.282 2.0595 0.577 0.000 2.115 2.3266 0.483 0.000 2.004 2.5347 0.419 0.076 1.924 2.7048 0.373 0.136 1.864 2.8479 0.337 0.184 1.816 2.97010 0.308 0.223 1.777 3.078

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Page 294: Resumen Control Estadístico de Proceso

Las constantes para límites de control en las cartas X-S son:n c 4 A A 3 B3 B 4 B 5 B6 .

5 0.9400 1.342 1.427 0 2.089 0 1.9646 0.9515 1.225 1.287 0.030 1.970 0.029 1.8747 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.8068 0.9650 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.7519 0.9693 1.000 1.032 0.239 1.761 0.232 1.70710 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.66911 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.63712 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.61013 0.9794 0.832 0.850 0.382 1.618 0.374 1.58514 0.9810 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.56315 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.54416 0.9835 0.750 0.763 0.448 1.552 0.440 1.52617 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.51118 0.9854 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.49619 0.9862 0.688 0.698 0.497 1.503 0.490 1.48320 0.9869 0.671 0.680 0.510 1.490 0.504 1.47021 0.9876 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.45922 0.9882 0.640 0.647 0.534 1.466 0.528 1.44823 0.9887 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.43824 0.9892 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.42925 0.9896 0.600 0.606 0.565 1.435 0.559 1.420

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