Resumen CT

7/25/2019 Resumen CT

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Tomografa computarizada enclculo multivariable.

1.IntroduccinG.N Hounsfield de EI ! "llan .#orna$ de la %niversidad de Tufts desarrollaron la tomografa

computarizada &ue les vali el nobel de medicina en 1'('.

El funcionamiento de los escneres m)dicos como la resonancia magn)tica nuclear * N+ por siglas en

ingl)s, o la tomografa computarizada *#T, es bsicamente la produccin de imgenes del cerebro de

un paciente a trav)s de radiaciones electromagn)ticas- o ra!os respectivamente- desde el eterior de

la cabeza. Es decir- se trata de un procedimiento no invasivo &ue reconstru!e imgenes del interior del

ob/eto al irradiarlo.

0.odelo fsico de los escaners #T tambi)n llamadostomgrafos.

%n ra!o consiste en fotones &ue via/an en lnea recta Lr , a una distancia r a partir del origen !

siguiendo una direccin perpendicular a un vector a .

i cierto numero de fotones de ra!os23 N(s) golpean un ob/eto con un coeficiente de absorcin

f(x ( s)) ! longitud 4 localizado en un punto x en una posicin s sobre la tra!ectoria de los

ra!os Lr , a - el ob/eto absorber algunos fotones ! permitir el paso de un numero menor 5

N(s+h)


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limh 0

N(s+h )N( s)h N(s )

=f(x (s ))

8o cual e&uivale a afirmar &ue

N '( s)N( s)=f(x (s ))

Integrando la relacin anterior entre el punto de entrada *9in:, ! el de salida *9out:, del ra!o2- se

obtiene &ue5

ln (N(out))ln (N( ))=Lr, af(x (s ))

ln(N(out)N( ))=(R f)(r , a)7e ese modo- si el tomgrafo #T mide el n;mero o la intensidad de los fotones en el ra!o2 antes *

N( ) , ! despu)s de * N(out) , de su paso a trav)s del cuerpo- se produce el valor

ln (N(out)/N( )) &ue forma la transformada de radn (R f)(r , a) de la densidad del te/ido f

a lo largo de las lneas de los ra!os2. El cerebro del escner debe entonces reconstruir los valores

todava desconocidos de la densidad del te/ido f(x ) en todos los puntos x del cuerpo. 8a

programacin de ello- se eplica ms adelante.


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Haciendo el producto interno , entre el vector posicin r=(x1 , x2) ! cada uno de los vectoresdirectores de los e/es- se obtienen las pro!ecciones ortogonales de r en los nuevos e/es.

A , r = (0.6,0 .8) ,(x1, x2)=0.6x1+0.8x2

B ,r =(0.8,0.6 ) ,(x1 , x2)=0.8x1+0.6x2

i se conoce la medida de la pro!eccin en cada e/e- se llega entonces a las igualdades5

0.6x1+0.8x2=0.7

0.8x1+0.6x2=0.5

+esolviendo entonces el sistema se encuentra la posicin del

punto en el plano con el sistema coordenado ortogonal

formado por A ! B .

adores deben dise>ar una serie de algoritmos para recrear la imagen mostrando los te/idos del

paciente. #omo la absorcin del ra!o2 depende de la totalidad

de masa atravesada por este- sistema operativo debe resolver un

sistema de ecuaciones &ue determina la densidad de masa en

varios puntos del cuerpo del paciente. Todo ello a fin de producir

una imagen ;til para el diagnstico m)dico.

8a figura 0 ilustra el rol de las matemticas en la tomografa

computarizada. En el tringulo- los tres discos representan tres

rganos cu!a localizacin es conocida- pero no sus masas *

X1

, X2y X

3respectivamente, mientras &ue las lneas rectas

representan los ra!os2. En general- los rganos se encuentran

uno frente a otro- por lo &ue cada ra!o atraviesa ms de un

rgano. =or e/emplo- en la figura el ra!o L12 atraviesa la


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masa total X1+X2 al atravesar los primeros dos rganos por lo cual se absorbe una cantidad

B12 de la intensidad del ra!o.

#omo el sistema solo tiene una ;nica solucin- la medicin de las absorciones * B12 , B23, B31 , ! la

resolucin del sistema linear resultante *eliminacin con ordenador, revela las masas * X1 , X2 , X3 ,.

EJEMPLO. uponer &ue el escner produce medidas5

B12=0.8 , B23=0.9 , B31=0.7 . El sistema de ecuaciones se vuelve entonces5

{X

1+X2=0.8X2+X3=0.9X1+X3=0.7

+esolviendo el sistema- se obtienen las masas X1=0.3 , X2=0.5y X3=0.4 .

=ara el diagnstico m)dico- #T calcula la densidad de los te/idos- nos solo para tres ubicaciones- sino

para miles de locaciones en cada rgano. 7e ello surgen los sistemas de miles ecuaciones lineales de

miles de incognitas. En la cual llamaremos XN a la densidad *o me/or dic4o el coeficiente de

absorcin, en el N2)simo punto seleccionado.

7e 4ec4o- solo el caso de tener cuatro puntos- se vuelve problemtico - pues produce no cuatro sino

seis ecuaciones- como se observa en la figura


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{X2+X3+X4=B1X1+X3+X4=B2X1+X2+X4=B3X1+X2+X3=B4

EJEMPLO. uponer las cuatro mediciones * B1, B2, B3 , B4 ,@ * 7,6 ,9,8 ,- el sistema se vuelve

entonces5

{X2+X3+X4=7X1+X3+X4=6X1+X2+X4=9X1+X2+X3=8

Entonces- se obtienen las masas * X1 , X2 , X3, X4 ,@ * 3,4,1,2 ,.

7e manera similar a lo mostrado para #T- estas cuatro masas sirven solo de e/emplo para eplicar la

naturaleza del N+. Aa &ue en la realidad- la precisin ! la resolucin ptima para el diagnstico

m)dico re&uiere miles de puntos- lo &ue origina sistemas con miles de ecuaciones.

Por estas y otras razones, el mtodo descrito en esta seccin Tcnica de reconstruccin algebraica

(ART)- a quedado confinada a alicaciones articulares!

Para la tomograf"a general, se #a desarrollado otro mtodo, basado en el c$lculo multi%ariable y

temas matem$ticos relacionados, que #an demostrado ser m$s efecti%os como se describe en lassiguientes secciones!

Adem$s de este, e&isten m$s tios de 'T, or eemlo, con rayos- no solo en un lano, sino en el

esacio tridimensional (consultese *oc#ure+)!

?. Transformada de +adn.

ientras &ue la reconstruccin algebrica modela los te/idos internos a partir de un n;mero finito depuntos o c)lulas- el m)todo presentado a continuacin modela te/idos internos con una funcin de dos

variables &ue representan la densidad del te/ido en cada punto de una seccin transversal del

paciente. 8a mediciones a partir de un escner #T depende entonces de la masa total recorrida por

cada ra!o. Estas mediciones corresponden a las integrales de densidad sobre cada lnea recta en el

plano. #on un gran n;mero de puntos- los modelos continuos como este 4an probado ser ms efectivos

&ue los modelos discretos. Estas ideas se presentan detalladamente a continuacin.

?.1 El con/unto de todas las lineas rectas en el plano.


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=ara asignar ciertas medidas a ra!os2 especficos- es necesario especificar la posicin de cada ra!o2.

#on ra!os2 modelados como lineas rectas- de tal manera &ue- especificar la posicin de cada ra!o2

e&uivale a especificar la locacin ! orientacin de cada lnea recta en el plano. %n m)todo usual

consiste en describir el punto ms cercano de cada lnea recta en el plano Lr , aR2

-

R2={ (x , y ):x , yR }

por dos n;meros reales en coordenadas polaresr (cos a , sina)

.

%sualmente con la convencin rR2

! 0 a


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Estos n;meros tambi)n proporcionan una parametrizacin de la recta Lr , a . Esta lnea pasa a trav)s

de r a

! es paralela al vector unitario na=(sina ,cosa) perpendicular a a=(cos a , sina)

. En consecuencia- para cada punto x=(x , y) en la recta- si s= d (x , r a) denota la distancia

euclidiana desde x 4asta r a positiva se va en direccin de na *o negativa de lo contrario,-

entonces5

x=r a+ s na(2)

r (cos a ,sina)+ s(sina ,cos a)

(r cos assin a , r sina+scosa)

Cue es la parametrizacin de la recta Lr , a .por su longitud de arco s .


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EJEMPLO. 8a lnea de coordenadas polares 5 r=5 ! a=

3 tiene la ecuacin param)trica5

(xy )=(r cosassinarsina+scos a )=(5 (1/2 )s (3 /2)5 (3/2 )s (1/2))

?.0 Integrales de funciones sobre lneas rectas.

Esta subseccin eplica la naturaleza de las mediciones desde un tomgrafo en t)rminos de integrales.

ea R2

el subcon/unto del plano correspondiente a la seccin transversal del paciente. =or

certitud- asumir &ue es cerrado ! acotado. Tambi)n- considerar la funcin continua

f:R2

R tal &ue f(x , y ) modela la densidad *coeficiente de absorcin lineal, de los te/idos

internos en el punto (x , y ) D en particular f(x , y )=0 en cada punto fuera de .

ea tambi)n{xR :!R2


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=ara cada recta Lr , a con coordenadas polares r , a eisten dos casos.

i r>R entonces la linea no intersecta el disco por lo cual

fR , $=0 (R fR ,$ )(r , a )=0 xLr ,a

i r R entonces la lnea intersecta el disco en el segmento de longitud 2d dado

por x2+d2=R2 - de donde d=R2r2 como se muestra en la figura '. El segmento se

etiende una distancia d paralela a Lr , a en cada lado del punto r a debido a &ue

! Lr , a son sim)tricos respecto al dimetro.


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=or lo tanto la transformada de +adn- &ue es la integral sobre el rea sombreada en la figura 1F- es5

(R fR , $)(r , a )=%

%

f(r cos assin a , r sin a+scosa )ds

d

d

$(1r cos assin a2+r sina+scos a2

R )ds

R2r2

R 2r2

$(1r2+s2

R )ds

2$ {s1R[s2 r2+s2+ r2

2arcsin

s

R]}|0R2r2

2${R2r21R[R2r2

2R+

r2

2arcsin

R2r2R ]}


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$ {R2r2r2

Rarcsin

R2r2R }

En la prctica- cada recta Lr , a representa un ra!o2 ! los n;meros representan las mediciones

proporcionadas por el tomgrafo. El problema de la #T consiste entonces determinar los valores

f(x , y ) de la densidad de los te/idos internos a partir de las mediciones (R fR , $)(r , a ) .=articularmente- aun&ue &ue la teora de la transformada de +adn resulta indispensable para orientar

el dise>o de escneres- raramente se determina la forma eplcita de la transformada de +adn de una

funcin en especfico- salvo por alg;n pe&ue>o n;mero de casos de prueba como en el e/emplo

anterior.

B. "proimacin a la identidad.En la prctica- las medidas pueden sufrir imprecisiones debido a las limitaciones en los aparatos de

medicin o a perturbaciones eternas imprevistas- por e/emplo. in embargo- muc4as de estas

imprecisiones pueden cancelarse en el promedio- por ello- este puede ser muc4o ms preciso &ue una

sola medicin. Es esta la razn de &ue los clculos prcticos de una imagen a partir de las mediciones

un ra!o2 involucran medias o medias ponderadas con ma!or peso cerca de la posicin de inter)s !

menor pero en zonas le/anas- como se describir a continuacin.

B.1 unciones de densidad en una dimensin.

El promedio usual de una funcin continua f : [a ,b ] R sobre un intervalo cerrado ! acotado

[a ,b ] con a


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Definicin2: Funcin de densidad (ponderacin o peso) unidimensional.

*e le llama as" a la funcin & :R R tal que

/) R|& (t)|dt


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8as funciones anteriores asignan un peso ma!or al origen *t@F, ! ning;n peso fuera del intervalo 21-1J.

=ero- algunas situaciones re&uieren la posibilidad de a/ustar el tama>o relativo de los pesos ma!ores !

el intervalo dnde se encuentra el ma!or peso.

8a composicin de una funcin de densidad&( t)

&ue asigne ma!or peso cerca del origen con unatraslacin definida al 4acer el cambio tut produce una nueva funcin de peso &ue asigna

ma!or peso cerca del punto u .

B.0 "proimaciones a la identidad en una dimensin.

#ual&uier coleccin de funciones densidad como h$ del e/emplo 0 en la subseccin anterior- &ue

permite el a/uste del intervalo de ma!or peso lleva el nombre de 9aproimacin a la identidad: por las

razones eplicadas a continuacin.


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Definicin 3: Aproximacin a la identidad

*e refiere al conunto de funciones densidad {&$ :$>0 } tal que la disminucin de c imlica la

disminucin del inter%alo en el cual la funcin densidad &$ asigna el mayor eso

/) Para cada inter%alo 1-R,R2 con R>0

lim$ 0

R

R

&$ (t) dt=1

El nombre aproimacin de la identidad surge del 4ec4o de &ue surge del 4ec4o de &ue promediar una

funcin f con funciones de densidad t&$ (xt) a partir de una aproimacin a la identidad-

aproima el valor f(x) con un aumento de precisin cuando $ tiende a cero- como se muestra

en la figura 10.

Proposicin 1.=ara cada funcin f:R R continua en t=x ! para cada aproimacin a la

identidad {&$ :$>0 } tenemos &ue5

f(x )=lim$ 0

R

R

f( t) &$(t) dt

Demostracin. =or definicin de continuidad de f en x - se tiene &ue >0 eiste (>0

para el &ue.

|f(t)f(x )|


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|R f(x ) &$ (t) dtR f( t) &$ (xt) dt|

|R[ f( t)f(x )] &$(t) dt|

R|[ f( t)f(x )] &$ (t)|dt

R |&$ (t)|dt

R|&$ (t)|dt)

Cue tiende a cero si tiende a cero. =or ello5

lim$ 0

|f(x )R f( t) &$ (xt) dt|=0

f(x )=lim$ 0

R f( t) &$(xt)dt

Definicin 4: ircun!olucin

Para cada ar de funciones f:R R y h :R R ara las cuales la siguiente integral

e&iste, definimos la circun%olucin de f y h como la funcin denotada fh con

(fh ) (r )R f( s ) h (rs) ds

8os resultados siguientes muestran &ue ninguna funcin de densidad puede servir como blo&ue de

construccin de una aproimacin a la identidad.

Proposicin 2.=ara cada funcin de densidad & :R R tal &ue &( t)=0 t[1,1] el

con/unto {&$ :$>0 } definido por5

&$ (t)1

$ &(t$ )

#onstitu!e una aproimacin a la identidad

Demostracin. +ealizar el cambio de variables t$s ! s t/$ . =ara cada R>0 si

0


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R &$(t) dt=$

$

|&$ (t)|dt=$

$

|1$ &(t$ )|dt=11

|& (s )|ds=) *

%n resultado similar se obtiene para funciones &ue no se anulan fuera del intervalo 21-1J- pero no se

estudiar debido a &ue no es tema re&uerido en la eplicacin del presente material.

B.< "proimaciones a la identidad en varias dimensiones.

Definicin ": Funcin densidad de dimensin#n

*e denomina as" a la funcin & :Rn

R tal que

1 Rn|& (x )|d x1d xn


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#onsideraciones similares a las tomadas para una dimensin- muestran &ue en varias dimensiones- as

funciones densidad tambi)n proveen promedios ponderados &ue aproiman el valor de funciones

continuas- como se ilustra en la figura 1?.

Teorema 1. =ara cada funcin f :Rn

R continua en +Rn

! para cada funcin densidad

& :Rn R con x=(x1 , , xn) 5

f(+ )=lim$ 0 R2 f(x )

1

$ &(1

$|+x|)d x1

d xn

8a demostracin es similar a la demostracin en R


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K. Transformada de +adn inversa.Esta seccin eplica la t)cnica de retropro!eccin para determinar los 4asta a4ora desconocidos

valores de densidad *coeficientes de absorcin, f(x , y ) a partir de las mediciones (R f)(r , a) .

K.1 8a transformada de +adn ad/unta.

"lgunos de los primeros- pero infructferos intentos de usar computadoras para resolver los valores

f(x , y ) a partir de las medidas (R f)(r , a) se basaron en poca teora. Estos- calculaban un

promedio de (R f)(r , a) sobre las rectas Lr , a a trav)s del punto (x , y ) .

#omo (x , y ) se encuentra en la lnea si ! solo si xcos a+y sina=r - se sigue &ue para cada

punto (x , y ) R2

! cada ngulo

0,a

- Lr , a pasa por el punto si ! solo si

r=x cosa+y sina

Esta frmula parametriza el subcon/unto de todas las rectas &ue pasan por el punto (x , y ) mediante

la especificacin de r para cada a . En consecuencia- el valor promedio de las mediciones a lo

largo de todas las rectas tiene la forma5

[R (R f)](x , y )= 10

(R f)(xcosa+y sina ,a)da

Esta frmula parece intuitiva- !a &ue nos da el promedio sobre todas las rectas a trav)s del punto de

inter)s. 7e cual&uier manera- independientemente de la potencia de clculo disponible- es in;til- !a&ue no se a/usta a la teora a&u esbozada.

"un&ue la media toma en cuenta todas las mediciones a lo largo de todas las rectas por el punto

(x , y ) - no es igual a f(x , y ) - pues no cancela adecuadamente las contribuciones de otros puntos

a lo largo de esas lneas. %na frmula eacta re&uiere un promedio ponderado- sobre todas las lneas

en el plano- del tipo5

1

0

%

%

(R f)(x cosa+y sinar , a) -$ (r , a ) drda

#on una funcin densidad -$ . in embargo- la funcin R

provee un primer paso en la b;s&ueda

de una funcin de densidad -$ .! por lo tanto en el desarrollo de un m)todo eacto de clculo.


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Definicin $: Transformada ad%unta de Radn

3s la funcin R

que maea cada funcin continua . definida en L(R2) a la funcin

R. definida en R

2or

[R.](x , y )=1

.(xcos a+y sina , a)da

Observacin 1.8a funcin R

mapea un dominio de las funciones en un con/unto de funciones-

como lo 4acen las derivadas ordinarias ! parciales.

=or e/emplo- sea /%(R , R) &ue denota al con/unto de todas las funciones f:R R para las

cuales eisten todas las derivadas f', f' ', 0 , f 1,0 . Entonces- la derivada definida como

f=f ' mapea /%(R , R) a /

% (R , R ) :

:/% (R , R ) /%(R , R)

f f:=f '

7e manera similar- sea /0(L(R2) , R) &ue denota el con/unto de todas las funciones continuas

. definidas en L (R2 ) A sea /0(R2, R) el con/unto de todas las funciones continuas

definidas en el plano R2

. Entonces- R

mapea /0(L(R2) , R) a /

0 (R2 , R ) 5

R:/

0(L(R2) , R) /0 (R2 , R )

.R.

[R.](x , y )=10

.(xcos a+y sina , a)da

8a utilidad de la ad/unta R

reside en la capacidad de convertir integrales en el subcon/unto

abstracto L(R2) en integrales sobre el plano R

2- para integrales de la forma siguiente.

Definicin &.

Para todas las funciones f , 2 :R2 R R

se define, en caso de e&istir, la integral

f , 2 =R2

f(x , y ) 2 (x , y ) dxdy

.e manera similar, ara todas las funciones continuas . , - :L(R2) R , se define

a= %


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Observacin 2.8as operaciones , son productos internos en espacios vectoriales de funciones.

us aplicaciones en la tomografa computarizada ! en otros lugares demuestran la utilidad de la

aplicacin en lineal lgebra abstracta.

8a siguiente proposicin muestra &ue la ad/unta R

de R tiene caractersticas similares a los de

la transpuesta A3

de la matriz real A para la cual5

Ax ,+ =x3A3+

Proposicin 3. =ara cada funcin f:R2

R continua en un disco cerrado ! acotado e

igual a cero fuera de - ! para cada funcin continua .:L(R2) R

R f , .= f , R.

Demostracin.

=ara cada punto (x , y ) en el plano R2

- ! para cada recta Lr , a pasando por )l- realice el

cambio de coordenadas (r , s ) con dos e/es ortogonales a trav)s de dic4o punto. #uidando &ue el

primer e/e coincida con Lr , a mientras &ue el segundo e/e sea perpendicular a la recta en (x , y ) 5

r=x cosa+y sinas=x sina+y cosa

=ara el uso posterior- el cambio de coordenadas inverso de esta parametrizacin es5

x=r cosas sinay=r sin a+scosa

#omo el Lacobiano de la matriz tiene un determinante igual a uno- esto es5

d4t(5r

5 x

5 r

5 y

5 s

5 x

5 s

5 y)=d4t( cos a sinasinacos a)=[cos a]2+[sina]2=1

Intercambiando el orden de integracin ! entonces realizando un cambio de coordenadas- se obtiene5

R f , .=10

%

%

(R f)(r , a) .(r , a ) drda


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1

0

%

%

[%

%

f(r cos as sina , r sina+scosa )ds ] .(r ,a )drda

%

%

%

%

{1

0

f( r cosas sina ,r sina+scos a ) .(r , a ) da

}dr ds

%

%

%

%

{10

f( r cosas sina ,r sina+scos a ) .(r , a ) da}dr ds

%

%

%

%

{10

f(x , y ) .(x cosa+y sina , a ) da}dxdy

%

%

%

%

{ f(x , y )(R.)(x , y )} dxdy= f , R.

8as integrales m;ltiples- cambios de coordenadas ! permutaciones del orden de integracin re&uieren

una /ustificacin. 7ic4a /ustificacin es vlida para la funciones continuas considerados a&u- pero

todava implican una sofisticacin en el nivel de anlisis matemtico de alto nivel

K.0 +etropro!eccin filtrada.

8a frmula propuesta a&u para resolver f(x , y ) en t)rminos de (R f)(r , a) envuelve

traslaciones de una formula bsica para el origen. #onsecuentemente- la siguiente notacin es ;til.

Definicin '.

Para cada funcin f:R2 R y ara cada unto u=(u , 6 ) , defina fu como cualquiera de

las formulas siguientes

fu (x ) f( ux )

7e igual manera- para cada recta LR2

- sea uL la simetra central de Lu respecto al

origen5

uL {ux :xL }

Esta notacin provee una frmula alternativa para la media ponderada de una funcin continua fcon una funcin de densidad 2 5

f( u , 6 )=lim$ 0

R2

f(x , y ) 1

$ 2( 1$[(u , 6 ) (x , y )])dxdy


22/26

lim$ 0

R 2

f(u , 6 )(x , y ) 1

$ 2 ( 1$[(x , y )])dxdy

lim$ 0

(f2$) (u , 6 )

lim$ 0

|fu| , 2$

En esencia la retropro!eccin filtrada consiste en encontrar una funcin -$ en el con/unto de todas

las lneas L (R2 ) tales &ue 2$=R-$ pues entonces5

|fu|, 2$ = |fu| , R- $ =R ( fu ) , -$

#on lo &ue se obtiene f(u , 6) en t)rminos de R ( fu ) . 8os resultados siguientes epresan

R ( fu ) en t)rminos de R f

Proposicin 4. [R ( fu ) ] (L )= (R f) (uL)

Demostracin. i (X(s ) ,7( s)) parametriza la recta L - entonces * uX(s ) , 67(s )

parametriza uL . Entonces-

[R ( fu ) ](Lr ,a )=%

%

|fu|[ r cosassina ] , [r sina+scos a]ds

f(u [ r cosas sin a ] , 6[r sin a+scos a])ds

%

%

(R f) (uLr , a)

Este resultado produce la formula siguiente para f(u , 6) en t)rminos de las mediciones

(R f)(Lr ,a ) a lo largo de las rectas Lr , a en el plano5

f( u , 6 )=lim$ 0

|fu|, 2$ =lim$ 0

|fu|, R-$ =lim$ 0

R|fu|, -$


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Escribiendo el ;ltimo termino en su forma eplcita- se tiene5

f( u , 6 )=lim$ 0

1

0

%

%

(R f)(ucosa+6 sinar , a) -$ (r , a )dr da(6)

Observacin 3. "lgunas suposiciones sobre la naturaleza de la funcinf

son necesarias- por

e/emplo- la 4iptesis 4ec4a anteriormente5 f es cero fuera de la zona encerrada por R2

.

Observacin 4. 7ifcilmente se calcula el valor o simblicamente usando la formula *K,. 7e 4ec4o- elvalor real de esta reside en &ue provee una teora ;til para el dise>o de programas para la #T. En la

prctica- las computadoras asociadas a los tomgrafos reciben los valores medidos de (R f)(r1, a8 )

desde el escner ! entonces aproiman la densidad del te/ido en los puntos seleccionados f(u9, 6n )

con la integracin num)rica de la parte derec4a de *K,.

8a seleccin ptima de los valores muestra de r1 ! a8 tales &ue se obtenga la menor

incertidumbre es a;n ob/eto de estudio. 8os algoritmos tpicos usan direcciones uniformemente

espaciadas a8 para 8 {1,0 , ! M ! un subcon/unto de distancias r1 - 1{" , 0 , " M

tambi)n uniformemente espaciadas en un radio ptimo !/" : dependiendo de la resolucindeseada en la imagen final.

#omo el uso de coordenadas polares no corresponder con el punto (u9 , 6n ) en el plano cartesiano-interpolaciones ! aproimaciones intermedias sern necesarias. "lgunos escneres usan otros es&uemas

de indeado- por e/emplo- no considerando los ra!os2 como lneas paralelas sino como abanicos

emanando de una fuente en com;n.

(. tros temasEsta seccin describe brevemente algunos temas relacionados con la tomografa.

(.1 Tomografa an2eam

=osteriormente a los tomgrafos de ra!os paralelos desarrollados por #ormac$ ! Hounsfield- la

tomografa m)dica se orient rpidamente a los tomgrafos de ra!os en abanico. En este tipo de

escneres- la fuente ; de ra!os2 se mueve en siguiendo una tra!ectoria circular de radio R !

centro en el origen- por lo &ue emite en un patrn de abanico. Entonces- si (& , R) denotan un

punto en coordenadas polares desde el &ue emite la fuente ! $ representa el ngulo de los ra!os

9positivo: en sentido anti 4orario des de la lnea &ue une ! - entonces ambos ra!os permiten

identificar el ra!o Lr , a . =or lo &ue 4abr dos maneras de identificar el ra!o !- sin importar cual se

use- una transformacin de coordenadas es necesaria.


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(.0 +esonancia magn)tica nuclear *N+,

8os escneres N+ emiten pulsos electromagn)ticos ! entonces miden el campo electromagn)tico

causado por el n;cleo de tomos a lo largo de planos *cortes transversales, en el te/ido. =or ello- si

f(x , y , + ) es la densidad del te/ido en un punto (x , y , +) - entonces para cada plano P en

el espacio- el escner N+ mide la integral de f sobre el plano P como5

(R f) (P )R2

f dA

7nde dA denota la medida euclidiana de la superficie en el plano. 8os m)todos matemticos para

resolver f a partir de las mediciones R f inclu!en el uso de aproimaciones a la identidad con

tres variables espaciales ! una transformada ad/unta- pero los escneres m)dicos tambi)n emplean

m)todos basados en la transformada de ourier.

8as siguientes frmulas de clculo multivariable muestran uno de varios m)todos de parametrizacin

de planos en el espacio.

%sando < ! = - se muestra &ue para cada vector >=(>1 , >2 , >3) unitario- eisten reales

< ! = *en coordenadas esf)ricas de > , para las cuales5

(>1>2>3

)=(cos < sin=sin< sin=cos =)s a;n- para cuales&uiera < ! = reales- con sin= ?0 - los siguientes tres vectores son

ortonormales5

>=(cos< sin=sin< sin=

cos= ) ,u=(cos< cos=sin< cos=sin=) , 6=(

sin=( 211, 611, 911 )=rimeramente- deben determinarse los vectores ortonormales u ! 6 paralelos al plano *o

e&uivalentemente perpendiculares a > por cual&uier m)todo conocido. =or e/emplo - sean

u=( 911 , 611 , 211 ) ! 6=( 611, 711,611) . Entonces- para cada punto xP r , > eisten losparmetros (! , " )R

2

tales &ue

x=r >+! u+ " 6=35

(2

11

611

9

11)+!

( 9

11

611

2

11 )+"

( 6

11

711

611 )

8uego- calculando el determinante del Lacobiano de la parametrizacin- &ue ser siempre igual a 1

para dos vectores ortonormales5

|d4t I(! , ")|=5x5 !#5x5 "=u # 6=>=1

inalmente- la integral sobre el plano se vuelve5

(R f) (P )R2

f dA

R

2 f(r >+!u+ " 6)|d4t I(! , ")|d!d"

R

2 f(r >1+! u1+" 61 ,r >2+! u2+" 62 ,r >3+! u3+" 63)d!d"

R2

f(r ( 211 )+!( 911)+" ( 611) , r ( 611)+!(611)+"( 711) , r ( 911)+!( 211 )+"(611))d!d"

(.< Notas 4istricas sobre Tomografa #omputarizada.


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8a literatura matemtica sobre #T O inclu!endo el traba/o del =remio Nobel en fsica "llan .

#ormac$- cu!o traba/o fue la base en este rubro O acredita al fsico Hendri$ "ntoon 8orentz *10

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