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    CLCULO INFINITESIMAL

    Funciones de una variable:

    : ()

    CALCULO DIFERENCIAL

    LMITES CONTINUIDAD:

    De!inici"n !or#al del l$#i%e de una !unci"n:

    () = > 0/0 0/0 "

    () == ! > 0/0 0 ! / < " |() |<

    Si #()existe, entonces se dice que ()es convergente, si el lmite diverge a infinito o noexiste, se dice que

    ()es divergente.

    E&is%encia del L$#i%e 'Li#i%es La%erales(:

    () = Si y solo si %() = = &(). )ro*iedades de los li#i%es:

    Seauna constante y si ()y '()existen, entonces:Suma y Diferencia () '()*+() '()

    Mltiplo Constante ()*= ()Producto ()'()*= () '()Cociente ()'()= () '()Si '() , Potencia ()*-= . ()-y - 12adical 3()- =4 ()- y - 12

    Constante =

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    Calculo de l$#i%es:

    ,- Sus%i%uci"n Direc%a

    !a sustituci"n directa solo es posi#le si () es continua en , en otro caso se genera unaindeterminaci"n. ()= ().- Li#i%es %ri/ono#0%ricos

    $stos lmites se pueden calcular por sustituci"n directa, tam#i%n se puede usar cualquier identidadtrigonom%trica para reescri#ir (), la cual facilite el c&lculo del lmite, adem&s se conocen lossiguientes teoremas:

    '() 56(-)- = 7'*)

    7$895(-

    )- =

    1- For#as inde%er#inadas en !unciones racionales

    +) Cuando ()'()= , y si ()y '()son polinomios en , se deduce que existe un factoren()y '()el cual ser& ( ), entonces se expresa la fracci"n en factores eliminando elfactor ( ), as se o#tiene una funci"n ()la cual cumple que:

    ()'()= () = $n algunos casos, para eliminar la indeterminaci"n, se puede multiplicar el numerador o el

    denominador por su conugada. Si()y '()son funciones trascendentes se #usca reescri#irla funci"n o se aplica la egla de !-/pital para eliminar la indeterminaci"n y aplicar lasustituci"n directa 'aplica tam#i%n para calculo de lmites en el infinito).0) Cuando #()'()= ##, y si () y '() son polinomios en , teniendo en cuenta que# -= , para - > 0, se divide a cada termino de la fracci"n en el termino de mayor

    exponente y se simplifican las fracciones, por ltimo se aplica el limite, $emplo:

    # ;+ ; + 7;+ 7 = #;;+ ;;+ 7;;;+ 7; = #

    7 + ;+ 7;7 + 7; =7 + + 7 + =77= 7

    C)

    Cuando ()'()= 2 se interpreta que: ()'()= Con%inuidad de !unciones

    +) !a funci"n()presenta una discontinuidad en si no se cumple cualquiera de las siguientesafirmaciones: existe()y ()= ()-

    0) !a recta = , corresponde a una discontinuidad infinita o asntota vertical si se cumple que%()= o &()= .

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    C) !a recta = , corresponde a una asntota 1ori2ontal si se cumple que #()'()= , donde

    ()y

    '()son polinomios en

    y el grado de

    () '().

    D) Si # ()'()= , donde()y '()son polinomios en y el grado de() > '()enuna unidad y '()no es mltiplo de(), entonces existe una asntota o#licua, la cualcorresponde al cociente que se o#tiene al reali2ar la divisi"n de polinomios

    ()'().LA DERI3ADA

    De!inici"n !or#al de la derivada:

    Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva definida por una funci"n (), se usa la ecuaci"npara encontrar la pendiente

    de una recta conociendo dos puntos:

    ?@= (@A B@)3 ?C= (CA BC) =DD=; 7; 7 Como sa#emos, si () es continua en el intervalo 4a2 b5, entonces para toda existir& una imagen = ().Para tomar dos puntos so#re la curva = (), consideramos lo siguiente:Primer punto ?@: para un valor de , corresponde un valor(),por lo cual:?@= (A ())Segundo punto ?C: se considera el valor de m&s un incremento D, es decir:( + D ), cuya imagen ser&:( + D )2 entonces:?C= (( + D )A ( + D ))-+ 1ora tomando los dos puntos y rempla2ando en la f"rmula de pendiente se tiene que:

    $l incremento en : D = ( + D ) ()$l incremento en: D = + D $l incremento relativo ser&:

    DD=( + D ) ()D $st& pendiente corresponder& a una recta secante, es decir, una recta que corta a la curva () en dospuntos.Por ltimo es posi#le o#servar gr&ficamente que si el valor de Dse 1ace cada ve2 m&s peque4o, lospuntos so#re la curva

    (), se acercaran cada ve2 mas entre si 1asta pr&cticamente convertirse en un solo

    punto, la recta secante se aproximar& cada ve2 m&s a la recta tangente y su valor de pendiente ser& muypr"ximo a la pendiente real de la curva () en ese punto, esto significa que si los puntos ?@ y ?C seencuentran infinitesimalmente cerca el uno del otro, la recta secante ser& equivalente a la recta tangente ysu valor de pendiente tam#i%n lo ser& respecto a la pendiente real de la curva().$l anterior ra2onamiento se puede expresar matem&ticamente como un lmite:

    EE= D FDDG

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    !os incrementos (D), pasan a llamarse diferenciales notados con la letra (E), as pues se llega al teoremafundamental del c&lculo:

    H= H()=EE= D I( + D ) ()D J Re/la de la cadena:

    Sea KL'()M, una funci"n compuesta, continua y deriva#le, $ntonces:EE L'()M*= H'()*'H()

    For#ulas de derivaci"n:

    Sea

    = (N)una funci"n compuesta,

    N = '()y

    O = ()funciones continuas y deriva#les.

    No#bre Funci"n Derivada

    egla de la cadena = (N) EE= H(N) PENEQ5unci"n constante = R EE= 5unci"n Potencial = N- EE= -N -$7 PENEQ

    5unci"n !ogaritmo 6eperiano = 6(N) E

    E= 7

    NPEN

    EQ

    5unci"n $xponencial = SN EE= S N PENEQ

    5unci"n exponencial en #ase. = N EE= N 6() PENEQ5unci"n logaritmo en #ase. = 9T N EE= 7NL6()M PENEQ

    5unci"n seno = 56(N) EE= 895(N)P ENEQ5unci"n arcseno = 56$7 UNV EE= 7W; N ; PENEQ5unci"n coseno = 895(N) EE= 56 (N) PENEQ

    5unci"n arccoseno

    = 895$7 UNV

    EE= 7W; N ; PENEQ

    5unci"n tangente = XY6(N) EE= L 5Z8(N)M; PENEQ5unci"n arctangente = P7QXY6$7 UNV EE= 7; + N ; PENEQ5unci"n cotangente = 89X(N) EE= L858(N)M; PENEQ

    5unci"n arccotangente = P7Q89X$7 UNV EE= 7; + N ; PENEQ5unci"n secante = 5Z8(N) EE= 5Z8 (N) XY6(N) PENEQ

    5unci"n arcsecante

    = P7Q5Z8

    $7

    UNV

    EE=

    7NWN; ; P

    ENEQ

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    5unci"n cosecante = 858(N) EE= 858 (N) 89X(N) PENEQ5unci"n arccosecante

    = P7YQ858$7 UNV

    EE= 7NWN; ; PENEQ

    5unci"n seno 1iper#"lico = 56[(N) EE= 895[ (N) PENEQ = 7; (SN S $N) EE= 7; (SN + S $N) PENEQ

    5unci"n arcseno 1iper#"lico = 56[$7(N) EE= 7WN; + 7 PENEQ = 6 \N + 3N; + 7\

    5unci"n coseno 1iper#"lico = 895[(N) EE= 56[ (N) PENEQ = 7

    ;(SN + S $N) E

    E= 7

    ;(SN S $N) PEN

    EQ

    5unci"n arccoseno 1iper#"lico = 895[$7(N) EE= 7WN; 7 PENEQ] N > = 6 \N + 3N; 7\ 5unci"n tangente 1iper#"lica

    = XY6[(N) EE= L 5Z8[(N)M; PENEQ =S N S $NSN + S $N EE= _(SN + S $N); PENEQ5unci"n arctangente 1iper#"lica

    = XY6[$7(N) EE= 77 N; PENEQ ] |N|< ^ =7; 6 `N + 77 N`5unci"n cotangente 1iper#"lica

    = 89X[(N)

    EE= L858[(N)M

    ;

    PENEQ

    =SN+ S$NSN S$N EE= _(SN S$N); PENEQ5unci"n arccotangente

    1iper#"lica

    = 89X[$7(N) EE= 7N; 7 PENEQ ] |N|> ^ =7; 6 `7 NN + 7`5unci"n secante 1iper#"lica

    = 5Z8[(N) EE= L5Z8[(N) XY6[(N)M PENEQ = ;SN+ S$N EE= ;(SN S$N)(SN+ S$N);PENEQ5unci"n arcsecante 1iper#"lica

    = 5Z8[$7(N) EE=

    7NW7 N; P

    ENEQ ] < a <

    = 6 b7 + W7 N;

    N b

    5unci"n cosecante 1iper#"lica = 858[(N) EE= 858[(N) 89X[(N) PENEQ = ;SN S$N EE= ;(SN+ S$N)(SN S$N);PENEQ

    5unci"n arccosecante1iper#"lica

    = 858[$7(N) EE= 7|N|WN;+ 7 PENEQ] N , = 6 b7N + WN;+ 7|N| bMltiplo constante = RN EE= R ENE

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    +dici"n y sustracci"n = N O EE= ENE EOEProducto

    = NO

    EE= N EOE+ O ENE

    Cociente = NO EE= O ENE N EOEO; M%todo de logaritmos = NO EE 6 *= EE O 6(N)*

    Derivada de se/undo Orden: !a interpretaci"n geom%trica de la segunda derivada de (), esdecir, de HH = HH()= E ;E;, es la indicaci"n de los intervalos de concavidad de la curva (): Si

    H

    c()< 0en el intervalo 'a2 b(, entonces

    ()es c"ncava 1acia a#ao en dic1o intervalo.

    SiHc()> 0en el intervalo 'a2 b(, entonces()es c"ncava 1acia arri#a en dic1o intervalo. Si Hc()= en = , entonces el punto (A())es un punto de inflexi"n que delimita losintervalos a#iertos de concavidad de la curva().

    Derivaci"n i#*l$ci%a:

    Cuando una funci"n esta expresada en forma implcita en una ecuaci"n, es decir, que la varia#le

    dependiente no est& expresada en t%rminos de la varia#le independiente sino en una ecuaci"n que

    relaciona a am#as varia#les, se deriva usando regla de la cadena, teniendo en cuenta que = ()yque por tanto c = EE-,-

    Se derivan am#os miem#ros de la igualdad con respecto a

    usando regla de la cadena para el casode y se operan t%rminos semeantes para simplificar la expresi"n.

    .- Se factori2a y se #usca despearEEen t%rminos de las varia#les y -

    Teore#as:

    7eorema de olle: Si()es una funci"n continua definida en un intervalo cerrado4a2 b5, deriva#leso#re el intervalo a#ierto 'a2b( y ()= (d) entonces: $xiste al menos un punto()perteneciente al intervalo'a2 b(tal queH()= .

    7eorema de 5ermat: Si una funci"n

    ()alcan2a un m&ximo o mnimo local en

    , y si la derivada

    H()existe en el punto

    , entonces

    H()= -

    Crecimiento, Decrecimiento, M&ximos y mnimos: Sea()una funci"n continua y deriva#le en unintervalo a#ierto 'a2b(, entonces:Sic()> 0en el intervalo 'a2 b(, entonces()es creciente en dic1o intervalo.Sic()< 0en el intervalo 'a2 b(, entonces()es decreciente en dic1o intervalo.Si c()= en = y si Hc()< indicando concavidad 1acia a#ao en ese intervalo, entonces()es un valor m&ximo local de la funci"n en el intervalo 'a2 b(.Si c()= en = y si Hc()> 0indicando concavidad 1acia arri#a en ese intervalo, entonces()es un valor mnimo local de la funci"n en el intervalo 'a2 b(.Si Hc(E)= en = E, entonces (EA(E)) es un punto de inflexi"n que distingue los intervalosa#iertos de concavidad de

    ().

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    Si c()= en = y si HH() = , entonces no es posi#le determinar si ()corresponde a unvalor m&ximo o mnimo de ().

    7eorema del 8alor Medio de !a9range: Sea

    ()continua en el intervalo 4a2 b5y diferencia#le en el

    intervalo a#ierto 'a2 b( entonces existe al menos algn punto en el intervalo 'a2 b( tal que latangente a la curva en es paralela a la recta secante que une los puntos (A())y (dA(d)),esdecir: (d) ()d = c ()

    egla de !-/pital: Sean () y '()dos funciones definidas en el intervalo 4a2 b5, entonces s alreali2ar una sustituci"n directa se o#tiene una forma indeterminada, es posi#le calcular el limite

    si ()y '()son deriva#les en el intervalo 'a2b(, entonces:

    - ()'()= -

    c ()'c()=

    $sta regla puede ser aplicada las veces que sean necesarias para eliminar la indeterminaci"n.

    An%i derivada:

    na funci"nK()se denomina anti derivada de ()en un intervalo e, si KH()= () para toda ene, es decir, consiste en 1allar una funci"n primitiva tal que:f()*= K () + EE K() + *= ()

    $n notaci"n ;ntegral es equivalente a decir:

    g () E = K() + EE K() + *= ()CLCULO INTE6RAL

    De!inici"n !or#al de la In%e/ral 'Rie#ann(

    Para 1allar el &rea acotada #ao la curva definida por una funci"n ()contina en el intervalo cerrado 4a2b5, y por las rectas verticales = , = d y el ee , se pueden formar infinitos rect&ngulos de &reaf = d , delimitados en su altura por ()y en su #ase dpor un nmero infinito de particiones -delintervalo cerrado 4a2 b5, sumando luego el &rea de los infinitos rect&ngulos.

    7ase de los rec%8n/ulos:Se considera el intervalo 4a2 b5, el cual es dividido en

    -particiones iguales, donde la

    diferencia entre los valores consecutivos desde a1asta b, es un incremento D:D =d - E = -# Pd - QCuando el numero de particiones - tiende a un valor cada ve2 m&s grande, se o#serva q el valor delincremento D se vuelve cada ve2 m&s peque4o, por lo que se convierte en un diferencial E.Al%ura de los rec%8n/ulos: Se considera que la altura est& delimitada para cada rect&ngulo por (),teniendo en cuenta que el intervalo 4a2 b5en 1a sido fragmentado en -particiones, el valor de queindica la u#icaci"n de la #ase de cada uno de los rect&ngulos y para el cual corresponde un valor ()quecorresponde a la altura de dic1o rect&ngulo, estar& dado por la siguiente sucesi"n:

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    R

    = + R Pd

    - Q

    + 1ora el valor de ser&:(R )= . + R U d$- V/ ()= -# . + R Ud$- V/ $n el intervalo 4a2 b5rea de los rec%8n/ulos: Se considera la formula f = d , reempla2ando se o#tiene el &rea de unocualquiera de los -rect&ngulos:

    h = F + R Pd - QG F d - G Su#a%oria de las in!ini%as A0reas rec%an/ulares: Se reali2a la sumatoria de las a%reas de los rect&nguloscuando las particiones

    - aplicando un lmite.

    g ()d E = -# i F + R Pd - QG F d - G-Rj7 Se llega as al teorema fundamental del c&lculo:

    g ()d E = -# i(R )D-

    Rj7

    Teore#a !unda#en%al del c8lculo desde la An%i derivada

    ,-

    ;ntegral ;ndefinida: allar la ;ntegral ;ndefinida de una funci"n (), consiste en #uscar una funci"nprimitiva equivalente a la +nti derivada de ()'si dic1a funci"n existe), tal que:g () E = K() + EE K() + *= ()

    .-

    ;ntegral definida: Si ()es continua en el intervalo 4a2b5, entonces la integral evaluada en dic1ointervalo ser&:

    g ()d E = K(d) K()1-

    !imites de ;ntegraci"n:

    Si()est& definida en el intervalo 4a2 b5 y a

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    Teore#a !unda#en%al del c8lculo desde la Derivada

    Si k()es contina y existe llm k()de forma: k()= n (o) Eo , entonces: kc()= () Por regla de la Cadena: Si k()= n (o)'() Eo , entonces s: N = '()y ENE = ' H()

    kc()= I EEN g (o)N EoJ ENE Sus%i%uci"n en la In%e/ral de!inida 'ca#bio de li#i%es(

    Si N = '()y EN = 'c()E, entonces:g (N)d EN = K(N)*'()'(d) = K '(d)* K'()* Funciones *ar e i#*ar

    Si ()es funci"n par ()= () , entonces:g ()$ E = ; g () E

    Si ()es funci"n impar ()= () , entonces:

    g ()

    $ E =

    For#ulas de in%e/raci"n *or An%i derivadas

    Funci"n In%e/ral

    5unci"n constante para R , g R E = Rg E = R + 5unci"n potencial para- , 7 g N- EN = N-27- + 7 + 5unci"n potencial para- = 7 g 7N EN = 6(N) +

    5unci"n exponencial

    g SN EN = SN+

    5unci"n exponencial con #ase si > 0 g N 6() EN = N6() + 5unci"n Seno g 56(N) EN = 895(N) +

    5unci"n Coseno g895(N) EN = 56(N) + 5unci"n 7angente gXY6(N) EN = 6L5Z8(N)M +

    5unci"n Cotangente g8TX(N) EN = 6L56(N)M + 5unci"n Secante

    g5Z8(N) EN = 6L5Z8(N) +XY6(N)M

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    a) ;dentificar N = '()y verificar que en el integrando exista EN = 'c()E, si la derivada de'() no aparece en el integrando ser& necesario reescri#ir la funci"n usando alge#ra oidentidades conocidas de modo que la derivada apare2ca, tam#i%n se puede usar la siguiente

    igualdad N = N + , si se dificulta desarrollar la ;ntegral se de#er& usar un m%todo de;ntegraci"n diferente.#)

    eescri#ir la ;ntegral en t%rminos de la sustituci"n Ne integrar respecto a esta varia#le.Se pueden reali2ar mltiples sustituciones en t%rminos de otras varia#les:N = '(),O = N, p = O, $tc. $sto para facilitar el proceso de ;ntegraci"n.=tro tipo de sustituci"n es usada cuando en el integrando aparecen t%rminos tales como: WN- oSy no est& presente su derivada, entonces la siguiente sustituci"n es v&lida:

    WN-

    = q N = q-

    EN = -q-$7

    Eq

    r

    S= q; SE = ;qEqc) eempla2arNpor '()en el resultado final.

    .-

    In%e/raci"n *or )ar%es:

    Sea()'()una funci"n contina y deriva#le, por regla del producto en derivaci"n se tiene que:EE ()'()*= ()'H() + '()H()

    $ntonces si N = (), EN = c()E y O = '(), EO = 'H()E se llega entonces al siguiente7eorema: gNEO = NO g OENDonde: N = (),EN = c()Ey EO = 'c()E, O =n 'c()E-Pasos para aplicar el m%todo:

    a) $ste m%todo aplica cuando el integrando est& conformado por un producto entre dosfunciones y se reconoce a una de ellas como una derivada, para determinar cu&l es la funci"nmltiplo

    Ny cual es la funci"n derivada

    EO, si no est& claro, se puede usar el m%todo de ILATE

    (Inversa trigonomtrica, Logartmica, Algebraica, Trigonomtrica, Exponencial.), si elintegrando est& compuesto por com#inaciones entre el tipo de funciones nom#radas, se tomaN, como la funci"n que en ese orden apare2ca primero y EO como la segunda funci"n queaparece en ese orden.

    #) Se procede a derivar N y a ;ntegrar EO para luego reempla2ar en la f"rmula del teorema,o#teniendo as una integral m&s sencilla la cual se puede solucionar por un m%todo diferente ode ser necesario se puede continuar aplicando el m%todo 1asta llegar a la funci"n primitiva. $nalgunos casos al aplicar el m%todo se o#tiene en algn punto la ;ntegral original (Integralcclica), en este caso esta se de#e operar como un t%rmino semeante en los miem#ros de laigualdad y despear la ;ntegral original, as se llega a su primitiva.

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    !a integral puede ser reescrita usando una sustituci"n o 1aciendo aparecer la derivada de unade las dos funciones para luego aplicar el m%todo.

    1-

    In%e/raci"n *or Tabulaci"n:

    Para integrales de la forma:

    g s() ()ECuando (), es una de las siguientes funciones: 56(R) ] 895(R)] SRy s()es un polinomiode de grado - 12, Res una constante.$ntonces: Si N = s()y EO = (), se procede a derivar - veces Ny simult&neamente integrar

    -veces

    EO, 1asta que:

    E-N

    E-

    = ,luego se multiplican en pares y se suman alternando signos las

    - derivadas de Nconlas -integrales de EO, siguiendo la formula:g NEO = PN g EOQ PENE ggEO;Q + tE;NE;g g g EOuv w PE-NE- -gEO-Q9-

    In%e/raci"n de )o%encias Tri/ono#0%ricas e i*erb"licas:

    +) Para ;ntegrales de la forma:

    g ()'- ()EDonde

    ()= 56() y

    '()= 895() o

    ()= 56[() y

    '()= 895[() respectivamente,

    entonces:

    Si o -es impar y L -M 1 x , entonces se descompone en factores la funci"n elevada a lapotencia impar de modo que apare2ca un factor de potencia par, entonces el factor elevado a lapotencia par se reescri#e usando las siguientes identidades respectivas:

    (7) 895;() +56;() = 7(;) 895[;() 56[;() = 7

    Si

    y

    -son pares y

    L -M 1 x , entonces

    ()y

    '()se reescri#en usando las siguientes

    identidades respectivamente:

    7rigonom%tricas:

    (7) 56;()=7895(;); ] 895;()=7+895(;); Se o#tiene la siguiente formula de reducci"n:

    g56()895- ()E = g F7895(;); G;F7+895(;); G

    -; E

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    iper#"licas:

    (;) 56[;

    ()=895[(;) 7

    ; ] 895[;

    ()=7 + 895[(;)

    ;

    Se o#tiene la siguiente formula de reducci"n:

    g56[()895[- ()E = g I895[(;) 7; J;F7+895[(;); G

    -; ESi = -y L -M 12se puede reescri#ir el integrando usando las siguientes identidadesrespectivamente:

    (7) 56(;)= ;56()895()

    (;) 56[(;)= ;56[()895[()

    Se o#tiene la siguiente formula de reducci"n:

    g() '()*- E = g F7;(;)G- E0)

    Para ;ntegrales de la forma:

    g ()'- ()EDonde ()= XY6() y '()= 5Z8();()= 8XT() y '()= 858() o ()= XY6[() y'()= 5Z8[()

    ;

    ()= 8XT[() y

    '()= 858[() respectivamente, se #usca reescri#ir el

    integrando con #ase en las siguientes identidades:

    7rigonom%tricas:

    5Z8;()= 7 + XY6;()] 858;()= 7+ 8XT;()Si es impar 12y - yse llega a la siguiente formula de reducci"n:

    g ()'- ()E = g';() 7*%7; '-$7 ()'()()*Eiper#"licas:

    >

    Primer caso

    5Z8[;()= 7 XY6[;()Si es impar 12y - yse llega a la siguiente formula de reducci"n:

    gXY6[()5Z8[- ()E = g75Z8[;()*%7; 5Z8[-$7 ()5Z8[()XY6[()*E> Segundo caso

    858[;

    ()= 8XT[;

    ( ) 7

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    14/56

    Si es impar 12y - yse llega a la siguiente formula de reducci"n:

    g8XT[()858[- ()E = g858[;() + 7*%7

    ; 858[ -$7 ()858[()8XT[()*E

    Donde '()()*E = EN,es la derivada de '()= N para - , !a formula aplica para - = , pues simplifica el integrando facilitando el proceso de integraci"n.Si -es par - 12y yse llega a la siguiente formula de reducci"n:7rigonom%tricas:

    g ()'- ()E = g () 7 + ;()*-%;; ' ;()Eiper#"licas:

    >

    Primer caso 5Z8[;()= 7 XY6[ ;()Si -es par - 12y yse llega a la siguiente formula de reducci"n:

    gXY6[()5Z8[- ()E = g XY6[() 7XY6[;()*-%;; 5Z8[ ;()E> Segundo caso 858[;()= 8XT[ ;( ) 7Si

    -es par

    - 12y

    yse llega a la siguiente formula de reducci"n:

    g8XT[()858[- ()E = g 8XT[() 8XT[;( ) 7*-%;; 858[ ;()EDonde ';()E = EN, es la derivada de () = N para - , !a formula aplica para = , pues simplifica el integrando facilitando el proceso de integraci"n.Si es par, -es impar y L-M 12se llega a la siguiente formula de reducci"n:7rigonom%tricas:

    g ()'- ()E = g';() 7*; '- ()E

    iper#"licas:

    >

    Primer caso 5Z8[;()= 7 XY6[;()Si es par, -es impar y L -M 12se llega a la siguiente formula de reducci"n:

    gXY6[()5Z8[- ()E = g75Z8[;()*; 5Z8[- ()E

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    15/56

    > Segundo caso 858[;()= 8XT[ ;( ) 7Si es par, -es impar y L-M0 12se llega a la siguiente formula de reducci"n:g8XT[>858[- E g(858[; 7*>; 858[- E!a formula simplifica el integrando facilitando el proceso de integraci"n.

    Para llegar a ;ntegrales simplificadas usando estas reglas y formulas de reducci"n, es necesariodesarrollar las operaciones alge#raicas que quedan indicadas en el integrando tales como:#inomios elevados a una potencia y en general productos, para luego integrar uno a uno losmiem#ros lineales equivalentes al integrando original por el m%todo m&s apropiado para el caso.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    16/56

    Cuando se tiene W; + d + , se #usca completar el trinomio cuadrado perfecto y se expresa enfactores dentro del radical:

    3f; + { + = } f P + {;fQ; + t { ;_fvDonde N; = f U + {;fV;y ; = {;_f, entonces se procede a reali2ar la sustituci"ntrigonom%trica que convenga segn el caso.

    =- In%e/raci"n *or Desco#*osici"n en Fracciones )arciales:

    Para ;ntegrales de la 5orma: g s()~() EDonde

    s()y

    ~(), son polinomios de

    de la forma:

    s()~()= + $7$7 + w + + d-- + d -$7-$7 + w + d + d Donde Ry dRson coeficientes, y -son los grados del polinomio y se cumple que < -.Se #usca expresar el denominador~()en factores y se procede a descomponer s()~()en susfracciones parciales equivalentes, se distinguen cuatro casos:

    +) Cuando ~()est& formado por factores lineales no repetidos:s()~()=

    7(7 + d7) +

    ;(; + d7)+ w +

    -(- + d7)

    Donde Rson constantes a determinar, las cuales 1acen cierta la igualdad.0) Cuando ~()est& formado por factores lineales repetidos:

    s()~()= 7( + d)+ ;( + d); + w + -( + d)-Donde Rson constantes a determinar, las cuales 1acen cierta la igualdad.

    C) Cuando ~()est& formado por factores cuadr&ticos no repetidos:s()~()= f 7 + {7(7; + d 7 + 7) + f ; + {;(;; + d ; + ;) + w + f - + {-(-; + d - + -)

    Donde fRy {Rson constantes a determinar, las cuales 1acen cierta la igualdad.D) Cuando ~()est& formado por factores cuadr&ticos repetidos:

    s()~()= f 7 + {7(; + d + ) + f ; + {;(; + d + ); + w + f - + {-(; + d + )-Donde fRy {Rson constantes a determinar, las cuales 1acen cierta la igualdad.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    17/56

    Pasos para +plicar el m%todo:

    a) !uego de expresar

    ~()en factores y reescri#ir

    s()~()

    en fracciones parciales segn el caso, se

    reali2a la suma alge#raica de las fracciones y se desarrollan las operaciones indicadas en elnumerador como: productos, reducci"n de t%rminos semeantes etc. +s se llega a la siguienteigualdad:

    s()~()= -- + -$7-$7 + w + + ~() s()= -- + -$7-$7 + w + +

    Donde los coeficientes Rest&n expresados en t%rminos de operaciones de suma, resta ymltiplos, entre las constantes a determinar segn sea el caso.

    #)

    Se comparan entre si los coeficientes de s()y el polinomio -- + -$7-$7 + w + + ,para generar un sistema de ecuaciones, para ilustrar este ltimo paso se considera un eemplo:Se tiene que:s()= - d -$7, del paso anterior se o#tuvo el siguiente polinomio:(f + { + )- + (; f + )-$7 + (u { + )-$;, entonces:

    s()= -- + -$7-$7 + w + + - d -$7 = ( f + { + )- + (; f + )-$7 + (u{ + )-$;

    Se comparan los coeficientes de los t%rminos semeantes en los miem#ros de la igualdadgenerando un sistema de ecuaciones, $emplo:

    - = ( f + { + )-'() = f + { +

    d-$7 = ( ; f + )-$7'*) d = ;f +

    ()-$; = ( u { + )-$;'@) = u{ +

    c)

    Se soluciona el sistema de ecuaciones usando conceptos de alge#ra lineal.

    7am#i%n se puede encontrar el valor de las constantes por ensayo y error, para este caso lasoperaciones que se o#tienen de la suma de fracciones parciales en el numerador se deanindicadas, consiste en asignar valores a que faciliten encontrar los valores de las constantes,$emplo: Si s()= ;, y su equivalente es h( ); + { , entonces:

    ; = h ( ); + { , Si = :; = h ( ); + { , entonces { = ;:d) Se reempla2an los valores segn el caso en la formula de fracciones parciales y se resuelve la

    integral.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    18/56

    >- In%e/raci"n de Fracciones I#*ro*ias:

    Para ;ntegrales de la 5orma: g s()~() EDonde s()y ~(), son polinomios de de la forma:

    s()~()= + $7$7 + w + + d-- + d -$7-$7 + w + d + d Donde Ry dRson coeficientes, y -son los grados del polinomio y se cumple que > -.Se reali2a la divisi"n alge#raica de polinomios para simplificar el integrando, por ltimo se resuelvela integral por m%todos ya conocidos.

    In%e/rales I#*ro*ias

    Son integrales de la 5orma:

    g ()d E Cuando los limites de integraci"n = o d = , este tipo de integrales se resuelven evaluandola integral definida como un lmite en el infinito, anali2ando su convergencia o divergencia:

    Cuando

    = :

    g ()Ed = $#K(d) K()*Cuando d = :g ()Ed = d#K(d) K()*

    Cuando = y d = :g ()Ed = $#K(d) K ()* + d#K(d) K()*

    A*licaciones de la In%e/ral

    +) Resoluci"n de Ecuaciones di!erenciales: Consiste en encontrar una funci"n (), conociendouna o m&s de sus derivadas y unas condiciones inciales.

    0) reas en%re curvas:f = n () '()*d E C) 3olu#en de un s"lido de revoluci"n: = n ()*;d E

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    19/56

    D) 3olu#en de un s"lido *or #0%odo de arandelas: = n (); '() ;*d E $)

    Lon/i%ud de arco: =n .37+ H()*;/d E 5) Teore#a del valor #edio *ara in%e/rales: Sea()continua en el intervalo 4a2 b5, entonces

    existe un punto en el intervalo 4a2 b5tal que:()= 7d g ()d E ()(d )= g ()d E

    SUCECIONES SERIES EN EL INFINITO

    Sucesiones

    ,-

    De!inici"n

    Se puede definir una sucesi"n num%rica como una lista de nmeros escritos en un orden definido:L7A ;A u A A -A M, una sucesi"n se nota como L-M-j7# , formalmente se define una sucesi"ncomo una funci"n cuyo dominio es el conunto de los nmeros naturales L-M-j7# = (-) - , donde(-)es una formula que permite 1allar el valor del -rt%rmino.

    .- Li#i%e de una sucesi"n

    Se dice que una sucesi"n tiene el lmite cuando:

    -# -= Si #() = y (-)= -, entonces -# -= . Por lo tanto se puede calcular ellmite para el caso de una sucesi"n aplicando de igual manera las leyes de los lmites como tam#i%n

    la regla de !-/pital, tomando la funci"n(-) como una funci"n de varia#le real().7eorema: si -#|-|= , entonces: -# -= . Considerando el anterior teorema setiene que:

    -# (7)-- = -# b(7)-- b = -# 7-= De esta forma se determina si la sucesi"n es convergente o divergente.

    Series

    ,-

    De!inici"n

    Se puede definir una serie como la sumatoria de los elementos de una sucesi"n num%rica

    infinita L-M-j7# , y se denota de la siguiente manera:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    20/56

    - = i -#

    -j7

    = 7 + ; + u + w + -Donde -denota la -suma parcial de la serie.

    .- Li#i%e de una serie

    Si se toma la sucesi"n L-M-j7# y -# - = , es decir, si la serie es convergente, entonces:i -#-j7 = 7 + ; + u + w + - =

    Donde

    denota la suma de la serie. Si por otro lado la sucesi"n

    L-

    M-j7# diverge, entonces se

    dice que la serie es divergente, $emplo:

    !a serie geom%trica -$7#-j7 = + + ; + w -$7, es convergente si ||< ^ y susuma est& dada por la siguiente f"rmula:

    i -$7#-j7 = 7 Si ||> ^ la serie es divergente.

    1- Teore#as:

    +)

    Si la serie -#-j7 es convergente, entonces -# - = .0)

    Si -# -no existe o si -# - , , entonces -#-j7 es divergente.C) Si -#-j7 y d -#-j7 son series convergentes y si es una constante, entonces las

    siguientes series tam#i%n ser&n convergentes:

    -#-j7 = -#-j7 (- d -)#-j7 = -#-j7 d -#-j7

    D) Prue#a de la ;ntegral: Sea

    ()una funci"n continua y decreciente en el intervalo

    7A *y

    sea (-)= -, entonces: Si la integral impropia n ()E#7 es convergente, entonces la serie -#-j7 es

    convergente.

    Si la integral impropia n ()E#7 es divergente, entonces la serie -#-j7 esdivergente.

    $) Prue#a de la ra2"n:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    21/56

    Si -# \-&7- \ = < , entonces la serie -#-j7 es a#solutamente convergente. Si

    -# \-&7

    - \ = > o

    -# \-&7

    - \ = , entonces la serie

    -#-j7

    es

    divergente.

    Si -# \-&7- \ = 7 , entonces la prue#a no es concluyente para -#-j7 .9- Es%i#aci"n de la su#a de una serie

    Si se determina que la serie -#-j7 es convergente, entonces se puede afirmar que cualquiersuma parcial -de la serie, es una aproximaci"nal valor de la suma de la serie,por qu% se sa#eque-# - = , teniendo en cuenta lo anterior, se puede determinar que tan #uena puedeser dic1a aproximaci"n calculando el tama4o del residuo que corresponde a la suma total de

    los t%rminos restantes de la sucesi"n

    -que no son tenidos en cuenta, entonces se define el

    esiduo como:y- = - = -27 + -2; + -2u + w - Se puede utili2ar el valor del residuoy- como una estimaci"n del error cuando tomamos una suma parcial - de la serie comoaproximaci"n de la suma de la serie. $ntonces aplicando la prue#a de la integral para el casodel esiduo se llega al siguiente teorema:

    g ()E#-27 y - g ()E#- + 1ora conociendo la estimaci"n del error y-, se llega al siguiente teorema para la estimaci"nde la suma se la serie con el valor de -que se estipule:

    - + g ()E#-27 - + g ()E#- Para lograr mayor precisi"n en las estimaciones tanto de error como de suma de la serie, se

    calcula el punto medio 'promedio) del intervalo calculado al aplicar los teoremas.

    Series de *o%encias

    ,- De!inici"n

    na Serie de potencias es una serie de la forma:

    ()= i --#-j = + 77 + ;; + uu + w + --Donde -son los coeficientes de la serie, para cada valor de que es una varia#le, la serie esuna serie de constantes la cual se puede pro#ar para sa#er si 1ay convergencia o divergencia.

    !a suma de la serie es una funci"n cuyo domino es el conunto de toda para la cual la serieconverge, semeante a un polinomio, pero que contiene infinitos t%rminos.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    22/56

    7eorema: Para una serie de potencias centrada en de la forma -( )-#-j , solo existentres posi#ilidades:

    (>

    !a serie converge solo cuando = .*> !a serie converge para toda .@> ay un nmero positivo ytal que la serie converge si | |< y diverge si | |>, donde yse denomina radio de convergencia, entonces el intervalo de convergencia se

    define como: y + y, y puede ser calculado usando la prue#a de la ra2"n..- Derivaci"n e in%e/raci"n de una serie de *o%encias %er#ino a %er#ino

    Derivaci"n de una serie de potencias: Si ()= -( )-#-j , es continua y deriva#le en elintervalo ( y A + y)entonces:

    H()= i --( )-$7#-j7 | |< ;ntegraci"n de una serie de potencias: Si ()= -( )-#-j , es continua en el intervalo( y A + y)entonces:

    g () E = i - ( )-27- + 7#

    -j + | |< 1- Re*resen%aci"n de una !unci"n co#o serie de *o%encias

    Si()tiene una representaci"n en serie de potencias con centro en , es decir si:()= i -( )-#-j | |< $ntonces sus coeficientes -estar&n dados por la formula:

    -=-()- Donde

    -

    ()denota la

    -derivada de

    ()en

    y

    -es el factorial de

    -.

    Por lo tanto la representaci"n en forma de serie de potencias de()es:()= i-()- ( )-

    #-j | |<

    $sta serie de potencias se denomina Serie de Ta?lor de()cen%rada en , y se suele notarc"mo(), es un polinomio de la forma:

    -

    ()= () +H()

    7 ( ) +HH()

    ; ( );

    +HHH()

    u ( )u

    + w +-()

    - ( )-

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    23/56

    Donde -()denota el Polinomio de 7aylor de -rgrado de ()en -Cuando una Serie de 7aylor tiene como centro = , se denomina Serie de Maclaurin--()= i -()- -

    #-j = ()+ H() +

    HH(); ; + HHH()u u + w + -()- -9- Tabla de Series de Ta?lor@Maclaurin no%ables

    Serie exponencial S = i --#

    -j ] Serie logartmica

    6(7 + )= i (7)-27

    - -#

    -j7 ] ||> ^

    Serie geom%trica 7 = i -#-j Serie de seno 56()= i (7)-(; - + 7) ;-27

    #-j ]

    Serie de coseno 895()= i (7)-(;-);-#

    -j ] Serie de tangente XY6()= i {;-(_)-(7 _-)(;-) ;-$7

    #-j7 ] || ^Serie de arctangente XY6$7()= i(7)-;- + 7 ;-27

    #-j ] ||> ^

    Serie de seno 1iper#"lico

    56[()= i 7

    (; - + 7) ;-27#

    -j ]

    Serie de Coseno 1iper#"lico 895[()= i 7(;-) ;-#-j ] Serie de tangente 1iper#"lica XY6[()= i {;-_-(7 _-)(;-) ;-$7

    #-j7 ] || ^

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    24/56

    Donde {Rson los nmeros de 0ernoulli para el valor de -. 7a#la sucesi"n L{;-M-j77

    ;- A * B (A (* (B ( ( *A

    {;- ( (E >(E@A (EB* >(E@A FE >G(E*H@A HE >@(HEF(A B@HEHG I(HB((E@@ADonde Rson los nmeros de $uler para el valor de -. 7a#la sucesi"n L;-M-j77 ;- A * B (A (* (B ( ( *A;- ( >( F > (@F >FAF

    *

    *HA*HF

    >(GG@AG

    (

    (G@G(F(*(BF

    >*BABHGHFB

    B(

    @HA@H((*@HF*F

    Funciones de valores vec%oriales 'una variable(:

    : () =@()A C()A ()A A () Funci"n vec%orial en y;:

    (o) =(o) A (o) (o) = (o) + (o)

    Funci"n vec%orial en

    yu:

    (o) =(o) A (o) A q(o) (o) = (o)+ (o)+ q(o)R!a grafica de una funci"n vectorial de un varia#le o par&metro en y;y yu, es representada por una curvapara m%trica en el plano o en el espacio respectivamente.

    CALCULO DIFERENCIAL

    LMITES CONTINUIDAD:

    Para el caso de funciones de valores vectoriales aplican las leyes de los lmites conocidas para funciones, as

    como los m%todos de c&lculo tratados anteriormente para el caso de funciones de una varia#le, el c&lculodel lmite para este tipo de funci"n, se reali2a aplicando el limite a cada componente del vector, de lasiguiente manera:

    o (o) =o7(o) A o;(o) A ou(o) A A o-(o) Funci"n vec%orial en y;: o (o) = o(o) + o(o) Funci"n vec%orial en

    yu:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    25/56

    o (o) = o (o) + o(o) +oq(o) R Con%inuidad de !unciones:

    !a funci"n (o) presenta una discontinuidad en si no se cumple cualquiera de las siguientesafirmaciones: existe () y o (o) = (f) . Para que (o) sea continua en , se de#en cumplirlas anteriores condiciones para todas y cada una de las componentes de la funci"n vectorial.

    LA DERI3ADA

    Cada una de las componentes de una funci"n vectorial, es una funci"n de una varia#le (o), por lo tanto si (o) , es una funci"n continua y deriva#le, es decir, si cada una de las componentes de la funci"n es continuay deriva#le, se llega al siguiente teorema equivalente al teorema fundamental del c&lculo para funciones deuna varia#le:

    (o)H =EEo = I(o2) (o) J$ntonces:

    (o)H =EEo =E7Eo A E;Eo A EuEo A A E- Eo Funci"n vec%orial en y;: (o)H =E

    Eo = E

    Eo + E

    Eo

    $n algunas ocasiones resulta conveniente, aplicar la siguiente f"rmula:EE= c(o)c(o) Funci"n vec%orial en yu: (o)H =EEo = EEo + EEo + EqEoR

    !a interpretaci"n que se le da a la derivada de una funci"n vectorial (o)H , geom%tricamente 1a#lando, es lade un vector tangente a cualquier punto so#re la curva

    (o) , cuya norma

    (o)H

    , indica la rapide2 de cam#io

    neta de la posici"n del vector

    (o), respecto a la varia#le

    o.

    Ra*ide de ca#bio ne%a en y;: (o)H =EEo = }PEEo Q;+ PEEo Q;

    Ra*ide de ca#bio ne%a en yu:(o)H =E

    Eo =

    }PE

    EoQ;+ PE

    EoQ;+ PEq

    EoQ;

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    26/56

    For#ulas de derivaci"n:

    Sean

    N (o) y

    O (o) funciones vectoriales continas y deriva#les, sea

    (o)una funci"n escalar continua y

    deriva#le y sea una constante escalar, entonces:+dici"n y sustracci"n (o) = N (o) O ( o) EEo= ENEo EOEo

    Mltiplo escalar constante (o) = N (o) EEo = ENEo Mltiplo escalar funci"n (o) = (o)N (o) EEo= (o) ENEo+ N (o) EEo

    Producto escalar (o) = O (o) N (o) EEo= O (o) ENEo+ N (o) EOEo Producto vectorial

    (o) = O (o) N (o)

    EEo= O (o) ENEo+ N (o) EOEo Funciones vec%oriales uni%arias:

    Funci"n 3ec%or %an/en%e uni%ario:$s un vector de norma una unidad, el cual es tangente a

    cualquier punto so#re la curva (o) e indica la direcci"n del despla2amiento del vector (o) : (o) = ( o)H ( o)H ] (o)H , Funci"n 3ec%or Nor#al uni%ario: $s un vector de norma una unidad, el cual es ortogonal a

    cualquier punto so#re la curva

    (o)e indica la direcci"n 1acia la cual el vector

    (o)esta girando:

    (o)= (o)H (o)H ] (o)H =EEo B (o)H , Funci"n 7inor#al Uni%aria: $s un vector de norma una unidad, el cual es ortogonal al vector

    tangente unitario y al vector normal unitario en cualquier punto so#re la curva (o) , el vector#inormal unitario unto al normal unitario definen el plano osculador 'normal) a la curva (o) en cualquier punto: { (o)= (o) (o)

    Funci"n escalar de curva%ura:

    Para funciones vectoriales en

    y;y

    yu2 la curvatura se define como

    R =7, Donde

    representa el radio

    del crculo osculador el cual es tangente a (o) , es decir el radio de curvatura de (o) . !a curvatura est&dada por la siguiente expresi"n:R = EE = (o)H (o)H

    Para curvas de la forma = ()en y;, se puede aplicar la siguiente f"rmula:R = cc7 + (c)*u;

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

    27/56

    CALCULO INTE6RAL

    +l igual que en el caso de la derivada, se considera que cada una de las componentes de una funci"n

    vectorial, es una funci"n de una varia#le (o), por lo tanto si (o) , es una funci"n continua en el intervalo 4a2b5, es decir, si cada una de las componentes de la funci"n es continua en dic1o intervalo, se llega al siguienteteorema equivalente al teorema fundamental del c&lculo para funciones de una varia#le:g (o)d Eo = -# i (o R )Do

    -Rj7

    $ntonces:

    g (o)d Eo = g 7(o)d E o + 7A g ;(o)d E o + ;A g u(o)d E o + uA A g -(o)d E o + - Funci"n vec%orial en

    y;:

    g (o)d Eo = tg (o)d Eo +7v + tg (o)d Eo +7v !ongitud de arco:

    = g (o)H Eod = g }PEEo Q;+ PEEo Q;d Eo Funci"n vec%orial en yu:

    g (o)d

    Eo = tg (o)d

    E o + v + tg (o)d

    Eo +v +tg q(o)d

    Eo +qv R

    !ongitud de arco:

    = g (o)H Eod = g }PEEo Q;+ PEEo Q;+ PEqEo Q;d Eo

    Funciones de varias variables 'Ca#*os escalares(:

    : () = (@A CA A A ) Ca#*o escalar en y;:() = (A )

    Funci"n vec%orial en yu:() = (AAq)

    !a grafica para el caso de un campo escalar en y;, es representada por una superficie en el espacio.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    CALCULO DIFERENCIAL

    LMITES CONTINUIDAD:

    Para el caso de funciones de varias varia#les aplican las leyes de los lmites conocidas, as como los m%todosde c&lculo tratados anteriormente para el caso de funciones de una varia#le. Se de#e tener en cuenta que() depende de varias varia#les por lo tanto si tomamos una funci"n en y;, eemplo (A )? se tiene que:

    (A)(Ad) (A )= + 1ora si se grafica (A )como una funci"n en tres dimensiones, cuyo dominio se encuentra so#re plano, es evidente que existen infinitas formas de aproximarse al punto de coordenadas (Ad), por lo tanto noexisten garantas para el c&lculo del limites para funciones de varias varia#les, pero es posi#le afirmar que ellimite no existe si al aproximarse al punto (Ad) desde dos direcciones 'eemplo: dos rectas de la forma = + d

    ), se tiene que:

    (A)(Ad) (A(7 + d7)), (A)(Ad) (A(; + d;)) Con%inuidad de !unciones:

    Se dice que (A )es continua en (Ad) si: (A)(Ad) (A )= (A d)y si es posi#le calcular ellmite por sustituci"n directa.

    DERI3ADA DE () RES)ECTO AL 3ECTOR O :Para explicar este concepto, se tomara una funci"n en y;, eemplo q = (A )? cuya grafica es unasuperficie tridimensional so#re el plano

    , es evidente que para cualquier punto

    = (A d)so#re dic1a

    superficie, existen infinitas pendientes respecto al plano , pero es posi#le determinar una pendienteparticular respecto a un vector #idimensional O , pues este ltimo define una direcci"n. $ntonces es posi#ledefinir la derivada de la funci"n () respecto al vector O , de forma equivalente al teorema fundamental delc&lculo para funciones de una varia#le de la siguiente manera:

    Se puede definir la ecuaci"n vectorial de una recta que sea paralela al vector O = OA O, y que tenga comopunto inicial el vector de posici"n = A :

    (o) = + oO =( + Oo)A + OoCualquier valor o , , representara una variaci"n o un incremento de (o) respecto a la posici"n inicial, elcual sera equivalente al

    Dde la definici"n para funciones de una varia#le. Por lo tanto el incremento en la

    funci"n

    (A ) equivalente al t%rmino

    D = ( +D) () en la definici"n de una varia#le, estar&

    dado por la ecuaci"n: D(] O)= ( + oO) ()+ 1ora el incremento relativo equivalente, estar& dado por la ra2"n:

    D(] O)o =( + oO) ()o Por ltimo se llega a la definici"n formal de la derivada de la funci"n ()respecto al vector O , aplicando elcorrespondiente limite:

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    c(] O) = o I ( + oO) ()o J +l aplicar el lmite directamente en la definici"n se o#tiene una indeterminaci"n, por lo cual es v&lido aplicarla regla de !-/pital para eliminar la indeterminaci"n y as simplificar el c&lculo de este tipo de derivada, alaplicar la siguiente expresi"n:

    H(] O) = o F EEo L( + oO)M G = o F EEoG+plicaci"n de la definici"n:

    a) Como primera medida es necesario construir la ecuaci"n vectorial de la recta paralela al vectordado, es decir:

    Para

    C:

    (o) = + oO =( + Oo)A + OoPara : (o) = + oO =( + Oo)A + OoA (q + Oqo)

    #) + continuaci"n se reali2a la composici"n de funciones (o) = ( + oO):Para C: (A )= ( + Oo)A + OoPara

    :

    (AAq)= ( + Oo)A + OoA (q + Oqo)

    c) Por ltimo se aplica la definici"n simplificada, para lo cual es necesario 1allar la derivada conrespecto a la varia#le o, tomando las varia#les A q, como constantes y por ultimo evaluar ellmite de la definici"n.

    DERI3ADA DIRECCIONAL:

    na derivada direccional, es una derivada de ( )respecto a un vector unitario , esta derivada indica latasa de cam#io de()en una direcci"n determinada:

    H(] )= oI( +o) ()o J = oF EEo L( +o)MGDERI3ADAS )ARCIALES:!as derivadas parciales de () son casos especiales de derivadas direccionales respecto a los vectoresunitarios nota#les A R, generali2ando a : Sea ()= (A Aq) una funci"n continua y deriva#le, sedefinen entonces sus derivadas parciales respecto a los ees coordenados:

    Derivada *arcial de( )res*ec%o a la variable := H(] )= oI( + o) ()o J

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    Derivada *arcial de ( )res*ec%o a la variable := H( ] )= o I ( + o ) ()o J

    Derivada *arcial de ( )res*ec%o a la variable q:q= H] R = o I + oR ()o J

    !a notaci"n se usa para diferenciar una derivada parcial de una derivada ordinaria notada con la letra E.M%todo de soluci"n:

    +l aplicar la definici"n de la derivada parcial a una funci"n en y-, es decir: (7A ;A uA A -)2 respecto auna de sus varia#les, es decir: R, se o#serva que las dem&s varia#les de la funci"n se comportan comoconstantes, por lo cual es v&lido 1allar la derivada parcial respecto a la varia#le indicada simplementeaplicando las reglas de derivaci"n conocidas aplicadas a las derivadas ordinarias en funciones de unavaria#le.

    DERI3ADAS )ARCIALES DE ORDEN SU)ERIOR:

    Sea () = (7A ;A uA A -) una funci"n en y- continua y con derivadas parciales de orden superiorrespecto a cada una de las varia#les R en y-, entonces cada una de sus derivadas parciales de ordensuperior tam#i%n es una funci"n con dominio en y-, por lo tanto si dic1a funci"n es continua, tendr&derivadas parciales respecto a cada una de las varia#les

    Ren

    y--

    $emplo: Sea () = (A ) una funci"n en y; continua y deriva#le, entonces sus segundas derivadasparciales ser&n: Se sa#e que:

    = (A ), entonces se tiene que:Segunda derivada parcial respecto a : (A )*= PQ = ; ; Segunda derivada parcial mixta: Se deriva primero respecto a y luego respecto a .

    (A )*= PQ = ; Se sa#e que:

    = (A ), entonces se tiene que:Segunda derivada parcial respecto a : (A ) = PQ = ; ; Segunda derivada parcial mixta: Se deriva primero respecto a y luego respecto a .

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    (A ) = PQ = ; Teore#a de Clairau%:

    Sea () = (A )una funci"n en y;, definida en un disco que contiene un punto 'a2b(. Si ; y; son continuas en , entonces: ; (A ) = ; (A ) CAM)O 6RADIENTE:

    Se define el =perador diferencial 6a#la, como un vector de la forma:

    $n

    C:

    = + $n : = + + q R

    Sea () un campo escalar en y; o yu continuo, cuyas derivadas parciales de primer orden existen, sedefine entonces el campo vectorial 9radiente de( ):

    $n C: = +

    $n : = + + q R$l campo 9radiente de ()asigna un vector a cada punto del dominio de (), definido por el vector deposici"n . Dic1o vector evaluado en un punto , indica la direcci"n en que la que el campo escalar ()cam#ia con mayor rapide2, su norma da la magnitud de la tasa de cam#io de () en esa direcci"n y elsentido indica 1acia donde el valor de () es creciente. $l vector gradiente es normal a las curvas osuperficies de nivel de().Conociendo

    posi#le 1allar la derivada de

    ( )respecto a un vector

    Oo una derivada direccional:

    Derivada de()respecto a un vector O en t%rminos del vector gradiente:H(] O)= () O =()O 895z Derivada direccional:

    H( ] )= ( ) O =() 895zRE6LA DE LA CADENA:

    Sea ( )= (7A ;A uA A -) un campo escalar en y- y sea(o7A o;A ouA A o) =7(o7Ao; AouAAo)A ;(o7Ao;AouAAo)A u(o7 Ao;AouAAo)A A -(o7Ao;AouAAo)

    una funci"n vectorial

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    de los par&metros o7A o;A ouA A o en y-. Por composici"n de funciones es posi#le definir ( ) en (o7A o;A ouA A o):(o 7A o;A ouA A o)*= 7(o7 Ao;AouAAo)A ;(o7Ao;Aou AAo)A u(o7Ao;AouAAo)A A -(o7 Ao;AouAAo) (o7A o;A ouA A o)*= (o 7A o;A ouA A o)

    $ntonces !a derivada parcial de (o7A o;A ouA A o)respecto al par&metro o, se define como:o = (o 7A o;A ouA A o)* o (o7A o;A ouA A o)*o = 7 7o + ; ;o + u uo + w + - -o $emplo (: Sean

    () un campo escalar y

    (o) una funci"n vectorial del par&metro

    o en

    y; o

    yu, por

    composici"n de funciones se define (o) *, entonces la derivada total de (o) *respecto al par&metro ose define por regla de la cadena de la siguiente forma:$n C: Sea () = (A) y (o) = (o) A (o):

    EEo= (o) * EEo EEo= EEo+ EEo $n

    : Sea

    () = (A A q)y

    (o) = (o)A (o)A q(o):

    EEo= (o) * EEo EEo= EEo+ EEo+ q EqEo $emplo *: Sean () = (AA q) un campo escalar y (NA O)= (NAO)A (NAO)A q(NAO)una funci"n vectorialde los par&metros NA Oen yu, por composici"n de funciones se define (NAO) *2 entonces las derivadasparciales de (NAO) * respecto a los par&metros N O se definen por regla de la cadena de la siguienteforma:

    Derivada parcial de(NAO)*respecto al par&metro N:N= (NAO)* NN= N+ N+ qqNDerivada parcial de (NA O)*respecto al par&metro N:

    O= (NAO)*

    O

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    O=

    O +

    O +

    q

    qO

    DERI3ACION IM)LICITA:

    Si la ecuaci"n K(A )= est& definiendo de manera implcita a la varia#le como una funci"ndiferencia#le de , es decir, = (), se puede aplicar la regla de la cadena para derivar los miem#ros de laecuaci"n respecto a :

    K EE + K EE= K

    + K

    E

    E=

    Por ltimo despeando el t%rmino EE, se o#tiene la siguiente expresi"n general para la derivaci"n implcita:EE=

    KK

    EBTREMOS DE UNA FUNCON DE . 3ARIA7LES:

    Sea () = (A) una funci"n continua en y;, si existen sus derivadas parciales de primer orden, entonceslos valores crticos de la funci"n (A )se presentan cuando, = o si = -rSoS, por lo tanto si

    (A d)es un extremo de la funci"n, se cumple que:

    (Ad) = , entonces

    (Ad)es un valor crtico de la

    funci"n.Para 1allar los extremos de una funci"n de dos varia#les se procede a 1allar el gradiente de la funci"n y seigualan sus componentes a cero: (A) =

    = = + continuaci"n se procede a 1allar los puntos (Ad), que cumplen (A ) = , para determinar si(A d)corresponde a un m&ximo, mnimo o punto silla, existe una prue#a similar a la de la segunda derivada encaso de funciones de una varia#le, es necesario 1allar el determinante de la matri2 1essiana de la funci"n:

    = ;;

    ;; ;; =;;;; t;v;

    a) Si (A d)> 0y ;(Ad); > 0 , entonces(A d)es un mnimo relativo.#) Si (A d)> 0y ;(Ad); < 0 , entonces(A d)es un m&ximo relativo.c) Si (A d)< 0, entonces(A d)es un punto silla.d) Si

    (A d)= , la prue#a no es determinante.

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    MULTI)LICADORES DE LA6RAN6E:

    !os multiplicadores de !a9range se usan para calcular m&ximos y mnimos de una funci"n

    ()en

    y-

    cuando se aplican restricciones so#re su dominio. Dic1as restricciones est&n dadas por ecuaciones querepresentan curvas o superficies de nivel de otras funciones tam#i%n en y-. Se parte del principio de que elgradiente de una funci"n es normal a las curvas o superficies de nivel de la funci"n, por lo tanto donde () sueta a alguna restricci"n alcan2a un m&ximo o mnimo, los vectores gradientes de las funciones ser&nparalelos. $emplos:

    na estricci"n en yu:Sean (A A q) y '(AAq) funciones en yu, entonces el m&ximo o mnimo de (A A q) sometida a larestricci"n '(AAq)= R , se dan cuando:

    (AAq)= '(AAq)

    !a letra lam#da se denomina multiplicador de !a9range, es el valor escalar que se necesita para que secumpla la igualdad entre los dos vectores gradientes. +l descomponer la anterior ecuaci"n igualando suscorrespondientes componentes vectoriales, se genera un sistema de ecuaciones no lineales que de#e serresuelto para 1allar los valores de A A q :

    = ' ] = ' ] q= 'q '(AAq)= R Dos estricciones en yu:

    Sean(A A q), '(AAq)y (AAq)funciones en yu, entonces el m&ximo o mnimo de(A A q)sometidaa las restricciones

    '(AAq)= Ry

    (AAq)= , se dan cuando:

    (AAq)= '(AAq) + (AAq)+l descomponer la anterior ecuaci"n igualando sus correspondientes componentes vectoriales, se genera unsistema de ecuaciones no lineales que de#e ser resuelto para 1allar los valores de A A qA :

    = '+ ] = '+ ] q= 'q+ q ] '(AAq) = R (AAq)= 6o existen m%todos o reglas generales para la resoluci"n de los sistemas de ecuaciones no lineales que seo#tienen al aplicar los multiplicadores de !a9range.

    INTE6RALES MULTI)LES:

    Para definir una integral mltiple, es necesario como primera medida introducir los conceptos deintegraci"n parcial e integral iterada, los cuales son aplica#les a la resoluci"n de una integral mltiple:

    In%e/raci"n )arcial:De manera similar a como se defini" la diferenciaci"n parcial, es posi#le definirla ;ntegral Parcial ;ndefinida de una funci"n () en y- respecto a cualquiera de sus varia#les.Cuando se resuelve una integral indefinida para una funci"n de una varia#le, se o#tiene unaconstante de integraci"n, a 1ora en el caso de una funci"n ()en y-, para resolver una integralParcial respecto a cualquiera de sus varia#les en forma indefinida se aplican los m%todos deintegraci"n vistos anteriormente para el caso de funciones de una varia#le, teniendo encuentra quelas dem&s varia#les se comportan como constantes, por lo cual la constante de integraci"n paraeste caso ser& una funci"n de las varia#les respecto a las que no se integro, $emplo:

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    g (7

    A ;

    A u

    A A -

    ) E7

    = K (7

    A ;

    A u

    A A -

    )+ '(;

    A u

    A A -

    )

    $n consecuencia la integral Parcial Definida para eemplo anterior, puede ser evaluada entre dosfunciones '7(;A uA A -)y ';(;A uA A -)como lmites de integraci"n:

    g (7A ;A uA A -)';(;AuAA-)'7(;Au AA-) E 7 = K(7A ;A uA A -)*'7(;AuAA-)';(;AuAA-) g (7A ;A uA A -)';(;AuAA-)'7(;AuAA-) E 7 = K ';(;A uA A -)A ;A uA A -* K';(7A uA A -)A ;A uA A -*

    ;ntegraci"n Parcial en y;: Sea () = (A ) una funci"n continua so#re su intervalo deintegraci"n, entonces sus respectivas integrales parciales se definen como:

    a)

    ;ntegral parcial indefinida respecto a la varia#le :g (A ) E = K(A )+ '() !a integral parcial definida para este caso ser&:

    g (A )';()'7() E = K(A )*'7()';() = K ';()A* K'7()A*#) ;ntegral parcial indefinida respecto a la varia#le :

    g (A ) E = K(A ) +'()!a integral parcial definida para este caso ser&:

    g (A )';()'7() E = K(A )*'7()';() = K A ';()* KA '7()* ;ntegraci"n Parcial en yu: Sea ( )= (AA q) una funci"n continua so#re su intervalo de

    integraci"n, entonces sus respectivas integrales parciales se definen como:

    a) ;ntegral parcial indefinida respecto a la varia#le :g (AAq) E = K(AAq) +(Aq)

    !a integral parcial definida para este caso ser&:

    g (AAq);(Aq)7(Aq) E = K(AAq)*7(Aq);(Aq) = K ;(A q)A Aq* K7(A q)A Aq*a) ;ntegral parcial indefinida respecto a la varia#le :

    g (AAq) E = K(AAq) +(Aq)

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    !a integral parcial definida para este caso ser&:

    g (AAq);(Aq)

    7(Aq) E = K(AAq)*7(Aq);(Aq) = K A ;(A q)A q* KA 7(A q)A q*

    #) ;ntegral parcial indefinida respecto a la varia#le q:g (AAq) Eq = K(AAq) +(A)

    !a integral parcial definida para este caso ser&:

    g (AAq);(A)7(A)

    Eq = K(AAq)*7(A);(A) = K AA;(A )* KAA7(A )* In%e/ral I%erada: $ste concepto se puede definir de manera sencilla como la integraci"n parcial

    definida en forma repetida o sucesiva de una funci"n () en y-, primero evaluando respecto auna varia#le y luego evaluando respecto a otra varia#le, $emplo: $l &rea de una regi"n cerrada yso#re el plano se puede escri#ir en forma de una integral ;terada, para lo cual es necesariodefinir la regi"n de integraci"n y: egi"n 7ipo ;: Cuando la regi"n de integraci"n yest& encerrada por las curvas = '7()y = ';()2 y por las rectas verticales = y = d, entonces se define la regi"n tipo ; como:

    y7=LA | dA '7() ';()M egi"n 7ipo ;;: Cuando la regi"n de integraci"n

    yest& encerrada por las curvas

    = 7()y

    = ;()2 y por las rectas 1ori2ontales = y = E, entonces se define la regi"n tipo ;;como: y7=LA |7() ;()A EA M$s posi#le definir y, como una regi"n tipo ; o tipo ;;, segn convenga para facilitar el c&lculo de !aintegral. Por consiguiente el &rea de la regi"n cerrada yse puede escri#ir como:

    f = Ef = g g EE';()'7()d

    y

    = g g EE;()7()E

    na ve2 definida la regi"n de integraci"n, se resuelve la integral iterada de la siguiente manera:

    Para el eemplo se toma ydefinida como una regi"n de tipo ;g g E';()'7()

    d E = g Ig E';()'7() J

    d E

    Se procede a resolver y evaluar la integral indicada dentro de los corc1etes en primer lugar:

    g g E';()'7()

    d

    E = g ';() '7()*d

    E

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    +s se o#tiene una integral definida ordinaria respecto a la varia#le , al resolver esta integral seo#tiene el Jrea de la regi"n indicada.

    In%e/ral Doble:Sea () = (A ) una funci"n en y; continua so#re la regi"n rectangular y, sedefine la integral do#le como:

    (A)Efy = A-# ii( A )Df-

    j7

    j7 !a integral do#le se puede interpretar geom%tricamente como el volumen encerrado #ao la

    superficie tridimensional de la grafica de (A )en y;y el plano A 2 evaluado so#re la regi"n y.Para regiones generales la integral do#le se define como:

    egi"n 7ipo ;:

    (A)Efy = g g (A )EE';()'7()d egi"n 7ipo ;;:

    (A)Efy = g g (A )EE;()

    7()E

    In%e/ral Tri*le: Sea () = (A Aq) una funci"n en yu continua so#re el paraleleppedo , se

    define la integral 7riple como:

    (AAq)E

    = AA-# i i i (R

    A R

    A R R

    )D-

    Rj7

    j7

    j7

    !a interpretaci"n geom%trica de la integral triple, corresponde a un 1ipervolumentretradimensional, concepto que resulta poco pr&ctico y difcil de visuali2ar, pero existen variasinterpretaciones en fsica que dan sentido al concepto de integral triple. Para regionestridimensionales en general la integral triple se define como:

    (AAq)E = Ig (A A q )Eq;(A)

    7(A) J Ef

    y +l desarrollar en forma ;terada la integral parcial se4alada dentro de los corc1etes se o#tiene unaintegral do#le so#re una regi"n

    y, la cual se puede definir como 7ipo ; o 7ipo ;;, segn convenga.

    $n forma general una integral mltiple se soluciona aplicando los conceptos de integraci"n parcial e;terada.

    CAM7IO DE 3ARIA7LES EN INTE6RALES MULTI)LES:

    $n c&lculo de una varia#le se usa comnmente algn tipo de sustituci"n para facilitar el c&lculo de unaintegral al simplificar el integrando, dic1o concepto puede ser generali2ado de forma similar para el caso deintegrales mltiples.

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    Trans!or#aciones:

    n cam#io de varia#les en integrales mltiples implica una transformaci"n

    de una regi"n

    y

    definida en un sistema de coordenadas en otra regi"n definida en otro sistema de coordenadas,dic1os sistemas coordenados est&n relacionados entre s a trav%s de un conunto de ecuaciones,$emplos: 7ransformaci"n en y;: $s una transformaci"n de una regi"n en el plano NOen una regi"nyen el plano ? la relaci"n existente entre las varia#les estar& dada por:

    = '(NA O)] = (NA O)$sta transformaci"n es 7, lo cual quiere decir que tanto '(NA O) como (NAO) tienenderivadas parciales continuas de primer orden, entonces se tiene que:

    (N7A O7)= (7A 7)

    $ntonces la transformaci"n es una funci"n donde el punto (7A 7)es una imagen del punto(N7A O7), si existe solo una imagen (7A 7) para cada punto (N7A O7), entonces es uno auno y por lo tanto existe una transformaci"n inversa $7de la regi"n y en el plano en laregi"n en el plano NO, y la relaci"n entre las varia#les estar& dada por:

    N = k(A )] O = (A) 7ransformaci"n en yu: $s una transformaci"n de una regi"n en coordenadas NOpen una

    regi"n en coordenadas q? la relaci"n existente entre las varia#les estar& dada por:

    = '(NAOAp)] = (NAOAp)]q = R(NAOAp)

    $sta transformaci"n es 7, lo cual quiere decir que '(NAOAp), (NAOAp)y tienen derivadasparciales continuas de primer orden, entonces se tiene que:(N7A O7A p7)= (7A 7 A q7)

    $ntonces la transformaci"n es una funci"n donde el punto (7A 7 A q7)es una imagen delpunto (N7A O7A p7), si existe solo una imagen (7A 7A q7) para cada punto (N7A O7A p7),entonces es uno a uno y por lo tanto existe una transformaci"n inversa $7de la regi"n en coordenadas qen la regi"n en coordenadas NOp, y la relaci"n entre las varia#lesestar& dada por:

    N = k(AAq)] O = (AAq)] p = (AAq)

    6ormalmente al momento de reali2ar la transformaci"n de cualquier regi"n, es til siempre emplear lasecuaciones de las relaciones entre varia#les de la transformaci"n as como su inversa, para determinar lasequivalencias entre sistemas coordenados de cualquier punto o curva que forme parte de la frontera quedefine a una regi"n. 7am#i%n resulta extremadamente til graficar dic1a regi"n en los dos sistemascoordenados, pues esto ltimo permite definir los intervalos as como los lmites de integraci"n que seanm&s convenientes a la 1ora de plantear la integral mltiple.

    acobiano de una %rans!or#aci"n:$l determinante aco#iano es la clave del cam#io de varia#les enintegrales mltiples:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Kaco#iano en y;: Si esta dada por = '(NA O)] = (NAO), entonces el aco#iano de latransformaci"n esta dado por el determinante:

    (A)(NAO)= N ON O Kaco#iano en yu: Si esta dada por = '(NAOAp)] = (NAOAp) q = R(NAOA p),

    entonces el aco#iano de la transformaci"n esta dado por el determinante:

    (AAq)(NAOAp)=N O pN O pq

    N

    q

    O

    q

    p

    Ca#bio de 3ariables en una In%e/ral doble: Sea una transformaci"n 7 de la forma ='(NA O) = (NAO)cuyo aco#iano no es nulo y que relaciona una regi"n en el plano NOconuna regi"n yen el plano , siendo posi#le definir y ycomo regiones tipo ; y tipo ;;, entonces laformula general para el cam#io de varia#les estar& dada por:

    (A)Efy = '(NA O)A(NAO)* `(A)(NAO)`

    ENEO

    Donde la expresi"n \(A)(NAO)\es el valor a#soluto del determinante aco#iano de la transformaci"n. ;ntegral do#le en coordenadas polares: Para este caso la transformaci"n est& dada por las

    ecuaciones: = r(z)] = S-(z) = 3;+ ;] z = XY6$7 UV

    +l calcular el aco#iano y su valor a#soluto se o#tiene \(A)(Az)\ =||= ? a 1ora altransformar la regi"n y se o#tiene: =LA z|'7(z) ';(z)A z M, adem&sse tiene la condici"n = ;, entonces la formula de cam#io a coordenadaspolares para una integral do#le ser&:

    (A)Ef

    y = r(z)AS-(z)*EEz

    (A)Efy = g g (A z)EEz';(z)

    '7(z)

    Ca#bio de 3ariables en una In%e/ral %ri*le: Sea una transformaci"n 7 de la forma ='(NAOAp)A = (NAOAp) q = R(NAOAp)cuyo aco#iano no es nulo y que relaciona una regi"n

    en coordenadas NOpcon una regi"n en coordenadas q, entonces la formula general para elcam#io de varia#les estar& dada por:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    (AAq)E

    = '(NAOAp)A (NAOAp)A R(NAOAp)* ` (AAq)

    (NAOAp)`

    ENEOEp Donde la expresi"n \(A)(NAO)\es el valor a#soluto del determinante aco#iano de la transformaci"n.

    ;ntegral triple en coordenadas cilndricas: Para este caso la transformaci"n est& dada porlas ecuaciones: = r(z)] = S-(z)] q = q

    = 3;+ ;] z = XY6$7 UV+l calcular el aco#iano y su valor a#soluto se o#tiene

    \(A)(Az)\ =||=

    ? a 1ora al

    transformar la regi"n yse o#tiene: =LAzAq|'7(z) ';(z)A z M, adem&sse tiene la condici"n = ;, entonces la formula de cam#io a coordenadascilndricas para una integral do#le ser&:(AAq)E = r(z)AS-(z)A q*EqEEz

    (A)Efy = g g g (AzAq)EqEEz;(Az)

    7(Az)';(z)

    '7(z)

    ;ntegral triple en coordenadas esf%ricas: Para este caso la transformaci"n est& dada por las

    ecuaciones: = S-()r(z)] = S-()S-(z)] q = r() = 3;+ ;+ q;] = XY6$7 3;+ ;q ] z = XY6$7 UV

    +l calcular el aco#iano y su valor a#soluto se o#tiene \ (A)(AAz)\ =|;S-()|=;S-(), a 1ora al transformar la regi"n y se o#tiene: =LAAz|7(A z) ;(A z)A '7(z) ';(z)A z M, adem&s setiene la condici"n = y z = ;, entonces la formula de cam#io acoordenadas polares para una integral do#le ser&:

    (A A q)E =S-()r(z)AS-()S-(z)Ar()*;S-()EEEz

    (A)Efy = g g g (AAz);S-()EEEz;(Az)

    7(Az)';(z)

    '7(z)

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Funciones de valores vec%oriales 'varias variables(:

    : (^A A A A ) =^(^ AAAA)A (^AA AA)A (^ AA AA)A A (^AAAA)

    Funci"n vec%orial de dos *ar8#e%ros en yu: (NAO)=(NAO)A (NAO)A q(NAO)

    (NAO)= (NAO) + (NAO) + q(NAO)R!a grafica para el caso de una funci"n vectorial de dos varia#les en yu, es representada por una superficieperim%trica en el espacio.

    DERI3ADAS )ARCIALES:

    De manera similar a como se defino la derivada ordinaria de una funci"n vectorial de una varia#le en y-, esposi#le definir la derivada parcial de una funci"n vectorial de varias varia#les en y-.Se tiene que cada unade las componentes de una funci"n vectorial, es una funci"n de varias varia#les de la forma ()=(o7A o;A ouA A o), por lo tanto si (), es una funci"n continua y deriva#le respecto a la varia#le oR, esdecir, si cada una de las componentes de la funci"n es continua y deriva#le respecto a dic1a varia#le, sellega a la siguiente definici"n equivalente a la definici"n de derivada parcial para funciones de variasvaria#les:

    o R = oR= ( 2oR) ( ) $ntonces:

    oR = oR=7oRA ;oR A uoR A A -oR Funci"n vec%orial en yu:

    Derivada parcial de (NAO), respecto a la varia#le N:

    N=

    N= N + N +qN R

    Derivada parcial de (NAO), respecto a la varia#le O:

    O =O= O + O +qO R!a interpretaci"n que se le da a la derivada parcial de una funci"n vectorial (NAO)en yu, geom%tricamente1a#lando, es un vector que es tangente a cualquier curva reticular de la superficie para m%trica generada

    por la varia#le respecto a la que se deriva, y por tanto tangente a la superficie (NAO).

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Funciones vec%oriales uni%arias:

    3ec%or Nor#al Uni%ario: $s un vector de norma una unidad, el cual es normal a cualquier

    punto so#re la superficie (NAO) . Sea (NAO) una funci"n vectorial que define una superficie param%trica en yu, se sa#e que sus derivadas parciales son dos vectores tangentes a la superficie (NAO) y dic1os vectores son ortogonales entre ellos, entonces se puede definir un vectornormal unitario mediante un producto vectorial de la forma:

    (OAO) = N O N O 7am#i%n es posi#le definir un vector normal unitario con sentido contrario al anterior

    simplemente cam#iando el orden en que se desarrolla el producto vectorial:

    (OAO) = O N O N = N O N O AREA DE SU)ERFICIE 'INTE6RAL MULTI)LE(:

    Sea (NAO) una superficie en yu, definida para los valores N d y O E, entonces es posi#lecalcular el &rea de esta superficie mediante una integral do#le para lo cual es necesario definir un elemento

    diferencial de &rea de la superficie como primera medida:

    E = N O ENEO

    $ntonces el &rea de superficie estar& dada por la expresi"n:

    f = E = g g N O ENEOEd

    Ca#*os 3ec%oriales:

    : (^A A A A ) =^(^ AA AA)A (^ AA AA)A (^ AA AA) A A (^AAAA) Ca#*os vec%oriales en

    y;:

    K (A)=s(A)A ~(A)K (A)= s(A) + ~(A)

    Ca#*os vec%oriales en yu:K (AAq)=s(AAq)A ~(AAq)A y(AAq)

    K (AAq)

    = s(AAq)

    + ~(AAq)

    + y(AAq)

    R

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    9r&ficamente un campo vectorial en

    y;y

    yu, puede ser interpretado como un campo de vectores en el

    plano o el espacio respectivamente, en el cual para cada punto coordenado definido por el vector deposici"n = A en y;so#re el plano o = AAqen yuen el espacio tridimensional, la funci"n K (AAq) define un nico vector. $l gradiente de un campo escalar corresponde a un campo vectorial.

    Si K (AAq) = (AAq), se dice que el campo vectorial es conservativo pues deriva de una funci"n escalar depotencial.

    Si K (AAq) , (AAq),se dice que el campo vectorial es no conservativo pues no existe una funci"n escalarde potencial que le de origen.

    ROTACIONAL:

    Sea K ( ) un campo vectorial en y;o yucontinuo, cuyas derivadas parciales de primer orden existen, sedefine entonces el campo vectorial otacional de K ( ) , como el producto vectorial:otacional en C:

    K = R s ~ = P

    ~ sQ R otacional en

    :

    K = R qs ~ y = Py ~q Q + Psq yQ + P~ sQ R

    $l campo otacional de K(), muestra la tendencia que tiene el campo vectorial K() de inducir unarotaci"n alrededor de un ee so#re cualquier punto del dominio de K().

    Teore#as:

    a) Sea

    ()un campo escalar en

    y;o

    yu, con derivadas parciales de segundo orden continuas,

    entonces se cumple que ()= .#) Sea K()un campo vectorial en y;o yu, cuyas funciones componentes son continuas y tienen

    derivadas parciales de primer orden continuas, se dice que K() es un campo vectorialconservativo, es decir K()= ( ) si y solo si K = para cualquier punto so#re eldominio de K(). Para algunos teoremas que se consideraran m&s adelante resulta til calcularla funci"n escalar de potencial (), a continuaci"n se explicara una forma general paradeterminar dic1a funci"n potencial de K():

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Para K ( ) en C: Sea K (A) = s (A) + ~(A) un campo vectorial conservativo, es decir,K (A)= (A)entonces:s = ~ =

    Cada una de las componentes del campo vectorial es una derivada parcial de primer orden dela funci"n (A), por lo tanto al integrar parcialmente una de las componentes del campovectorial, se o#tiene:

    (A ) = g s(A )E + '()(A ) = k(A ) + '()

    Para 1allar el valor de la constante de integraci"n que es la funci"n

    '(), se parte de que

    ~ = , por lo tanto:~(A )=(A) =k(A) + 'H()'H()= ~(A ) k(A)

    Por lo cual al integrar 'H()respecto a (), se o#tiene:

    '()= gF~(A ) k(A) GE +

    Para K() en : Sea K (AAq)= s(AAq) + ~(AAq) + y(AAq)R un campo vectorialconservativo, es decir, K (AAq)= (AAq)entonces:

    s = ] ~ = y =qCada una de las componentes del campo vectorial es una derivada parcial de primer orden dela funci"n (AAq), por lo tanto al integrar parcialmente una de las componentes del campovectorial, se o#tiene:

    (A A q) = g s(AAq)E + '(Aq)(A ) = k(A A q) + '(A q)

    Para 1allar el valor de la constante de integraci"n que es la funci"n '(Aq), se parte de que~ = , por lo tanto:~(AAq)=(AAq) =k(AAq) + '(Aq)

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    '(Aq) = ~ (AAq) k(AAq) Por lo cual al integrar parcialmente 'respecto a (), se o#tiene:

    '(A q)= g F~ (AAq) k(A) GE+(q) '(A q)= (A q) + (q)

    Para 1allar el valor de la constante de integraci"n que es la funci"n (q), se parte de quey = q, por lo tanto:

    y(AAq)= (AAq)q = k(AAq)q + '(Aq)q + H(q)

    H(q) = y(AAq) k(AAq)q + '(Aq)q Por lo cual al integrar H(q)respecto a (q), se o#tiene:

    (q) = g Fy(AAq) k(AAq)q + '(Aq)q GEq + DI3ER6ENCIA:

    Sea K ( ) un campo vectorial en y;oyucontinuo, cuyas derivadas parciales de primer orden existen, sedefine entonces la divergencia de K ( ) , como el producto escalar:

    Divergencia en C: K = s+ ~

    Divergencia en

    :

    K = s+ ~+ yq !a divergencia de K( ) , se puede interpretar de varias maneras, si K ( ) es un campo de velocidades en unfluido, entonces K , se interpreta como el fluo por unidad de volumen del campo de velocidades cerca dealgn punto (AAq). Si K () > 0 , entonces cerca de (AAq)1ay una fuente para K( ) pues en estepunto existe un fluo neto 1acia afuera 'divergente), Si K () < 0 , entonces cerca de (AAq)1ay unsumidero para K( )pues en este punto existe un fluo neto 1acia dentro 'convergente), Si K ( )= ,entonces cerca de (AAq)no 1ay fuentes ni sumideros de K ( ) y se dice que el campo de vectores essolenoide o incompresi#le.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Teore#as:

    a) Sea

    K ( )un campo vectorial en

    y;o

    yu, cuyas funciones componentes son continuas y tienen

    derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces se cumple que K = .#) Sea k ( ) un campo vectorial en y;o yu, cuyas funciones componentes son continuas y tienen

    derivadas parciales de primer orden continuas, entonces si k ( ) = K , es decir si k ( ) corresponde al rotacional de algn campo vectorial potencial K ( ) , entonces se cumple que k = .

    c)

    7oda funci"n () correspondiente a un campo escalar en y;o yu, se puede escri#ir como ladivergencia de algn campo vectorial K ( ) , es decir () = K .

    LA)LACIANO:

    La*laciano de un ca#*o escalar:

    Sea K( ) = () el campo gradiente de una funci"n escalar potencial en y;oyucontina, cuyasderivadas parciales de segundo orden existen, se define entonces el !aplaciano de la funci"npotencial () , como la divergencia de su campo gradiente:

    ; () = () = D ( )!aplaciano en C:

    ; = ;

    ; + ;

    ;

    !aplaciano en : ; = ; ; + ; ; + ; ; $ste operador toma su nom#re por su relaci"n con la ecuaci"n de !aplace ; = , las funcionescuyo laplaciano es nulo, es decir ; = , se denominan funciones arm"nicas so#re su dominio.

    La*laciano de un ca#*o vec%orial:

    Sea

    K( )el campo vectorial en

    y;o

    yucuyas componentes son continas y sus derivadas parciales

    de segundo orden existen, se define entonces el !aplaciano del campo vectorial

    K ( )como:

    !aplaciano en C: ;K = ;s + ;~;K = t ;s; + ;s; + ;s; v + t;~; + ;~; + ;~; v

    !aplaciano en : ;K = ;s + ;~ + ;yR

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    ;K = t ;s; + ;s; + ;s; v + t;~; + ;~; + ;~; v + t;y; + ;y; + ;y; v RINTE6RALES DE LINEA:

    $l concepto de integral definida en c&lculo de una varia#le puede ser generali2ado a funciones de varias

    varia#les 'campos escalares o vectoriales en y; o yu), definidas a lo largo de una curva de integraci"ndefinida, so#re tales curvas continuas existen ciertas convenciones aplica#les en y;y yu, que se puedenresumir en la siguiente figura:

    =tra convenci"n importante respecto a las curvas de integraci"n tiene que ver con su orientaci"n, cuya

    definici"n vara dependiendo de si se trata de una curva a#ierta o cerrada:

    a) Curva a#ierta: Sea la curva o trayectoria de integraci"n definida por un par&metro determinado,entonces como convenci"n se asume que la orientaci"n positiva de , estar& dada por la direcci"ndel incremento positivo en el valor del par&metro.

    #) Curva cerrada: Sea la curva o trayectoria de integraci"n definida por un par&metro determinado,entonces como convenci"n se asume que la orientaci"n positiva de , estar& dada por la direcci"nen la cual la regi"n encerrada por siempre se encontrara a la i2quierda de la trayectoria.

    Por ltimo existen tam#i%n algunas convenciones para las regiones encerradas por curvas cerradas,

    dic1as convenciones se explican en la siguiente imagen:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    In%e/ral de L$nea de un ca#*o escalar sobre una curva suave: Sea () una funci"n que define uncampo escalar en

    y;o

    yucontino so#re una curva o trayectoria

    suave, entonces se define la integral

    de lnea respecto a la longitud de arco como:

    g () E7 = -# i ( R )D-

    Rj7

    In%e/ral de L$nea de un ca#*o escalar en y;: Sea () un campo escalar en y;contino so#re unacurva o trayectoria suave, entonces es posi#le calcular la integral de lnea un campo escalar dedos maneras diferentes dependiendo de c"mo este definida la curva de integraci"n :a)

    Curva de integraci"n definida mediante una funci"n: Sea la curva de integraci"n definida por = '()

    so#re el intervalo

    d, donde la diferencial de longitud de arco se define

    como: E = 47 + UEEV; E, entonces la integral de lnea del campo escalar(A )se puedecalcular mediante la expresi"n:g (A )E7 = g A'()*}7 + PEE Q

    ; Ed #) Curva de integraci"n definida param%tricamente: Sea la curva de integraci"n definida por (o) =(o) A (o) so#re el intervalo o d, donde la diferencial de longitud de arco se

    define como: E = (o)H Eo =4UEEo V;+ UEEo V; Eo, entonces la integral de lnea del campo

    escalar

    (A )se puede determinar mediante la expresi"n:

    g ()E7 = g (o) (o)H Eod = g (o)A (o)}PEEo Q;+ PEEo Q; Eod

    In%e/ral de L$nea de un ca#*o escalar en yu: Sea()un campo escalar en yucontino so#re unacurva o trayectoria definida por (o) =(o)A (o)A q(o) so#re el intervalo o d, donde ladiferencial de longitud de arco se define como: E = (o)H Eo = 4UEEo V;+ UEEo V;+ UEqEo V; Eo,entonces la integral de lnea del campo escalar (AAq) se puede determinar mediante laexpresi"n:

    g ()E7 = g (o) (o)H Eod = g (o)A (o)A q(o)}PEEo Q;+ PEEo Q;+ PEqEo Q; Eod In%e/ral de L$nea de un ca#*o vec%orial sobre una curva suave: Sea K()una funci"n que define un

    campo vectorial en y;oyucontino so#re una curva o trayectoria suave, entonces es posi#le definirla integral de lnea de un campo vectorial respecto a la longitud de arco de dos formas diferentes

    dependiendo de la componente vectorial del campo que se quiera evaluar, por a 1ora se tratara la

    componente tangencial, la componente normal se tratara m&s adelante.

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    g K( ) ( ) E7 = g K() E7

    In%e/ral de L$nea de un ca#*o vec%orial en y;: Sea K (A)= s(A) + ~(A)un campo vectorialen y; contino so#re una curva o trayectoria continua, donde E = E + E, entonces seo#tiene la expresi"n:

    g K() E7 = g s(A)Ed + ~(A )E$s posi#le calcular la integral de lnea un campo vectorial de dos maneras diferentes dependiendo

    de c"mo este definida la curva de integraci"n :a)

    Curva de integraci"n definida mediante una funci"n: Sea la curva de integraci"n definida porla funci"n = '()so#re el intervalo d, teniendo en cuenta que E = 'c()E, sepuede escri#ir la integral de lnea de campo vectorial en t%rminos de de la siguiente forma:g K() E7 = g sA'() *Ed + ~A'() *'c()E

    #) Curva de integraci"n definida param%tricamente: Sea la curva de integraci"n definida por (o) =(o) A (o) so#re el intervalo o d, teniendo en cuenta que E = c(o)Eo, yE = c(o)Eo2se puede escri#ir la integral de lnea de campo vectorial en t%rminos de ode lasiguiente forma:

    g K() E7 =g K (o) c(o)Eod g K() E7 = g sL(o)A(o) Mc(o)+~L(o)A(o)Mc(o)*d Eo

    In%e/ral de L$nea de un ca#*o vec%orial en yu: Sea K (A)= s(A) + ~(A)un campo vectorialen yucontino so#re una curva o trayectoria definida por (o) =(o) A (o) A q(o)so#re el intervalo o d, teniendo en cuenta que E = c(o)Eo, E = c(o)Eoy Eq = qc(o)Eo, se puede escri#irla integral de lnea de campo vectorial en t%rminos del par&metro ode la siguiente forma:

    g K() E7 = g s(AA q)Ed + ~(AAq)E + y(AAq)Eqg K() E7 =g K (o) c(o)Eod

    g K() E7 =g sL(o)A (o)Aq(o) Mc(o)+~L(o)A (o)Aq(o)MH(o) + yL(o)A (o)Aq(o)MqH(o)*Eod

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    In%e/ral de L$nea de un ca#*o escalar sobre una curva suave *or *ar%es: Sea () una funci"n quedefine un campo escalar en y; o yu contino so#re una curva o trayectoria suave por partes,entonces:

    g () E7 = g () E777 + g () E;7; + g () Eu7u + w + g () E-7- In%e/ral de L$nea de un ca#*o vec%orial sobre una curva suave *or *ar%es: Sea K ( ) una funci"n que

    define un campo vectorial en y; o yu contino so#re una curva o trayectoria suave por partes,entonces:

    g K ( ) E7 = g K ( ) E 777 + g K ( ) E ;7; + g K ( ) E u7u + w + g K ( ) E -7- In%e/ral de L$nea de un ca#*o vec%orial sobre una curva cerrada si#*le 'circulaci"n(: Sea K ( ) unafunci"n que define un campo vectorial en y;o yu contino so#re una curva o trayectoria cerrada

    simple, este tipo de integral de lnea se conoce como ;ntegral de circulaci"n de K ( ) alrededor de yexisten algunos teoremas muy importantes en relaci"n con este tipo de integral los cual se

    consideraran m&s adelante, normalmente se usa una notaci"n especial para este tipo de integral.

    In%e/ral de Circulaci"n en y;: Sea K (A) = s (A) + ~(A) un campo vectorial en y; continoso#re una curva o trayectoria cerrada simple, se usa la notaci"n:

    K() E7

    = s(A)E7

    + ~(A )E

    In%e/ral de Circulaci"n en yu: Sea K (A)= s(A) + ~(A) un campo vectorial en yu continoso#re una curva o trayectoria cerrada simple, se usa la notaci"n:

    K() E7 = s(A)E7 + ~(A )E + y(AAq)Eq

    INTE6RALES DE SU)ERFICIE:

    $l concepto general de integral do#le definida en c&lculo de varias varia#les, puede ser aplicado a funciones

    como campos escalares o vectoriales en yu, definidas so#re superficies param%tricas en forma de funcionesvectoriales de dos varia#les. $xiste una forma sencilla de clasificar superficies parametricas la cual diferencia

    entre superficies que son suscepti#les de ser orientadas y las que no, una superficie suscepti#le de ser

    orientada como regla de#e poseer dos lados o caras, pero no todas las superficies presentan dos lados, un

    eemplo conocido es la llamada cinta de mo#ilus, en el caso de integrales de superficie de campos

    vectoriales solo se consideraran superficies suscepti#les de ser orientadas, para este tipo de superficie solo

    existen dos posi#les orientaciones dadas por un vector normal a dic1a superficie como se puede o#servar en

    la siguiente imagen:

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    Para superficies cerradas se tiene como convenci"n que la orientaci"n positiva se da cuando la direcci"n de

    los vectores normales es 1acia afuera del volumen encerrado por la superficie:

    In%e/ral de Su*er!icie de un ca#*o escalar: Sea () una funci"n que define un campo escalar en yucontino so#re una superficie parametrica , entonces se define la integral de superficie respecto alelemento diferencial de &rea superficial como:

    ( )E

    = A-# ii( )D-

    j7

    j7

    Donde: (NAO) = (NAO) + (NAO) + q(NAO)R es la funci"n vectorial de dos varia#les que define lasuperficie parametrica. Como se considero en c&lculo de funciones vectoriales de varias varia#les, un

    elemento diferencial de &rea de la superficie esta dado por la expresi"n: E = N O Ef = N OENEO = N O EOENDonde N O es un vector normal a la superficie el cual se o#tiene del producto vectorial entre lasderivadas parciales de la funci"n vectorial de superficie 'vectores tangentes a la superficie). $ntonces se

    define la integral de superficie de un campo escalar de la siguiente manera:

    ()E = (NA O)* N O Ef

    Por ltimo se define la regi"n como tipo ; o tipo ;; so#re el plano NOsegn convenga.Se puede o#servar que si la superficie de integraci"n est& definida mediante una funci"n, eemplo:q = (A)so#re una regi"n tipo ; o tipo ;;, es posi#le #uscar una parametri2acion de dic1a superficiede la forma: (A)= + + (A)R donde al calcular el elemento diferencial de &rea de la

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    superficie se o#tiene: E = N O Ef =4 7 + UV;+ UV; Ef. $ntonces se o#tiene la siguienteexpresi"n para la integral de superficie de un campo escalar:

    ()E = AA(A)*}7 + PQ;+ PQ; Ef

    In%e/ral de Su*er!icie de un ca#*o vec%orial 'Fluo(: Sea K( ) una funci"n que define un campovectorial en yucontino so#re una superficie parametrica suscepti#le de ser orientada, entonces sedefine la integral de superficie de un campo vectorial respecto al elemento diferencial vectorial de &rea

    superficial, tam#i%n conocida como fluo de K()a trav%s de como:

    K( ) E = K( ) E Donde: (NAO)= (NAO) + (NAO) + q(NAO)R es la funci"n vectorial de dos varia#les que define lasuperficie param%trica y el elemento diferencial de superficie estar& dado por el vector diferencialE = U N OV Ef, $ntonces se define la ;ntegral de superficie de un campo vectorial como:

    K( ) E = K( ) N O Ef

    Por ltimo se define la regi"n como tipo ; o tipo ;; so#re el plano NOsegn convenga.Para el caso en que la superficie de integraci"n est& definida mediante una funci"n, eemplo q =(A )so#re una regi"n tipo ; o tipo ;;, parame ri2ada en la forma (A)= + + (A)Rdonde = + + R, se o#tiene:

    K( ) E = Fs(A )(A) ~(A) (A) +y(A)GEf

    Cuando es una superficie cerrada, se suele usar una notaci"n diferente de manera parecida que en elcaso de la integral de circulaci"n, relacionado con este caso tam#i%n existe un teorema muy importanteque se considerara en la siguiente secci"n, la notaci"n utili2ada es la siguiente:

    K( ) E = K( ) E

  • 7/21/2019 Resumen de Calculo.

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    TEOREMAS DE INTE6RALES DE CAM)OS 3ECTORIALES:

    Teore#a !unda#en%al *ara in%e/rales de L$nea: Sea

    K ( )una funci"n que define un campo vectorial

    en y; o yu, donde K( ) = () , es un campo vectorial conservativo el cual deriva de la funci"npotencial ( ) y K ( ) es contino so#re una curva o trayectoria suave o suave por segmentosdefinida por (o) so#re el intervalo o d, entonces:

    g K E7 = g E7 g E7 = (d) ()

    Para lo cual es necesario determinar la funci"n potencial

    () aplicando el m%todo explicado en la

    secci"n donde se introduo el operador rotacional y se presentaron teoremas relacionados.

    Inde*endencia de la %ra?ec%oria: Sean 7y ;dos curvas diferentes suaves o suaves por partes queparten de la misma posici"n inicial y comparten la misma posici"n final, entonces se cumple que:n 7 E 777 = n ; E ;7; por lo tanto !a integral de lnea de un campo vectorialconservativo solo depende de la posici"n inicial y final de la curva . $n consecuencia si escualquier curva cerrada so#re el dominio de () se cumple que:

    E7 = $ntonces n K E7 es independiente de la trayectoria s y solo si K E7 = para cualquiertrayectoria so#re el dominio de K ( ) siendo este ultimo un campo vectorial conservativo de la formaK ( ) = () .

    Teore#a de 6reen: Sea una curva simple cerrada suave o suave por partes, con orientaci"n positiva ysea yla regi"n conexa delimitada por , Sea K ( A )una funci"n que define un campo vectorial en y;,cuyas componentes son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas so#re una

    regi"n a#ierta que contiene a y, entonces se define el teorema de 9reen segn la componentevectorial de

    que se considere:

    For#a Tan/encial: $n la siguiente imagen se ilustra la componente 7angencial de .

    !a forma tangencial del teorema de 9reen relaciona una integral de lnea con una integral de

    superficie so#re la regi"n yaplicada al campo rotacional de K( A ), Se define entonces la formatangencial del teorema de 9reen, de la siguiente manera:

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    K E7

    = K 7

    E = .U K V R/ Ef

    y

    K E7 = t~ sv Ef

    y

    $ste teorema puede ser generali2ado a regiones mltiplemente conexas, es decir, regiones con

    1oyos en su interior, se muestra un eemplo en la siguiente imagen:

    !as dos curvas 7y ;son curvas cerradas con orientaci"n positiva, el teorema toma la siguienteforma:

    K E 777 K E ;7; = .U K V R/ Ef

    y

    For#a Nor#al: $n la siguiente imagen se ilustra la componente 6ormal de .

    !a forma normal del teorema de 9reen relaciona una integral de lnea con