RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
I. SISTEMA SEXAGESIMAL ( ° ) : Grado sexagesimales ( ‘ ) : Minuto sexagesimales ( ‘’ ) : Segundo sexagesimales
1° = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 360°
1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° =3600’’
II. SISTEMA CENTESIMAL ( g ) : Grado centesimales ( m ) : Minuto centesimales ( s ) : Segundo centesimales
1� = �∡ � ��� ��� �∡ 1 ������ = 400�
1g = 100m 1m = 100s 1g =10 000s
III. SISTEMA RADIAL ( rad ) : Radián
1 ��� = �∡ � ��� ! �∡ 1 ������ = 2#���
CONVERSIÓN DE SISTEMAS I Para convertir medidas angulares de un sistema a otro se multiplica por los siguientes factores de conversión.
9° 180° 200g 27’ 81’’ 27’ 162’
10g #��� #��� 20
m 250° 5000
s 5
m
CONVERSIÓN DE SISTEMAS II Sea ∡AOB, un ángulo cualquiera
S = # de grados sexagesimales del ángulo C = # de grados centesimales del ángulo R = # de radianes del ángulo Se cumple:
NOTACIONES IMPORTANTES Para un ángulo cualquiera se cumple:
# de grados sexagesimales = S
# de minutos sexagesimales = 60S # de segundos sexagesimales = 3600S
# de grados centesimales = C
# de minutos centesimales = 100C # de segundos centesimales = 10000C
LONGITUD DE ARCO L: Longitud del arco AB R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la �∡$%&
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (LC)
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A: Área del sector circular AOB R: Longitud del radio
θ: # de radianes de la �∡$%& OTRAS FORMULAS ÁREA DEL CÍRCULO (AC)
B
O S° = Cg = R rad
A
1 rad
r
r r o '( = 2#) R LC O
' = * ∙ )θ rad
R
R L o
$ = ' 2*
B
A
o θ rad
R
B
A
o
R
$ = ) 2 ∙ *
$ = ' ∙ )2
$( = # ∙ ) R
O
,180 = .200 = )#
,9 = .10 ,180 = )#
.200 = )#
TRIGONOMETRÍA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 2
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR (AT) A: Área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor h = R - r
ÁNGULO BARRIDO POR UNA RUEDA *0: Ángulo barrido por la rueda 12: Espacio recorrido R : Longitud del radio de la rueda
NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA (#4) APLICACIONES EN ENGRANAJES Y POLEAS
I. DOS ENGRANAJES DE CONTACTO
II. DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE
III. DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA
5678 = .����9 %:��;�9<=:9��>�;� =
�?
@AB8 = .����9 $�C�?�>��<=:9��>�;� =
D?
EFG8 = .����9 %:��;�9.����9 $�C�?�>�� =
�D
@HG8 = .����9 $�C�?�>��.����9 %:��;�9 =
D�
56I8 = <=:9��>�;�.����9 $�C�?�>�� =
?D
@BI8 = <=:9��>�;�.����9 %:��;�9 =
?�
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS: CO- RAZONES 5678 = @AB(KL − 8) = @ABO @AB8 = 567(KL − 8) = ,�>P EFG8 = @HG(KL − 8) = .�QP @HG8 = EFG(KL − 8) = R�QP 56I8 = @BI(KL − 8) = .;?P @BI8 = 56I(KL − 8) = ,�?P
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
5678 ∙ @BI8 = S
5678 = S@BI8
.;?T = 1,�>T
@AB8 ∙ 56I8 = S
.9;T = 1,�?T
,�?T = 1.9;T
EFG8 ∙ @HG8 = S
R�QT = 1.�QT
.�QT = 1R�QT
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
*0 = 12)
R
R R
R R
Eje
#U = 1(2#) #U = *02#
r R
*V = *W R r
Eje
? = � + D
1V = 1W
T + P = 90°
? > Z�; D\
1V = 1W
T + P = 90°
r R
Correa
$ = (� + D)2 ∙ ℎ
h
o
h
a
R-r
r
R-r
r
b
a
b c
α
β
Prof. Widman Gutiérrez R.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
R.T. 30° 60° 45° 37° 53°
Sen 12
√32
√22
35
45
Cos √32
12
√22
45
35
Tag √33
√3 1 34
43
Ctg √3 √33
1 43
34
Sec 2√3
3 2 √2
54
53
Csc 2 2√3
3 √2
53
54
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
I. DATOS : HIPOTENUSA Y θθθθ
II. DATOS : CATETO OPUESTO Y θθθθ
III. DATOS : CATETO ADYACENTE Y θθθθ
ÁNGULOS VERTICALES
ÁNGULO DE ELEVACIÓNÁNGULO DE DEPRESIÓN
H
θ
H Cosθ θ
H
a
θ
a Cscθ θ
a Cscθ
a θ
a Secθ
a θ
IGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
16° 74°
725
2425
2425
7
25
724
247
247
7
24
2524
257
257
2524
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
ELEVACIÓN DEPRESIÓN
ÁNGULOS HORIZONTALES ROSA NAÚTICA RUMBO
N55°E : Del Norte 55° al EsteS20°O : Del Sur 20° al Oeste
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
5678 � %���>���
)��=9
@AB8 � $D;?=;�
)��=9
EFG8 � %���>���
$D;?=;�
@HG8 � $D;?=;�
)��=9
56I8 � )��=9
$D;?=;�
@BI8 � )��=9
%���>���
H Senθ
a
a Tagθ
� � a
20°
S20°O
N
55°
S
O
M X Jb; CN
M M Jb; CN
r
r
TRIGONOMETRÍA
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ÁNGULOS HORIZONTALES
N55°E : Del Norte 55° al Este S20°O : Del Sur 20° al Oeste
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
%���>���)��=9 c�?�9�
� de
$D;?=;�)��=9 c�?�9�
� b�
%���>���$D;?=;�
� Cb
$D;?=;�)��=9 c�?�9�
� bC
)��=9 c�?�9�$D;?=;�
� �b
)��=9 c�?�9�%���>���
� �C
ab X C
N55°E
E
14
�45°
4� 11°15f
r
y
x
X M Jb; CN
X X Jb; CN
r
TRIGONOMETRÍA
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES
R.T. 0°
0 rad
90°
π/2 rad 180°
Π rad 270°
3π/2 rad
Sen O 1 O M1
Cos 1 O −1 O
Tag O N O N
Ctg N O N O
Sec 1 N −1 N
Csc N 1 N −1
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MENORES
QUE 360°
• PRIMERA FORMA:
• SEGUNDA FORMA:
II. REDUCCIÓN AL IC PARA ÁNGULOS MAYORES
QUE 360°
Si: T > 360° → T = 360> + P
III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
NEGATIVOS ,�>(−T) = −,�>T .9;(−T) = .9;T R�Q(−T) = −R�QT .�Q(−T) = −.�QT ,�?(−T) = ,�?T .;?(−T) = −.;?T
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES RECÍPROCAS ,�>T ∙ .;?T = 1 .9;T ∙ ,�?T = 1 R�QT ∙ .�QT = 1
IDENTIDADES POR COCIENTE
R�QT = ,�>T.9;T
.�QT = .9;T,�>T
IDENTIDADES PITAGÓRICAS ,�> T + .9; T = 1 ,�? T = 1 + R�Q T .;? T = 1 + .�Q T
IDENTIDADES AUXILIARES ,�>�T + .9;�T = 1 − 2,�> T ∙ .9; T
,�>�T + .9;�T = 1 − 3,�> T ∙ .9; T
(,�>T + .9;T + 1)(,�>T + .9;T + 1) = 2,�>T.9;T
(1 ± ,�>T ± .9;T) = 2(1 ± ,�>T)(1 ± .9;T)
a1 ± 2,�>T ∙ .9;T = |,�>T ± .9;T| 1 + ,�>T.9;T = .9;T1 − ,�>T
1 + .9;T,�>T = ,�>T1 − .9;T
R�QT + .�QT = ,�?T ∙ .;?T ,�? T + .;? T = ,�? T ∙ .;? T
PROPIEDAD:
Si $,�>T + &.9;T = ., se cumple que:
,�>T = $.
.9;T = &.
,= C ;ó�9 ;=: $ + & = .
Signo ± depende de la R.T. original
Signo ± depende de la R.T. original
). R m180° ± T360° − Tn = ± ). R(T)
). R(T) = ). R(360° ∙ > + P) = ). R(P)
). R m 90° + T270° ± Tn = ± .% − ). R(T)
TRIGONOMETRÍA
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RAZ. TRIG.DE ÁNGULOS COMPUESTOS
,�>JT ± PN � ,�>T ∙ .9;P ± .9;T ∙ ,�>P
.9;JT ± PN � .9;T ∙ .9;P ∓ ,�>T ∙ ,�>P
R�QJT ± PN �R�QT ± R�QP1 ∓ R�QT ∙ R�QP
IDENTIDADES AUXILIARES
,�>(T + P) ∙ ,�>(T − P) = ,�> T − ,�> P
.9;(T + P) ∙ .9;(T − P) = .9; T − ,�> P
R�QT ± R�QP = ,�>(T ± P).9;T ∙ .9;P
RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO DOBLE ,�>2T = 2,�>T.9;T
.9;2T =
.9; T − ,�> T
2.9; T − 1
1 − 2,�> T
R�Q2T = 2R�QT1 − R�Q T
IDENTIDADES AUXILIARES a1 ± ,�>2T = |,�>T ± .9;T|
.�QT + R�QT = 2.;?2b
.�QT − R�QT = 2.�Q2b
RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO TRIPLE ,�>3T = 3,�>T − 4,�>�T
.9;3T = 4.9;�T − 3.9;T
R�Q3T = 3R�QT − R�Q�T1 − 3R�Q T
PARA DEGRADAR: 4,�>�T = ,�>3T − 3,�>T
4.9;�T = 3.9;T + .9;3T
,�> mT2n = ±p1 − .9;T2
.9; mT2n = ±p1 + .9;T2
R�Q mT2n = ±p1 − .9;T1 + .9;T
TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO Si: b > C , se cumple:
,�>q + ,�>d = 2,�> rb + C2 s .9; mb − C2 n
,�>b − ,�>C = 2.9; rb + C2 s ,�> mb − C2 n
.9;q + .9;d = 2.9; rb + C2 s .9; mb − C2 n
.9;q − .9;d = 2,�> rb + C2 s ,�> mb − C2 n
PROPIEDADES
Si: $ + & + . = 180°, secumple:
567$ + 567& + ,�> . = 4.9; r$2s .9; r&2s .9; r.2s
.9;$ + .9;& + .9; . − 1 = 4,�> r$2s ,�> r&2s ,�> r.2s
TRANSFORMACIÓN A SUMA O DIFERENCIA Si: b > C , se cumple:
2,�>b ∙ .9;C = ,�>(b + C) + ,�>(b − C)
2.9;b ∙ ,�>C = 2,�>(b + C) − ,�>(b − C)
2.9;q ∙ .9;d = 2.9;(b + C) + .9;(b − C)
2,�>q ∙ ,�>d = 2.9;(b − C) − .9;(b + C)
RAZ. TRIG. DEL ÁNGULO MITAD
NOTA: El signo ± depende del cuadrante al
cual pertenece b 2⁄
TRIGONOMETRÍA
Prof. Widman Gutiérrez R. Página 6
I. LEY DE SENOS
�,�>$
�D
,�>&�
?,�>.
�,�>$
�D
,�>&�
?,�>.
� 2)
� = 2),�>$; D = 2),�>&; ? = 2),�>.
II. LEY DE COSENOS
� = D + ? − 2D?.9;$
D = � + ? − 2�?.9;&
? = � + D − 2�D.9;.
III. LEY DE TANGENTES
� + D� − D = R�Q m$ + &2 nR�Q m$ − &2 n
� + ?� − ? = R�Q m$ + .2 nR�Q m$ − .2 n
D + ?D − ? = R�Q m& + .2 nR�Q m& − .2 n
IV. LEY DE PROYECCIONES � = D.9;. + ?.9;&
D = �.9;. + ?.9;$
? = �.9;& + D.9;$
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (ETE)
u. R. (∡) =⋕
VALOR PRINCIPAL (VP) DE UNA “ETE”
u. R. (∡) =⋕ → cw = u. R.x� (⋕)
RESOLUCIÓN DE UNA “ETE”
1.
,�>(∡) =⋕ → cw = $�?9,�>(⋕)
∡ = ># + (−1)y cw
2.
.9;(∡) =⋕ → cw = $�?9.9;(⋕)
∡ = 2># ± cw , > ∈ ℝ
3.
R�Q(∡) =⋕ → cw = $�?9R�Q(⋕)
∡ = ># + cw
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A
B C
O R
A
B C a
b c
A
B C a
b c
A
B C a
b c
A
B C a
b c