UNIVERSIDAD DE PANAM FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS ESCUELA DE MATEMTICA CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS ASOCIACIN NACIONAL DE ESTUDIANTES DE MATEMTICA (A.N.E.MAT.) CAPTULO DE VERAGUAS SEMANA DE LA MATEMTICACONFERENCIA: INTEGRACIN NUMRICA POR EL MTODO DE LOS TRAPECIOS. EXPOSITOR: FECHA: HORA: LUGAR: RAL ENRIQUE DUTARI DUTARI. 16 DE NOVIEMBRE DE 1994. 10:00 A. M. AULA B-5 DEL CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE VERAGUAS. DIRIGIDA A: PROFESORES Y ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS DE MATEMTICA QUE PARTICIPARON EN EL EVENTO. DURACIN: 45 MINUTOS.

ii

OBJETIVOS GENERALES1. 2. Comprender las bases conceptuales de la integracin aproximada. Comprender los rasgos generales de la integracin aproximada utilizando el mtodo de los trapecios. 3. Comprender la aproximacin del error por truncamiento de la integracin aproximada utilizando el mtodo de los trapecios, frente al valor exacto. 4. Resolver problemas de integracin aproximada utilizando el mtodo de los trapecios.

iii

OBJETIVOS ESPECFICOS1. 2. Conocer la interpretacin geomtrica de la integral definida. Reconocer que el mtodo de los trapecios representa, geomtricamente, el rea bajo una funcin polinomial de primer orden (lineal). 3. Deducir la frmula de los trapecios a partir de la interpretacin geomtrica de la integral definida. 4. Acotar el error cometido en la integracin numrica por el mtodo de los trapecios. 5. Explicar la obtencin de frmulas ms precisas para calcular,

numricamente, integrales definidas. 6. Aplicar el mtodo de los trapecios, para calcular, numricamente, las aproximaciones de algunas integrales definidas.

iv

TABLA DE CONTENIDOS1. Observaciones preliminares. ........................................................... 1

2.

El mtodo de los trapecios: Planteamiento general. ....................... 2

3.

Construccin geomtrica del mtodo de los trapecios.................... 3

4.

Fundamentos matemticos del mtodo de los trapecios: la interpolacin polinomial................................................................... 7

4.1.

El polinomio de interpolacin de Lagrange. .................................... 9

4.2.

Construccin analtica del mtodo de los trapecios. ..................... 15

5.

El error por truncamiento en el mtodo de los trapecios............... 17

6.

Dos ejemplos elementales del mtodo de los trapecios. .............. 24

7.

Otras frmulas de integracin aproximada. .................................. 28

8.

Observaciones finales. .................................................................. 29

Bibliografa 31

1

1.

Observaciones preliminares.Cuando realizamos un experimento, generalmente, se obtiene una tabla

de valores que, se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no obtenemos la representacin explcita de la funcin que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realizacin de cualquier operacin matemtica sobre la nube de puntos, que pretenda tratarla como una relacin funcional, tropezar con dificultades considerables, al no conocerse la expresin explcita de dicha relacin. Entre estas operaciones encontramos la integracin de funciones. Adems, es conocido que existen relativamente pocas frmulas y tcnicas de integracin, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden integrar. Es decir, un gran nmero de integrales de funciones elementales no puede ser expresada en trminos de ellas. Entre estos casos singulares tenemos, a manera de ejemplo:

# ex

2

dx , #

dx , # 1$ x 3 dx , # 1$ x 4 dx , # sen! x 2 "dx ,! ln! x "

Para aclarar la contradiccin antes sealada, debemos recordar la condicin necesaria para que una funcin sea integrable. Dicha condicin la mencionamos de inmediato, sin demostracin:

Proposicin 1 (Condicin necesaria de integrabilidad).Si una funcin f es continua en el intervalo integrable en % a , b&.

%a, b&,

entonces f es

2

Los interesados en una demostracin rigurosa de la Proposicin 1 pueden ubicarla en HAASER, Norman B., LASALLE, Joseph P., y SULLIVAN, Joseph A. Anlisis matemtico 1: Curso de introduccin, [8, 545]. No obstante que las condiciones de la Proposicin 1 son sumamente generales, no tenemos garanta de que, al aplicar los mtodos usualmente conocidos para resolver integrales, podamos encontrar la antiderivada de una funcin f ( x ) cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.

Esta conferencia pretende ilustrar a la audiencia con una de las tcnicas bsicas que nos permiten resolver dicha situacin, a travs de la denominada INTEGRACIN APROXIMADA, POR EL MTODO DE LOS TRAPECIOS.

2.

El mtodo de los trapecios: Planteamiento general.El mtodo de los trapecios tiene su origen directamente en la

interpretacin geomtrica de la INTEGRAL DEFINIDA. Recordemos que la integral definida se puede interpretar como el rea comprendida entre el eje de las abscisas, la funcin a integrar, y los lmites de integracin. Esta rea es calculada a travs de un proceso de paso al lmite usando una particin del rea total, generalmente en rectngulos y haciendo tender al infinito el nmero de rectngulos. La implementacin numrica de este concepto, se conoce como MTODO DE LOS RECTNGULOS, y de hecho, este mtodo se constituye en el soporte terico de la solucin de problemas de aplicacin de integrales definidas. La diferencia entre el mtodo de los trapecios y el anterior mtodo, consiste en que a la particin del rea total, se le reemplazan los rectngulos

3

usados originalmente, por otra figura geomtrica que aproxime mejor el rea buscada, particularmente, usando trapecios. Adems, al igual que en mtodo de los rectngulos, se eliminar el proceso de lmite, de modo que el resultado obtenido ser una aproximacin del valor exacto.

3.

Construccin trapecios.

geomtrica

del

mtodo

de

los

En este apartado construiremos la regla de los trapecios utilizando un enfoque basado en el planteamiento general, esbozado previamente. El mismo, lo resumiremos en la siguiente proposicin.

Proposicin 2 (Regla compuesta de los trapecios).Consideremos una funcin y ' f ( x ), as como las rectas x = x1 , ...,

x = x n . Supongamos que la distancia entre cada una de las parejas devalores de la abscisa

x i , x i(1 es constante y la denotamos como

)x ' x i ( xi(1 !i = 1, 2, 3, ..., n (1". Entonces:

#x

xn1

n(1 / 1, . y1 $ 2* y i $ y n 1)x f ( x )dx + . 1 20 i'2

Donde denominamos a la ordenada de la funcin f en la abscisa x i como

y i ' f ( xi ) para i = 1, 2, 3, ..., n.

4

Demostracin.Recordemos que el rea de un trapecio est dada por la frmula:

1 A ' ! y1 $ y2 "h 2donde h es la altura del trapecio, en tanto que y1 2 y 2 representan las bases del mismo, como se observa en la Ilustracin 1:

Ilustracin 1Consideremos la funcin y ' f ( x ), y las rectas x = x1 , ..., x = x n . Una buena aproximacin al rea bajo la curva de f ( x ), se obtiene dividindola en n(1 fajas de longitud )x y aproximando el rea de cada faja mediante un trapecio, como se muestra en la Ilustracin 2:

5

Ilustracin 2Por la definicin de integral definida, el rea que nos interesa calcular est dada por:xn x1

# f ! x "dxConsideremos que la distancia entre cada una de las parejas de valores

de

la

abscisa:

x i , x i(1

es

constante;

y

la

denotamos

como

)x ' x i ( xi(1 !i = 1, 2, 3, ..., n (1". Si llamamos a la ordenada de lafuncin

f en la abscisa xi como yi ' f ( xi ) para i = 1, 2, 3, ..., n, i = 1, 2, 3, ..., n (1, estarn

entonces, las reas de los trapecios Ai definidas por:

1 Ai ' ! y i $ y i$1 ")x 2

(1)

6

En consecuencia, el rea comprendida entre la funcin y ' f ( x ), el eje de las abscisas, y las rectas x = x1 y x = x n ser, aproximadamente, la suma de las reas de los trapecios, es decir:n(1

1 1 1 A + * Ai ' ! y1 $ y 2 ")x $ ! y 2 $ y3 ")x $"$ ! y n(1 $ y n ")x 2 2 2 i'1Ahora, si agrupamos los trminos de esta suma, adecuadamente, obtenemos:n(1

1 A + * Ai ' ! y1 $ 2 y 2 $ 2 y3$"$2 y n(2 $ 2 y n(1 $ y n ")x 2 i'1n(1 / 1, . y1 $ 2* y i $ y n 1 x ) A+ . 1 20 i'2

(2)

La ecuacin (1) es denominada como REGLA DEL TRAPECIO, en tanto que la ecuacin (2) se conoce como REGLA COMPUESTA DE LOS TRAPECIOS. A manera de aclaracin, dentro de la integracin numrica, se acostumbra denominar FRMULA COMPUESTA, a las ecuaciones que se obtienen a travs de la aplicacin repetitiva de las frmulas bsicas de integracin, adaptadas para cubrir intervalos ms amplios. Es claro desde el punto de vista intuitivo, que si el valor de n crece y repetimos la construccin sobre el intervalo

% x1 , x n &,

tendremos un nmero

mayor de divisiones, y podremos mejorar la aproximacin del rea buscada, frente a la cuantificacin anterior. Es decir, el error cometido al aproximar la

7

integral de la funcin f ( x ), en el intervalo

% x1 , x n &

a travs de la regla

compuesta de los trapecios, ser cada vez menor. Todo lo que hemos planteado a nivel geomtrico parece ser correcto; sin embargo, es importante conocer ms a fondo el fundamento matemtico de este enfoque del problema. Es decir, determinar bajo qu condiciones especficas, podemos esperar que nuestro planteamiento aproxime,

adecuadamente el rea que deseamos cuantificar. Adems, sera conveniente contar con una acotacin del error cometido en nuestra aproximacin.

4.

Fundamentos

matemticos

del

mtodo

de

los

trapecios: la interpolacin polinomial.Para justificar, matemticamente, al mtodo de los trapecios debemos obtener una manera de reemplazar la funcin

f ( x ), que originalmente

deseamos integrar, por otra funcin g( x ), que es una buena aproximacin, de

f ( x ),

en

los

puntos

xi ,

con

i = 1, 2, 3, ..., n.

Es

decir,

si

f ( x i ) + g ( xi ), 3xi , con i = 1, 2, 3, ..., n,

4

#

xn

x1

f ( xi )dx +

#

xn

x1

g( xi )dx.

Ambas funciones, evidentemente, deben cumplir la condicin de integrabilidad establecida de antemano (Proposicin 1). Es decir, son continuas en el intervalo de integracin % x1 , x n &. Lgicamente, debemos preguntarnos qu funciones nos permiten realizar esta aproximacin tan particular.

8

Las funciones que nos permiten realizar esta accin son, las aplicaciones polinomiales. El fundamento de esta afirmacin lo establece el TEOREMA DE APROXIMACIN DE WEIERSTRASS. El resultado en mencin lo enunciamos sin demostracin:

Proposicin 3 (Teorema de aproximacin de Weierstrass).Si f ( x ) es una funcin continua en el intervalo % x1 , x n &, entonces, dado cualquier 56 0, existe un n, n ' n( 5), y un polinomio Pn ( x ) de grado n, tales que:

f ( x ) ( Pn ( x ) 7 5, 3x 8 % x1 , x n &. Es decir, la Proposicin 3 nos garantiza que: una funcin f , continua en un intervalo finito cerrado, puede ser aproximada, tanto como se desee, utilizando un polinomio de interpolacin, de grado suficientemente elevado. Los interesados en una demostracin rigurosa de la Proposicin 3 pueden ubicarla en BARTLE, Robert G. Introduccin al anlisis matemtico, [2, 199]. Conociendo este resultado, pasaremos a estudiar un tipo particular de polinomio de interpolacin: el polinomio de interpolacin de Lagrange.

9

4.1.

El polinomio de interpolacin de Lagrange.Para construir el polinomio de interpolacin de Lagrange, asumiremos

que se conocen n puntos del plano cartesiano, !x1 , y1 ", !x 2 , y 2 ", " , !x n , y n ", cuyas abscisas no estn igualmente espaciadas. Entonces, si denominamos a la ordenada de la funcin f en la abscisa

x i como y i ' f ( x i ) con i = 1, 2, 3, ..., n, el polinomio de interpolacin deLagrange de orden n para estos puntos est definido por la funcin:n

Pn ( x ) ' * Li ( x )9 f ( xi )i'1

(3)

donde:n

Li ( x ) ' ;j'1 j:i

(x ( x j ) ( xi ( x j )

(4)

A continuacin probaremos algunos resultados bsicos de los polinomios de interpolacin de Lagrange.

Proposicin 4.La funcin Pn ( x ) define a un polinomio de grado n(1, a lo sumo.

10

Demostracin:El fundamento de la prueba, que es inmediata, se encuentra en las caractersticas de las operaciones indicadas en las ecuaciones (3) y (4). En la ecuacin (4), debemos observar que, para i = 1, 2, 3, ..., n, se cumple, por construccin, que:

Todos los Li ( x ), consisten en funciones racionales, donde numerador y denominador consisten en el producto de n(1 diferencias de valores conocidos (las constantes

x i ), y

desconocidos (la variable x ).

El denominador de cada Li ( x ), es un nmero real (puesto que el producto de diferencias de nmeros reales, es otro nmero real).

El numerador de cada Li ( x ), no es ms que la representacin factorizada del polinomio cuyas races son, precisamente, los valores x j ,

j = 1, 2, 3, ..., n,

j : i.

En consecuencia, cada Li ( x ) puede ser representado por una expresin de la forma:n

Li ( x ) ' < i ; ! x ( x j ",j'1 j:i

(5)

donde

11