Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas“Lógica Proposicional” | Unidad III

Matematicas discretas

“Lógica Proposicional”

Resumen

Alumno: Julián Reyes Hernández

Profesor: Daniel Benito Román Ocampo

Tutor: Jesús Rafael García Serna

Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales

Grupo: 11-T

Lázaro Cárdenas, Mich. A 25 de Octubre de 2015.

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Lógica: La lógica por sí sola es el arte del razonamiento, gracias a la lógica se dice que algo tiene sentido.

Lógica matemática: Estudia la relación de consecuencia entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento válido.

Uno de los ejemplos más comunes es:

Premisa 1: Todos los hombres son mortales.

Premisa 2: Sócrates es un hombre.

Conclusión: Sócrates es mortal.

En el ejemplo se puede observar como en el lenguaje natural y cotidiano partiendo de dos argumentos o premisas; podemos llegar a una conclusión válida.

Ahora bien, ya que en esta primera unidad se aborda en forma general los conceptos y aspectos base de lo que es la lógica de proposiciones, es de vital importancia conocer lo que es una proposición.

Proposición:

Es aquel enunciado o premisa en el que se puede afirmar algo.

Ejemplo: “María llegó tarde a clases”

Esto es una proposición, ya que se puede decir si tal afirmación es verdadera o falsa. Así que, si yo digo:

“Presione Enter para ingresar a la aplicación”; no es una proposición ya que corresponde a un mandato o instrucción.

“La tierra es el único planeta con vida en todo el universo”; no constituiría una proposición válida ya que es algo desconocido para nosotros, no lo puedo afirmar o negar con precisión.

“5 más 8 es grande” tampoco se puede considerar una proposición, ya que; no sé si estoy hablando de habitantes de una población o si por decir algo estoy

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hablando de dinero. En otras palabras no está enmarcado dentro de un contexto determinado, y por lo tanto no lo puedo afirmar o negar.

En tal sentido, teniendo claro lo que es una proposición; se puede hablar de sus tipos. En total existen dos:

Proposiciones Atómicas o Simples:

Tal y como su nombre lo indica, son aquellas que no se pueden descomponer en otras, ya que de llegar a ocurrir, carecería de sentido la proposición.

Ejemplo: “Lucy es estudiosa”

Si elimino el sujeto, no se sabría de quién se habla, carecería de contexto, y si dejó sólo a Lucy; sería sólo un nombre, es decir no es algo que se pueda afirmar o negar.

Las proposiciones atómicas se representan con letras minúsculas, por lo regular (p, q, r, s, t). Es decir; que la proposición anterior se representaría:

p: Lucy es estudiosa.

Proposiciones Moleculares o Compuestas:

Este tipo de proposiciones son aquellas formadas por proposiciones atómicas o simples unidas mediante conectivos, que reciben el nombre de conectivos o conectores lógicos.

Ejemplo: “Jesús es inteligente o estudia todos los días”

En este caso tenemos 2 proposiciones atómicas, que son:

(1) Jesús es inteligente(2) Estudia todos los días

Y por supuesto el conector que me permite en este caso hacer la unión de ambas es la “o”.

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Este tipo de proposiciones se representa con letras mayúsculas (P, Q, R, S, T). La proposición anterior se representaría:

P: Jesús es inteligente o estudia todos los días.

Dado que las proposiciones moleculares están formadas por proposiciones atómicas y conectivos lógicos, se definen a continuación los conectivos lógicos.

Conectivo Lógico:

Elemento verbal o escrito que permite unir proposiciones atómicas o simples, a fin de formar proposiciones moleculares o compuestas. Los diferentes conectores que existen en lógica matemática son:

Negación: Representada en muchos libros por los símbolos (~ ; ¬ ; o por una rayita encima de la letra), permite simbolizar las formas enunciativas:

- No p- no es cierto que p- es falso que p- no ocurre que p

Ejemplo:

No es cierto que Jasfeld faltó a clases el sábado

Para su representación primero identifico la proposición y luego efectuó la representación simbólica:

La proposición sería: p: Jasfeld faltó a clases el sábado.

La representación simbólica es por tanto: ~p

Conjunción: representada por el símbolo (^ ; &) simboliza enunciados del tipo:

- p y q- p pero q- p no obstante q- p sin embargo q

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Ejemplo: Hoy es sábado y tenemos clase

El mismo es equivalente a que yo diga: “Hoy es sábado pero tenemos clase”, “Hoy es sábado no obstante hay clase”, “Hoy es sábado sin embargo hay clase”.

Así, que representación sería:

p: Hoy es sábado; q: hay clase. p ^ q

Disyunción: Posee dos formas; Inclusiva y Exclusiva.

Inclusiva: Que denota alternativa o simultaneidad entre dos proposiciones, la misma se representa con el símbolo ( v ). Y simboliza enunciados del tipo: p o q; al menos p o q.

Ejemplo: Carlos donará sus zapatos viejos o sus zapatos nuevos. (Que podría leerse también Carlos al menos donará sus zapatos viejos o sus zapatos nuevos)

Esto quedaría representado:

p: Carlos donará sus zapatos viejos. ; q: Carlos donará sus zapatos nuevos.

p v q

Exclusiva: Indica una alternativa entre dos proposiciones. Se representa son el símbolo ( v ), y simboliza enunciados del tipo: “o p o q” o bien “p ó q” pero nunca ambas.

Así, el ejemplo anterior quedaría: O Carlos donará sus zapatos viejos o donara sus zapatos nuevos. (Que también podría escribirse con Carlos donará sus zapatos viejos ó donará sus zapatos nuevos; vean que la ‘o’ en este caso está acentuada).

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Lo que se representaría como: p v q

Condicional: representado por el símbolo (→) , representa enunciados de la forma:

- si p entonces q- si p, q- p implica q- p sólo si q- p suficiente para q- p siempre que q- no p a menos que q- q necesario para p

Ejemplo: Si vemos todo el contenido hoy, entonces habrá parcial el sábado.

Tomando en consideración las frases anteriores, algunas formas en las que se podría escribir el mismo enunciado serían: “Si vemos todo el contenido hoy, habrá parcial el sábado”; “que veamos todos el contenido hoy implica que habrá parcial el sábado”; “Que veamos todo el contenido hoy es suficiente para que haya parcial el sábado”.

En tal sentido; se representa:

p: vemos todo el contenido hoy; q: habrá parcial el sábado; p → q.

Bicondicional: Se representa con el símbolo (↔) y denota enunciados del tipo:

- p si y sólo si q - p necesario y suficiente para q

Ejemplo: Si y sólo si llueve hoy, crecerá el pasto mañana.

p: llueve hoy ; q: crecerá el pasto mañana; p ↔ q.

Se han visto hasta el momento que son preposiciones, sus tipos y los conectivos que me permiten hacer la unión de las mismas. Sin embargo; en lógica

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matemática más allá del contenido de las proposiciones, lo que nos interesa son sus valores de verdad.

Valor de Verdad:

Veracidad o falsedad de una proposición.

Para poder determinar la veracidad o falsedad de una proposición existe una herramienta muy útil conocida como Tabla de Verdad.

Tabla de Verdad:

Es aquella que enumera todas las combinaciones posibles de los valores de verdad para un conjunto de proposiciones dadas. Para construir una tabla de verdad se consideran el número de proposiciones dadas (n), de esta forma el número de filas de la tabla queda definida por:

# de filas = 2n donde 2 representa los únicos posibles valores de la tabla; Verdadero (V) y Falso (F) y n es el número de proposiciones.

si yo les doy las proposiciones ‘p’ y ‘q’, la tabla tendría 4 filas. En las que se deberán distribuir los valores de verdad (V y F). Quedando de esta forma:

p qV VV FF VF F

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Así cada conectivo lógico queda definido por una tabla de verdad:

Negación Conjunción

p ~ pV F

F V

Disyunción Inclusiva

Disyunción Exclusiva

Condicional

Bicondicional

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p q p ^ qV V VV F FF V FF F F

p q p v qV V VV F VF V VF F F

p q p v qV V FV F VF V VF F F

p q p → qV V VV F FF V VF F V

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

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Una vez definidas las tablas de verdad, conseguimos tres conceptos interesantes a la hora de determinar si un argumento es válido o no.

Tautología:

Una forma enunciativa es una tautología si toma el valor de verdad (V) bajo cualquier valoración.

En otras palabras chicos, si la última columna de la tabla de verdad de una proposición molecular dada muestra puras (V) es una tautología.

Contradicción:

Una forma enunciativa es una contradicción si toma el valor de verdad (F) bajo toda valoración.

Es decir, si la última columna de la tabla de verdad de una proposición molecular dada muestra solo (F) es una contradicción.

Contingencia:

Una forma enunciativa es una contingencia si toma el valor de verdad (V) para unas valoraciones y (F) para otras.

Es decir, si la última columna de la tabla de verdad de una proposición molecular dada muestra ambos valores (V) y (F) es una contingencia.

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