Resumen Paper problemas mal condicionados

8/19/2019 Resumen Paper problemas mal condicionados

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Presentación Analisis de Sistema Electricos de Potencia 3Metodo desacoplado para ujos de potencia bien y mal condicionados.

1. Introducci´ on

El tema escogido tiene por tıtulo Decoupled Power Flow solution Method for well-conditioned and ill-conditioned power systems del autor M.M.M. El-Arini, publicado en el a˜ no 1993. El siguiente resumen, secentra en el tema de los probelas llamados “ ill − conditioned ” (que en espa nol se puede traducir como “malcondicionado”), mientras que los probelmas “bien condicionados”quedan bien resueltos por el mismo metodo y ,segun el autor, requiere menos recursos de almacenamiento en un computador y converge en menor cantidad depasos. Para ello se plante un modelo reduciendo al m´ aximo las aproxiamciones y presentando un modelo de barrasde generaci on y consumo desacopladas, adicionando factores de aceleraci´ on en el proceso iterativo.

2. Problema Mal Condicionado.

Matematicamente se dene como el cambio que puede sufrir una funci´ on cuando ocurre un peque˜ no cambio de suargumento. En sistemas lineales del estilo [A][x]=[b], se puede establcer que la condici´ on entrega información deque tan inexacta ser´ a la solucion [x] tras una aproximaci´ on.Por lo tanto un sistema lineal mal condicionado ser´ a aquel que al introducir un peque˜ no cambio en la matriz [A],provocar a un gran cambio en la solución [x].

Para observar lo mencionado de forma numerica, considerese el siguiente ejemplo de una matriz de 3 x3 que podrıarepresentar una matriz de de jacobianos, para el metodo Newton-Raphson:

2 4 5

6 9 8

4,1 5 3

·

x1

x2

x3

=

220

490

274

El resultado de la matriz X corresponde a40

10

20

Si ahora, en la matriz anterior, se cambia el valor de 4 ,1 por 4,09 el resultado cambia a

44,44

5,21

22,05

Se observa claramente que un peque˜ no cambio en la matriz, provoca una gran cambio en el resultado. Por lo tantocuando un problema est´ a mal condicioando, pequeños errores de aproximación inuir an en gran medida en larespuesta, motivo de esto es que no se pueden ocupar aproximaciones convencionales para dichos probelmas, comometodos desacoplados y resolver el problema sin aproximaciones resulta una tarea m´ as complicada en terminosde almacenamiento y tiempo de c´ alculo para un computador y se complejiza a´ un m as si el sistema es de granextensi on. Mas adelante se mencionar´ an las caracterısticas de los SEP mal condiconados.

3. Soluci´ on propuesta.

El an alisis que hace el autor es a partir de las ecuaciones de Potencia usando la matriz de admitancia de barra:

P p =n

q=1{e p(eq Gqp + f q B pq ) + f q (f q G pq − eq B pq )} (1)

Pablo Brice no




Q p =n

q=1{f p (eq Gqp + f q B pq ) + e p (f q G pq − eq B pq )} (2)

El siguiente paso, tambien visto en clases, consiste en aproximar mediante series de Taylor. El autor sugiere que

debe considerarse el termino cuadr´ atico de la serie de Taylor para dismnuir el error, por lo que el sistema, seg´ unel metodo de Newton-Raphson , podr a ser escrito de la siguiente forma:

∆ P

∆ Q =

∂P ∂f i

∂P ∂e i

∂Q∂f i

∂Q∂e i

·∆ f

∆ e+

HP

HQ (3)

Donde los terminos H P y HQ corresponden al termino de segundo orden, seg´ un la Serie de Taylor. Para poderhacer m as compacto el an´alisis, el autor sugiere desacoplar la potencia generada de la potencia en la carga, por loque la ecuaci on 3, se puede reescribir separando la potencia activa generada de las barras P G , la potencia activa yrecativa de las cargas P L y QL . La potencia reactiva de las barras de los generadores son omitidas y la ecuaci´ ones reemplazada por la expresi´ on de e2

Gi = v2i − f 2Gi para todas las barras generadoras, mientras que los terminos

∆ eGi son sustituidos por − − f Gi · ∆ f Gi

e Gi.

∆ P G

∆ P L

∆ QL

=

J 1 J 2 J 3

J 4 J 5 J 6

J 7 J 8 J 9

∆ f G

∆ f L

∆ eL

+

HP G

HP L

HQ L

(4)

e2Gi = v2

i − f 2Gi

En base a al debil acoplamiento que existe entre P y e, y entre Q y f , es posible reescribir las ecuaciones anterioresde una forma desacoplada, pero sin aproximaci´ on:

∆ P G − HP G − J 3 · ∆ eL

∆ P L − HP L − J 6 · ∆ eL

=∆ P ′

G

∆ P ′

L

=J 1 J 2

J 3 J 4

∆ f G

∆ f L (5)

J 5 ∆ eL = ∆ QL − H Q L − J 7∆ f G − J 8 ∆ f L = ∆ Q ′

L (6)

e2Gi = v2

i − f 2Gi (7)

Las ecuaciones 4 y 5 pueden ser reescritas en forma de descomposici´ on LU (Apendice 7.1), ya que esta forma sereduce el tiempo de invertir una matriz.Por lo tanto, las ecuaciones a analizar son las siguientes:

∆ P ′

L

∆ P ′

G

= LP X fG

X fL (8)

X fL =

U P

∆ f L

∆ f G (9)

∆ QL = LQ X e (10)

X e = U Q ∆ eL (11)

Pablo Brice no




4. Determinaci´ on del factor de aceleraci´ on.

Para mejorar la convergencia del metodo iterativo se sugiere multiplicar a los factores ∆ e y ∆ f por un valoroptimo α ∗

q y α ∗

p , el cual debe ser determiando mediante el siguiente proceso a partir de las ecuaciones 4 y 6:

∆ P G

∆ P L = J 1 J 2

J 4 J 5

∆ f G

∆ f L+ J 3 ∆ eL

J 6 ∆ eL

+ HP Gee + HP Gef + HP Gff

HP Lee + HP Lef + HP Lff

Donde los terminos HP Gee y HP Lee poseen terminos ∆ ej al cuadrado, HP Gef y HP Lef depende del productode de ∆ ej y ∆ f j y los terminos HP Gff y HP Lff poseen terminos ∆ f j al cuadrado. Si a dichos valores de ∆ f (subındice G y L) se reemplazan por α ∗

p · ∆ f se puede reescribir el sistema como:

a + bα∗

p + α∗

p2c = 0 (12)

El cual puede ser resulto mediante aproximaciones del “Metodo de Mınimos Cuadrados”, recordando que loscoecientes a, b y c corresponden a par´ametros del sistema y a valores de la iteraci´ on, por lo que para cada puntose deber a resolver dicho sistema. Por otro parte, queda encontrar el valor de α∗

q de la misma forma que para elotro coeciente, pero esta vez de se debe usar la potencia recativa de la carga, dando como resultado el siguiente

sistema:

y + zα ∗

q + α∗

q2h = 0 (13)

Y al igual que para el coeciente α ∗

p , este debe ser resuelto para cada punto.

5. Algoritmo para el metodo.

Una vez que se plantean todas las ecuaciones a resolver, se dise˜ na un diagrama de ujo cuyos pasos se pasa adetallar:

Paso 1: Denir K=0 y las tolerancias ( ǫP y εQ ).

Paso 2: Formar las matrices de jacobianos y la descomposic on LU de las ecuaciones 8, 9, 10 y 11. Denir k=k+1.Paso 3: Proceder a calcular ∆ P G y ∆ P L y vericar si max { ∆ P G , ∆ P L } < ε P es menor a la tolerancia denida. En

caso de ser verdadero avanzar al Paso 5, caso contrario, avanzar al paso 4.

Paso 4: Resolver las ecuaciones 8 y 9 para hallar los valores de ∆ f ( k) y resolver ecuaci on 12 para hallar α ∗

p y denirf (k +1) = f (k ) + α∗

p ∆ f (k ) . Con dichos valores hallar eG usando la ecuaci on 7.

Paso 5: Proceder a calcular ∆ QL . Si se cumple que max {∆ P G , ∆ P L } < ε P y max { ∆ QG } ≤ εQ ir al paso 7. Casocontrario, ir al paso 6.

Paso 6: Resolver las ecuaciones 10 y 11 para obtener ∆ e( k) y resolver la ecuaci on 13 para obtener α∗

q y denire(k +1) = e(k ) + α∗

q ∆ e(k ) . Si K ≤ K max ir al paso 2, caso contrario, ir al paso 7.

Paso 7: Imprimir resultados y detener resultados.

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6. Resultados del autor.

Segun el autor, en base a un sistema de 43 barras, el metodo permite hallar una soluci on ahorrando un 30 % detiempo. Adem´as, el metodo se implementa para un sistema bien condicionado, entregando la misma respuesa quepara el metodo desacoplado y en la mitad de las iteraciones, haciendo la salvedad de que no recurri´ o a factores deaceleraci on.Se advierte que, para el sistema de 43 barras, dejar los factores de aceleraci´ on iguales a 1, podrıa hacer que elsistema no converja a pesar de que una gran cantidad de iteraciones, debido a un problema en la capacidad deprecisi on de los computadores.

7. Apendice

7.1. Descomposic´ on LU

L(Ux) = b

Ly = bUx = y

l1,1 0 0 . . . 0

l2,1 l2,2 0 . . . 0

l3,1 l3,2 l3,3 . . . 0...

......

. . . ...

lm, 1 lm, 2 lm, 3 . . . lm,n

y1

y2

y3

yn

=

b1

b2

b3

bn

A =

a1 ,1 a1,2 a1,3 . . . a1 ,n

a2 ,1 a2,2 a2,3 . . . a2 ,n

a3 ,1 a3,2 a3,3 . . . a3 ,n

......

... . . .

...

am, 1 am, 2 am, 3 . . . am,n

L2,1 = a2,1/a 1 ,1

a2,2 = a2,2 − L2,1a1 ,2

a2,3 = a2,3 − L2,1a1 ,3

a2,n = a2 ,n − L2,1a1,n

L3 ,1 = a3,1/a 2, 2etc..

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