RESUMEN PSU MATEMÁTICASAyuda para el estudiante

Compendio de los conocimientos mínimos obligatorios necesarios para rendir la Prueba de Selección Universitaria 2012, Chile. Este manual no incluye todas las unidades temáticas, aunque si la gran parte.Contacto: ageoftides@gmail.com

Aviso pedagógico

Este documento no pretende ser más que una guía de apoyo y su mera memorización no logrará buenos resultados. La única manera de aprender matemáticas es mediante la resolución de problemas y la aplicación personal de los contenidos mediante el ejercicio continuo.

Edison Muñoz2012

I. PRODUCTOS NOTABLES..................................................................................................................................2

II. CODIFICACIÓN...............................................................................................................................................3

III. ECUACIONES.................................................................................................................................................4

IV. LOGARITMOS................................................................................................................................................5

V. FUNCIONES....................................................................................................................................................6

VI. SUCESIONES..................................................................................................................................................9

VII. ÁNGULOS.....................................................................................................................................................9

VIII. TRIÁNGULOS.............................................................................................................................................10

IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.................................................................................................................14

X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.......................................................................................................................14

XI. CUADRILÁTEROS.........................................................................................................................................15

XII. POLÍGONOS................................................................................................................................................20

XIII. CIRCUNFERENCIA......................................................................................................................................21

XIV. CÍRCULO...................................................................................................................................................23

XV. CUERPOS POLIEDROS................................................................................................................................24

XVI. CUERPOS REDONDOS...............................................................................................................................26

XVII. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA...............................................................................27

XVIII. TRIGONOMETRÍA....................................................................................................................................28

XIX. PROBABILIDADES......................................................................................................................................30

Falta.................................................................................................................................................................31

Capí

tulo

: Fal

ta

1

I. PRODUCTOS NOTABLES

· Cuadrado de binomio: (a+b )2=a2+2ab+b2

(a – b)2=a2−2ab+b2

· Suma por su diferencia: (a+b ) (a−b )=a2−b2

· Producto de binomios: ( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab

· Cubo de binomio: (a+b)3=a3+3 a2b+3ab2+b3

(a – b )3=a3−3a2b+3ab2−b3

· Cuadrado de trinomio: (a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(a−b−c )2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc

· Suma de cubos: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 )

· Diferencia de cubos: a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

Capí

tulo

: Fal

ta

2

II. CODIFICACIÓN

· N.° natural cualquiera: n

· El antecesor de un n.°: n−1

· El sucesor de un n.°: n+1

· N.° natural par: 2n

· N.° natural impar: 2n−1

· El cuadrado del sucesor de un n.°: (n+1 )2

· El sucesor del cuadrado de un n.°: n2+1

· El cuadrado del sucesor del antecesor de un n.°: n2

· Dos n.os naturales impares consecutivos: 2n−1 , 2n+1

· El inverso aditivo u opuesto de un n.°: – n

· El inverso multiplicativo o recíproco de un n.°: 1n

· El triple de un n.°: 3n

· Un n.° de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d: 10d+u

· Un n.° de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c: 100c+10d+u

· La razón o cociente entre p y q: pq

· El valor absoluto de un n.°: ¿n∨¿

· p es directamente proporcional a q: pq=k k: constante

· p es inversamente proporcional a q: pq=k

Capí

tulo

: Fal

ta

3

III. ECUACIONES

A. ECUACIÓN LINEAL

· Ecuación principal de la recta:

y=mx+n m: pendiente, n: coeficiente de posición

· Ecuación general de la recta:

Ax+By+C=0 m=−AB

n=−CB

· Pendiente: m=y2− y1x2−x1

· Rectas paralelas: m1=m2

· Rectas perpendiculares: m1⋅m2=– 1

· Distancia entre dos puntos: d2=( x2−x1 )2+( y2− y1)2

· Coordenadas del punto medio: M=( x1+x22

,y1+ y22 )

B. ECUACIÓN CUADRÁTICA

· Ecuación cuadrática: a x2+bx+c=0

· Fórmula cuadrática: x=−b±√b2−4ac2a

· N.° de soluciones y cortes en el eje x:

∆: discriminante ∆=b2 – 4ac

∆>0 Dos raíces reales y distintas. Dos cortes en el eje x.

∆=0 Dos raíces reales e iguales. Un corte en el eje x.

∆<0 No tiene raíces reales. La función no corta al eje x.

· Propiedades de las raíces: x1+ x2=−ba

x1⋅ x2=ca

Capí

tulo

: Fal

ta

4

IV. LOGARITMOS

· log b1=0

· log bb=1

· log bbn=n

· log b x ⋅ y=logb x+¿ log b y ¿

· log bxy=logb x−logb y

· log b xn=n⋅ logb x

· log bn√ x=

logb x

n

· log b x=log c x

log cb

Capí

tulo

: Fal

ta

5

y

x

y

x

y

x

y

x

V. FUNCIONES

A. FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

· f (x)=ax+b

B. FUNCIÓN LINEAL

· Función de primer grado f (x)=ax+b, con b=0:

f ( x )=ax , con a≠0

· La recta pasa por el origen.

C. FUNCIÓN IDENTIDAD

· Función lineal f (x)=ax, con a=1:

f (x)=x

· La recta pasa por el origen.

· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

Capí

tulo

: Fal

ta

6

y

x

y

x

3

y

x

y

x

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

· Asigna a cada número real x, un número no negativo:

f ( x )=│ x│={ x , si x≥0−x , si x<0

E. FUNCIÓN CONSTANTE

· Función de grado cero.

· Su gráfico es una recta horizontal.

F. FUNCIÓN CUADRÁTICA

· Función de segundo grado:

f (x)=a x2+bx+c

· Se grafica una curva llamada parábola.

G. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

· Su dominio es R+¿∪{0 }¿.

f ( x )=±√ x ( x ≥0 )

Capí

tulo

: Fal

ta

7

y

x

y

x

y

x

y

x

H. FUNCIÓN EXPONENCIAL

· Función del tipo f (x)=ax, con a∈R+¿−{1}¿

· Existen dos casos: a>1 y 0<a<1

· La curva es asintótica (se acerca sin tocar) al eje x (1° y 4° cuadrante).

PRIMER CASO SEGUNDO CASO

· La función es creciente. · La función es decreciente

I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

· Inversa a la función exponencial.

· De tipo f ( x )=logb x= y, con b∈R− {1 }.

· Existen dos casos: b>1 y 0<b<1.

· La curva es asintótica al eje y (1° y 2° cuadrante).

PRIMER CASO SEGUNDO CASO

· La función es creciente. · La función es decreciente.

Capí

tulo

: Fal

ta

8

1 2 4 3

5 6 5 6

L1

L3

L2

L1 L2

8 7

VI. SUCESIONES

A. SUCESIÓN ARITMÉTICA

· Término general o: an=a1+(n−1 ) ⋅d

· Diferencia entre dos términos consecutivos: d=an−an−1

· Suma de los n primeros números:

Sn=n2(a1+an)=

n [2a1+ (n−1 )d ]2

B. SUCESIÓN GEOMÉTRICA

· Término enésimo: an=a1 ⋅rn−1

· Razón entre 2 términos: r=an+1

an

· Suma de los n primeros números: Sn=a1⋅ (r n−1 )

r−1

VII. ÁNGULOS

· Medición: ∠completo=360° 1 °=60 ' 1'=60' '

1 °=60'=3600 ' '

· Complemento de α=90 °−α

· Suplemento de α=180 °−α

· Ángulos correspondientes:

(1 y 5), (2 y 6), (3 y 7), (4 y 8)

· Ángulos alternos internos: (3 y 5), (4 y 6)

· Ángulos alternos externos: (1 y 7), (2 y 8)

Capí

tulo

: Fal

ta

9

αα’

β β'

γγ'

A

B

C

h

VIII. TRIÁNGULOS

A. PROPIEDADES

· p=a+b+c

· A=base ·altura2

· α+β+γ=180 °

· α ’+β ’+γ ’=360 °

· α ’ ≅ β+γ ; β ’ ≅ α+γ ; γ ’≅ α+β

· Cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

· Cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos lados.

· Al lado de mayor medida se le opone el ángulo mayor.

· Al lado de menor medida se le opone el ángulo menor.

B. CLASIFICACIÓN

Clasificación según ángulos:

Rectángulo: un ángulo recto (90°). Acutángulo: tres ángulos agudos (menores que 90°). Obtusángulo: un ángulo obtuso (mayor que 90°).

Clasificación según lados:

Equilátero: tres lados iguales. Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: tres lados distintos.

Capí

tulo

: Fal

ta

10

A

LM

C

BN

G

A

C

B

LM

N

HG

A

C

B

LM

N

I I

C. TRANSVERSAL DE GRAVEDAD

· Trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. AM ≅MC ;

CL≅ LB ; AN ≅ NB

· Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado centro de gravedad (G) y el triángulo queda dividido en seis triángulos equivalentes (de igual área).

D. ALTURA

· Recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

· Un triángulo tiene tres alturas.

· La intersección de las alturas se llama ortocentro (H).

E. BISECTRIZ

· Recta que pasa por un vértice y divide el ángulo en dos ángulos congruentes.

· La intersección de las bisectrices se llama incestro (I).

Capí

tulo

: Fal

ta

11

A

C

B

L

N

O O

A

C

B

LM

N

ab

c

C

BAα β

γ

h

F. SIMETRAL

· Recta perpendicular construida sobre el punto medio de cada lado del triángulo.

· La intersección de las simetrales se llama circuncentro (O).

G. MEDIANA

· Segmento que une cualquier par de puntos medios de los lados del triángulo.

· Es paralela al lado opuesto

ma∥a ; mb∥b ; mc∥ c

· Mide la mitad del lado al cual es paralela.

ma≅a2

; mb≅b2

; mc≅c2

H. TRIÁNGULO EQUILÁTERO

· Los tres lados miden lo mismo: a≅ b≅ c

· Los ángulos interiores miden 60°: α ≅ β≅ γ=60 °

· A=a2√34

· h=a√32

Capí

tulo

: Fal

ta

12

ab

c

C

BA

α β

γ

h

A

ab

c

C

B

h

pq

a y b: catetosc: hipotenusa

I. TRIÁNGULO ISÓSCELES

· Dos lados congruentes (a≅ b) y una

base (c)

· Los ángulos basales son iguales (α ≅ β)

L. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

· Posee un ángulo recto.

· Teorema de Pitágoras:

a2+b2=c2

· Teorema de Euclides:

a2=c·p

b2=c·q

h2=p·q

· Números pitagóricos:

a b c

3 4 5

5 12 13

8 15 17

7 24 25

20 21 29

Capí

tulo

: Fal

ta

13

12 35 37

IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

· Dos triángulos son congruentes -de igual medida y forma- si tiene los tres lados correspondientes congruentes y los tres ángulos correspondientes congruentes.

· Criterios:

LLL: los tres lados correspondientes de igual medida. LAL: dos lados correspondientes iguales y el ángulo entre ellos igual. ALA: dos ángulos y el lado entre ellos iguales. LLA>: dos lados de igual medida y congruente el ángulo opuesto al mayor de los dos lados.

X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

· Dos triángulos son semejantes –de igual forma- si tiene los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes.

· Criterios:

LLL: los tres lados correspondientes proporcionales. LAL: dos lados correspondientes proporcionales y ángulo entre ellos igual. AA: dos ángulos correspondientes iguales.

Capí

tulo

: Fal

ta

14

A B

D C

a

d1

d2

a

a

a

a

XI. CUADRILÁTEROS

· Los ángulos interiores suman 360°.

· Los ángulos exteriores suman 360°.

· Clasificación según par de lados opuestos paralelos:

Paralelogramos: dos pares. Trapecios: un par. Trapezoides: ningún par.

A. PARALELÓGRAMOS

· Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

Se clasifican en:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

1. CUADRADO

· Cuatro ángulos interiores rectos.

· Cuatro lados congruentes.

· Lados opuestos paralelos.

· Las diagonales son iguales y son perpendiculares.

· Las diagonales se bisecan.

· Las diagonales bisecan los ángulos.

· Se puede inscribir una circunferencia.

· Se puede circunscribir una circunferencia.

· d=a√2· p=4a

· A=a2

Capí

tulo

: Fal

ta

15

D

A B

C

a

b

d1

d2

a

b

A B

D C

a

d2d1

f

h

a

a a

A B

D C

a

d1

d2h b

a

b

2. RECTÁNGULO

· Los cuatro ángulos interiores rectos.

· Lados opuestos de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Las diagonales son congruentes y se bisecan.

· Se puede circunscribir una circunferencia.

· p=2a+2b=2 ·(a+b)

· A=a ⋅b

3. ROMBO

· Los cuatro lados de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Ángulos opuestos congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

· Las diagonales son perpendiculares.

· Las diagonales se bisecan y bisecan los ángulos.

· Se puede inscribir una circunferencia.

· p=4a

· A=a·h / A=(d1 ⋅d2)/2

4. ROMBOIDE

· Lados opuestos de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Ángulos opuestos congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

· Las diagonales se bisecan.

· p=2a+2b=2 ⋅ (a+b )

· A=a·h

Capí

tulo

: Fal

ta

16

A B

D C

a

h

dc

b

NM

α β

γDcMAhaβBN

δ

A B

D C

a

h

dc

b

NM

α α β

γδ d1

d2

B. TRAPECIO

· Tienen un par de lados opuestos paralelos llamados basales.

· Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo

1. TRAPECIO ESCALENO

· Lados no paralelos no son congruentes.

· AB∥CD

· α+δ=180 °

· β+γ=180 °

· p=a+b+c+d

· A=MN ·h / A=(a+b)2

·h

2. TRAPECIO ISÓSCELES

· Lados no paralelos son congruentes:

AD≅ BC

· AB∥CD

· Las diagonales son congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

· α ≅ β

· γ ≅ δ

· p=a+b+2c

· A=MN ·h / A=a+b2

·hCa

pítu

lo: F

alta

17

A B

D C

a

d

b

NM

hc

β

γ

A B

D C

NM

b

a

A B

D

a

d

c

b

α α

β

γ

δ

C

3. TRAPECIO RECTÁNGULO

· Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

· AB⊥ AD

· DA⊥DC

· AB∥CD

· c=h=altura

· Ángulos en A y D son rectos.

· β+γ=180 °

· p=a+b+c+d

·A=MN ·h / A=a+b2

·h

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO

· Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

· Es paralela a las bases: MN ∥a ; MN ∥b

· MN ≅ a+b2

C. TRAPEZOIDES

· No tienen lados opuestos paralelos.Ca

pítu

lo: F

alta

18

A B

D

α β

γδ

C

AB

D

a

d

c

b

C

D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS

· En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios:

α+γ ≅ β+δ=180°

· En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí:

a+c≅ b+d

Capí

tulo

: Fal

ta

19

XII. POLÍGONOS

· Figura plana limitada por lados rectos.

· De acuerdo al n.° de lados se clasifican en:

3 lados: triángulo. 9 lados: nonágono o eneágono.

4 lados: cuadrilátero. 10 lados: decágono.

5 lados: pentágono. 11 lados: undecágono o endecágono.

6 lados: hexágono. 12 lados: dodecágono.

7 lados: heptágono. 15 lados: pentadecágono.

8 lados: octágono u octógono. 20 lados: icoságono o isodecágono.

· La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180 °⋅(n−2)

(n = número de lados del polígono)

· La suma de los ángulos exteriores es 360 °.

· N.° de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n –3

· N.° total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D=n ⋅ (n−3 )2

A. POLÍGONOS REGULARES

· Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

· Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: 180° ⋅ (n−2 )

n

· Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: 360°n

· Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.Ca

pítu

lo: F

alta

20

B

O A

B

AC

D

CB

A

P

x

D

CB

A

O Px

XIII. CIRCUNFERENCIA

· p=2⋅ π ⋅r

· A=π ⋅r 2

A. ÁNGULO DEL CENTRO

· El ángulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente.

∠O= AB

· Si ∠ AOB=90 °, entonces AB=90 °

B. ÁNGULO INSCRITO

· El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.

∠C≅ AB2

C. ÁNGULO INTERIOR

∠ x≅ AB+CD2

D. ÁNGULO EXTERIOR

∠ x≅ AB−CD2

Capí

tulo

: Fal

ta

21

A

O P

Q

x

C

BD

P

A

C

B

D

P

A

AB

P

T

E. ÁGULO SEMINCRITO

· Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

∠ x≅ AP2

≅∠Q

F. TEOREMA DE LAS CUERDAS

AP· PB=CP ·PD

G. TEOREMA DE LAS SECANTES

PA ·PB=PC ·PD

H. TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE

PT=PA ·PB

Capí

tulo

: Fal

ta

22

A

B

O

XIV. CÍRCULO

A. SECTOR CIRCULAR

Área del sector = π· r2 · α

360 °

B. SEGMENTO CIRCULAR

Área segmento circular =

Área sector circular AOB – Área ΔAOB

Área segmento circular = π· r2 · α

360 ° – Área Δ AOB

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR

Área del anillo = π·(R2– r2)

R = radio círculo mayor

r = radio círculo menor

O

BA

Capí

tulo

: Fal

ta

23

XV. CUERPOS POLIEDROS

· Están limitados por superficies planas y de contorno poligonal.

· Se clasifican en:

Regulares Irregulares

A. POLIEDROS REGULARES

· Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.

· Son cinco:

· Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro.

a. Tetraedro:

tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices, 6 aristas.

b. Octaedro:

tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son

c. Icosaedro: tiene 20 caras (triángulos equiláteros), 12 vértices, 30 aristas.

d. Hexaedro o cubo:

tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales congruentes.

e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30 aristas.

Capí

tulo

: Fal

ta

24

ab

h ap

B. POLIEDROS IRREGULARES

· No tienen todas sus caras congruentes.

· Se clasifican en:

Prismas Pirámides

1. PRISMA

· Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales.

· A=Área lateral+2⋅ Área base

· Árealateral=Perímetro ∙ Altura

· V=Área basal· h

2. PIRÁMIDE

· Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide.

· A=Área base+Perímetro ⋅ap

· V=13⋅ Área base ⋅h

Capí

tulo

: Fal

ta

25

h r

h

r r

g

XVI. CUERPOS REDONDOS

· Están limitados por superficies curvas o superficies curvas y planas.

· Los principales son:

Cilindro Cono Esfera

A. CILINDRO

· Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados.

· A=2⋅ π ⋅r (h+r )

· V=π ⋅r2 · h

B. CONO

· Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos.

· A=π ⋅r (g+r )

· V=π ⋅r2 ⋅h

C. ESFERA

· Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

· A=4 ⋅ π ⋅r2

· V= 43⋅ π ⋅r3

Capí

tulo

: Fal

ta

26

A BP

m n

Q BA A Q’B

m

n

m

n

A BP Q

m n

m’

n’

A BP

n

m

m’ n’

XVII. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

A. DIVISIÓN INTERIOR

· Dividir interiormente el segmento AB en la razón m :n ,

significa encontrar en el interior del trazo AB un punto P tal que:

APPB

=mn

B. DIVISIÓN EXTERIOR

· Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m :n, significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación) un punto Q tal que:

QAQB

=Q ' BQ ' A

=mn

C. DIVISIÓN ARMÓNICA

· Dividir armónicamente el trazo AB

en la razón m :n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón dada, tal que:

APPB

= AQBQ

=mn

D. SECCIÓN ÁUREA

· Dividir un segmento AB en sección áurea o divina, o

en media y extrema razón, consiste en dividirlo interiormente en dos partes tal que:

ABAP

= APPB

=ϕ=1+√52

≈1,618

Capí

tulo

: Fal

ta

27

ab

c

C

BAα

XVIII. TRIGONOMETRÍA

A. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

· senα= catetoopuesto aαhipotenusa

=ac

· cos α= cateto adyacente aαhipotenusa

=bc

· tg α= cateto opuesto aαcatetoadyacente aα

=ab

· cotα= cateto adyacente aαcatetoopuesto aα

=ba

· sec α=hipotenusa

cateto adyacente aα= cb

· senα= hipotenusacatetoopuesto aα

= ca

B. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

senα ⋅cosec α=1 tg α= senαcosα

cos α · sec α=1 cotα= cos αsen α

tg α ·cotα=1 sec2α=1+tg2α

sen2α+cos2α=1 cosec 2α=1+cot2α

Capí

tulo

: Fal

ta

28

C. VALORES EXACTOS PARA ALGUNAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Función 0° 30° 45° 60° 90°

sen α √02

=0 √12

=12

√22

=1 √32

√42

=1

cos α √42

=1 √32

√22

=1 √12

=12

√02

=0

tg α √0√4

=0 √1√3

=√33

√2√2

=1 √3√1

=√3 Indefinida

cosec α Indefinida2

√1=2 2

√2=√2 2

√3=2√3

32

√4=1

sec α2

√4=1 2

√3=2√3

32

√2=√2 2

√1=2 Indefinida

cot α Indefinida3

√3=√3 1

1=1 1

√3=√33

01=0

D. TEOREMA DEL SENO

· En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

asen α

= bsen β

= csen γ

E. TEOREMA DEL COSENO

· En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.

a2=b2+c2−2bc ⋅cosα

b2=c2+a2−2ca ⋅cos β

c2=a2+b2−2ab ⋅ cosγ

Capí

tulo

: Fal

ta

29

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C C

XIX. PROBABILIDADES

A. PROBABILIDAD CLÁSICA

· Cuando la ocurrencia de un suceso (A) es igualmente posible que la ocurrencia de los demás:

P (A )=número decasos favorable para Anúmerototal de casos posibles

B. PROPIEDADES

· Cuando dos sucesos (A y B) se excluyen mutuamente. Puede ocurrir A o B, pero nunca ambos.

P(A∪B)=P (A )+P (B )

· Cuando dos sucesos (A y B) no se excluyen mutuamente. Puede ocurrir A o B, o ambos.

P(A∪B)=P (A )+P (B )−P (A∩B )

· Cuando son eventos independientes (A y B). La ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro.

P(A∩B)=P (A ) ⋅P (B )

C. DIAGRAMA DEL ÁRBOL

· Representa de manera gráfica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda.

Resultados posibles: 8

CCC – CCS – CSC – CSS

SCC – SCS – SSC – SSS

Casos favorables: 3

CCS – CSC – SCC

Probabilidad del evento = 38

Capí

tulo

: Fal

ta

30

D. TRIÁNGULO DE PASCAL

· Triangulo que representa una regularidad numérica.

· Se construye agregando un uno al inicio y término de cada fila y sumando los números adyacentes para dar origen al número inferior comprendido entre ellos.

EJ.: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar cuatro veces seguidas una moneda.

Por potencias del binomio (C+S )n:

( C + S ) 1 = 1C + 1S

( C + S ) 2 = 1 C 2 + 2 C S + 1 S 2

( C + S ) 3 = 1 C 3 + 3 C 2 S + 3 C S 2 + 1S 3

( C + S ) 4 = 1C 4 + 4 C 3 S + 6 C 2 S 2 + 4 C S 3 + 1S 4

En el desarrollo de (C+S )4, el término 4C3S representa 4 casos favorables para el resultado de tres

veces cara (C3) y una vez sello (S) sin importar su orden de aparición.

FALTA

Teorema de Tales Transformaciones Isométricas Profundizar ecuaciones y funciones

Capí

tulo

: Fal

ta

31