Indice

1. Recordatorio Analisis de Senales 31.1. Senal Impulso y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Introduccion a la Modulacion 42.0.1. Modulacion AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Indice de Modulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Eficiencia Energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Detector de envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Banda lateral doble con supresion de portadora 53.1. Demodulacion de BLD-SP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Loop de Costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Banda lateral unica 64.1. Demodulacion BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Multiplexor de portadora en cuadratura 6

6. Modulador de banda vestigial 7

7. Frecuencia Modulada 77.1. Modulacion de Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.1.1. Modulacion PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.1.2. Modulacion FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.2. Modulacion en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2.1. FM de banda angosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2.2. FM de banda ancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.2.3. Ancho de banda de una transmision de FM arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . 97.2.4. Criterio del 1 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2.5. Ancho de banda para senales arbitraria de modulacion FM . . . . . . . . . . . . 107.2.6. Modulacion FM de banda ancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2.7. Demodulacion de senales FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.2.8. Metodo basado en Phase -Locked loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8. Procesos Estocasticos 118.1. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118.2. Transmision de un proceso estacionario a traves de un filtro LTI . . . . . . . . . . . . . 138.3. Densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8.3.1. Propiedades y algunas definiciones de la DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.4. Proceso Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8.4.1. Teorema Central del lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148.4.2. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9. Ruido 159.1. Ruido Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.2. Ruido en banda angosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.3. Ruido en modulacion analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

9.3.1. Razon senal a ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169.3.2. Efecto de ruido en BLD-PS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

9.3.3. Efecto de ruido en AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.3.4. Efecto de ruido en FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10.Comunicaciones Digitales en banda base 2010.1. Modulacion de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10.1.1. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.1.2. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.1.3. Cuantizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.1.4. Modulacion de amplitud de pulso (PAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

10.2. Pulsos rectangulares NRZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.3. Transmision de pulsos en bandabase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

10.3.1. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.3.2. Probabilidad de error de un bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11.Comunicacion digital M-aria 27

12.Representacion equivalente en banda base 2912.1. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.2. Pre-Envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

1. Recordatorio Analisis de Senales

1.1. Senal Impulso y propiedades

Recordemos que un impulso se define como:

δ(t) =

0 si t 6= 0

1 si t = 0

A partir de la definicion notamos que: ∫ ∞∞

δ(t) dt = 1

Algunas propiedades importantes del impulso son:

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

Cedazo: ∫ ∞∞

x(t)δ(t− t0) dt = x(t0)

Notar que de esta propiedad se desprende que la convolucion por un impulso no afecta la senal, esdecir, es ella misma.

1.2. Definiciones

Senal de Energıa:

E =

∫ ∞∞|x(t)|2 dt

Senal de Potencia:

P = lımT→∞

1

T

∫ −T2

T2

|x(t)|2 dt

1.3. Transformada de Fourier

Algunas transformadas de Fourier importantes son:

cos(2πfct)→1

2

[δ(fc − f) + δ(fc + f)

]sen(2πfct)→

u(t)→ sinc(f)

3

2. Introduccion a la Modulacion

En la modulacion se involucran 3 senales:

• Senal modulada m(t): senal a transmitir, luego de modular la portadora.

• Senal portadora c(t): Senal sinusoidal de alta frecuencia.

• Senal de mensaje s(t): Informacion a ser modulada y transmitida.

La banda base se define como las senales y sistemas antes de la modulacion. Tiene ancho de bandamenor a la frecuencia de la portadora(senal de mensaje). La pasa banda es despues de la modualcion(senal modulada o transmitida).

2.0.1. Modulacion AM

Se varıa la amplitud en torno a un valor medio. La senal modulada es:

s(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct)

donde Ac es la amplitud de la portadora, m(t) es la senal de mensaje, ka es la sensibilidad deamplitud y todo lo que multiplica al coseno es la envolvente de la senal. cos(2πfct) es la portadora. Sedeben cumplir ciertas condiciones en esta senal:

(i) |kam(t)| < 1

(ii) fc �W

La condicion (i) asegura que que no exista sobremodulacion. Si es que existe habra inversion en laenvolvente y producira distorsion. la condicion (ii) permite que exista la envolvente.

El espectro de la senal s(t) es :

S(f) =Ac2

[δ(fc − f) + δ(fc + f)

]+KaAc

2

[M(fc − f)−M(fc + f)

]El ancho de banda de la senal AM se duplica, ası BAM = 2W .

2.1. Indice de Modulacion

Si consideramos m(t) = Am cos(ωt), en la senal s(t) tenemos que µ = Amka es el ındice demodulacion. Este se define ası:

µ =AMAX −AMIN

AMAX +AMIN

donde AMAX representa el valor maximo de la envolvente, y AMIN el valor mınimo.

2.2. Eficiencia Energetica

De la senal s(t) podemos obtener la potencia de la senal portadora y de sus bandas laterales. Estasson:

Potencia portadora =A2c

2

Bandas laterales =µ2A2

c

4

A partir de la potencia podemos definir la eficiencia energetica del a senal.

4

η =µ2

2 + µ2

Podemos notar que en el mejor de los casos (µ = 1), la eficiencia es 13 . Esto dice que solo se usa un

30 % para transmitir la senal.

2.3. Detector de envolvente

El detector de envolvente se usa para demodular la senal, es el circuito mas simple para demodular.Esta compuesto por un diodo simple para poder rectificar la senal y de un filtro pasabajos RC paraobtener la senal.

3. Banda lateral doble con supresion de portadora

Se produce un cambio de fase en 180. Se quita la portadora de la senal modulada, es decir, la senales s(t) = Acm(t) cos(2πfct). Analizando la senal en frecuencia:

S(f) =Ac2

[M(fc − f) +M(fc + f)

]Vemos que ya no esta la portadora, pero sigue teniendo ancho de banda 2W . La potencia de

transmision viene determinada por las bandas laterales. P = PUSB + PLSB .

3.1. Demodulacion de BLD-SP

Como debemos resolver el cambio de fase, usamos el mismo modulador BLD-SP y un filtro pasaba-jos, pero para este caso asumimos que la portadora tiene la misma frecuencia que la senal modulada.Haciendo esto matematicamente tenemos:

s(t)Ac cos(2πfct) = AcAom(t) cos2(2πfct)

= AcAom(t) cos2(2πfct)

=AcAo

2m(t) +

AcAo2

cos(4πfct)

El termino de la derecha del sumando se elimina con un pasabajos. Claramente este es un casomuy particular, en el caso general se tiene que c(t) = Al cos(2πfct+ ϕ) y debe coincidir tanto en fasecomo en frecuencia.

3.2. Loop de Costas

Este es el caso en que el oscilador local coincide en fase con el transmisor, pero no en frecuencia.Si tenemos:

s(t) = Ac cos(2πfct)m(t) (1)

La portadora sera en este caso c(t) = Al cos(2πfct + ϕ), por lo tanto, al modular la senal, y luegofiltrarla con un pasabajos obtendremos:

vo(t) =AcA

′c

2cos(ϕ)m(t) (2)

Ahora notemos que si ϕ ≈ 0, entonces m(t) se puede detectar, pero si ϕ ≈ ±π2 , entonces no se puededetectar la senal. Este caso se llama cero de cuadratura. El loop de costas usa el cero de cuadratura paraadelantar o atrasar la fase del oscilador local en el sentido correcto, para re-sincronizar la portadora delreceptor con la del transmisor. Para esto se usa un VCO. Cuando se tiene que ϕ ≈ 0, entonces la salida

5

del demodulador de fase es 12Acm(t), que es proporcional a la senal que queremos. El discriminador

de fase, que consiste en un multiplicador seguido de un filtro pasabajos, producira una salida parecidaa 0, debido a que la salida del demodulador en cuadratura es ≈ 0. Si tenemos variaciones pequenas defase, lo que se obtendra a la salida del discriminador sera:

A2cm

2(t)

4cos(ϕ) sin(ϕ) ≈ kϕ (3)

El filtro elimina las variaciones de m2(t). El voltaje de entrada al VCO es positivo, por lo que se reducela frecuencia hasta que la fase vuelva a 0.

4. Banda lateral unica

Se transmite solo la banda lateral superior o inferior. Es posible generar esto con el metodo dediscriminacion en frecuencia. Este consiste de 2 etapas:

1. Producir un modulador que genere una modulacion DSB-SC.

2. Hacer un filtro pasabanda que este designado a pasar una de las bandas laterales y eliminar laotra.

La idea es eliminar la banda que no se quiera. Para esto usamos la transformada de Hilbert. Ası lasenal BLU se compone de:

s(t) = Acm(t) cos(2πfct)±Acm(t) sin(2πfct) (4)

El signo positivo para m(t) indica banda lateral superior y el signo menos indica banda lateral inferior.

4.1. Demodulacion BLU

Se usa la propiedad de traslacion espectral.Consideramos que la frecuencia de la portadora es fc ytiene una fase ϕ. Considerando una senal como (9), tenemos que luego de multiplicar por la portadora:

v(t) = s(t)A′c cos(2πfct+ ϕ) (5)

Ası , despues de trabajar la ecuacion y pasar la senal por un filtro pasabajos, obtenemos:

vo(t) =AcA

′c

2

[m(t) cos(ϕ) + m(t) sin(ϕ)

](6)

Aplicando la transformada de Fourier, y recordando (4):

Vo(f) =AcA

′c

2M(f)

[cos(ϕ)− jsgn(f) sin(ϕ)

]=AcA

′c

2M(f)e−jsgn(f)ϕ (7)

Vemos que este resultado indica que existe una distorsion de fase, debido al error en el oscilador local.

5. Multiplexor de portadora en cuadratura

Esta conformado por 2 conexiones de DSB-SC de senales de mensaje independiente que ocupan elmismo ancho de banda, y aun ası permite la separacion de las dos senales de mensaje en el receptorde salida. Podemos ver el esquema en la figura siguiente. La senal multiplexada se define ası:

s(t) = Acm1(t) cos(2πfct) +Acm2(t) sin(2πfct) (8)

donde el primer sumando es el termino en fase y el otro es el termino en cuadratura. el ancho de bandaes de 2W.

6

6. Modulador de banda vestigial

En un VSB una banda es parcialmente suprimida y un vestigio de la otra banda lateral es trans-mitida para compensar esa supresion. Un metodo general para realizar una modulacion VSB es usarel metodo de discriminacion en frecuencia. Primero generamos una modulacion de doble banda consupresion de portadora y luego la pasamos por un filtro pasabanda, como se puede ver en la figura. Elfiltro pasabanda es un filtro que distingue la modulacion VSB de la modulacion BLU. Asumiendo queen el vestigio de la banda lateral inferior es transmitido, la respuesta en frecuencia H(f) de la bandapasante toma la forma siguiente:

Esta normalizada para que |H(f)| = 0,5|. Vemos que la parte cercana a la frecuencia de cortemuestra la simetrıa impar. El ancho de banda es BT = W + fv, donde fv es el ancho de la bandalateral vestigial. La senal modulada es:

s(t) =Ac2m(t) cos(πfct)±

Ac2m′(t) sin(2πfct) (9)

donde el signo positivo corresponde a una transmision de un vestigio de la banda superior y el signonegativo es para una transmision de la banda lateral inferior. LA senal m′(t) se obtiene pasando lasenal por un filtro donde la respuesa en frecuencia, satisface:

HQ(f) = j[H(f − fc)−H(f + fc)

](10)

donde su rol es interferir con la componente en fase para reducir el poder de una de las bandas de lasenal modulada y retener un vestigio de la otra banda. Podemos notar que la modulacion en BLU esun caso particular de la VSB, con la banda vestigial reducida a 0. (fv = 0)

7. Frecuencia Modulada

7.1. Modulacion de Angulo

se describe comos(t) = Ac cos[θ(t)] (11)

donde θ(t), es el angulo en funcion de la senal de mensaje. Una senal portadora se define como:

θ(t) = 2πfct+ ϕo (12)

Existen dos metodos para variar el angulo: Modulacion PM y Modulacion FM.

7.1.1. Modulacion PM

θ(t) = 2πfct+ kpm(t) (13)

donde el primer termino del sumando es el angulo de la portadora y el segundo es la senal que se quieremodular. La modulacion PM se define como:

s(t) = Ac cos[2πfct+ kpm(t)] (14)

7.1.2. Modulacion FM

Forma de modulacion del angulo en que la frecuencia instantanea fi(t) varıa linealmente con m(t),podemos denotarla:

fi(t) = fc + kfm(t) (15)

7

donde el primer termino es la frecuencia de la portadora. Si ahora integramos respecto al tiempo ymultiplicamos por 2π, tenemos:

θi(t) = 2πfct+ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ (16)

Podemos notar que existe una relacion integro diferencial entre el angulo y la frecuencia, es decir:

f(t) =1

2π

dθ(t)

dt(17)

θ(t) = 2π

∫ t

0

f(τ) dτ (18)

Luego la senal modulada en FM es:

s(t) = Ac cos[2πfct+ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ ] (19)

Podemos notar de (27) que una consecuencia de que θ(t) dependa de la senal de mensaje es que loscruces por cero no ocurren de manera regular. Tambien se puede ver que la envolvente es constante,respecto a la modulacion AM. Es a veces muy difıcil distinguir una de otra.

7.2. Modulacion en frecuencia

Es facil ver que la modulacion FM es un proceso no lineal. Para poder resolver este tipo de problemaexisten diversas maneras, las que se proponen son: FM de banda estrecha y de banda ancha.

Consideremosm(t) = Am cos(2πfmt) (20)

la frecuencia instantanea de la senal FM resultante es:

f(t) = fckfAm cos(2πfmt) (21)

de (29) podemos definir δf = kfAm, que es la desviacion de frecuencia. Ahora si ocupamos (26) eintegramos obtenemos:

θ(t) = 2πfct+4ffm

sin(2πfmt) (22)

donde β = 4ffm

, y se denomina ındice de modulacion de desviacion de fase. Se mide en radianes.finalmene la senal FM es:

s(t) = Ac cos[2πfct+ β sin(2πfmt)] (23)

El valor de β indica los casos de modulacion:

Si β < 1 entonces se usa FM de banda angosta

Si β > 1 entonces se usa FM de banda ancha

7.2.1. FM de banda angosta

Si ahora expandimos (31) y como estamos considerando β pequeno, entonces simplificando un pocoy considerando que para angulos pequeno sin(θ) ≈ θ y cos(θ) ≈ 1, obtenemos:

s(t) = Ac cos(2πfct)− βAc sin(2πfct) sin(2πfmt) (24)

vemos que la envolvente contiene amplitud residual y el angulo contiene distorsion armonica. Si ex-pandimos (32), tendremos:

s(t) = Ac cos(2πfct) +βAc

2[cos(2π(fc + fm)t)− cos(2π(fm − fc)t)] (25)

Notamos que esta senal tiene un parecido a la senal AM. Vemos que solo difieren en un signo, por lotanto, una senal FM requiere la misma transmision de ancho de banda que una AM.

8

7.2.2. FM de banda ancha

Nos interesa el espectro para cualquier β. En general, las senales FM son no periodicas. Sin embargo,podemos simplificaras con representacion compleja. Recordando:

s(t) = Re[Acej(2πfct+β sin(2πfmt)] = Re[Acs(t)e

j2πfct] (26)

notamos que s(t) es una senal periodica en el tiempo. Si recordamos las series de Fourier, podemosrepresentar la senal ası:

s(t) =

∞∑n=∞

Cnej2πfmnt (27)

donde tenemos que Cn es la transformada de Fourier. Haciendo un poco de algebra con los coeficientesde Fourier obtenemos:

Cn =Ac2π

∫ π

−πej(β sin x−nx) dx (28)

esta integral se conoce como funcion de Bessel (sin considerar Ac) de orden n de primer tipo y deargumento β. Se denota Jn(β). Luego si reemplazamos (36) en (35) y aplicando la parte real, obtenemos:

s(t) = Ac

∞∑n=∞

Jn(β) cos[2π(f+nfm)t] (29)

este resultado es una alternativa para representar una senal FM de un solo tono. Aplicando la trans-formada de Fourier obtenemos:

S(f) =Ac2

∞∑n=∞

Jn(β)[δ(f − fc − nfm) + δ(f + fc + nfm)] (30)

Ahora veamos un poco la funcion de Bessel:

Jn(β) = (−1]nJ−n(β)

β pequeno, entonces:

• J0(β) ≈ 1

• J1(β) ≈ β2

• Jn(β) ≈ 0, n >

A medida que β aumenta, el numero de armonicos aumenta. LA separacion entre ellos es de fm.

Como la envolvente es constante no varıa con β, por lo que la potencia es:

P =A2c

2(31)

7.2.3. Ancho de banda de una transmision de FM arbitraria

Regla de Carson

• Si β es pequeno el ancho de banda se representa por:

BFM ≈ 2fm (32)

• Si β es grande, entonces:

BFM ≈ 2∆f (33)

Luego la regla de Carson dice que el ancho de banda de una senal FM de tono puro se puederepresentar ası(β = ∆f

fm)

BFM ≈ 2(∆f + fm) = 2∆f(1 +1

β) (34)

9

7.2.4. Criterio del 1 %

Ancho de banda de un tono puroBFM = 2kmaxfm (35)

para calcular kmax se busca el k que cumpla que:

Jk(β) < Jmin, ∀k ≥ kmaxdonde Jmin = 0,01J0(0).

7.2.5. Ancho de banda para senales arbitraria de modulacion FM

Si tenemos la senal modulante m(t) con ancho de banda [-W,W ], entonces:

D =∆f

W(36)

la ecuacion (44) se llama razon de desviacion (analogo a β). La regla de Carson generalizada se define:

BFM = 2∆f(1 +1

D) (37)

para el caso del criterio del 1 % se tiene que BFM = 2kmaxW .

7.2.6. Modulacion FM de banda ancha

Existen 2 metodos:

Metodo indirecto: Se genera una senal FM de banda angosta y luego la senal se pasa porun multiplicador de frecuencia. Este consiste en un dispositivo no lineal seguido de un filtropasabanda. El dispositivo no lineal se representa ası:

v(t) = a1u(t) + a2u2(t) + · · ·+ anu

n(t)

al reemplazar una senal FM y usando trigonometrica para caso de n=3 se tiene:

v(t) =1

2a2A

2c + (a1Ac +

3

4a1A

3c) cos(2πfct+ ϕ(t)) +

1

2a2A

2c cos(4πfct+ 2ϕ(t)) + · · · (38)

vemos que todos los terminos son senales moduladas en FM, por lo tanto, con filtro pasa bandase puede obtener la modulacion que se desea.

Metodo Directo: Con un VCO se varıa directamente la frecuencia instantanea. Lo malo es quela estabilidad no es buena. Para eso se usa un lazo de realimentacion. Este se llama Phase lockedloop.

7.2.7. Demodulacion de senales FM

Si tenemos una senal como (27) y la derivamos, obtenemos:

dsFM (t)

dt= −Ac(2πfct+ 2πkfm(t)) sin(2πfct+ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ) (39)

Luego vemos que la derivada es modulada en amplitud por m(t). Ası para demodular usamos underivador seguido de un detector de envolvente. Si analizamos esto en frecuencia y recordando laspropiedades de Fourier, tenemos:

ds(t)

dt→ j2πfS(f) (40)

y vemos que la senal tiene una pendiente lineal en su pasabanda.

10

7.2.8. Metodo basado en Phase -Locked loops

Un PLL es un VCO que se estabiliza por la realimentacion negativa. Si consideramos que el VCOcuando tiene entrada 0 su salida esta con un desfase de -90 y la frecuencia esta centrada en fc. Ahorasi analizamos el PLL, vemos que si:

r(t) = Av cos(2πfct+ 2πkv

∫ t

0

v(τ) dτ) (41)

s(t) = Ac sin(2πfct+ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ) (42)

Luego el error es la multiplicacion de s(t) y r(t)

e(t) =1

2KmAcAv sin(4πfct+ ϕm(t) + ϕv(t)) +

1

2kmAcAv sin(ϕm(t) + ϕv(t)) (43)

como el loop filter es un pasabajos se elimina la componente con mayor frecuencia, luego vemos unerror en la fase. Si derivamos el error de desfase y realizamos un poco de calculos, sabiendo que lasalida es la convolucion entre el error y la respuesta al impulso del filtro, tendremos una expresioncomo la siguiente:

dϕedt

=dϕmdt− πkmkvAcAv

∫ ∞−∞

sin(ϕe(τ))h(t− τ) dτ (44)

al analizar (52) vemos que si dϕe

dt = 0, entonces se dice que esta anclado en fase, si tenemos variaciones

de angulo pequenas es posible demostrar que v(t) ≈ kfkvm(t), que es una senal proporcional a m(t).

8. Procesos Estocasticos

Se dice que un proceso es estacionario si al dividir el proceso en varios intervalos de tiempo, lassecciones tiene las mismas propiedades estadısticas. si tenemos que FX(t) es una funcon de distribucionconjunta de un proceso aleatorio X(t), entonces se dice que se tiene un proceso estacionario estrictosi:

FX(t)(x) = FX(t+τ)(x) (45)

algunas propiedades importantes para un proceso estacionario son: si k = 1, es decir, de primer orden,luego:

FX(t)(x) = FX(t+τ)(x) = FX(x)∀t, τ (46)

si k = 2 y τ = −t1:FX(t1)X(t2)(x1, x2) = FX(0),X(t2−t1(x1, x2)∀t1, t2 (47)

la ecuacion (54) dice que la funcion de distribucion conjunta de un proceso estacionario aleatorio esindependiente del tiempo. La ecuacion (55) dice que una funcion de distribucion de segundo ordendepende de la diferencia de tiempo entre los instantes observados.

8.1. Algunas definiciones

Valor medio:

x = lımT→∞

1

T

∫ T

0

x(t) dt (48)

Valor rms:

x2 = lımT→∞

1

T

∫ T

0

x2(t) dt (49)

11

Varianza:σ2x = (x− x2)2 (50)

Media (Valor esperado):

µx(t) = E[X(t)] =

∫ ∞−∞

xfX(x) dx (51)

Si el proceso es estacionario en el sentido amplio se cumple:

µx(t) = µx (52)

Autocorrelacion:

RX(t1, t2) = E[X1(t1)X2(t2)] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

x1x2fX1(t1),X2(t2)(x1, x2) dx1x2 (53)

si el proceso es estacionario en el sentido amplio:

RX(t1, t2) = RX(t2 − t1) (54)

Algunas propiedades de la autocorrelacion son (X(t) estacionario):

• RX(τ) = E[X(t+ τ)X(τ)], luego se denomina valor cuadratico medio a:

RX(0) = E[X2(t)]

•RX(τ) = RX(−τ)

• RX(τ) es maxima cuando τ = 0:

|RX(τ)| ≤ RX(0)

Autocovarianza: para procesos estacionarios en el sentido amplio:

CX(t1, t2) = E[(X(t1)− µx)(X(t2)− µx)] = Rx(t2 − t1)− µ2x (55)

Correlacion cruzada:RXY (t, u) = E[X(t)Y (u)] (56)

de aquı podemos obtener RXY (τ) = RY X(−τ)

Se dice que un proceso es ergodico si es un proceso estacionario y los promedios temporales de unarealizacion son iguales a los promedios de conjunto. El valor DC para un T aleatorio se define como:

µX(T ) =1

2T

∫ T

−Tx(t) dt (57)

Luego E[µx(T )] = µx. Las condiciones para que un proceso sea ergodico son:

• Ergodico en la media:lımT→∞

µx(T ) = µX (58)

• Ergodico en autocorrelacion:lımT→∞

RX(t, u) = RX(τ) (59)

lımT→∞

Var[RX(τ, T )] = 0 (60)

12

8.2. Transmision de un proceso estacionario a traves de un filtro LTI

A la salida del filtro tenemos que:

Y (t) =

∫ ∞−∞

h(τ)X(t− τ) dτ (61)

Veamos si se cumple la estacionariedad (estacionario en el sentido amplio ESA). Sabemos que paraque el proceso sea ESA se debe cumplir (60) y (62). Luego calculamos la media usando (59):

µy(t) = E[Y (t)]

= E

[∫ ∞−∞

h(τ)x(t− τ) dτ

]

=

∫ ∞−∞

h(τ)E[x(t− τ)]dτ

=

∫ ∞−∞

h(τ)µxdτ

= µxH(0)

Luego la media del proceso de salida es

µY (t) = E[Y (t)] = µXH(0) (62)

Ahora veamos si se cumple (62):

Ry(t1, t2) = E[Y (t1)Y (t2)]

= E

[∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

h(τ1)x(t1 − τ2)h(τ2)x(t2 − τ2) dτ1 dτ2

]

=

∫ ∫h(τ1)h(τ2)E[x(t1 − τ1)x(t2 − τ2)] dτ1 dτ2

=

∫ ∫h(τ1)h(τ2)Rx(t1 − τ1 − t2 + τ2) dτ1 dτ2

Luego solo depende de τ = t1 − t2, por lo tanto, es ESA.

8.3. Densidad espectral de potencia

Caracterizacion de los procesos estacionarios en el dominio de la frecuencia. La densidad espectralde potencia se define ası:

SX(f) =

∫ ∞−∞

RX(τ)e−j2πfτ dτ (63)

Podemos notar que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrela-cion.

8.3.1. Propiedades y algunas definiciones de la DSP

• SX(0) =∫∞−∞RX(τ) dτ

• RX(0) =∫∞−∞ SX(τ) dτ

• SX(f) ≥ 0

• SX(−f) = SX(f)

13

• pX(f) = Sx(f)∫∞−∞ Sx(f) df

al normalizar la DSP se comporta como una funcion de probabilidad.

La DSP para la salida del filtro esSY (f) = |H(f)|2SX(f) (64)

Esta resultado sale de sacar la FT a la funcion de autocorrelacion de la salida del filtro y luego hacerun cambio de variable, de tal manera de que se obtengan 3 exponenciales complejas, y ası obtener laFT directamente. La DSP cruzada se define ası:

SXY (f) =

∫ ∞−∞

RXY (τ)e−j2πfτ dτ = S∗Y X (65)

8.4. Proceso Gaussiano

La funcion de densidad de probabilidad de un proceso gaussiano se define como:

fX(x) =1√

2πσxexp

[− (x− µx)2

2σ2x

](66)

Luego la funcion de probabilidad conjunta es:

Fx(x) = P (X < x) = 1 +1

2erf

(x− µx√

2σ2x

)(67)

donde erf(x) es la funcion de error. Un par de propiedades que seran importante respecto a esta funcionson:

erf(−x) = −erf(x)

erfc(x) = 1− erf(x)

donde erfc(x) es la funcion de error complementaria Se dice que una distribucion gaussiana esta nor-malizada cuando se reemplaza en la ecuacion (75) µ = 0 y σ = 1.

8.4.1. Teorema Central del lımite

Si se tienen variables x1(t) independientes e identicamente distribuidas entonces

Vn =1√N

N∑i=1

Yi (68)

Si se tiene que E[Xi] = 0 y Var[Xi] = 1, entonces se dice que

lımN→∞

Vn ∼ N(0, 1) (69)

8.4.2. Algunas propiedades

si la entrada al filtro es un proceso gaussiano, entonces la salida tambiena sera un procesogaussiano.

Si un proceso gaussiano es estacionario, entonces el proceso es estrictamente estacionario.

Si las variables aleatorioa gaussianas no estan correlacionadas, entonces son estadısticamenteindepentiendes. Si son variables independientes son siempre no correlacionadas, pero al reves nosiempre se cumple.

14

9. Ruido

El ruido generado por el movimiento de los electrones en un semiconductor se define como ruidotermico. El valor cuadratico medio del voltaje de ruido termico es:

E[V 2] = 4kTR∆f (70)

donde R es resistencia, T es temperatura en Kelvin, ∆f es el ancho de banda y k es la constante deBoltzman (1,38 · 10−23). La corriente de ruido termico se escribe ası:

E[I2] =4kT∆f

R(71)

Luego la potencia maxima de ruido termico para una resistencia R es:

E[I2

2]R = kT∆f (72)

9.1. Ruido Blanco

Como se vio anteriormente el ruido se genera como el movimiento aleatorio de los electrones, luegose puede definir la DSP del ruido aleatorio como:

SηT (f) =2Rh|f |e

h|f|kT −1

(73)

donde k es la ct de boltzman y h es la cte de planck. Para frecuencias menor a 1012Hz la DSP seaproxima a SηT (f) ≈ 2kTR. Se puede notar que la DSP es una cte para este rango de frecuenciasluego

SW (f) =N0

2(74)

De la ecuacion anterior se puede obtener la autocorrelacion:

RW (τ) =N0

2δ(τ) (75)

Si queremos caracterizar el ruido blanco, entonces debemos trabajar en un intervalo de tiempo limitado,para eso usamos un filtro pasa bajos ideal. Para este caso la autocorrelacion y la DSP del ruido blancose definen, respectivamente:

RN (τ) = N0Bsinc(2Bτ) (76)

SN (f) = u(f

2B

)· N0

2(77)

9.2. Ruido en banda angosta

Existen dos maneras de representar el ruido en banda angosta:

1) Componente en fase y cuadratura: representares al ruido como n(t) y asumiremos que tieneun ancho de banda de BT = 2B centrado en fc. La representacion de 1) es la siguiente:

n(t) = nI(t) cos(2πfct)− nQ(t) sin(2πfct) (78)

donde nI y nQ son senales pasabaja. Para recuperar la senal se usa el diagrama de bloque quese ve en la figura 1:

15

Figura 1: recuperacion de las senales

Algunas propiedades son:

• nI y nQ tiene media cero.

• si n(t) ∼ Normal entonces nI y nQ tambien.

• si n(t) es estacionario entonces nI y nQ tambien.

• nI y nQ tienen la misma densidad espectral que tiene relacion con n(t):

SnI(f) = SnQ

(f) = SN (f − fc) + SN (f + fc), −B ≤ f ≤ B (79)

• nI y nQ tienen la misma varianza que n(t).

• La DSP cruzada entre nI y nQ es puramente imaginaria.

• si n(t) es gaussiana y su DSP es simetrica respecto a fc, entonces nI y nQ son estadıstica-mente independientes.

2) Envolvente y fase: Esta forma de representar al ruido se define ası:

n(t) = r(t) cos(2πfct+ ϕ(t)) (80)

donde r(t) =√nI(t)2 + nQ(t)2 es la envolvente de n(t) y ϕ(t) = arctan(

nQ(t)nI(t) ) es la fase.

9.3. Ruido en modulacion analogica

El modelo del receptor con ruido general se puede ver en la figura 2:

Figura 2: Receptor

El demodulador va a depender del tipo de modulacion. El ancho de banda es lo suficientementeancho para dejar pasar solo a la senal sin distorsion.

9.3.1. Razon senal a ruido

Al a salida del filtro pasabanda el ruido filtrado se puede ver ası:

16

Figura 3: Ruido filtrado

la potencia del ruido filtrado se puede deducir de la figura 3, y su valor es N0BT . Al la salida delfiltro tendremos que:

x(t) = s(t) + n(t) (81)

La razon senal a ruido se define como La razon entre la potencia promedio de la senal modulada s(t)y la potencia promedio del ruido filtrado. La razon senal a ruido a la entrada del receptor se define asi: (SNR)c y la de la salida del recepctor: (SNR)o. Para hacer comparar las senales se usa:

(SNR)o(SNR)c

(82)

Luego podemos ver los siguientes casos:

• Si (SNR)o > (SNR)c entonces la modulacion pasabanda mejora la SNR, por lo tanto, es mejor.

• Si (SNR)o = (SNR)c entonces la modulacion pasabanda no mejora ni empeora.

• Si Si (SNR)o < (SNR)c entonces la modulacion pasabanda empeora.

9.3.2. Efecto de ruido en BLD-PS

Recordemos la modulacion de BLD-PS. La senal modulada se representa ası:

s(t) = Acm(t) cos(2πfct) (83)

Luego el receptor se ve ası:

Figura 4: Receptor para BLD-PS

La potencia de la senal de mensaje m(t) es:

P =

∫ W

−WSW (f) df (84)

como m(t) y la portadora son independiente, la potencia a la salida del filtro pasabanda sera:

Px =A2cPm2

(85)

Ahora sabemos que la potencia del ruido filtrado es NoW , luego tendremos que:

(SNR)c,BLD =A2cPm

2WNo(86)

17

Ahora si queremos obtener la senal de salida, consideramos al ruido como la ecuacion (85), y con unpoco de algebra obtenemos que a la salida del detector coherente:

y(t) =1

2(Acm(t) + nI(t)) (87)

Ası obtenemos que la razon senal a ruido de la salida del receptor es:

(SNR)o =A2cPm

2WNo(88)

si hacemos la division (89), obtenemos:

(SNR)o,BLD(SNR)c,BLD

= 1 (89)

notemos que para el caso de BLU sera el mismo resultado, ya que como el eliminar una banda lateralafecta a la entrada y la salida, el efecto final sera el mismo.

9.3.3. Efecto de ruido en AM

El receptor de AM se representa por la figura 5:

Figura 5: Receptor para AM

Recordemos que una senal modulada en AM se representa por la siguiente senal:

s(t) = Ac[1 + kam(t)] cos(2πfct) (90)

Luego es facil ver que su potencia es:

P =A2c(1 + k2

aPm)

2(91)

tomando la potencia del ruido, tendremos que la razon senal a ruido de la entrada del demoduladores:

(SNR)c,AM =A2c(1 + k2

aPm)

2WNo(92)

si escribimos el ruido por medio de envolvente y fase, tendremos que la senal que sale del detector deenvolvente es:

y(t) = [(Ac(1 + kam(t)) + nI(t))2 + nQ(t)2]

12 (93)

vemos que este resultado es difıcil de analizar, pero si consideramos que la potencia de la portadoraes mucho mayor que la potencia de ruido, y si despreciamos el termino DC (Ac), ya que no tieneinfluencia alguna con la senal de mensaje, entonces podemos aproximar (100):

y(t) ≈ Ackam(t) + nI(t) (94)

18

Ası la razon senal a ruido del a salida del receptor es:

(SNR)o,AM =A2ck

2aPm

2WNo(95)

entonces la razon entre la entrada y la salida sera:

(SNR)o,AM(SNR)c,AM

=k2aPm

1 + k2aPm

(96)

notamos que este termino es menor que 1, por lo que, tiene peor desempeno que BLD-PS y BLU.

9.3.4. Efecto de ruido en FM

El recepto de FM se ve en la figura 6:

Figura 6: Receptor para FM

El discriminador esta compuesto por:

1) Diferenciador de una respuesta en frecuencia puramente imaginaria.

2) Discriminador

Recordemos que una senal modulada en FM se representa por:

s(t) = Ac cos(2πfct+ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ) (97)

si hacemos ϕ(t) = 2πkf∫ t

0m(τ) dτ , entonces tendremos que:

s(t) = Ac cos(2πfct+ ϕ(t)) (98)

como hay un limitador de amplitud, entonces no nos preocupamos de la envolvente. Luego nos preo-cupamos solo de la fase. La fase esta dada por:

θ(t) = ϕ(t) + arctan

(r(t) sin(ψ(t)− ϕ(t))

Ac + r(t) cos(ψ(t)− ϕ(t))

)(99)

si consideramos Ac � |r(t)| y reemplazamos nuevamente ϕ(t), entonces la ecuacion anterior sepuede aproximar:

θ(t) ≈ 2πkf

∫ t

0

m(τ) dτ +r(t)

Acsin(ψ(t)− ϕ(t)) (100)

ası a la salida del discriminador tendremos:

v(t) =1

2π

dθ(t)

dt= kfm(t) +

d

dt

(r(t)

Acsin(ψ(t)− ϕ(t))

)(101)

si consideramos que la resta de angulos distribuye uniformemente, entonces:

d

dt

(r(t)

Acsin(ψ(t))

)(102)

19

pero nQ(t) = r(t) sin(ψ(t)), entonces:d

dt

(1

2π

nQ(t)

Ac

)(103)

esta ecuacion nos dice que el ruido aditivo que se encuentra a la salida del discriminador, solo quedadeterminado por la amplitud de la portadora, y la componente en cuadratura. Ası, despues del filtrotendremos kfm(t), luego la potencia es P = k2

fPm. Ahora para obtener la potencia del ruido recordemos

la propiedades de Fourier, tendremos que la respuesta en frecuencia del filtro es H(f) = f2/A2c ,

ası aplicando (73), la DSP del ruido sera:

SNo(f) =

Nof2

A2c

(104)

Ası aplicando (91), la potencia del ruido es:

P =2NoW

3

3A2c

(105)

luego la razon de la salida sera:

(SNR)o,FM =3A2

ck2fPm

2NoW 3(106)

y la de entrada sera:

(SNR)c,FM =A2c

2NoW(107)

Ası,(SNR)o,FM(SNR)c,FM

=3k2fPm

W 2(108)

Notamos que la razon entre la senal de entrada y la de salida, permite manejar el ancho de banda dela senal.

10. Comunicaciones Digitales en banda base

En comunicaciones digitales se transforman senales analogicas a digitales. Para esto se emplean lassiguientes etapas: Muestreo, cuantizacion y codificacion, y finalmente transmision en bandabase. Pesea ser un proceso digital, su transmision por medio del canal debe ser mediante senales analogicas.

10.1. Modulacion de Pulsos

La idea de la modulacion de pulsos se puede ver en la figura:

Figura 7: modulacion de pulsos

20

10.1.1. Muestreo

Para muestrear la senal analogica se usa un tren de impulsos, estos se representan ası:

g(t) =

∞∑n=−∞

g(nTs)δ(t− nTs) (109)

donde Ts es el perıodo de muestreo. Su representacion en Fourier es:

G(f) = fs

∞∑n=−∞

G(f − nfs) (110)

donde fs es la frecuencia de muestreo.

10.1.2. Teorema del muestreo

El perıodo de muestreo debe cumplir con la siguiente condicion:

T ≤ 1

2fs(111)

y si fs = 1/Ts = 2fm, entonces se llama tasa de nyquist. Esta es la mınima tasa posible para recuperarla senal correctamente. Si se usa una menor, se produce el fenomeno llamado .aliasing”.

10.1.3. Cuantizacion

Es el mapeo de muestras de una forma de onda de amplitud continua a un conjunto discreto deamplitudes. Claramente esto produce error. La razon senal a ruido de cuantizacion es:(

S

N

)q

=V 2p

σ2= 3L2 (112)

Cada muestra cuantizada se codifica en un codeword de l bits donde L es el numero de niveles decuantizacion, l = log2 L.

10.1.4. Modulacion de amplitud de pulso (PAM)

Es la forma mas facil y simple. Los pulsos pueden ser rectangulares o de otra forma apropiada. Unasenal PAM se puede representar por:

sPAM (t) =∞∑

n=−∞m(nTs) · u

(t− nTs

τ

)(113)

En la figura siguiente se puede ver una senal PAM, donde la senal punteada es la senal de mensaje, ylos pulsos rectangulares son la senal PAM

Figura 8: senal PAM

21

Es posible demostras quesPAM (t) = m(t) ∗ u(t) (114)

10.2. Pulsos rectangulares NRZ

Los pulsos rectangulares non-return to zero se definen de la siguiente forma. Sea bn = 0, 1, 0, 0, 1, ...la secuencia del mensaje binario, entonces matematicamente:

s(t) =

∞∑n=−∞

sbn(t− nT )

=∑n

(−1)bn u

(t− (n+ 1

2 )T

T

)En la figura se puede ver su representacion

Figura 9: Representacion para 0 y 1

10.3. Transmision de pulsos en bandabase

10.3.1. Filtro adaptado

La figura 10 muestra un modelo del receptor

Figura 10: modelo de receptor

Queremos maximizar la razon senal a ruido porque nos da a la salida una forma de limitar elruido para determinar con mayor facilidad los niveles de salida, es decir, que tenga el menor ruidoposible.Ası como tambien queremos minimizar la probabilidad de error. A la salida del receptor seconecta un estimador que en base a ciertos parametros toma decisiones para rearmar la senal. A lasalida se tendra un estimado de la senal original, que sera la mejor aproximacion a la senal de entraday(t). La salida del filtro se compone por 2 senales:

y(t) = go(t) + n(t) (115)

22

donde go es una senal parecida a g(t), no necesariamente la misma. Aquı suponemos que go(t) y n(t)no esta correlacionados. Una manera de describir los requerimientos que se necesita, es decir que lapotencia de la senal go(t) medida en t = T sea lo mayor posible respecto a la potencia promedio delruido. En otras palabras, esto es lo mismo que maximiar la razon senal a ruido de la salida, es decir:

(SNR)y =|go(t)|2

E[n(t)2](116)

Para encontrar como debe ser el filtro, se usa que |go(t)|2 = |∫∞−∞Go(f)ejωT df |2, E[n(t)2] =

No

2

∫∞−∞ |H(f)|2 df y la desigualdad de schwartz. Con esto se llega a que:

hopt(t) = k

∫ ∞−∞

G∗(f)e−jω(T−t) df (117)

si tambien consideramos que g(t) es real, entonces finalmente

hopt(t) = k · g(T − t) (118)

Esta ecuacion nos dice que el filtro esta relacionado con la senal g(t), pero con un retardo. Se llamafiltro adaptado porque tiene la misma respuesta al impulso que la senal.

Propiedades del Filtro adaptadoSi la senal de entrada al filtro es s(t), y la salida es z(t)

• Z(f) = |S(f)|2e−j2πfT

• z(t) = Rs(t− T )→ z(T ) = Rs(0) = Es

• max(SN

)T

= ENo/2

El receptor optimo se puede separar en:

Figura 11: Receptor optimo: Filtro adaptado

1) La respuesta al impulso de los filtros adaptados siempre es:

h0(t) = s0(T − t) (119)

h1(t) = s1(T − t) (120)

2) Muestro en T :x0(t) = (s(t) + w(t)) ∗ ho(t) (121)

x1(t) = (s(t) + w(t)) ∗ h1(t) (122)

Para este receptor se tiene los siguiente supuesto: los puslos son NRZ, se desprecia AWGN, y setransmite en 0.

23

Para el calculo de las constante se usa

Ci = −1

2

∫ T

0

s2i (t) dt (123)

donde i = 0, 1. Por ejemplo para pulsos NRZ Co = C1 = −A2T2 Hay que notar que con pulsos NRZ

x1(t)=-x0(t) y c1 = c0. Una version simplificada del receptor optimo se puede ver en la figura siguiente:

Figura 12: Receptor otimo simplificado

Veamos un ejemplo.Sea s(t) un pulso NRZ, luego al pasar por el filtro adaptado:

x(t) = s(t) ∗ h(t)

=

∫ ∞−∞

s(t− τ)h(τ) dτ

=

∫ ∞−∞

s∑n=1

(−1)bn u

(t− τ − (n+ 1

2 )T

T

)u

(τ − 1

2T

T

)dτ

=

s∑n=1

(−1)bn∫ ∞−∞u

(t− τ − (n+ 1

2 )T

T

)u

(τ − 1

2T

T

)dτ

=

s∑n=1

(−1)bn u

(t− (n+ 1

2 )T

T

)∗ u

(t− 1

2T

T

)

=

s∑n=1

(−1)bn ∧(t− (n+ 1)T

T

)Graficamente esto se ve ası:

10.3.2. Probabilidad de error de un bit

Como se ha visto, a las senales se les agrega ruido, por lo que, queremos saber que pasa en presenciade este y cual es la probabilidad de que en vez de que se transmita un 0 se tenga un 1. Analicemos laprobabilidad de error. Tenemos 2 tipos de errores posibles: Dado que se transmite un 0, se tenga un 1(D0|1), y dado que se transmite un 1 se tenga un cero (D1|0). Luego la probabilidad de error de unbit es

Pb =1

2P (D0|1) +

1

2P (D1|0) (124)

24

donde P (D0|1) = P (D1|0). Supongamos que se transmiten pulsos rectangulares NRZ y se tiene un Rxsimplificado. Luego

x(T ) = (s0(t) + w(t)) ∗ ho(t)

∣∣∣∣∣t=T

= so(t) ∗ ho(t)

∣∣∣∣∣t=T

+ w(t) ∗ ho(t)

∣∣∣∣∣t=T

= A2T +A

∫ ∞−∞

w(τ)ho(t− τ) dτ

∣∣∣∣∣t=T

= A2T +A

∫ ∞−∞

w(τ) u

(T − τ − 1

2T

T

)dτ

= A2T +A

∫ T

0

w(τ) dτ

Ahora que tenemos x(τ) y como sabemos que es un P.E, luego tambien es un Proceso gaussiano, luegocalculamos su media y varianza.

µx(T )|0 = E[x(τ)|0]

= E

[A2T +A

∫ T

0

w(τ) dτ

]

= A2T +A

∫ T

0

E[w(τ)] dτ

= A2T

Usando x1(t)=-x0(t) obtenemos facilmente que µx(T )|1 = −A2T . Ahora calculamos la varianza

σ2x(T )|0 = E

[(x(T )− µx(T ))

2|0]

= E

[(A2T +A

∫ T

0

w(τ) dτ −A2T )2

]

= E

[A2

∫ T

0

∫ T

0

w(τ1)w(τ2)dτ1dτ2

]

= A2

∫ T

0

∫ T

0

E[w(τ1)w(τ2)]dτ1dτ2

= A2

∫ T

0

∫ T

0

Rw(τ1 − τ2)dτ1dτ2

=N0A

2

2

∫ T

0

∫ T

0

δ(τ1 − τ2)dτ1dτ2

=N0A

2

2

∫ T

0

1dτ

=N0A

2T

2

Para el otro caso σ2x(T )|0 = N0A

2T2 . Ası se se transmite un 0, la distribucion para x(T )|0 es la

siguiente

25

Figura 13: Distribucion de x(τ)

Ası usando el hecho de que se trata de un proceso Gaussiano, obtenemos

P (D1|0) =1

2+

1

2erfc

0−A2T√2N0A2T

2

=

1

2− 1

2erf

(AT√N0T

)

P (D0|1) = 1−

1

2+

1

2erfc

0 +A2T√2N0A2T

2

=1

2− 1

2erf

(AT√NoT

)Sabemos que P (D1|0) = P (D0|1) = Pb. Luego reemplazando lo anterior en (132) y usando la

segunda propiedad de la funcion erf(x) tenemos, finalmente, que la probabilidad de error de un bit es:

Pb =1

2erfc

√A2T

N0

(125)

donde A2TN0

es la SNR y A2T es la energıa. Comentarios:

1) Figura de receptor

Figura 14:

P (D1|0) = P (x0(T ) + c0 < x1(T ) + c1|0) = P (x0(T )− x1(T ) + c0 − c1 < 0|0)

2) Eb=energıa media por bit=p0E0 + p1E1 = A2T

3) Pb = 12erfc

(√Eb

N0

), donde Eb/N0 es la SNR por bit.

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4) 12erfc(x) es una funcion de probabilidad acumulada complementaria (Figura 14). En el filtroadaptado, la variable aleatoria antes de suma la constante es de varianza mınima.

Figura 15: grafico de erfc(x)

11. Comunicacion digital M-aria

En una comunicacion M-aria hay M sımbolos posibles, cada uno representa a una log2(M)-tuplade bits. Por ejemplo un sistema 4-ario cada senal tiene log2(4) = 2 bits. El receptos otimo M-ario seve en la figura

Figura 16: Receptor optimo M-ario

Ahora hace mas sentido comenzar a usar filtro normalizados.

Figura 17: Filtro normalizado

Supongamos que se transmite un 3. Luego

P (D1|3) > P (D0|3) > P (D2|3)

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Figura 18: Distribucion de las probabilidades

La manera mas conveniente para determinar la prob de error es usar codigo de Grey. Este asignalog2(M)-tuplas de bits para sımbolos adyacentes que difieren siempre en 1 bit.

M−1∑m=0

P (x(T ) 6∈ Rm) · P (m) (126)

Figura 19:

Como sabemos que distribuye normal, entonces:

P+ = 1−

1

2+

1

2erf

(A√T√

2√N0/2

)=

1

2− 1

2erf

(A√T√N0

)

=1

2erfc

(A√T√N0

)Es claro que P+ = P−. Ası:

Ps =

P+ si m = 0P+ + P− si 1 ≤ m ≤M − 2P− si m = M − 1

Ps =1

M

[(M − 1)P+ + (M − 1)P−

]=

2(M − 1)

MP+

=M − 1

Merfc

(A2T

N0

)

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Ahora veamos cual es la energıa Es media de un sımbolo M-PAM. La energıa se define ası:

Es =1

M

M−1∑m=0

(AmA

√T)2

= ... =A2T

3(M2 − 1) (127)

Esto implica que

A2T =3Es

M2 − 1Es = Eb logs(M)

A2T =3 log2(M)EbM2 − 1

Ası tenemos que Ps es:

Ps =M − 1

Merfc

√3 log2(M)Eb(M2 − 1)N0

(128)

De (136) y (134) tenemos

Ps =

log2(M)∑b=1

P (b bits en error) ≈ P (1 bits en error)

=

log2(M)∑n=1

P (n-esimo bit en error)

Pb =1

log2(M)

log2(M)∑n=1

P (n-esimo bit en error)

log2(M)Pb =

log2(M)∑n=1

P (n-esimo bit en error)

Ps = log2(M)Pb

Ası tenemos

Pb =1

log2(M)Ps

Por lo tanto

P(M-PAM)b =

M − 1

M log2(M)erfc

√3 log2(M)Eb(M2 − 1)N0

(129)

12. Representacion equivalente en banda base

La idea es evitar trabajar con las convoluciones de cos(wt) y sen(wt) para ası hacer mas simple lamatematica

12.1. Transformada de Hilbert

Se usa para separar senales segun su contenido en frecuencia. Este proceso se llama discriminadorde frecuencia o tambien se puede separar por fase, para que ası sea mas facil separarlas. Cuando sedesfasa en ±90 las senales, la funcion resultante se denomina Transformada de Hilbert. Podemos definirla HT de la siguiente manera:

g(t) =1

π

∫ ∞−∞

g(τ)

t− τdτ (130)

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donde podemos notar que (1) se puede reescribir como:

g(t) = g(t) ∗ 1

π(131)

donde la inversa de (1) es:g(t) = −g(t) (132)

Luego a partir de la transformada de Hilbert podemos ver su espectro en frecuencia usando la trans-formada de Fourier:

G(f) = −jsgn(f)G(f) (133)

De (4) podemos notar que para frecuencias positivas se produce un desfase de -90 y para frecuenciasnegativas se produce una de +90. Es posible deducir algunas cosas de la transformada de Hilbert:

Es una operacion lineal.

Es un filtro que va de t a t, es decir, trabaja solo en el tiempo.

|S(f)| = | ˆS(f)|

12.2. Pre-Envolvente

Sea s(t) una senal real arbitraria, luego

s+(t) = s(t)− j ˆs(t) (134)

Se define como la pre-envolvente positiva. La parte real e imaginaria del espectro de la senal se puedever en la figura

Figura 20: Parte real e imaginaria de S+(f)

Es claro que

S+(f) =

2S(f) si f > 0S(0) si f = 00 si f < 0

Figura 21: S+(f)

Supongamos que ahora s(t) es senal pasabanda, es decir, concentra su energıa en torno a un ancho2W al rededor de fc, con fc �W

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Figura 22: Representacion senal pasabanda

Dado que s(t) es una senal real pasabanda, podemos decir que

s+(t) = 2s(t)ej2πfct (135)

Ademas notamos ques+(t) = s(t) + js(t) = R[s+(t)] = s(t) (136)

La relacion que xiste entre s(t) y s(t) es

s(t) = R[√

2s(t)ej2πfct] = R[√

2(sI(t) + jsQ(t))(cos(2πfct) + jsen(2πfct))]

(137)

donde s(t) = sI(t) + jsQ(t) es la envolvente compleja de la senal en banda base. Ası

s(t) =√

2sI(t) cos(2πfct)−√

2sQ(t)sen(2πfct) (138)

Para demodular basta hacer lo siguiente:

Para recuperar la componente en fase basta con modular por un coseno sincronizado en frecuenciay luego pasar la senal por un filtro pasa-bajos

s(t) · cos(2πfct) = sI(t) + sI(t) cos(4πfct)− sQ(t)sen(4πfct)

= sI(t)

Para recuperar la componente en cuadratura basta con modular por un seno y luego pasar lasenal por un pasa-bajos

s(t) · sen(2πfct) = sI(t)sen(4πfct) + sQ(t) + sQ(t) cos(4πfct)

= sQ(t)

En la figura se puede ver el diagrama en bloques del transmisor y receptor

31

Figura 23: Tx y Rx

13. Binary Phase-Shift keying - BPSK

Esta es la version pasabanda de NRZ

s0(t) = 2

√EbTu

(t− 1

2T

T

)cos(2πfct) (139)

s1(t) = 2

√EbTu

(t− 1

2T

T

)cos(2πfct+ π) (140)

h(t) ∗ x(t) = hI ∗ xI − hQ ∗ xQ + j[hI ∗ xQ + hQ ∗ xI ] (141)

14. Quadrature PSK - QPSK

sm(t) = (−1)bI

√2EbTu

(t− 1

2T

T

)cos(2πfct)− (−1)bQ

√2EbTu

(t− 1

2T

T

)sen(2πfct) (142)

donde su envolvente completa esta dada por

s(t) =

[√Eb2T

(−1)bI + j

√Eb2T

(−1)bQ

]u

(t− 1

2T

T

)(143)

Notemos que se trata de una transmision M-PAM donde M=4

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