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En las interacciones electromagnticas intervienen partculas que tienen una propiedad conocida como carga elctrica, los objetos con carga elctrica son acelerados por las fuerzas elctricas. Descubriremos que la carga elctrica est cuantizada y que obedece un principio de conservacin. Hoy en da decimos que el mbar ha adquirido una carga elctrica neta, esto es, que se ha cargado.

Electrosttica: las interacciones entre cargas elctricas que estn en reposo (o casi).

Estos experimentos, y muchos otros parecidos a stos, han mostrado que hay exactamente dos tipos de carga elctrica: carga negativa y positiva. La barra de plstico y la seda tienen carga negativa; la barra de vidrio y la piel tienen carga positiva. Dos cargas positivas o dos cargas negativas se repelen mutuamente. Una carga positiva y una carga negativa se atraen una a la otra.

Carga elctrica y estructura de la materia No se producen cambios fisicos visibles cuando se carga a un material. Hay que mirar la estructura de toda la materia: los atomos, su estructura se puede describir en trminos de tres partculas: el electrn, con carga negativa (Fig. 21.3), el protn, con carga positiva, y el neutrn que no tiene carga. El protn y el neutrn son combinaciones de otras entidades llamadas quarks, que tienen cargas equivalentes a 5 y 3 de la carga del electrn. No se han observado quarks aislados, y existen razones tericas para pensar que, en principio, es imposible observar un quark solo. La carga negativa del electrn tiene (dentro de los lmites de error experimental) exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protn. En un tomo neutro el nmero de electrones es igual al nmero de protones del ncleo, y la carga elctrica neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente cero (Fig. 21.4a). El nmero de protones o de electrones de un tomo neutro es el nmero atmico del elemento. Si se separa uno o ms electrones, la estructura restante con carga positiva es un ion positivo (Fig. 21.4b). Un ion negativo es un tomo que ha ganado uno o ms electrones (Fig. 21.4c). Esta ganancia o prdida de electrones se conoce como ionizacin. Cuando el nmero total de protones de un cuerpo macroscpico es igual al nmero total de electrones, la carga total es cero y el cuerpo, en conjunto, es elctricamente neutro. Para proporcionar a un cuerpo una carga negativa en exceso, se puede ya sea agregar cargas negativas a un cuerpo neutro o quitar cargas positivas a ese cuerpo. De manera anloga, se obtiene una carga positiva en exceso ya sea agregando carga positiva o quitando carga negativa. En la mayor parte de los casos se agregan o se retiran electrones con carga negativa (y de gran movilidad), y un "cuerpo con carga positiva" es aquel que ha perdido parte de su complemento normal de electrones. Cuando se habla de la carga de un cuerpo, siempre se trata de su carga neta. La carga neta es en todos los casos una fraccin muy pequea (tpicamente no mayor que 1012) de la carga positiva o negativa total del cuerpo.

Principio de conservacin de la carga: La suma algebraica de todas las cargas elctricas de cualquier sistema cerrado es constante. es una ley de conservacin universal.

la magnitud de la carga del electrn o del protn es una unidad natural de carga. Toda cantidad observable de carga elctrica es siempre un mltiplo entero de esta unidad bsica y se dice que la carga est cuantizada. La carga elctrica no es divisible en cantidades menores que la carga de un electrn o de un protn. Conductores, aisladores y cargas inducidas Aisladores: materiales donde se observa que no se transfiere carga elctrica alguna entre los cuerpos.

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Conductores: permiten que la carga elctrica se desplace fcilmente a travs de ellos. Casi todos los metales son buenos conductores, El movimiento de estos electrones con carga negativa transporta carga a travs del metal. Los dems electrones permanecen ligados a los ncleos con carga positiva, los que, a su vez, estn sujetos en posiciones prcticamente fijas dentro del material. En un aislador hay pocos electrones libres (o ninguno), y la carga elctrica no se puede desplazar libremente por todo el material. Semiconductores: tienen propiedades que son intermedias entre las de los buenos conductores y las de los buenos aisladores.

Existen dos formas de cargar los materiales, por contacto directo, produciendose el traspazo de un cuerpo a otro y por Induccin, donde traspasa una carga designos opuestos sin perder su propia carga.

La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por induccin. Se tiene una esfera metlica apoyada en un soporte aislante. Cuando se le acerca una barra con carga negativa, sin llegar a tocarla (Fig. 21.6b), el exceso de electrones de la barra repele los electrones libres de la esfera metlica, los cuales se desplazan hacia la derecha, alejndose de la barra. Estos electrones no pueden escapar de la esfera porque el soporte y el aire que la rodea son aisladores. Por consiguiente, se tiene un exceso de carga negativa en la superficie derecha de la esfera y una deficiencia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierda. Estas cargas en exceso se conocen como cargas, inducidas. La carga por induccin funcionara de igual manera si las cargas mviles de las esferas fueran cargas positivas en vez de electrones con carga negativa, o incluso si estuviesen presentes cargas mviles tanto positivas como negativas. Por ltimo, advertimos que un cuerpo con carga elctrica ejerce fuerzas incluso sobre objetos que no tienen carga en s.

Polarizacin : pequeo desplazamiento de carga dentro de las molculas del aislador neutro.

Ley de Coulomb

Utiliz una balanza de torsin, similar a la que utilizada aos despus para estudiar la interaccin gravitatoria. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga que son muy pequeos en comparacin con la distancia que los separa, Coulomb encontr que la fuerza elctrica es proporcional a 1/r.

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1 22

.q qF k

r= k = 8.988 X 109[N-m2/C2]

Ley de Coulomb: La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Se usan barras de valor absoluto en la ecuacin porque las cargas q1 y q2 pueden ser positivas o negativas, en tanto que la magnitud de la fuerza F siempre es positiva. La direccin de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguen siempre la lnea que las une. Cuando las cargas q1 y q2 tienen ambas el mismo signo, ya sea positivo o negativo, las fuerzas son de repulsin (Fig. 21.9 b) cuando las cargas poseen signos opuestos las fuerzas son de atraccin (Fig.21.9c). Las dos fuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre son de igual magnitud y con direcciones opuestas, incluso cuando las cargas no son del mismo tipo. Las interacciones elctricas y las gravitatorias son fenmenos de dos clases distintas. Las interacciones elctricas dependen de las cargas elctricas, y pueden ser ya sea de atraccin o de repulsin, en tanto que las interacciones gravitatorias dependen de la masa y son siempre de atraccin (porque no existe la masa negativa). De aqu en adelante, usualmente escribiremos la ley de Coulomb como

1 22

0

.14

q qF

rpi=

Para la fuerza entre dos cargas puntuales. Las constantes de la ecuacin son aproximadamente 128,854.10o

= [C2/Nm2] 9 2 2 9 2 20

1 8.988 X 10 [Nm /C ] 9 X 10 [Nm /C ]4

kpi

= =

La unidad de carga ms fundamental es la magnitud de la carga de un electrn o de un protn, que se denota como e. e= 1,602176462(63) X 10-19 C. La ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe slo la interaccin de dos cargas puntuales. Los experimentos muestran que, cuando dos cargas ejercen fuerzas simultneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que acta sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejerceran individualmente. Esta importante propiedad, llamada principio de superposicin de fuerzas, es vlida para cualquier nmero de cargas. Con base en este principio, podemos aplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas.

Campo elctrico y fuerzas elctricas

Para explicar con ms detalle cmo se lleva a cabo este proceso, consideremos primero el cuerpo A solo: quitamos el cuerpo B y marcamos la posicin que ocupaba como el punto P (Fig. 21.13b). Decimos que el cuerpo con carga A produce o causa un campo elctrico en el punto P (y en todos los dems puntos de las cercanas). Este campo elctrico est presente en P incluso cuando no hay otra carga en P; es una consecuencia de la carga del cuerpo A, exclusivamente. Si a continuacin se coloca una carga puntual q0 en el punto P, la carga experimenta la fuerza F0. Adoptamos el punto de vista de que el campo en P ejerce esta fuerza sobre q0 (Fig. 21.13c). As pues, el campo elctrico es el intermediario a travs del cual A comunica su presencia a q0. Puesto que la carga puntual q0 experimentara una fuerza en cualquier punto de las cercanas de A, el campo elctrico que A produce en todos los puntos de la regin alrededor de A. De manera anloga, se puede afirmar que la carga puntual q0 produce un campo elctrico en el espacio circundante, y que este campo elctrico ejerce la fuerza F0 sobre el cuerpo A. Con respecto a cada fuerza (la fuerza de A sobre q0 y la fuerza de qu sobre A), una carga establece un campo elctrico que ejerce una fuerza sobre la segunda carga. Conviene insistir en que sta es una interaccin entre dos cuerpos con carga. Un cuerpo solo produce un campo elctrico en el espacio circundante, pero este campo elctrico no puede ejercer una fuerza neta sobre la carga que lo cre; ste es un ejemplo del principio general de que un cuerpo no puede ejercer una fuerza neta sobre s mismo,

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La fuerza elctrica sobre un cuerpo con carga es ejercida por el campo elctrico creado por otros cuerpos con carga. La fuerza es una magnitud vectorial; por tanto, el campo elctrico tambin es una magnitud vectorial. Se define la intensidad del campo elctrico E

r en un punto como el cociente de la fuerza elctrica 0F

r que

experimenta una carga de prueba qu en ese punto entre la carga q0. Es decir, el campo elctrico en un punto determinado es igual a la fuerza elctrica en cada unidad de carga que experimenta una carga en ese punto:

0

0

FEq

=

rr

(definicin del campo elctrico como fuerza elctrica en cada unidad de carga)

Al campo elctrico lo podemos obtener del campo gravitacional, colocando una carga de prueba q0 (+)

0 0

F Fg Em q

= =

r rrr

Aqu el campo elctrico Er

proviene de otras cargas que pueden estar presentes, pero no de la carga q, para obtener una expresin exacta, aplicamos

0

00

0

limq

FEq

=

rr

Campo elctrico de una carga puntual Si la distribucin de la fuente es una carga puntual q, es fcil hallar el campo elctrico que produce. Llamaremos punto de origen a la ubicacin de la carga, y punto de campo al punto P donde estamos determinando el campo. Tambin es til introducir un vector unitario r que apunta a lo largo de la recta que va del punto de fuente al punto de campo (Fig. 21.15a). Con base en el vector unitario r) , podemos escribir una ecuacin vectorial que proporcionatanto la magnitud como la direccin del campo elctrico E

r

En la lnea radial proveniente de q, la direccin de Er

es la misma que la de Fr

, seala hacia adentro si es (-) y hacia fuera si es (+). Campo elctrico de varias cargas puntuales Se calcula el campo debido a cada una de las cargas en los puntos dados como si fueran las unicas cargas presentes y por separado se suma vectorialmente cada uno de los campos para encontrar la resultante

1 2 ...T nE E E E E= + + + =r r r r r

Lneas de campo elctrico Una lnea de campo elctrico es una recta o curva imaginaria trazada a travs de una regin del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier punto tenga la direccin del vector de campo elctrico en ese punto. Las lneas de campo elctrico muestran la direccin de E en cada punto, y su separacin da una idea general de la magnitud de E en cada punto. Donde E es intenso, se dibujan lneas estrechamente

agrupadas; donde E es ms dbil, las lneas estn ms separadas. En cualquier punto en particular, el campo elctrico tiene una direccin nica, por lo que slo una lnea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras palabras, las lneas de campo nunca se cruzan. En un campo uniforme, las lneas de campo son rectas, paralelas y con una separacin uniforme.

0 0.F E q=r r

20

14

qE rrpi

=

r )

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Distribuciones de carga El procedimiento bsico consiste en dividirla en elementos infinitesimales y usar los mtodos de clculo para obtener la fuerza total debida a todos ellos. Si un objeto contiene una carga neta q, imaginemos que se divide en muchos elementos dq. Expresamos dq en funcin del tamao del elemento y la densidad de carga, que describe como se contribuyen las cargas en la longitud, superficie o volumen del objeto. Existen distintos tipos de distribuciones:

DENSIDAD LINEAL DE CARGA (carga por unidad de longitud) dq= dx. Para las varillas. DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA (carga por unidad de superficie) dq= dA. Para la

superficie bidimensional. DENSIDAD VOLUMTRICA DE CARGA (carga por unidad de volumen) dq= dV .Para el

volumen de un cuerpo tridimensional. El procedimiento con el que se calcula la fuerza que este tipo de distribucin ejerce sobre una carga puntual es el siguiente:

1. Se supone que la distribucin continua est dividida en muchos elementos pequeos de carga. 2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa su carga dq a partir de las ecuaciones dq= dx, dq= dA, dq= dV , segn la distribucin. 3. Por ser dq infinitesimalmente pequea, se la toma como una carga puntual, donde r es la distancia

entre dq y q0.

02

0

14

dq qdF

rpi= donde q0 es la carga de prueba positiva.

4. Se tienen en cuenta los signos y la ubicacin de dq y q0 para determinar la direccin del elemento de fuerza dF.

5. Luego, se calcula la fuerza total, sumando todos los elementos infinitesimales, que implica la integral:

F dF= r r

y se integran cada una de las componentes vectoriales.

Electrn en un campo uniforme Cuando se conectan los bornes de una batera a dos placas conductoras grandes paralelas, las cargas resultantes en las placas originan, en la regin comprendida entre las placas, un campo elctrico E que es casi uniforme. Si las placas son horizontales y estn separadas 1.0 cm y conectadas a una batera de 100 volt, la magnitud del campo es E = 100 X 104 N/C. a) Si se libera un electrn en reposo en la placa superior, cul es su aceleracin? b) Qu rapidez y qu energa cintica adquiere al recorrer 1.0 cm hacia la placa inferior? c) Cunto tiempo se requiere para que el electrn recorra esta distancia? Un electrn tiene una

carga -e = -1.60X 10-9 C y una masa m = 9.11 X 10-31 kg. En este ejemplo intervienen varios conceptos: la relacin entre campo elctrico y fuerza elctrica, la relacin entre fuerza y aceleracin, la definicin de energa cintica y las relaciones cinemticas entre aceleracin, distancia, velocidad y tiempo.

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Campo elctrico de una distribucin contnua de carga Linea de carga

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Anillo o disco con carga uniforme

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Hoja infinita con carga Es un caso lmite del disco con carga, donde R y el disco se transforma en una hoja infinita, por eso aproximamos la ecuacin a:

02zF

= esta expresin es posible usar sin importar la forma.

Cascarn esferico con carga uniforme Podemos utilizar sus propiedades para deducir el campo elctrico debido a un cascarn delgado cargado uniformemente. Supongamos que el cascaron tiene radio R y la carga q (positiva). E=0 en su interior y en el exterior se comporta como una carga puntual.

20

14

qFrpi

=

Dipolos elctricos Un dipolo elctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos (una carga positiva q y una carga negativa -q) separadas por una distancia d. Fuerza y momento de torsin en un dipolo elctrico La fuerza elctrica neta sobre un dipolo elctrico en un campo elctrico externo uniforme es cero. Momento de torsin Los momentos de torsin se calculan con respecto al centro del dipolo. Momento de torsin neto La magnitud del momento de torsin neto es simplemente el doble de la magnitud de cualquiera de los momentos de torsin individuales. El producto de la carga q por la separacin d es la magnitud de una cantidad conocidacomo momento dipolar elctrico, que se denota mediante p: p = qd (magnitud del momento dipolar elctrico)

( . ).( . )q E d sen =

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. .p E sen = (magnitud del momento de torsin sobre un dipolo elctrico)

pXE =rr r

(momento de torsin sobre un dipolo elctrico, en forma vectorial) Cuando un dipolo cambia de direccin en un campo elctrico, el momento de torsin del campo elctrico realiza trabajo sobre l, con un cambio correspondiente de energa potencial. El trabajo dW realizado por un momento de torsin durante un desplazamiento infinitesimal d est dado por la ecuacin .dW d = Dado que el momento de torsin es en la direccin en que disminuye,

es preciso escribir el momento de torsin como pEsen = y dW d pEsen d = =

.U p E= rr (energa potencial de un dipolo en un campo elctrico)

Campo elctrico de un dipolo

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Ley de Gauss La ley de Gauss es parte de la clave para simplificar los clculos de campos elctricos con base en consideraciones de simetra. Es un enunciado fundamental acerca de la relacin entre las cargas elctricas y los campos elctricos. Entre otras cosas, la ley de Gauss nos ayuda a entender cmo se distribuye la carga elctrica en los cuerpos conductores. La ley de Gauss se refiere a lo siguiente. Dada una distribucin de carga cualquiera, la envolvemos en una superficie imaginaria que encierra la carga. A continuacin, examinamos el campo elctrico en diversos puntos de esta superficie imaginaria. La ley de Gauss es la relacin entre el campo en lodos los puntos de la superficie y la carga total encerrada dentro de la superficie.

Carga y flujo elctrico Se puede conocer la cantidad de carga que hay adentro de una caja imaginaria que las contiene. Para conocer el contenido de la caja, es necesario medir E slo en la superficie de la caja.

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Flujo elctrico: campo elctrico por el rea que se utiliza al calcular. La figura sugiere una relacin simple: la carga positiva que est dentro de la caja atraviesa con un flujo elctrico saliente la superficie de la caja, y la carga negativa del interior lo hace con un flujo elctrico entrante. Si E = 0 en todas partes, por lo que no hay flujo elctrico hacia adentro ni hacia afuera de la caja. el flujo elctrico entrante en una parte de la caja compensa exactamente el flujo elctrico saliente en la otra parte. Las figuras ponen de manifiesto una vinculacin entre el signo (positivo, negativo o cero) de la carga neta encerrada por una superficie cerrada y el sentido (saliente, entrante o ninguno) del flujo elctrico neto a travs de la superficie. Tambin hay una vinculacin entre la magnitud de la carga neta adentro de la superficie cerrada y la intensidad del "flujo" neto de E en toda la superficie. Esto sugiere que el flujo elctrico neto a travs de la superficie de la caja es directamente proporcional a la magnitud de la carga neta que encierra la caja. Si se define el flujo elctrico como sigue: con respecto a cada cara de la caja, tmese el producto de la componente perpendicular media de E por el rea de esa cara; luego, smense los resultados de todas las caras de la caja. Con esta definicin el flujo elctrico neto debido a una sola cara puntual encerrada en la caja es independiente del tamao de sta, y depende slo de la carga neta presente dentro de la caja. Con respecto a los casos especiales de una superficie cerrada con forma de caja rectangular y distribuciones de carga compuestas de cargas puntuales o lminas infinitas con carga, hemos hallado que:

1. El hecho de que haya o no un flujo elctrico saliente o entrante neto a travs de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.

2. Las cargas que estn afuera de la superficie no proporcionan un flujo elctrico neto a travs de la superficie.

3. El flujo elctrico neto es directamente proporcional a la cantidad de carga neta encerrada dentro de su superficie, pero, por lo dems, es independiente del tamao de la superficie cerrada.

Son vlidas estas observaciones con respecto a otras distribuciones de carga y a superficies cerradas de forma arbitraria? La respuesta a esta pregunta resultar ser afirmativa.

Clculo del flujo elctrico En trminos cualitativos, el flujo elctrico a travs de una superficie es una descripcin de si el campo elctrico apunta hacia adentro o hacia afuera de la superficie Utilicemos de nuevo la analoga entre un campo elctrico E y el campo de vectores de velocidad v de un fluido en circulacin. La figura muestra un fluido que fluye de modo uniforme de izquierda a derecha. Examinemos la relacin de flujo volumtrico dV/dt (por ejemplo, en metros cbicos en cada segundo) a travs del rectngulo de alambre de rea A. Cuando el rea es perpendicular a la velocidad de flujo v (Fig. 22.5a) y la velocidad de flujo es la misma en todos los puntos del fluido, la relacin de flujo volumtrico dV/dt es el rea A multiplicada por la rapidez de flujo v:

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Cuando se inclina el rectngulo un ngulo de modo que su cara no sea perpendicular a v. el rea que se considera es el rea de la silueta que vemos cuando enfrentamos la direccin de v. Esta rea, que est dibujada en rojo.

Si = 90, dV/dt = 0; el rectngulo de alambre presenta su borde al flujo, y no pasa fluido alguno a travs del rectngulo. La relacin de flujo volumtrico se puede expresar de manera ms compacta empleando el concepto de vector rea, A, una magnitud vectorial de magnitud A y direccin perpendicular al plano del rea que se describe. El vector rea A describe tanto el tamao de un rea como su orientacin en el espacio. En trminos de A, podemos escribir la relacin de flujo volumtrico de fluido a travs del rectngulo de la figura (b) como un producto escalar (punto):

Siguiendo con la analoga a los fluidos, para calcular el flujo elctrico, simplemente sustituimos la velocidad del fluido v por el campo elctrico E. El flujo electrico se representa con E .

Se define el flujo elctrico a travs de esta rea como el producto de la magnitud del campo por el rea A:

De forma aproximada, podemos describir E en trminos de las lneas de campo que pasan a travs de A. Aumentar el rea significa que ms lneas de E atraviesan el rea, con lo cual el flujo aumenta; un campo ms intenso significa lneas de E ms prximas unas a otras y, por tanto, ms lneas en cada unidad de rea, de modo que, una vez ms, el flujo aumenta.

Puesto que Ecos es la componente de E perpendicular al rea, podemos escribir de nuevo la ecuacin como:

En trminos del vector rea A perpendicular al rea, se puede escribir el flujo elctrico como el producto escalar de por A. Calculo del flujo para superficies irregulares y campos no uniformes Qu sucede si el campo elctrico E no es uniforme, sino que vara de un punto a otro en el rea A? O si A es parte de una superficie curva? En tales casos se divide A en muchos elementos pequeos dA, cada uno de los cuales tiene un vector unitario n

) perpendicular a l y un vector rea dA = n dA) . Se calcula el flujo elctrico a travs de cada

elemento y se integran los resultados para obtener el flujo total:

(definicin general del flujo)

Calculo para un disco: se calcula igual que el rectangulo pero cambia el rea de este por el del disco. Clculo para un cubo: se calculan cada una de las 6 caras planas y se suman cada uno de los campos.

cosE E dA EdA = = rr

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Calculo para la esfera: es irregular, por eso se usa la expresin general.

Ley de Gauss Es una alternativa de la ley de Coulomb. Aunque es totalmente equivalente a la ley de Coulomb, la ley de Gauss ofrece una manera diferente de expresar la relacin entre la carga elctrica y el campo elctrico. La ley de Gauss establece que el flujo elctrico total a travs de cualquier superficie cerrada (una superficie que encierra un volumen definido) es proporcional a la carga elctrica total (neta) dentro de la superficie. Comencemos con el campo de una sola carga puntual positiva q. Las lneas de campo se extienden en forma radial hacia afuera en todas direcciones por igual. Si colocamos la carga en el centro de una superficie esfrica imaginaria de radio R, la magnitud E del campo elctrico en todos los puntos de la superficie est dada por

El flujo elctrico total es simplemente el producto de la magnitud del campo E por el rea total A:

El flujo es independiente del radio R de la esfera. Depende nicamente de la carga q encerrada por la esfera. Se puede extender este anlisis a superficies no esfricas. En vez de una segunda esfera, rodeemos la esfera de radio R con una superficie de forma irregular, como en la figura 22.13a. Considrese un elemento pequeo de rea dA sobre la superficie irregular; vemos que esta rea es ms grande que el elemento correspondiente sobre una superficie esfrica a la misma distancia de q. Si una normal a dA forma un ngulo con una lnea radial proveniente de q, dos lados del rea proyectada sobre la superficie esfrica son reducidos por un factor de cos (Fig, 22.13b). Los otros dos lados no cambian. Por tanto, el flujo elctrico a travs del elemento de la superficie esfrica es igual al flujo E da.cos travs del elemento correspondiente de la superficie irregular.

Podemos dividir toda la superficie irregular en

elementos dA, calcular el flujo elctrico E dA cos correspondi

ente a cada uno y sumar

los resultados

por integra-cin, como en la ecuacin de la definicin general de campo. Cada uno de los elementos de rea se proyecta sobre un elemento correspondiente de la superficie esfrica. As, el flujo elctrico total a travs de de la superficie irregular, dado por cualquiera de las formas de la ecuacin general, debe ser el mismo que el flujo total a travs de una esfera, que segn la ecuacin

Es igual a 0/q . De esta manera, para la superficie irregular,

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La ecuacin anterior es vlida para una superficie de cualquier forma o tamao, con la sola condicin de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q. El crculo sobre el signo de integral nos recuerda que la integral se toma siempre con respecto a una superficie cerrada. Los elementos de rea dA y los vectores unitarios n) correspondientes siempre apuntan hacia afuera del volumen encerrado por la superficie. As, el flujo elctrico es positivo en las regiones donde el campo elctrico apunta hacia afuera de la superficie y negativo donde apunta hacia adentro. Asimismo, E es positivo en los puntos donde E apunta hacia afuera respecto a la superficie y negativo en los puntos donde E apunta hacia adentro de la superficie. Para una superficie cerrada que no encierra carga:

Las lneas de campo elctrico pueden iniciar o terminar dentro de una regin del espacio slo cuando hay carga en esa regin.

Forma general de la ley de Gauss Supngase que la superficie encierra no slo una carga puntual q,

sino varias cargas q1, q2, qi,.... El campo elctrico total (resultante) E en cualquier punto es la suma vectorial de los campos E de las cargas individuales. Sea encQ la carga total encerrada por la superficie:

Sea adems E el campo total en la posicin del elemento de rea superficial dA, y sea Et su componente perpendicular al plano de ese elemento (es decir, paralelo a dA). En estas condiciones se puede escribir una ecuacin como la ecuacin

con respecto a cada carga y su campo correspondiente y sumar los resultados. Al hacerlo, se obtiene el enunciado general de la ley de Gauss:

0

.

encE

QE dA

= =rr

Aplicaciones de la Ley de Gauss La ley de Gauss es vlida con respecto a cualquier distribucin de cargas y a cualquier superficie cerrada. Esta ley es til de dos maneras. Si se conoce la distribucin de carga, y si sta tiene la simetra suficiente para que sea posible evaluar la integral de la ley de Gauss, se puede hallar el campo. O bien, si se conoce el campo, la ley de Gauss permite hallar la distribucin de carga, por ejemplo, las cargas sobre superficies conductoras.

1 2 3 ...encQ q q q= + + +

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En los problemas prcticos es frecuente encontrar situaciones en las que se desea conocer el campo elctrico creado por una distribucin de carga sobre un conductor. Estos clculos se facilitan en virtud del hecho notable siguiente: cuando se coloca en un conductor un exceso de carga y sta se halla en reposo, reside en .su totalidad en la superficie, no en el interior del material. (Un exceso significa cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen el conductor neutro).

Deduccin de la Ley de Coulomb a traves de Gauss Aplicamos la ley de Gauss a una carga puntual positiva y aislada. En este caso (por simetra) E debe ser perpendicular a la superficie para que el angulo entre E y dA sea cero en toda la superficie. E posee la misma magnitud en todas las partes. En la figura, .E dA

rr va siempre

hacia fuera, por eso queda .E dA y la ley de Gauss queda 0 0. .E dA E dA q = =

rr como E

r es contante sale fuera de la

integral, y queda la integral que es solamente el rea superficial total de la esfera 20 0 0. . (4 )E dA q E A E r q pi= = =

Y despejando queda 20

14

qErpi

= (Ley de Coulomb)

Lnea infinita de cargas Dse cuenta que, no obstante que la totalidad de la carga del alambre contribuye al campo, slo se considera la parte de la carga total que est dentro de la superficie gaussiana al aplicar la ley de Gauss. Esto quiz parezca extrao; da la impresin de que, de algn modo, hemos obtenido la respuesta correcta sin tener en cuenta parte de la carga, y que el campo de un alambre corto de longitud l sera el mismo que el de un alambre muy largo. Pero si se incluye la totalidad de la carga del alambre al hacer uso de la simetra del problema. Si el alambre es corto, la simetra con respecto a desplazamientos a lo largo del eje no est presente, y el campo no es uniforme en trminos de

magnitud en toda la superficie gaussiana. La ley de Gauss deja entonces de ser til y no sirve para hallar el campo; la mejor forma de atacar el problema es mediante la tcnica de integracin. Se puede usar una superficie gaussiana como la de la figura para mostrar que el campo en puntos simados afuera de un cilindro largo con carga uniforme es el mismo que se tendra si la carga estuviera concentrada en una recta a lo largo de su eje. Tambin se puede calcular el campo elctrico en el espacio comprendido entre un cilindro con carga y un cilindro conductor coaxial hueco que lo rodea. Este es un modelo de un cable coaxial, como los cables con los que se conecta el televisor a una "toma" de televisin por cable.

Hoja infinita con carga La lmina con carga pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, de modo que los extremos del cilindro estn equidistantes de la lmina. En cada extremo del cilindro, es perpendicular a la superficie y E es igual a E; por tanto, el flujo a travs de cada extremo es +EA. Puesto que E es perpendicular a la lmina con carga, es paralelo a la pared lateral curva del cilindro; por tanto, EL en esta pared es cero y no hay flujo a travs de ella. La integral del flujo total de la ley de Gauss es entonces 2EA (EA de cada extremo y cero de la pared lateral). La carga neta dentro de la superficie gaussiana es la carga en cada unidad

de rea multiplicada por el rea de la lmina encerrada por la superficie, es decir,

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El campo es uniforme y su direccin es perpendicular al plano de la lmina. Su magnitud es independiente de la distancia respecto a la lmina. Las lineas de campo son, por consiguiente, rectas, paralelas unas a otras y perpendiculares a la lmina.

Teoremas para cascarones esfricos con carga 1. En los puntos extremos un cascarn esfrico uniforme con carga se comporta como si una carga se

concentrara en su centro. 2. un cascarn esfrico uniforme con carga no ejerce fuerza elctrica sobre una partcula con carga

colocada dentro del mismo.

Esfera con carga simtrica Por simetra la magnitud E del campo elctrico tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana, y la direccin de E es radial en todos los puntos de la superficie; por tanto, Ex = E. Por consiguiente, el flujo elctrico total a travs de la superficie gaussiana es el producto de E por el rea total de la superficie, A = 4r2, es decir, 24E r Epi = La cantidad de carga encerrada en el interior de la superficie gaussiana depende del radio r. Hallemos en primer trmino la magnitud del campo adentro de la esfera con carga de radio R; la magnitud de E se evala en el radio de la superficie gaussiana, de modo que elegimos r < R. La densidad de carga volumtrica p es el cociente de la carga Q entre el volumen de toda la esfera con carga de radio R:

34 / 3QR

pi

=

El volumen Venc encerrado por la superficie gaussiana es 343 rpi , por tanto, la carga total Qenc encerrada por esa superficie es:

Entonces la ley de Gauss se transforma en:

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La magnitud del campo es proporcional a la distancia r entre el punto del campo y el centro de la esfera. En el centro (r = 0), E = 0. Para hallar la magnitud del campo afuera de la esfera con carga se emplea la superficie gaussiana de radio r > R. Esta superficie encierra la totalidad de la esfera con carga, por lo que Qm = Q, y la ley de Gauss da

En cualquier cuerpo esfricamente simtrico con carga, el campo elctrico afuera del cuerpo es el mismo que si toda la carga estuviese concentrada en el centro.

Carga en conductores el campo elctrico en todos los puntos interiores del conductor es cero, y que todo exceso de carga en un conductor slido se encuentra en su totalidad en la superficie de ste Pero, qu ocurre si hay una cavidad adentro del conductor (Fig. 22.24b)? Si no hay carga adentro de la cavidad, se puede emplear una superficie gaussiana como A (que se encuentra integramente dentro del material del conductor) para demostrar que la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser cero, porque E = 0 en cualquier lugar de la superficie gaussiana. De hecho, se puede probar que en esta situacin no puede haber carga alguna en la superficie de la cavidad. Supngase que se coloca un cuerpo pequeo con una carga q adentro de una cavidad en el interior de un conductor .El conductor no tiene carga y est aislado de la carga q. Tambin en este caso E = 0 en cualquier lugar de la superficie A; por tanto, de acuerdo con la ley de Gauss la carga total en el interior de esta superficie debe ser cero. Por consiguiente, debe haber una carga q distribuida en la superficie de la cavidad, atrada hacia ella por la carga q del interior de la cavidad. La carga total del conductor debe seguir siendo cero; por tanto, debe aparecer una carga +q ya sea en su superficie externa o adentro del material. Pero en las secciones anteriores hemos demostramos que en una situacin electrosttica no puede haber un exceso de carga dentro del material de un conductor. Por tanto, se concluye que la carga +q debe aparecer en la superficie externa. Por el mismo razonamiento, si el conductor tena originalmente una carga qc, entonces la carga total en la superficie externa debe ser q + qc despus de introducir la carga q en la cavidad.

Campo en la superficie de un conductor Por ltimo, advertimos que existe una relacin directa entre el campo E en un punto inmediatamente afuera de cualquier conductor y la densidad superficial de carga en ese punto. En general, varia de un punto de la superficie a otro. La direccin de E siempre es perpendicular a la superficie. Para hallar una relacin entre con cualquier punto de la superficie y la componente perpendicular del campo elctrico en ese punto, se construye una superficie gaussiana con forma de un cilindro pequeo (Fig. 22.30). La cara de un extremo, de rea A, se encuentra dentro del conductor, y la otra se halla inmediatamente afuera de l. El campo elctrico es cero en todos los puntos del interior del conductor. Afuera del conductor la componente de E perpendicular a las paredes laterales del cilindro es cero, y en toda la cara del extremo la componente perpendicular es igual a Ex. (Si es positiva, el campo elctrico apunta hacia afuera del conductor y EL es positiva; si es negativa, el campo apunta hacia adentro y E es negativa.) Por consiguiente, el flujo total a travs de la superficie es EA. La carga encerrada dentro de la superficie gaussiana es A; por tanto, por la ley de Gauss,

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Energa de potencial elctrica Cuando una partcula con carga se desplaza en un campo elctrico, el campo ejerce una fuerza que puede realizar trabajo sobre la partcula. Este trabajo se puede expresar siempre en trminos de energa potencial elctrica. La energa potencial elctrica depende de la posicin de la partcula con carga en el campo elctrico.

Energa potencial elctrica en un campo uniforme Examinemos un ejemplo elctrico de estos conceptos bsicos. En la figura un par de placas metlicas paralelas con carga establecen un campo elctrico descendente uniforme de magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo de magnitud F=qoE sobre una carga positiva de prueba qo. Conforme la carga se desplaza hacia abajo una distancia d del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga de prueba- es constante e independiente de su ubicacin. Por tanto, el trabajo realizado por el campo elctrico es el producto de la magnitud de la fuerza por la componente de desplazamiento en la direccin (descendente) de la fuerza:

Este trabajo es positivo ya que tiene la misma direccin que el desplazamiento de la carga de prueba.

Energa potencial elctrica de dos cargas puntuales La idea de energa potencial elctrica no est restringida al caso especial de un campo elctrico uniforme. De hecho, se puede aplicar este concepto a una carga puntual en cualquier campo elctrico creado por una distribucin de carga esttica. Por consiguiente, resulta til calcular el trabajo realizado sobre una carga de prueba q0 que se desplaza en el campo elctrico creado por una sola carga puntual estacionaria q.

Consideraremos en primer trmino un desplazamiento a lo largo de la lnea radial de la figura, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 est dada por la ley de Coulomb y su componente radial es

Si q y q0 tienen el mismo signo (+ o -), la fuerza es de repulsin y F es positiva; si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atraccin y F es negativa. La fuerza no es constante durante el desplazamiento y es necesario integrar para calcular el trabajo

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El trabajo realizado por la fuerza elctrica en el caso de esta trayectoria en particular depende slo de los puntos extremos. El trabajo es el mismo en todas las trayectorias posibles de a a b.

Pero la figura muestra que cos = dr. Es decir, el trabajo realizado durante un desplazamiento pequeo di depende nicamente del cambio dr de la distancia r entre las cargas, que es la componente radial del desplazamiento. Por consiguiente, la ecuacin anterior es vlida incluso con respecto a este desplazamiento ms general; el trabajo realizado sobre q0 por el campo elctrico E producido por q depende slo de ra y rh, no de los detalles de la trayectoria. Asimismo, si qa regresa a su punto de partida a por un camino diferente, el trabajo total realizado en el desplazamiento de un viaje de ida y vuelta es cero (la integral de la ecuacin (23.8) es de ra de nuevo a r0). stas son las caractersticas necesarias de una fuerza conservativa.

0

0

14

qqUrpi

= (energia potencial entre dos cargas q y q0 separadas r)

Conviene hacer hincapi en que la energa potencial U dada por la ecuacin (23.9) es una propiedad compartida de las dos cargas q y q0; es consecuencia de la interaccin entre estos dos cuerpos. Si la distancia entre las dos cargas cambia de ra a rb el campo de energa potencial es el mismo ya sea que q se mantenga fija y q0 se desplace o que q0 se mantenga fija y q se desplace. Por esta razn, nunca empleamos la frase "la energa potencial elctrica de una carga puntual".

Energa potencial elctrica con varias cargas puntuales Supngase que el campo elctrico E en el que se desplaza la carga q0 se debe a varias cargas puntuales q1, q2, q3, a distancias r1, r2, r3,... de q0,.El campo elctrico total en cada punto es la suma vectorial de los campos de-bidos a las cargas individuales, y el trabajo total que se realiza sobre q0 durante cual quier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas individuales. De la ecuacin

0

0

14

qqUrpi

=

Se concluye que la energa potencial asociada con la carga de prueba q0 en el punto a de la figura es la suma algebraica (no la suma vectorial).

0 3 01 2

0 1 2 3 0

...

4 4i

i i

q q q qq qUr r r rpi pi

= + + + =

(carga puntual q0 y conjunto de cargas qi)

El trabajo realizado sobre la carga q0 cuando sta se desplaza de a a b a lo largo de cualquier trayectoria es igual a la diferencia Ua - Uh entre las energas potenciales cuando qf est en a y en b.

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Podemos representar cualquier distribucin de carga como un conjunto de cargas puntuales; por tanto, la ecuacin (23.10) exhibe que siempre se puede hallar una funcin energa-potencial para cualquier campo elctrico esttico. Se sigue que con respecto a cada campo elctrico debido a una distribucin de carga esttica, la fuerza ejercida por ese campo es conservativa. Si en un principio las cargas q1, q2, q3,... estn todas separadas unas de otras por distancias infinitas, y luego las juntamos de modo que la distancia entre qi y qj sea rij, la energa potencial total U es la suma de las energas potenciales de interaccin de cada par de cargas. Esto se puede escribir como:

Interpretacin de la energa potencial elctrica La hemos definido en trminos del trabajo realizado por el campo elctrico sobre una partcula con carga que se desplaza en el campo Cuando una partcula se desplaza del punto a al punto b, el trabajo que sobre ella realiza el campo elctrico es Wab = Ua Ub. Por tanto, la diferencia de energa potencial Ua Ub es igual al trabajo que la fuerza elctrica realiza cuando la partcula se desplaza de a a b. Cuando Ua es mayor que Ub , el campo realiza trabajo positivo sobre la partcula cuando sta "cae" de un punto de ms energa potencial (a) a un punto de menos energa potencial (b). No obstante, otro punto de vista, equivalente, consiste en considerar cunto trabajo se tendra que hacer para "subir" una partcula de un punto b, donde la energa potencial es Ub, a un punto a donde la energa potencial tiene un valor mayor Ua (por ejemplo, empujar dos cargas positivas para acercarlas). Para mover la partcula lentamente (a modo de no impartirle energa cintica) necesitamos ejercer una fuerza externa adicional Fcu, que es igual y opuesta a la fuerza del campo elctrico y realiza trabajo positivo. La diferencia de energa potencial Ua Ub se define entonces como el trabajo que debe realizar una fuerza externa para desplazar la partcula lentamente deba a contra la fuerza elctrica. Puesto que Fcu es el negativo de la fuerza del campo elctrico y el desplazamiento es en direccin opuesta, esta definicin de la diferencia de potencial Ua - Ub es equivalente a la que se dio anteriormente.

Potencial elctrico Un potencial es energa potencial por unidad de carga. Se define el potencial V en cualquier punto de un campo elctrico como la energa potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto.

Se suele llamar simplemente potencial. Se le suele llamar voltaje El potencial elctrico est ntimamente relacionado con el campo elctrico E Cuando se necesita hallar un campo elctrico, suele ser ms fcil determinar primero el potencial y luego hallar el campo a partir de l. La energa potencial y la carga son escalares; por consiguiente, el potencial es una cantidad escalar. La unidad SI de potencial, llamada un volt .1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb. Expresemos la ecuacin, que iguala el trabajo realizado por la fuerza elctrica durante un desplazamiento de a a b con la cantidad -U = -(Ub - Ua), sobre una base de "trabajo por unidad de carga". Al dividir esta ecuacin entre q0 se obtiene:

Llamamos a Va y Vb el potencial en el punto a y potencial en el punto b, respectivamente. Por tanto, el trabajo por unidad de carga realizado por la fuerza elctrica cuando un cuerpo con carga se desplaza de a a b es igual al potencial en a menos el potencial en b. A la diferencia Va - Vb se le llama el potencial de a con respecto a b Vab , el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo realizado por la fuerza elctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b. Ua - Ub es la cantidad de trabajo que debe realizar una fuerza externa para desplazar lentamente una partcula de carga q0 de b a a contra la fuerza elctrica. El trabajo que la fuerza externa deber realizar por unidad de carga es entonces (Ua - Ub)/q0 = Va-Vb= Vab. En otras palabras, V, el potencial de a con respecto a b, es igual al trabajo que es preciso realizar para desplazar lentamente una UNIDAD de carga de b a a contra la fuerza elctrica. Para hallar el potencial V debido a una sola carga puntual q:

0 0

1U qVq a rpi

= = (potencial debido a una carga puntual)

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Donde r es la distancia desde la carga puntual q al punto en el que se evala el potencial. Si q es positiva, el potencial que crea es positivo en todos los puntos; si q es negativa, produce un potencial que es negativo en todas partes. En ambos casos, V es igual a cero en r =, a una distancia infinita de la carga puntual. Dse cuenta que el potencial, como el campo elctrico, es independiente de la carga de prueba q0 que se utiliza para definirlo. Para un conjunto de cargas puntuales:

0 0

14

i

i i

qUVq rpi

= =

El potencial elctrico debido a un conjunto de cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a cada carga. Cuando se tiene una distribucin continua de carga a lo largo de una lnea, en una superficie o en todo un volumen, se divide la carga en elementos dq, y la suma de la ecuacin anterior se transforma en una integral:

0

14

dqVrpi

=

Donde r es la distancia del elemento de carga dq al punto de campo donde se evala V.

ciertos problemas en los que se conoce el campo elctrico o^e puede hallar sin dificultad, es ms fcil determinar V a partir de E. La fuerza F sobre una carga de prueba q0 se puede escribir como 0F q E=

r r. as

que, el trabajo realizado por la fuerza elctrica cuando la carga de prueba se desplaza de a a b est dado por

Si se divide todo por q0 y se compra el resultado con

Tenemos . cosb b

a ba a

V V E dl E dl = = rr

(diferencia de potencial con respecto a E) Clculo del potencial elctrico Cuando se calcula el potencial debido a una distribucin de carga, por lo regular se sigue una de dos rutas. Si se conoce la distribucin de carga, se usa la ecuacin

0 0

14

i

i i

qUVq rpi

= = o la ecuacin 0

14

dqVrpi

=

O bien, si se sabe cmo depende el campo elctrico de la posicin, se puede emplear la ecuacin

. cosb b

a ba a

V V E dl E dl = = rr

que define el potencial como cero en algn lugar conveniente. Algunos problemas requieren una combinacin de estos mtodos.

Aplicaciones Lnea de carga

Se tiene una carga elctrica Q distribuida uniformemente a lo largo de una linca o varilla delgada de longitud 2a. La distancia de dQ a P es

y la contribucin de dV al potencial en P es

Para obtener el potencial en P debido a la varilla en su totalidad, se integra dVde principio a fin la longitud de la varilla de y = -a a y = a:

puede consultar la integral en una tabla. El resultado final es

2 2x + yV =

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Anillo con carga

Discos con carga Para

calcular el punto P, debido a un anillo de radio w y de carga dq=dA con el elemento de rea dA=2wdw

( )2 22 20 002 2

RwdwV w Z Z

w Z

= = +

+

Su potencial tiene el valor mximo en la superficie del disco (donde Z=0) y disminuye al movernos del eje Z en una y otra direccin.

Con valores muy pequeos de Z el potencial es 0 02 2

ZRV

= .

El potencial se aproxima al valor constante 0

02

R Z

Clculo del campo a partir del potencial si se conoce el potencial V en diversos puntos, se puede determinar E con base en l. Considerando V como una funcin de las coordenadas (x,y, z) de un punto en el espacio, demostraremos que las componentes de E estn directamente relacionadas con las derivadas parciales de V con respecto a x, y y z. Va - Vb es el potencial de a con respecto a b, es decir, el cambio de potencial cuando un punto se traslada de b a a. Esto se puede escribir como

donde dV es el cambio infinitesimal de potencial que acompaa a un elemento infinitesimal dl de la trayectoria de b a a. Comparando con la ecuacin anterior tenemos:

Estas dos integrales deben ser iguales con cualquier par de lmites a y b, y para que esto se cumpla los integrados deben ser iguales. En estos trminos, para cualquier desplazamiento infinitesimal dl,

A fin de interpretar esta expresin escribimos E y dl en trminos de sus componentes: E = i Ex + j Ey + k dZ y dl = i dx + j dy + k dz. Por lo tanto se tiene que

-dV = Ex dx + Ey dy + E, dz

Superficies equipotenciales Las lneas de campo nos ayudan a visualizar los campos elctricos. De manera semejante, el potencial en diversos puntos de un campo elctrico se puede representar grficamente mediante superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es una superficie tridimensional sobre la cual el potencial elctrico V es el mismo en todos los puntos. Si se traslada una carga de prueba q0 de un punto a otro sobre una superficie de este tipo, la energa potencial elctrica permanece constante. En una regin donde est presente un campo elctrico se puede construir una superficie equipotencial que pase por cualquier punto. En los diagramas se acostumbra mostrar slo unos pocos equipotenciales representativos, a menudo con diferencias de potencial iguales entre superficies adyacentes. Ya que la energa potencial no cambia cuando una carga de prueba se traslada sobre una superficie equipotencial, el campo elctrico no puede realizar trabajo sobre esa carga. Se sigue que E debe ser perpendicular a la superficie en todos los puntos para que la fuerza elctrica q0E sea en todo momento

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perpendicular al desplazamiento de una carga que se mueve sobre la superficie. Las lneas de campo y las superficies equipotenciales son siempre mutuamente perpendiculares. La figura 23.23 muestra varias configuraciones de cargas. Las lneas de campo que estn en el plano de las cargas se representan mediante lneas rojas, y las intersecciones de las superficies equipotenciales con este plano (esto es, cortes transversales de estas superficies) se muestran como lneas azules. en las regiones donde el campo es ms dbil, las superficies equipotenciales estn ms separadas; esto sucede en los radios ms grandes

Equipotenciales y conductores Cuando todas las cargas estn en reposo, la superficie de un conductores siempre una superficie equipotencial. Puesto que el campo elctrico E es siempre perpendicular a una superficie equipotencial, se puede verificar este enunciado si se demuestra que cuando todas las cargas estn en reposo, el campo elctrico inmediatamente afuera de un conductor debe ser perpendicular a la superficie en todos los puntos (Fig. 23.24). Sabemos que E = 0 en todas las partes del interior del conductor; de lo contrario, las cargas se trasladaran. El teorema es el siguiente: en una situacin electrosttica, si un conductor contiene una cavidad y no hay carga en el interior de sta, entonces no puede haber una carga neta en ninguna parte de la superficie de la cavidad. Esto significa que si uno est adentro de una caja conductora con carga, puede tocar sin peligro cualquier punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para verificar este teorema, primero demostraremos que todos los puntos del interior de la cavidad estn al mismo potencial. En la figura 23.26 la superficie conductora A de la cavidad es una superficie equipotencial, como recin hemos demostrado. Supngase que el punto P de la cavidad est a un potencial diferente; por lo tanto se puede construir una superficie equipotencial diferente B que incluya el punto P. Considere ahora una superficie gaussiana (Fig. 23.26) entre dos superficiesequipotenciales. En virtud de la relacin entre E y las equipotenciales, sabemos que en todos los puntos entre las equipotenciales el campo se dirige de A hacia B, o bien en todos los puntos se dirige de B hacia A, segn la superficie equipotencial que est al potencial ms elevado. En uno u otro caso el flujo a travs de esta superficie gaussiana es con certeza diferente de cero. Pero entonces la ley de Gauss afirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no

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puede ser cero. Esto contradice nuestra suposicin inicial de que no hay carga en la cavidad. Por tanto, el potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad. En consecuencia, la regin de la cavidad en su totalidad, debe estar al mismo potencial. Sin embargo, para que esto sea cierto, el campo elctrico en el interior de la cavidad debe ser cero en todas partes. Por ltimo, la ley de Gauss demuestra que el campo elctrico en cualquier punto de la superficie de un conductor es proporcional a la densidad de carga superficial o" en ese punto. Se concluye que la densidad de carga superficial en la pared de la cavidad es cero en todos los puntos. Este razonamiento puede parecer tortuoso, pero vale la pena estudiarlo detenidamente.

Efecto corona El efecto corona es un fenmeno elctrico que se produce en los conductores de las lneas de alta tensin y se manifiesta en forma de halo luminoso a su alrededor. Dado que los conductores suelen ser de seccin circular, el halo adopta una forma de corona, de ah el nombre del fenmeno.El efecto corona est causado por la ionizacin del aire circundante al conductor debido a los altos niveles de tensin, y por ende, de campo magntico, de la lnea. En el momento que las molculas de aire se ionizan, stas son capaces de conducir la corriente elctrica y parte los electrones que circulan por la lnea pasan a circular por el aire. Tal circulacin producir un incremento de temperatura en el gas, que se tornar de un color rojizo para niveles bajos de temperatura, o azulado para niveles altos. La intensidad del efecto corona, por lo tanto, se puede cuantificar segn el color del halo, que ser rojizo en aquellos casos leves y azulado para los ms severos. Cuando lor radios de la esfera son mas pequeos ms grande ser el campo elctrico fuera de la superficie. Cerca de un conductor afilado (de radio muy pequeo) en el airenormalmente no conductor puede conducir la carga y alejarlo de l. Vm = REm, En el caso de una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, Vm = (10-2 m) (3 X 106 V/m) = 30 000 V Por ms que se "cargue" una esfera conductora de este tamao en presencia de aire,.no se puede elevar su potencial a ms de aproximadamente 30 000 V; si se intenta elevar ms an el potencial agregando carga adicional, el aire circundante se ioniza y se hace conductor y la carga adicional agregada se fuga hacia el aire.

Potencial de dipolo elctrico Este ejercicio sirve para calcularlo

Generador electrosttico

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El generador de Van de Graaff es una mquina electrosttica que utiliza una cinta mvil para acumular grandes cantidades de carga elctrica en el interior de una esfera metlica hueca. Las diferencias de potencial as alcanzadas en un generador de Van de Graaff moderno pueden llegar a alcanzar los 5 megavoltios. Las diferentes aplicaciones de esta mquina incluyen la produccin de rayos X, esterilizacin de alimentos y experimentos de fsica de partculas y fisica nuclear. El generador consiste en una cinta transportadora de material aislante motorizada, que transporta carga a un terminal hueco. La carga es depositada en la cinta por frotamiento a travs del efecto triboelctrico. Dentro del terminal, la carga es recolectada por una varilla metlica que se aproxima a la cinta. La carga, transportada por la cinta, pasa al terminal esfrico nulo. Los generadores de Van De Graaff son mquinas especiales que se utilizan para que los estudiantes de fsica comprendan los fenmenos electrostticos.

Capacitor Lo forman dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vaco). Se lo utiliza para almacenar energa. En casi todas las aplicaciones prcticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta de cero y se transfieren electrones de un conductor al otro; a esto se le denomina cargar el capacitor. Una manera comn de cargar un capacitor consiste en conectar estos dos alambres a bornes opuestos de una batera. Una vez que se establecen las cargas Q y -Q en los conductores, se desconecta la batera. Esto proporciona una di-ferencia de potencial Vab fija entre los conductores (es decir, el potencial del conductor con carga positiva a con respecto al conductor con carga negativa b) que es exactamente igual al voltaje de la batera. El campo elctrico en cualquier punto de la regin entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de la carga de cada conductor.

Capacitancia [C] Es la relacin de carga respecto a la diferencia de potencial que no cambia. Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, tanto ms grande es la magnitud Q de la carga en cualquiera de los conductores con una diferencia de potencial determinada Vab y, en consecuencia, es mayor la cantidad de energa almacenada.

ab

QCV

=

Clculo de la capacitancia: capacitores en un vaco Se calcula la capacitancia C de un determinado capacitor hallando la diferencia de potencial Vab entre los conductores con una magnitud de carga Q dada y aplicando en seguida la ecuacin de capacitancia. Capacitores placas paralelas La forma ms simple de un capacitor consiste en dos placas paralelas conductoras, cada una con un rea A, separadas por una distancia d que es pequea en comparacin con sus dimensiones.

0ab

Q ACV d

= = (Capacitor placas paralelas en un vaco)

La capacitancia depende slo de la geometra del capacitor; es directamente proporcional al rea A de cada placa e inversamente proporcional a su separacin d. Las cantidades A y d son constantes con respecto a un capacitor dado, y e0 es una constante universal.

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Con respecto a cualquier capacitor en un vaco, la capacitancia C depende nicamente de la forma, dimensiones y separacin de los conductores que constituyen el capacitor. Si los conductores tienen una forma ms compleja que los del capacitor de placas paralelas, la expresin de la capacitancia es ms complicada que la ecuacin de los de placas paralelas. Capacitor esfrico

Capacitor cilndrico

Capacitores en serie Dos capacitores se conectan en serie (uno en seguida del otro) mediante alambres conductores entre los puntos a y b. Ambos capacitores estn inicialmente sin carga. Cuando se aplica una diferencia de potencial Vab positiva y constante entre los puntos ay b, los capacitores se cargan; la figura muestra que la carga de todas las placas conductoras tiene la misma magnitud.

La capacitancia equivalente Ceq de la combinacin en serie se define como la capacitancia de un solo capacitor cuya carga Q es la misma que la de la combinacin, cuando la diferencia de potencial V es la misma.

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El recproco de la capacitancia equivalente de una combinacin en serie es igual a la suma de los recprocos de las capacitancias individuales. En una conexin en serie, la capacitancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitancias individuales. Capacitores en paralelo En una conexin en paralelo la diferencia de potencial de todos los capacitores individuales es la misma e igual a Vab = V. De cualquier manera, las cargas Q1 y Q2 no son necesariamente iguales puesto que pueden llegar cargas a cada capacitor de modo independiente desde la fuente (como una batera) del voltaje Vab. Las cargas son

La capacit

ancia equival

ente de una combinacin en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales. En una conexin en paralelo la capacitancia equivalente siempre es mayor que cualquiera de las capacitancias individuales.

Almacenamiento de energa en capacitores y energa de campo elctrico La energa potencial elctrica almacenada en un capacitor cargado es simplemente igual a la cantidad de trabajo que se necesit para cargarlo, es decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes. La energa potencial U de un capacitor cargado se halla calculando el trabajo W que se necesit para cargarlo.

Supngase que al terminar de cargar el capacitor la carga final es Q y la diferencia de potencial final es V. De acuerdo con la ecuacin (24.1), estas cantidades se relacionan como sigue:

Sean q y v la carga y la diferencia de potencial, respectivamente, en una etapa intermedia del proceso de carga; entonces v = q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere para transferir un elemento de carga adicional dq es

El trabajo total W que se necesita para aumentar la carga q del capacitor de cero a un valor final Q es

Esto tambin es igual al trabajo total que el campo elctrico realiza sobre la carga cuando el capacitor se descarga. En este caso q disminuye de un valor inicial Q a cero conforme los elementos de carga dq "caen" a travs de diferencias de potencial v que varan desde V hasta cero. Si se define como cero la energa potencial de un capacitor sin carga, entonces W de la ecuacin anterior es igual a la energa potencial del capacitor cargado. La carga almacenada final es Q = CV; por tanto, se puede expresar U (que es igual a W) como

La forma final de la ecuacin muestra que el trabajo total que se requiere para cargar el capacitor es igual a la carga total multiplicada por la diferencia de potencial promedio 1/2V durante el proceso de carga.

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Casi todas las aplicaciones prcticas de los capacitores aprovechan su capacidad para almacenar y liberar energa. Las propiedades de almacenamiento de energa de los capacitores tienen adems ciertos efectos prcticos indeseables.

Energa del campo elctrico Se puede cargar un capacitor trasladando electrones directamente de una placa a otra. Para ello es necesario realizar trabajo contra el campo elctrico existente entre las placas. De esta manera, se puede pensar que la energa est almacenada en el campo de la regin comprendida entre las placas. A fin de formular esta relacin, hallemos la energa por unidad de volumen en el espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con rea de placa A y separacin d. Llamaremos a esto densidad de energa, y la denotaremos como u. De acuerdo con la ecuacin la energa potencial almacenada total es 1/2CV2 y el volumen entre las placas es simplemente Ad; por tanto, la densidad de energa es:

De acuerdo con la ecuacin (24.2) la capacitancia C est dada por C = 0A/d. La diferencia de potencial V est relacionada con la magnitud del campo elctrico E segn V = Ed. Si empleamos estas expresiones en la ecuacin anterior, los factores geomtricos A y d se cancelan y se obtiene

Aunque hemos deducido esta relacin slo con respecto a un capacitor de placas paralelas, resulta ser vlida con respecto a cualquier capacitor en un vaco y, de hecho, a cualquier configuracin de campo elctrico en un vacio.

Dielctricos Casi todos los capacitores tienen un material no conductor, o dielctrico, entre sus placas conductoras. Una clase comn de capacitor emplea largas tiras de hoja metlica como placas, separadas por tiras de hoja de material plstico como el Mylar. La presencia de un dielctrico slido entre las placas de un capacitor tiene tres funciones. Primero, resuelve el problema mecnico de mantener dos lminas metlicas grandes separadas por una distancia muy pequea sin contacto efectivo. Segundo, el uso de un dielctrico aumenta la mxima diferencia de potencial posible entre las placas del capacitor. Cualquier material aislante, cuando se somete a un campo elctrico suficientemente grande, experimenta ruptura del dielctrico, una ionizacin parcial que permite la conduccin a travs de l. Muchos materiales dielctricos toleran campos elctricos ms intensos sin ruptura que el aire. Por esto, el uso de un dielctrico permite a un capacitor mantener una diferencia de potencial V ms grande y as almacenar mayores cantidades de carga y energa. Tercero, la capacitancia de un capacitor de dimensiones especficas es mayor cuando hay un material dielctrico entre las placas que cuando hay un vaco. La capacitancia original C0 est dada por C0 = Q/V0, y la capacitancia C con el dielctrico presente es C = Q/V. La carga Q es la misma en ambos casos, y Fes menor que V0; por tanto, se concluye que la capacitancia C con el dielctrico presente es mayor que C0. Cuando el espacio entre las placas est ocupado totalmente por el dielctrico, la proporcin de C a C0 (igual a la proporcin de V0 a V) recibe el nombre de constante dielctrica del material, K:

Cuando la carga es constante, Q = C0V0 = CV y C/C0 = VQ/V. En este caso, la ecuacin anterior se puede escribir de esta otra forma:

La constante dielctrica K es un nmero puro. Puesto que C siempre es mayor que C0, K siempre es mayor que la unidad. En el caso del vaco, K = 1 por definicin. Ningn dielctrico real es un aislador perfecto. En consecuencia, siempre hay cierta corriente de fuga entre las placas con carga de un capacitor con dielctrico.

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Carga inducida y polarizacin Cuando se inserta un material dielctrico entre las placas y se mantiene constante la carga, la diferencia de potencial entre las placas disminuye por un factor de K. Dado que la magnitud del campo elctrico es menor cuando el dielctrico est presente, la densidad de carga superficial (que crea el campo) tambin debe ser ms pequea. La carga superficial de las placas conductoras no cambia, pero aparece una carga inducida de signo opuesto en cada superficie del dielctrico (Fig. 24.13). El dielctrico era originalmente neutro, y lo sigue siendo; las cargas superficiales inducidas aparecen como resultado de una redistribucin de la carga positiva y negativa en el interior del material dielctrico, fenmeno que se conoce como polarizacin. Supondremos que la carga superficial inducida es directamente proporcional a la magnitud del campo elctrico E en el material; ste es en efecto el caso en muchos dielctricos comunes. Se puede deducir una relacin entre esta carga superficial inducida y las cargas de las placas. Denotemos como i la magnitud de la carga por unidad de rea inducida en las superficies del dielctrico (la densidad de carga superficial inducida). La magnitud de la densidad de carga superficial en las placas del capacitor es , como de costumbre. En tal caso la magnitud de la carga superficial neta en cada lado del capacitor es (- i), como se muestra en la figura 24.13b El campo entre las placas est relacionado con la densidad de carga superficial segn E = neta/0 . Sin y con el dielctrico, respectivamente, se tiene:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin y reorganizando el resultado, se encuentra que

Esta ecuacin muestra que, cuando K es muy grande, i, es casi tan grande como . En este caso, i cancela casi totalmente a , y el campo y la diferencia de potencial son mucho ms pequeos que sus valores en un vaco.

El producto K0 se conoce como la permitividad o capacitancia inductiva es-pecfica del dielctrico, la cual se denota como :

En trminos de , el campo elctrico dentro del dielctrico se expresa como

La capacitancia cuando el dielctrico est presente est dada por

Podemos repetir la deduccin de la ecuacin (24.11) con respecto a la densidad de energa u en un campo elctrico en el caso en el que est presente un dielctrico. El resultado es

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Ruptura del dielctrico Ya hemos mencionado que cuando se somete un material dielctrico a un campo elctrico suficientemente intenso, se produce una ruptura del dielctrico y el dielctrico se convierte en conductor. Esto sucede cuando el campo elctrico es tan intenso que arranca electrones de sus molculas y los lanza sobre otras molculas, con lo cual se liberan an ms electrones. Esta avalancha de carga en movimiento, que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse repentinamente. Debido a la ruptura del dielctrico, los capacitores siempre tienen voltajes mximos nominales. La magnitud mxima de campo elctrico que un material puede soportar sin que ocurra una ruptura se conoce como su resistencia dielctrica.

La Ley de Gauss y los dielctricos El anlisis de la seccin 24.4 se puede ampliar a fin de reformular la ley de Gauss en una forma que resulta particularmente til en el caso de los dielctricos. La figura 24.21 es un acercamiento de la placa izquierda del capacitor y de la superficie izquierda del dielctrico de la figura 24.13b. Apliquemos la ley de Gauss a la caja rectangular que se muestra en corte transversal mediante la lnea morada; el rea total de los lados izquierdo y derecho es A. El lado izquierdo est incrustado en el conductor que constituye la placa izquierda del capacitor; por tanto, el campo elctrico en todas las partes de esa superficie es cero. El lado derecho est incrustado en el dielctrico, donde la magnitud del campo elctrico es E, y EL = 0 en todos los puntos de los otros cuatro lados. La carga total encerrada, incluida tanto la carga de la placa del capacitor como la carga inducida en la superficie del dielctrico, es Qenc = (-i)A por tanto, la ley de Gauss da

Esta ecuacin no es muy esclarecedora tal como se muestra porque relaciona dos magnitudes desconocidas: E en el interior del dielctrico y la densidad de carga superficial inducida i . Pero ahora podemos aplicar la ecuacin

formulada para esta misma situacin, a fin de simplificar la ecuacin eliminando i . La ecuacin (24.16) es.

Combinando esto con la ecuacin (24.21) se obtiene

La ecuacin anterior afirma que el flujo de KE, no E, a travs de la superficie gaussiana de la figura 24.21 es igual al cociente de la carga libre encerrada A. entre e0. Resulta que, con respecto a cualquier superficie gaussiana, siempre que la carga inducida es proporcional al campo elctrico en el material, la ley de Gauss se puede escribir como

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Corriente elctrica Una corriente elctrica es todo movimiento de carga de una regin a otra. En las situaciones electrostticas el campo elctrico es cero y en todos los puntos del interior del conductor y no hay corriente. No obstante no quiere decir que estn en reposo dentro. En los elementos conductores se trasladan de un lado a otro y no escapan porque son atraidos a los iones (+). El movimiento es aleatorio, no hay flujo neto de cargas, entonces NO hay corriente. Campo E dentro de un conductor

Una partcula con carga esa sometida a una fuerza constante F=q.E. la partcula choca contra iones de gran masa cambiando su direccin. El efecto neto del campo elctrico E es que, adems del movimiento aleatorio de las partculas con carga den-tro del conductor, hay un movimiento neto muy lento, o deriva, del traslado de las partculas con carga, como grupo, en la direccin de la fuerza elctrica F = qE (Fig. 25.1). Este desplazamiento se describe en trminos de la velocidad de deriva vd de las partculas. En consecuencia, hay una corriente neta en el conductor. Por que se mueve tan rpido cuando se prende la luz? La razn es que el campo elctrico se establece en el alambre con una rapidez prxima a la de la luz, y los electrones comienzan a trasladarse a lo largo del alambre prcticamente todos al mismo tiempo.

El campo E realiza trabajo al trasladar las cargas. La energa cintica resultante se transfiere al material del conductor por medio de colisiones con los iones, los cuales vibran prximos a sus posiciones de equilibrio en la estructura cristalina del conductor. Esta transferencia de energa aumenta la energa promedio de vibracin de los iones y, por consiguiente, la temperatura del material. Es as que gran parte del trabajo realizado por el campo elctrico se invierte en calentar el conductor, no en hacer que las cargas en movimiento se trasladen cada vez ms rpidamente.

En los metales las cargas en movimiento siempre son electrones (-) y los huecos funcionan como (+). (+) a favor de E

(-) en contra de E

Definimos la direccin de la corriente, que se representa como /, como aquella en la que hay un flujo de carga positiva.

Definimos la corriente a travs del rea de seccin transversal A como la carga neta que fluye a travs del rea por unidad de tiempo. Por consiguiente, si una carga neta dQ fluye a travs de un rea en un tiempo dt, la corriente / a travs del rea es I dQ dt= (Definicin de corriente) (25.1) NO es un vector. Su unidad es [A] (Ampere) Coulomb x segundo.

Corriente, velocidad de deriva y densidad de corriente La corriente se puede expresar en la velocidad de deriva

( )d ddq q nAv dt nqv Adt= = Siendo dt: diferencial de tiempo, A: rea, vd: velocidad de deriva, q: carga, n: densidad de electrones libres. Densidad de corriente: /J I A=

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Si las cargas en movimiento son negativas en vez de positivas, como en la figura 25.2b, la velocidad de deriva es opuesta a E. Pero la corriente sigue teniendo la misma direccin que E en cada punto del conductor. Por consiguiente, la comente / y la densidad de corriente J no dependen del signo de la carga, y es por ello que en las expresiones anteriores de I y J sustituimos la carga q por su valor absoluto q :

dv J n q= La corriente continua circula siempre en el mismo sentido, mientras que en la corriente alterna I cambia constantemente

CUIDADO Dse cuenta que la densidad de corriente J es un vector, pero no la corriente /. La diferencia radica en que la densidad de corriente / describe cmo fluyen las cargas en un punto determinado, y la direccin del vector se refiere a la direccin del flujo en ese punto. En cambio, la corriente / describe cmo fluyen las cargas a travs de un objeto extenso, como un alambre.

Cuando hay distintas cargas, concentraciones y velocidades de deriva la corriente total I se halla sumando las corrientes debidas a cada clase de partcula con carga mediante la ecuacin (25.2). De la misma manera, la densidad de corriente vectorial total J se encuentra aplicando la ecuacin (25.4) a cada clase de partcula con carga y sumando los resultados.

25.2 Resistividad La densidad de corriente J de un conductor depende del campo elctrico E y de las propiedades del material. En general, esta dependencia puede ser muy compleja. Pero en el caso de ciertos materiales, en especial metales, a una temperatura dada, J es casi directamente proporcional a E, y la relacin de las magnitudes E y J es constante. Esta relacin, llamada ley de Ohm.

Cuanto ms grande es la resistividad, tanto mayor es el campo que se necesita para generar una densidad de corriente determinada, o tanto menor es la densidad de corriente generada por un campo dado. Unidades . .V m A m= . El conductor perfecto tiene resistividad cero.

El recproco de la resistividad es la conductividad. Sus unidades son ( ) 1.m . Los buenos conductores de electricidad tienen una conductividad ms grande que los aisladores. Malos conductores elctricos son los materiales cermicos y plsticos. Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las de los aisladores. Estos materiales son importantes en virtud de la manera en que la temperatura y la presencia de pequeas cantidades de impurezas influyen en su resistividad.

Un material-que obedece la ley de Ohm razonablemente bien se describe como un conductor hmico o un conductor lineal. En estos materiales, y a una temperatura dada, es una constante que no depende del valor de E. Muchos materiales muestran desviaciones importantes respecto al comportamiento que describe la ley de Ohm; son no afnicas o no lineales. En estos materiales, J depende de E de un modo ms complicado.

Resistividad y temperatura La resistividad de un conductor metlico casi siempre aumenta con la temperatura. En los semiconductores, la resistividad baja abruptamente a cero

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25.3 Resistencia

Si es constante, como en el caso de los materiales hmicos, entonces tambin lo es R. La ecuacin V = IR (relacin entre voltaje, corriente y resistencia) (25.11) suele identificarse con la ley de Ohm, pero es importante comprender que el verdadero contenido de la ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos materiales) de V con respecto a I o de J con respecto a E. La ecuacin (25.9) o la (25.11) definen la resistencia R de cualquier conductor, ya sea que obedezca la ley de Ohm o no, pero slo cuando R es constante es correcto llamar ley de Ohm a esta relacin. La resistencia tambin vara con la temperatura, cuando la variacin no es grande se usa la ecuacin 25.12.

25.4 Fuerza electromotriz y circuitos Para que un conductor tenga una corriente constante, debe ser parte de un camino que forme una espira cerrada o circuito completo. La razn es la siguiente. Si se establece un campo elctrico E1 adentro de un conductor aislado con resistividad p que no es parte de un circuito completo, comienza a fluir una corriente con densidad de corriente J = E1 / (Fig. 25.11a). En consecuencia, se acumula rpidamente una carga positiva neta en un extremo del conductor y una carga negativa neta en el otro extremo (Fig. 25.1 Ib). Estas cargas crean por s mismas un campo elctrico E2 en direccin opuesta a E1, lo cual hace disminuir el campo elctrico total y, por tanto, la corriente. En el trmino de una muy pequea fraccin de segundo, se acumula en los extremos del conductor la carga suficiente para que el campo elctrico total E = E1 + E2 = 0 adentro del conductor. Entonces tambin J = 0, y la corriente cesa totalmente (Fig. 25.11 c). As pues, no puede haber un movimiento constante de carga en un circuito incompleto como ste. Cuando una carga circula en un circuito cerrado.

Hay una disminucin de energa potencial cuando se desplazan cargas a travs de un material conductor ordinario con resistencia. Por tanto, debe haber alguna parte del circuito donde la energa potencial aumenta.

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Fuerza electromotriz() En este dispositivo una carga viaja "cuesta arriba", de menor a mayor energa potencial, a pesar de que la fuerza electrosttica intenta empujarla de mayor a menor energa potencial. La direccin de la corriente en un dispositivo de este tipo es de menor a mayor potencial, exactamente lo contrario de lo que ocurre en un conductor ordinario. La influencia que hace fluir corriente de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz (se abrevia fem). Energa por unidad de carga (1V=J/C)

Todo circuito completo con una corriente constante debe incluir algn dispositivo que suministre fem. Este dispositivo recibe el nombre de fuente de fem. La ideal se mantiene siempre constante. La fem es cuantitativamente la diferencia de potencial

La direccin del campo elctrico adentro del dispositivo es de a a b, como se muestra. Una carga q en el interior de la fuente experimenta una fuerza elctrica Fe =qE. Pero la fuente suministra adems una in-fluencia adicional, que representaremos como una fuerza no electrosttica Fn. Esta fuerza, que acta en el interior del dispositivo, empuja carga de b_ a a en una direccin "cuesta arriba" contra la fuerza elctrica Fe. De este modo Fn mantiene la diferencia de potencial entre los bornes. Si Fe no estuviese presente, fluira carga entre los bornes hasta que la diferencia de potencial fuera cero. El origen de la influencia adicional Fn depende de la clase de fuente.

Formemos ahora un circuito completo conectando un alambre de resistencia R a los bornes de una fuente (Fig. 25.14). La diferencia de potencial entre los bornes a y b establece un campo elctrico adentro del alambre; esto provoca un flujo de corriente alrededor de la espira de a hacia b, de mayor a menor potencial. Dse cuenta que, donde el alambre se dobla, persisten cantidades iguales de carga positiva y negativa en el "interior" y en el "exterior" del doblez. Estas cargas ejercen las fuerzas que obligan a la corriente a seguir los dobleces del alambre.

abV IR = =

Resistencia interna La razn es que la carga que se traslada a travs del material de cualquier fuente real encuentra resistencia. A sta se le conoce como la resistencia interna de la fuente, y se representa como r. Si esta resistencia se comporta de acuerdo con la ley de Ohm, r es constante e independiente de la corriente I. Conforme la corriente avanza a travs de r, experimenta una cada de potencial asociada e igual a Ir. I R r= + Para fuentes con resistencia interna.

El potencial Vab ,llamado tensin de bornes, es menor que la fem debido al trmino Ir que representa la cada de potencial a travs de la resistencia interna r.

Smbolos para diagramas de circuitos

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Fuente en cortocircuito /I r= porque 0abV Ir= = Situaciones donde las resistencias son hmicas. Si el circuito incluye un dispositivo no lineal, como un diodo (vanse las figuras 25.9b y 25.9c), la ecuacin (25.16) sigue siendo vlida pero no se puede resolver algebraicamente, porque R no es constante. En una situacin como sta, se puede hallar la comente / por medio de tcnicas numricas

Por ltimo, conviene sealar que la ecuacin abV Ir= (25.15) no es siempre una representacin adecuada del comportamiento de una fuente. La fem puede no ser constante, y lo que hemos descrito como una resistencia interna puede ser en realidad una relacin ms compleja de voltaje y corriente que no obedece la ley de Ohm.

25.5 Energa y potencia en circuitos elctricos En los circuitos elctricos lo que ms nos suele interesar es la rapidez con la que se entrega o se extrae energa a o de un elemento de circuito. Si la corriente a travs del elemento es /, entonces en un intervalo de tiempo dt una cantidad de carga dQ = I dt pasa a travs del elemento. El cambio de energa potencial que corresponde a esta cantidad de carga es Vab dQ = Vab I dt. Dividiendo esta expresin entre dt se obtiene la rapidez con la que se transfiere energa hacia adentro o hacia afuera del elemento de circuito. La relacin de transferencia de energa por unidad de tiempo es la potencia, que se representa mediante P; por tanto, escribimos

Resistencia pura La potencia pata una resistencia es

Todo resistor tiene una potencia nominal, la potencia mxima que el dispositivo puede disipar sin sobrecalentarse y sufrir daos. En las aplicaciones prcticas la potencia nominal de un resistor suele ser una caracterstica tan importante como su valor de resistencia.

Potencia salida de una fuente El punto a est a un potencial mayor que el punto b: por tanto Va > Vb y Vab es positiva. Dse cuenta que la corriente I sale de la fuente por el borne de mayor potencial (en vez de entrar por ah). Se est entregando energa al circuito externo, y la rapidez con la que se entrega al circuito est dada por la ecuacin (25.17):

P = Vab I En el caso de una fuente que se describe en trminos de una fem y una resistencia interna r, se puede emplear la ecuacin (25.15):

Vab = - Ir Multiplicando esta ecuacin por / se obtiene

P = Vab I = I - I2r (25.19)

I es la intensidad a la que se realiza trabajo sobre las cargas por el medio, cualquiera que ste sea, que genera la fuerza no electrosttica en la fuente. Este trmino representa la rapidez de conversin de energa no

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elctrica en energa elctrica dentro de la fuente. El trmino / 2r es la proporcin a la que se disipa energa elctrica en la resistencia interna de la fuente. La diferencia l-I2r es la potencia elctrica neta til de la fuente, esto es, la rapidez a la que la fuente entrega energa elctrica al resto del circuito.

Potencia de entrada a una fuente La corriente tiene direccin contraria, entonces se tiene, con respecto a la fuente superior, abV Ir= + y en vez de la ecuacin (25.19) se tiene 2abP V I I I R= = + (25.20)

En vez de que el agente que genera la fuerza no electrosttica de la fuente superior realice trabajo, se est realizando trabajo sobre el agente. En la fuente superior hay una conversin de energa elctrica en energa no elctrica en una proporcin de I. El trmino I 2r de la ecuacin (25.20) es una vez ms la rapidez a la que se disipa energa en la resistencia interna de la fuente superior, y la suma I +I2r es la potencia elctrica total de alimentacin a la fuente superior.

Captulo 26 Resistencia en serie La corriente es siempre la misma, la diferencia de potencial no siempre son iguales, pero la total es la suma de las individuales. La diferencia de potencial Vah entre los extremos de la combinacin en su totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales:

( )1 2 3ab ax xy ybV V V V I R R R= + + = + + y por tanto 1 2 3abV I R R R= + +

Por definicin, la proporcin Vab/ l es la resistencia equivalente Req. En consecuencia, 1 2 3eqR R R R= + + Es fcil generalizar esto a cualquier nmero de resistores:

1 2 3 ...eqR R R R= + + + (resistores en serie)(26.1)

La resistencia equivalente de cualquier nmero de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente es mayor que cualquiera de las resistencias individuales.

Resistencia en paralelo La Vab es siempre la misma, la I divide y queda: I=I1+I2+I3+ Entonces dado que:

1 1abI V R= 2 2abI V R= 3 3abI V R= En general, la corriente es diferente a travs de cada resistor. Puesto que no se acumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total / debe ser igual a las tres corrientes de los resistores:

( )1 2 3 1 2 31 1 1abI I I I V R R R= + + = + + o bien 1 2 31 1 1abI V R R R= + + Pero por definicin la resistencia equivalente Req, I/Vab=1/Req, de modo que 1 2 31 1 1 1eqR R R R= + + Tambin en este caso es fcil generalizar a cualquier nmero de resistores en paralelo:

1 2 31 1 1 1 ...eqR R R R= + + + (resistores en paralelo) (26.2) En el caso de cualquier nmero de resistores en paralelo, el recproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de os recprocos de sus resistencias individuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las resistencias individuales.

Reglas de Kirchhoff

Una unin de un circuito es un punto donde se encuentran tres o ms conductores. Las uniones tambin se conocen como nodos o puntos de derivacin. Una espira es cualquier camino conductor cerrado.

Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes: 1. Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las

corrientes en cualquier unin es cero. Es decir,

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2. Regla de Kirchhoff de las espiras: la suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, incluso las asociadas a la fem y las de elementos con resistencia, debe ser igual a cero, es decir

En los nudos, las corrientes que entran son (+) y las que salen (-) Para la ley de las espiras, cuando se recorre de (-) a (+) se considera positiva y cuando se recorre de (+) a