16 kgO2

Figura 4.2. La masa se conserva,inclusive, durante las reaccionesquímicas.

2 kgH2

18 kgH O2

4.4 CONSERVACIÓN DE LA MASA

El principio de conservación de la masa es uno de los principios másfundamentales de la naturaleza. Todos estamos familiarizados con esteprincipio y es fácil entenderlo Como dice el dicho: ¡no se puedeconservar un pastel y también comérselo! Una persona no tiene queser un científico para imaginarse cuánto aderezo de vinagre y aceite seobtendrá cuando se mezclan 100 g de aceite con 25 g de vinagre.Inclusive las ecuaciones químicas se balancean con base en elprincipio de conservación de la masa. Cuando 16 kg de oxígenoreaccionan con 2 kg de hidrógeno, se forman 18 kg de agua (Fig. 4.2).En un proceso electrolítico, el agua se separará de vuelta a 2 kg dehidrógeno y 16 kg de oxígeno.

La masa, como la energía, es una propiedad que se conserva y no sepuede crear ni destruir en el transcurso de un proceso. Sin embargo,según la conocida fórmula propuesta por Albert Einstein (1879-1955):

E = mc2 (4-3)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, la cual es c = 2.9979 x108 m/s, la masa m y la energía E se pueden convertir una en la otra.Esta ecuación sugiere que la masa de un sistema cambia cuando suenergía cambia. No obstante, para todas las interacciones en lapráctica, con excepción de las reacciones nucleares, el cambio en lamasa es en extremo pequeño y no se puede detectar, aun con losaparatos más sensibles. Por ejemplo, cuando se forma 1 kg de agua apartir de oxígeno e hidrógeno, la cantidad de energía liberada es de 15879 kJ, lo cual corresponde a una masa de 1.76 x -10 kg. Una masa deesa magnitud está más allá de la exactitud necesaria en, prácticamente,todos los cálculos de ingeniería y, en consecuencia, se puede descartar.

Para los sistemas cerrados, el principio de conservación de la masa seusa de manera implícita cuando se necesita que la masa del sistemapermanezca constante durante el proceso. Sin embargo, para losvolúmenes de control, la masa puede cruzar las fronteras y, porconsiguiente, se debe considerar la razón de la masa que entra y quesale del volumen de control.

Gastos de masa y de volumen

La cantidad de masa que fluye a través de una sección transversal porunidad de tiempo se llama razón de flujo de masa o simplemente

flujo másico y se denota por�

m . Se pone un punto sobre el símbolopara indicar razón de cambio respecto al tiempo.

Un fluido fluye hacia dentro o hacia fuera de un volumen de controlpor tubos o ductos. El gasto diferencial de masa de fluido que fluye através de un pequeño elemento de área, dAc (el subíndice correspondea la primera letra de la palabra inglesa cross-section), en una seccióntransversal de tubo es proporcional al propio dAc, a la densidad � delfluido y a la componente de la velocidad del flujo normal a dAc, lacual se denota como Vn, y se expresa como (Fig. 4.3):

cn dAVm �� ��

(4.4)

Note que se usan tanto � como d para indicar las cantidadesdiferenciales, pero, por lo general, � se usa para cantidades (comocalor, trabajo y transferencia de masa) que son funciones detrayectoria y tienen diferenciales inexactas, en tanto que d se usa paracantidades (como las propiedades) que son funciones de punto ytienen diferénciales exactas. Por ejemplo, para el flujo en el tuboexterior de radio interior rl y radio exterior r2 del ducto que consta dedos tubos concéntricos

� �21

2212

2

1 c rrAAdA cc ���� pero total

2

1

��

� mm� (razón de flujo de

masa total en el tubo exterior), no 2

�

m - 1

�

m . Para valores especificadosde r1 y r2, el valor de la integral de dAc es fijo (de allí provienen losnombres de función de punto y diferencial exacta), pero éste no es el

caso para la integral de�

m� (de ahí provienen los nombres de funciónde trayectoria y diferencial inexacta).

La razón de flujo de masa que cruza toda el área de la seccióntransversal de un tubo o de un ducto se obtiene por integración:

����

cccn

AAdAVmm �� (kg/s) (4.5)

No obstante que la ecuación 4.5 siempre es válida (de hecho, esexacta), no siempre es práctica para los análisis de ingeniería porqueimplica integrar. En lugar de ello, resultaría conveniente expresar larazón de flujo de masa en términos de valores promedios sobre unasección transversal del tubo. En un flujo compresible general, tanto �como Vn varían de uno a otro lado del tubo. Sin embargo, en muchasaplicaciones prácticas, la densidad es esencialmente uniforme sobre lasección transversal del tubo y se puede extraer � de la integral de laecuación 4.5. Pero la velocidad nunca es uniforme sobre una seccióntransversal de un tubo debido a la condición de no deslizamiento enlas paredes. Más bien, la velocidad varía desde cero en las paredeshasta algún valor máximo en la línea central del tubo o cerca de éste.

VndAc

Superficie de control

Figura 4.3. La velocidad normalpara una superficie es la componentede la velocidad perpendicular aesa superficie

Vn

V

n

Se define la velocidad promedio Vprom como el valor promedio de Vn através de toda la sección transversal del tubo (Fig. 4.4):

Velocidad promedio: Vprom = c

cnc

1A

dAVA

(4.6)

donde Ac es el área de la sección transversal normal a la dirección delflujo. Note que si la magnitud de la velocidad fuera Vprom en toda lasección transversal, el gasto de masa sería idéntico al que se obtienecuando se integra el perfil real de velocidad. De donde, para el flujoincompresible o inclusive para el flujo compresible para el cual � seauniforme a lo largo de Ac, la ecuación 4.5 queda:

cprom AVm ���

(kg/s) (4.7)

Para el flujo compresible se puede concebir � como la densidadpromedio sobre la sección transversal y entonces, no obstante, se usala ecuación 4.7 como una aproximación razonable. Por sencillez, seelimina el subíndice de la velocidad promedio. A menos que seindique lo contrario, V denota la velocidad promedio en la direccióndel flujo. Asimismo, Ac denota el área de la sección transversal normala la dirección del flujo.

El volumen del fluido que fluye a través de una sección transversal porunidad de tiempo se llama razón de flujo volumétrico o gastovolumétrico o simplemente flujo volumétrico qv (Fig. 4.5) y se da por:

ccpromc cn VAAVdAVqA

v ��� (m3/s) (4.8)

En 1628, el monje italiano Benedetto Castelli (1577-1644) publicó unaprimera forma de la ecuación 4.8. Note que en muchos textos demecánica de fluidos se usa Q en lugar de qv para el gasto volumétrico.Aquí se usa qv para evitar confusión con la transferencia de calor

Las razones de flujo de masa y de volumen están relacionadas por:

�� v

v

qqm ��

�

(4.9)

Donde � es el volumen específico. Esta relación es análoga a m = �VV

= VV /�, la cual es la relación entre la masa y el volumen de un fluidoen un recipiente.

Figura 4.4. La velocidad promediose define como la magnitud promediode la velocidad de uno a otro lados deuna sección transversal.

Vprom

Vprom

Figura 4.5. El gasto volumétricoes el volumen de fluido que fluyea través de una seccióntransversal por unidad de tiempo

Sección transversal

Vprom

q V Av = prom c

Ac

Principio de conservación de la masa

Este principio para un volumen de control se puede expresar como: la

transferencia neta de masa hacia dentro un volumen de control, o

hacia fuera de éste durante un intervalo t es igual al cambio neto

(aumento o disminución) en la masa total que está dentro de ese

volumen en el transcurso de t; es decir:

���

����

�

����

����

�

����

�

dentroestáquemasa

durantenetoCambio

ΔduranteVCdel

salequetotalMasa

ΔduranteVCal

entraquetotalMasa

tt

o

VCsalent mmm ����

(kg) (4.10)

donde inicialfinalVC mmm �� �

es el cambio en la masa del volumen de

control durante el proceso (Fig. 4.6). Esto también se puede expresaren la forma de razón como:

dt

dmmm VC

salent ����

(kg/s) (4.11)

donde salent y��

mm son las razones totales de flujo de masa hacia dentroy hacia fuera del volumen de control, y dmVC / dt es la razón decambio de la masa que está dentro de las fronteras de ese volumen.Con frecuencia, se hace mención de las ecuaciones 4.10 y 4.11 comoel balance de masa y son aplicables a cualquier volumen de controlque pase por alguna clase de proceso.

Considere un volumen de control de forma arbitraria, como se muestraen la figura 4.7. La masa de un volumen diferencial dVV que estédentro del volumen de control es dm = �dVV. Por integración sedetermina que la masa total dentro del volumen de control encualquier instante t es:

Masa total dentro del VC: �VCVC VdVm � (4.12)

Entonces la razón de cambio de la cantidad de masa dentro delvolumen de control se puede expresar como:

Razón de cambio de la masad entro del VC:

�VC

VCVdV

dt

d

dt

dm� (4.13)

Figura 5.6. Principio de conservaciónde la masa para una tina común de baño.

dVV

dm

dA

Volumen decontrol (VC)

Superficie de control (SC)

Figura 4.7. Volumen diferencial de control,, y superficie diferencial de control, ,

usados en la deducción de la relación deconservación de la masa.

dV dAV

n

V

Para el caso especial en el que nada de masa cruza la superficie decontrol (es decir, el volumen de control semeja un sistema cerrado), elprincipio de conservación de la masa se reduce al de un sistema que sepuede expresar como dmVC/dt = 0. Esta relación es válida si elvolumen de control está fijo, en movimiento o deformándose.

Considérese ahora el flujo de masa hacia fuera o hacia dentro delvolumen de control a través, de un área diferencial dA sobre lasuperficie de control de un volumen fijo. Sea n

�

el vector unitario

hacia fuera de dA, normal a ésta, y V�

la velocidad del flujo en dA enrelación con un sistema fijo de coordenadas, como se muestra en lafigura 4.7. En general, la velocidad puede cruzar dA y forma un ángulo� con el normal de ésta y la razón de flujo de masa es proporcional a la

componente normal de la velocidad �nV�

�cosV�

que va desde un

flujo máximo hacia fuera con velocidad V�

para � = 0 para (el flujo esnormal a dA), pasando por un mínimo de cero, para � = 90º (el flujo es

tangente a dA), hasta un flujo máximo hacia dentro con velocidad V�

;para � = 180º (el flujo es normal a dA, pero en dirección opuesta).Cuando se aplica el concepto del producto punto de dos vectores, lamagnitud de la componente normal de la velocidad se puede expresarcomo:

Componente normal de la velocidad:

nVVV�

�

��� �cosn (4.14)

La razón de flujo de masa a través de dA es proporcional a la densidaddel fluido �, a la velocidad normal Vn y al área de flujo dA, y se puedeexpresar como:

Razón diferencial de flujo de masa:

� � � �dAnVdAVdAVm�

�

�����

����� cosn (4.15)

La razón neta de flujo de masa hacia adentro o hacia afuera delvolumen de control a través de la superficie completa de control se

obtiene cuando se integra�

m� sobre esa superficie completa decontrol:

La razón neta de flujo de masa:

� � ����

SC SCnneto dAnVdAVm�

�

�� (4.16)

Note que �cosVnV ���

�

es positiva para � < 90° (flujo hacia fuera) ynegativa para � > 90° (flujo hacia dentro). Por lo tanto, se toma encuenta de manera automática la dirección del flujo y la integral de laecuación 4.16 da directamente la razón neta de flujo de masa. Un valor

positivo para neto

�

m indica flujo neto hacia fuera y uno negativo indicaflujo de masa neto hacia dentro.

Si se reordena la ecuación 4.11 como 0/ entsalCV �����

mmdtdm ,

entonces se puede expresar la relación de conservación de la masapara un volumen fijo de control como:

Conservación general de la masa:

� � 0VC SC

��� dAnVdVdt

dV

�

�

�� (4.17)

Ésta expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa

que está dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de

masa a través de la superficie de control es igual a cero.

También se puede deducir la relación general de conservación de lamasa para un volumen de control con la aplicación del teorema deltransporte de Reynolds (RTT, por sus siglas en inglés) cuando se tomala propiedad B como la masa m (Tema 4.3). Entonces se tiene � = 1,ya que cuando se divide la masa entre la masa para obtener lapropiedad por unidad de masa da la unidad. Asimismo, la masa de unsistema es constante y su derivada respecto al tiempo es cero. Es decirdmsist / dt = 0. Entonces la ecuación del transporte de Reynolds sereduce de inmediato a la ecuación 4.17, como se muestra en la figura4.8 y de este modo se ilustra que el teorema del transporte deReynolds en verdad es un recurso muy poderoso.

Cuando se divide la integral de superficie de la ecuación 4.17 en dospartes una para las corrientes salientes de flujo (positiva) y otra paralas entrantes (negativa) la relación general de conservación de la masatambién se puede expresar como:

0VC A nA n ��� ��

entsal

V dAVdAVdVdt

d��� (4.18)

donde A representa el área para una entrada o una salida, y se usa elsigno de suma para subrayar que deben considerarse todas las entradasy salidas. Si se usa la definición de razón de flujo de masa, la ecuación4.18 también se puede expresar como:

Figura 4.8. La ecuación de conservaciónde masa se obtiene cuando se reemplaza

en el teorema de transporte deReynolds por la masa y por 1( por unidad de masa = / = 1)

B

mm m m

�

����

��VC

entsal

V mmdVdt

d� o ��

��

��entsal

VC mmdt

dm(5.1 9)

Se tiene una flexibilidad considerable en la selección de un volumende control cuando se resuelve un problema. Varias elecciones de estevolumen pueden ser correctas, pero algunas son más convenientespara trabajar. Un volumen de control no debe de introducircomplicaciones innecesarias. La elección apropiada de un volumen decontrol puede hacer que la resolución de un problema aparentementecomplicado sea más bien fácil. Una regla sencilla cuando se seleccionaun volumen de control es hacer que la superficie de control sea normalal flujo en todos los lugares en donde se cruce con ese flujo del fluido

siempre que sea posible. De esta manera, el producto punto nV�

�

� seconvierte, simplemente, en la magnitud de la velocidad y la integral

� �dAnVA �

�

�

� se vuelve en �VA (Fig. 4.9).

Volúmenes de control en movimiento o en deformación

Las ecuaciones 4.17 y 4.18 también son válidas para volúmenes decontrol en movimiento y en deformación, siempre que se reemplace la

velocidad absoluta V�

por la velocidad relativa rV�

, la cual es lavelocidad del fluido con relación a la superficie de control. En el casode un volumen de control que no esté deformando, la velocidadrelativa es la velocidad del fluido que observa una persona enmovimiento con el volumen de control y se expresa como

VCr VVV���

�� , en donde V�

es la velocidad del fluido y VCV�

es la

velocidad del volumen de control, ambas en relación con un punto fijoen el exterior. Una vez más, note que ésta es una sustracción vectorial.

En algunos problemas prácticos (como la inyección de unmedicamento a través de la aguja de una jeringa por el movimientoforzado del émbolo) intervienen volúmenes de control endeformación. Todavía se pueden usar las relaciones de conservaciónde la masa desarrolladas para esos volúmenes siempre que lavelocidad del fluido que cruza una parte en deformación de lasuperficie de control se exprese en relación con ésta (es decir, lavelocidad del fluido se debe expresar en relación con un marco dereferencia sujeto a la parte en deformación de la superficie de control).En este caso, la velocidad relativa en cualquier punto sobre la

superficie de control se expresa como SCr VVV���

�� , en donde SCV�

es la

velocidad local de esa superficie de control en ese punto en relacióncon un punto fijo en el exterior del volumen de control.

A

V

V Vn = cos �

A/cos�

�

m = ( cos )( /cos ) =� � � �V A VA.

n

V

a) Superficie de control formandoun ángulo con el flujo.

nV

VA

m = �VA.

b) Superficie de control normal al flujo

Figura 4.9. Siempre debe seleccionarseuna superficie de control normal al flujoen todos los lugares donde se cruce conese flujo del fluido, para evitarcomplicaciones, aun cuando el resultadosea el mismo.

Balance de masa para procesos de flujo estacionario

En el transcurso de un proceso de flujo estacionario, la cantidad totalde masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con eltiempo (mVC = constante). Entonces el principio de conservación de lamasa exige que la cantidad total de masa que entra en un volumen decontrol sea igual a la cantidad total de masa que sale de él. Porejemplo, para la boquilla de una manguera de jardín en operaciónestacionaria, la cantidad de agua que entra a la boquilla por unidad detiempo es igual a la cantidad de agua que sale de ella por unidad detiempo.

Cuando se trata con procesos de flujo estacionario no se tiene interésen la cantidad de masa que fluye hacia fuera o hacia dentro de undispositivo en un transcurso de tiempo; en lugar de ello, se tieneinterés en la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo; esdecir, la razón de flujo de masa m. El principio de conservación de lamasa para un sistema general de flujo estacionario con entradas ysalidas múltiples se puede expresar en la forma de razón como (Fig.4.10):

Flujo estacionario: ����

�salent

mm (kg/s) (4.20)

Ésta expresa que la razón total de masa que entra en un volumen de

control es igual a la razón total de masa que sale de él.

Numerosos dispositivos de ingeniería, como toberas, difusores,turbinas, compresores y bombas, forman una sola corriente (sólo unaentrada y una salida).

Para estos casos se denota el estado de entrada por el subíndice 1 y elde salida por el subíndice 2, y se eliminan los signos de suma.Entonces la ecuación 4.20 se reduce, para sistemas de flujoestacionario con una sola corriente a:

Flujo estacionario (una sola corriente):

22211121 AVAVmm �� �����

(4.21)

Caso especial: flujo incompresible

Las relaciones de conservación de la masa se pueden simplificartodavía más cuando el fluido es incompresible, el cual suele ser el casopara los líquidos. Cuando se cancela la densidad en ambos miembrosde la relación general del flujo estacionario da:

m1 = 2 kg/s

m3 1 2= m + m = 5 kg/s

m2 = 3 kg/s

.

.

.

. .

VC

Figura 4.10. Principio de conservaciónde la masa para un sistema de flujoestacionario con dos entradas yuna salida.

Flujo estacionario e incompresible:

�� �salent

vv qq (m3/s) (4.22)

Para sistemas de flujo estacionario con una sola corriente queda:

Flujo estacionario e incompresible (una sola corriente):qv1 = qv2 � V1A1 = V2A2 (4.23)

Siempre se debe tener presente que no existen cosas como principio de"conservación del volumen". Por lo tanto, los gastos volumétricoshacia dentro y hacia fuera de un aparato pueden ser diferentes. Elgasto volumétrico a la salida de un compresor de aire es mucho menorque el que se tiene en la admisión, aun cuando la razón de flujo demasa de aire a través del compresor es constante (Fig. 4.11). Esto sedebe a la densidad más alta del aire a la salida del compresor. Sinembargo, para el flujo estacionario de líquidos, los gastosvolumétricos, así como los de masa, permanecen constantes, ya quelos líquidos son esencialmente sustancias incompresibles (de densidadconstante). El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardínes un ejemplo de este último caso.

El principio de conservación de la masa se basa en observacionesexperimentales y exige tomar en cuenta toda pequeña porción de masadurante el transcurso de un proceso. Si el lector puede verificar elsaldo de su chequera (mantener al día los depósitos y disposiciones o,sencillamente, si observa el principio de "conservación del dinero"),no debe tener dificultades en aplicar el principio de conservación de lamasa a los sistemas de ingeniería.

EJEMPLO 4.4.1 Flujo de agua por la boquilla de una manguerade jardín

Se usa una manguera de jardín que tiene una boquilla de riego parallenar una cubeta de 10 ga1. El diámetro de la manguera es de 10 cm yse reduce hasta 0.8 cm, en la salida de la boquilla (Fig. 4.12). Sitranscurren 50 s para llenar la cubeta con agua, determine a) lasrazones de flujo volumétrico y de masa del agua que pasa por lamanguera y b) la velocidad promedio del agua a la salida de laboquilla.

SOLUCIÓN Se usa una manguera de jardín, para llenar una cubetacon agua. Se deben determinar, las razones de flujo volumétrico y demasa y la velocidad a la salida.

m

q1

1

= 2 kg/s= 1.4 m /sv

3

Compresorde aire

m

q2

2

= 2 kg/s= 0.8 m /sv

3

Figura 4.11. Cuando transcurre unproceso de flujo estacionario, losgastos volumétricos no se conservannecesariamente, aun cuando sí seconserven los flujos de masa.

Figura 4.12. Esquema para elejemplo 4.4.1

Hipótesis 1 El agua es una sustancia incompresible. 2 El flujo por lamarguera es estacionario. 3 No hay desperdicio de agua porsalpicadura.Propiedades Se toma la densidad del agua como 1000 kg/m3 = 1 kg/L.Análisis a) Note que se descargan 10 gal de agua en 50 s, las razonesde flujo volumétrico y de masa son:

L/s757.0gal1

L7854.3

s50

gal10���

�

����

��

�

t

Vq V

v

� �� � kg/s757.0L/s757.0kg/L1 ����

vqm �

b) El área de la sección transversal de la salida de la boquilla es:

Ae = r2 = (0.4 cm)2 = 0.5027 cm2 = 0.5027 x 10-4 m2

El gasto volumétrico por la manguera y por la boquilla es constante;entonces, la velocidad promedio del agua en la salida de la boquillaqueda:

m/s1.15L1000

m1

m10x0.5027

L/s757.0 3

24-e

e ����

����

���

A

qV v

Discusión Se puede demostrar que la velocidad promedio en lamanguera es de 2.4 m/s. Por lo tanto, la boquilla aumenta la velocidaddel agua en más de seis veces.

EIEMPLO 4.4.2 Descarga de agua de un tanque

Un tanque cilíndrico de agua con 4 ft de alto y 3 ft de diámetro cuyaparte superior está abierta a la atmósfera está al principio lleno conagua. Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca de1 fondodel tanque cuyo diámetro es de 0.5 in y un chorro de agua se viertehacia fuera (fig. 5.13). La velocidad promedio del chorro se da por

ghV 2� en donde h es la altura del agua en el tanque medida desde

el centro del agujero (una variable) y g es la aceleración gravitacional.Determínese cuánto tiempo transcurrirá para que el nivel del agua enel tanque descienda hasta 2 ft, medido desde el fondo.

SOLUCIÓN Se quita el tapón cercano al fondo de un tanque de agua.Se debe determinar el tiempo que tarda en descargarse la mitad delagua que está en el tanque.

Hipótesis 1 El agua es una sustancia incompresible. 2 La distanciaentre el fondo del tanque y el centro del agujero es despreciable en

Dtanque

Dchorro

h2h

h0

Agua

Aire

Figura 4.13. Esquema parael ejemplo 4.4.2

comparación con la altura total del agua. 3 la aceleración gravitatoriaes de 32.2 ft/s2.Análisis Se toma el volumen ocupado por el agua cómo el volumen decontrol. En este caso, decrece el tamaño de este volumen, conforme elnivel del agua desciende y, donde éste es un volumen de controlvariable (también se pudo tratar esto como un volumen fijo, decontrol, que consiste en el volumen interior del tanque descartando elaire que remplaza el espacio que deja vacío el agua). Es obvio que esun problema de flujo no estacionario, ya que las propiedades (como lacantidad de masa) en el interior del volumen de control cambian con eltiempo.

La relación de conservación de la masa para un volumen de controlque pasa por cualquier proceso se da en la forma de razón como:

dt

dmmm VC

salent ����

(1)

En el transcurso de este proceso nada de masa entra al volumen de

control ���

��� �

�

0entm , y el gasto de masa del agua descargada se puede

expresar como:

� � chorroAghVAm 2salsal �� ���

(2)

donde Achorro = D2

chorro/4 es el área de la sección transversal delchorro, el cual es constante. Nótese que 1a densidad del agua esconstante, la masa del agua en el tanque es cualquier instante es:

hAVm V chorroVC �� �� (3)

Donde Atanque = D2

tanque/4 es el área de la base del tanque cilíndrico.Si se sustituyen las ecuaciones 2 y 3 en la relación de balance de masa(ecuación 1) da:

� �dt

dhD

Dgh

dt

hAdAgh

���

����

�

����

����

�����

4

422

2chorro

2chorrotanque

chorro

�

�

��

Cuando se cancelan las densidades y otros términos comunes, y seseparan las variables, da:

���

����

���

gh

dh

D

Ddt

22chorro

2tanque

Se integra t = 0, en el cual h = h0, hasta t = t, en el cual h = h2, da:

min12.6s757in0.5

in12x3

ft/s2/2.32

ft2ft42

2���

�

���

���t

Por lo tanto, se vaciará la mitad del tanque en 12.6 min después dequitar el tapón del agujero de descarga.

Discusión: Se usa la misma relación, con h2 = 0 da t = 43.1 min paraque se descargue toda la cantidad de agua que está en el tanque. Por lotanto, se necesita más tiempo para vaciar la mitad de abajo del tanqueque vaciar la mitad de arriba. Esto se debe a la disminución en lavelocidad promedio de descarga del agua, cuando decrece h.