Libre t a: il_gabo22's libreta

Cre ado : 22/10/2012 10:01 p.m. Ac t ualizado: 21/09/2014 11:16 a.m.

Et ique t as: factorizacin, gauss, polinomios

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Factorizacin de Polinomios

Tcnicas de Factorizacin

1. Factor comn: consiste en extraer factores repetidos en cada termino.

por ejemplo 2x2 + 4x = 2x.x + 2x.x = 2x . (x + 2)

1. Factor comn en grupos: consiste en detectar grupos y dentro de cada grupo tomar

factor comn, para luego tomar nuevamente factor comn

Ejemplos: a) x4 + 2x3 + x + 2 = x3 (x + 2) + (x + 2) = (x3 + 1)(x + 2)

b) x4 - 2x3 - x + 2 = x3 (x - 2) - (x - 2) = (x3 - 1) (x - 2) Ejercicio 4

Ejercicio 5

2. Diferencia de cuadrados: consiste en utilizar la identidad x2 - a2 = (x - a).(x + a)

La identidad expresa dos maneras de efectuar el clculo del rea de la figura:

Ejemplos: a) (x2 - 4) = (x - 2).(x + 2)

b) (9x2 - 16) = (3x - 4).(3x + 4)

c) (-x2 + 2) = (-1).(x2 - 2) = (-1).( x - sqrt(2) ).(x + sqrt(2) ) Ejercicio 6

3. Cuadrado de un Binomio: consiste en utilizar la identidad (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 . Al trinomio del miembro derecho se lo llama trinomio cuadrado perfecto

La identidad se obtiene al calcular el rea de la siguiente figura:

Ejemplos: a) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 c) -4x2 + 6x -9 = (-1).(4x2 - 6x + 9) = (-1).(2x -

3)2

Ejercicio 7

4. Frmula Resolvente: Es una frmula para calcular las races, si existen, de polinomios de grado 2. Si el polinomio es P(x) = ax2 + bx + c entonces las

races se calculan efectuando el clculo notar que son dos las posibles races ya que podemos hacer la cuenta con + o con -

Ejercicio 8

Gabriel QualizzaHighlight

Gabriel QualizzaRectangle

Gabriel QualizzaHighlight

Gabriel QualizzaHighlight

5. Teorema de Gauss: Este teorema aporta un mtodo para calcular las posibles races racionales de un polinomio con

coeficientes enteros. En general se utiliza con polinomios de grado mayor a 3.

El mtodo consiste en calcular:

1 - Los divisores positivos del trmino independiente, los llamamos p

2 - Los divisores positivos del coeficiente principal, los llamamos q

3 - Las posibles races racionales son de la forma p/q , es decir los resultados de todas las posibles divisiones entre un divisor del trmino independiente y un divisor del coeficiente principal . Notar que pueden ser muchas posibilidades y tendremos que probar una por una para ver cual es raz.

Ejemplo: Si P(x) = 2 x3- 14x + 12 El teorema me dice que p = 1 , o 2 , o 3 , o 4, o 6, o 12 y q = 1 , o 2

Luego las posibles races racionales son: p/q = 1 , o 2 , o 3 , o 4, o 6 , o 1/2 , o 3/2

Ahora calculando el valor numrico para cada valor concluimos que 1 , 2 y -3 son las races del polinomio

por lo tanto P(x) = 2 . (x + 3) (x - 1) (x - 2)

Ejercicios 9

Observacin:

No todos los polinomios tienen races. Por ejemplo x - x +1 no tiene basta con hacer la frmula resolvente (hacer la cuenta)

En gral. todo los polinomios de grado 1 tienen 1 raz pero si el polinomio tiene grado mayor a 1 puede no tener algunas races.

Casos Mixtos :

Algunos polinomios no tienen tantas races como su grado indique por ejemplo P(x) = x - 1 Si usamos es teorema de Gauss obtenemos que solamente 1 es raz. Y ahora, la pregunta sera cmo es la forma factorizada de este polinomio?Bueno, para empezar como 1 es raz sabemos que P(x) es divisible por (x - 1) y por lo tanto si efectuamos la divisin, con la regla de Ruffini, obtenemos que:

| 1 0 0 -11| 1 1 1 |----------------- 1 1 1 0 El cociente es x + x + 1

Luego por el teorema del Resto P(x) = (x-1)(x + x + 1) ahora si puedo factorizar el polinomio (x + x + 1) termino de factorizar la expresin de P(x)Como es un polinomio de grado dos para obtener las races puedo utilizar la frmula resolvente concluyendo as que no tiene races.Por lo tanto el polinomio P(x) factorizado queda as : P(x) = (x-1)(x + x + 1)

Ejercicio 10

Guia_Unidad4_Factorizacin_Po...