Revisi´on de la teor´ıa de perturbaciones en Relatividad General

7/24/2019 Revision de la teora de perturbaciones en Relatividad General

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REVISION REVISTA MEXICANA DE FISICA57 (4) 276303 AGOSTO 2011

Revision de la teora de perturbaciones en Relatividad General

A. Javier

Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autonoma de M exico

M exico, D.F. 04510, M exico,

C3 Centro de Ciencias de la Complejidad, Universidad Nacional Aut onoma de M exico,

Torre de Ingenier a, Circuito Exterior S/N Ciudad Universitaria, M exico D.F. 04510, M exico,

e-mail: [email protected]

Recibido el 4 de febrero de 2011; aceptado el 19 de mayo de 2011

Se inicia el artculo con una discusion sobre el porque de la dificultad de aplicar la teora de perturbaciones a la Relatividad General. Se

presenta una revision de los diversos enfoques sobre la teora de perturbaciones en Relatividad General, a saber: el formalismo Invariante de

Norma (Gauge Invariant), la teora 1+3 Covariante-Invariante de Norma (1+3 Covariant Gauge Invariant) y el enfoque estandar de fijar una

norma (Gauge Fixing). Se desarrolla a detalle el enfoque Invariante de Norma, debido a que a diferencia de los otros dos enfoques, ya que

cuenta con varias ventajas, entre las cuales se pueden mencionar que permite hacer desarrollos a ordenes perturbativos mayores al primero

de una manera algortmica, que aplica a teoras a las cuales se les exija que cumplan con el principio de covariancia general, y que puede

aplicarse mas de un parametro perturbativo. Aunque este metodo es muy general, a manera de ejemplo se aplica a Cosmologa.

Descriptores: Relatividad general; teora perturbativa; cosmologa.

This work presents a review of the different approaches for perturbation theory in General Relativity: the Gauge Invariant formalism, the

1+3 Covariant Gauge Invariant theory and the traditional gauge fixing method. In particular, this review focuses in the Gauge Invariantformalism, due to it has a broader applicability (it applies not only to General Relativity but, to any theory that must fulfill the principle

of general covariance) than the other two formalisms and because it has an algorithmic method for calculate the invariant variables to

perturbation orders larger than the linear one. The article includes too, a brief discussion about the root of the problem of gauge-invariance

in the perturbation theory in General Relativity. To help the reader, this last approach is applied to the cosmological scenario.

Keywords: General relativity; pertubation theory; cosmology.

PACS: 04.20.-q; 04.20.Cv; 04.25.Nx

1. Introduccion

La teora de Relatividad General es conceptualmente sencilla

y particularmente elegante, pero presenta en la practica difi-

cultades que tienen su raz en que las ecuaciones de campo

de Einstein (ECE) forman un sistema no-lineal acoplado de

10 ecuaciones diferenciales parciales en cuatro dimensiones,

por lo tanto, la mayora de los problemas que se estudian en

la teora de Relatividad General son difciles o imposibles de

solucionar de manera exacta.

Una de las estrategias populares en la fsica para resolver

problemas complicados es utilizar un analisis perturbativo al-

rededor de una solucion conocida. En la teora de Relatividad

General, sin embargo, el analisis perturbativo posee varias su-

tilezas que no comparten otras areas de la fsica. Estas sutile-

zas surgen en Relatividad General debido al principio de co-

variancia general y al caracter dinamico del espacio-tiempo:en Relatividad General ademas de perturbar los campos de

materia es necesario perturbar la metrica del espacio-tiempo;

pero, debido a la covariancia intrnseca de la teora, es posi-

ble, perturbar las componentes de la metrica de una manera

en la que se deforme el sistema de coordenadas sin afectar la

fsica subyacente al espacio-tiempo, esto tendra como conse-

cuencia la aparicion de informacion ficticia (debida a la de-

formacion del sistema coordenado y no al fenomeno en s)

sobre el fenomeno fsico estudiado. En este artculo tratare-

mos de elucidar el papel de este principio y revisaremos tres

propuestas hechas en la literatura para establecer una teora

perturbativa de Relatividad General que permita solucionar

problemas de una manera confiable.

La teora perturbativa de Relatividad General se apli-ca actualmente en diferentes problemas como lo son Rela-

tividad Numerica (aparece por ejemplo en el planteamien-

to de las condiciones de frontera perturbadas Perturbative

Boundary Conditions[1,2], un ejemplo de estas tecnicas es

el Cauchy-perturbative matching [3]) , el estudio de ondas

gravitacionales [4], el analisis de la dinamica en espacios-

tiempos (cuerpos extendidos, movimiento cerca de agujeros

negros [5,6], auto-fuerzas [7-9], problema de los tres cuer-

pos [10,11], etc.), el estudio del problema de los prome-

dios [12-14] o el analisis de la formacion de estructura en

cosmologa [15-19].

En esta revision se estudiaran las diferencias que existenen el analisis perturbativo de Relatividad General respecto al

de otras disciplinas de la fsica y el origen de esta discrepan-

cia (Sec. 2) y se expondra de una manera formal el problema

y su tratamiento para el desarrollo de una teora de pertur-

baciones en Relatividad General (Sec. 3). Finalmente se pre-

sentaran los tres principales enfoques conocidos para hacer el

analisis perturbativo (Sec. 5), dandoleenfasis a la teora inva-

riante de norma expuesta principalmente por Kouji Nakamu-

ra, [por ejemplo ver Ref. 20] (Sec. 6). A lo largo del ensayo se

estara usando como ejemplo la metrica de Roberston-Walker


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REVISION DE LA TEORIA DE PERTURBACIONES EN RELATIVIDAD GENERAL 277

de los Universos de Friedmann-Lematre con un campo es-

calar (presentada en la Sec. 4). La eleccion de un modelo

cosmologico para el estudio de teora de perturbaciones se

debe a dos motivos, el primero es una conveniencia de calcu-

lo, ya que las simetras de este espacio-tiempo simplifican los

calculos que se mostraran, segundo, la Cosmologa de preci-

sion [21,22] es actualmente un tema candente en la fsica por

lo cual este trabajo podra servir de apoyo o referencia al lec-tor al revisar la bibliografa cosmologica.

En esta revision se elegiran unidades en las quec = 1, lametrica tendra la signatura( + + +)y se seguira la nota-cion abstracta de ndices y las definiciones del tensor de Rie-

mann dadas por Wald en Ref. 4. Los ndices latinos (i,j,k,etc). Indican componentes espaciales mientras que los grie-

gos (,,etc.) representan las cuatro componentes espacio-temporales.

2. Relatividad General y el principio de cova-

riancia general

La teora de Relatividad General es conceptualmente sencilla

y se puede resumir en pocas palabras citando [23] el famoso

adagio El espacio le dice a la materia como moverse y la

materia le dice al espacio como curvarse [58], o de una ma-

nera mas formal: El espacio-tiempo es una variedad M, en

la cual esta definida una metrica Lorentziana gab. La curvatu-ra degabesta relacionada con la distribucion de materia en elespacio-tiempo mediante las ecuaciones de Einstein (ECE)

[4, pag. 73]. La metrica gab no solo representa las propieda-des crono-geometricas del espacio-tiempo, ademas define los

potenciales del campo gravitacional.

Las ecuaciones de Relatividad General, referidas en el

parrafo anterior como las ECE son

Gab Rab 1

2gabR =Tab (1)

donde los smbolos representan lo que sigue: Gabes el tensorde Einstein, Rab es el tensor de Ricci que esta relacionadocon el tensor de Riemann, R cabd mediante una contraccion dendices,Rac R babc y R es el escalar de curvatura o escalarde Ricci, que se obtiene de la traza de Rab, i.e. R R aa .En el lado derecho de la ecuacion tenemos a la constante de

Einstein que esta relacionada con la constante gravitacio-nal de Newton mediante = 8G y para finalizar, Tab, eltensor de energa-momento que representa la distribucion de

materia en el espacio-tiempo y cuya expresion exacta depen-de de la teora con la que se este describiendo la materia. La

informacion geometrica de la teora esta codificada en el lado

izquierdo de la Ec. (1) debido a sus relaciones con el tensor

de curvaturaR cabd.Conceptualmente, Relatividad General, esta basada en

dos principios importantes: (a) el principio de equivalencia:

el movimiento de los cuerpos [59] en un campo gravitacio-

nal es independiente de su composicion o su masa [60]; y (b)

el principio de relatividad o covariancia general: Las leyes

de la naturaleza son expresadas de manera natural mediante

ecuaciones que sean iguales en todos los sistemas de coorde-

nadas, esto es, que seancovariantescon respecto a sustitucio-

nes cualesquiera,i.e.ecuaciones tensoriales. Aparte de estos

principios, se podran mencionar dos mas de soporte o gua:

elprincipio de acople gravitacional mnimouna version de

la navaja de Occam,i.e.una exigencia de simplicidad, en la

cual se supone que no hay acoples directos entre los cam-

pos y la curvatura [61] y el principio de correspondencialas ecuaciones de Relatividad General deben de coincidir en

el lmite apropiado con Relatividad Especial y con la Teora

Gravitacional Newtoniana[4,24].

El establecimiento de cual es el significado fsico, la im-

portancia, el numero [62] o simplemente que es lo que dicen

exactamente estos principios [63] ha sido objeto de debate a

lo largo de decadas, debate cuyo inicio se puede remontar al

mismo Einstein y su lucha para establecer la teora tal como

la conocemos actualmente [ver 25, para una clara y extensa

discusion].

El principio de relatividad o covariancia general es el que

mas problemas causara cuando abordemos la cuestion de lateora perturbativa, por lo que, le dedicaremos un estudio un

poco mas extenso para poder alcanzar a ver todas las sutilezas

que encierra.

Este principio, intuitivamente establece que todos los ob-

servadores son equivalentes, o expresado de otra manera: no

existe un sistema coordenado privilegiado en la naturaleza.

Esto se puede entender de la siguiente manera: los sistemas

de coordenadas son simple etiquetas puestas a los puntos del

espacio-tiempo y de ninguna manera esta colocacion de eti-

quetas afecta al fenomeno natural. El principio de covariancia

causo y causa acaloradas discusiones en la literatura cientfica

y en un principio motivo que A. Einstein y D. Hilbert lo dese-

charan como fundamento de la teora debido al siguiente ar-

gumento conocido como el argumento del agujero[64] (para

la version original de este argumento consultese [25,26], pa-

ra la version moderna vease [27-29]): Sea g por el momento

eliminaremos los subndices para no complicar la notacion

una solucion de las ECE, entonces, elpull-back, (g), indu-cido por el difeomorfismo enM tambien satisface las ECE.La pregunta a responder es Todas las metricas(g) des-criben el mismo campo gravitacional? Si suponemos el prin-

cipio de covariancia general como valido, la respuesta es si.

Supongase ahora que el espacio-tiempo(M,g)contiene unaregion abiertaH(el agujero) vaca, es decir, unicamente el

campo g esta presente y es solucion a las ECE en vaco. De-bido a la covariancia general, aun cuando encontremos una

solucion g fuera de Hy especifiquemos las derivadas a un or-den finito en la frontera de H, para conectar la metrica fueracon la de adentro deHde una manera suave, la metrica den-tro de Hno se puede determinar de maneraunica, no importaque tan pequeno sea el agujero, as, pareciera que las ECE

no poseen un problema de valores de frontera (o iniciales [65]

en la version del argumento del agujero de Hilbert [25]) bien

planteado si se sostiene como verdadero el principio de cova-

riancia general.

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278 ADOLFO DE UNANUE

El argumento del agujero, basicamente nos enfrenta a la

decision de declarar al espacio-tiempo como entidad real y

con esto sacrificar la covariancia general, o, eliminar la cali-

dad de ente al espacio-tiempo y mantener la covariancia ge-

neral.

Tiempo despues, Einstein resolvio esta aparente paradoja

quitandole realidad autonoma al espacio-tiempo si no exis-

te materia enel:

En la base de la teora de relatividad general

. . . espacio y lo que llena el espacio no tienen

una existencia separada . . . No hay tal cosa como

el espacio vaco i.e. un espacio sin campo [gravi-

tacional] . . . [El] espacio-tiempo no reclama una

existencia por s mismo, si no unicamente como

cualidad estructural del campo [30].

esto se puede entender, si se recuerda que toda la experiencia

que obtenemos del espacio-tiempo esta dada por coinciden-cias entre nuestros aparatos de medicion y otros campos,i.e.

la realidad del espacio-tiempo esta en loseventosno en los

puntos de la variedad. Otra forma de verlo, es que la variedad

sin la especificacion de una metrica, con la cual se obten-

gan las cantidades observables, no es un espacio-tiempo, ya

que los puntos de la variedad M no tienen propiedades gra-

vitacionales o crono-geometricas per se. Lo que conforma

al espacio-tiempo es el par (M, gab). Asumiendo esta postu-ra, los pull-backsde la metrica no difieren fsicamente de la

metrica original. Dos metricasg1y g2 soluciones de las ECErepresentan la misma solucion si sonisometricasentre s,i.e.

todas ellas forman una clase de equivalencia. Este argumen-

to puede extenderse con facilidad al caso de que haya m ascampos dentro deH. Esto resuelve el argumento del aguje-ro, recuperando la covariancia general y permite plantear el

problema de condiciones iniciales en Relatividad General de

una manera satisfactoria.

A pesar de haberse resuelto el argumento del agujero, los

problemas no acabaron para el principio de covariancia, tan

pronto como Einstein publico en 1916 la solucion al argu-

mento del agujero y retomaba como principio fundacional a

la covariancia general, Kretschmann en 1917 [25], utilizo el

argumento de solucion de Einstein y lo volvio en su contra,

estableciendo que el principio de covariancia tena signifi-

cado fsico vaco, argumentando que cualquier teora puede

ser puesta de manera covariante si es formulada correcta-

mente [66]. Esta objecion, a la fecha, es tema de discusion

academica, como atestiguan artculos como [31].

Ademas de lo dicho, el principio de covariancia y su in-

terpretacion esta ligado con el significado de promediar en

la teora de Relatividad General [31] ver tambien Refs. 13

and 14, y como se muestra en la siguiente seccion es el cau-

sante de las complicaciones en la teora de perturbaciones en

Relatividad General. Se invita al lector interesado en estas

sutilizas a consultar las referencias hasta aqu expuestas.

3. Teora de perturbaciones en Relatividad

General

La teora de perturbaciones de manera general sin restrin-

girla a Relatividad General es un metodo matematico usado

para encontrar la solucion a ecuaciones complejas en las cua-

les no se conoce la respuesta o que no puede ser resuelto de

manera exacta, el cual propone de una manera intuitiva quesi se conoce la solucion exacta de un problema, la solucion

de un nuevo problema ligeramente diferente es una pequena

modificacion de la solucion conocida.

Los metodos perturbativos solo podran ser aplicados si es

posible agregar una termino pequeno a la solucion exacta

del problema conocido,i.e.la nueva solucion estara expresa-

da en terminos de una serie de potencias en el parametro pe-

queno,. El parametrocuantifica la desviacion del nuevoproblema respecto a el problema que se sabe solucionar de

manera exacta. Por ejemplo si queremos obtener la cantidad

Fa partir de la solucion exacta F0de un problema similar, Festara expresada a segundo orden encomo sigue:

F=F0+ F1+ 2F2+ O(

3).

Estos metodos son usados con gran exito en Mecanica

Clasica, Mecanica Cuantica, Electrodinamica, etc. Entonces,

De donde proviene la dificultad de usarla en Relatividad Ge-

neral?

Los problemas con los que nos encontraremos en la teora

perturbativa son varios. El primer problema proviene del ob-

jeto dinamico de la teora. En Relatividad General, el espacio-

tiempo no es un escenario estatico, absoluto, sobre el cual

se pueda estar sin afectarlo, modificarlo; al contrario, es un

ente dinamico que actua sobre y es actuado por los partici-

pantes. Por lo tanto, es necesario perturbar, ademas de loscampos de materia (los participantes) representados porTab,al espacio-tiempo, representado por gab (el escenario) i.e.gab = g

0ab +gab; el segundo problema se observa al es-

cribir una cantidad fsica (i.e.representada por un tensor)Qde manera perturbada (a primer orden):

Q= Q0+ Q. (2)

Esta ecuacion no es, enningun sentido, precisa o correcta,

Q es un campo tensorial, el cual, para reflejar el numero quese va a medir u observar en un experimento [Sec. 4.1 de 4],

debe de estar evaluada en un punto del espacio-tiempo ( i.e.

en uneventodel espacio-tiempo), luego de esta correccion la

ecuacion esQ(p) = Q0(p) + Q(p). (3)

Aunque mejor, esta ecuacion sigue siendo problematica,

pues el puntop del lado izquierdo de la ecuacion no es el mis-mo puntopdel lado derecho, ya que, estos puntos se encuen-tran en diferentes variedadesM y M0. Cuando se esta rea-lizando teora de perturbaciones en Relatividad General, se

esta trabajando con dos variedades, una fsica,M (la solu-cion que intentaremos describir con perturbaciones), y otra

de fondo, M0, que es una variedad ficticia, preparada por

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nosotros para desarrollar el analisis perturbativo (la solucion

exacta que conocemos). Al espacio-tiempo fsico lo denota-

remos de manera general por(M, gab), y al espacio-tiempode fondo por(M0, gab). Ademas, denotaremos a los campostensoriales que esten sobre M mediante Q y los definidossobre M0 por Q0. As, la Ec. (3) debera de escribirse como:

Q(p) (M,gab)

=Q0(p) + Q(p) (M0,gab)

. (4)

La ultima ecuacion nos muestra la aparicion del proble-

ma relacionado con el principio de covariancia: la Ec. (4) nos

esta dando la relacion entre variables definidas en dos va-

riedades diferentes, y para lograrlo implcitamente hemos

identificado los puntos en estas dos variedades. Es decir, asu-

mimos que M0 M : p M0 p M. Estaidentificacion no esunica en la teora de Relatividad General

debido a que esta construida sobre el principio de covariancia

general (cf. II).

Siendo conscientes de estos problemas procederemos a

definir conceptos que permitiran formalizar su planteamien-to y encontrar una solucion. En teora de perturbaciones a la

eleccion del mapa de identificacion de puntos,i.e. :M0M se le nombra como grado de libertad de normay esta li-bertad siempre existe en teoras a las cuales se les imponga

el principio de covariancia general. Este grado de libertad no

es fsico, si no espurio, i.e. no trae informacion relevante al

fenomeno estudiado. Por lo tanto, un enfoque correcto en la

teora perturbativa en Relatividad General debe eliminares-

tos grados de libertad ficticios.

Es importante recalcar, que por la misma naturaleza del

analisis perturbativo (desviaciones pequenas de la solucion

exacta conocida, cf. arriba) los espacios-tiempo de fondo y

fsico deben de ser lo suficientemente igualesi.e. cuasi-

isometricos [32] y debido a los problemas con la obtencion

de promedios de metricas en Relatividad General, no existe

una maneraunica de hacer esta declaracion mas precisa [32].

Consideremos una variedad N = M R condimN=dim M+dim R, que en el caso en particular deRelatividad General dimN = 5. El parametro infinitesi-mal para la perturbacion sera denotado por . Entonces,M0 = N |=0 yM = M = N |R=, conM0, M N.Ademas, denotemos los puntos en N por r, entonces, ca-da r N sera identificado con (p, ), donde p M ycada punto de M0 se identificara mediante(p, 0). Esto im-

plica, que hemos construido un grupo uniparametrico de di-feomorfismos de identificacion de puntos entre las hipersu-

perficiesM en N, : N N | M0 M, conp M0 q = (p) M. Si asignamos un sistema decoordenadasx enM0, (x) establecera las coordenadasx en M y enN, mediante : (p, 0)(p, ). El genera-dor de este difeomorfismo, es(/)a el cual es tangentea las orbitas de.

De esta manera hemos foliadoNmediante las subvarie-dades Mpara cada , que son difeomorficas al espacio fsi-co My al espacio de fondoM0. Es importante resaltar que

N tiene una estructura diferenciable ya que es el productotensorial directo de M y R y por construccion las subva-riedadesM tienen una estructura diferenciable. Es decir,por construccion, hemos requerido que los puntos en diferen-

tes subvariedades deN esten unidas por una curva contnua N. Podemos elegir entonces cartas con las coordenadasx(= 0, 1, . . . , m 1), en cada l amina M y que tienen

axm

. Las ECE se pueden escribir formalmente como

E[Q] = 0 (5)

en Mpara Qdefinido en M. Es decir, cada Mtiene sumetrica gy un conjunto de campos materiales Tque satis-

facen la ecuacion anterior. Si el campo tensorial esta dado en

cadaM,Q es extendido a un campo tensorial en N me-diante Q(p, ) Q(p)conp M. Con esta extension, laEc. (5) se puede considerar una ecuacion enN. Los campostensoriales enN, como el anterior, son por construcciontan-gentesa cada M,i.e.su componente normal a cada Mescero.

La base del espacio tangente de N, queda establecidausando el generador del difeomorfismo , (/)

ay su

duald que satisfacen

(d)a

a= 1.

Por su construccion, la uno-forma (d)a y su dual(/)a son normales a cualquier tensor que es extendidodel espacio tangente a cada M. El conjunto de (d)a y(/)a y la base del espacio tangente a cada M son con-siderados como la base del espacio tangente deN.

Entonces podemos empezar a considerar a las pertur-

baciones del campo Q como las comparaciones de Q enM conQ0 enM0, por lo que es necesario identificar lospuntos de M con aquellos en M0. Con este fin, se ele-gira un nuevo difeomorfismo . Por simplicidad ese ma-peo se puede elegir como un mapeo exponencial [67]. Este

mapeo de identificacion de puntos, esta representada por el

mapeo: N N, tal que,: M0 M, y en general(p) = (p), parap M0. Elgrado de libertad de norma, es un grupo uniparametrico de difeomorfismos (e.g. unmapeo exponencial) que satisface las propiedades

1+2 =1 2 =2 1 , 0 = identidad. (6)

Este grupo uniparametrico de difeomorfismos es generadopor el campo vectorial Xa . A este campo vectorial se leconoce como generadory es definido por la accion delpull-

backpara un campo tensorial Q enN:

X Q lm0

Q Q

, (7)

y puede ser descompuesto usando la base de Ncomo sigue

Xa =:

a+ a, a(d)a = 0,

a = 0. (8)

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La segunda condicion de esta relacion se elige por simpli-

cidad, debido a que la eleccion de a es arbitraria salvo lacondicion de que sea tangente aM. El campo vectorial a

esta definido enM y exceptuando las condiciones anterio-res es arbitrario,i.e.la arbitrariedad de la eleccion de norma

esta contenida en la componente tangente del campo vecto-

rialX, es decir en el campo vectorial a.

El pull-back

Q mapea el campo tensorial Q enMa un tensor Q enM0. Entonces el pull-backesta repre-sentado por la expansion de Taylor (ver apendice B) [68] a

segundo orden mediante

Q(p)|M0 =

k=0

k

k!

kX Q|M0

=Q(p)|M0+ X Q|M0

+1

222X Q|M0 + O(

3). (9)

Observese que X X , pero estamos simplifican-

do la notacion. Dado quep M0, podemos considerar estaecuacion como

Q(p) = Q0(p) + X Q|M0(p)

+1

222X Q|M0(p) + O(

3) (10)

i.e. una ecuacion en el espacio-tiempo de fondo M0, conQ0 = Q|M0 que es el valor de fondo de la variable fsicaQ. Armados con esta definicion, la perturbacion Q delcampo tensorialQ bajo la eleccion de norma es definidamediante:

Q Q|M0 Q0. (11)

A diferencia de la Ec. 4, esta definicion tiene todas sus varia-bles definidas en M0. Sustituyendo (10) en estaultima ecua-cion, definimos las perturbaciones a primer y segundo orden

del campo tensorial Q bajo la eleccion de norma mediante

Q X Q|M0 , 2

Q 2X Q|M0 . (12)

Con las definiciones (12) y (11) podemos tratar de esta-

blecer de una manera mas exacta a lo que nos referimos por

desviaciones pequenas de las metrica de fondo. La pertur-

bacion debe de representar (intuitivamente) una pequena adi-

cion al campo gravitacional de la metrica de fondo, entonces

esperamos que haya algunos difeomorfismos (ya que para el

caso general no hay razon obvia por la cual deba de ser cierto)tales que estas desviaciones pequenas gab=(gab)gab,cumplan con |gab| 1. Obviamente existen muchos di-feomorfismos que no cumplen con esto, por lo que, toda la

discusion desarrollada en este artculo esta limitada a los di-

feomorfismos que satisfacen esta condicion [33].

Giremos ahora nuestra atencion ahora al problema de

transformaciones de norma. Sean dos campos vectoriales

X, Y enN. Sus curvas integrales definen dos flujos y ,respectivamente enN. EntoncesX yY son transversales acualquier My los puntos sobre la misma curva integral son

considerados el mismo punto respecto a su norma. Enton-

ces y son mapeos de identificacion puntuales. Si des-componemos los campos vectoriales Xy Ycomo lo hicimosanteriormente tenemos,

Xa =

a+ a Ya =

a+ a (13)

Cuandoa =a se dice que tenemos dos elecciones dis-tintas de norma. Cada una de estas elecciones de norma de-

fine unpull-backde un campo tensorialQ en Na otros doscampos tensoriales, Q y

Q para cualquier valor de .

Tomando en particular el espacio-tiempo de fondo M0 ve-mos que tenemos tres campos tensoriales asociados con Q:Q0, el valor de fondo de Q, y los dos pull-backdeQ des-de Mpor las dos elecciones de norma diferentes. Estos dosultimos campos tensoriales pueden ser expandidos en series

de Taylor,

QQ|M0=

k=0k

k! (k)

Q=Q0+Q, (14a)

QQ|M0=

k=0

k

k!

(k) Q

=Q0+

Q. (14b)

donde se ha usado las definicion recien dada (11). Comoyson elecciones de norma que mapean el espacio-tiempoM0 enM, Q y Q son representaciones en M0 delcampo tensorialQ en dos diferentes normas. Las cantidadeskQ y

kQ son las perturbaciones de orden k en las normas

y respectivamente. Es muy importante notar que el parame-trousado para etiquetar las subvariedades de N (recuerde-se que proviene del difeomorfismo original ) tambien sirve

para realizar la expansion, estableciendo as lo que significaperturbacion a orden k, por lo que la division de Qen perturbaciones de primer, segundo, etc. orden no tiene un

significado absoluto, ya que una reparametrizacion deN (i.e.eligiendo un nuevo mapeo primigenio) mezclara todos los or-

denes. Lo unico que esta definido de manera invariante, es la

cantidadQ. Es importante notar que si el campo tenso-rialQ es invariante de norma, su representacion enM0 nocambiara ante transformaciones de norma, por definicion.

Definimos que un campo tensorialQ en N estotalmen-te invariante de norma (TIN) si Q = Q para cual-quier par de elecciones de norma y , implicando as que(k)Q= (k) Q para todok. Podemos relajar este reque-

rimiento y definir invariante de norma (IN) a orden n si ysolo si para dos normas cualesquiera y

(k) Q= (k)

Q k, con k < n. (15)

Con esta definicion es posible demostrar por induc-

cion [34] que el campo tensorial Q es invariante de normaa orden n 1 si y solo si (k)Q = 0 , para cualquiercampo vectorial a definido en M0 y k < n. Esto gene-raliza el lema de Stewart-Walker [expuesto por vez primera

en [32]:

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Lema de Stewart-Walker. La perturbacion a orden n delcampo tensorial Q es invariante de norma a ordennsi y solosi Q0 y todas las perturbaciones de orden menor an, son, encualquier norma:

Cero

Escalar constantes

Combinaciones lineales de productos de deltas de Kro-

necker.

La prueba de este lema es directa usando las definiciones an-

teriores y se puede encontrar en Ref. 32.

El cambio de eleccion de norma desde a esta re-presentado por el difeomorfismo

()1 (16)

El difeomorfismoes un mapeo: M0 M0paracada valor R. Este difeomorfismo cambia el punto deidentificacion, por lo tanto

se puede considerar como la

transformacion de norma : . Debemos recalcarque : R M0 M0 no esun grupo uniparametrico dedifeomorfismos enM0 debido a que en general, los genera-dores del difeomorfismo, Xa y Ya, no conmutan. Comoconsecuencia de esto, no se podra expandir aen una seriede Taylor usando la Ec. (9) debido a que esta solo es valida

para grupos uniparametricos, sin embargo, en el apendice C

se muestra que, a orden n en la familia uniparametrica dedifeomorfismossiempre puede ser aproximada por la fami-lia de diferomorfismos de caballo de rangon (teorema C.2),los cuales a su vez pueden ser expresados en una serie de

Taylor generalizada (lema C.1).

La transformacion de normainduce unpull-backdes-de la representacionQdel tensor perturbado en la eleccionde norma a la representacion Q en la eleccion de nor-ma. De esta manera estos tensores estan conectados porel mapeo lineal mediante

Q= Q|M0 =

1

Q M0

=

1

(Q)M0

= Q (17)

Usando el lema C.1, se expresa la serie de Taylor de

Q, obteniendo

Q = Q + 1 Q

+2

2

2 +

21

Q

+3

3!

31 + 312+ 3

+ O(4). (18)

donde1, 2 y 3 son los primeros tres generadores de .Las expresiones de estos generadores en terminos de la des-

composicion (13) de los campos vectorialesX, Yse muestraen la Ec. 20. Si sustituimos (14a) y (14b) en (18) e igualando

termino a termino llegamos a que las relaciones entre el pri-

mer, segundo y tercer orden de la perturbacion del tensorQen dos normas diferentes es:

(1) Q

(1) Q= 1Q0, (19a)

(2) Q

(2) Q= 21

(1) Q +

2+

21

Q0, (19b)

Estas relaciones son consistentes con la definicion de inva-riante de norma de ordenndada anteriormente.

Para finalizar esta seccion mostraremos la manera de ob-

tener los generadores del difeomorfismo en termino delas elecciones de normaX yY: sustituyendo (14a) y (14b),en (18), igualando terminos en orden, usando propiedadesde la Derivada de Lie (ver 7) de un tensor y por ultimo consi-

derando queYm Xm = 0(ambos tienen la mismam-esi-ma coordenada:) obtenemos las igualdades siguientes (verRef. 34 para las demostraciones detalladas de estas ultimas

dos afirmaciones):

a1 =Ya Xa (20a)

a2 = [X, Y]a (20b)

a3 = [2X Y, [X, Y]]a (20c)

4. Espacio-tiempo de ejemplo: el Universo

FLRW

4.1. Espacio-tiempo de fondo

Para ejemplificar las diferentes aproximaciones al analisis

perturbativo en Relatividad General usaremos el espacio-

tiempo de Friedmann-Lematre-Roberston-Walker (FLRW).

Los Universos FLRW describen la dinamica y la geometra

de los universos con hipersuperficies espaciales maximamen-te simetricas. En particular nos enfocaremos al caso espacial-

mente plano (i.e. = 1) de FLRW. Usaremos este espacio-tiempo por dos motivos, el primero es que debido a sus carac-

tersticas geometricas (simetras y platitud espacial) es facil

de manipular matematicamente; y segundo, en la actualidad,

debido a los grandes avances observacionales en la cosmo-

loga es posible extraer y comparar los calculos hechos con

la teora de perturbaciones aplicada a estos universos ideali-

zados con los datos proporcionados por el universo real, por

ejemplo con los datos extrados del estudio del fondo de ra-

diacion cosmica [21].

Este espacio-tiempo idealizado es homogeneo e isotropi-

co espacialmente. Esto solo se cumple -de una manera apro-

ximada y sin una clara justificacion teorica- en el univer-

so real a una escala de aproximadamente100 Mpc. En esteartculo supondremos que la geometra de las hiper superfi-

cies espaciales es plana, por lo que su elemento de lnea sin

perturbar es

ds2 =a2()[d2 + ij dxidxj ], (21)

donde a()es el factor de escala expresado en el tiempo con-forme. La comilla,{}, indica una derivacion respecto al

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tiempo conforme, i.e.{} /. El tiempo conforme serelaciona con el tiempo cosmologicot (el tiempo medido porlos observadores fijos en las coordenadas comoviles espacia-

lesxi), mediante

d=

dt

a.

Los smbolos de Christoffel estan definidos por [4]:

abc12

gad(gdb,c+ gc d,b gbc,d). (22)

El inverso de la metrica gab es usado para levantarndices espacio-temporales, mientras que la 3-metrica ij

(ijjk =ik) es usada para elevar los ndices de los 3-vectoresy 3-tensores. Como el espacio es plano, la 3-derivada cova-

riante es i i.Parala metrica (21) los smbolos de Christoffel tienen una

forma particularmente, aquellos diferentes de cero son

= H, j i =

jiH,

i j =ijH, (23)

donde se ha introducido el parametro de Hubble comovil,

Ha()

a(),

que esta relacionado con el paramtero de Hubble [69] H, me-diante H = aH. El tensor de Ricci se puede expresar enterminos de los smbolos de Christoffel:

Rab= cab,c

cac,b+

cd c

dab

cd b

da c, (24)

las componentes de este tensor en este espacio son

R = 3

H

a

a

, Rij =

H +

a

a

. (25)

El escalar de Ricci, R, por su parte, esta definido por lacontraccion total del tensor de Ricci con la metricag,i.e.

R =gR, (26)

sustituyendo (25) en estaultima formula tenemos

R = 6

a2

H

H2

. (27)

El tensor de EinsteinGab, esta definido por la ecuacion

Gba =Rb

a 1

2gb

aR, (28)

usando (25) y (27) obtenemos que sus componentes son

G = 3

a2H

2, (29a)

Gij =

1

a2ji

2H

+H2

. (29b)

En este artculo solo estamos interesados en el caso infla-

cionario, por lo que la materia en el universo estara represen-

tada por un campo escalar, = (), descrito por el tensorde energa-momento

Tab =a

b 1

2a

b(cc + 2V()), (30)

con componentes en las coordenadas definidas por (21)

T =

1

2a2(

)2 + V()

, (31a)

Tij =

1

2a2(

)2 V()

i

j . (31b)

Comparando con el tensor de energa-momento de un

fluido perfecto podemos identificar a T con la energa,,

y aTij con la presion,p. Entonces las ecuaciones de Eins-

tein para el espacio-tiempo de fondo M0lleno con un campoescalar,, es

H2=

8G

3 a2=

8G

3 a2

1

2a2(

)2+V()

, (32a)

2H

+H2 =8Ga2p

=8Ga2 1

2a2(

)2V(), (32b)

en el trato perturbativo serautil la siguiente forma que se ob-

tiene sumando ambas ecuaciones

H2 H

= 4Ga2( +p) = 4G(

)2. (33)

4.2. Perturbaciones a primer orden en el espacio-

tiempo FLRW

Antes de introducir los esquemas desarrollados para lidiar

con los problemas de norma en la teora de perturbaciones

en Relatividad General, perturbaremos de manera general a

primer orden la metrica. Las perturbaciones a segundo orden

se veran mas adelante en el texto. Los componentes de la per-

turbacion lineal de la metrica (21)

gab hab= a2()

h h ihi hi j

. (34)

El elemento de lnea perturbado es entonces,

ds2 =a2()(1 + h )d

2

+2h id dxi + (ij+ hij )dx

idxj

. (35)

Esta ecuacion es completamente general: gtiene 10 com-ponentes independientes y hemos introducido 10 campos in-

dependientes que caracterizan la perturbacion (1 de la per-

turbacion escalar + 3 de la perturbacion vectorial + 6 de la

perturbacion tensorial), pero tengase en cuenta que solo 6 de

estos campos representan grados de libertad fsicos.

Debido a que la variedad

(), a2i j

es maximamente

simetrica, es posible encontrar una descomposicion diferente

ah , h i, hij de la perturbacion a primer orden que exploteestas simetras [35]. Existen dos tipos de transformaciones de

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coordenadas en teora de perturbaciones en Relatividad Ge-

neral: (a) Transformaciones de norma, que son las que han

sido el tema central de este artculo en las cuales, las coorde-

nadas deM0 se mantienen fijas, y, al elegir una correspon-dencia de puntos diferente entre M0y M las coordenadas deeste ultimo cambian; y (b) Transformaciones enM0 que sediferencian de las anteriores, en el hecho de que la norma se

mantiene fija y hacemos cambios de coordenadas en M0queinducira un cambio de coordenadas en M. Estasultimas sonlas que nos ayudaran a descomponer las perturbaciones de la

metrica. Como queremos preservar las simetras deM0, lastransformaciones que podremos hacer en esta variedad estan

restringidas a ser de dos tipos: (a) Reparametrizaciones del

Tiempo, (2) Transforamciones en coordenadas espaciales. i.e.

xi

= Xi

k xk. donde las unicas que preservan la simetra de

M0 son las rotaciones:

X

=

1 0

0 Ri

k

, (36)

La matriz Ri

k

es una matrizO(3)que representa las rotacio-nes. Analizando como se transforman las perturbaciones de

la metrica antes estas transformaciones observamos queh se transforma comoescalar,h i como3-vectory hi j como3-tensor, donde los terminosescalar, 3-vectory 3-tensorse

refieren a las propiedades de transformacion ante rotaciones

en el espacio de fondo [70]. En particularescalaren este con-

texto NO significa que la perturbacion es invariante antes las

transformaciones de norma, de hecho, las perturbaciones es-

calares no son invariantes de norma. Estas denominaciones

de escalary 3-vectorialdatan del artculo seminal de Lifs-

hitz [36].

Usando el teorema de Helmholtz podemos descomponer

a la perturbacion vectorial en una parte potencial o libre derotacion y en una parte libre de divergencia. Otras denomina-

ciones son longitudinalpara la libre de rotacional y solenoi-

dalpara indicar que la divergencia de este t ermino es cero.

h i = h(rotfree)i + h

(divfree)i

=h(SV), i + h

(V)i , (37)

donde ij h(V)i, j = 0; de manera similar, la perturbacion tenso-

rial [71]:

hij =a2h(S)ij+ a

2h(T)ij , (38)

conh(T)ii

ij h(T)ij = 0. A su vez,h

(T)ij se puede descom-

poner en,

h(T)ij =

ij

1

3ij

2

h(ST)

1

2

h(V T)i, j + h

(V T)j, i

+ h

(T T)ij , (39)

dondeij h(V T)i, j = 0,

ikhT Tij, k = 0, y ij hT Tij = 0. En la

literatura al primer termino entre parentesis del lado derecho

de la Ec. (39) se le conoce como operador sin traza de doble

gradiente.

Tenemos entonces que la perturbacion lineal de la

metrica se puede descomponer en tres conjuntos de va-

riables, cada conjunto definido por como se transforman

sus elementos [72]: los que transforman como escalarh , h

(S), h(SV), h(ST)

que son aquellas que se pueden

construir a partir de otros escalares, sus derivadas y cantida-

des de la metrica de fondo; aquellos que transforman como

3-vectores, h(V)i , h(V T)i , que tienen como caractersticaque su divergencia es cero y finalmente un termino que trans-

forma como 3-tensor con divergencia cero (o transverso) y

con traza cero:

h(T T)

.

Esta descomposicion tiene relaciones inversas que se es-

criben a continuacion:

h(SV) =1ij h j , i (40a)

h(V)i =h i

1h j ,i

,j(40b)

h(S) = 1

3a2hi

i (40c)

h(T)ij = 1a2hij 1

3hk kij (40d)

h(ST) =3

211h(T)ij

,i,j (40e)

h(V T)i =

1h(T)ik

,k 1

1h(T)kl, k , l

, i

(40f)

h(T T)ij =h

(T)ij

3

2

ij

1

3ij

11h(T),k,lkl

2(i1kh

(T)j)k +2(i

1j)1h

(T),k,lkl (40g)

donde 2, es el laplaciano de la hipersuperficie espacialy estamos suponiendo que existe una funcion de Green inver-

sa del operador , 1, que garantice la correspondenciauno a uno entre {h , h i, hij} y

h , h(S), h(SV), h(ST)

,

h(V)i , h

(V T)i

,

h(T T)

.

Estas funciones de Green existen si especificamos el dominio

de las perturbaciones (por ejemplo, L2 en el espacio ())con las condiciones apropiadas de frontera. Notese que la su-

posicion de la existencia de estas funciones excluye al kernel

de los operadores , por ejemplo, los campos vectoriales deKilling,vi [20] en(). El estudio de las perturbaciones quepertenezcan alkernelde queda excluido del alcance de es-

ta revision [73].Una caracterstica importante de esta descomposicion, es

que las ecuaciones fsicas construidas en esta metrica no mez-

claran, a primer orden, los elementos de un conjunto con los

de otro, de tal manera que pueden ser estudiados por sepa-

rado [74]. La clasificacion en escalares, vectores y tensores,

es importante ya que cada uno de ellos representan diferentes

fenomenos: la gravitacion descrita por Newton es un fenome-

no escalar, pero los efectos relativistas se ven claramente (ya

que estan ausentes en las ecuaciones gravitacionales de New-

ton) en los comportamientos gravitomagneticos (el conjunto

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vectorial de las perturbaciones) y de ondas gravitacionales

(las pertubaciones tensoriales) [37]. La metrica en esta nueva

descomposicion se puede escribir como

ds2 =g(0) + g(S) + g

(V) + g

(T) ,

donde la perturbacion lineal escalar (g(S)), vectorial (g

(V) )

y tensorial (g(T)

) son respectivamente:

g(S) =a2()

h d

2 + 2h(SV),i ddx

i

+

h(S)ij+ h(ST),i,j

dxidxj

, (41a)

g(V) =a2()

2h

(V)i ddx

i

+

h(V T)i,j + h

(V T)j,i

dxidxj

, (41b)

g(T) =h(T T)ij dx

idxj . (41c)

La regla de transformacion de norma (19a), en el caso de

FLRW es

hab hab = gab = 2(ab). (42)

El generador a de la transformacion de norma es uncampo vectorial en el espacio-tiempo de fondo M0. Este vec-tor puede descomponerse de una manera 3+1:

a = (d)a+ i(dxi)a, (43)

De esta manera la transformacion de norma para las per-

turbaciones originales, {h , h i, hij} , es

hh = 2( H) (44a)

h i h i = , i+ ( 2H)i (44b)

hi jhi j = 2(i, j) 2Hij (44c)

Procedemos de la misma manera que con las perturbacio-

nes a primer orden y descomponemos a i en sus partes lon-gitudinales y solenoidales usando el teorema de Helmholtz:

i = (SV), i +

(V)i con

i, i= 0, (45)

entonces la descomposicion (44) ahora se escribe,

hh = 2( H) (46a)

h i h i= ( 2H)(SV) + ,i+ ( 2H)

(V)i (46b)

hi jhi j = 2(V)(i, j)+ 2

ij

1

3ij

2

(SV)

+ 2

1

32(SV) H

ij (46c)

donde laultima expresion se escribe de esa manera para faci-

litar calculos posteriores.

Utilizando las relaciones (40), las reglas de transforma-

cion de norma para la descomposicionh , h

(S), h(SV), h(ST)

,

h(V)i , h

(V T)i

,

h(T T)

son para el conjunto escalar:

h

h

= 2(

H)

, (47a)

h(SV) h

(SV) =+ ( 2H)(SV), (47b)

a2 h(S) a2 h

(S) =2H+2

32(SV), (47c)

a2 h(ST) a2 h

(ST) = 2(SV), (47d)

por su parte, para el conjunto de perturbaciones vectoriales,

h(V)i h

(V)i = ( 2H)

(V)i , (48a)

a2 h(V T)i a

2h

(V T)i =

(V)i , (48b)

y para la parte tensorial,

a2 h(T T)ij a

2h

(T T)ij = 0. (49)

Sentadas las ecuaciones basicas de las perturbaciones de

la metrica de FLRW, podemos estudiar las diferentes alter-

nativas para tratar las perturbaciones en Relatividad General,

utilizandola como ejemplo.

5. Enfoques en el tratamiento perturbativo

Otra forma de expresar el contenido del principio de cova-

riancia es diciendo que los observables fsicos no pueden de-

pender de la eleccion de coordenadas, por lo tanto, una carac-terstica deseable de una teora perturbativa es que especifi-

que de una manera no ambigua tales observables, es decir, los

observables deben de ser invariantes de norma. Basicamente

existen dos maneras de extraer la fsica (i.e.eliminar los gra-

dos de libertad espurios) en el tratamiento perturbativo: (a)

fijar los grados de libertad de norma (opcion conocida como

eligir una norma, o (b)extraer las partes invariantes de nor-

ma de las perturbaciones. La opcion (b) se puede dividir a su

vez en (b1) formalismo 1+3 covariante invariante de norma y

en (b2) formalismo invariante de norma. Las opciones (a) y

(b1) se mostraran a grandes rasgos en esta seccion y la opcion

(b2) sera el tema por el resto de este reporte.

5.1. Fijando la norma

La eleccion mas sencilla para eliminar los problemas de li-

bertad de norma, es elegir o fijar una norma, procedimiento

conocido en ingles comogauge fixing. Esto significa simple-

mente que se escogera una foliacion particular espacial del

espacio-tiempo. Esta ha sido una de las opciones mas popu-

lares de las decadas pasadas y fue iniciada por Lifshitz en

1946 [36], cuando empezo a estudiar la estabilidad (usando

perturbaciones) en espacios-tiempos de FLRW.

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Los principales problemas de esta aproximacion son dos:

(1) el eliminar verdaderamente los grados de libertad espu-

rios; y (2) la interpretacion fsica de los resultados obtenidos

en una norma en particular. Estos problemas fueron resueltos

de manera sistematica en cosmologa por Bardeen [38]. El

procedimiento de Bardeen es el siguiente: empezando en una

norma, es posible definir cantidades invariantes de norma me-

diante combinaciones algebraicas o diferenciales de variablesdependientes de la norma. Esta ha sido la manera de resolver

las ambiguedades de la norma estandar en cosmologa [15].

A continuacion, mencionaremos algunas de las normas

favoritas elegidas por la comunidad cosmologica.

5.1.1. Sncrona

La norma sncrona (synchronous gauge) fue introducida por

Lifshitz en 1946 [36]. La norma sncrona esta definida por

h = 0,h(V) = 0y h(SV) = 0,i.e.dejamos sin perturbar a

g00y a g0i. La metrica en la norma sncrona tiene la siguiente

forma:

ds2 =a2()d2 + (ij+ hij ) dx

idxj

. (50)

Notese que para ser compatible con las metricas expresadas

en la literatura [36,39] en esta norma hemos regresado al uso

dehij .

La norma sncrona es muy popular para los estudios

numericos y es la norma usada en CMBFAST [40]. Su prin-

cipal problema es que no elimina completamente la libertad

de norma. Este problema, aunado a su popularidad ha sido

fuente de confusion en el pasado [15,38].

Esta norma permite la existencia de un conjunto deobservadores que caen libremente i.e. se mueven sobre

geodesicas sin cambiar sus coordenadas espaciales, llama-

dos en la literatura observadores fundamentales comovi-

les [75]. Cada observador esta equipado con un reloj que

mide el tiempo conforme y permanece fijo en la coordena-daxi. Los observadores junto con sus relojes y etiquetas queidentifican su geodesica definen las coordenadas en todo el

espacio-tiempo. El grado de libertad de norma residual (es-

purio) se debe a que hay libertad para ajustar las condiciones

iniciales de los relojes y coordenadas espaciales. Otro proble-

ma de esta norma aparece cuando las perturbaciones son muy

grandes, si es as, estas coordenadas pueden deformarse mu-

cho e inclusive llegar a intersectarse [37] causando singulari-dades coordenadas. Las ecuaciones de Einstein y su relacion

con otra norma, se pueden obtener de las relaciones derivadas

en la Sec. 3 y se invita al lector a verlas en [15,37,39].

5.1.2. Newtoniana conforme o longitudinal

En la norma newtoniana solo son diferentes de cero las per-

turbaciones escalaresh y h(S). De esta definicion se puede

ver que se eliminan todas las perturbaciones de caracter vec-

torial y tensorial [15], entonces la metrica en esta norma es

ds2=a2()

(1+h ) d2

+

1+h(S)

ij dxidxj

. (51)

Otra forma en la que esta norma es presentada en la lite-

ratura esta norma es medianteh i = h(T) = 0 [37].

Las condiciones que dan pie a esta norma solo pueden ser

establecidas si el tensor de energa momento no contiene par-

tes vectoriales o tensoriales y no existen ondas gravitaciona-

les libres [76]. La norma newtoniana solo tiene aplicabilidad

a orden lineal perturbativo. Si se ignorara esta limitante se es-

taran eliminando [77] grados de libertad fsicos y no grados

de libertad de norma [37].

Esta norma se puede ver como una generalizacion cos-

mologica relativista de las ecuaciones de gravitacion new-

toniana. Permitiendo as una interpretacion sencilla de las

perturbaciones:h es el analogo del potencial gravitacionalnewtoniano .

Uno de sus atractivos es que las variables invariantes denorma de primer orden [15,37,38], corresponden en esta nor-

ma a h yh(S) lo cual permite dar una interpretacion fsica

sencilla a las variables invariantes de norma. Debido a esta

propiedad en [15] se sugiere calcular las ecuaciones en esta

norma (debido a su sencillez relativa respecto al calculo inva-

riante de norma) y luego hacer las sustituciones de h ,h(S)

por las variables escalares invariantes de norma para tener las

ecuaciones invariantes de norma.

La norma newtoniana o longitudinal es un caso especial

de una norma mas completa conocida como de norma de

Poisson [37], la cual no tiene las restricciones mencionadas

arriba y que queda definida porh ,i i = 0 yh ,j

ij = 0.

5.1.3. Otros

Existen otras normas populares en la literatura cos-

mologica, como la (a) norma espacialmente planah =h

(ST) =h(V T)i = 0

en esta norma las hipersuper-

ficies espaciales no son perturbadas escalar o vectorialmente.

En esta norma la perturbacion del campo escalar coincide

con la variable de Mukhanov-Sasaki [41]; (b) la norma or-

togonal comovilen las cual la 3-velocidad del fluido se hace

cero y (c) lanorma de densidad uniformeque como nombre

indica en sus hipersuperficies espaciales la perturbacion de la

densidad es nula [42].

5.2. 1+3 Covariante-invariante de norma

Hasta el momento hemos considerado foliar el espacio-

tiempo en hipersuperficies espaciales etiquetadas por el tiem-

po , esta division se conoce como division 3+1 y recibe elnombre deslicingen ingles. La division 3+1 es la usada en la

formulacion hamiltoniana de Relatividad General [4]. Exis-

ten otras formas de hacer la separacion espacio-temporal, en

1971 G.F.R. Ellis [43] y otros autores despues deel, han de-

sarrollado un formalismo basado en una divison 1+3 de las

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identidades de Bianchi y Ricci [44-49] llamado formalismo

1+3 Covariante-Invariante de Norma.

En el formalismo 1+3 Covariante-Invariante de Norma

se ejecuta una operacion diferente al slicing, llamada en in-

glesthreading(literalmente hilado). Los objetos geometri-

cos usados son una serie de lneas de mundo temporaloides

x(, q) donde es el parametro afn que mide el tiempo

propio sobre la lnea de mundo yqes una etiquetaunica paradistinguir las diferentes lneas de mundo. Los observadores

en este formalismo se mueven a lo largo de estas lneas [37].

La herremienta principal en la construccion de este for-

malismo, es el vector temporal (uu = 1) tangente a lalnea de mundo u dx/d. Los tensores se descompo-nen en una parte paralela al vector u y otra normal a este,usando el operador de proyeccionPg+ uu, que esla metrica espacial de los observadores moviendose conu.Las ecuaciones a las que se les aplicara este procedimiento de

descomposicion no son las ECE, si no ecuaciones definidas

para el tensor de Riemann o el tensor de Weyl y las ecuacio-

nes de Raychaudhuri [ver 43, 45, y referencias dadas arriba].

Usando el Lemma de Stewart-Walker se escogen las va-

riables invariantes de norma, es decir se eligen las variables

que son cero de manera natural en el espacio-tiempo de fon-

do FLRW (por ejemplo el tensor de Weyl sus partes electrica

Eab y magneticaHab [47] , la presion anisotropicaab delfluido, el corte de las congruencias de geodesicasab, u

a,

etc [ver 45, para una lista exhaustiva]), por lo tanto las ecua-

ciones de evolucion 1+3 del universo perturbado no poseen

ambiguedades de norma. Ademas las variables elegidas pa-

ra caracterizar la evolucion tienen una interpretacion fsica

directa, a diferencia de las variables definidas en el enfoque

Invariante de Norma (cf. VI).

En este formalismo es facil aplicar tecnicas de sistemas

dinamicos a la cosmologa [47].

6. Formalismo Invariante de Norma

En el formalismo Invariante de Norma presentado en los tra-

bajos de J.M. Stewart y M. Walker [35], M. Bruni et al. [50]

y luego desarrollado extensamente en los trabajos de Kou-

ji Nakamura [20,51-55]) se busca eliminar desde el inicio,

cualquier posible elemento no fsico de los grados de libertad.

Entre las ventajas de este formalismo, se pueden mencionarque (a) no hace ninguna suposicion acerca del espacio-tiempo

de fondo (a diferencia, por ejemplo, del metodo de eleccion

de norma, cf. Sec. 5.1); (b) no solo se aplica a la teora de

Relatividad General sino a toda teora en la cual se exija la

validez del principio de covariancia general [para un ejemplo

de esto ver 51 y las referencias ah dadas], y por ultimo (c)

si se cumple cierta condicion de separabilidad de la metrica

perturbada a primer orden propone un algoritmo para encon-

trar perturbaciones invariantes de norma a cualquier orden

superior al primero.

6.1. Algoritmo

El procedimiento para encontrar invariantes de norma a un

orden perturbativo arbitrario es el siguiente:

1. Se expande mediante la serie de Taylor (B1) a la metri-

ca gab deM luego de aplicarle un pull-backusandola eleccion de normaa M0,i.e.

gab= gab+ hab+2

2 lab+ O

3(), (52)

donde gab es la metrica de M0 y hemos definido agab hab y a2gab lab como las perturbacionesde la metrica a primer y segundo orden respectivamen-

te. Las transformaciones de norma (19a) y (19b) de la

metrica a primer y segundo orden son

hab hab= 1gab, (53a)

lab lab = 21hab+2 +

21

gab. (53b)

2. Inspeccionando las reglas de transformacion de nor-

ma (53) se procede a separar, en partes invariantes denorma y variantes de norma, a la primera perturbacion

de la metrica,hab.

hab Hab+ 2(a Xb). (54)

donde Habes la parte que es invariante de norma y Xa

es la parte variable. Es decir, ante transformaciones de

norma =1 ,

Hab Hab= 0, (55a)

Xa X

a =a1 . (55b)

Este procedimiento de separacion se supone que se co-

noce y es la condicion de entrada del algoritmo. Es-

ta condicion puede parecer muy restrictiva, ya que no

existe una manera canonica de realizar esta descompo-

sicion. En nuestro espacio-tiempo de ejemploi.e.Uni-

versos FLRW, esta descomposicion se mostro en IV B,

a partir de esta primera descomposicion se manipulan

algebraicamente los elementos para llegar a (54) como

se mostrara adelante.

Al no existir una manera canonica de realizar la des-

composicion a primer orden (54) se pueden intentar al-

gunas estrategias para lograrla, por ejemplo, si existen

algunas simetras de Killing en el espacio-tiempo de

fondo, se puede intentar una descomposicion armonicade las variables [78].

3. Realice la misma descomposicion en partes variantes

e invariantes de norma para perturbaciones de orden

superior de la metrica. El artculo [51] mostro que es-

to se puede hacer siempre con algunas manipulaciones

algebraicas que resultan de inspeccionar la reglas de

transformacion de norma a ordenes mayores que el se-

gundo (que se vuelven mas complicadas cada vez que

aumentamos el orden perturbativo). A segundo orden,

Rev. Mex. Fs.57 (4) (2011) 276303


12/28


por ejemplo, definimos la variable basandonos en la

forma de la Ec. (53b) para la eleccion de norma,

Lab lab 2X hab+ X gab, (56)

y para la norma,

Lab lab 2X hab+ X gab. (57)

Esta variable se transforma como mostraremos, prime-

ro restamos ambas variables,

Lab Lab= lab lab

2X hab+ 2Xhab

+ 2X

gab 2Xgab, (58)

luego, usando la linealidad de la derivada de Lie 7 y las

reglas de transformacion de norma a primer orden (53)

y (55b)

Lab

Lab= 2

1(

1gab) +

2gab+

2

1gab

2X(1gab) +

2X

gab 2X

gab

= 2gab+1X X1

gab

= 2gab (59)

dondea2 a2 + [1, X]

a.

Entonces, la transformacion de L tiene la misma for-ma que la transformacion de primer orden (53a). Por

lo tanto, como suponemos que existe un procedimien-

to para descomponer un campo tensorial de rango dos

que se transforma como (53a) en (54), podemos des-

componer al tensor Lab en un campo tensorial Lab yun campo vectorial Yb de la siguiente manera:

Lab=: Lab+ (a Yb) (60)

dondeLab se transforma como la parte invariante denorma de Lab

Lab Lab= 0, (61)

y el campo vectorialYb como la parte variable de nor-ma

Ya Y

a =a2 + [1, X]a . (62)

Usando este campo tensorial y la definicion (53b), laperturbacion a segundo orden de la metrica es posible

descomponerla en

lab= Lab+ 2X hab+Y

2X

gab, (63)

dondeLab es la parte invariante de norma y Ya es laparte variante de la perturbacion a segundo orden. El

caso para ordenes superiores es completamente analo-

go al mostrado para el segundo orden, por ejemplo para

tercer orden, el lector puede consultar [51].

4. Se pueden definir los invariantes de norma a orden

n < k de cualquier campo tensorial (excluyendo lametrica) usando las perturbaciones de la metrica. Las

partes variantes de norma de la metrica (Xa,Yb a pri-mer y segundo orden) no poseen nada de contenido

fsico, mas sin embargo, son importantes para definir

las variables invariantes de norma de los campos ten-

soriales. Las partes invariantes de norma Q de un cam-po tensorial arbitrarioQ (sin incluir la metrica) estandadas por (a segundo orden)

(1)Q (1) Q X Q0, (64a)

(2)Q (2) Q 2X(1)Q

Y

2X

Q0 (64b)

Es facil ver que estas variables son invariantes de nor-

ma si se usan las Ecs. (19), (55b) y (62).

En este momento podemos resolver la pregunta acerca

de la generalidad de las Ecs. (64), esta pregunta es vali-

da debido a que nuestras elecciones de norma eran ma-

peos exponenciales, si esto no fuese as, las ecuaciones

afectadas seran (10) (la serie de Taylor del pull-back

de Q), las definiciones de las perturbaciones (12) ylas relaciones entre generadores de los mapeos y los

generadores de la transformacion de norma (20), pero

las ecuaciones mas importantes (64) no se ven cambia-

das, ya que son consecuencia directa de la expansionen

serie de Taylor del difeomorfismo que define la trans-

formaciones de norma,[20].

En lo que resta de la seccion se seguira el esquema si-

guiente, se presentan los calculos y conceptos de manera ge-

neral en un apartado y luego se aplican en el apartado si-

guiente al caso de FLRW. Entonces, el apartado siguiente

tratara sobre la descomposicion de las partes invariantes de

norma de las perturbaciones de la metrica.

6.2. Perturbaciones de la metrica invariantes de norma

en el Universo FLRW

En esta seccion procederemos a aplicar el algoritmo recien

dado (Sec. 6.1) al espacio-tiempo de FLRW presentado en la

Sec. 4. Empezando por descomponer la perturbacion lineal

de la metrica como en (54).

Analizando las transformaciones de norma (47), (48)

y (49) podemos encontrar las variables invariantes y varian-

tes de norma a primer orden en la perturbacion de una manera

sencilla. De la Ec. (49) se ve que la parte transversa y sin tra-

za de la perturbacion tensorial, es invariante de norma, a la

cual llamaremos(1)ij , donde el superndice indica que es la

variable invariante de norma a primer orden,

(1)ij h

(T T)ij ,

(1)ij =

(1)ij ,

(1) i i = 0, (1) ,iij = 0, (65)

Rev. Mex. Fs.57 (4) (2011) 276303


13/28


podemos ver que (1)ij tiene dos componentes y es llama-

do modo tensorialen el contexto de las perturbaciones cos-

mologicas. Usando ahora (48a) y (48b) podemos definir la

variable

a2(1)i h

(V)i ( 2H)

a2h

(V T)i

=h

(V)i a

2h(V T)i . (66)

Esta variable tambien es invariante de norma y se le conoce

como modo vectorialy es libre de divergencia, i.e.

(1),ii = 0, (67)

esta propiedad nos indica que el modo vectorial, (1)i , tiene

dos variables independientes.

Por ultimo, para obtener los modos escalares, podemos

definir la variable X, a partir de las Ecs. (47b) y (47d) me-diante

X h(SV)

1

2( 2H)(a

2h(ST))

=h(SV) 1

2 a2h(ST), (68)

esta variable transforma de la manera siguiente (i.e.es varian-

te de norma)

X X = , (69)

Observando a (47a) es facil definir al invariante de nor-

ma,2a2(1) h 2( H)X. (70)

Ademas, de las transformaciones de norma (47c), (47d) y

de la transformacion de X definimos al invariante de norma,

2a2(1) a2 h(S) 1

3

2h(ST) + 2HX. (71)Tenemos entonces seis componentes invariantes de nor-

ma: 2 escalares ((1), (1)), 2 vectoriales (1)i y 2 tenso-

riales (1)ij . Como la parte perturbada de la metrica hab, tie-

ne 10 componentes independientes las cuatro componentes

restantes son la parte variable de norma de la metrica. Pa-

ra encontrar sus expresiones, escribamos la descomposicion

3+1 de la metrica en terminos de los invariantes de norma

{, , i, ij}:

h = 2a2(1) + 2( H)X, (72a)

h i = a2

(1)i + a

2h(V T)i + h

(SV),i , (72b)

hij =2a2(1)ij+ a2(1)ij + a2h(ST),i,j

2HXij+ 2a2h

(V T)(j ,i), (72c)

comparando estas ecuaciones con la descomposicion en

terminos de la separacion (54)

h = H+ 2( H)X (73a)

h i= H i+ X ,i+ Xi 2HXi (73b)

hij = Hij+ 2X(i ,j) 2Hij X (73c)

de aqu se sigue facilmente que las partes invariantes de nor-

ma de la perturbacion a primer orden de la metrica son

H 2a2(1), H i a

2(1),

Hij 2a2(1)ij+ a

2(1)ij . (74)

Igualando las partes variantes de norma de los conjuntosde Ecs. (72) y (73) obtenemos las siguientes ecuaciones que

hay que resolver para obtener la parte variable de norma

2( H)X = 2( H)X (75a)

Xi 2HXi= a2h

(V T)i + h

(SV),i (75b)

2X(i ,j) 2HijX = a2

(1)ij + a

2h(ST),i,j

2HXij+ 2a2h

(V T)(j ,i) (75c)

De la Ec. (75a) obtenemosX = X+ a

C, donde

Ces una funcion escalar que satisface C = 0. Usando esta

solucion, (68) en (75b)

Xi=a2

h(V T)i +

1

2h(ST),i

iCa

2

d

a+a2Ci, (76)

conCi = 0. Laultima Ec. (75c) da la siguiente relacion deconstriccion

a2(iCj) ijCa2

d

a Hij aC = 0 (77)

definiendoCaC y

Ci iCa2

d

a + a2Ci,

podemos construir el vector Ca C()(d)a+ Ci(dxi)a,el cual es un vector de Killing en el espacio-tiempo de fon-

do M0 como se puede verificar facilmente. Por lo tanto laparte variante de la perturbacion de la metrica y su relacion

con las perturbacionesh(SV), h(ST), h(V T)i esunica salvo el

grado de libertad proveniente del campo vectorial de Killing.

Ademas, como la parte variante contribuye a la perturbacion

de la metrica mediante (54), el campo vectorial de KillingCa no contribuye a las perturbaciones de la metrica. Final-mente, para satisfacer la constriccion (77), tenemos C = 0,(iCj) = 0, con lo que Cj es un vector de Killing en()y como se menciono antes estos vectores perteneces al ker-

nelde y quedan fuera del dominio de las perturbaciones,entonces Cj = 0. Claro que sera posible incluir este kernelen nuestras discusion al extender el dominio de las pertur-

baciones, pero esto queda fuera del alcance de este artcu-

lo [20,52]. Es facil comprobar que la parte variante de la nor-

maXa transforma mediante (55b), como era de esperarse.

Rev. Mex. Fs.57 (4) (2011) 276303


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Las perturbaciones de la metrica a segundo orden se pue-

den encontrar siguiendo los mismos argumentos y pasos alge-

braicos que para el orden lineal, pero usando la variable Lab,definida por (56). Repitiendo todos los pasos con esta varia-

ble (i.e.descomponiendola en su parte variable e invariante

de norma, descomponiendola de manera armonica, etc) lle-

gamos a esta expresion para la parte invariante de norma de

la perturbacion a segundo orden de la metrica (63), Lab,

Lab= 2a2(2)(d)a(d)b+ 2a

2(2)i (d)(a(dx

i)b)

+ a2

2(2)ij+ (2)ij

(dxi)a(dx

j )b (78)

donde(2) y(2)ij satisfacen las ecuaciones

(2)i

,i =ij (2)j ,i = 0,

(2)i

i = 0, (2)ij

,i = 0. (79)

Los invariantes de norma (2), (2) son los modos escala-resde la perturbacion a segundo orden, y

(2)i y

(2)ij son los

modosvectorialesy tensorialesa segundo orden respectiva-

mente.

6.3. Invariantes de norma de variables geometricas

Luego de realizar los primeros tres pasos (encontrar las partes

invariantes de norma a primer y segundo orden del pull-back

de la metrica del universo fsico) del algoritmo presentado en

la Sec. 6.1, el siguiente paso (el cuatro) es encontrar las partes

invariantes de norma de las cantidad geometricas de interes.

6.3.1. Tensor de curvatura

La definicion del tensor de curvatura Rabcd [4] en el espacio-

tiempo fsico(M, gab)esab ba

c = dRabc

d (80)

donde a es la derivada covariante compatible con gab y ces una uno-forma en el espacio fsicoM. Por otra parte, enel espacio-tiempo de fondo M0,Rabcd esta definido por

(ab ba) c = dRabcd (81)

cona la derivada compatible con gab yc una una-formaen M0. Introducimos el operadora(1) en M0, quepodemos identificar con el pull-back de la derivada a en

M. Este operador depende de la eleccion de norma.La propiedad de que este operador derivada sea compati-ble con la metrica esta dada por

a

1

gab

= 0 (82)

dondegab es pull-backde la metrica enM. Dado que elpull-backa(1) en Mo de la a en M es lineal, sa-tisface la regla de Leibnitz, conmuta con la contraccion y es

libre de torsion se puede considerar como operador derivada

en M0.

Aunque es obvio que los pull-backs de las cantidades

geometricas del espacio-tiempoM dependen de la eleccionde norma, (e.g.de), a partir de este momento obviaremos aen las formulas, es decir, con el fin de no complicar la no-tacion expresaremos aa(1) simplemente como a,Rabc

d , como Rabcd etc.

Como el operador a se puede considerar como un ope-

rador derivada en M0, existe entonces, un campo tensorialCabc en M0 tal que,

ab= ab Ccabc, (83)

donde c es una uno-forma arbitraria en M0. Usandoagbc = 0en M elCabc en M0 esta dado por

Ccab=1

2gcd (agdb+ bgda dgab) . (84)

Debemos notar que toda la dependencia de la eleccion

de norma del operador a enM0 esta incluida unicamenteenCcab.

Usando la definicion del tensor de Riemann, (80) y la

Ec. (83), por un lado tenemos,

Rdabc =

ab ba

= a(b Cdbc) b(a C

dac)

=ab Ceabe aC

dbc

ba+ Cebae bC

dac, (85)

pero aplicando la definicion de (83)

aCdbcd= aC

dbcd C

decC

eabd C

dbeC

eacd,

obtenemos entonces,

Rabcd =Rabc

d 2[aCdb]c+ 2C

de[aC

eb]c. (86)

As, hemos obtenido el tensor de curvatura en el espacio-

tiempo fsico M, en terminos del tensor de curvatura delespacio-tiempo de fondo M0.

Para obtener la expresion perturbada de la curvatura

Rabcd , es necesario calcular las expansiones perturbativas de

la inversa de la metrica,gab yCcab.a. Perturbacion de la inversa de la metricaExpandamos

en serie de Taylor la inversa de la metrica

gab =

k=0

k!(k) g

ab =gab + Dab +2

2Eab +O(3),

usandogabgbc= ac tenemos

ac =

gab + Cab +

2

2Eab

gbc+ hbc+

2

2 lab

=ac + (hac + C

ac ) +

2

2

lac + 2hbcC

ab + Dac

de aqu se ve queCab =hab. En el segundo orden

Dac =2hbc

hab

lac = 2hechae lac

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obteniendo finalmenteDab = 2haehbc lab.

Entonces, las perturbaciones a primer y segundo orden

del inverso de la metrica son

gab hab (87a)

(2)gab 2haehcb lab (87b)

b. Perturbaciones deCabcSustituyendo en (84) las expan-siones de la metrica y la metrica inversa a segundo orden. Se

pueden obtener las expresiones perturbadas deCabca primer ysegundo orden

Ccab= (ahcb)

1

2chab, (88a)

(2)Ccab=

(al

cb)

1

2clab

2hcd

(ahb)d dhab

(88b)

Definimos la variableHabc [A]dondeA={h, l},

Habc[A] (a Ab)

c 12

cAab, (89)

Habc [A] estara apareciendo repetidamente en los calculos

que siguen con varios acomodos de ndices, que son definidos

como

Habc[A] gcdHabd[A],

Habc[A] gbdHad

c[A],

Hab

c[A] gcdHabd[A].

escritas en estas nuevas variables las ecuaciones (88) son

Ccab= Habc[h], (90a)

(2)Ccab= Habc[l] 2hcdHabd[h]. (90b)

Ahora podemos expandir en serie de Taylor el tensor de

Riemann a segundo orden

Rabcd =Rabc

d + (1)Rabcd +

2

2(2)Rabc

d. (91)

Comparando estaultima ecuacion con (86), luego de sustituir

(90a) y (90b),

Rd

abc

= 2[aHb]cd[h] (92a)

(2)Rdabc = 2[aHb]cd[l] + 4hde[aHb]ce[h]

+ 4Hc[ae[h]Hb]e

d[h] (92b)

Para descomponer el tensor de Riemann en sus partes

invariante y variante de norma debemos escribir primero

Hcab[] en terminos de variables invariantes de norma, estosera sencillo ya que hemos descompuesto ahabcomo (54),

2Habc[h] = [ahbc+ bhac chab] ,

derivandohab,

ahbc= aHbc+ abXc+ acXb

bhac= bHac+ baXc+ bcXc

chab= cHab caXb cbXa

entonces, sumando estas expresiones,

2Habc[h] = 2(aHb)c cHab+ RdacbXd+ Rbca

dXx

+ (ab+ ba)Xc+ baXc baXc

en estaultima ecuacion hemos sumando y restando baXc.Ahora sumemos y restemosRcab

d Xd

2Habc[h] = 2(aHb)c cHab+ RdacbXd+ R

dbcaXx

+ RdabcXd+ 2baXc+ RcabdXd Rcab

dXd,

usando la primera identidad de Bianchi, Ra[bcd]= 0,

2Habc[h] = 2(aHb)c cHab+ 2baXc

+ RacbdXd Rcab

dXd.

recordando las simetras del tensor de Riemann

Rdacb=Rdcab, y usando por segunda vez la primera iden-

tidad de Bianchi, obtenemos finalmente

Habc[h] = (aHb)c 1

2cHab+ abXc+ Rbca

dXd

=Habc[H] + abXc+ RbcadXd

Derivando estaultima expresion obtenemos,

bHacd[h] = bHacd[H] + bacXd

+ XebRcdae + Rcda

ebXe (93)

y sustituyendola en (92a)

Rabcd= 2[aHb]cd[H] + (ba

ab) cXd+ Xe(bRcdae aRcdb

e)

+ RcdaebXe Rcdb

eaXe,

usando(ab ba)Qcd = RabceQed+ RabdeQce enestaultima ecuacion

Rabcd= 2[aHb]cd[H] + RbaceeXd

+ RbadecXe+ Xe(bRcda

e aRcdbe)

+ RcdaebXe Rcdb

eaXe

=2[aHb]cd[H] + RbaceeXd+ Rbad

ecXe

+ RcdaebXe Rcdb

eaXe

+ gf eXe(bRcdaf aRcdbf) ,

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una vez mas aplicamos las simetras del tensor de Riemann,

Rabcd= 2[aHb]cd[H] RabceeXd

+ RabedcXe + RaecdbX

e RebcdaXe

+ Xe (bRcdae aRcdbe) = 2[aHb]cd[H]

+ ghd Rebc haXe + Raec hbXe + Rabe hcXeRabc

eeXh

+ Xe(bRaecd+ aRebcd),

luego, empleando la segunda identidad de Bianchi,

[aRbc]de= 0

Rabcd= 2[aHb]cd[H] + ghd

RebchaX

e

+RaechbX

e + RabehcX

e RabceeX

h

+ Xe(aRebcd eRbacd+ aRebcd),

y utilizando la definicion de la derivada de Lie (A1d) sobre

un campo tensorial de rango(1, 3)

Rabcd=2[aHb]cd[H]+ghd

X Rabc

hXeeRabch

+XeeRabcd,

llegamos finalmente a la perturbacion lineal del tensor de Rie-

mann escrita en sus partes invariantes y variantes de norma,

Rabcd =2[aHb]c

d[H] + X Rabcd. (94)

Para la perturbacion a segundo orden, usamos la variable

definida en (56), y calculamosHabc [L],

Hcab[L] = Hcab[l] X(H

cab[h] + H

cab[H])

+ (Habd[h] + Habd[H])X gcd

hdc + Hdc abXd RdeabXe , (95)despejandoHabc [l]y sustituyendo en (92b), llegamos a

(2)Rdabc = 2[aHdb]c[

L] + 4Hde[a[H]Hb]ce[H]

+ 2HdeX R

eabc R

eabc

+ 2X

Rdabc

1

2X R

dabc

, (96)

usando las formulas (60) y (92a),

(2)Rdabc = 2[aHdb]c[L] + 4H

de[a[H]Hb]ce[H]

+ 4Hde [aHeb]c[H] + 2(1)X Rdabc

+ (Y 2X )R

dabc. (97)

Usando (94) y (97) podemos definir los tensores de cur-

vatura invariantes de norma de la siguiente manera

Rdabc Rdabc X Rabc

d (98a)

(2)Rdabc (2)Rdabc 2X R

dabc

Y

2X

Rdabc. (98b)

6.3.2. Perturbaciones del tensor de Ricci

Contrayendo losndicesb y d en las ecuaciones (94) y (97),podemos derivar las formulas perturbativas de la curvatura de

Ricci,

Rab = 2[aHc]bc [H] + X Rab (99a)

(2)

Rab = 2[aHc

c]b[L] + 4Hcd

[a[H]Hc]bd[H]+ 4Hcd[aH

db]c[H] + 2X Rab

+Y

2X

Rab, (99b)

de estas ecuaciones definimos los invariantes de norma del

tensor de Ricci:

Rab= Rab X Rab (100a)

(2)Rab= (2)Rab 2X Rab

Y

2X

Rab. (100b)

6.3.3. Perturbaciones del escalar de Ricci

El escalar de Ricci en el espacio-tiempo fsicoM esta dadopor

R gabRab (101)

Expandiendo a primer orden ambas cantidades, usando (87a)

y (99a)

R = R + (1)R =

gab hab

Rab+ X Rab 2[aHc]bc[H]

(102)

Reconociendo terminos a primer orden

R =gabX Rab habRab 2[aH

acc] [H] (103)

usando la regla de Leibnitz de la derivada de Lie,

R = X

gabRab

RabX gab habRab 2[aH

acc] [H] (104)

calculando la derivada de Lie de la metrica y usando la des-

composicion dehab (54), llegamos a

R = XR HabRab 2[aHc]

ac[H] (105)

Similarmente, usando (87a), (87b), (99a) y (99b) llega-

mos a

(2)R =2[aHc]ac[L] + Rab (2HcaHb

c Lab)

+ 4H[acd

[H]Hc]a

d[H] + 4Hcb

[aHb]ac

[H]+ 4Hab[aHd]b

d[H]

+ 2X R +Y

2X

R, (106)

que es la perturbacion a segundo orden del escalar de Ricci.

La definicion de los escalares de Ricci invariantes de norma

es trivial:

R R XR (107a)

(2)R (2)R 2X RY

2X

R. (107b)

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6.3.4. Perturbaciones del tensor de Einstein

La perturbacion a primer orden el tensor de Einstein es

Gab= 2[aHd]bd [H] + gab[cHd]

cd [H] 1

2HabR +

1

2gabRcdH

cd + X Gab (108)

y a segundo orden

(2)Gab = 2[aHcc]b[L] + 4H

cd[a[H]Hc]bd[H] + 4L

dc [aH

cd]b[H] 12

gab

2[cHcdd][L] + Rde

2Hdc H

ec Lde

+ 4Hde[c [H]Hcd]e[H] + 4H

de [cH

ced][H] + 4H

ce[cHdd]e[H]

+ 2Hab[cH

cdd][H] + HabRcdH

cd

1

2LabR + 2X Gab+

Y

2X

Gab. (109)

Es conveniente usar a Gab gbcGac, en lugar de Gab. Entonces levantamos elndice en las Ecs. (108) y (109) con ayuda

de (87):

Gba= Gab[H] + X G

ba, (110a)

(2)

Gb

a= Gb

a[L] +(2)

Gb

a[H, H] + 2

X G

b

a+ Y 2XGba, (110b)donde se introdujeron las variables

G[A]ba(1) ba[A]

1

2b(1)a

cc[A], (111)

(2)G[A]ba(2) ba[A, B]

1

2b(2)a

cc[A, B], (112)

(1)ba[A] 2[aHd]bd[A] AcbRac+

1

2

2[eH

edd][A] + RedA

ed

, (113)

(2)ab[A, B] 2RadB

(bc A

d)c + 2H[ade[A]Hd]

be[B] + 2H

de[a[B]Hd]

be[A]

+ 2Aed[aHd]

be[B] + 2Bed[aHd]

be[A] + 2Acb[aHd]

cd[B] + 2Bcb[aHd]

cd[A]. (114)

donde G[A]ba, (2)G[A]bason las partes invariantes de norma del tensor de Einstein a primer y segundo orden, respectivamente.

6.3.5. Perturbaciones de la divergencia de un tensor(1, 1)

Debido a la importancia de la identidad de Bianchi bGba = 0, en esta seccion la perturbacion a primer y segundo orden de ladivergencia de un tensor(1, 1)se calculara para un campo tensorial arbitrario Tab . Luego de obtener las expresiones generalesse mostrara que las identidades de Bianchi se cumplen orden a orden.

La divergencia de Tab se define como

aTba =aTb

a + Ca ceTbc Cc baTc

a. (115)

Expandiendo en una serie de Taylor esta ultima ecuacion,

a

Tb

a =

k=0

k

k! (k) aTb a . (116)A orden lineal encontramos

(aTba)=aTb

a+(Hcaa[H]+caX

a)Tbc(Hbac[H]+baXc+Rabc

eXe)Tca, (117)

Expandimos ahora a el campo tensorial Tab usando (10). Siguiendo las definiciones (64), definimos las perturbaciones inva-riantes de norma, Tba , como sigue

Tba Tb

aX Tba, (118)

(2)Tba (2)Tb

a2XTba

Y

2X

Tb

a, (119)

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luego, usando (118) y la formula del apendice (A2d), obtenemos la division de la parte invariante de norma de la divergencia

de un tensor(1, 1):

(aTba) = aTb

a + (Hcaa[H] + caX

a)Tbc (Hba

c[H]Tca + X aTb

a) . (120)

Podemos verificar la validez de la identidad de Bianchi del tensor de Einstein a orden lineal perturbativo usando la Ec. (120)

con Tba Gba :

(aGb a) = aGb a + (Hca a[H] + caXa)Gb c (Hba c[H]Gc a + X aGb a) , (121)

necesitamos la derivada de la parte invariante del tensor de Einstein (111)

aGba =Hca

a[H]Gbc + Hba

c[H]Gca (122)

y sustituyendola en (121) obtenemos la divergencia del tensor de Einstein a primer orden

(aGba) = XaGb

a, (123)

pero aGba = 0 en un espacio-tiempo arbitrario, entonces a primer orden aGba = 0.La perturbacion a segundo orden de la divergencia del tensor Tba se obtiene de manera similar que la divergencia a orden

lineal,

(2)(a

Tb

a) = a(2)T

b

a (2Hcad

[H]Hda Hca

a[L])Tb

c + (2Hbad

[H]Hdc

Hbac[L])Tc

a 2Hbac[H]Tc

a + 2Hcaa[H]Tb

c + 2X (aTba) + (Y

2X )(aTb

b). (124)

Con esta expresion comprobaremos la identidad de Bianchi a segundo orden del tensor perturbado de Einstein

(2)(aGba) = a

Gb

a[L] +(2)Gba[H, H]

2Hcad[H]Hda Hca

a[L]

Gbc

+

2Hbad[H]Hdc Hba

c[L]

Gca2Hba

c[H]Gca[H]+2Hca

a[H]Gbc[H]

+ 2X (aGba) + (Y

2X )(aGb

a). (125)

Usando la Ec. (122) con el reemplazo H L y calculando la divergencia del invariante de norma a segundo orden

a(2)Gb

a[H, H] = 2Hcaa[H]Gb

c[H] + 2Hbae[H]Ge

a[H] 2Hbad[H]HdcGc

a 2Hcad[H]HadGb

c, (126)

observamos que la identidad de Bianchi se cumple a segundo orden tambi en ya que aGba = 0 y aGba = 0.

6.3.6. Ecuaciones de Einstein perturbadas invariantes de norma

Por ultimo escribiremos las ecuaciones de Einstein perturbadas (k)Gab = 8G (k)Tab . Usando las definiciones (118) y

(119) se puede mostrar que las ecuaciones de Einstein se pueden expresar orden por orden .en t erminos de variables invariantes

de normaunicamente,

Gab[H] = 8G Ta

b, (127a)

Gab[L] +(2)Ga

b[H, H] = 8G (2)Tab. (127b)

6.4. Ecuaciones de Einstein invariantes de norma en el Universo FLRW

En esta seccion aplicaremos las formulas recien deducidas al espacio-tiempo de ejemplo IV.

a. Tensor de energa-momento de un campo escalar.El tensor de energa momento de un campo escalar esta dado por la

formula (30), para obtener la ecuacion perturbada debemos expandir al campo escalar en series de Taylor

= + +1

22(2) + O(3), (128)

donde () es una funcion homogenea en un universo homogeneo e isotropico. El tensor de energa momento tambiendebe de ser descompuesto en la variadad de fondo

Tab =Ta

b + Tab +

1

22(2)Ta

b + O(3), (129)

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dondeTab es lineal en yhaby

(2)Tab incluye las perturbaciones de segundo orden (2),laby los productos cuadraticos

de y hab. Sustituyendo (128) en (129) y preservando solo los terminos hasta orden cuadratico,

Taba

ba hbcc+a

b1

2a

b

c

cc hdcd + c

c+2V

, (130a)

(2)Tab a

b(2) 2a hbcc + a

2hbdhd

c lbc

c + 2a

b 2ahbcc

+ a(2)gbcc

12

ab

cc(2) 2c h

dcd + c

2hdehec ldc

d

+ 2cc 2ch

dcd + c(2)c + 2(2)

V

+ 2()2

2V

2

. (130b)

Siguiendo (64), se puede descomponer las perturbaciones del campo en su parte invariante y variable de norma:

=: (1) + X , (131)

(2)=: (2) + 2X + (Y 2X ), (132)

donde(1)

y(2)

son las partes invariantes de norma a primer y segundo orden respectivamente.Sustituyendo estas ecuaciones en las perturbaciones del tensor de energa-momento (130), y usando las descomposiciones

de la metrica (54) y (63), llegamos a

Tab =a

b(1) aHbcc + a

(1)b

1

2a

b

c

c(1) cHdcd + c

(1)c + 2(1)V

, (133a)

(2)Tab=a

b(2)2aHbcc

(1)+2aHbdHdc

cagbdLdc

c+2a(1)b(1)2a

(1)b(1)

2a(1)Hbcc + a

(2)b 1

2

c

c(2) 2cHdcd

(1) + 2cHdeHecd cLdc

d

+ 2c(1)c(1) 2c

(1)Hdcd+c(2)c+2(2) V

+2((1))2

2V2

. (133b)

Entonces, las componentes del tensor de energa-momento invariantes de norma del campo escalar a primer orden son:

T=

1

a2

(1)(1)()

2+a2dV

d(1)

, (134a)

Ti=

1

a2i

(1), (134b)

Ti=

1

a2

i(1)+()

i(1)

, (134c)

Ti j =1a2

i j(1)(1)()2a2 dV

d(1) , (134d)

y a segundo orden,

(2)T =

1

a2

(2) 4(1)

(1) + 4()2

(1)2

()2

(2)

+ ((1))2 + i

(1)i(1) + a2(2)V

+ a2((1))2

2V

2

, (135a)

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REVISION DE LA TEORIA DE PERTURBACIONES EN RELATIV

Revisi´on de la teor´ıa de perturbaciones en Relatividad General

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