Revisión de la Teoría Analítica de Fourier

1.1 Un poco de historia y Propósito

La rama de la ciencia óptica conocida hoy en día como "óptica de Fourier"tuvo su génesis en la década de 1940 hasta la década de 1960 con laaplicación de nuevas técnicas de análisis de diseño de circuitos detelecomunicaciones y en la teoría de la difracción óptica. En 1968 estedisciplina recién llegado se le dio un punto de apoyo permanente con lapublicación de Introducción a la óptica de Fourier, por Joseph W. Goodman,un libro de texto seminal que explica y se unió a los conceptosfundamentales, y que continúa de manera significativa a la aplicación de laóptica de Fourier en las ediciones posteriores. óptica de Fourier es ahora lapiedra angular para el análisis de la difracción, la coherencia, y de imagen,así como temas especializados tales como el control del frente de onda,propagación a través de los medios de comunicación aleatorios y laholografía.

El estudio de la óptica de Fourier hoy conduce naturalmente hacia lacomputación por al menos dos razones: (1)en general las expresiones dedifracción integral son difíciles de resolver analíticamente , para algunas delas funciones de apertura más simples, y (2) el algoritmo de la transformadade Fourier rápida (FFT) combinado con el marco de los sistemas lineales de laóptica de Fourier proporciona un enfoque computacional extremadamenteeficiente para resolver los problemas de la óptica ondulatoria....

Ciertamente, la computación puede ser aplicado directamente en labúsqueda de soluciones muy precisas a problemas de difracción usandotécnicas de integración numérica Sin embargo, este libro trata realmenteacerca de la FFT y cómo aplicarla a una variedad de problemas de ópticaFourier . Los pasos de codificación informáticos reflejan los conceptosanalíticos y la rapida FFT hace posible la realización de simulacionesópticas y la propagación de miles imágenes en un período razonable detiempo.

1.2 El Campo de la óptica de Fourier Computacional

En este libro, las variables, vectores y matrices en el código de computadorase definen tanto como sea posible en términos de cantidades físicas. Porejemplo, las coordenadas de las muestras en una matriz que los modela en unplano espacial se define en unidades de metros. Enteros para indexarmatrices aparecen sólo cuando no se pueden evitar. Este enfoque permite unaclara conexión entre el mundo físico que está siendo modelado y el código decomputación. MATLAB también usa estructura vectorizadas para esteenfoque. Por lo tanto, ejemplos de programación presentadas en el libroimplican tamaños específicos de abertura, longitudes de onda, y lasdistancias.

Aunque algunos ejemplos son simplemente académico, otros son algo que sepodría encontrar en el mundo real. Sin embargo, el lector pronto notara untema emergente: el tamaño finito de la matriz de muestra en el ordenadorlimita el rango de parámetros que se pueden considerar.

Podríamos considerar esta dificultad a la luz del dilema de la ópticodesignada: Cuando se hace una transición entre una predicción de la ópticageométrica del rendimiento del sistema y una predicción de onda ópticas. Ladiferencia entre estas predicciones es que la óptica geométrica asumepropagación rectilínea (en línea recta) de los rayos de luz y hace caso omisode difracción difusión debido a la naturaleza ondulatoria de la luz. Larespuesta habitual para el dilema es que para las pequeñas desviaciones de laperfección (cerca del "límite de difracción") es necesaria una descripciónópticamente ondulatoria. Una descripción geométrica del rayo óptico congrandes salidas , es adecuado opciones de implementación más flexibles.

Por lo tanto, aunque la teoría analítica de la óptica de Fourier es bastantegeneral, el tamaño de la matriz finita tiende a limitar la modelizacióncomputacional de las situaciones de "casi perfecto". Típicamente, estosignifica pequeños ángulos de divergencia de haces óptico de propagación,pequeña área de la imagen simulada, y así sucesivamente. Para aplicacionesprácticas, este es el mismo campo como lo predice el rendimiento de la ondaóptica en el diseño de sistema óptico.

1.3 Fourier Transform Definitions and Existence

Fourier optics problems often involve two spatial dimensions. The analyticFourier transform of a function g of two variables x and y is given by

Similarly, the analytic inverse Fourier transform is given by

For the Fourier transform to be realizable in a mathematical sense, g(x,y)must satisfy certain sufficient conditions. These conditions are commonly listedas:(a) g must be absolutely integrable over the infinite range of x and y;(b) g must have only a finite number of discontinuities; and(c) g must have no infinite discontinuities.

Goodman illustrates that in a number of important cases, one or more of theseconditions can be weakened, and a generalized transform approach usingidealized mathematical functions can be employed to find useful transformrepresentations. Some generalized transform results of interest include

where δ is the Dirac delta function.

1.4 Theorems and Separability

The theorems listed in Table 1.1 find considerable application in Fourieranalysis. In Table 1.1, A, B, a, and b are scalar constants.An important property of certain functions is separability. A two dimensional(2D) function is separable if it can be written as the product of two functions ofa single variable, such as

Separability reduces the Fourier transform of a 2D function to the product of two one-dimensional (1D) transforms or

1.5 Basic Functions and Transforms

Several basic functions, or combinations thereof, are used to describe variousphysical or analytic structures encountered in optics, such as a circle functionto describe a circular aperture. Thus, these functions and their Fouriertransform pairs are of considerable utility. The definitions in Table 1.2 areadopted.

If optical structures and apertures are modeled with basic functions, thencorresponding Fourier transforms can aid in finding diffraction solutions orimage results. The basic functions and their Fourier transforms are presentedin Table 1.3. J1 is a Bessel function of the first kind, order 1, and appears in thetransform of the circle function. The transform of the circle is illustrated inFig. 1.3. In Table 1.3, the last row gives a pair of “chirp” functions that willbecome quite familiar in the following chapters.

1.6 Linear and Space-Invariant Systems

The power of Fourier methods to analyze the response of a physical system toan input is significantly enhanced if the system can be modeled as linear andshift- (or space-) invariant. There are many aspects of optical systems that canbe modeled in this way. In general, the operation of a system on a two-variable input

function g1 to produce an output function g2 can be described by

where S indicates the operation performed by the system. The “test” for linearity is the following:

where A and B are scalar constants. For a sum of input functions—forexample, gA and gB in Eq. (1.6) with constant multipliers—the output is asum of the individual responses. If the input can be “decomposed” into asum of “elementary functions,” then the output of a linear system can bedetermined if the response to the elementary functions is known. Linearityleads to the following expression, known as a superposition integral:

The function h is the impulse response of the system, and the integrals indicatethat the output of the system is a superposition—or sum—of an infinite set ofimpulse responses that multiply the input function. The impulse response ismodeled by

A linear system is completely characterized by its responses to impulse functions, but to use this property in practice the responses must be known for all locations in the input plane (x1, y1).Linearity represents one level of simplification. Further simplification isafforded by the property of space invariance, where in its most basic form wewrite

and, therefore, the impulse response simplifies to

This impulse response does not depend on the absolute position in the inputplane or the output plane. It only depends on the relative separation of theinput and output points as if they were to appear in a common x–y plane. Aninterpretation of this situation is that an impulse anywhere in the input planecreates a corresponding response in the output plane that changes positionwith the input but always has the same relative form. The superpositionintegral now becomes a convolution integral:

where the subscripts on the x and y variables are no longer necessary. Takingthe Fourier transform of each function in Eq. (1.12) and applying theconvolution theorem yields

In shorthand notation with the convolution operator , Eq. (1.11) is written as

⊗

donde H (FX, FY) es la transformada de Fourier de la respuesta de impulsoh (x, y) y se conoce como la función de transferencia. Dos característicasvaliosas de los sistemas lineales e invariantes espacialmente, son evidentesa partir de la ecuación (1.13):

1. En lugar de abordar directamente la integral de convolución, una rutamás atractiva computacionalmente puede ser tomando la transformadade la entrada en el dominio de Fourier, y multiplicándola por lafunción de transferencia, y luego hacer la transformada inversa paraencontrar el resultado.

2. El modelo de función de transferencia es análoga a las operaciones defiltrado de frecuencia que se encuentran en la teoría eléctrica de circuito,de procesamiento de señal digital, y muchas otras disciplinas queimplican análisis de la señal. Revelaciones de estas áreas con frecuenciaaplican métodos de Fourier asociados con los sistemas ópticos.