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Las coordenadas pola-res son una técnica que permite determinar la ubicación de cada punto en un plano mediante un ángulo y una distancia y en esta revista se explica todo lo relacio-nado con definición de términos

básicos de los elementos a utili-zar, como ubicar diferentes pun-tos utilizando coordenadas pola-res, como convertir coordenadas polares a rectangulares y de rectangulares a polares, los crite-rios de simetría y como realizar

las gráficas en coordenadas po-lares rectas, circunferencias, caracoles o limación, cardinales, lemniscatas, rosas y espirales.

COORDENADAS POLARES

Pedro Núñez, CI: 23.815.193 Volumen 1, nº 1

REVISTA DIGITAL

Contenido:

Conceptos Básicos 3

Ubicación de diferentes puntos 4

Conversión de coordenadas 5

Gráficas en coordenadas polares 7

Entretenimiento 15

Polo (O): Es el origen, un punto fijo en el plano llamado punto “O”.

Eje polar: Es una recta dirigi-da que pasa por el polo o punto de origen “O”, que equiva-le al eje x del sistema carte-siano y sirve como sistema de referencia.

Radio (r): Es el radio vector o distancia que hay desde un punto P en el plano hasta el polo o punto de origen “O”

Ángulo Polar (θ): Es el ángulo formado entre el eje polar y el radio o distancia que va desde el punto de ori-

gen “O” a un punto P en el plano.

Coordenadas Polares: Es un sistema de coor-denadas que define la posi-ción de un punto en un espacio bidimensional en función de los ángulos directo-res y de la dis-tancia al origen de referencia.

Conceptos básicos sobre coordenadas polares

Página 3 VOLUMEN 1, Nº 1

Si queremos lo-calizar un punto P (r, θ)

en este sistema de coordenadas, lo prime-ro que tenemos que hacer es trazar una cir-cunferencia de radio r, después trazar una lí-nea con un ángulo de inclinación θ y, por últi-mo, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia

y la recta; este punto se-rá el punto P que quería-mos localizar, todos los puntos sobre estas cir-cunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encon-trar el ángulo de inclina-ción. Para medir el ángu-lo es necesario tomar en cuenta si este es positivo

o negativo. Si es po-sitivo hay que medir-lo en sentido contra-rio al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movi-miento de las mane-cillas del reloj.

Ubicación de diferentes puntos en coordenadas polares


De coordenadas

polares a rectangulares:

Definido un punto en coorde-nadas polares por su ángu-lo θ sobre el eje x, y su dis-tancia r al centro de coorde-nadas, se tiene:

X = r.cosθ

Y = r.senθ

De coordenadas rectangula-

res a polares:

Definido un punto del plano por

sus coordenadas rectangulares

(x, y), se tiene que la coordena-

da polar r es:

Para determinar la coordenada

angular θ, se deben distinguir

dos casos:

Para = 0, el ángulo

θ puede tomar cual-

quier valor real.

Para ≠ 0, para ob-

tener un único valor

de θ, debe limitarse a

un intervalo de tama-

ño 2π. Por conven-

ción, los intervalos

utilizados son [0, 2π) y

(−π, π].

Combinaciones de signos


También podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la pro-longación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo.

Conversión de coordenadas

Para obtener θ en el intervalo

[0, 2π), se deben usar las si-

guientes fórmulas:

Para obtener θ en el intervalo (−π,

π], se deben usar las siguientes

fórmulas:

Gráficas en coordenadas polares


La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es

de la forma y = mx

Realizando las transformaciones respectivas:

Y = mx

rsenθ = m.r.cosθ

= m

Tgθ = tg φ

Resulta, finalmente:

θ = φ

Rectas:

Rectas que no contienen al polo y se encuentran

a una distancia ¨d¨ del polo

Rectas que contienen al polo

Del triangulo tenemos: cos(θ − φ) = d/r

Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería:

R = d/cos(θ – φ)



La ecuación cartesiana de una circunferencia es:

x² + y² = a²

Aplicando transformaciones tenemos:

x² + y² = a²

(rcosθ )² + (rsenθ )² = a²

r²cos²θ + r²sen²θ = a²

r² (cos²θ + sen²θ ) = a²

r² = a²

Resultando, finamente:

r = a

Circunferencias:

Circunferencias tales que contienen al polo y

tienen un centro en el punto (a, φ)

Circunferencias con centro el polo

Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

a² = r² + a² - 2.a.r.cos(θ − φ)

r² = 2.a.r.cos(θ − φ)

Resultando, finalmente:

r = 2.a.cos(θ − φ)



Este tipo de gráfico se conoce como Rosa

de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se

forma una figura parecida a una rosa con

cuatro pétalos.

La función para este gráfico es:

R = sen2θ

Rosas:

Rosas de tres pétalos

Rosas de cuatro pétalos

Presentamos ahora el gráfico

llamado Rosa de tres pétalos.

Analógicamente al gráfico de la

rosa de cuatro pétalos, este grá-

fico es parecido pero tiene sólo

tres hojas o pétalos en su forma

gráfica.

Un ejemplo es el siguiente:



El siguiente gráfico es como los dos

anteriores, pero ahora con ocho hojas

o pétalos, tal como lo vemos en la si-

guiente función graficada:

Rosas:

Una rosa dentro de otra

Rosas de ocho pétalos

Un caso interesante y especial

que se puede dar es el que se

muestra en la gráfica que vemos

a continuación, donde se apre-

cia una rosa de tres pétalos

precisamente dentro de otra ro-

sa de tres pétalos u hojas.

Veamos:



La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas polares es:

r = a(1+cos(θ))

Cardioides:



Una familia de curvas relacionadas general-mente se expresa en coordenadas polares. El cardioide es un tipo especial de limaçon.

r = b + a cosθ (horizontal) o r = b + a senθ (vertical)

Caracoles o limacon:

Lemniscata

La lemniscata puede ser descrita median-

te coordenadas polares según la siguiente

ecuación:

r² = 2a²cos2θ



La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubier-

ta por Arquímedes, la cual puede expresarse también co-

mo una ecuación polar simple. Se representa con la ecua-

ción

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espi-

ral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la

cual es constante para una espiral dada. La espiral de Ar-

químedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para

θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo.

Espirales:

Espiral de Arquímedes

Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de

crecimiento es una clase de curva espiral que aparece

frecuentemente en la naturaleza. Su nombre proviene de la

expresión de una de sus ecuaciones:

Espiral logarítmica

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

HORIZONTALES

1: Crustáceo marino parecido a la langosta, de color verde oscuro o azulado,

con dos grandes pinzas en las patas delanteras y de carne muy apreciada,

también conocido como lobagante y lubrigante. 2: Planta originaria de la In-dia, cultivada por sus semillas ricas en aceite que se emplean en gastronomía,

como en el pan para hamburguesas. Don. 3: Litro. Consonante. Ave del orden de las casuariformes, parecida al avestruz, de plumaje ralo, grisáceo o amari-

llento, que vive en zonas de llanura. 4: Dar prestado sobre prenda o sin ella. Actinio. 5: Conjunto de gente soez. Sociedad Anónima. 6: Tormenta grande,

especialmente marina, con vientos de extraordinaria fuerza. 7: Este. Registro Unico de Contribuyente. Cobalto. 8: Juntar y amontonar. 9: Imán. Gana y

necesidad de beber.

VERTICALES

1: Boro. Perteneciente o relativo a la leche, en femenino. 2: Osmio. Nombre

de letra. Cociente intelectual. 3: Germanio. Zumbido, ruido o sonido continua-do y bronco. 4: Punto único señalado en una de las seis caras del dado. Con-

junto de burbujas que se forman en la superficie de los líquidos. 5: Libro de consulta inmediata de datos o nociones fundamentales de uso frecuente en

determinada materia. 6: Antes del mediodía. Igualdad en la superficie o la altura de las cosas. Consonante. 7: Uno de los ocho supervivientes del gran

diluvio creado por Dios para destruir a los descendientes pecaminosos de Adán y Eva, según la Biblia. Tonelada. Campeón.8: Consonante. Matanza de perso-

nas, por lo general indefensas.9: Que tiene buena educación o urbanidad.

Consonante.

Sopa de Letras

Crucigrama

Sudoku

Lema o eslogan de la empresa

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