María Fernanda Betancourt

Ana Lucia Mendoza

Cynthia Vásquez

Virginia Cifuentes

¿Problemas al visualizar los planos que forman los vectores?

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Te presentamos los nuevos anteojos

VECTOR-VISION

Con estos novedosos anteojos veras la forma de cualquier conjunto de

vectores de forma holográfica.

Todos van a querer

probarlos…

1.1 y 1.2 VECTORES

VECTOR Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A a otro punto B. Notación:

Minúscula+ flecha encima/negrita

Punto inicial y punto final con flecha encima

Se usan [x,y] con los componentes

Se ubican en un plano cartesiano=R^2 “Un vector se puede trasladar de una ubicación a otra siempre que no cambien su magnitud ni su dirección”.

SUMA DE VECTORES Sean u=[a,b] y v=[c,d] u+v=[a+c,b+d]

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Escalar número real ej.:C C*u=C[a,b]=[C*a,C*b]

PROPIEDADES DE LOS VECTORES EN lRn

Sean 𝑢,⃑⃑⃑ 𝑣 , �⃑⃑� ∈ 𝑅𝑛 y c, d escalares:

1. Asociatividad: �⃑� + (𝑣 + �⃑⃑� ) = (�⃑� + 𝑣 ) + �⃑⃑�

2. Conmutatividad: �⃑� + 𝑣 = 𝑣 + �⃑�

3. Neutro aditivo: �⃑� + 𝑜 = �⃑�

4. Inverso aditivo: �⃑� + (−�⃑� ) = 𝑜

5. Distributividad

a. De escalar c/respecto a la suma de vectores: c(�⃑� + 𝑣 ) = 𝑐�⃑� + 𝑐𝑣

b. Del vector multiplicado por la suma de escalares: (c+d) �⃑� = 𝑐�⃑� + 𝑑�⃑�

6. c(d �⃑� )=(c*d) �⃑�

7. 1* �⃑� = �⃑�

Dados 2 vectores en lRn �⃑⃑� 𝐘 �⃑⃑� se puede calcular:

ÁNGULO ENTRE VECTORES

DISTANCIA ENTRE VECTORES

‖a⃑ − b⃑ ‖ = √v12 + …+ vn2

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE

OTRO

�⃑� �⃑⃑� (𝑣 ) =𝑣 ∗ �⃑⃑�

‖�⃑⃑� ‖2∗ 𝑣

PRODUCTO PUNTO (ESCALAR)

a⃑ ∗ b⃑ = a1 ∗ b1 + a2 ∗ b2

Da como resultado un escalar

LONGITUD (NORMA)

De un vector v en Rn es el escalar no neagtivo ‖𝒗‖definido por:

‖𝒗‖ = √𝑣 ∗ 𝑣 = √𝑣12 + 𝑣2

2 + ⋯+ 𝑣𝑛2

Sean v y u vectores en Rn y c un escalar. Entonces:

‖𝒗‖ = 0 si y sólo si v=0

‖𝑐𝒗‖ = |𝑐|‖𝑣‖ |𝒖 ∗ 𝒗| ≤ ‖𝒖‖‖𝒗‖

‖𝒖 + 𝒗‖ ≤ ‖𝒖‖ + ‖𝒗‖

VECTORES ORTOGONALES (ángulo recto entre ellos)

Dos vectores v y u en Rn son mutuamente ortogonales si u*v=0

1.3 RECTAS Y PLANOS Forma normal de la ecuación de una recta ℓ en lR2, en donde:

- “P” es el punto especifico - n ≠ 0 es un vector normal a ℓ

𝑛 ∗ (𝑥 − 𝑝) = 0 𝑛 ∗ 𝑥 = 𝑛 ∗ 𝑝

[𝟓

𝟔] ∗ [

𝒙

𝒚] = [

𝟓

𝟔] ∗ [

−𝟑

𝟏]

Forma general de la ecuación de ℓ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟏𝟑

Forma vectorial de la ecuación de una recta ℓ en lR2 o en lR3, en donde:

- “P” es un punto especifico sobre ℓ - d ≠ 0 vector director para ℓ

𝑥 = 𝑝 + 𝑡 𝑑

[𝒙

𝒚] = [

−𝟑

𝟏] + [

−𝟓

𝟔] 𝒕

La ecuación paramétrica corresponde a los componentes de la forma vectorial de la ecuación.

𝒙 = −𝟑 − 𝟓𝒕 𝒚 = 𝟏 + 𝟔 𝒕

Mientras más grande sea la dimensión del objeto, menos ecuaciones se necesitan. Con la

B

d

V – prod(V)

Proyd (v)

información anterior se puede encontrar la distancia desde un punto hasta una recta o plano.

PRODUCTO CRUZ

- También es conocido como producto vectorial

- Solo puede calcularse entre los vectores de lR3

- El resultado es un vector ortogonal a ambos vectores al mismo tiempo. Como se puede observar en la figura

- El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a un vector nulo.

Producto cruz dibujado sobre un plano.

Aplicación Puede ser utilizado para hallar el área de un paralelogramo o un triángulo formado por dos vectores al obtener la magnitud de su producto vectorial y en el caso del triangulo ingresándolo dentro de la fórmula del área.

1.

ℓ

P A

V

2.

Propiedades

1. Anti conmutativa:

2. Homogénea :

3. Distributiva:

1.4 CÓDIGO BINARIO

Es un conjunto de vectores binarios (de la misma longitud) llamados vectores código. Se trabaja en Z2 es decir {0,1}. El vector de verificación es c ⃗ = [1, 1, 1,…..1] a manera que v ⃗ ∙ c ⃗ = 0

- El proceso de convertir un mensaje en vectores código se llama codificación.

- El proceso inverso a la codificación se llama decodificación.

Código UPC (Código Universal de producto) - Se trabaja en Z10 - Su vector de verificación es

c ⃗ = [….3, 1, 3,…..1] Empezando de atrás hacia delante, a manera que v ⃗ ∙ c ⃗ = 0

ISBN (Número internacional para libros) - Se trabaja en Z11 y es conocido como

ISBN-10 ya que contiene 10 dígitos.

- Existe des 2007 el código ISBN-13 que contiene 13 dígitos.

- Su vector de verificación es

c ⃗ = [….5, 4, 3, 2, 1]

2.1 Métodos Directos para Resolver Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Ecuaciones Lineales

Sistema lineal consistente es el que tiene solución. Ya sea única o infinitas soluciones.

Sistema lineal inconsistente es el que NO tiene solución.

Sistemas equivalentes son los que tienen la misma solución.

Rectas que se cruzan.

Hay una solución.

Rectas paralelas. No hay

solución.

Rectas que coinciden. Hay

infinitas soluciones.

*Además puede consultarse este link: http://www.youtube.com/watch?v=0mHCQYQGu04

Matriz

Es un arreglo rectangular de números llamados “entradas”.

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como producto de una matriz y un vector e

igualarlo a otro vector formado por los términos constantes:

𝐴�⃗� = �⃑⃗�

EJEMPLO:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4

2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 9

−2𝑥 + 3𝑧 = −7

1 1 1 4

2 3 4 9

-2 0 3 -7

Tiene dos renglones ( ) y

cuatro columnas ( )

Matriz de

coeficientes

Vector de términos

constantes

Matriz aumentada

asociada al sistema

Los métodos para resolver una matriz son:

Eliminación Gaussiana

Eliminación de Gauss-Jordan

Las cuales convierten un sistema de ecuaciones dado en otro sistema EQUIVALENTE que sea más sencillo de resolver.

Operaciones de Renglón 1. Ri Rj (intercambiar renglones) 2. KRi (multiplicar un renglón por un escalar K) 3. Ri + KRj (sumarle a un renglón el múltiplo de otro, siendo Ri el renglón que se desea modificar)

Entrada Principal Es el primer número distinto de cero que aparece en un renglón. Esa entrada principal en cada columna se utiliza como referencia (pivote) para convertir en ceros todas las entradas debajo de ella.

Matriz en Forma Escalonada Cuando debajo de cada “entrada principal” de la matriz hay cero.

Eliminación Gaussiana

Es el proceso mediante el cual se convierte la matriz aumentada asociada a un sistema lineal dado

en una matriz ESCALONADA para encontrar la solución de un sistema lineal equivalente.

*Consultar el link: http://www.youtube.com/watch?v=6yayFt5xL28

PIVOTE

Se trabaja de arriba hacia

abajo y de izquierda a

derecha.

Eliminación Gauss-Jordan

Es el proceso mediante el cual se convierte la matriz aumentada asociada a un sistema lineal

dado a una matriz en FORMA ESCALONADA REDUCIDA en la cual todos los pivotes son 1 y todas

las demás entradas son cero.

*Consultar el link: http://www.youtube.com/watch?v=n9Zr1b1NK4c

Sistemas en Zp En algún Zp es máximo de soluciones que se tendrá es p. (puede ser posible que se descarte alguna o todas). Por ejemplo: Z2 = 2 soluciones Z3 = 3 soluciones

Z4 = 4 soluciones

Patrones para saber la cantidad de soluciones que tuene un sistema de ecuaciones lineales:

2.3 CONJUNTOS GENERADORES E

INDEPENDENCIA LINEAL

1. Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A l b] es consistente si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de A.

2. si S={v1,v2,…,vk} es un conjunto de vectores en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1,v2,..,vk se llama el generador de v1,v2,..,vk y se denota gen(v1,v2,..,vk) o gen(S).

INDEPENDENCIA/DEPENDENCIA LINEAL

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2+….ckvk=0

un conjunto de vectores que NO es linealmente dependiente se llama linealmente independiente.

3. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si : -Al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros. -El sistema lineal homogéneo con matriz aumentada [Al0] tiene una solución no trivial.

Para saber más sobre los temas visite: http://www.youtube.com/watch?v=Pu8LTSSxdzw http://www.youtube.com/watch?v=W4hJIA7DAW8

Ahora vamos a reír un

poco!

1. ¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario.

2. ¿Por qué se suicidó el libro de matemática?

Porque tenía demasiados problemas.

3. Dos rectas paralelas se interceptan siempre y cuando el punto de intersección sea lo suficientemente gordo

4. ¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas?

-No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas

5. Se abre el telón.

Aparecen tres vectores linealmente independientes. Se baja el telón. ¿Cómo se llama la película? Rango 3