Revista de la Unión Matemática Argentina · Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur...

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Año 1992

La publicación de este volumen ha sido financiada con fondos del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) complementados con recursos propios de la U.M.A.

Revista de la

Unión Matemática Argentina

VOLUMEN 38 , NUMEROS 1 y 2

1993

Revista de la Unión Matemática Argentina Volumen 38, 1992.

1

S E C T I O N 1 .

A CHARACTERIZATION OF EXTRINSIC

N k-SYMMETRIC SUBMANIFOLDS OF R

CRISTIAN U. SANCHEZ

I n [2] D . Feru s introdu c ed t he no t ion o f extr ins i c symme t r i c -suQ man i fo l d o f RN. T h i s i s a s ubman ifo l d M o f RN tba t is l o c a l l y s ymm et r i c i n t he u s u a l s en s e and s u c h t ha t f o r eac h p t h e l o c a l s ymmetr y Tp: M -+ M e x t end s t o a n isome try o f t h e amb i en t wh i ch i s t he i d ent i t y on t h e normal s p a c e . Feru s proved that s uc h a subman i fo l d ha s p a r a l l e l s e cond fund ament al form and o b t a in e d a c o mp l e t e c l a s s i f i c a t ion by app l y in g h i s p r ev ious r e sult s abo ut subman i fo l d s w i t h t h i s t yp e o f s e cond fundamental formo

On t he o t her hand in [9] W . S t rüb ing comp l e t ed the r ema rkabl e r e su l t s o f Feru s by g iv in g a d i r e c t pr o o f o f t h e fac t that ev e r y subman i fo l d of RN, w i t h par a l l e l second fundamen t a l f o r m i s in f a c t extr ins ic s ymme t r i c . Th i s wa s known t o b e a fa c t by Ferus' c l a s s i f i c a t ion. On e ha s t hen

( 1 . 1 ) THEOREM. Let (M , g) be a Ri emanni an manifold and let

i : Mn -+ RN be an i sometr ic immer s ion.

Then M i s an extr ins ic s ymmetric submanifold if and only if

the s econd fundamerital form of the i mmer�ion is pa rallel.

I n l8] , t he n o t i o n o f extr in s i c k-s ymme tr i c subman i fo l d o f RN

wa s i n t r o du c e d by ext end ing Feru s' d e f in i t ion t o t h e c a s e o f k - s yrnme t r ic man i fo l d s i n t he s ens e o f [6] , [7J , [ 1 0] . Th i s d e f i n i t i o n i s g l o b a l in na tu r e and [8] cont a in s a c o mp l e t e d e s c r i� t io n o f t he s e subman i fo l d s i f t h ey ar e comp a c t and k i s o d d .

The me t ho d s in [8] ar e qu i t e d iffer ent from t ho s e in [2] b e -

2

c au s e extr in s ic k - symmetr ic s ubmani fo l d s o f RN do no t have pa ral l e l s econd fundamental form in the s en s e o f [2] and [ 9 ] .

How�ver one c an d efine a new typ e o f c ovari a n t d e riva tiv e for the s econd fundamental form in t erms o f the cano nical c o n n ec

tio n VC o f the k-symmetr ic man ifo ld M [ 6 , p . 23 ] . For symmetr ic spac e s , i . e . k=2 , VC co incid e s w i th the Levi C iv i t a connect ion but t h i s is not the c a s e in general k - symmetr ic spac e s . The proof given by Feros in [2 , p . 8 3 ] of the above ment ioned pro p er ty o f the second ftindamenta l form do e s no t ext end to the n ew defin i t ion but , w i th a differ ent me thod , one c an prove that extr ins ic k - symmetr ic subman ifo lds in the s en s e of [8 ] hav e c a

no nicaUy paral l e l s econd fundamenta l form ( s e e (2 . 9 ) ) . Thi s i s the mo tivation o f the fo llowing theor em which i s the main re sult of this paper ( s e e Sec . 2 for de fin i t ions ) .

(1.2) THEOREM . L e t (M,g,{Bx: x E M}) b e a c o mpac t c onn ec t ed

Ri eman n i a n r egular s-manif old of o rd e r k and l e t S d e n o t e i t s

symm e try t e n s or. L e t i: Mn + Rn+q b e a n i s o m e t ric imb edding

and d e n o t e by a i t s s eco nd fundamental fo rmo T h e n M i s an ex-

t rin sic k - symm e tric submanif old of Rn+q if a nd o nly if

i )

i i )

(v�a) = O i n M a nd

a ( SX , SX ) = a (X , X) foY' some po i n t a E M a nd ev e ry X E M . a a a

The papef is o r gan i z ed a s fol l ows : In Sec . 2 we r ec a l l the d e finition o f extr ins ic k-symmetr ic subman i fold fro m [ 8 ] and introduc e VC pro ving that , for the s e subman i fo l d s , one ha s VCa = O (2.9 ) . The résul t s o f t h i s s ec t ion y i e l d a pro o f o f the fac t t ha t the cond i t ions are nec e s sary . In S ec . 3 w e s tudy

t he natur e o f the VC-geode sic s as curve s in Rn+q to prove that the cond i t ions are sufficient .

SECTION 2

L et Mn b e a compact Riemann ian manifo l d and l et i : Mn + Rn+q

3

b e an i sometr ic imb edd ing with the fo l l owin g pro p er t i e s .

i )

ii)

For each p E M , t her e i s an i sometry a : Rn+q + Rn+q s uc h p t hat ak = id , a ( p ) p p ap ( i (M) ) = i (M).

= p , a (�) = ident ity on �. p p p

iii) L et e (a 1M). The c o l lect ion {e : p E M} d e f in e s o n M p p p a Ri emann ian r e gu l ar s - s truc tur e o f order k [ 6 , p . 4 - 6 ] . No t ic e that cond i t io n ( i i i) impl i e s that p i s an i s o l a t ed f ixed po int o f e in M for each p E M. p

I f t h e s e cond i t ions ar e s a t i s f i ed we say t hat M i s an ex t rin

sic k - symme tr ic subma n i fo l d o f Rn+q .

We d eno t e by g the Ri emann ian me tr ic on M and by <,> the inner

produc t on Rn+q . V and VE s ha l l d eno t e the c orre spond ing L ev i

C iv i t a connec t ions o n M and Rn+q r e s p ec t ive l y .

As s o c iat ed to our i sometr i c imb eddin g we have the s econd fun

damental form 0., the s hap e operator B;nd the normal connect ion

Il. On o ur Ri emman ian regular s - man i fold we may cons ider the cano n ic a l connect ion VC [ 6 , p . 2 4 ] and two important t ensor s name l y D(X,Y) = VxY - V�Y and S wh ich i s d ef ined by Sx = ex*lx V X E M. The s e two t en s o r s and the me tr ic ar e par al l el with

r e s p ect to VC i . e .

( 2 . 1) [ 6 , p . 25]

For the s econd fundamenta l form o f an i s ometric imbeddingone define s its "covariant der ivat ive" a s

( 2 . 2)

Thi s der iva t ive i s used by F erus and Strüb ing in the c haract er i z a t ion of extr ins ic 2 - symmetr ic subman i fo l d s of RN• I t i s

4

obta ined from the connec t ions V in TM and vi in TNt.

Her e we propose to u s e a d iffer ent comb inat ion wh ich , a s we s ha l l s e e , w i l l b e mor e conveni ent for our purpo s e s . Namel y we

de fine

(2 . 3 ) (V�a)(Y,Z) = v�(a(y,z))-a(v�y,z)-a(Y,v�Z)

an c a l l i t t he cano nical cov a r i a n t d er ivat ive o f a.

I f our subman ifo l d M e Rn+

q hap ens to b e a symmetr ic spac e one knows t hat Ve = V and then both der iva t iv e s c o inc id e .

As usua l we hav e

V�(fa) = (Xf) + f(V�a)

e ( e ) ( e ) (VfX+gya) = f VXa + g Vya

In a co her ent way , we can d e f ine the c a non ical c ovar i a n t der i

va tive for the s hap e o p erator

(2.4)

and they are o bv ious l y r e l a t ed by

( 2 . 5 ) LEMMA. g((V�A)� Y,Z) = «v�a)(Y,Z),�> X,Y, Z t a ngen t

fields o n M, � a n o rmal fi eld .

Let a b e a po int in M wh ich we s ha l l keep f ixed. Let Na b e a normal n e i ghbor ho o d o f a in M and such that a (N ) = N . Let a a a X E M and � E �f; we s ha l l d eno t e by X* the " adapted" vector a a f i e ld o n Na cons truc t ed from X i . e . X* i s cons truc t ed by Ve_ para l l e l tra s l a t ion along t he Ve- geodesi c s through a . It i s e a s y to s e e t hat i t i s a we l l d e fined COO vec tor f i e l d on Na and that v�x*la = O I¡j U E Ma. Now it i s ea sy t o s e e t hat we can ext end � to a normal f i el d

�* d efin ed on Na with the fol lowing pr oper t i e s.

5

( 2 . 6 ) �* i s v1 -para1 1 e 1 a 1 0ng each VC - geod e s ic t hrough a

( 2 . 7) �*'i s a - invar iant on N i . e . a a

v X E N . a

As soc iat ed to X* we c an cons ider other two vec tor f i e 1 ds on Na name1 y SX* and ea*x*. The s e f i e 1d s ar e a 1 s o paral1 el along each VC - geod e s ic s tarting at a becau s e VCS � O and ea is vc_ a ff ine . C1 ear 1y we have SX* = e X* en N bec au s e they co inc i -a* a de at a and ar e par a 1 1 e1 a10ng each vC- geod e s ic t hrough a

( 2 . 8 ) PROPOSITION. A t e ac h p o i n t a o f t h e ex t r i n s ic k - symm e t r ic

subma n i fo Zd !V e hav e A� (SX) = SA�X V X E Ma � E M:;'.

Proo f. Let y ( t ) be a VC- geod e s ic star t ing a t a and pu t 6(t) = aa ( ylt ) ) . l'le llave

A� * ( S ( t ) ) [ (a a * I y (t ) ) X * ( y ( t ) ) ]

A(a �* ) (y(t» ) [(oa*ly(t»)X*(y(t))] a*

Mak in g t o

( 2. 9 ) LEMMA. F o r e ac h U,X E M , � E � !V e hav e a t t h e po i n t a a a

Pro o f . L e t y ( t ) be a VC - geod e s ic s t art ing at a with y(O) U.

By d efin i tion

v � ux* . Now

6

s inc e o

With the a id o f the s e l emma s we c an prove

( 2 . 1 0 ) THEOREM . If i: Mn � Rn+q i s a ex t rin sic k- symm e t ric sub

manifold t h e n A� i s p a rall el wi th r e sp e c t t o t h e c a n o nical c o n

n ec ti o n . i . e . (V'� A) = O 'rj U E Mp

'rj P E M.

Pro of . L e t us take our po int a E M and i t s normal n e i ghbo r hood N a s aboye . By ( 2 . 8 ) we have

a

and then

Now

and s inc e

by (2 . 9) .

- 1 Ar;*X* = S

V'�u

(A�* X* )

e - 1 V'suS = O we have

Then we have pro ved

Ac,* SX* ) .

- 1 [ e 1 S (V' SUA) �SX

and s inc e � and X ar e arb i trary we get e V' ( I -S)u A

whi c h , sinc e · I - S i s non s in gu l ar , imp l i e s O •

O

o

( 1) . Mn Rn+q . t " k . 2 . 1 COROLLARY . If 1: � � s a ex r�n s�c -symm e tr�c

subma nifold t h e n it s s ec o nd fundam e n t al f o rm i s c a n onically

paralZ el i. e . (V'� a) = O 'rj U E M , p 'rj P E M . o

7

S E C T I O N 3

In th i s s e ct ion we prove that t he cond i t ions o f theor em ( 1 . 2) ar e suffi c i ent

( 3 . 1 ) LEMMA . L e t (Mn , g , {6 : x E M } ) b e a Ri emann i a n r egula r x

s-manif old a nd l e t i: Mn + Rn+q b e an i s o m e t r io imm e r s i o n w i t h

t h e follow i ng pr op e r t i e s

i )

i i )

(VC a) = D i n M . U F o r s o m e po i n t a E MJ a (SX,SX) = a (X,X) a a v X E M • a

T h e n a t e ac h po i n t p E M and f o r ev ery

= a (X,Y). X,Y E M , a (SX,SY)

p p

p

Pro of. Thi s i s s tra i ghtforward and l e ft to the r eader . D

L e t C : I + Rn+q b e a regular COO curve . We say t hat C i s a

Fr e n e t curv e in Rn+q of o sculat i ng rank r � 1 i f e i s parame tr i z ed with r e sp e c t to arc l engh , de fined in an open non empty int erva l I and for each t E I the derivat ive s • (r) C ( t ) , . . . , C ( t ) are l inear l y ind ep endent and . (r+ 1 ) C ( t ) , . . . , C ( t ) ar e l inear ly depend ent .

( 3 . 2) PROPOSITION. L e t ( M , g , {6x : x E M}) a nd i : MD + Rn+q a n

i som e t r ic i mb edd i ng w i t h t h e s am e hypo t h e s i s o f ( 3 . 1 ) a nd l e t

y b e a VC-g e ode s ic i n M .

T h e nJ except by a l i n e ar c hang e of param e t e rJ C ( t ) = i (Ylt ) )

i s a Fr e n e t curv e i n Rn+q of o scula ting rank r f o r s o m e

1 � r � n+ q and i t s F r e n e t curva tur e s a r e c o n s t a n t.

L e t y(O ) = a a nd c o n s id e rJ i n t h e i n t e rval w h er e i t i s def i n e�

t h e Fr e n e t curv e C l ( t ) = i(6a(y(t))). T h e n C l h a s t h e sam e

o scúla t i ng r a nk a s C ( t ) and t h e c o r r e spo nding Fr e ne t curva tu

r e s are equa lo

8

Pro of. Let y ( t ) be a VC-geod e s ic in Na s tar t ing a t a E M . I t i s c l ear that g(y,y) i s cons tant and then , by a l inear change of parame t er , (which do e s no t c hange the fac t t hat y is geo des ic ) we can a s sume t hat g ( y , y) = 1 . Thi s mean s that C i s parametr i z ed by ar e l engh . S inc e i i s an imb edding w e can id ent i fy M and i (M) and then C ( t ) = y ( t ) .

Cons id er the fir s t two der ivat ive s o f C ,

C ( t ) y ( t )

C ( t ) E . v. y y

Then , we have C T 2 + N2 ( t angent and norma l compon ent s ) and

by ( 2 . 1 ) and ( i )

o

Assume no w that we have pro ved that , for each j .;;;; i ,

C (j) = T . + N. ( tangent and norma l ) w i t h J J

V: T . = O v1 N .. Y J Y J

We s ha l l se e that t h i s i s a l so t he c a s e for i + 1 .

(3.3) C ( i+ l) ( t )

v� T . + y 1 [D(Y , T . ) . 1

= V� T. + y 1

D(Y, T.) + 1 - AN·

y] 1

V� N. Y 1

a ( Y , T.) AN. y + v-: N. 1 1 Y 1

+ a (y , Ti) = Ti+l + Ni+l

now by ( 2 . 1 ) , ( i ) and the induc tive hypo thes i s we get

nC• T v y i+l O . S im i l ar l y , by ( i ) and the induc t ive hyp o t he s i s ,

V� Ni+l y O .

Then , for each k � 1 ,

( 3 . 4) C (k) C t) O

Let 1 b e t he o p en int er va l wher e y i s d e f ined . For each t E 1

9

l e t r ( t) b e the nat ura l number ( 1 < r ( t) < n+q ) such that C ( t) , ... ,C (r)(t) ar e l inear ly independent andC (t) , . .. ,C(r+l)(t) ar e l inear l y dependent . Let to E l b e a po int such that r e to) OS;;; r ( t ) 'rj t E r . Ther e ar e sorne r ea l number s al ' " . , a r ( to)+l ' no t a l l zero , such that I: a. C( j ) ( t ) = O ( sum from j = l to r ( to) + l ) . J o

00 With the s e r ea l number s we de fine a coup l e o f r ea l C function s on l.

h ( t ) f e t )

III: a. T. ( t ) 1I 2 J J I II a. N. ( t ) 1I 2 J J

They sat isfy h ( t ) f ( t ) = O o o h ' ( t ) = O

and ther efor e h ( t ) = O V t E

. S imilar ly by ( 3 . 4 ) f ' ( t ) O

We have then , r ( t ) = r e to) V

and V

1.

and t E

Fr ene t curve on 1 . L e t r = r e to) '

sums from j = l to r ( t ) + 1 o

by (2 . 1 ) and ( 3 .4 )

t E l

a gain , f ( t) = O 'rj t E r . l and ther e for e , C(t) i s a

We have to prove now t hat the Frenet curvatur es o f C ( t ) a r e cons tant on l. In fac t , we sha l l prove that for each j , 1 < j < r , we can wr i t e

V. ( t ) J P. ( t ) J + Q. ( t ) J ( t angent and normal ) ( 3 . 5 )

V� P. O v1 Q. k. l e t ) con s tant y J Y J J -

L e t us pro c eed by induc t ion on j . For j = 1

VI ( t ) C ( t ) e .

V . y y

Plet) + QI ( t ) QI = O

O ko ( t ) = II C ( t ) 1I

As sume t hat ( 3 . 5 ) i s true for each j < i < r . We have to show this for i + l . Now we have

1 0

( 3 . 6 ) V�( t ) = V� P. + V� Q. 1 Y 1 Y 1

We s ha�l s how f irst t hat ki = c o n s tant and then c o mp l e t e t he

o t her par t s o f ( 3 . 5 ) . We know [ 9 , p . 3 9 , ( 1 0 ) ] t ha t

( 3 . 7 ) k . ( t ) = IIV' . ( t ) + k. IV . l ( t ) 1 I 1 1 1- 1- (> O for 1 < i < r )

Then , r ep l a c ing the value s o f Vi_l and the der iva t ive , one g et s

( 3 . 8 ) [ki ( t ) ] 2 1IDcY ,Pi) AQ.y + ki_lPi_11l2 +

1 + lIa (y , p ) + ki_lQi_11l2 = u(t) + v ( t )

and , by induct ion , i t i s ea sy t o s e e t hat u and v ar e c o n s t ant .

Once t hat we know t h i s we can c o mput e Vi+l ( r eca l l ki > O for 1 < i < r) .

( 3 . 9 )

and , s inc e

c an ea s i ly

V i+ I ( t ) = k. [V i ( t ) + k i _ 1 ( t ) V i _ I ( t ) ] =

1 '1 . , •

ki [(D(y ,Pi) -AQiy+ki_IPi_I) +(a(y ,P)+ki_IQi_I) ]

P i+l ( t ) + Qi+1 ( t )

k . = cons tant , we have V: 1 y get V: Q. 1 = O . In t h i s y 1+

Pi+1 = O. S im i l ar l y o n e

way we. have proved ( 3 . 5 ) .

L e t u s prove now the . s econd par t of ( 3 . 2) . Let Y l ( t ) = e (y(t) ) a

and let TI be the rank o f CI

(t) = i (yl (t) ) . We have its Fr enet fr ame

. VII,V12 , .. "VIr1 and we can writ e ( 3 . 5 ) for the c ur ve C l

( 3 . 1 0 ) V lj ( t ) P1j(t) + Qlj ( t )

V: PI' O = V: Qlj kl(j_l) = c o n s t ant . y 1 ] Yl

Our n ext obj ect ive i s to prove the fo l lowing ident i t i e s .

For each j

1 1

(3 . 1 1 ) Plj (O) = SPj (O)

C l ear l y , t hey are true for j = 1 so we as sume t hat they ho ld for each j � i < r and prove t hem for i + 1 .

L e t us wr i t e ( 3 . 8 ) for Yl. 2 2 [kli] IID(ea*y,Pli) -AQI/a*Y + kli-lPli-ll1

+ Ila(ea*y,Pli) + kli_lQli_1112.

+

At t = O , we have by induction and the r emar ked proper t i e s o f

D, Ar., and a that

• • 2 . 2 11 S [D (y , P. ) -AQ Y + k. 1 P. 1] 11 + 11 a (-1, P . ) + k. 1 Q. 111 = 1 i 1- 1- 1 1- 1-

[k. ] 2 1

and ther efor e , s inc e t hey ar e po s i t ive ,

I n ord er to compl e t e the proo f o f ( 3 . 1 1 ) , we wr i t e , for Yl' the formul a ( 3 . 9 ) .

Vli+l ( t ) 1 . . . -k [D(e *y ,Pl·) AQ e *y+k. lPl· 1 + i a 1 li a 1- 1-

+ a(e *y,Pl·) +k. lQl· 1] a 1 1- 1-

and a gain , by taking t =O, we get

Vli+l(O)

from which (3 . 1 1 ) fo l l ows .

It i s ea sy to s e e now , t ha t ( 3 . 1 1 ) imp l i e s rl ;;;. r , b ecaus e S i s non s ingular .

Now we can defin e , for j

y . (t ) J

2 , . . . ,k, new geod e s ics in M by

e (y . (t) ) a J

12

and if we ca ll rj the r ank o f Cj t hen

r = r k ;;;<; r k-l ;;;<; ... ;;;<; r 1 ;;;<; r

which shows r 1 r . Thi s f in i shes the pro o f o f ( 3 . 2) .

Let us comp l e t e now t he pro o f o f ( 1 . 2 ) .

The conditions are s u ffi c ient:

G iven the t en sor S on M we c an d-e fin e , for each p E M , an

i sometry by

1Sp (v

v

) (J ( v ) = p i f

if

o

As we ment ioned b e for e we ident i fy M and i (M ) e Rn+q• We have to prove that (J (M) e M and t ha t (J 1M = S for each p E M . p p P At t h i s po int we n e ed to make the fo llowing o b s ervat ion due t o O . Kowa l s k i (pr i va t e commun icat ion) .

L e t M = G / K b e a compact k- symmetr ic spac e wher e G i s the con nect ed compon ent o f the ident ity o f the group o f symmetr i es . L e t 9 and k b e t he L i e a l gebr a s o f G and K r e sp e c t ively . Let S be the automorphi sm o f G induc ed by the symmetry a t t he o r i g in O = [K] o f M . Then ( G , K , S) i s a "re guZar ho mo g e n e o u s s-ma ni

foZd" ( [6 ] p . 5 3 ) . Let 9 = k e m be the decompo s it ion of 9 g iven by ( [ 6 ] JJ. 24) which make s G/K reduc t i v e with re spe ct to tha t

decompositi o n . L e t <X ,Y> = -B(X,Y), where B i s the K i l l in g form o n g . Th i s i s a s ca lar product invar iant b y every aut o morphi sm of g . Let m ' be t he o r t ho gonal c ompl ement o f k in 9 with r e spect t o t h i s s calar producto This g ive s a n ew decompo s it iong = kem' .

(3 . 12,) LEMMA . The two d e composi t i o ns 9 c o i ncide .

k e m and 9 k e m'

Pro of. Let 6* be the automorphi sm of 9 induc ed by S . Then , by definit ion , if A Jdg-S* , one has

,13

k = ker (A) and m = I m (A)

(The s e ar e the F it t in g O - component and F i t t ing 1-c omponent of g , r e lat ive to A, r e spect ively ) .

Now 8* l eave s mI invar iant and then Ai (g) J mI V i � 1 . But s inc e the d imen s ion s o f m and mI co inc ide we have m mI . o

( 3 . 1 3 ) COROLLARY . T h e c a n o n ical c o n n ec ti o n VC of t h e r egular -

homog e n e ou s s-ma n i fold ( G , K , 8) and t h e cano n ical c o n n ec t i o n V

o f G / K w i t h r e sp ec t t o t h e decompo s i t i o n g = k E!) mI co i nc ide.

Pro o f . Thi s fo l lows from the fac t tha t the canonic a l connec t ion o f a homogeneous spac e G/K , r educ t ive w i th r e spec t to the decompo s i t ion g = k E!) m , i s un ique ly d e t ermin ed by t he cho ic e of m ( [ 6 ] p . 29 , 1. 6 ) . o

( 3 . 1 4) COROLLARY . L e t (M , g , { 8 : x E M}) b e a c ompac t conn ec t ed x

Ri e m a n n i a n r egular s-ma n i fold o f o rd e r k . L e t VC b e its c a n o

n ic al c o n n ec ti o n a nd p b e a p o i n t i n M . T h en giv en any poin t

x E M t h e r e exi s t s a VC-g e ode s ic i n M jo i n i ng p to x.

Pro o f . Let g = RE!) m be the ortho gonal dec ompo s i t ion w i t h r e s pect t o t he K i l l in g form B on g . The r e str i c t ion o f ( - B ) to m induc e s on M a n ew Ri emann ian metr ic h (X , Y) wh ich ma kes M a natu rally r educ t iv e homog e n e ous spac e [ 5 , I I , p. 2 0 3 ] . One knows ( [ 1 , p . 5 5 ] ) tha t the c anonical conn e c t ion V on M , w i th r e sp e c t to t he decompo s i t ion g = R E!) m , ha s the s ame geod esics that t he Ri emann ian c onnect ion corr e spond ing t o the metr ic h . Then the cor o l l ary fo l l ows from ( 3 . 1 3 ) and the theor em o f Hop f - Rino\V [ 4 , p . 5 6 ] . o

L e t y b e t h i s VC - geode s ic j o in ing p t o x; we may a s sume y ( O ) = p . Put Yl = 8p (Y). By ( 3 . 2 ) Y and Yl ar e Fr enet curve s

in Rn+q o f t he s ame o s culat ing rank r (1 < r < n+q ) and the ir corr e spond ing c ur vatur e s ar e equa l and c o n s tant .

14

By keep ing the same no t a t ion as in t he pro o f of ( 3 . 2 ) we c a l l Vj and V1j t h e Frenet fr ame s o f y and Yl r e spect ively . By t h e

na tur e o f t he cur vatur e s in t h i s c a s e i t i s enough t o s how t hat

i = 1 , . . . , r

To t hat end we have p l enty o f informa t ion in t he pro o f o f ( 3 . 2 ) . C l ear l y t h i s ident ity fo l l ows from ( 3 . 5 ) , ( 3 . 1 0 ) and ( 3 . 1 1 ) and t hen a (M) E M. I t is now c l ear t ha t a 1M = e p p p and the pro o f o f ( 1 . 2 ) i s comp l e t e .

R E F E R E N C E S

[ 1 ] C HAV EL , I . Symm et�� c Spa c e� 0 6 R a n k On e, Ma r e e l D e kk e r .

o

[ 2 ] F E R U S , S . Symm et�ic Su b m a ni60ld� 0 6 Eu clid ean Spa c e, Ma t h . Ann . 2 4 7 , 8 1 - 9 3 ( 1 9 80 ) .

[3 ] G RAY , A . Riem a n nian Ma ni 6 0l d� w�t h G eo d e� ic Symm et�� e� 0 6 O�d e� 3, J . D i f f e r en t i a l G e o m e t r y 7 , 3 4 3 - 3 6 9 ( 1 9 7 2 ) .

[4 ] H E LGA S ON , S . Vi6 6 e� e nt�al G eo m et�y L�e G�aup� a nd Symmet��c Spa c e� , A e a d em i e Press 1 9 7 8 .

[5 ] K O BAY A S H I , S . , NOMI Z U , K . Fo undatün� 0 6 Vi6 6 e�ential G eo m e-:t� y , I n t er s e i e n e e , ( 1 9 6 Y) . .

[ 6 ] KOWAL S K I , O . G en e�al� z ed Symm et�ic Spac e� , L eet u r e No t e s in Ma t h . # 805 , S p r in g e r V e r l a g ( 1 9 80 ) .

[ 7 ] LEDYE R , A . , O BA TA , M . , A 6 6 �n e a n d Riem a n n�a n s-ma ni 6 0l d � , J . D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y 2 , 4 5 1 - 4 5 9 ( 1 9 6 8 ) .

[8 ] S AN C H E Z , C . Symm et�ic Su bman� 6 0ld� 06 RN, Math . AD; n . 2 7 0 , 2 9 7 - 3 1 6 ( 1 98 5 ) .

1 5

[ 9 ] STRU B I NG , W . Symm et��e Su b m a n� 60l d� 06 R� emann�an Ma n�-6 0l d � , Ma th . Ann . 2 4 5 , 3 7 - 4 4 ( 1 97 9 ) .

[ 1 � T S AGAS , G . , L ED G E R , A . R�em a n n�an s- ma n� 60l d�, J.D i f f e r en t i al G e o m e t r y 1 2 , 3 33- 3 4 3 ( 1 9 7 7 ) .

F a c ult a d d e M a t emat i c a , A s t r o n omía y Fís i c a I MAF , Un iv e r s i d a d Na c i o n al d e C 6 r d o b a Valp a r a í s o y Rog elio Ma r tín e z C i u d a d Univ e r s i t a r ia 5000 - C 6 r d o b a - Argen t ina

Recib ido en nov i embr e d e 1 989


SOLUCION ANALITICA NUMERICA DE SISTEMAS ACOPLADOS

lMPLICITOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

LUCAS JODAR y MATILDE LEGUA

Abstract. In this paper analytic numerical solution for sys

tems of coupled second order partial differential equations

are considered. Starting from an exact infinite series solu

tion we construct finite approximate solutions whose error

in a bounded finite domain is upper bounded in terms of the

data.

1 6

l. INTRODUCCION. Muchos sistemas fisicos s�n modelados median

te un sistema acoplado implicito de ecuaciones del tipo

AU (x,t)-Ut(x,t)=O, O< x <p, t>O xx U(O,t)=T1, U(p,t)=T2, t>O,

U(x,O)=f(x), O;;; x � p,

(1. 1)

(1 .2)

(1.3)

donde A es una matriz compleja en �mxm' y la incógnita U y los

T1,T2 y f toman valores en �m, [ 3 ] , l9 ] Sistemas del tipo (1.1)-

(1.3) para el caso en que la matriz A es singular aparecen en

las ecuaciones de conducción de nervios de Hodgkin-Huxley,[13,12] El objetivo de este articulo es construir soluciones anali

ticas numericas y cotas de error de las mismas para sistemas del

tipo (1.1)-(1.3), donde A es una matriz singular cuyos valores

propios a(A)={;\; 1� i � s} U {Sj; O �j � r} satisfacen las propiedades

0<Re(A1) � Re(A2)� ... �Re(A );Re(S.)=O y m(S.)=m.=l , O � j � r (1.4) s J J J donde m( S.)=m. denota el indice del valor propio S. de A, que . J J J recordamos que es el menor entero positivo m. tal que el núcleo

m )m ·+1 J , . [ ] de ((3

jI-A) j coincide con el de (SjI-A J , vease 4,p.556 •

En la sección 2 obtenemos una solución en serie del problema me

diante un método de separación de variables matricial. Las solu-

-----------

17

ciones analíticas numéricas se construyen en la sección 3. Repre-sentaremos por 1 la en (!; denotaremos mxm

matriz identidad en (!; y para una matriz A mxm por AH su transpuesta conjugada y por I IA I ! ,el

máximo del conjunto { lz l-!; z valor propio de AHA} ,véase [ll ,p.21]. Problemas del tipo (1.1)-(1.3) para el caso donde T1=T2=0 y A

es una matriz invertible cuyos valores propios tienen parte real estríctamente positiva, han sido estudiados recientemente en [7] .

2. SOLUCION EN SERIE DEL PROBLEMA. Consideremos funciones vectoriales U(x ,t) de la forma

U(x,t)=T(t)X(x) (2.1) donde T(t)E(!;mxm' X(X)E(!;m, A es un número real positivo y satisfacen

X'1X)+ A 2X(X)=0, X(O)=X(p)=O, (2.2) y

(2.3) entonces U(x,t) definida por (2.1) satisface AU (x, t) -Ut (x, t) =AT (t) X" (x) -T' (t) X (x) =- A 2 AT (t) X (x) +A 2 AT (t) X (x)=O xx De acuerdo con la definición introducida en [6] ,el par de funciones

{cos(AIx),sen�Ix)} define un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación X"(x)+ A2X(X)=0, y por tant�, su solución general torna la forma X(x)=cos( AIx)d1+sen(A Ix)d2),donde d1,d2 son"vectores arbitrarios en (!;m' Imponiendo a X(x) las condiciones de contorno de (2.2) se sigue que 0=X(0)=d1, 0=X(p)=sen( AIp)d2, De aquí,existen soluciones no triviales de (2.2) si d210, lo que quiere decir que la matriz sen( AIp) debe ser singular. Por el teorema de la aplicación espectral [4,p.569] , A debe verificar sen(A p)=O, es decir,

(2.4) En consec uenc ia, para c ualq uier vec tor d E(!;m ,la suces ión de func iones

X (x)=sen(fi'lTxI/p) d, n (2.5) satisface (2.2). Tomando los valores de A dados por (2.4) y resolviendo la correspondiente ecuación (2.3), obtenernos la sucesión de soluciones

2 T (t)=exp(-(n�/p) At) n (2.6) de (2.3). Por construcción hemos obtenido una sucesión de so lucio-

18

nes de (1.1)-(1.2), dadas por 2 U (x,t)=exp(-(nn/p) At)sen(nnxI/p)d , n n

Ahora consideremos el problema de contorno AY'1x)=0, Y(0)=T1, Y(p)=T2, y (X)E (!; , m

(2.7)

(2.8) siendo Y(x)=(T2-T1)x/p+T1, una solución del mismo. Si consideramos el cambio

U(x,t)=Y(x)+W(x,t), (2.9) con el fin de resolver el problema (1.1)-(1.3), es suficiente tomar valores de d Ea; tales que n m

2 W(x,t)= ¿ exp(-(nn/p) At)sen(nnxI/p)d , n<:1 n satisface

W(x,0)=f(x)-Y(x)=f(x)+(T1-T2)x/p-T1

(2.10)

(2.11) Nótese que tomando t=O en (2.10), y suponiendo la convergencia de la serie, los vectores d tienen que verificar que n

f (x ) + ( T 1-T 2 ) x / p -T 1 = ¿ s e n ( nn xl / p ) d n<:1 n (2.12)

Ahora, si suponemos que f(x) es una función dos veces continuamente diferenciab1e, como sen(nnxI/p) es una matriz diagonal, del corolario 1 de [ 2,p.9S] ,la serie de Fourier de senos de g(x)=f(x)-T1+ (T1-T2)x/p, con

P d =(2/p)f sen(nnxI/p)g(x)dx, n<:1 (2.13) n O

con ver g e a g ( x) par a cad a x E [O , p] . Por 1 o tan t o h e m o s o b ten ido u n a solución formal U(x,t) del problema (1.1)-(1.3). Ahora demostraremos que W(x,t) definida por (2.10),(2.13), es de hecho una solución de (1.1)-(1.2) que satisface la condición inicial (2.11), suponiendo que la matriz A satisface la condición (1.4). Sea t > 0, 6>0 con 0<6 < t , y sea el rectángulo B(t ,6)= [0,p]x [ t -6, o o o o

t +6 ] . Demostraremos que la serie vectoriat (2.10),(2.13), es unio formemente convergente en B(t ,6) y que admite derivación parcial, o calculables mediante derivación t�rmino a t�rmino, dos veces con respeéto a x, y una vez con respecto a t, para (x,t) EB(t ,6). , o Fijemos t>O y conside,remos la función de variable compleja z , hn(Z)

=exp(-(nn/p)2tz ). Por el teorema 8 de [4,p.S69], tenemos que

s ¿;

i=l

19

h (A)=exp(-(nn/p)2tA)= n mi-l k r 2 ¿; (A- A.I) E(A.)h.k(n)/k! + ¿; exp(-(rín/p) tS.)E(S .) k=O

l l l j =0 J J (2 .14)

donde E(A .),E(S.) representan las proyecciones espectrales tales l J m.

que 1m E(A. )=Ker(A-A.I) l e 1m E(S.)=Ker(A- S.I) respectivamente, [4, l l J J .

p . 559] , [S,p.319] , y

h.k(n)=(nn/p)2k(-1)kexp(-(nn/p)2tA.)tk (2.15) l l

Como g(x) es dos veces continuamente diferenciable, los coeficien

tes d satisfacen n 2 I l dn l l � (ap/n2)n- , a=sup{ I l g"(x)1 1 ; O �x �p}, n;;:l (2. 16)

De aqui y de (2.10),(2.14), la serie que se obtiene de (2.10),(2.l3)

converge si cada una de las siguientes series converge

V.k(x,t)= ¿; (A- A.I)kE(S.)h.k(n)sen(nnx/p)d /k!, l n;;:l l l l n

2 V .(x,t)= ¿; exp(-(nn/p) t S.)E(S .)sen(nnx/p)d , J n;;:l J J n

par a 1� i� s, O � j � r, O� k� m . -1 . l

Sean ahora constantes C ., C. k tales que J l

Cj;;: I ! E(S

j)11 ; Cik ;;: I I CA- \n k

EOi) I I /k! ,

(2.17)

(2.19)

(2.20)

entonces de (2.16),(2.19) y (1.4), se sigue que para (x,t)E:B(to'o)

2 . 2 -2 ¿; I lexp(-(nn/p) t S.)E(S .)sen(nnx/p)d 11 � C .(ap/n ) ¿; n . n;;:l J J D J n;;:l

I I CA-A.I)kE(S.)sen(nnx/p)h·k(n)d /k! 11 � l l l n

2 2k . k 2 -2 �C.k(pa/n )(nn/p) (t +0) exp(-(nn/p) (t -0)Re(A1»n l o o

(2. 21)

(2. 22)

De (2.21),(2. 22) se concluye que la serie (2. 10),(2.13) converge

absoluta y uniformemente en B(t ,o), y que por tanto define una o función continua para cualquier (x,t) con O�x�p, t>O.

De los comentarios previos y del teorema 9.14 de [1 ] se sigue que

las series cuyo término general se obtiene derivando término a tér

mino, una vez respecto a t, y dos veces respecto a x, convergen

absoluta y uniformemente en B(t ,o), y por tan o o

20

2 2 = ¿; (-A)(n7T/p) exp(-(n7T/p) At)sen(n7Tx/p)d n;;;l n

a2 2 W (x,t)= ¿; -2 (exp(-(n7T/p) At)sen(n7Tx/p)d )= xx n;;; 1 ax n

2 2 =- ¿ (n7T/p) exp(-(n7T/p) At)sen(n7Tx/p)d n;;; 1 n

Como el razonamiento local es aplicable a cualquier t > 0, el sio guiente resul tado queda demostrado:

TEOREMA l. Sea f(x) una funci6n dos veces contihuamente diferen

ciable f: l o,p] --� (!; , y sea A una matriz en (!; que satisface la m mxm propiedad (1.4). Entonces la funci6n

donde W(x,t) viene dada por (2.10),(2.13), es una soluci6n del

problema (1.1 )-(1.3) .

3. SOLUCIONES APROXIMADAS Y COTAS DE ERROR.

El teorema 1 asegura la existencia de soluci6n U(x,t) del problema

(1.1)-(1.3), dada por (2.23). Desde un punto de vista computacio

nal dicha soluci6n presenta dos inconvenientes. En primer lugar U

viene definida por una serie infinita, y en segundo, el término

general de ella involucra la funcibn matricial exponencial y su

cálculo exacto requiere el conocimiento exacto de los valores pro

pios de A,[10]. El objeto de esta secci6n es evitar esos inconve

nientes partiendo de la soluci6n en serie U dada por el teorema l .

Consideremos la notaci6n de la secci6n anterior y sean C,D, cons

tantes positivas que satisfacen

C ;;; max { Clo k' 1;;; i;;; s, O;;; k ;;;m ° -1}; D ;;; max {C o; O ;;;j ;;;r} , (3.1 ) l • J

donde Cok,Co, estan definidas por (2.20). De aqui y de (2.14), si l J t> O s e ver i f i c a q u e

Ilexp(-Cn7T/p)2At) 11 ;;; mCantmexpC-tbn)+(r+1)D=gn(t)+(r+1)D, donde

a =(n7T /p)2m, n g (t)=mCa tmexp(-tb ) n n n

(3.2)

(3.3)

21

Nótese que 'g'(t)=mCa tm-1exp(-tb )(m-tb ), y que la sucesión bn n n n n crece con n. Si tE [t ,tI] con t 0, se sigue que g' (t)<O para t o o n en [to,t1] y m<tbn• Por tanto, si elegimos no tal que

b > m/t (3.4) n o o entonces gn es una función decreciente de t en el intervalo [to,t1] para n¡;;n • De aquí y de (3.2) resulta que o

(3.5)

Ahora consideremos la sucesión de las n-�simas sumas parciales de la serie W(x,t) definida por (2.10),(2.13). esto es,

n 2 W (x,t)= ¿ exp(-(kn/p) At)sen(nnx/p)dk (3.6) n k=1 Te n i e n d o en c u e n t a (2. 16 ) , ( 2 • 10) , ( 2 . 13 ) , ( 3 • 5) Y (3. 6 ), si t o� t � t 1 se verifica que

2 IIW(x,t)-W (x,t)ll� ¿ Ilexp(-(kn/p) At)ll llsen(nTIX/p)dkll� n k>n 2 -2 2 -2 � (pa/n ) ¿ gk(to)k +(pa/n )(r+l)D ¿ k ,

k>n k>n Sea S definido por

S=(n/p)2t " o entonces de (3.3),(3.7) y (3.8), se sigue que

IIW(x,t)-W (x,t)ll � n

(3.7) n�n - o

(3.8)

(3.9) �(pa/rr2)D(r+l) ¿ k-2 +mC (pa/n2)( n/p)2m(t )m ¿ k2(m-l)exp(_Sk2)

k> n o k> n

Sean R1 Y R2 las constantes positivas definidas por 2 2 2m m R1=(pa/n )D(r+l), R2=mC(pa/n )(n/p) (to)

Si to�t�tl y n¡;;no' entonces de (3.9)-(3.11) se sigue que

11 11 2 n -2 2(m-l) 2 W(x,t)-Wn(x,t) � R1(n /6 - ¿ k )+ R2 ¿ k exp(-Sk ) k=1 bn

Consideremos la sucesión de números reales Z(k)=(2(m-l)logk)/k -k S, k¡;;1

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

22 ,

y nótese que ?:(k)< O si y solamente si, 2 (log k)/ k < S/(2(m-l)). Es

evidente que Z(k) decrece para k�3 y que Z(k) tiende a _00 cuando

k tiende a 00 • De aquí la siguiente constante está bien definida

qo=sup {Z(k); k�3 Y Z(k)<O }

De aquí y de (3.13), se sigue que

y por tanto, para n�2, se tiene que

(3.14)

(3.15)

¿ k2(m-1)exp(_k2S) ;;;; ¿ exp(kq )=(l-exp(q ))-lexp(q (n+1)) (3.16) k>n k>n o o o

De aquí, si no está definido por (3.4), n�max(2,no)' y si O;;;;x;;;;p, to;;;;t;;;;t1, de

(3.12) y (3.16) resulta que

2 n 2 1 IIW(x,t)-W (x,t)11;;;; R1(7T / 6 - ¿ k- )+R2(l -exp(q ))- exp(q (n+1)) (3.17) n k=l o o

Ahora estamos interesados en determinar los valores de n tales que

IIW(x, t)-W (x, t)1 I sea más pequeño que un número prefijado €>O. Si n llamamos R3 a la constante definida por

(3.18)

entonces de (3.17) resulta que n debe satisfacer la desigualdad

2 n _2 R1(7T / 6 - ¿ k )+R3exp(q (n+1))<€

k=l o

La desigualdad (3.19) se satisface si elegimos n tal que

y 2 n _2 R1(7T / 6 - ¿ k �€/2

k=l

Por tanto, podemos tomar n�n tal que o

y

El siguiente resultado queda demostrado:

(3.19)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

TEOREMA 2. Consideremos la hipotbsis y notación del teorema 1, sea

€ > O P r e f i j a d o y s e a 0< t ;;;; t;;;; ti. S e a q de fin ido por (3. 14), y s e a.n . o o R1,R2, R3 definidos por (3.11), (3.18). Si n satisface (3.22) y no

23

est� defini�o por (3.4), entonces si W (x,t) est� definida por n (3.6), la función V (x,t) definida por n

(3.23)

es una solución aproximada del problema (1.1)-(1.3), cuyo error con respecto a la solución exacta U(x,t) obtenida en el teorema 1 satisface

El teorema 2 evita los inconvenientes computacionales del desarrollo en serie de la solución U(x,t) proporcionada en el teorema 1, sin embargo, la suma finita Vn(x,t) dada por el teorema 2, involuc r a 1 a m a tri z e x pon e n c i a 1 e x p ( -(k Tf! p ) 2 A t ). A h o r a e s tamo s in ter e s a -dos en aproximar la exponencial matricial por sumas parciales apropiadas de su desarrollo de Taylor. Recordamos que si B es una matriz en (!; y Ur.(B) representa el mayor valor propio positivo de la ma-mxm . L triz hermítica (B+BH)!2, si y�O, entonces de [5, p.401] ,se sigue que

Ilexp(yB)11 � exp(YW2(B» , y�O (3.24 )

Si q es un entero positivo, entonces de [5, teorema 11.2.4], tenemos que

Il exp(-(kTf!p)2At)- i (-1)j(kTf!p)2jAjtj!j!ll� j=O

2 �(m!(q+1)!)max { llexp(-(kTf!p) Ats)ll; O�s� l}

Tomando y=ts, con O� s�l, tenemos que

2 Il exp(-(kTf!p) At)- i (-1) j (k Tf! p ) 2 j A j t j ! j! 11 � j=O

2 �(m!(q+1)!)exp(t1W2(-(kTf!p) A»

(3.25)

(3.26)

Denot8mos por W (x,t) la suma finita obtenida cuando se substituye la matriz �� onencial exp(- (kTfip)2At) por la q-ésima suma del desarrollo de Taylor,en W (x,t), n

24

(3.27)

Deaqui y de (2.16),(3.6) y (3.26), si to ;:¡t;:¡ t1, O;:¡ x;:¡ p, se sigue

que

2 n 2 I l w (x,t)-W (x,t) II ;:¡(ap/1T )m/(q+1)! ¿ exp(t1]..l2(-(k1T/p) A)) n,q n k=l (3.28)

De la definición de ]..l2(B) , está claro que ]..l2(B);:¡ IIB II , y por tanto

tenemos que

(3.29)

De aqui y de (3.28), para encontrar el valor de q tal que el error

de truncación Ilw (x, t )-W (x, t)11 sea menor que E , tenemos que to-n,q n mar q tal que

1 2 n 2 1 «q+1)!)- ;:¡ (E1T /apm)( ¿ exp«k1T/p) IIA ll t1))-

k=l (3.30)

De 10 anteriormente dicho se concluye la demostración del siguien

te resultado:

TEOREMA 3. Consideremos las hipótesis y la notación del teorema 2,

y sea q un entero positivo que satisface la condición (3.30). Si

E>O, n satisface la condición (3.22) y W (x,t) está definido por n,q (3.27), n¡¡;max(2,n ) donde n viene definido por (3.4),t ;:¡t�t1,Q;:¡x;:¡ P, o o o entonces la función U (x, t) definida por n,q-

U (x,t)=(T2-T1)x/p+T1+W (x,t) . n,q n,q (3.31)

es una solución aproximada del problema (1.1)-(1.3), cuyo error con

respecto a la solución exacta U(x,t) dada en el teorema 1, satis

face

IIU(x,t)-U (x,t) II<2 E, uniformemente para O;:¡x;:¡p, to;:¡t;:¡t1 n,q

NOTA. Si la matriz A que aparece en (1.1) es no singular y sus va

lores propios tiene parte real estrictamente positiva, es decir,

o(A)';"{ A.j 1ü;:¡s}, 0<Re(A1);:¡ • • • ;:¡Re(A ), entonces las conclusiones 1 - s

de los teoremas 2 y � son válidas tomando R1=0. De este modo los

re sul tad o s de es t e art ic ulo ext ienden 10 s incluido s en [7] . Es con-

�

25

veniente hacer notar que la construcción de las soluciones aproximadas suministradas por los teoremas 2 y 3 dependen de la información espectral de A, la información que se necesita extá expresada en términos de cotas y no de la información espectral exacta. En efecto, obsérvese que en (3.3), Y1 es una cota inferior de la parte real de Al. Análogamente las constantes C y D en (3.1) dependen de cotas de los valores propios y de las normas de las proyecciones espectrales de A. Estas proyecciones espectrales se pueden acotar en norma utilizando su expresión en términos de la fórmula de RieszDunford y acotando la integral resultante, véase l4 ,p.555]. En relación con la accesibilidad de la hipótesis (1.4), tampoco se necesi ta la inf ormac ión e s pec tra1 d e A. En ef e.c to, en [141 se pr esenta un algoritmo para calcular el indice de los valores propios de una matriz . Finalmente, una vez obtenida la solución aproximada mediante la suma finita (3.31), aunque depende de x y de t y de potencias de A, no es preciso repetir el cálculo de dichas potencias al cambiar el instante temporal, porque utiliz ando lenguajes algebraicos simbólicos como REDUCE , MAC SYMA o MATHEMATICA, se puetrabajar simbólicamente con las matrices. Cabe destacar que en relación con los métodos discretos clásicos �1 mé�odo propuesto en este artículo suministra la solución. analítica-numérica simu1taneamente para (x,t) en una banda finita cualquiera con el error admisible que se desee. Los métodos discretos no suministran cotas de error y no obtienen la aproximación más que en una malla finita de puntos.

AGRADECIMIENTOS. Este artículo ha'sido realizado con la ayuda de la Dirección General de Investigación Cientifica y Técnica, proyecto PS90-0140, y de la NATO proyecto CRG 900040.

REFERENCIA S 1 T.M. Aposto1, Mathematica1 Ana1ysis, Addison-Wesley, Reading,

MA., 1977. 2 R.V. C hurchi11 y J.W. Brown, Fourier Series and Boundary Va1ue

Prob1ems, McGraw-Hi1l, 1978. 3 J. R. Cannon y R. E. K1ein, On the Observabi1i ty and Stabi1i ty of

t he Temperature Distribution in a Composite Heat Conductor, SIAM J. App1. Math., 24(1973), 596-602.

26

4 N. Dunford y J. Schwartz, Linear Operators l, lnterscience, New

York, 1957.

5 G.H. Golub y C.F. Van Loan, Matrix Computations, John Hopkins

Univ. Press, Baltimore, 1985.

6 L. J6dar, Explicit Solutions for Second Order Operator Diffe

rential Equations with Two Boundary Value Conditions, Linear

AIgebra and Appl., 103(1988), 73-86.

7 L. J6dar, Computing Accurate Solutions for Coupled Systems of

Second Order Partial Differential Equations, lnt. J. Computer

Maths., 37(1990),201-212.

8 P.Lancaster y M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, Second Ed.

Academic Press, 1985.

9 A.l.Lee y J.H.Hill, On the General Linear Coupled System for Di

ffussion in Media with Two Diffusivities, J.Math. Anal. Appl . •

89(1982), 530-538.

10 C.B. Móler and C.F. Van Loan, Nineteen Dubious Ways to Compute

the Exponential of a Matrix, SlAM Review 20(1978),801-836.

11 J.M. Ortega, Numerical Analysis, A Second Course, Academic Press,

New York, 1972.

12 W. Troy, The Bifurcation of Periodic Solutions in the Hodgkin

Huxley Equations, Quart. Appl. Math.,(l978), 73-83.

13 W. Troy, Oscillation Phenomena in the Hodgkin-Huxley Equations,

Proc. Roy. Soco Edinburgh 74A (1976),299-310.

14 K.M. Anstreicher y U.G. Rotblum, Using Gauss-Jordan Elimination

to Compute.the lndex,Generalized Nullspaces and the Drazin ln

verse, Linear AIgebra Appl. 85(1987), 221-239.

Lucas J6dar y Matilde Legua

Departamento de Matemática Aplicada

Universidad Politécnica de Valencia

Apdo.22.012 Valencia ESPARA

Recibido en Mayo de 19 9 1 . V e r s i6n mo difi c a d a e n Jun io de 1 9 9 2 .


RESULTADOS SOBRE CLASES Ap EN ESPACIOS DE TIPO HOMOGENEO

ANA BERNARDIS y OSeAR SALINAS

27

RESUMEN: Se prueba que si w E Ap, 1 < p < 00, para una bola B de un espacio de tipo homogéneo con medida regular, luego las reordenadas no decreciente y no creciente de w están en Al' del intervalo [O,JL(B)]. Esto proporciona otra demostración de que si w está en Ap, también está en Ap_< para algún é > O. Se obtiene, además, una estimación del é Y una nueva caracterización de Ap.

§l. INTRODUCCIÓN. Sea X un conjunto con una casi-métrica, es decir una función no negativa d(· , ·) definida

en X x X, tal que

( 1 . 1 )

( 1 .2)

( 1 .3)

d(x , y) = O si y solo si x=y d(x , y) = d(y, x) existe una constante finita K > O tal que d(x , y) :::; K(d(x , z) + d(z, y))

Sea JL una medida positiva definida en una u - algebra de subconjuntos de X que contiene las bolas B(x , r) = {y E X/d(x , y) < r} y tal que existe una constante D > O para la cual se verifica

( 1 .4) 0< ¡J(B(x, 2r)) :::; D¡J(B(x , r)) < 00,

para todo x E X Y todo r > O.

Este trabajo fue realizado mientras los autores disponían de becas del Consejo

N acional de Investigaciones Científicas y Técnicas de la República Argentina.

1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision) : Primary 28A25.

28

Al conjunto X con la casi-métrica d y la medida Jl lo llamaremos un espacio de tipo homogéneo y lo denotaremos con (X,d,Jl)'

Las clases Ap de Muckenhoupt en espacios de tipo homogéneo fueron introducidos por A. P. Calderón en [C]. Para pE (1,00), dichas clases están conformadas por las funciones no negativas y localmente integrables w que satisfacen

(1 .5) 1 i ( 1 i ) P-l

w dJl w-l/(p-l) dJl < A < 00 Jl(B(x, r» B(x,r) Jl(B(x, r» B(x,r) - ,

para todo x E X Y todo r > 0, para alguna constante A. Si una función w verifica (1.5) diremos que w pertenece a Ap con constante A. Si las bolas B(x, r) se toman solo dentro de una bola fija Bo = B(xo,R) diremos que w pertenece a Ap en Bo.

Finalmente, denotaremos con w. y w' a las reordenadas no decreciente y no creciente, respectinamente, de una función w.

En 1989, Ingemar Wik ( [W]) probó, para X = IRn con la métrica euclídea y la medida de Lebesgue, que si w E Ap en un cubo Q, luego w. y w' pertenecen a Ap en [0 , 1 Q IJ. Usando este resultado, a su vez, dió otra demostración de que si w E Ap luego w E Ap_< para algún é > 0, obteniendo al mismo tiempo, una estimación del é. El propósito de este trabajo es extender estos resultados al caso de un espacio de tipo homogéneo (X,d,Jl) con Jl una medida regular. Concretando, nuestros resultados principales son los siguientes:

(1.6) TEOREMA: Sea w E Ap en una bola Bo con constante A. Luego w· (w. ) pertenece a Ap en [O, Jl(Bo)J con constante A = 2P A6+l D(6+1 )p-l.

(1.7) TEOREMA: Sea w E Ap con constante A. Luego w E Apu para todo PI > P - O"(p - 1), con constante

1 ( pl - 1 ) Pl-l � PI - P + O"(p - 1) ;

donde O" = (2(2A)1 /(P-l») - 1 , el = 2-Q(p-l) A-l y A es la constante del Teorema anterior.

Como consecuencia del Teorema anterior, es posible obtener otra caracterización de Ap.

(1.8) COROLARIO: Una función no negativa, localmente integrable w está en Ap, p > 1, si y solo si existe un número PI, 1 < PI < p, y una constante A, tal que para toda bola B

( 1 .9)

para todo conjunto medible E e B.

w(E) > A (p(E»)Pl w(B) - Jl(B) ,

Las técnicas que utilizaremos para la demostración de los resultados anteriores son una adaptación de las aplicadas por 1. Wik. Dichas demostraciones son presentadas en §3. El §2 está dedicado a algunos resultados técnicos.

29

§2 . RESULTADOS TÉCNICOS. Comenzaremos con dos lemas de cubrimiento. El primero nos servirá para probar

el segundo.

(2 . 1 ) LEMA: Sea E un subconjunto acotado de X y {B(x , r(x))} un cubrimiento de E. Luego, existe una sucesión de bolas disjuntas {B(x¡ , r(x¡))} tal que E e U:l B(x¡ , SKr(x¡», donde K es la constante de (1 . 9 J .

Demostración: Ver [CW] , pág. 69 #.

(2 .2) LEMA: Sean E un conjunto medible con medida finita y A E (0 , 1 ) . Supongamos que E está contenido en una bola B y que p.(E) :s Ap.(B) . Luego existe una familia numerable {B(x¡ , r¡ ) } de bolas disjuntas tales que:

(2 .3) D- 1 A < p. (B(x¡ , r¡ ) n E) :s A , p.(B(x¡ , r¡ ))

donde D es la constante de (1 .4J

00 (2 .4) E' e U B(x¡ , SKr¡ ) ,

i:l

donde E' difiere de E en, a lo sumo, un conjunto de medida nula.

Demostración: Para cada x E E, sea R(x) = {r > Ojfl<;t�f) > A , B = B(x , r)}. Es claro que, excepto por un conjunto de medida nula, R(ir) f- 0 y está acotado superiormente. Indicaremos con E' a E menos dicho conjunto, Sea x E E' , luego existe r(x) > O tal que se verifica simultaneamente

p.(E n B(x .r(x)/2)) A p.(B(x , r(x)/2)) > , p.(E n B(x , r(x)) \

« A . p.(B(x, r x)) -

Ahora, aplicando el Lema anterior a la familia {B(x, r(x))}xEE" obtenemos una subfamilia numerable de bolas disjuntas {B(x¡ , r¡n tal que E' e U:l B(xi , 5Kr¡ ) . Además

A > p.(E n B(x , r(x ))) - J.I(B(x , r(x)) )

> p.(E n B(x , r(x)/2)) > D- 1 A - p.(B(x , r(x))) ,

con lo cual tenemos, en particular, (2 .3) para la sucesión hallada y queda demostrado el lema.#

(2 .5) OBSERVACION: Notemos que el lema (2.2) no es sino un caso particular de la descomposición de Calderón-Zygmund .en espacios de tipo homogéneo (ver, por ejemplo, [MS] ).

A continuación presentamos dos resultados de teoría de funciones en IR. Los mismos ya fueron aplicados por Wik para obtener el Teorema (1 .7) para X = IRn •

30

(2.6) LEMA: Sea g' una función integrable en [0 , 1] Y e una constante tal que

(2.7.) . 1 9(U) du � etg(t) ,

Luego

Demostración : Sea u = l/e. Multiplicando ambos miembros de (2.7) por t- 1 -u e integrando, obtenernos

Un cambio de orden de integración nos conduce a

aU _ 11a . 1 1 1 1 1 -- g(u) du + - (u-U - l)g (u) du � e r" g(t) dt . (f o (f a a

Luego, corno ue = 1 , se sigue

que es nuestra tesis .#

(2.8) LEMA: Sea f una función no decreciente y positiva en [0, 1] tal que

(2 .9)

para algún p > 1 , alguna constante Al y todo t E (0 , 1] . Luego

1t f(u) du 2: e1tP-u(I'-1 ) 1 1 f(u) du,

Demostración : Usando el hecho qUe .

, O � t � l ,

de (2.9) s e sigue

10 que, a su vez , permite obtener

Luego, la función g(u) = f(u/2)- 1/(P- 1) satisface las hipótesis del Lema (2.6), entonces :

para (j = (2(2Ad/(P- 1 ») - 1 . De esta desigualdad se sigue que

(2.10) J� f(u)- lf(P- 1 ) du � (2t)" J01 /2 f(u)- 1 /(p- 1) du

� (2t)" l f(�)- 1 /(P- 1 ) du vale para O � t � 1/2 . Por otra parte, aplicando la desigualdad de Holder, obtenemos

¡t ( ¡t ) P,""l tP � Jo f(u) du Jo f(u)- 1 /(P- 1) du ,

10 que, combinado con (2.10), nos lleva a

¡t ( ¡1 ) -(P- l ) Jo f(u) du � 2-,,(p-l)tp-,,(p-l) Jo f(u)-l/(p-l) du .

Aplicando nuevamente (2.9) , resulta

con 10 que queda probado el lema. #

32

§3 . DEMOSTRACIONES DE LOS TEOREMAS. Con los resultados de la sección anterior, estamos en condiciones de proceder con las demostraciones de ( 1 .6) , ( 1 .7) Y (1 .8) .

Demostración del teorema (1 . 6) : Sean a > 0 , E = {x E Bo/w(x) ::; a} y {B; }::l la familia de todas las bolas disjuntas obtenida aplicando el Lema (2.2) a E con A = 1/2 . Dado que w E Ap , se verifica

r ( r ) - l/(p- l ) lB; w- 1/(p- l ) dJi. ::; Ji.(B¡ )P/(p- l ) AP/(p- l) lB; w dJi. ,

para todo i. Como, por (2 .3) , w > a en, al menos , la mitad de cada B¡ , resulta que

(3 . 1 )

r w- 1/(p- l ) dtt ::; tt(B¡t/(P-l\2A)1 /(P-l )a- 1 /(p- l)tt(B¡ )- 1 /(p- l ) = (2A) 1 /(P- l )a- 1 /(P- l )tt(B¡ ) JBi

Por otra parte, puesto que la medida dada por w- 1/(p- l ) satisface una propiedad como ( 1 .4) con constante A1/(p- l )V/(p- l ) , indicando con B¡ a la dilatada SI< veces de B¡ y con 8 a IOY2D + 1 , resulta

l w- 1/(p- l ) dtt::; l iJ tt- 1/p- 1 dtt::;l: w- 1 /(P- l )(B;) ::; A�/(p- l ) D�P/(P- l )l: w- 1/(P- l )(B¡ ) . , • s I

Luego, de ésto y (3. 1 ) , se sigue:

(3.2) 1 w- 1/(p- l ) dtt ::; A �/(p- l ) D�P/(P- l )(2A) 1/(P- 1 )a- l/(P- l )L tt(B¡ ) E ¡

::; (2A)(�+1 )/(P- l)2-�/(P-l ) D�p/(p- l )a-l/(p- l )2D l:tt(E n B¡) ¡

Ahora, a partir de la definición de w. y la última desigualdad, es claro que

vale para todo bE [O , tt(Bo») ' Luego, teniendo en cuenta ésto y las desigualdades

1 rb b - a la

w.(t) dt ::; w.(b) ,

33

es iDEnediato que

1 lb ( 1 ¡t ) '- 1

b _ a Ja w.(t) dt

b _ a Ja W. (t)- 1 /('- 1 ) dt � 2' A(6+1) n<6+1 ),- 1 ,

vale para todos los a y b tal que O � a < b � p(Bo) . Esto prueba nuestra tesis para w •. El razonamiento para w· es similar.#

(3 .3) OBSERVACION: A partir de la demostración anterior se puede._ver que w también satisface una desigualdad de tipo A, para los conjuntos {z E Bo/w(z) � a} , a > o. En efecto, indicando con Ea a dichos conjuntos, la desigualdad (3 .2) y el hecho obvio que fE. w dp � ap(Ea) permiten obtener

_1 _ I w dp (_1 _ I w-1/(,- 1) dP) '- l < 2' A(6+1 ) D6(,+1 )- 1 . p(Ea) JE. p(Ea) JE. -

Demostración del Teorema ( 1 .7) : Sea B una bola en X . Como w E A" es claro que w E A, en B. Luego, del Teorema ( 1 .6) se sigue que

vale para todo b E (O, p(B)] . Luego, haciendo el cambio de variables u = sJ.l(b) e indicando con t a b/p(B), tenemos

1 ¡t ( 1 t ) '- 1 -t Jo w. (sp(B» ds t Jo w. (sp(B})- 1 /(,- 1 ) ds � A

para todo t E (0 , 1] . Entonces, a partir del Lema (2.8) resulta

(3 .4) ¡t ¡t .

Jo w.(sp(B» ds ;:: c1 t,-<>(p- 1) Jo w. (sp(B» ds

para todo t E [0 , 1] , con tT = (2(2..4) 1/(P- 1») "':l y C1 = (2,,(,- 1 )..4) -1

.

Ahora bien, como wp(B)/w(B) también está en A, con constante A, las conclusiones anteriores también valen para su reordenada no decreciente en B , la cual simbolizaremos con üí. . Luego, de (3 .4) , dado que f; üí. (sp(B» ds = 1 , tenemos

üí. (tp(B» ;:: c1t(p- 1 )( 1-,,) , Vt E [0 , 1] .

Entonces, para cada P1 > P - tT(p - 1) vale

34

� -- W- 1/(I'1 - 1 ) d¡.t = -- üi.(t) - l/(I' , - l) dt (B) ( 1 l ' )1',- 1 ( 1 11'(B)

)1',- 1

¡.t(B) ¡.t(B) B ¡.t(B) O

= üi. (t¡.t(B» - l/(I' , - l ) dt :::; � t(I'- 1 )(Q- 1 )/(I', - 1 ) dt = _ P1 -(11

)1', - 1

(11

)1',- 1 1 ( 1 )

1',- 1 O C1 O C1 P1 - P + U(p - 1 )

con lo que concluye la demostración del Teorema.#

Demostración del Corolario(1 . 8): Supongamos que w E Al" Luego, por el Teorema (1 .7), sabemos que existe P1 E ( l , p) tal que w E Al" con una constante A- l . Entonces, para cada bola B e x, aplicando la desigualdad de Holder, tenemos

, (¡.t(E» ) I" = (_1 r ) 1" ¡.t(B) ¡.t(B) JB XE d¡.t

1 1 ( 1 1 )1', - 1

< -- X w d¡.t -- w-1/ (", - 1 ) d¡.t - ¡.t(B) B E ¡.t(B) B A-1 w(E) :::; w(B) ,

para todo conjunto medible E e B , es dicir, se verifica ( 1 .9) . Ahora supongamos que vale ( 1 .9) . Sean B una bola en X y w. la reordenada no decreciente de w en B. Luego, a partir de ( 1 .9), tenemos

11 ( t

) '" o w.(u) du � A ¡.t(B) w(B) ,

para todo t E [O , ¡.t(B)] . Esto, a su vez, implica que w. (t) � (A/¡.t(B») "' tp, - lW(B) para

dichos valores de t . Entonces

( r )1'- 1 ( r(B)

) "- 1

w(B) JB w- 1/(p-1) d¡.t = w(B) \Jo w.(t) - 1 /(p- 1 ) dt

(B)I' ( r(B) )1'- 1 :::; T Jo t(-p, - l )/(I'- l ) dt

= A-1 ( p - 1 )

p- l¡.t(B)I'

P -' P1

de manera que w E Al" Y queda probado el corolario.#

. 35

BIBLIOGRAFIA

[C] CALDERON, A. P. : "Inequalities íor the maximal function relative to a metric" j Studia Math. 57 ( 1976),

297-306 .

{MS] MACIAS, R.; SEGOVIA, C.: "A well behaved quasi-distance for spaces of homogeneous type" , Trabajos de

Matemá.tica, N°n, Instituto Argentino de Matemá.tica, (1981) , 1-18 .

[W] WIK, 1. : " On Muckenhoupt's classes oí weight functions" , Studia Math. 94 ( 1989) , 245-255.

Programa Especial de Matemática Aplicada,

Güemes 3450 , 3000 Santa Fe

Universidad Nacional del Litoral.

R e c ib i d o en m a y o d e 1 9 9 2 .


THE DISTRIBUTIONAL CONVOLUTION PRODUCTS OF (P ± iO)A . I<.}(P+) AND (mi + P ± iO)A . 1<·}(m2 + P)

MANUEL A. AGUIRRE

Abstract: In this note we establish the distributional eonvolution produets of the form (P ±

iD)>' * c5(Io} (p+ ) (e.E. (1,2,12), (1,1 ,40), (1, 1 ,41), (1, 1 ,42) and (1,1 ,43)) and (m2 + P ± iD)>' * c5(Io} (m2 + P) (e.E. (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6), (1,3, 7) and (1,3,8)) .

We obtain the results by using systematieally the Fourier transformation and to obtain (m2 + P ± iD)a-l * c5(Io} (m2 + P) we have employ the expansion

c5(Io} (m2 + P) = L: (:2r c5(Io+JI}(P+ ) JI?:,:o

(e.E. [2] , page 6, formula (1, 1,24)) .

The eonvolution produet (P ± iD)>' * c5(Io} (p+ ) generalizes the result ([1 ] , page 13, formula (1 ,3,6)).

1.1 Introduction:

Let P be a non degenerate quadratic form in n variables on the form,

36

(1,1 , 1 )

w�ere n = JI. + JI and c5(Io}(P+) the derivate of k order oí the delta measuxe of Dirac (cf. [5] , page 249) .

The distribution (P ± iD)>' i s defined by

(P ± iD)>' = lim(P ± ie(z)2 )\ (1,1 ,2) e-+O

where e > D , Iz l 2 = zi + . . . + z�, A E e .

These distributions are analytic in A everywherf' except at A = - i - k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , where

they have �imple poles (cf. [51 , page 275) .

In this paper, we give a sense to the products of convolution:

(1,1 ,4)

and (1,1,5)

37

where,

e > O , m a positive real number.

Here * designates as usual the eonvolution.

To obtain (1,1 ,4) and (1,1 ,5) we take into aeeount the following results ,

( [5] , page 278) ,

(P ± iO)>' = P'; + e:Hwi P� , ( [5] , page 276) ,

(P ± iO)>' . (P ± iO)!' = (P ± iO).\+!', ( [7] , page 23 , formula (1,3 ,1» n A and p. are eomplex numbers such that A, p. and >. +- p. i= - 2" - k ,

k = 0 , 1 , 2 , . . . ,

(P+iO)1e = (P - iO)1e = pie ( [5] , page 276) ,

k integer non negative;

{ (P ± iO)>' } 1\ = a(>., n)e'f.qi (Q 1= iO)->'- ]- , [5] , page 284) ,

{P';}" = b(>., n) [e-Wi(.\+;'>(Q _ iO)->'- ]- - ewi(>'+;' > (Q + iO)�>'- � ] , ( [5] , page 284) ,

{P�}I\ = -b(A, n) [e- � (Q - iO)->'- � - e 7�V (Q + iO)->.- t] , and ( [5] , page 284)

(m2 + P ± iO)>' = � (m2 )" r(>. + 1) (P ± iO)>'-k L..., k ! r(>. - k + 1)

, "=0

(ef. [2] 'page 4, formula (1,1 ,13»

for m2 $ P(z) and >. i= k - T - 1 , 1 = 0, 1 , 2 . . . .

Where,

(1,1 ,6)

(1,1 ,7)

(1,1 ,8)

(1,1 ,9)

(1,1 ,10)

(1,1 ,11)

(1,1 ,12)

(1,1 ,13)

(1,1 ,14)

(1,1 ,15)

(1,1 ,16)

(1,1 ,18)

38

In (1,1 ,1 1 ) , (1 ,1 ,12) and (1,1 ,13) . Here /\ designates the Fourier transform:

¡ = f .f (z)e-i("' ,y} dz , (1,1 ,19) lRn where ( z , y) = Z l Yl + Z a Ya + . . . + ZnYn '

The distribution (P ± iO )>' have poles at the point A = - 1- - k , k = 0 , 1 , 2 , . . . and from

[5] , page 276 we have,

where

JL + II = n . On the other hand, from (1,1 ,8) and taking into account the formula:

r(A)r(1 -- A) = 7r ese h( [4] , page )

we have,

From (1,1 ,23 ) , taking into account (1, 1 ,7 ) , (1,1 , 11 ) and the formula

we have,

where

Residuo r(z) = (_1 )k ( [3] , vol I, page 2) , z=-k k !

{ (P _ iO)-k-l _ (P + iO )-k-l } " = =d( n, k , 7r ) [e"7ri/2 ( Q + íO) - Hk+l _ e -lI1ri/2 ( Q - iO) - %+k+l ] ,

(1,1 ,21)

(1,1 ,22)

(1,1 ,23)

(1,1 ,24)

(1,1 ,25)

(1,1 ,26)

On the other hand, the distribution ÓCkl (p+) exists only if k < � - 1 (c .f. [5] , page 250) . We observe that (m2 + P±iO)>' are entire distributional functions of A . Tbfs is the principal

difference b etween the distril?utions , formally analogue (P ± iO)>' which have poles at the points n A = - '2 - k , k = 0 , 1 , 2 . . . .

39

1.2 The convolution product (P ± iO)A * 6<�)(p+)

LEMM A : Let A and p, be complex numbers such that A, p, and A + p, f:. - I- - k , k =

0 , 1 , 2 , . . . , then the following formulae are valid,

p.-/')7ri (p _ iO)>' • (P + iD)/' + e-(>.-/,)1ri (p + iD)>' • (P - iD)" =

= [1 - C(A, p,)] e(>'+/,)lI'i(p + iO)>'+/' (1,2,1)

and

(P + iD)>' • (P - iD)" + (P - iD)>' • (P + iD)/' = = [1 + C(A , p,)] (P - iO)>'+/' + [1 - C(A , p,)] (P + iO)>'+/'

where

C( A , p,) = 2i sin h · sin p,7rcsc( A + 1L)7r

and (P ± iD)>' is defined by the equation (1, 1 ,2).

Proof Prom [5] , page 277, formula (3 ) , we have,

and

The distributions P� and p� have two sets of singularities , namely, A = - 1 , -2 , . . . - k , . . . and

A = - I- ' - I- - 1 ' ' ' ' ' - I- - k , . . . .

(1,2,2)

(1 ,2 ,3 )

(1 ,2 ,4)

(1 ,2 ,5)

Therefore, for A, p" A + p, f:. - I - k and A, p" A + p, t= - 1 , -2 , - 3 , . . . and taking into account the formulae (1 , 1 ,8 ) and (1,1 ,4) we have ,

and

- (2it1 (sin(A + p,)7r)-1 [e-(>'+/')1I'i (p + iO)>'+/' - e( >'+ /,)1fi (p - iO )>'+/'] =

= P;+/' = P;" Pt = (2i sin A7rt1 . (2i sin p,7rt1 •

[e-hi(p + iD)>' - e>'1ri(p - iD)>'] . [e->'1ri(p + iD)>' - e/'1I'i (p - iO )"] =

(2i sin h-1 • (2i sin p,7r ) -1 { [e-(>'+/,)1ri (P + iO)>'+/'+ + e{ >'+/')1ri(p _ iO)>'+/'] - [e( >'-/')1I'i (p - iD)>' . (P + iO)"+ + e-(>'-/')1ri(p + iO)>' • (P - iD)"] }

2i sin(A + p,))-1 [(P + iO )>'+/' - (P _ iO )>'+/'] = p�+n = p� . P� = (2i sin A7r )- 1 . (2i sin p,7r) - 1 . [ (P + iD )>' - (P - iD)>'] . [(P + iD)" - (P - iD)/'] =

(1 ,2 ,6 )

and

and

40

=(2i sin .h)- 1 . (2i sin Il1l')-1 . { [(P + iO ) >'+/l + (P - iO)>'+/l] -- [(P + iO)>' • (P - iD)!' + (P - iO)>' • (P + iO)!'] }

From (1,2 ,6) and (1,2 ,7) we have,

(P + iO)>' . (P - iO)/l + (P - iO)>' • (P + iO)!' =

_ (P . )>'+/l [ (2i sin(>. + 1l)1I')-1 ] - + ill 1 - + (2i sin >.11' )- 1 (2i sin 1l7r)- 1 P . >'+/l [ (2i sin(>. + 1l)1I') -1 ] + ( - tO) 1 + (2i sin h)-1 (2i sin Il1l')- 1

From (1,2 ,8 ) and (I ,2,9) we obtain (1,2 ,9)

e( >'-/l)7ri (p _ iO) . (P + iO)!' + e-( >.-/l)1rí (p + iO )>' . (P - iO )!' =

= [1 + c(� , Il) ]e-(>.+/l)1rí (p - iO) >.+/l + [1 - c(>' , Il)] ' • e( >'+/l)1!"i (p _ íO ) >.+/l

(P + iO )>' • (P - iO)!' + (P - iO ) '\ • (P + iO)!' =

= [1 + c(>', Il) ] (P - iO)>.+/L + [1 - c(>' , Il)J (P + iO)>.+/L .

Where c(>', Il} is defined by the equation (1,2 ,3) . Formulae (1,2 ,10) and (1,2 , 1 1 ) are identical with formulae (1,2 , 1 ) and (1,2 ,2) .

(1,2 ,8 )

(1,2 , 10 )

(1,2 , 1 1 )

n . THEOREM Let >. a complex number such that >. # - - - k , >. # - k , k a non negatlve 2 integer and n dimension of the space such tbat ?!: - k - 1 be a p ositive integer, it results the

following formula: 2

(P ± iO )>' d( k) ( p+ ) = K(>', n, k , 'Ir , i ) .

[AlI,n (>.)e -�� ¡ (P - iO )>.+ � -k-l + B",n(>.)e "; ' (P + iO )>'+� -k-1 ]

where, (P ± iD) is defined by the equation (l,2,12), (l,I ,2), §(k) (p+) by the e.quation (l, I , 7) ,

K(>., n, k , lI' , i) = b(>. , n)d(n, k , lI' , i) . [a ( >. + � _ k _ 1 , n) ] - 1 , (1 ,2 ,13)

41

A",n('\) = eH,,¡ [e"¡" - 1 + c( - ,\ - i , - i + k + 1) ] + e>',,¡ [-e"¡" + (_I)U (1 + c( - ,\ - i , -i + k + 1) ) ] ,

B",n('\) = eH,,¡ [e-"¡" - 1 - c ( - ,\ - i , - i + k + 1) ] +

+ e->'''¡ [-e-"¡" + (-lt (1 - c( - ,\ - i , - i + k + 1) ) ] ,

(1,2,14)

(1,2,15)

a('\, n) is defined by (1, 1 , 15), b('\, n) by (1,1 ,16), d(n, k , 'Ir , i) by (1,1 ,26) and c('\, n) by (1,2,3).

Here * designates, as usual, the convolution.

Proof: Let P+ the generalized function defined by the equation (1 ,1 , 17) and {6( k) (p+ n" by the equation (1,1 ,25 ) where 1\ indicates the Fourier transformo

On the other hand, from [5] , page 276 (P ± iO)>' are entire distributions

function in ,\ everywhere except at ,\ = -� - k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , 6( k) (p+) E S' , where S' 2

( [6] , page 233) is the dual of S and S is the Schwartz set of functions ( [6] , page 268) , that the following formula is valid

{ (P ± iO)>' * ,5<k) (p+) } " = { (P ± iO)>' } " • {6(k) (p+) } " for ,\ f:. - j - k , k = 0 , 1 , 2 , . . . . (1 ,2 ,16)

Prom (1,2 ,16) and taking into account the equations (1,2,8 ) , (1 ,1 ,12 ) , (1 ,1 ,13 ) , (1,1 ,25 ) and (1,1 ,9) we have,

{ (P ± iO)>' * 5(k) (p+) } " = [{P';}/\ + e±'>.1r¡{P�}"] . {6( k) (p+) }" =

= { b('\, n) [ e'lfi>'e- T;" (Q - iO)>.t - e'lfi>'e ";� e o;; (Q + iO)->'- j- ] _

- beH1ri [e-1!"i � (Q - iO)->'- j- - e1ri� (Q + iOt->'- � ] } •

• {d(n, k , 'Ir) ' [e o;; (Q + iOt �+k+l - e- -"f' (Q � iOt �+k+l ] } =

= d(n, k , 'Ir)b(,\ , n) { [(e->'1ri(Q - iO)->'- � • (Q + iO)- �+k+l +

+ e>.1ri(Q + iO)->' - � . (Q _ iO)�+k+l ) _ (e-v1rie->'1ri(Q _ iO )- >'- � - '} +k+ l + ({ Q - iO) - >'-� • (Q + iO)- �+k+l + (Q + iOt>'- � • (Q - iO)- �+k+ l ) - e1riv(Q _ iO)->'- � - �+k+l + e1riv(Q + iO)->'- � - F k+l )] } _ (1,2 ,17)

Prom (1,2 , 1 ) and (1,2,2 ) , we have

e->'1ri(Q _ iO)->'- � . (Q + iO)- Fk+l + e>.1ri(Q + iO)->'- j- . (Q - iOt j-+k+l =

= ( _1 )k+l [e( ->.-k-l )1ri (Q _ iO)->'- � . (Q + iO) '}+k+l + + e-( ->.-k-l )1ri (Q + iO)->'- � . (Q - iO)- �+k+l l =

= ( _1 )k+l [e( ->.- � -( - �+k+l ))1ri ( Q _ iO) ->'-� . (Q + iO)- �+k+l + + e- (->'- j- -( - j-+k+1)) (Q + iO)->'- j- . (Q - iO)- j-+k+l ] =

= ( _1)k+l [( 1 + c)e-( ->.- F( - �+k+l » 1ri ( Q + iO)>'- ;- -�+k+l + + (1 - c)e( ->' - F(- Fk+1))1r¡ (Q - iO)->'- � - �+k+l ]

= [( 1 + c)( -lte>.1ri(Q + iO)->'- � - Fk+l ] (1,2 ,18 )

and

42

(Q _ iO)-A- � . (Q t iO) - y+k+1 t (Q t iO)-A- � • (Q - iO )- Fk+1 =

= (1 t c) (Q - iO) -A- y - �+k+1 t ( 1 - c) (Q + iO)-A- �- �+k+1 ,

where e = c ( - A - i - i t k t 1) and C(A, n) is defined by the eqüation (1,2 ,3 ) .

Therefore , from (1,2 ,17) and (1,2 ,18 ) we have,

[Av.n(A) (Q t iO)-A- � - Hk+1 t Bv.n(A)(Q - iO)-A- � -:- y+k+1 ] ,

where, b(A , n) is defined by (1,1 ,16 ) , d(n, k , 1I") by (1 , 1 ,26 ) ,

Av.n(A) = eH,.i [e1riV - 1 t c ( - A - i , - i t k t 1) ] t

t eA1ri [_eV1ri t ( - 1 t (1 t c ( - A - i , - i t k t 1) ) ] +

Bv.nU,) = eH1ri [e-1riV - 1 - c ( - A - i , - i- t k t 1 ) ] t

t e-A1ri [_e-1riV t ( - 1t (1 - c ( - A - i- , - i t k t 1) ) ] ,

and c(A , n) is defined by the equation (1,2,3 ) .

On the other hand, from (1 , 1 , 1 1 ) we have,

{ (P ± iO).\H -k-1 }1I =

=a ( A t i - k - 1 , n) é q.! (Q ::¡: iO)- A- � - y+k+1 ,

(1,2 , 19)

(1 ,2 ,20)

(1,2 ,21 )

(1 ,2 ,22)

(1 ,2 ,23)

where a(A , n) is defined by the equation (1 , 1 , 15 ) and A indicates the Fourier transformo

From (1,2,20 ) and taking into account the equation (1,2 ,23) we have,

{ (P ± iO)A * Ó(k) (pt) } 1I = k(A" k , 1I" , i ) •

• { Av.n(A)e- q.! (p - iO)A+ y-k-l t Bv.n(A) (A)e ·�¡ (P t iO )A+ �-k-1 } 11 (1 ,2 ,24)

where

k (A, n, k , 1I" , i ) = b(A , n)d(n, k , 1I" ) [a ( A + i - k - 1 , n) ] -1 , (1 ,2 ,25 )

a(A , n) is defined by the equation (1,1 , 15 ) , b(A , n) by the equation (1 , 1 , 16) and d(n, k , 1I" ) by

the equation (1, 1 ,26 ) . Finally, using the theorem o f unicity for the Fourier transform, froID (1 ,1 ,24) w e conclude,

(P ± iO )A * Ó(k) (Pt) = k (A, n, k , 1I" , i) •

• [e .�¡ Av.n(A) ( P - iO)A+ y-k-1 t Bv.n(A)e � (P t iO )A+ y- k- l ] ,

43

where k()' , n, k ,:n· , i) , A",n().) and B",n().) are defined by (1,1,25) , and (1,2,22) , respectively.

and

Formula (1,2,26) proves our assertion (1,2 ,12) .

On the other hand, from (1,2 ,3) , we have,

e ( - ). - � - � + k + 1) = 2 ' 2

-2i sin ( ). + �) ,.. . sin (� - k - 1)",

Therefore from (1,2,27) we have,

c ( - ). - � - � + k + 1) = O 2 ' 2 ' if n is even,

e ( - ). - � , - � + k + 1) = 2i cos ).,.. • e s e ).,.. , if n is odd.

(1,2 ,27)

(1,2 ,28)

(1,2 ,28)

From (1 ,1 ,14) and (1 ,2 , 15 ) and taking into account the equations (1,2,28) and (1,2,29) we have the following conclusions :

1 . If n and v are even, then

andB",n().) = O,

2 . If n is even and v is odd, then

A",n(A) = - 2(e±hi - eA,..i ) and

Bv,n(.�) = - 2(eH,..i -, e-A,..i ) .

3 . If n is odd and v is even, then

4 . If n and v are odd, then

Also, taking into account the equations (I,1 ,15 ) , (1,1 ,16 ) and (1 ,1 ,26 ) we have,

Oll the other hand, taking into account the equation (1,1 ,21 ) we have,

r ( _ ). _ � + k + 1) = _I1

_ . ___ --,-1

_-=-_,-2 sin )"" ( - l ) � -kT ()' + � - k) '

(1,2,30)

(1,2 ,31 )

(1,2,32)

(1,2 ,33)

(1,2,34)

(1,2,35)

if n is eyen ,

and

if n is odd.

44

r ( - A - � + k + 1) = 'Ir 1

cos h . (- 1 )k ( -1 ) u;- ' r (A + � - k) ,

Prom (1 ,2 ,34) , (1 ,2 ,35 ) and (1,2 ,36) we have ,

and

where

- JI K = K(A , n, k ) ) !!. -k ' \ ' if n is even, t -1 2 Sm A'Ir

- JI K = K(A, n, k ) u , , if n is odd, ( - 1 )k ( - 1 ) -' C O S A'Ir

(1 ,2 ,36 )

(1 ,2 ,37 )

(1 ,2 ,38 )

(1 ,2 ,39 )

Therefore , taking into accout that n = J1. + 11 , wher-a J1. is the numb er of the p ositive

squares and 11 is the number of the negative squares and taking into account (1 ,2 ,30 ) , (1 ,2 ,31 ) , (1,2,32 ) , (1 ,2 ,33 ) , (1,2,34 ) and (1 ,2,38 ) , the equation (I ,2 ,12 ) can also be explicitely written as

the following formulae :

1 . (P ± iD»- * 5(k) (p+ ) = O , if n is even and 11 even. (1,2 ,40) 2 . (P ± iO)>' * 5( k) ( p+) = 4+1 K(.\, n, k ) 'Ir ( - 1 ) "';1 ( _ 1 ) y -k • (P ± iO)>.+ Y -k-1 , if n is even

and 11 is o dd. (1 ,2 ,41)

3 . ( P ± iO)>' * 5( k) (P+) = ::¡:4i( _ 1 ) ;'2 K(A , n, k )'lre±>. ... i . p�+ lf -k-1 , i f n is odd and 11 is even.

(1 ,2 ,42 )

4. (P ± iO ) >' * 5(k) (P+) = ± 4i( -1 )� , K(A , n, k)'Ir . p+>'+ lf -k-1 if n is o dd and 11 odd. ( - l )k ( -1 ) ....

(1 ,2 ,43 ) or equivalently,

5 . ( P ± iO)>' * 5<k) (p+ ) = ±4( _l )k ( - 1 ) Y K(A, n, k ) . 'lrp+>'+ lf -k-1 if n is o dd and J1. is even. (1,2 ,44)

Here K(A , n, k ) is defined by the equation (1 ,2 ,31 ) .

In particular, if A = 1 is a noncnegative integer , from (1 ,2 ,40 ) , (1 ,2 ,41 ) . (1 ,2 ,42 ) , (1,2 ,43 ) and (1 ,2 ,44) and t aking into account (1 , 1 ,8 ) we have,

1. pI * 5( k) (p+ ) = O , if n �s even and 11 even. (1,2 ,45)

2. pl � 5( k) (P+) = ( - 1 ) e:¡.! M(n, k )P'i+I-k-1 , if n is even and 11 odd. (1,2 ,46 )

45

3. pi * Ó( k) (P+) = :¡:(_1 ) 1 (_i)(_ 1 )k(_1 )h n;2 . M(n, k ) . p�+ 'f -k-l if n is odd and 11 is even. (1,2,47)

4. pl * Ó(k) (p+) = :¡:( -1 ) 1j- ( - 1)i1l"� M(n, K) . p+l+ t-k-1 if n is odd and J.L is even. (1,2 ,48)

r(l + l )r( 1 + �)11" n;2 where M(n, k ) =

r(l + � + � _ k _ l)r(l + � _ k) (1,2 ,49)

We observe that the formulae (1,2,45) and (1,2 ,46) appear in [1 ] , page 13 , formula (1 ,3 ,6) .

1.3 The convolution product (m2 + p ± iO)� . 6<Jo}(m2 + P)

A natural generalization of the Theorem (paragraph 1,2, formula (1,2 ,12) is obtained by taking into the equation (1,1 ,14) and the formula,

( c .f. [2] , page 6, formula (1,1 ,24) ) . In fact , from (1,1 ,14) and (1,3 , 1 ) , we have,

where

(m2 + p ± iO)" * ó(k) (m2 + P) =

= L D-y{'\, s, m2 ) [( P ± iO)"-' * ó( k+"Y- ') (P+)] , "Y�o

2 "Y (m2 )"Y r('\ + 1)

D"Y('\ , s , m ) = � s ! (r - s) ! r('\ - s + 1)

(1,3 ,2)

(1,3 ,3)

Therefore, from (1 ,3 ,2 ) and taking into account the equation (1,2 ,12) we have proved the following

THEOREM : Let ,\ a complex number such that ,\ '1 _ ?:. - k , ,\ '1 -k , k a non-negative 2

integer and n the dimension of the space such that ?:. - k - 1 be a positive integer, then the

following formula is valid: 2

k('\ - s , n, k + l' - s , 11" , i) [A ... ,n('\ - s)e - �T ' (P + iO )"+ j- -(k+"Y)- l+

+ B ... ,n('\ - s )e "; ' (P + iO)"+ t-(k+"Y)-l j , (1,3 ,4)

where, k('\ - s , n, k + 1' - s , 1I" , i) is defined by (1,2,13), A ... ,n('\ - s) by (1,2, 14) and B ... ,n('\ - s) by (1,2, 15) .

In particular, from (1,3,4) when m2 = O , l' = O , and taking into account the formula (1,3,1) we obtain the formula (1,2, 12) (paragraph 1,2).

On the other hand, taking into account (1,2,40), (1,2,41), (1,2,42), (1,2,43) and (1,2,44) the

formula (1,3,4) can also be, explicitely, written in the following manners:

46

1 . (m2 + P ± iO)>' * 6( k} (m2 + P) = O iE n is even and v even. (1,3,5)

2. (m2 + P ± iO)>' * 6(k} (m2 + P) == ¿:')'<,:o { D')' (A , S , m2 ) •

[4K(A - s , n, k + / - s , 11' ) • 11' ( -1) V� '. ( -1 ) '} -( k+')'} ] } (P ± iO)>.+ '} -( k+')'}- l iE n is even and

v is odd, (1,3,6)

3. (m2 + P ± iO)>' * 6(k} (M2 + P) = ¿ {D')' (A , s , m2 ) . ')'<':0

[ ::¡: 4iK(A - s , n, k + / - S , 1I') ' 1I'( _ 1) � e±(>.- ·}1I'i] ( _1 ) }P�+]- -(k+')'}- 1 iE n is odd and v

even. (1,3, 7)

4. (m2 + P ± iO)>' * 6( k} (m2 + P) = ¿( -1 )� D')' (A , s , m2 ) ')'<':0

[ ± 4iK(A - S , n, k + / - s , 1I') ' 1I'(-1 )( k+')'}-1 ] . P+>'+ '2- -(k+')')-1 iE n is odd and v even.

(1,3,8)

Here '1?(A - s , n, k +/ - s , 11' ) Ís defined by tne equation (1,2,39) and D')' (A , s , m2 ) by (1,3,3).

On tne otner nand, Emm [4] , page 566, we nave,

wnere,

and

2 >. { (m2 + P)>. iE m2 + P :::: O (m + P)+ == O iEm2 + P < 0

(m2 + P)" = , { ( _ (m2 + p»>. iE m2 + p :s; 0 - O ifm2 + P > O

By making A = 1 non-negative integer in (1,3, 9) we nave,

(1 ,3 ,9)

(I,3 ,10)

(I,3 , 11 )

(I,3 ,12)

Tnerefore, putting A = 1 in (1,3,5) , (1,3,6) , (1,3, 7) and (1,3,8) and takíng into account tne

equations (1,3,39), (1,3,3) and (1,3, 12) we nave,

1 . (m2 + p)l * 6(k} (m2 + P) = O iE n is even and v even.

2. (m2 + p)l * 6( k} (m2 + P) = ( _ lf�l ¿:')'>o (m2pZ !M(n, l , k ) • • (P ± iO ) l+ �-(k+')'}-l , iE n is even and ; is odd.

4. (m2 + P)l * 6( k} (m2 + P) == :J� ( -1 )� ( -l )í . ¿ (m2 )'Yl !M(n, l , k ) ( - 1 )" p+I+ � -( k+')')-l , if n is odd and v even .

')'2°

(1,3, 14)

(1,3,15)

(1,3, 16)

where

References

47

M(n, l , k ) =

"( r 1 - s + - n -2-( n ) n- 2 _ " 2 - � ( n n ) ( n ) .

6=0 S ! (-y - s) ! r 1 + "2 + "2 - k - l' - 1 r 1 + "2 - k - l' (1 ,3 ,17)

[1] M.A. Aguirre, On some multiplicative and convloution products of distributions , serie 1 , Trabajos de Matemática 105, Instituto Argentino de Matemática, IAM - CONICET , Febrero 1987 .

[2] M . A . Aguirre , Mul�iplicative and convolution products b etween Kr {c5} and the distribution c5(k} (m2 + P ) , serie 1 , Trabajos de Matemática 150, Instituto Argentino de Matemática, IAM - CONICET , Diciembre 1989 .

[3] H. Bateman, Manuscript Project , Higher trascendental functions , vol. I and n, Mc Graw Hili, New York, 1984 .

[4] D .W. Bresters, On distributions connected with quadratic forms , SIAM J. Appl. Math. , 16 : 563- 5 8 1 , 1968 .

[5] LM. Gelfand and G . E . Shilov, Generalized functions, vol. I, Academic, New York, 1964.

[6] L. S chwartz , Théorie des Distributions , Hermann, Paris , 1966.

[71 S . E . Trione, Distributional Product s , Cursos de Matemática, No. 3 , serie n, IAM - C ONICET, 1980.

Facultad de Ciencias Exact as de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires , Pinto 399, 3er. piso , ( 7000) Tandil, Argentina

R e c i b i d o en j u l i o d e 1 9 9 2 .


48

ON THE MEASURE OF SELF -SIMILAR SETS

PABLO A. PANZONE

A B S T R A C T . We exhib i t a me t hod by whi c h we can appr oxima t e the

Hausdor ff mea sur e of s e l f- s im i l ar s e t s of a c er ta in c l a s s .

O . I N T R O D U C T I O N . I n 1 . we s how a pr oc edur e for appr o x ima t ing

t he mea sur e o f c er t a in s e l f - s im i l ar s e t s . In 2 . we u se t he s e metho d s t o s how t hat i f K i s t h e Ko c h c urve then

0 . 2 6 � H 8 ( K ) � 0 . 5 9 8 9 < 2 8 - 2 , s = 1 0 g4 / lo g 3 ( examp l e 2 ) . We a l so c a l c ul a t e the mea sur e of some "r e gular " s e l f - s imi l ar s e t s

i n R 2 ( s e e examp l e 1 , Th . 5 ) . Th i s app l i c at ion cont a in s a s par t icul ar ca s e s some we l l known r e sul t s .

D e sp i t e the fac t t ha t we r ep e a t ar gument s and u s e ideas bor rowed from the wor k s o f Hut c hinson [H ] and Mar ion [M 1 ] , on the who l e t he method s hown s e ems to b e n ew .

l . T H E F U N C T I O N � . The Hausdor ff met r ic is d e fined on t he co l

l ec t ion o f a l l non empty compact sub s e t s o í Rn by

wher e [ E ] t = { x E Rn :

(d e · , · ) ) i s the usual F . ---+ K in s t ead o f J H

in f I l x - y l ! = d ( x , E ) � t } and I ! . I I y E E norm ( d i s tanc e ) . We s ha l l wr i t e dH ( F . , K ) ) O. . J j -r oo

We s t a t e her e t h e wel l - known s e l ec t ion t heor em due t'o B l a s c hke :

Let F b e an in f in i t e co l l ec t ion o f non empty compac t s e t s a l l

49

l y in g in a bounded por t ion B o f RO . Then t her e e x i s t s a s equ en e e { F j } o f d i s t in e t s e t s o f F eonver gent in t he Hausdo r f f me tr ie to a non - emp t y eompae t s e t K , ( c f . [ F ] , p g . 3 7 ) .

I A I d eno t e s t he d iame t er o f a s et A e RO and H S ( . ) i t s s -Hausdo r ff mea s ur e ( e f . [ F ] ) .

A eonvex body i s a e o mpac t eonvex s e t with non - empty int er ior .

The fo l l owin g i s a e oro l l ary o f B l a sehke ' s theo r em .

LEMMA 1 . L e t F í b e a s equ e nc e o i" compac t c o nv e x n o n - emp ty s e t s

of RO suc h t ha t

a ) 1 im I F . 1 = a > O i-+ro . 1

b ) T h e r e e x i s ts a c ompac t c o nv e x s e t F s u c h t ha t F í e F

f o r a Z l i

T h e n t h e r e e x i s t s e xi s t s a s u b s e q u e n c e F i . B u c h t ha t J

i ) F · -� K , l · H J K c ompac t a n d co nvex

i i ) I K I = a i i i ) K e F

Pr o o f . By t he ment ioned B l a s c h k e s e l e e t i o n t h e o r em we know t ha t t her e i s a subsequence F i . s ue h t ha t F j . -_.� K wher e K i 5 a

JJ H

n o n - emp t y c ompae t s e t . Obv iou s l y K e F . A s F · ---+ K we ha v e ]j H ' w i t h E · ->- O . But t h en J K e [ F i . 1 c . f o r a 1 1 j

J J (no t ic e t ha t [ F . ] ar e e ompae t convex s e t s ) and l j Ej

1 [ F i . ] . 1 - a J

E J

Thus I K I ";;; 0, . Suppo s e t ha t ! K I < ex . S ine e F í ' e [ K ] c ' we have J J 1 F í . 1 ,¡::; I [K] E . I , and l et t in g j -� ro we an ive a t a eontrad ic -

J J t ion . Th i s pro v e s i i ) and i i i ) .

We now pro ve t ha t K i s the e o nvex s e t n [ F í . J E " O b s e r v e t hat J J

50

[F . ] t ena s to K in t he Hausdor ff metr ic b ecau s e l j E j

Thus g iven E > O t her e e x i s t s j o suc h t hat

[F i . ] E . e [K ] E J J

i f

Then n [ F . 1 e K . The lj E j inc lus ion wa s a l r eady

e s t abl i s hed . T h i s f in i sh e s t he pro o f o f t he l emma . •

L e t K b e a c o mpact s e t in Rn such t hat H S ( K) < 00 ( s > O ) . Def i n e for 6 > O :

)l ( 6 ) : = sup { H s ( K n e ) ; e convex compac t and l e l 6 }

Th i s func t ion i s a ba s ic t o o l in o ur met ho d .

THEOREM 1 . )l ( 6 ) i s c o n t Ú¡ U O U B fr o m t he r i ght and non-dec rea s '¿ng.

Fo r any 6 > O , )l ( 6 ) = H S ( K n e� ) where e� i s a par t i c ula r c o m

p a c t c onvex s e t o f d i a me t er 6 .

Mo reo v er i f fo r any c o mpa c t c o nvex s e t e w e ha v e

then )l ( 6 ) i s c on t inu o u s .

Pro o f . From t he d e f in it ion o f )l ( 6 ) we know t hat t her e e x i s t s a s equenc e e i o f c o mpact c o nvex s e t s o f d iame t er 6 , a l l l y in g in a bound ed por t ion o f Rn , suc h t ha t

)l ( 6 ) l im H S ( K n e i ) i-+co

By l emma 1 t her e ex i s t s a c ompac t c onve x s e t e� o f d iamet er 6 i . i and a sub s e quenc e e J o f e suc h t ha t

l im H S ( K n [ e� l l / z k) and k ..... oo

5 1

c íj e [ C � ] 1 / 2 k if ij i s l ar g e enough and k f ixed . Then � ( o ) = H S ( K n C� ) .

From t h i s one ea s i l y get s that � ( o ) i s non - decr ea s ing . L et 0 0 > O and o í > O ; i = 1 , 2 , 3 , . . . , o . -+ o . Then 1 °

i f j = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

° with C O j a compac t convex set o f d iame t er 0 j l y ing in a bounded por t ion of R

n.

° By l emma 1 ther e ex i s t s a sub s e quenc e o f C o . , wh ich we d eno t e J

in t he same way , such that CO -+ CO , wher e CO i s °a compact O j H convex s e t o f d i amet er o . °

But H S ( K n Co

) = l im H S ( K n [ C0 1 1 / 2 i ) and H S ( K n [ C O ] 1 / 2 i ) � í+ClO

Thi s prov e s t hat � ( o ) i s cont inuous from the r i ght . We show now t hat i f for any compac t c onvex s e t C

then � ( o ) must b e cont inuous . Rec a l l � ( 6 )

° H S ( K n C5 ) , CO a compact convex s et o f d iame ° 00

t er o . °

If C� o i s not a convex body then C� o ac5 0 and by hypo t he s i s

� ( o ) = O i f o � 0 0 Ther e fo r e � ( o ) i s cont inuous from the O l e ft a t oo .

° A s sume C o °

Let ] CO [ 0 0 e:

ge t

i s a convex body .

= { x : d (X , Rn\ C� ) > d . Thu s from t he hypo t he s i s we °

52

= H S ( K n int ( C� ) ) = l im H S ( K n ] C� [ l / Z i ) . o i -+-00 o

Th i s imp l i e s the cont inu ity o f � ( o ) at o o . •

A mapp ing Y : Rn -+- Rn i s c a l l ed a contr ac t ion i f I I Y ( x) - Y (y ) 1 I .;;; .;;; k . l l x - y l l for a l l x , y E Rn , wher e O < k < 1 . C l ear ly a contrac t ion i s a cont inuous func t ion . A contr ac t ion tha t t ran s forms every sub s e t o f Rn to a geometr ica l ly s imil ar set is c a l l ed a s im i l i tud e . Thus a s imi l itude i s a compo s i t ion o f a d i l a t a t ion , a r o ta t ion and a tr ans l a t ion . L e t Y . i = 1 , . . . , m be a s et o f s imi l itude s w i th contrac t ion � ra t io s k . . We know t hat t her e ex i s t s a un ique non - vo id compact

� m . s e t K such tha t K = U Y . ( K ) ( s e e [ F ] ) . W e a s sume a l so t he

i = 1 � fo l lowing ( s i s the Hausdor ff d imen s ion o f K ) :

1)

I I ) O < H S ( K ) < 00 ( s > O )

H S ( Y . ( K ) n Y . ( K ) ) = O i f � J Suc h a K wi l l b e ca l l ed a s e l f - s im i l ar s et o

No t ic e t hat i f K i s a s e l f - s imilar s et t hen the fo l l owing equa i i ty ho ld s :

m I i = 1

k� � 1 .

By C (A) we deno t e the convex hul l o f a s e t A .

Le t K b e a ' s e l f - s imi lar s e t o I t i s c l ear tha t Y . ( C ( K ) ) e C (K ) � for a l l i . We r ename t he s .e t s Y . o o. Y . ( C ( K ) ) in the fo l -� 1 � q l owing way : C ( K ) i s c a l l ed T , Y � ( C ( K ) ) i s c a l l ed T i '

Y . o Y . ( C ( K ) ) � J Y . (Y . ( C ( K ) ) ) � J T . . , e tc . � J F ix r � 1 . S e t G : = { T . . ; i . 1 , . . . , m } . G r ha s m r e 1 e -r � 1 · . . � r J ment s . No t ic e Y . o . . . o Y . oY . ( K ) e T . . ' e T . . � 1 � r � r+ l � l · · · � r � r + l � l · · · � r

53

PROPERTY Z . L e t K be s elf - s i m ilar . We s ay t ha t K ha s prop e r ty

Z if t h e r e ex i s t s a n i nd ex i 1 . . • i suc h t ha t r o

T . . e int C ( K ) . 1 1 ' . . 1 r o

THEOREM l ' • L e t K b e a s elf - s i m ilar s e t hav i n g t h e prope r ty Z . T h e n f o r any c o mpac t c o nv ex s e t C w e hav e

a nd � ( ó ) i s c o n t i nuous.

For the proo f we n e ed two aux i l iary propo s it ion s :

PROPOS I T I ON 1 . L e t C 1 , C 2 be two c o mpac t c o nv ex s e t s s uc h t ha t

C 2 e [ C 1 l E f o r s o m e E > O . If P E C 2 3 P � int C 1 t h e n

d (p , a C 2 ) .;;; E .

Pro of. L eft t o the r eader .

P ROPO S I T I ON 2 . If t h e hypo t h es e s of t h e t h e o r em 1 I ho l d f o r K

t h e n C ( K ) i s a c o nv ex body a n d t he f o l l o w i n g s ta t e m e n t i s t r u e :

t h e r e exi s t E o > O a nd a n i n t eg e r numb e r r 1 (� r o ' r o of pr o

pe r ty Z ) suc h t ha t f o r a l l co nv e x c o mpac t s e ts C a n d a l l

t ,;;;; E o t h e s e t

[ a c ] t = { p : d (p , a c ) ,;;;; t }

do e s n o t i n t e r s ec t all e l em e n t s of �r . 1

Pro of · L e t r 1 b e suc h t hat r 1 � r o and

( 1 ) Max d iamet er o f e l ement s o f G r 1 r 1 (max k . ) . 1 K 1 1

L e t E c tha t r ()

< d ( a C ( K ) , T . . ) / 2 . 1 1 . . . 1r o

r 1 (max k i ) . I K I / 2 . Ta ke a l l el ement s r o f G r 1 a C ( K ) # { 0 } . Ca l l t h i s s e t G ' . Obs erve t ha t r 1

<

suc h

54

( 2 ) C ( K ) ,

L e t C b e a compact conv e x s et and a s sume t hat [ a C ] € int er o

s ec t s a l l e l ement s o f G r 1 , For each set r E G� l take a po int

q . E r n [ a C ] E ' Thus C ( u q . ) e [ C ] E and C ( u q . ) e C ( K ) , But J o j J o j J

by ( 1 ) and ( 2 ) C ( K ) e [ C ( u q . ) ] 2 , U s in g prop , l w e have t ha t j J S o

if P E C ( K) , P � int C ( u q . ) then j J

( 3 ) d (p , a C ( K ) ) < ho '

Ther e fo r e T . . e int C ( u q . ) , By ( 1 ) and ( 3 ) 1 1 , . . l r o j J

( 4 r )

For p E a c n C ( u q . ) we have by propo s i t ion 1 : j J

d (p , a C (u q . ) ) < E o ' j J

S inc e d ( p , T . . ) ;;;. d ( q , T . . ) - d (p , q ) ho l d s for any 1 1 , . . l r o 1 1 ' . , l r o

q , taking q E a c ( u q . ) we get d (p , T . . ) > 2s j J 1 1 , . . l r o o

Thi s , to ge ther w i t h ( 4 ' ) y i e l d s

S o

d ( a C , T . . ) ;;;. d ( a C ( u q . ) , T . . ) - s > S , 1 1 ' . , l r o j J 1 1 " , l r o o o

Thus one obta in s d ( T . , a C ) > S o and ther e for e [ a C ] c-

( 1 , . · 1 Co o r o canno t int er s ec t T . .

1 1 " , 1 r o

The proo f i s comp l e t ed i f we no t ic e t hat t her e ar e e l ement s o f Gr conta ined i n T . .

1 1 1 , " l r o •

Pr o of of T h e o r em 1 ' , L e t C b e a convex compac t s e t and t > O ,

We d e fine

Suppo s e t < " E O ' Then

( S ) W ( t , e ) � � '

55

H S (y . ( • • • (Y . ( K ) ) . . . ) n r a e ] t ) 1 1 1 r 1

wher e � ' mean s the sum over a l l indexe s i 1 . . . i such that r l T . . n [ a e ] t .¡ { 0 } .

1 1 ' . • 1 r 1

But

( 6 ) H S (y . ( . . . (Y . ( K ) ) . . . ) n r a e] t) 1 1 1 r 1

wher e i s a convex compac t s e t o Mor e prec i s e ly

i 1 · · · i r - 1 - 1 ·) e 1 = Y . ( • . • (Y . ( e ) . . . ) . 1 r 1 1 1

U s ing ( S ) , ( 6 ) , t he id ent ity � k � . . . k � 1 1 1 r 1 we have

r 1 s r l � ( 1 - (min k . ) ) . W ( t / (min k . ) , e ' ) 1 1

whe r e e ' i s one o f the convex s e t s

1 and prop . 2

Thu s we have pro ved tha t ther e e xi s t s E o > O , an int e ger r 1

and a f i xed ex , O < ex < 1 , such t ha t for any compac t convex

s e t e and any t < E o· ther e is a compact convex s et e ' suc h

t ha t

( 7 ) r l

W ( t , e ) � a. . W ( t / (min ki) , e ' ) .

U s ing ( 7 ) and the fact t ha t W ( t , e ) � H S ( K ) < 00 for any e and t > O , we get

l im W ( t , e ) = O . • t+o

5 6

COROLLARY 1 . The L eb e sgue m e a su r e o f t h e boun dary of a c o mpa c t

c o nv ex s e t i n Rn i s e qua Z t o z e r o .

To pro ve t h i s wel l know fac t t a ke K a s an hypercub e and app l y Theor em 1 ' .

REMARK 1 . L e t K b e a s e l f - s imilar s et o Suppo s e t ha t proper ty Z

do e s not ho l d , t hen i t i s ea sy t o s e e t hat

( int C ( K ) ) n K = { (l\ } i e . K e élC ( K ) .

-1 . 1 . T H E F U N C T I O N S u , D , D .

Now w e d e fine func t ion s u , U and D wh ich appr o x ima t e in s ome s en s e the func t ion � . For d e fin ing t he s e func t io n s we n e ed

o t her aux i l iary func t ions .

Rec a l l t hat G i s the s e t o f al l po s s ib l e T . . w i t h r 1 1 ' . . 1 r r (;;;;' 1 ) f i xed .

L e t P ( G ) b e the family o f nonvo id sub s e t s o f G . D e f in e r r J : P ( G ) -+ R in t he fo l lowin g way : r r i f { T . . , . . . , T . . } i s an e l ement o f P ( G ) t hen

1 1 . . . l r J l . . · J r r:

J ( { T . . , . . . , T . . } ) : = r 1 1 · · " l r J I . • . J r

+ ( k � . . . . . k � ) . J 1 J r

I t i s no t d i fficul t to check t ha t J ( P ( G ) ) i s a f in i t e s e t r r o f p o int s o f R s uch that if a E J ( P ( G ) ) t hen O < a ..;; 1 , r r and 1

r ;;;;. 1 .

E J ( P ( G ) ) . r r Al so J ( P ( G ) ) r r e Jr+ 1 (P ( G r + 1 ) )

B e s id e s , for each E > O ther e exi s t s r ;;;;. o

for a l l

1 s uch that

for a l l r ;;;;. r , i f x E [ 0 , 1 ] then t her e exi s t s a E J (P ( G ) ) o r r

suc h t ha t l x - a l < E .

We s ha l l d e f in e func t ions H , h on t he s e t J ( P ( G ) ) , i e . r r: r r

H , h : J ( P l G ) ) --+ R . r r r r

L e t a E J ( P ( G ) ) , we d e fin e r r

and

57

H (a ) : = r

( max I r u r ' I ) r , r ' E j3

h ( a ) : = r

min (d iame t er o f 13 ) j3EGa

r

min i3E:G�

( max d ( r , r ' ) ) r , r ' E j3

wher e d ( . , . ) i s the d i s t anc e between s e t s . Rememb er t hat r , r ' ar e e l ement s o f the form T . . . 1. 1 , · · 1. r

From the d e f in i t ions o f H and h i t i s c l ear that h ( a ) � r r r

� H C a ) � I K I and H ( 1 ) r r I K I . I t i s no t d i fficult t o s e e t hat

Hr ( a ) - hr ( a ) < E for all a E Jr C P C G r ) ) i f r i s big enough .

Al so Hr+ 1 ( a ) � Hr ( a ) . -

L e t O < El < E 2 . We d e fine func t ions Ur , Ur and ur wh ich

app r o x imat e ]J ( o ) on [ E 1 , E 2 ] .

L e t u ( o ) : = max { a : h C a ) � o } , r r

u ( o ) . - ma x { a : H ( a ) � o } . r r

Thus Ur ( o ) i s d e fíned for o � min hr C a ) and ur C o ) is d e fi aEJ (P (G ) ) r r

ned for o � min Hr ( a ) . It i s ea sy to s ee tha t there e x i s t aEJ (P (G ) ) r r

r o and a E Jr ( P ( G r ) ) suc h that Hr ( a ) < E l ' Thus U and u o o o r r

ar e d e fined on [ E 1 , 00) i f r � r o '

ma x { a :

o ;;;, m i n H r ( a ) Cl:sJ ( p (G » r r

58

- -

hr ( a ) � o } . Thus Ur ( o ) i s de fined for

- ( ( max k . ) r . 1 K 1 . 2 ) . 1.

-

;,!o r e o y e r u ( o + ( (ma x k . ) r . I K I . 2 ) ) r 1. U ( o ) and t her e fo r e U i s r r

),1 1 fune t io n s u ( o ) , U ( o ) and U ( o ) ar e j ump fune t io n s w i t h a r r r f i n i t e numb e r o f j ump s , eont inuou s from the r i ght non - d eer ea s in g and po s i t ive .

The fo 1 1 owing theor em s hows how t he above fune t io n s ar e r e 1 a t ed amo n g them and w i t h � ( o ) .

-

THE O REM 2 . L e t K b e a s elf - s im i l a Y' s e t a nd ur ( o ) , , Ur ( o ) , Ur ( o ) a s abov e . T h e n

a ) u l O ) / 0 8 � � l o ) / l 0 8 . H 8 ( K ) ) � U ( 0 ) / 0 8 � � ( 0 ) / 0 8 f o Y' r r r o ;;;, m in { Hr ( a ) ; a E Jr (P (G r ) ) } .

b ) l í\

( o ) - ur ( o ) 1 ---+ ° u n i fo Y'mly o n [s 1 , E21 a s r -+ 00 if ]l e o)

i s c o n t i nuous o n (0 , 00 ) .

e ) l im ( sup u ( 0 ) / 0 8 ) 1 im ( sup U ( 0 ) / 0 8 ) r r r-+oo OE [s i , EZ J r-+oo odE 1 , E21

( sup ]l ( 0 ) / 0 8 ) / H 8 ( K ) if ]l ( o ) i s c o n t i nu ou s a t E 2 · OE [ E 1 , Et

-

d ) b ) a n d e ) hold if w e Y' eplac e U by U . r r

Pro of. We s how f ir s t t hat

u ( o ) � ]l ( 0 ) / H 8 ( K) � U ( o ) r r i f o > min Hr (a) . aEJ ( P ( G » r r

From theor em 1 we know t ha t ]l e o ) = H 8 ( C� n K ) wher e C8 i s a

eompaet eonvex s e t o f d iame t er O . But C� int er e s ee t s . 1 e 1 e -

ment s o f G : r T . . , 1. 1 · · · 1. r

59

Then , becaus e o f the s e l f- s imilar ity o f K :

II ( o )

To prove the r ema in ing inequa l ity l et

and ther e e x i s t 1 e l ement s o f G r , say

s uch that

ur ( o ) = a . Then Hr ( a ) � o

T . . , • . . , T . . , 1 1 · · · 1 r J l · · · J r

i )

i i )

J ( { T . . , . . . , T . . } ) r 1 1 " . 1 r J I " ' J r = ( k . . . . k . ) 8 + • • • + ( k . . . . k . ) 8 = a .

1 1 1 r J I J r

H ( a ) = I T . . U • • • U T . . l . r 1 1 . . . l r J I ' . . J r

Us ing H 8 (Y . ( K ) n Y . ( K ) ) 1 J

o if i1 j i t fo l l ows t hat

u ( o ) � 1l ( 0 ) / H 8 ( K) . r -

Now we prove tha t Ur ( o ) � Ur ( o ) i f o � min H r ( a ) . ae;Jr (p (Gr ) )

For t h i s we only have to prove that h ( a ) � h ( a ) i f r r a E Jr ( P ( G r ) ) . F ix a . From the d e f in i t ion o f hr ( a ) we then

ha ve 1 e l ement s o f G , s ay T . . , . . . , T . . , suc h t hat r 1 1 · . . 1 .r J l " . J r

i )

i i )

J ( { T . . . , • . • , T . . } ) = a r 1 1 " . 1 r J I " · J r

h ( a ) = max (d ( r , r ' ) ) r r , r ' e; {T . . , . . . , T . . }

11 · · · 1r J l " ' h

wher e d ( · . · ) i s the d i s tanc e b etween s e t s .

But any e l ement o f { T . . , . . . , T . . } ha s d iame t er l e s s 1 1 . . · 1 r J l · . . J r

than o r equal to ( max k . ) r . I K I . Thus 1

I T . . U . . . U T . . I � h ( a ) + (ma x k . ) r . I K 1 . 2 1 1 " . l r J l . . . J r r 1

60

and t her e for e H r ( a ) .;;;; hr ( a ) + (max k i ) r . ! K I . 2 ie . hr (a) ';;;; hr (a) .

Thi s prove s a ) .

To prove e ) we n e ed the fo l lowin g : i f � ( o ) i s eont inuous at s 2 '

then l im ur ( s 2 ) = � ( s 2 ) / H 8 ( K ) . Suppo s e t h i s i s no t true , t hen r+oo'

for s ome s > O and a sub s equene e r . J ur . ( s 2 ) < ( � ( s 2 ) / H 8 ( K ) ) - s .

J But then

r · - r · � ( s 2 - c e ma x k i ) J . ! K I . 2 ) ) / H 8 ( K ) .;;;; U r j ( s 2 - ( (ma x k) J . I K I . 2 ) )

= ur o ( s 2 ) < ]J ( s 2 ) / H 8 ( K) - s J

wh i e h i s , fo r j -+ 00 a n a b s ur d o r 1 ' L e t s > O . L e t r l b e s ue h t ha t ]J ( s 2 + ( (ma x k i ) . I K I . 2 ) ) -

- ]J ( s 2 ) < s . H 8 ( K) , ]J ( s 2 ) I H 8 ( K ) - Ur l s 2 ) < s i f r � r l and

1 1 / x s - l !y 8 1 < s i f I x - y l .;;;; ( (max k i )r l . I K I . 2 ) and x , y E [ s l ' oo) .

L e t T sup ]J ( 0 ) / H 8 ( K ) . os ( 0 , s21

Now we prove e ) . Due to t h e fa e t t ha t U 1 5 no n - d e e r ea s in g and r

eont inuous from the r i ght we have t hat sup Ur ( 0 ) / 0 8 i s os [ s l , s21

ta ken o n a par t icul ar po int 0 0 o f [ s l , s 2 1 .

Thus i f r � r l we have - 8 sup Ur ( o ) / o = U ( o ) / 0 8 = U ( o + ( (max k . ) r

. ¡ K ¡ . 2 ) ) / 0 8 . r o o r o :L o o ds l ' s21

Ther e ar e two po s s ib i l i t i e s :

b e l o ngs to [ s l , s 2 1 or no t o

Suppo s e t hat it b e l o n g s . Then

( o + ( (max k . ) r . I K I . 2 ) ) = o ' o :L o

8 8 8 8 S U ( <5 I ) / o = u ( o ' ) . l 1 / o - 1 / o ' ) +u ( o ' ) / o ' .;;;; T • S + sup Ur ( o ) / o . r o o r o o o r o o os [s l ' s2]

6 1

I f o � do e s no t b e l ong t o [ E l , E Z ] then

+ Ur ( E Z ) / ( E Z ) S < 2 . E / ( E I ) s + T . E + SUp Ur CO ) / O S . OE [E l , EZ]

Thus e ) i s proved .

We end the proo f o f theo r em 2 prov ing that b ) ho ld s . �

Suppo s e tha t U ( o ) - u ( o ) do e s no t t end to z ero un i forml y on r r

[ E l ' E Z ] ' Then \'le would have a s equene e o f po int s 0 j E [ E l , E Z ]

and a s equene e r . -+ 00 , sueh t ha t J

o < e

whe r e

";; ü ( o . ) - u ( o . ) = u ( o . r j J r j J r j J

r . q . : = (max k . ) J . I K I . 2 . Then

J 1

- u ( o . ) r j J

� ( o . + q . ) / H S ( K ) - � ( o . - q . ) / H s ( K ) J J J J

� ( o . + q . ) / H S ( K ) + u ( o . + q . ) ± J J - r j J J

± U ( o . - q . ) - � ( o . - q . ) / H s ( K ) � e for a l 1 j and thi s eontr a -r j J J J J

d ie t s the un i form eont inuity o f � ( o ) on [ E I - E , E Z + E ] .

1 . 2 . T H E F U N C T I O N f ·

S e t f e o ) : = � t o ) / O S .

THEOREM 3 . L e t K b e a s e Z f - s i m i Z a r s e t o T h e n

f e o ) < 1 fo r a Z Z o E t O , oo) .

Pro o f . Suppo s e the s tat ement i s fa l s e . Then there ex i s t s a eompaet e onv ex s et C o o f d iame t er o sue h that

H S ( K n C o ) / I K n c o l s � H S ( K n C o ) / I C o l s � S > 1 .

From the s e l f - s imilar ity o f K (property 11 aboye ) we o bt a in

•

62

H S CY i C K n C o ) n Yj CK n C o ) ) = O i f i i j .

Al so H S CY i C K n C o ) ) = k� . H s C K n C o ) '

Thus for a l l i we have

By induc t ion , for any 1 = 1 , 2 , . . . , we g et :

a ) H S CY i 0 • • • 0 Yj C K n C o ) n y i , o . . . 0 Yj , ( K n C o ) ) '---r------'

= 1 i f the l - tupl e s i

= 1 j and i ' . . . j ' ar e d ifferent .

fo r a l l l - tupl e s .

S e t

Set

An : = U a11 the

y i ° . . . o Y j (K n C o )

1-tup1es with l;;:n = 1 and A \, A : = n A .

U a11 the

n n n

n-tup1es = n

Cl ear l y B e A . Al so from a ) and b ) we have n n

o

� H S CY i o . . . oYj ( K n C o ) ) ;;;' S . � ! Yi o . . . oY . CK n Co) ! s = a11 the a11 the J n-tup1 es n-tup1es

s . � k � . . k � ! K n C e ! S .- s . ! K n C o ! S a11 the l J n-tup1es

ID s k � ( t he l a s t inequa l ity b ecaus e C L k � )n � k i · 1 ) .

i= 1 l a11 the J n-tup1es

C l ear l y the s e t s Y i ° . . . ° Yj C K n C e ) for al l the l - tupl e s

'------;;y---.J 1 ;;;. n , form a V i ta l i fam i l y V for A , i e . t hey ar e compact s e t s n

63

and for any 8 > O and any x E A t her e ex i s t s Y . o . . . o Y . (K n C � ) 1 J l)

o f po s i t ive d i amet er < 8 such that x E Y . o . . . o Y . (K n C � ) . 1 J u

L et no and 8 > O b e such that H S (A ) + 8 < S . H S (A) . Then ther e no

exi s t s a d i s j o int sub family V ' o f V s uc h t ha t ( [F ] , p g . l 1 ) no no

( 8 ) HS

(A) � � ¡ Y i o . . . o Y j ( K n C e ) ¡ s ) + 8 / S = W + 8 / S y . o • • • o Y • (K n e � ) 8 v ' 1 J l) no

and e i ther W = 00 or W < 00 and

But if W = 00 by ( 8 ) and b) it fo l l ows

y . o • • • o y . (K n e � ) 8V I 1 J u no

and then H S(K ) = 00

Ther e for e W < oo . Then , by l8 ) and b ) ;

S . H s (A) � � H S (Y i o • • • o Yj ( K n C e ) ) + 8 � Y . o • • • oY . (K n C� ) 8V ' 1 J l) no

� H S (An ) + 8 < S . H S (A) . o

•

PROPERTY A : L e t K b e a s e l f - s imilar s e t o We say tha t property

A ho l d s for K if there e x i s t s � > O such that for any x E K and any B ( ba l l c ent er ed at x and rad ius r ) w i th r � �

x , r

ther e exi s t y E K and a s imil i tud e Y with contrac t io n rat io

k = 1 , Y : Rn -+ Rn , suc h that

a )

b )

Y ( B n K ) = B n K , y . r x , r ( B n K ) e Y . ( K ) for some i 1 � i � m . y , r 10 o o

64

LEMMA 2 . L e t K b e a s e lf- s im i l a Y' s e t h a v i n g p Y' o p e Y' t y A . T h e n

fo Y' a n y á . O < á E;; IJ.. t h e Y' e e xi s t s j , j E { 1 , • • • , m } • s u a h

that f ( á ) = f ( á / k j ) .

PY'o o f . Suppo s e O < á E;; IJ. . By t heor em 1 we know tha t � ( á ) =

= H S (K n C á ) ' wher e C á i s a c onv ex compact s e t o f d iame t er á .

By proper ty A t h er e ex i s t s C 8 a convex compact s e t o f d iamet er

á such t hat H S ( K n C 6 ) = H S ( K n C á ) and ( K n C 6 ) - Y i ( K ) = { 0 } o

i s a c ompact convex s et o f d iame t er

á / k i o' I t i s e a s y to check t hat H S ( K n C á / k io ) = l / k�o ' HS (K n c:s)

C l ear l y � ( á / k i o) > H S ( K n C á / k i ) . o

Al so by t heor em 1 � ( á / k i o) = H S ( K n C 6 / k . ) wher e C 6 / k . i s

10 10 a convex compac t s e t o f d iame t er á / k i . o

But � ( á / k i o ) = H S ( K n C 6 / k io ) E;; l / k �o · H s ( K n Y iO C C 6 / k iO ) ) <

E;; l / k � . H s ( K n C 8 ) = H S ( K n C á / k . ) . 10 10 Then � C á / k . ) 10

THEOREM 4 . L e t K b e a s e l f- s imi l a Y' s e t o T h e n

i ) l im f C á ) á+O

•

i i ) L e t a l s o K hav e pY'o p e Y'ty A . L e t O < E l < E 2 b e s ua h t ha t

a ) E l E;; IJ. wi t h IJ. o f p Y' o p e Y' t y A .

b ) e: 1 . (max l / k . ) 1 E;;

E 2 T h e n f C á ) = 1 fo Y' s o m e á E [ E l ' E 2 ]

65

Pr o o f . We pro ve f ir s t t hat lTiñ f ( 8 ) 1 ( c f . [ F l , T . 2 . 3 ) . Sup -8-+0

po s e i t i s fa l s e , t hen t her e exi s t s a > O such t hat f ( 8 ) � l - a if 8 E ( O , a ) . From the d e f in i t ion o f Hausdor ff mea sur e of K we have t hat for any E > O ther e exi s t s a c ount a bl e fam i l y E . o f compact conv ex s e t s o f d iame t er l e s s t han E J. suc h that H S ( K n E . ) 1 O for a l l i , � H S ( K n E . ) > H S ( K ) and J. i J.

But i f E < a , then

> � H S ( K n E . ) / f ( I E . I ) > � H S ( K n E . ) / ( l - a ) > i J. J. i J.

wh i c h i s in contrad i c t ion w i th ( 9 ) for E sma l l enough .

We prove now i i ) . Suppo s e K ha s property A . To prove i i ) i t i s onl y n ec e s sary to s how t ha t s u p f ( 8 ) = 1 s inc e � ( 8 )

8d E l , E2 1 i s cont inuo us from the r i ght and non - dec r ea s in g . Now , from Lemma 2 i t fo l l ows t ha t i f O < 8 < E l t hen t here ex i s t s 8 ' E [ E l , E 2 1 suc h that f ( 8 ' ) f ( 8 ) . So l im f ( 8 ) �

8-+0

� sup f ( 8 ) � 1 and because o f i ) the proo f i s c ompl e t e . • od E l , E2 1

1 . 3 .

A c omb ina t ion o f t heor ems 2 , 3 and 4 g iv e s us a proc edur e by

whic h we c an c omput e t he mea sur e o f a s e l f s imilar s e t K i f property A ho l d s and T = C (K ) i s known .

The me t hod i s a s fo l l ows : we o b s erve fir s t t hat t he func t ion J : P ( G ) --+ R d e f in ed abo ve i s a func t ion who s e va lue s we r r

c an calcul a t e . Thus H and h ar e func t io n s whi c h we can a l so r r

66

c a l cu l a t e �ec au s e t h i s invo lve s taking the d i s t anc e ( or the d iame t er ) b e twe en s e t s of the form Y 1· ( . • • Y . ( C ( K ) ) . • . )

1 1 r = T · . ( r e c a l l T 1 1 ' . • 1 r Thus , the funct ions ti r '

But t he s e funct ions ar e 1 ¿

i= 1

wher e T . E ( 0 , 00 ) , q . > O 1 1

S ( x) • { :

C(K ) i s known ! ) .

U and U ar e known . r r

o f the form

q . 1 S ( X - T . ) 1

( T i and q i ar e known ! ) and

i f X ;;;. O

i f x < O

L e t E l ' E Z b e a s in t heor em 4 . Then sup {Ur(0)/ 0 8 : E l ..;; o ..;; Ez }

= max { U r( 0) / 0 8 : o = E l or o E [ E l ' E Z ] and Ur ha s a j ump at o }

and s im i l ar expr e s s ions ho ld for Ü and u . r r

Thus B r B and r

s up u ( 0)/ 0 8 a r e a l l numb er s wh ich we c an c a l cu l a t e . r OE [ E l ' EZ]

By t heor ems 2 , 3 , 4 we hav e and

S r ..;; S r+ 1 ( t h i s becaus e Hr ;;;. H r+ 1 ) . Fr om theo r em 2 we know

t ha t B - S -+ O i f r -+ 00 i e . 1 / 13 ..;; 1 / B ..;; H s ( K ) ..;; l / S r r r r r and l / S - 1 / 13 -+ O i f r -+ 00 r r

I n t he n ext s ec t ion we compu t e mea sur e s and " appr o x ima t e mea s ur e s " o f s ome s e l f - s imilar s e t s .

2 . E X AM P L E 1

The s e t s K w i l l b e s e l f - s imilar s e t s in RZ

for each n ;;;. 3 and n

t hey ar e d e fined a s fo l lows . L e t P b e a r e gular po l i gon o f n n

67

s id e s , I P n i = 1 . Thus , for examp l e , P 3 i s an equ i l a t er a l tr ian

g l e who s e ba s e ha s l en ght 1 , P 4 i s a s quar e o f s ide e qua l t o

l / /Z , P s i s a pent a gon , e t c .

We d e fine y� , i = 1 , . . • , n , a s imil i tud e in the fo l l owing way : 1

n for each ver t ex Vi

' 1 < i < n , o t t he r e gular p o l i gon P , y� n 1 i s a contrac t ion o f r a t io l /n and a tran s l a t ion ( i e . t her e i s

n o r o t a t ion) and Y� (V� ) 1 1

V� . K i s d e f ined to b e t he ( un i que ) 1 n n

compact s e t suc h t hat U Y� ( K ) = K . i = 1 1

n n

From t he d e f in i t io n s o f Y� one ea s i l y g e t s the open s e t con -1

d i t ion : the s e t s Y� ( int C ( P ) ) a r e d i s j o int and 1 n

n U Y� ( int C ( P ) ) e int C ( P )

i = l 1 n n

( s e e b e g inn ing o f pro o f o f l emma 4) .

Thus , by Hut chinson ' s theo r em ( s e e [ F ] , p g . 1 1 9 ) we g e t t ha t s

a ) O < H n ( K ) < 00

b ) s

H n (Y� ( K ) n Y� ( K ) ) = O 1 n J n i f i � j

where s n i s t he Hausdo r ff d imen s ion o f Kn ' Her e s n n .

1 for a l l

n Ob s er v ing t hat V . mus t be long to K i t fo l l ows t hat C ( K ) 1 n n C ( P ) = P . Reca l l t ha t C (K ) = Tn , Y� ( C ( K ) ) n n n 1 n

No t ic e t hat pro p er t y Z ho l d s for K . n We wi l l compu t e the mea sur e s o f the s e t s K : n

THEOREM 5 . H 1 ( K ) = 1 fo r a l l n � 3 . n

2 . 1 .

Our proo f o f t h i s t heor em w i l l n e ed sorne l emma s .

T� e t c . 1

68

To mot ivate , the r ead ing of t he s e aux i l iary propo s it ions the r eader may go d ir ec t l y to t he pro o f o f theor em 5 in next s ec t ion . F i gur e s 7 and 8 show how K3 and Ks l ook l ike . We d eno t e with � ( o , n ) t h e funct ion � ( o ) o f K • n

LEMMA 3 . L e t n , j b e p a s i t i v e i n t e g e r s . T h e n

a ) l /n .;;;;; 1 i f n � 5 ( l - l /n ) . s in ( w /n ) - l /n

b ) Z /n .;;;;; 1 i f n � 5 ( l - l /n) . s in (w /n )

c ) U + 1 2 /n .;;;;; 1 i f n � 7 a n d s in ( j n /n ) - Z /n

d ) ( l - l /n ) . s in ( w /n ) < s in ( Z n /n ) - Z /n if n � 6

e ) ( 1 - 1 /n ) . s in2 ( w /n ) .;;;;; Z /n if n � 6

Z .;;;;; j

f) VZ / ( 1 + co s ( w /n ) / . ( 1 - 1 /n ) . s in ( n /n ) . s in (w / Zn ) .;;;;; .;;;;; Z /n i f n � 7

Pr o a f . From Tayl or ' s s er i e s o f s in x we obta in

( 1 ) s in x - x � _ x 3 / 3 ! i f x E [ O , w / Z ] .

.;;;;; [n/Z]

I n t he fo l lowing x d eno t e s r ea l va lue s and n ( or j ) d eno t e in t eger va lue s . a ) L e t f ( x) : = ( n - Z ) - n / x - n 3 . ( x - l ) / ( x3 . 3 ! ) . Then f ( x) � ° i f x E [ 5 , 00 ) becau s e f ( x) i s non - d ecrea s ing i f x E [ 5 , 00 ) and f ( 5 ) > O . But us ing ( 1 ) we get for n � 5 that

1 .;;;;; l + f (n ) .;;;;; n . [ ( l - l /n) . s in ( n /n ) - l /n ] and a ) fo l lows .

b ) Fo l l ows from a ) immed iat ely .

c ) L e t g (n , j ) (n / j ) 2 . ( ( n - 1 ) - 3 / j ) . Then g (n / j ) � n 3 / 3 ! i f n � 8 and [ en i s even and 4 .;;;;; j .;;;;; n / Z ) o r ( n i s odd and

69

4 ..;; j ..;; (n - l ) /2) 1 b ecaus e g (n ,j ) � 4 . (1f - 7 /4 ) � 1f 3 / 3 ! fo r the above va lue s o f n and j . I f j = 2 and n � 7 we get g (n , 2 ) � ( 7 / 2 ) 2 . (1f - s / 2 ) � 1f 3 / 3 ! . I f j = 3 and n � 7 we get g (n , 3 ) � ( 7 / 3 ) 2 . (1f - 2 ) � 1f 3 / 3 ! . Thus ( 2 ) g (n , j ) � 1f 3 / 3 ! i f n � 7 and 2 ..;; j ..;; [n / 2 1

Thus us ing ( 1 ) and ( 2 ) w e get O < ( g (n , j ) _ 1f 3 / 3 ! ) . ( j /n) 3 ..;; s in U 1f /n ) - j /n - 3 /n

and c ) fo l l ows .

d ) L e t h ( x) : = ( 1f . ( 13- 1 ) - 2 ) . x2 _ 1f 3 . ( /3- 1 ) / 3 : . Then h ( 6 ) > O and ther e fo r e h ( x) > O i f x � 6 . But using ( 1) we get if n � 6 tha t O < h (n ) /n 3 ..;; ( 13- 1 ) . s in (1f /n ) - 2 /n ..;;

..;; ( 2 . co s (1f /n) - 1 + l /n ) . s in (1f /n ) - 2 /n and d ) fo l l ows .

e ) and f) L e t f ( x) : = s in 2 ( 1fx) - V( 1 +co s ( 1f / 7 ) ) / 2' . 2 x . It i s no t d i ff icul t t o prove that f ( x) < O � f x E ( 0 , 00 ) . Us ing thi s inequa l i ty e ) and f) fo l low . •

L EMMA 4 . L e t n b e a p o si tiv e in t eg e r . T h e n

a) b)

c )

d )

� ( ( l - l /n ) . s in ( 1f /n) , n ) ..;; H 1 ( K ) /n if n � 6 a n d n i s e V e n n

� ( s in ( j 1f /n ) - 2 /n , n ) ..;; H 1 ( K ) . j /n i f n � 6 , n i s e V e n and n 2 ..;;; j ..;; n / 2 . � ( 2 ( 1 - 1 /n ) . s in ( 1f / 2n ) , n ) = � (V2 / ( 1 +c o s ( 1f /n ) ) I . ( 1 - 1 /n ) . s in (1f /n ) , n ) < H 1 ( K ) /n if n n � 5 a n d n i s o dd .

� (V2 / ( 1 +c o s ( 1f /n ) / . s in U 1f /n) - 2 /n , n) ..;; H 1 ( K ) . j /n if n n � 5 , n i s o dd a n d 2 < j ..;; (n - l ) / 2 .

Pro o f . Le t n � 5 . Rec a l l that C (K ) = C (P ) n n

70

= T� Y� (Y� ( C ( K ) ) ) = T� . , etc . We c a l l en the c ent er o f P i e . 1 J 1 n J l e n

en � V� /n . Thus i t i s ea sy to chec k that ( r eca l l I p I = 1 ) e i 1 n { 1 / 2 d (V� en ) l ' e =

1 / 2 co s ( n ! 2n ) = 1 / V2 . ( l +co s (n /n ) ) 1 S inc e T� conta ins V� , I T� I = l /n and 1 1 1

i f n i s even , i f n i s odd .

d (V� 'V�+l )

= d (V! ,V�_j+l ) =

{ sin (j n/n) if n is even , 1 ..;; j ..;; n/2 V2/ ( 1 +cos (n/n) ) I. s in (j n/n) if n is odd , 1 ..;; j ..;; (n- 1 ) /2

we g e t ( 3 )

d (T� , Tj+l ) J sin Lj n/n) - l2/n) if n ís even , l ";; j ";; n/2 = d CTl , T�_j+l ) � 1V2/ C l +cos (n/n) Y . s in (j n/n) - (2/n) if n is odd , 1 ..;; j ..;; (n- 1 ) /2 S e t c ent er T� = Y� ( en ) . Then

1 1 e

( 4 ) d ( c ent er T� , c ent er T� ) = d (c ent er T� , c ent er T: ) { ( l - l /n ) . s in ( n / n ) i f n i s even , = V2 / l l +c o s ( n /n ) )' . C 1 - 1 /n ) . s in ( n /n ) i f n i s odd .

The aboye formul a e imply : ( 3 ' )

min d ( T� , T� ) i;f j 1 J

{ ( 1 - 1 /n) . Sin (1T/n) - 1 /n if n is even, n � 6 , �

VZ/ ( l +cos ln/n) { [ ( l - l /n) . s in (n/n) - l /nl if n is odd , n � s .

Al so us ing d ) o f l emma 3 we g e t , for n � 6 ,

( S ) ( l - l /n ) . s in ( n /n ) < s in ( 2 n /n ) - ( 2 /n ) <

< s in ( 3n /n) - ( 2 /n ) < . . . < s in ( n / 2 ) - ( 2 /n )

And for n o dd , n � S ,

7 1

( 6 ) v!Z / ( 1 + c O s ( n /n ) )1

( 1 - 1 /n ) . s in ( n /n ) < < y/Z / ( 1 + c o s ( n In ) ) I S in ( Z n In ) - ( Z /n ) <

< V2 / ( 1 + co s ( n /n ) ) I s in ( 3 n /n ) - ( Z /n ) < <

<VZ / ( 1 +c o s ( n /n ) ) I . s in ( ( n - 1 ) n / Zn ) - ( Z In ) .

The fir s t inequa l i ty may b e ver i f i ed d ir ec t ly for n= S and i s a c ons equ enc e o f ( 5 ) for n � 6 .

a ) L e t C be a compact convex s e t o f d iame t er ( 1 - 1 /n ) . s in ( n /n ) .

Suppo s e T� n C " { 0 } . From ( 3 ) and ( 5 ) we have t ha t C n T� = {0}

if j " 1 , Z , n . Thus fr om symmetry C can only iilt er s ec t two

e l ement s o f { T� , T� , T: } . We a s sume C int er s ec t s T� and T� . Ob

s er ve t ha t H l (T� n K ) = H 1 ( K ) /n . B y Theo r em l ' we g e t t ha t 1. n n

i f L i s any l ine in RZ then

( 7 ) H 1 C L n K ) = O . n

L e t L 1 , L z b e two p ar a l l e l l ine s at a d i s tanc e ( 1 - 1 /n ) . s in (n/n) ,

perpendicular to the segment j oining the centers of T� , T� and suc h

t ha t C e W wher e W i s ( s e e f igur e 1 ) the s t r ip

W = C (L 1 U L z ) ' Reca l l t ha t d ( c ent er T� , c ent er T� ) =

( 1 - 1 /n ) . s in ( n /n ) and o b s erve that t he s et ( Kn n T� ) i s a

t r an s l a t ion o f the s e t ( Kn n T� ) . Then from symmetry and ( 7 )

w e o bt a in : H 1 ( ( Kn n ( T� U T� ) ) -W) � H 1 ( Kn ) /n . Thus a ) fo l lows .

Thi s l a s t ar gumeJit w i l l b e us ed qui t e o ft en . Ca s e c ) i s pro ved in an ana l o gou s way u s ing ( 3 ) , ( 4 ) and ( 6 ) .

b ) L e t n and j b e a s in b ) . L e t C b e a compact convex s et o f

d iamet er s in ( j n /n ) - ( Z /n ) . As sume C n T� " { 0 } . Then from ( 3 ) and ( 7 ) we get

O H 1 ( K n n C ) = H 1 ( K n n C ) n n Tj + 1 n n Tj + z H 1 ( K n n Tn . + 1 n - J

n C ) .

72

Thus Ke c o uld a s sume t ha t C int er s ec t s in a non - tr ivial way at

h n n n n n n n mo s t t e s e t s : T ' + 2 , T ' + 3 ' " . , T , T 1 , T z , ' " , T . 1 , T . . By sym-n - J n - J n J - J me try and us ing t h i s la s t ar gument r ep eat edly we o b t a in t ha t C int er s ec t s in a non - tr ivia l way at mo s t j e l ement s o f { T . }

1 and b ) fo l l oKs .

C a s e d ) i s proved in a s im i l ar way us in g ( 3 ) and ( 7 ) . •

LEMMA 5 . L e t n a n d i b e i n t e g e r s . Then

a) )1 ( 1 - ( l /n i ) , n ) '" ( 1 - ( 3 /n i ) ) . H 1 ( K ) n i f n ;;;;. 6 ,

b ) )1 ( 1 - ( 3 /n i ) , n ) '" ( 1 _ ( 1 /n i - 1 ) ) . H 1 ( K ) i f n ;;;;. 6 , n c ) )1 ( 1 - ( l / S i ) , 5 ) '" ( 1 - ( 2 / S i ) ) . H 1 C K s ) 7: f i ;;;;. d ) )1 ( 1 - ( 2 / S i ) , 5 ) '" ( 1 - ( 1 / S i - 1 ) ) . H 1 ( K s ) i f i ;;;;. 2

e ) )1 ( 1 - ( 3 /n ) , n ) '" H I ( K ) / 2 i f n ;;;;. 6 n f) )1 ( 1 - ( 2 / 5 ) , 5 ) 1 '" H ( K s ) . 2 / S

Proof . L e t n ;;;;. 5 . I t i s c l ear t ha t

= H I ( K ) In i and I T ? . I = l /n i .

H I ( K n T� . ) n J I ' · · J i n J I . . . J i

Cal l n [n / 2 1 • o

i

i

Vn E Tn Vn E Tn d (Vn Vn ) 1 I I 1, 1 1 I ' l ' + 1 = . . . . n o + no + , . . . , no +

, n o

'----y--" v i i

;;;;.

;;;;. 2

Then

Let C b e a c omp a c t convex s e t o f d iame t er l - ( l /ni) . A s s ume

C n Tn 1 . . . I i 0 L e t

'----y--" L 1 ' L z b e two l in e s p erpend i cular to

t he . i that j o ins Vn n and t ha t d l L l ' L Z ) l lne and V + 1 suc h 1 n o

= l - l l /n i ) and C e W , wher e W i s the s tr ip b e tween L 1 and L z '

Then s inc e K n n Tn i s a tran s la t ion o f K n Tn 1 . . . 1 n no + 1 , . . . , n o + I

'---..¡---' '-------y-----' we have , us ing

i i ( 7 ) , t ha t

( 8 ) H 1 ( K n ( Tn U Tn ) n C ) '" H I ( K ) /ni

n 1 . . . 1 no + 1 , . . • , no + 1 n '----y--' � i i

73

n j But a s imilar expr e s s ion ho lds for pa ir s ( T . . , T + . + . ) J • • • J no J , . . , n o J '---v ----' • . v

i i j = 2 , . . . , no ' I f we a s sume n � 6 then t her e are at l ea s t 3 suc h p a ir s and a ) i s proved . I f n= 5 t her e ar e 2 such p a ir s and c ) i s proved .

e ) L et n � 6 . Obs erve tha t d (T� , Tn + . ) � 1 - ( 2 /n ) > 1 - ( 3 /n ) . J no J

Thus i f e i s a convex compact s e t o f d iameter 1 - ( 3 /n ) and

e n T� � { 0 } t hen e n Tn J no +j { 0 } and e ) fo l l ows e a s i l y .

f) I t i s ea sy to check tha t i f e i s a convex compact s e t o f

d iame t er 1 - ( 2 / 5 ) and e n T i � { 0 } then HI (e n �T; u T� ) n Ks) = O .

U s ing symmetry f) fo l l ows .

b ) L e t i � 2 , n � 5 and l e t Q� b e t he int er s e c t ion ( s e e f i g . 2 ) 1

o f t he l in e L j o in in g V� and V�o + l and the l in e L ' perp end i -

cular to L suc h that L ' conta ins the po int

Y� (Y� . . . Y� (Y� (V� ) ) . • . ) E T� I . . . I n ' '-----y---'

i i I t i s easy to chec k that i nI-i . ( 1 - 1 /n) . s in2 (n/n) if n is even

V 2 / ( 1 +:os (n/n))l . nI-i . ( 1 - 1 /n) . s in (n/n) . sin (n/2n) = 2 .nI -1 . ( 1 - 1 /n) . sin2 (n/2n) if n is odd

Let , for n � 6 , e b e a compact convex s e t o f d iamet er 1 - ( 3 /ni ) .

As sume e n Tn � { 0 } . Then , from the fac t t hat no + l , . . . , no + 1 v-i

d (Tn Tn ) 1 . . . 1 ' no + 1 , . . . , n o+l '--v---' '-----y-----'

i i we g e t e n T� . . . 1 { 0 } . Al so by e ) ( or f ) i f n i s odd) o f

'---y--' i

( n n / i 1 emma 3 d V I ' Q i ) '" 2 n .

S inc e

74

Tn and Tn 1 1 . . . 1 n n o + 1 , . • . , no +,1 � v

i i

ar e tran s l a t ions

one of the o t her , we can us e a n ar gument s imi l ar to the one us ed in a ) and get

H 1 ( K n ( T n U T n ) n C ) ,,¡;; H1 (K ) / n i n 1 1 . . . 1 n no+ 1 , . . . , n o + 1 n � ,,------�

i i wh ich c omb ined with the fac t t ha t C n Tn

1 . . . J. { 0 } g iv e s

( 9 )

No t e

'---.,,¡--' i

H l (K n (Tn U Tn U Tn ) n C) ,,¡;; Hl (K ) /ni n 1 . . . 1 l . • . ln no+l , . . . , no+1 n

t nat if C

'-y--' � '---y------' i i i

do e s no t int ers ect Tn 1 . . . 1 "---v-"'

i

nor Tn no + l , . . . , n o + l

'-----y--------' i

t hen ( 9 ) ho l d s . b ) fo l l ows fr om ( 9 ) and the fac t t ha t t h e s a -me ar gument can b e r ep ea t ed for a l l t he tr ipl e s

( Tr: " Tr: ' ( ' l ) , Tn+ . + . ) , Z ,,¡;; j .;;;; n ( fo r n o dd o b -

J . . • J J . • . J J - no J , . • • , n o J o '--y---' '---y--' '---� i i i

s erve t hat C can only int er s e c t n e l ement s o f the form o

{ T . . } j = l , . . . , n ) . J • • • J

'--y.......--..' i

Ca s e d ) (n = S ) i s proved in a s im i l ar way us ing

d (V i , Q� ) .;;;; 2/ S i .

LEMMA 6 . L e t i b e a n i n t e g e r . T h e n

a ) ].l ( 1 - ( Z / 3 i+ 1 ) , 3 ) .;;;; ( 1 - ( 1 / 3 i ) ) . H l ( K 3 ) i f

b ) ].l ( 1 - ( 1 / 3 i ) , 3 ) .;;;; ( 1 - ( S / 3 i+ l ) ) . H 1 ( K 3 ) i f

c ) ].l ( l - ( S / 3 i+ l) , 3 ) .;;;; ( 1 - ( Z / 3 i ) ) . H l C K 3 ) i f

i ;;;.

i ;;;. i ;;;.

3 Pro o f . Rec a l l t ha t T . . i s an equ i l a t er a l t r ian g l e o f J I ' . . J i ba s e e qua l t o 1 / 3 i .

a ) L e t i ;;;. 1 and l e t C b e a convex compact s e t o f d iame t er

•

75

1 _ ( 2 / 3 i+1 ) . Then if C n ( T 3 1 . . . 1 u T 3

2 . . . 2 U T 3 ) 3 . . . 3 { 0 }

we hav e

H 1 ( K 3 n C )

Ther e fo r e we may a s sume

S in c e d ( T i . . . 1, T � . . . 2 )

-------v------' '--.-"-v----' i+ l i + l ( s e e f i g . 3 ) we have

'----v----' ·---v----- '--y----' i+1 i+1 i+1

� ( 1 - ( 1 / 3 i ) ) . H 1 ( K 3 )

C n T i . . . l " { 0 } . '----y-----'

i+l 3 3 d ( T 1 . . . 1 , T 3 • . • 3 )

'------v-"--' '----v--� i+l i+1

H 1 ( K 3 n ( T � . . . 2 U T ; . . . 3 ) n C ) O '-----v-----' v

i+1 i+l I t i s n o t d i f f i c u l t t o c h e c k t ha t t he s e gment [ P i+ 1 , Q i+ 1 ] i s

p e r p end i c u l a r t o [ V31

, V 23 ] . Thus d ( P V 3 ) > 1 - ( 2 / 3 i+ l ) and i+ l ' 1 by an a r gument s im i l ar t ha t

H 1 ( K 3 n ( T 3 2 . . . 2 3 -------v------' i+1

and a ) fo l l ow s .

t o

U

t ha t g iven in

T 3 ) 1 1 . . . 1 '--,,----'

i+1

n C )

l emma 5 a ) we

� H 1 ( K 3 ) / 3 i+ l

b ) L e t i � 1 and C b e a convex c o mp a c t s e t o f d iame t er

have

1 - ( 1 / 3 i ) . T h en if C n ( T 3 U T 3 U T 3 ) = { 0} we have 1 . . . 1 2 . . . 2 3 . . . 3 ------""r----' '---y---' ------v---' i i i

H 1 (K3 n C) � ( 1 _ 1 / 3 i--- 1) . H1 (K3)

Let us suppose that C n T 3 " { 0 } . We have , 1 . . . 1

i b y s ymme t r y , o n l y t hr e e sub c a s e s :

b 1 ) C n T 3 1 . . . 1 " { 0 }

'---y----' i+1

b 2 ) C n T � J • • • j { 0 } , j 1 , 2 , 3 C n T 3

1 . . . 1 2 '--y---' ------......-----J

i+l i+1

{ 0 } ,

76

C n T 3 1 . . . 1 3 " { Q! }

----... ------' i+1

b 3 ) C n T � J • • • j { Q! } , j 1 , 2 , 3 C n T 3

1 . . . 1 2 " { Q! } , '-----y---' '---y----'

i+1 i+1 C n T3

1 . . . 1 3 " { Q! } . �

i+1

b l ) I t is ea sy to s e e t ha t ( s e e f i g . 3 )

d (T i . . . 1 , T � . . . 2 ) and d (T i . . . 1 , T� . • . 2 3 ) ;;" d'(Ti+1 , Qi+1 ) = 1 - ( 1 /3i) '-----y---" '-----y---" � '----v--'

i+1 i+1 i+1 i+1 1 3 3 Thus H ( K 3 n ( T 2 . . . 2 U T 2 . . . 2 3 ) n C ) = O and by symmetry

i+l' � 1 3 3 H ( K3 n ( T 3 . . . 3 U T 3 . . . 3 Z ) n C )

---y----' -----v---' i+1 i+1

1 - ( 1 / 3 i ) we have t hat H 1 ( K3

.,;; if 1 ( K3 ) / 3 i+ 1 .

b 2 ) S ine e d e S . 1 ' P . 1 ) 1+ 1+ 1 - ( 1 / 3 i ) , i t fo l l ows tha t

( 1 0 ) H 1 ( K3 n ( T i . . . 1 3 U T ; . • . 2 3 ) n C ) .,;; H 1 ( K 3 ) / 3 i+ 1

'-----y---' '--v� i+1 i+1

b 3 ) From b 2 ) one get s ( 1 0 ) a ga in and by symme try

H 1 ( K3 n ( T i . • . 1 2 U T� . • . 3 2 ) n C) .,;; H 1 ( K3 ) / 3 i+ 1

e ) L e t i ;;.. 1

1 _ ( S / 3 i+ 1 ) .

C n ( T 3 1 . . . 1 '-----y---'

i

'-----y---' --v---' i+1 i+1

and l e t C be a eompae t eonvex s e t

We a s sume C n T 3 1 . . . 1 " { Q! } e i f

� U T3 3 i

{ Q! } t hen 2 • . • 2 U T 3 . . . 3 ) '-----y---' '-----y---' i i

o f d iameter

H 1 ( K3 n C )

Then , by symme try , only two e ho ie e s ar e po s s ib l e :

.,;;

7 7

3 c 1 ) e n T 1 . . . 1 ., {0 } . �

Consequent1y , e n (T � . .. 2 U T �

. . . 3) i+1 3 c 2 ) e n T . . .J..:;..:J i+1

H 1 ( K3 n ( T3 3 • • • 3 '---v--"

i

{ 0 J , j 1 , 2 , 3 ; e

U T 3 U T3 2 • • • 2 2 • • • 2 3 -v---' '----y--'

i+1 i+1

2 . 2 P R O O F O F T H E O R E M 5

'---v--" '---y---J i n T3 1 . . . 1 2

� i+1 3 U T 1 . . . 1 )

--v---' i+1

i ., { 0 } .

n e )

{ 0 } •

Then ,

o

Rec a l 1 t hat property Z ' ho l d s for K n ;;;;' 3 . Thus l1 ( ó , n ) i s n

•

c ont inuous on ( 0 , 00 ) . L e t f ( ó , n ) = l1 ( ó , n ) /ó . Then , i f 1 < ó , 1 1 f ( ó , n ) = H ( Kn ) / ó < H ( Kn ) = f ( 1 , n ) .s;;;; 1 ( th . 3 ) . Ther e fo r e to

prove t he theor em we mus t 1 show H ( Kn ) number O < !J. < min d (T . , T . ) n i;' j � J

could be Ther e fore from theorem 3 and 4 we get i ' ) f ( o , n ) .s;;;; 1 on [ !J.n ' 1 ]

i i ' ) f ( ó o , n ) = 1 on for some ° o

From the cont inu ity o f 11 ( 6 , n ) one ge t s !J. n min d (T� , T� ) i;' j � J i e .

;;;;' 1 . Ob s erve used a s !J. in

E [ !J.n ' 1 ]

i ' ) and i i l )

f ( o , n ) .s;;;; 1 on [T�j d ( T� , T; ) , 1 ]

tha t any property

for

i ) i i ) f ( o o , n ) = 1 for some 0 0 E [min

i;! j n n ] d ( T . , T . ) , 1

We r e ca l l formul a e ( 3 ' ) o f l emma 4

( 3 ' )

min d (T� , T� ) ;;;;. i;' j � J

� J

and min d (T � , T� ) = 1 / 3 . Let n b e even , n ;;;;. 8 . Def in e the i;' j � J funct ions g ( o , n ) and h ( o , n ) a s fo l lows :

A .

7 8

l /n if cS E [ ( l - l /n) . sinfrr/n) - ( l /n) , ( 1 - 1 /n) . s in (n/n) ) 2 /n if cS E [ ( l - l /n) . s in (n/n) ' s in (2n/n) - ( 2 / n ) )

g ( cS , n ) (j + 1 ) /n if cS E [ s in (j n/n) - ( 2/n) , sin ( (j + 1 ) n/n) - (2 /n) )

and 2 ';;;; j .;;;; (n/2 ) - 1

( 1 1 ) r l - l / n í i f cS E [ 1 - 1 /n í , 1 - 3 /n í+ l ) i 1 , 2 , . . . ,

h ( cS , n ) 1 - 3 /n í + l [ 1 _ 3 /n í+ 1 , 1 _ 1 /n í+ 1 )

1 i f cS E i = O , l , Z , . . .

1 / 2 i f cS E [ 1 / 2 , 1 - 3 /n )

Then h ( cS , n ) i s d e f in ed o n [ 1 / 2 , 1 ) and g ( cS , n ) o n [ ( 1 - 1 / n ) . s in ( n / n ) - ( 1 / n ) , 1 - 2 / n ) . Al so h ( cS , n ) / cS .;;;; 1 a n d by l em

ma 3 a , b , c ) we get g ( cS , n ) / cS .;;;; 1 . B y l emma s 5 a , b , e ) , 4 a , b ) and fr o m t h e fa c t t ha t � ( cS , n ) i s non d e c r e a s i n g w e g e t

( 1 Z ) f ( cS , n ) / H 1 ( Kn ) .;;;; h ( cS , n ) / cS .;;;; 1 i f cS E [ 1 / Z , 1 )

and f ( cS , n ) / H 1 ( K ) .;;;; g ( cS , n ) / o .;;;; 1 i f n

o E [ ( l - l / n ) . s in ( n / n ) - ( l / n ) , l - Z / n )

a n d u s in g t h e c o nt inu i t y o f � ( o , n )

( 1 3 ) f ( o , n ) / H 1 ( K ) .;;;; 1 i f n o E [ m in d ( T � , T � ) , 1 ] í 1 j 1 J

U s in g pro p e r t y i i ) abo y e we g e t H 1 ( K ) ;;;' 1 . n

The p r o o f o f t h e o t her c a s e s ar e s im i l ar .

L e t n b e o dd , n ;;;, 7 . D e f in e h ( cS , n ) a s in ( 1 1 ) and

g ( o , n ) J l /n

Z /n

if o E [VZ / ( 1 +cos (n/n) )' . ( ( 1 - 1 / n ) . s in ( n / n ) - ( 1 /n ) ) , VZ / ( 1 +cos (n In) )'. ( 1 - 1 /n) . s in (n /n) )

if o E [VZ / ( 1 +cos (n�. ( 1 - 1 /n) . s in (n/n) , VZ / ( 1 +co s (n In) JI . s in (2n/n) - ( 2 /n) )

(j + l ) /n if o E [V2 / ( 1 +co s C'rr/n))' . s in (j n/n) - ( 2 /n) , \!Z / ( l +co s (n/n)Y . s in ( (j + l ) n/n) - (Z /n) )

Z ';;;; j .;;;; (n- l ) / Z - 1

79

g ( a , n ) i s d e f in ed o n [ V2 / ( 1 +c o s ( TI /n ) ) l. ( ( l - l /n ) . sin (TI/n) - ( l /n) ) ,

Vz / ( 1 + c o s ( TI /n ) r s in ( ( n - 1 ) 11 / 2 n ) - ( 2 I n ) ) .

U s in g l emma 3 a , b , c , d ) we g e t g ( a , n ) / a ..;; 1 . By l emma 4 c , d ) it

1 fo l l o � s t ha t f ( a , n ) / H ( Kn ) ..;; g ( a , n ) / a ..;; 1 . As we have s e en , l emma 5 a , b , e ) imp l i e s ( 1 2 ) . Thus ( 1 3 ) ho l d s and the proo f end s a s in t he p r e v i o u s c a s e .

F o r n = 6 , h ( a , 6 ) i s d e f in ed a s in ( 1 1 ) and

g ( <5 , 6 ) r 1 / 6 i f a E [ ( 1 - 1 / 6 ) . s in ( TI / 6 ) - 1 / 6 , ( 1 - 1 / 6 ) . s in ( TI / 6 ) )

<l. , 1 / 3 if <5 E [ ( 1 - 1 / 6 ) . s in ( TI / 6 ) , s in ( TI / 3 ) - 1 / 3 ]

a n d t h e pr o o f run s i n a s im i l a r wa y u s i n g l emma 3 a ) , b ) , l em

m a 5 a ) , b ) , e ) , and l emma 4 a ) , b ) .

F o r n = 5 l e t

r 1 - 2 / S i i f <5 E [ 1 - 2 / 5 \ l - l / S i ) i 1 , 2 , . . .

h ( a , S ) i 1 _ 1 / S i - 1 i f a E [ 1 _ 1 / S i - 1 , 1 _ 2 / s i ) i 2 , 3 , . . . 2 / 5 i f <5 E [ 2 / 5 , 1 - 2 / 5 )

g ( <5 , S ) = 1 / 5 , i f a E [ V2 / ( 1 + c o s ( TI / S ) )' . [ ( 1 - 1 / S ) . s in (TI/S) - 1 / S] ,

V2 / ( 1 + c o s ( TI / S ) { ( 1 - 1 / S ) . s in ( 1I / S ) ] and u s e l emma s 5 c , d , f ) , 4 c ) , 3 a ) .

Fo r n = 3 we d e f in e o nl y o n e fun c t i o n g ( a , 3 ) in t he fo l l owing way

" i 1 - 2 / 3 i i f a E [ 1 _ 2 / 3 i , 1 _ S / 3 i + 1 ) i ;;;;. g ( a , 3 ) 1 _ S / 3 i+ l i f a E [ 1 - S / 3 i+ 1 , 1 _ 1 / 3 i ) i ;;;;.

1 - 1 / 3 i i f a E [ 1 - 1 / 3 i , 1 - 2 / 3 ú 1 ) i ;;;;.

T hu s g ( a , 3 ) i s d e f in e d o n [ 1 / 3 , 1 ) and t h i s c a s e fo l l ows from l emma 6 .

80

Ca s e n = 3 i s cons ider ed in [Mn] . Ca s e n=4 may b e found in [F.) and [Mn ] . The proo fs g iven t her e ar e d iffer ent .

2 • 3 . E X AM P L E 2 .

The uni que c.ompac t s e t K such t hat

K 6 Y . ( K ) i = 1 �

wher e Y . a r e s imi l i tud e s o f the comp l ex p l ane d ef iried by �

Y1 ( Z ) = z / 3 ; Y z ( z ) = z . ( 1 /2+iy'3:/Z) /3+ 1 /3 ; Y 3 ( z ) = z . ( 1 /2 - iv'3/Z) /3+

( l / Z + i / Z I3) ; Y4 ( z ) = z / 3 + Z / 3 , i s. the we l l known Koc h curve .

I t i s not d i fficul t to s e e tha t C ( K ) = C ( { O , l , l / Z + i / Z I3}) and ther e fo r e u s ing int C (K ) one can prove that an "open s e t con d i t ion" ho l d s for K . Ther e for e K i s s el f s im i l ar ( s ee [ F ] ) . Mor eover s = l o g 4 / l o g 3 .

Al t erna t ive ly K c an b e d e f ined with only two s im i l i tud e s i e . Z

K = U Y � ( K ) i = 1 �

wher e Y i ( z ) = z . ( - I3/ Z - i / Z ) / I3+ ( l / Z + i / Z I!)

Y z ( z ) = z . ( - /3/ Z + i / 2 ) / 13+ 1 (pr ime s w i l l be used to d e s c r i b e

e l ement s t hat ar i s e from t h i s d e f in i t ion ) .

Prop er ty Z ho l d s for K and t her efor e � ( o ) and f e o ) ar e cont i � nuous . F i gur e 4 s hows how K l o o k s l ike .

L e t C b e a compac t s e t o f d iame t er o < 1 / 3 13 suc h t ha t (by

t heor em 1 ) � ( o ) = H S ( C n K) . I f C int er s ec t s T i or T z but

no t bo t h t hen u s ing Y i -1 (or y 2 - 1 ) one c an prove t hat

( 1 )

I f C int er s ec t s bo t h T i and T z t hen C can int er s ec t a t mo s t

t he s e t { TZ 3 , T z 4 , T 3 1 , T 3 Z } ( f i g . S ) . But

81

Y (K n ( T2 3 U T 2 4 U T 3 1 U T 3 2 ) ) = K n { T I I u T 1 2 U T l 3 U T 1 4 }

wher e Y i s a s imi l i tude w i t h contrac t ion rat io 1 . Ther e fo r e o n e could a s sume that e o n l y int er s e c t s T I and ( 1 ) ho l d s . Thus

we have proved t ha t i f o < 1 / 3 /3 then f e o ) = f ( o . /3) . Ther e for e t heor em 4 ho l d s w i t h E l = � , � any number l e s s than

1 / 3 /3 and E 2 � . /3 . I n fac t , in i t s pro o f we have only us ed

the the s i s of l emma 2 . From t h i s l emma and Th . 3 we obta in :

i )

i i )

o E [ 1 / 3 /3, 1 / 3 ]

for sorne 0 0 E [ 1 / 3 13, 1 / 3 ]

W e no t e that pro p er ty A ho l d s fo r K for sorne � « 1 / 3 /"3 .

Upp er and l ower bounds for K had b e en g iven in [ B ]

0 . 0 2 6 � 2 � 5 - 4 < H 5 ( K ) < 2 5 - 2 � 0 . 5 9 9 5 .

In [M 2 ] an a l t erna t i ve pro o f o f the upp er bound wa s g iven

and it wa s conj e ctur ed t hat H 5 (K ) = 2 5 - 2 . But we s hal l s e e

t ha t inde ed H 5 ( K ) < 2 5 - 2.

Now t o get a lower bound for H 5 (K ) we need to CQmput e h . r

The fo l l owing i s a tabl e o f a func t ion h2 wh ich i s an

-h2 ( 6 /1 6 ) 1 / 3 /3 h2 ( 9 / 1 6 ) � 0 . 2 9 3 9 7 -h2 ( 7 / 1 6 ) 2 / 9 h2 ( 1 0 / 16 ) 1 / 3 -h2 ( 8 / 1 6 ) 2 / 9 h2 ( 1 1 / 1 6 ) 4 / 9

approximat ion o f h 2 . We r ec a l l t he def init ion o f h2 :

h 2 ( a ) = min ( max d ( r , r ' ) ) SEG� r , r ' E S

wher e � ( . , . ) i s the usual d i s tanc e b etween s e t s .

L e t P I = O , P 2 = 1

P 6 = 1 / 6 + i / 6 /"3 , P 7 P 3 = 1 / 2 + i / 2 /3

1 / 3+ i / 3 /3 , P 8

P4 = 1 / 3 , P s 2 / 3 + i / 3 /3 ,

2 / 3 ,

82

P g 5 / 6 + i / 6 13 and r T . . , r ' = T . . . Then s e t 1 1 1 2 J 1 J 2

d ( r , r ' ) min d (Y i o y . (Pk) ' Y . o Y . ( p ) ) 1�k ,m1> g 1 1 2 J 1 J 2 m

and d e f in e h2 in the fo l l owing way : - -h2 ( a ) = min ( max d ( r , r ' ) )

t3EG� r , r ' E t3

-No t ic e t ha t d ( r , r ' ) - 1 / 5 4 � d ( r , r ' ) � d ( r , r ' ) . Ther e for e

.. -h2 : = h2 - 1 / 5 4 � h2 � h2

and if we d e fine U 2 ( ó ) : = max { a : h2 ( a ) � ó } t hen U 2 � ü 2 . -

h2 and h2 ar e non decr e a s ing . ( Th i s i s a g en er a l fac t : Hr and

hr ar e non decr eas in g func t io n s if ki = k 1 for a l l i ) . To c om

put e the s upr emum o f Ü2 on [ 1 / 3 /3, 1 / 3 ] we d o no t n e ed a l l t he -

va lues o f h2 but only t ho s e d i sp l ayed in the tabl e aboy e .

From i , i i ) aboye and t heor em 2 a ) we g et

... wher e B 2

1 /:8 2 � 1 /B 2 � H S ( K) '" s sup U 2 ( ó ) / ó

ÓE [ 1 /313, 1 / 3] sup U2 ( ó ) / ó s . U s ing t he

ÓE [ 1 / 313, 1 /3] '" '"

tabl e i t i s ea sy t o c o mput e B 2 . We have B 2 � 3 . 7 2 3 and

0 . 2 6 � H S ( K )

We comput e now an upper bound . O b s erve tha t Q = { T2 12 U T2 1 3 U

U T2 14 U T2 2 1 U T222 U T2 23 U T224 U T23 1 U T2 32 U T2 33 U T2 34 U T24 1 U

U T24 2 U T243 U T244 U T3 1 1 U T3 1 2 U T3 1 3 U T314 U T32 1 U T322 U T32 3 U

U T324 U T33 1 U T332 U T333 U T334 U T34 1 U T342 U T34 3 } ha s d iame t er

Ó ' = V ( 2 9 2 / 2 4 3 ) 1 / 3 � 0 . 3 6 5 3 9 ( s e e f i g . 6 ) and t ha t

H S ( Q n K ) = ( 3 0 / 6 4 ) H s ( K ) .

Ther e for e

83

3 0 . H S ( K ) / ( 64 . 6 ' S ) < p ( 6 ' ) / 6 ' s < 1

i e . H S ( K ) < 0 . 5 9 8 9 < 0 . 5 9 9 5 � 2 s - 2 .

The numb er s d i splayed in examp l e 2 ar e a l l exa c t up to the la st d i g i t .

Figure 1

n ( yn (yn cV;I) ) . ' . ) Yl . • . 1 n

84

Tn

�-) �

Tn l . . . 1n � i

y¡ e v e y¡

L

y¡ o dd

Figure 2

1

n + 1 1 " ' · '2 .. -- V'"

i

n V ( n - l ) / 2+ 1

V3 1 S i+ l

85

i

J

Figure 3

Figure 4

i

T 3 2 • • • 2 3 �

i+ l

86

Figure 5

Figure 6

. . .l. '" ... ...

. . .. .. ... .lo ...

Figure 7

.. . .

. . .. . lo ..

. . . . • • .lo ...

87

R E F E RE N C E S

.:: .. �. .: ... .:: .::

.:: .::

.:: -:: .::

�': �':

.. ": .::

Figure 8

[ E ] B E N E D E K A . Y P AN Z O N E R . , V o m i ni o � u ni 6 o � m e� : la i� l a d e v o n K o c h , A c a d em i a N a c . d e C i en c i a s E x a c t a s , F i s i c a s y N a t u r a l e s , B u e n o s A i r e s , 4 2 ( 1 9 9 0 ) , 8 7 - 9 8 .

[ F ] FAL C O N E R K . J . , T H E G E O M E TR Y O F F R A C TA L S E TS , C am b r i q g e Un iv e r s i t y P r e s s ( 1 9 8 9 ) .

[ H 1 H U T C H I N S O N J . E . , F�a ctal� a n d S el 6 - S i m ila�it y , I n d i a n a Un i v e r s i t y Ma t h . J o u r n a l , 3 0 ( 1 9 8 1) , 7 1 3 - 7 4 7 .

[ M I ] MAR I O N J . , M e� u� e d e H a u� d o � 6 6 d ' u n F � a c t al � Simili t u d e I nt e� n e , Ann . s e . ma t h . Q u e b e c , 1 0 , No . 1 ( 1 9 8 6 ) , 5 1 - 8 4 .

[ M2 ] MAR r O N J . , M e� u� e� d e H a u� d o � 6 6 d ' e n� e m bi e6 F � a c tal� , Ann . s e . " ma t h . Q u e b e c , 1 1 , No . 1 ( 1 9 8 7 ) , 1 1 1 - 1 3 2 .

[ Mn ] MO RGAN F . , G E O M E T R I C M EA S U R E TH E O R Y , A c a d em i c P r e s s ( 1 9 8 8 ) �

A c k n o wl e d g m e nt : F i g u r e s 4 , 5 , 6 , 7 , 8 a r e c o mp u t e r -ma d e . T h i s wo r k

wa s d o n é b y P e d r o P a n z o n e who k in d l y a l s o c o m p u t e d t h e h 2- t a b l e .

D e p a r t am e n t o e I n s t i t ú t o d e Ma t ema t i c a

U n iv e r s i d a d Na c io n a l d e l S u r . Av . A l em 1 2 5 3 . ( 8 . 0 0 0 ) B a h í a B l a n c a . A r g en t i n a .

R e c i b i d o en j u l i o d e 1 9 9 2 .

88

XXXIX REUNION ANUAL DE COMUNICACIONES CIENTIFICAS DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA y XII REUNION DE EDUCACION MATEMATICA

En l a c iudad d e Ro sar io , d e l 1 1 al 1 4 de oc tubr e d e 1 9 8 9 s e r ea l i zaron l a XXX I X Reun ión Anual d e Comun icac iones C i ent íf i c a s d e l a Un i6n Mat emá t i c a Ar gent ina y l a XI I Reun ión d e Edu cac i6n Mat emá t ica con e l au sp ic io d e l a Un iv er s idad Nac ional de Ro sar io y del Cons e j o Nac ional de I nv e s t igac iones C i ent í f i c a s y Técn ica s .

En el marco d e e s t a s r eun ion e s s e real i z6 tamb ién e l Pr imer Encu entro d e E s tud iant e s d e Mat emá t ica .

En l a r eun ión de l a U . M . A . s e pr e s entaron 9 9 comun ic ac iones

c i ent í f i c a s y s e d ic t aron l a confer enc ia "Jul io Rey P a s t o r " , a car go d e l Dr . Car l o s S e gov ia F ernánde z , sobr e " Nuevo s méto dos en e l aná l i s i s armón ico " , y l a confer enc ia "Al b er t o Go nz á l e z Domíngu e z " a car go d e l Dr . Lu i s A . Santa 1 6 , s o br e " Geome t r ía y probab i lidad " . S e o fr ec i eron ad emá s c inco cur s i l l o s p a r a e s tud iant e s d e mat emát ica sobr e t ema s var iado s .

En l a Reun ión d e Educac i6n Mat emát ica s e ac eptaron 2 4 comun i cac ione s , s e expus i eron 1 1 pane l e s s obr e en s eñ an z a d e l a mat e

mát ic a y s e d ic t aron do s confer enc ia s . Ademá s s e o fr ec i er o n s e i s cur s i l l o s y cuatro t a l l er e s p a r a l o s par t ic ipant e s .

La Asamb l ea Anua l Ord inar ia d e l a U . M . A . tuvo l ugar e l d ía 1 3 y durant e �u tran s cur s o s e e l i g i eron nuev a s autor idad e s .

89

RESUMENES DE LAS COMUNICACIONES PRESENTADAS A LA XXXIX

REUNION ANUAL DE LA VNION MATEMATICA ARGENTINA

N O T A : L a s c o mun i c a c i o n e s s in a s t e r i s c o s f u e r o n e x p u e s t a s p o r s u a u t o r , o p o r a l g u n o d e s u s a u t o r e s . L a s c o mu n i c a c i o n e s q u e v a n p r e c e d i d a s p o r u n a s t e r i s c o , f u e r o n e x p u e s t a s , e n a u s en c ia d e s u a u t o r , p o r u n i n t e g r an t e d e l g r u p o d e i nv e s t i g a c i ó n a l q u e é l p e r t en e c e . L a s c o mun i c a c i o n e s q u e v a n p r e c e d i d a s p o r d o s a s t e r i s c o s , n o f u e r o n e x p u e s t a s .

FUNDAMENTOS, TOPOLOGIA, TEORIA DE NUMEROS.

PUYAU , H . A . ( Ro s a r i o - F a c ul t a d d e Human idad e s ) : H o m o t o g �a y H o m o

t o p�a : L o � a x� o m a� d e E�t e n b e�g y S t e e n� o d .

En 1 9 5 2 E i 1 en b e r g y S t e enrod ax i o ma t i z a ron e l t r án s i t o d e l o s e s pa c i o s t o p o l ó g i c o s a l o s grupo s d e ho mo 1 0 g í a med iant e t r e s func i o n e s d e f i n id a s e n una c a t e go r í a adm i s i b l e qu e s e a j u s t an a s i e t e ax ioma s .

E s t a a x iomat i z ac i ó n a l c a n z a a l a homo 1 0 g í a s imp 1 ic i a 1 y s in gu l a r , a l a s t eo r í a s c o ho mo l ó g i c a s y c o n a l guna s r e s tr i c c ion e s a l a t eo r ía d e l a homo t o p í a .

S in emb a r go e l a x i oma d e exc i s ió n pr e s en t a d i f i c ul t ad e s p a r a j u s t i f i c ar e l i s omor f i smo ent r e grupo s d e homo t o p í a .

E l e s t ado a c t ua l d e l a � o po 1 0 g í a a l g e br a i c a mue s tr a múl t ip l e s r e l a c i o n e s ent r e homo 1 0 g í a y ho mo t o p í a qu e van ma s a l l á d e l a s j u s t i f ic ad a s p o r l o s a x i o ma s . La s o p er a c io n e s d e c o homo l o g í a ( c ua d r am i ent o s d e S t e enr o d ) s e mu e s t r a n e f i c a c e s p a r a r e s o l v e r pro b l ema s d e o b s t r u c c ión e n homo t o p í a .

Po r o t r a p ar t e l o s grupo s d e homo t o p í a e s t a b l e s s e c o mpo r t an c omo l o s grupo s de homo l o g í a .

Tamb i én l a homo t o p í a s e ha mo s tr ado má s dúc t i l a l a s f ib r a c io n e s l o qu e ha p er m i t ido d e s arro l l o s c o mo K - t eo r í a y L - t eo r Í a .

E l c amino d e un a r ev i s i ó n d e l o s a x i o ma s ha s ido empr end i d o p o r a l gun o s aut o r e s c o mo Wh i t e h e a d , M i 1 no r , e t c . Son e s t o s r e s u1 t a -

90

do s 10 que no s proponemo s valorar en la pr e s ent e comun icac i6n �

FASCELLA , M . B . y S CARPARO , R . C . ( PROMAR - CONI CET - U . N . R . ) : Ex�� t en

e � a d e � �� t ema� d�n eeto � d e � el e e e�o n e� m e d� b l é� .

Fundamentalmen t e s e prueba e l r e s ul tado s iguient e :

S e a : Ua , ( ha S , ka S ) } a e:[ O , K ) , ( a S ) e: �

un s i s t ema d ir ec t o de mul t i func ione s , med ibl e c errado y con vexo con domin io en un s i s t ema d ir e c t o de e s pac io s pav imen t a do s : { Xa , ha S } a e: [ 0 , K ) , ( a , S ) e: �

( k , cr ) - paracompacto s y bl anco en un s i s t ema d irec to d e e spac io s d e Banach : { Ya ' ka S } a e:[ 0 , K ) , ( a , S ) e: �

k -acotado s , entonc e s s i l a s apl icac ione s ha S son inmer s io n e s

c err ada s y para cada y E [ O , K ) d e s e gunda e s p e c i e { h } < e s a y a y

o bj eto in ic ial en la cat egor ía D ir . { Xa , ha S } a � s < y

el s i s t ema d ir e c t o d e mul t i func iones admit e l a ex i s t enc ia d e un s i s t éma d ir ec t o de s e l ec c iones med ibl e s : { fa ' ( ha S , ka S ) } a e:[ O , K ) , ( a , S ) e: �

S CARPARO , R . C . ( PROMAR- CONI CET - U . N . R . ) : R elae�6n entne � el e et�

v�dad y ( S l -oo) - panaeo mpae�dad .

Fundamenta lment e s e d emue stra e l r e sul t ado s igu i ent e :

Un e spac io pav imentado { X , A } e s ( S I - oo ) - paracompac t o s i y s o l o s i para todo e spac io de Banach B S I - ac ot ado t o da mul t i func ión med ibl e � : X � B , c errada y convexa adm i t e la exi s t enc ia de s e l ec c i6n med ibl e .

DUBUC , E . J . (U . B . A . ) : C� ento � alg o n�tmo � e n t eo n�a d e núm eno � .

Para t o do número pr imo p ta l que p = 7 mo d ( 8 ) , s e c o n s idera la c urva e l ípt i c a A (p ) con mul t ipl ic ac i6n comp l e j a s o br e l a

9 1

ext e n s ión c uadr á t i c a ima g inar ia Q ( - p ) . La fun c i ó n z e t a d e HasseWe i l a s o c i a d a s e id ent i f i c a con la L - s er i e s i gu i ent e ( b a j o l a fo rma d e p r o d uc t o d e Eul er ) :

L ( s ) � rr ( l - a / N ( g ) s ) - 1 g ( p ) g

# 0

dond e g r e c o r r e e l c o nj unt o d e i d e a l e s pr imo s d e l an i l l o Z ( ( l + - p ) / 2 ) d e ent e r o s d e Q ( - p ) , N ( g ) e s l a no rma y a g e s un númer o c o mp l ej o d e fin i do c omo s i gue : s ea h el o r d en d e l grupo d e c u e r p o s de c l a s e s c o r r e s pond i ent e , gh es pr inc i p a l gen erado p o r a Z ( ( l + - p ) / 2 ) , no t ado a g . La c o nj e t ur a de B ir c h y Swinn e r t o n - Dy er p r ed i c e l a fó rmul a s i gu i ent e :

L ( l ) = ¡ LLJ ¡ n

donde LLJ e s el grupo d e Tat e - S c ha far ev i t c h y n el período a s o c i a do a l a c urva . L a t e o JtI-a d-i c. e q u e ¡ LLJ ¡ e.6 U rt c. ua dJt a d o p eJt 6 e c. t o .

E l c á l c u l o d e L ( l ) / n ha s t a e l pr e s ent e s i emp r e ha p r o d uc ido un cuadrado p e r fe c t o . La d i f i cu l t a d r e s i d e en el d e s ar r o l l o de a l go r i t mo s que p er m i t an c a l c u l ar L ( l ) . E l p e r í o do n s e c a l c ul a fá c i lment e p o r med io d e c i er t a s fó rmul a s . Lo s a l go r i tmo s pr e s ent ado s n e c e s i t an d e c o n o c im i e nt o s e l ement a l e s d e t eo r í a d e núme r o s y s o n imp l ement a b l e s en l a p r á c t i c a .

N O T A . E s t e t r a b a j o h a s i d o h e c ho s i g u i en d o i d e a s d e F e r n an d o Ro d r í g u e z V i l l e g a s p a r a c a l c u l a r c i e r t o s c a r a c t e r e s d e Hecke .

R E F E R E N C I A S . L a r e f e r en c i a inm e d i a t a d e l t r a b a j o e s l a t e s i s d e B . G r o s s A r i t hm e t i c o n E l l i p t i c C u r v e s w i t h C o mp l ex Mu l t i p li c a t i o n L N in Ma t h . v o l . 7 7 6 , 1 9 8 0 .

CO S TA , H . A . ( U . N . Ca . ) : CJt-it eJt-i o .6 g e rt eJt a! e.6 d e d -i v -i.6 -i b -i! -i d a d .

S i m = a ka k _ 1 a k _ 2 . . . . . a 3 a Z a 1 a O ( r s e t i en e m = qr + a O ' do nd e

q = a ka k _ 1 a k _ 2 " . . . a 3a Z a 1 ( r ' S i endo n un natur a l no nul o meno r

que m , s e v e r i f i c a e l s i gu i ent e Cr i t er io G en er a l d e D iv i s ib il i d a d : " La c o n d i c i ó n n e c e s ar i a y s u f i c i ent e par a que m s ea múl t i p l o d e n e s que l o s e a e l número d q + ha o ; do n d e d mc d ( n , r ) y h e .3 una s o l uc ión , pr ima c o n n , d e l a e c ua c i ó n l in ea l d e c o n gruenc i a r x == d ( mó d n ) " .

92

En el pr e s en t e t r abaj o s e d emu e s t r a el cr it er io ant er ior y s e r eal i z a un e s tud io comparat ivo , t end i ent e a e s t ab l ec er l a prac t ic idad de su ut i l i z a c i6n , entr e e l mi smo y e l conoc ido Cr it e r io d e r e s t o s po t en c ial e s , qu e d i c e : " La cond ic i6n nece sar ia y sufic i en t e para que un número natural m s ea d iv i s ibl e por o tro n , e s que 1 0 s ea la suma d e l o s produc t o s d e las c i fr a s d e m por l o s r e s t ant e s mó dulo n d e l a s pot enc ias corre spond ient e s de l a ba s e " .

ORDEN, RETICULADOS, ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ORDENADAS.

C I GNO L I , R . , LAFALSE , S . y PETROVI CH , A . (U . B . A . ) : V uall dad d e

PILl e.6 :tl ey y o p eILado IL e.6 m o dal e.6 .60 b IL e IL e:tlc. ula d o .6 dü :tIL.¿ b u:tlv o .6 .

Un o p er ador modal s o br e un r e t icul ado d i s tr ibut ivo L con O y

e s una func i6n V : L + L que s a t i s fa c e l a s i gu i ent e ecuac i6n : V ( X A y ) = VX I\ Vy .

Una e s t ruct ura d e Pr i e s t l ey e s una t erna ( X , N , R) t a l que X e s un e spac io de Pr i e s t l ey , N e s un subconj unt o d e X y R e s una r e l ac ión b inar ia sobr e R que s a t i s facen l a s s i gu i ent e s c o nd ic io n e s , donde R(x) = {y E X : ( x , y ) E R } : ( i ) R ( x) es c errado para t o

do x en X , ( i i ) R ( x) e s un subconj unto crec i ent e de X para t o do x , Y ( i i i ) R ( x) = X para t odo x � N .

S i V e s un oper ador modal s obr e L y X e s un e spac io d e Pr i e s

t l ey d e L , entonc e s d e fini endo N = { p E X : V - 1 ( p ) # 0 } y

R = { (p , q ) E X x X : V - 1 ( p ) .s q } , s e obt i ene una e s truct ur a d e Pr i e s t l ey . S i ( X , N , R) e s una e s truct ur a de Pr i e s t l ey y L e s e l r e t i c ul ado d e l o s ab i er t o s - c errado s crec ient e s d e X , entonc e s d e fin i endo V U = N n { x E X : R ( x) � U } para t o do U en L , s e o b

t i en e un o p er ador modal s o br e L . S e prueba que e s t a s corr e spon d enc ias son funtor ial e s , y que e s t abl ecen una dual idad entr e c a t egor ías aprop iada s .

S e demu e s t r an , entr e o t r a s , l a s s i guient e s prop i edad e s :

1 ) V e s un operador de int er ior s i y s ó l o s i N = X Y R e s una

93

r e l ac ión de pr eorden sobre X .

2 ) V e s un cuant i ficador s i y s ó l o s i N

d e equival enc ia sobr e X .

x y R e s una r el a c ión

3) V es un homomo r f i smo de r e t iculado con O y 1 s i y s ó l o s i R e s una func ión d e X en X .

El int er é s de e s to s r e sul t ado s e s que p ermit en cons iderar en c i er t o s ent ido a l o s mod e l o s de Kr ipke de l a s l ó g ic a s moda l e s e int uic ion i s t a como "dua l e s " d e l o s r e spect ivo s mode l o s a l g e bra ico s .

* * GALL I , A . C . y SAGASTUME , M . ( U . N . La P l a t a ) : C��t e��o � d e n

no�ma{�dad ü �n�ta .

Dada un á l gebr a d e Heyt ing s imétr ica fin ita A s e carac t er i zan lo s c oátomo s d e l á l g ebra de Boo l e d e lo s el emento s r e gular e s de A por med io d e l o s e l emento s pr imo s d e A . S e obt i en en a s í cond i c iones para que un á l gebra de Heyt ing s imétr ica s ea n - no� ma l . Como cons ecuenc ia se obt i en e un e j emplo de ál g ebra in f ini t a en l a cual e l conj unto de l o s boo l eano s fuer t e s co inc ide con

el de l o s boo l eano s y que no es n - norma l para n ingún n .

MART I NE Z , N . ( U . B . A . ) : Una dua{�dad to p o { 6 g � e a pa�a g � u p o � � et�

eu{ a d o � .

S e d e s arro l l a una dua l idad t opo l ó g ica para l o s grupo s r et ic ul� do s . El e s pac io dua l se obt iene cons iderando una var iac ión d e l e spac io d e Stone d e l r et icul ado ( l o s e spac io s d e Stone ord ena

do s con extr emo s ) e introduc i endo en e s t o s e spac io s una invo l� c ión de De Mo r gan y una func ión b inar ia y cont inua que sat i s fac e adecuadas cond ic io n e s al gebr a icas y topo l ó g i ca s . Con e s t a func ión e l e spac io dual r e sul t a un s emigrupo t opo l ó g ico o rd e nado .

La du� l idad de s arro l l ada permi t e r ecuperar a par t ir d e l espa c io d e repr e s ent ac ión l a operac ión de suma d e l grupo .

94

F I GALLO , A . V . ( U . N . S . J . ) , MONTE I RO , L . F . y Z I L I ANI , A . N . ( U . N . S . ) : A{g e bna� d e L u Qa� � ew� � z tn� v a{ ent e� {� bne� � o bn e u n � o n j unto

o nd el1ado .

S ea 1 un conj unt o ordenado . Cons ider emo s e l conj unto E d e todas

las func iones i s 6 to na s d e 1 en e l á l gebr a d e Luka s i ewic z

T = { O , 1 / 2 , 1 } dond e ° < 1 / 2 < 1 Y s ea TE e l conj unto d e todas

las func iones d e E en T . TE a l gebr i z ado punto por punto e s un

á l g ebra de Luka s i ew i c z tr ival ent e . Cons ider emo s l a apl icac ión

g : 1 + T E d e fin ida por g ( i ) = G i , donde G i ( f) = f ( i ) , para t o da f E E Y s ea G = { G . : i E I } . S ea L l a suhá l gebr a d e Luka s i e l wic z d e T E engendr ada por G , e s d e c ir L = S L ( G ) . S e prueba que L es el á l gebr a de Luka s i ew i c z l ibr� s obre e l con j unt o ordena

do 1 .

Obs ervemo s que s i e l orden sobr e 1 co inc ide con l a i gua l dad , L e s e l á l gebra de Luka s iewic z con un conj unt o d e g en erado r e s l ibr e s c uyo c ard inal co inc ide c o n e l card inal d e l . E n e l c a s o par t icular e n que 1 e s un conj unt o ordenado fin ito s e cons idera l a s i guient e b ipar t ic i6n d e E :

E l = { f E E : f e r ) S; { O , 1 } } , E 2 = { f E E : 1 / 2 E f e r ) } y s e

E l E 2 · E l prueba que L e s i somor fa a B x T donde B e s e l conj unto

de toda s la s ap l icac iones de E l en e l á l gebra de Boo l e

E 2 . B = { O , l } Y T e s el conJ unto de t odas l a s ap l i cac ion e s d e

E 2 e n e l á l gebra d e Luka s i ew i c z T = { O , 1 / 2 , 1 } .

E s t e r e sult ado no s p ermit e det ermiriar e l nfimero d e e l emento s de L en var io s c a so s . Por e j emp l o s i : 1 ) 1 e s una c ad ena f i n it a , 2 ) 1 e s una suma card ina l d e cadena s f in ita s .

MONTE I RO , L . F . , SAV I NI , S . y SEWAL D , J . ( U . N . S . ) : C O I1 � tn u � �� ó n

d e á{g e bna� d e L U Qa� � ew� � z tn� v a{ e l1t e� mO l1ád� � a� .

La noc ión d e Al gebra d e Luka s i ewic z ( t r ival ent e ) Monád ica fue introduc ida por L . Mont e iro [ 4 , 5 1 como una general i z ac ión d e l

conc epto d e Al gebra d e Boo l e Monád ica [ 1 ] .

95

Ut i l i z ando r e sul t ado s de R . May e t [ 2 ] s e ind i c a c 6mo c o n s t ru ir un á l g e b r a de L uka s i ew i c z mo nád i c a M (A , I ) a p ar t i r de un ál g e b r a d e B o o l e mo nád i c a A y un i d e a l mo ná d i c o 1 d e A .

S i 3 Y 3 * s o n do s op e r a do r e s d e c uant i fi c a c i6n s o br e un á l g e b r a d e Bo o l e A que ver i fi c an ( c ) 3 V *x = V * 3 x p a r a t o do x d e A , d o n d e V * = - 3 * - x , ent o nc e s a p ar t ir d e A s e con s t ruye un á l g e b r a d e Luka s i ew i c z monád i c a t M (A) , [ 3 , 6 ] .

P a r a e l c a s o en que A e s un á l g e br a d e Boo l e fin i t a y 3 e s un o p e r ad o r d e c uant i f ic a c i 6 n s o b r e A , s e ind i c a c ómo o b t en e r t o do s l o s o p e r ador e s d e cuant i f i c ac i 6 n 3 * s o b r e A que ver i f i c a n ( c ) .

[ 1 ] HALMO S , P . , Al g e b r a i c L o g i c , C h e l s e a , N ew Y o r k ( 1 9 6 2 ) .

[ 2 ] MAY E T , R . , Al g e b r e s t r iv a l en t e s d e L u ka s i e w i c z , a n n e a ux b o o l e in s e t a n n e a u x mo n a d i q u e s . S em in a i r e d e L o g i q u e Al g e b r i q u e , 1 1 1 9 , 1 - 1 0 ( 1 9 6 9 - 1 9 7 0 ) . F a c u l t é d e s S c i en c e s . Un i v e r s i t e d e L y o n .

[ 3 ] MO N T E I RO , A . , C o n s t r u c t io n d e s Al g e b r e s d e L u ka s i ew i c z t r i v a l en t e s d a n s l e s a l g e u r e s d e B o o l e Mo n a d i q u e s 1 , Ma t h . J a p o n i c a e , 1 2 ( 1 9 6 7 ) , 1 - 2 3 .

[ 4 ] M O N T E I R O , L . , A l g e b r a s d e L u ka s i e w i c z Mo n a d i c a s . R e v . d e l a U . M . A . 2 3 ( 1 9 6 8 ) , p . 2 0 0 .

[ 5 ] M O N T E I RO , L . , Al g e b r a s d e L u ka s i ew i c z t r iv a l en t e s mo n a d i c a s , No t a s d e L o g i c a M a t ema t i c a 3 2 . I n s t i t u t o d e Ma t ema t i c a . Un i v e r s i d a d N a c i o n a l d e l S u r , ( 1 9 7 4 ) .

[ 6 ] M O N T E I RO , L . e t G O N Z A L E Z C O P P OL A , L . , S u r un e c o n s t r u c t i o n d e s a l g e b r e s d e L u ka s i ew i c z t r iv a l en t e s . P o r t u g a l i a e M a t h e m a t i c a , 2 3 , 3 ( 1 9 6 4 ) , 1 5 7 - 1 6 7 .

ALGEBRA UNIVERSAL, TEORIA DE CONJUNTOS.

VAG G I ONE , D . J . ( U . N . C . ) : R e.pIL e.J., e. n.:ta c.-i.6n. de. áig e. bILaJ., p O IL J., e. c. c.ú

n. e.J., c. o n.:t-i. n.uaJ., d e. ha c. e.J., .

Un á l g e b r a A e s g l o ba lment e r epr e s en t ab l e por una c l a s e ¿ de a! g e br a s cuando e s i somo r fa a l a s ub á l g ebra d e l a s s ec c ion e s c o n t inua s de un ha z de á l g e br a s compac to y Io con f ibr a s en

96

�U{ á l g e br a s t r iv i a l e s } y a l o s umo una f ibra t r iv i a l [ Kr a u s s , P . H . and C l a r k , D . M . " G l o b a l subd ir e c t Produc t s " Mem . o f t he Amer i c an Mat h . S o c i e t y , numb er 2 1 0 1 . S e prueba e l s i gu i en t e TEOREMA : " S e a A c ua l qu i er á l gebr a , s ea E una c l a s e d e á l g e br a s Hul l - Kern e l r e s p e c t o d e A , ent o nc e s s o n equiva l ent e s : i ) A e s g l o ba lment e r epr en s ent a b l e p o r E ; i i ) TOT ( A , E l e s vomp a c t o d en s o y en e l s em i - r e t i c u l ado J T O T ( A , E ) se ver i f ic a el t eo r ema c h ino d e l r e s t o ( ver s i6 n d é b i l ) " ,

F I GALLO , A . V . ( U . N . S . J . y U . N . L a Pamp a ) y LAND I N I , P . V . (U . N . S . J . ) : S o b� e f a � áfg e b�a� t et� a v af e n t e � m o daf e� .

En e s t a n o t a s e c a r a c t e r i z a a l a s á l g e br a s mo d a l e s t et r a v a l en t e s en t érmino s de l o s o p er a do r e s d e imp l i c ac i6n ( >-+ ) y n e ga c ión l� ) . S e e s t ud ia una c l a s e d e ál g e br a s ( A , 1 , � , >-+ ) d e t ipo ( 0 , 1 , 2 ) que d e s emp efia para l a s á l gebr a s mo d a l e s t et r a va l en t e s un p ap e l aná l o go a l que t i en en l a s á l g e br a s d e Wa j s b e r g t r iva l ent e s p a r a l a s á l g e b r a s d e Luka s i ew i c z t r i va l ent e s .

C E LAN I , C . ( U . N . L a Pamp a ) y F I GALLO , A . V . ( U . N . S . J Y U . N . La Pampa) : H - áf g e b�a� d e V e M o � g a n .

E n e s t a no t a c o n s i d e r a mo s una nue va c l a s e e c ua c iona l d A á l g e bra s l l ama da s H - á l g e b r a s d e D e Mo r gan (A , A , V , � , h , O , 1 ) d o n d e (A , A , v , � , O , l ) e s un á l g e b r a d e De Mo r gan y h e s endomo r f i smo . O b t e n emo s l a dua l i d a d d e Pr i e s t l ey p a r a e s t a s á l g e b r a s .

C o n s i d e r amo s l a s H - á l g e br a s d e Mo r gan k - c í c l i c a s , e s t o e s v e r i

f i c an hk (x ) = x p a r a t o d o x E A , Y d e t erminamo s l a e s t ruc t ur a d e l H - á l g e b r a d e D e Mo r gan l ibr e s o b r e un c o n j unt o o r d enado , g e n e ra l i z ando r e s ul t ado s o b t en ido s por L . Mont e ir o ( Un e c o n s t r uc t ion d e s a l gebr e s d e Mo r gan l ibr e s sur un en s emb l e o r do nn é , Rep . o n Ma t h , Lo g i c , 3 ( 1 9 7 4 ) , 3 1 - 3 6 ) .

GONZALE Z , C . G . ( U . B . A . ) : L a � n d e p e n d e n c�a d ef a x � o ma d e u n � 6 n

e n f a t eo ��a d e c o nj u n t o � d e Z e�m efo .

S ea Z , l a t eo r í a d e conj unt o s d e Z erme l o , l a t eo r ía fo rmada

97

p o r l o s a x ioma s de e xt ens iona l idad , par e s , inf in i to , un ión , par t e s y s ep a r a c i 6 n , y s ea T l a t eo r í a Z m eno s e l ax ioma d e un i 6 n . S e prueba que s i T e s c o n s i s t ent e , ent o n c e s e l ax ioma d e un i6n no s e d e r i va d e T . E s d ec i r , que e l a x ioma d e un i 6 n e s ind ep end i ent e e n l a t eo r í a d e Z ermel o . L a p r u e b a e s t o t a l ment e f i n i t i s t a , d e modo que , s i s e enc o nt r a r a una d educ c i 6 n d e l a x ioma d e un i6n a p ar t ir d e l o s a x io ma s d e T entonc e s s e podr í a mo s t r a r una d e d uc c i6n d e una c o n t r a d i c c i 6 n a pa r t ir d e T .

La p r u e b a s e l l e va a c abo c o n s t r uy endo un mo d el o d e T má s l a n e ga c i 6 n d e l a x ioma d e un i 6 n . S e t r a t a d e un mo d e l o d e p e r mu t a c i6n que s e c o n s t r uy e s e gún l a t é cn i c a d e s arr o l l ada por Fr a en k e l - Mo s t ow s k i - S p e c ker .

S e c o m i en z a por ind i c ar una f6 r mu l a qu e d e f in e una b iy e c c i6n d e l un i ver s o . S i F ( x) es tal b iy e c c i6n se d e f in e una r e l a c i 6 n d e p er t en enc i a no s t andard

x E l Y s i Y s 6 l o s i F ( x ) E Y l u e go s e pru eba que l a r e l a t i v i z a c ió n d e l o s ax ioma s d e T s o n t eo r ema s d e Z .

Por úl t imo s e pru e b a : s i l a r e l a t i v i z ac i6n d e l a x ioma d e un i 6 n fu e r a t eo r ema d e Z ent o n c e s T s er í a incons i s t en t e .

Ad emá s s e prueba qu e e l a x ioma d e un i 6 n e s ind ep end i ent e en la t eo r í a Z C , qu e es la t eo r í a de Z er me l o c o n el a gr e gado d e l a x ioma d e e l ec c i6 n . L a t é cn i c a e s s im i l ar a l a prueba ant e r i o r, d e b ido a qu e . l a r e l a t iv i z a c i6 n d e l a x i oma d e e l e c c ión e s t eo r ema d e Z C . E s d e c ir , va l e en e l mo d e l o c o n s t r u ido s i v a l e en el mo d e l o de b a s e ( gr o und mo d e l ) .

E s t o s r e sul t ado s apar e c e r án en e l vo l umen 3 6 ( 1 9 9 0 ) d e l Z e i t s c hr i ft für Mat hema t i s c h e Lo g i k und Grund l a g en d e r Mat h e mat i k .

GONZALE Z , C . G . ( U . B . A . ) : El a x�o m a d e un�6 n y V = L .

V = L e s e l a x ioma d e God e l para l a t eo r í a d e c o nj unt o s , que d i c e " t o do c o nj unto es c o n s t r u c t i b l e " , es d ec ir , o b t en ib l e

98

por c i erto pro c e so de r ecur s i6n tran s f in ita . El mod e l o hab i

t ual de l a teoría ZF más V=L es L , el universo contruc t ib 1 e . S e c o n s t ruye un s ubmode10 d e L dond e val en l o s ax ioma s d e Z F , s alvo un i6n , e l a xioma d e e 1 ecc i6n , l a h ip6t e s i s g en eral i z ada d e l cont inuo , V = L Y l a n e gac i6n d e l a x ioma de un i6n . D e e s t e mo do s e prueba l a indep end enc ia d e l axioma d e un i6n d e Z F má s V = L .

E l mod e l o s e construye d e l a s i gu i en t e manera . En pr imer l u gar s e d e fine p o r r ecur s i6n tran s f in i t a Lw . Luego s e d e fin e w una suc e s i6n trans f in it a S como ind i c a a cont inuac i6n . S e par a

t e hac i endo S o i gua l a Lww ' Dado un e s t a d io Sa s e d e fine S a+ l a gr egando t odo s l o s subconj unt o s d e S que s ean b iyectabl e s a a a l gún conj unt o de S . Para l o s ord ina l e s l ím i t e s a s e de fine a

S = U S Q ' Luego s e con s truye S = U S para t o do o r d ina l a . a S < a f.J a

Se prueba que en S val en l o s ax ioma s Z F meno s un i6n , que val en el a xioma de el ecc i6n , l a hip6 t e s i s genera l i z ada d e l c on t inuo y V = L , Y que no val e el a xioma de un i6n .

S e pr ueba t amb i én que en el mod e l o no ex i s t en conj unt o s d e car d ina1 Xw ni de c ard inal mayo r .

TEORIA DE GRUPOS, ALGEBRAS ASOCIATIVAS, TEORIA DE ANILLOS.

* * ARAUJO , J . O . ( U . N . C . P . B . A . ) : I n v a�{ant e� P�{m{t{ v o � en T eo

lt..ta d e Galo ü .

Sea K un cuerpo y f en K [x l un pol inomio m6n ico ir r educ ibl e d e grado n con r a í c e s x l " " , xn ' No t emo s con G f e l grupo d e

Galo i s d e f y c o n & f e l d i s cr imin ant e de f . S e dará una e xt en

s i6n d e l s i guien t e hecho : " G f � An s i y s 6 1 0 s i & f E K2 " don

d e A d eno t a e l grupo de permutac ion e s par e s d e o r d en n . n Sea G un sub grupo de gn ' Para una mat r i z A = [a i j l de orden n ,

d e f in imo s e l G - permanent e d e A como :

99

n I II a i g ( i ) g E G i = l

i - 1 En part icular , s i X l ' " " Xn son ind et erminada s y a ij = Xj s e t i en e A

G = iG ( X 1 , . . . , Xn ) en K [X 1 , . . . , Xn ] . Para h en Sn s ea

i� ( X 1 " , � , Xn ) = i G ( Xh ( 1 ) " " " Xh ( n » ) y no t amo s con i� , . . . , i � l o s d i s t into s conj ugado s de i G baj o l a acc i6n d e Sn '

F ina l ment e def in imo s k

I� ( T ) = II ( T - i� ( x 1 , . . . , xn ) ) en K [T ] j = l

Con l a s no t a c ione s pr ec edent e s s e t i ene :

TEOREMA . i ) i� i G s i y s 6 l o s i h E G . i i ) S i I � ( T ) t i ene

r a í c e s s imp l e s y admit e una r a í z en K , entonc e s e x i st e h en

In tal que G f � h . G . h- 1 . i i i ) Si I � I = n , la cond ic i6n en i i )

imp l ica G f � G .

NOTA . 1 ) S i G = A n

d e s er j ugado por c ua l qu i er po l inomio que ver i fique l a cond i c i6n i ) d e l t eo r ema , l o s que cons ider amo s como invar i ant e s pr imi t ivo s para G .

B I B L I O G RA F I A .

EDWARD S , H . M . , G a l o i s T h e o r y , S p r in g e r - V e r l a g , N ew Y o r k , 1 9 8 4 . GAAL , L . , C l a s s i c a l G a l o i s T h e o r y , C h e l s e a P u b l i s h in g C o m p a n y . N ew Y o r k , 1 9 7 0 . Van d � r WA E R D EN , B . L . , Mo d e r n e A l g e b r a , S p r in g e r - V e r l a g , B e r l in , 1 9 3 0 , N ew Y o r k , 1 9 7 0 .

* * SAB IA , J . V . R . ( U . B . A . ) : Una d emo � t�ac�6n d e la ex�� t en c�a

de la� � u c e� �o n e� d e L ew�� .

En e s t e traba j o s e d emue s t r a l a ex i s t enc ia de l a s suc e s ione s exac t a s d e L ewi s , usando l a s f6rmula s d e At iyah - Wa l l para l a

apr o x imac i6n d ia gonal que apar ec en en l a d e f in ic i6n d e l pro -

100

duc to cup o La e xi s t enc ia de una suc e s ión exact¿ l ar ga s im i l ar para gr ado s po s it ivo s s e puede d emo st r ar a l t ernat ivament e mo d i f ic ando l a suc e s ión e spectral d e Ho c h s c h i l d - S err e . S e encue� tra una s uc e s ión e xacta c o r t a d e b icompl ej o s y l a suc e s ión lar ga e s l a corr e s pond i ent e en homo l o gía .

GASTAMl N ZA , S . ( U . N . S . ) : P� e p�o j e ct�v e pa�t�t�o n a n d g l o bal d�

m e Y!.6 �o n .

l t i s a wel l known fac t t hat i f A i s an ar t in a l g ebra o f f in i t e repr e s entat ion t yp e and � O ' . . . ' �n is t he prepro j e c t iv e par -

t i t ion o f ind A , then the Aus l ander a l g ebr a o f 1\. , that i s

EndA ( U X ) o p , n

r = X E U �j , ha s g l obal d imen s ion � 2 . Now we j = O pro ve t hat if A i s a her ed it ary art in a l g ebra t hen t h e al g ebra

A i = EndA ( ll X ) o p , X E j �i fj , ha s g loba l d imen s io n = 2 , fo r

each i such t hat � i i s nonempty , O < i < oo . An e xampl e i s g i

ven s howing t hat t h i s r e sul t fai l s i f A i s no t a h er edit ary art in a l gebra .

C l SNEROS , E . , GONZALE Z , M . l . ( PROMAR , CONl CET - U . N . R . ) : A n�ll o .6

d e Jaco b .6 o Y! y a n�ll o .6 d e p o l � n o m�o .6 t�po a uto mo � 6 �.6 m o R< x , a > .

Sea A una c la s e de an i l l o s pr imo s . Un ideal P d e un an i l l o R e s un A - ide a l s i R/P E A . Un an i l l o R e s un A - an i l l o d e Jaco b son s i t odo ideal pr imo de R e s int er s ec c ión d e A - id e a l e s .

S ea B una c l a s e d e an i l l o s a - pr imo s . Un ideal invar i ant e l d e R e s un B - ideal s i R/ l E B . S e e st abl ec e l a s i gu i ent e cond i c ión para e l par ( A , B ) :

(A) S i e l a - an i l l o R E B entonc e s R< x , a � / P E A para t o do ideal P d e R< x , a > t a l que P es max imal con r e specto a la c o nd ic ión p n R = O .

S e pret end e probar e l s i gu i ent e :

TEOREMA . Supongamo s qu e e l par ( A , B ) s a t i s fac e l a cond ic i6n (A) entonc e s s i el a -an i l l o R es un an i l l o B - Jacob son , R< x , a >

101

es un an i l l o A - Jaco bson .

T I L L I , M . , GLUSCHANKOF , D . A . ( U . B . A . ) : U n a n u e v a p � u e ba d el t e o

� em a d e H o e h� t e� .

Un v i e j o r e sul tado d e M . Stone (ver [ St ] ) e s l a construcc ión del

e s pac io e spectra l o de r epr e s ent ac i6n d e un an i l l o conmut at ivo . E s t o s e spac io s produj eron l a noc ión topo 1 6 g ica d e e spac io s e s p e c t r a l e s ( e spac io s con una ba s e d e ab i er t o s compac t o s c err a

d a por int er s ec c iones f in i t a s y t a l qu e t odo c errada ind e s com pon ib l e e s la c l ausura de un punto ) . En [Ho ] M . Ho c hs t er pro b6 que e s e nombr e era mer ec ido ya qu e , para cua l qu i er e spac io e s pectral X y cuerpo K , exi st e una K - ál g ebr a cuyo e spac io e spec

t ra l e s homeomor fo a X . E s t e r e sul t ado e s fundament a l pero l a prueba e s muy p o c o intu it iva y d i f í c il d e capt ar .

Para e l c a s o en que el e spac io e s p ec tral e s Hau sdor f f y e l cueE

po e s Z 2 ' e l t eor ema de Ho chs t er s e r educ e a l t eo r ema de Stone par a á l gebr a s d e Boo l e , que d i c e qu e un e spac io e s p e ctra l X es homeomo r fo a l e sp e c t ro pr imo de l an i l l o de func ion e s cont inua s d e X en Z 2 ' E s fác il ver i f icar que s e pued e r epet ir e l mi smo pro c ed im i ento para cua l qu i er cuerpo .

En e s t a comun i c ac i6n r ed emo s trar emo s e l t eo r ema d e Ho c h s t er dándo l o corno una general i z a c i6n d e l t eor ema d e Stone .

La c lave e s t á en ver que en e l t eo r ema d e S tone , e l c onj unt o 2 t i en e t r e s func ione s :

- Conj unt o d e idempo t ent e s d e un cuerpo ;

- Conj unt o d e valor e s de verdad ; - Ret i cul ado s d e ideal e s ( incluy endo e l improp io ) d e un cuerpo .

Para e l c a s o no Haus do r f f hay que s eparar e s t a s t r e s func iones , para l o c ua l tomamo s corno nue s t ro conj unt o d e va l o r e s de ver dad a l a c adena < O , . . . , 1 / 2n , . . . , 1 / 4 , 1 / 2 , 1 > y sobr e e l l a d ef i n irno s l a s valuac ion e s .

Dado un cuerpo K y un e spac io e spectral X con ba s e B , s e g en e r a e l an i l l o d e po l inomio s con una indet erminada por cada el e

mento de B . A par t ir d e l a s valuac ione s d e f in ida s s e d a un con

102

j unto de "co c i ent e s admi s ib l e s " con l o s cua l e s s e c o n s truye una ext ens i6n d e l an i l l o de po l inomio s cuyo e s p e c tro es homeo mor fo a X .

R E F E REN C I A S

[ H o ] HO C H S T ER , M . , P r ime I d e a l S t r u c t u r e in C o mmu t a t iv e R in g s , T r a n s . A . M . S . 1 4 2 .

[ S t ] S T O N E , M . , T o p o l o g i c a l r e p r e s en t a t io n o f d i s t r i b u t iv e l a t t i c e s a n d B r o w e r i a n l o g i c s , C a n o p i s P e s t . Ma t . 6 7 ( 1 9 3 7 ) , 1 - 2 5 .

G LUSCHANKOF , D . A . y T I LL I , M . (U . B . A . ) : U n t eo � em a d e � a � a � t e�i

z a � i 6 n d e l o � p� e u d o � u e�p o 6 .

Uno d e l o s pr imero s e j emp l o s en á l gebr a un iv er s a l sobr e qué e s una c l a s e ecuac iona l y qué n o 1 0 e s , e s l a comparac i6n ent r e

l a s t eo r í a s d e an i l l o s y l a d e l o s cuerpo s . S e d e f in e entonc e s un cuerpo como un an i l l o c o n una pro p i edad ad i c ional , n o ecua c ional .

En e s t a comun icac i6n pr e s entar emo s d e forma. ecuac ional a l a va. r i edad de an i l l o s gener ada por l o s cuerpo s y dar emo s una s er i e d e pro p i edad e s que l o s car a c t er i z an .

DEF I N I C I ON . Un an i l l o c onmutat ivo A s e d i c e p s eudo cuerpo S l ad m i t e una o p erac ión * que s a t i s fa c e las ecuac io n e s :

1 ) x* * '" x 2 ) ( xy ) * = y * x * y 3 ) xx"' x = x .

E cuac iona lment e , un p s eudo cuerpo < K , + , ' , - , * , 0 , 1 > d e t ipo < 2 , 2 , 1 , 1 , 0 , 0 > donde < K , + , ' , - , 0 , 1 > e s un an i l l o conmu t a t ivo que s at i s f a c e l a s ecuac iones a d i c iona l e s 1 ) , 2 ) Y 3 ) .

TEOREMA . Para un an i l l o r educ ido A son e quival ent es :

i ) A adm i t e una e s tructura d e p s eudo c uerpo ; i i ) Cada c l a s e de d iv i s ib il idad de A t i ene un id empo t ent e ; i i i ) Todo s lo s idea l e s de A son s em ipr imo s (rad ica l e s ) ; iv) E l r e t i c ul ado d e idea l e s d e A admit e una e s truc tura de

ál gebra d e Heyt ing para l a r e s iduac i6n ; v ) E l produc t o de ideal e s c o inc ide con su int er s ec c i6 n ;

103

vi ) Todo ideal pr imo e s maxima l ; v i i ) La topo l o g ía d e s u e spac io e s p ectral e s Hausdor ff ; v i i i ) Para todo x E A exi s t e un idempo t en t e y ta l que xy = O

Y x+y e s inver s ibl e , en p ar t icular , s i x e s idempo t ent e , x+y = 1 ;

ix ) Para todo x E A ex i s t e un y ta l que xy O y x+y es ide� pot ent e ;

x ) Par a todo x E A e i d e a l pr imo P t a l que x E P e x i s t e un y fuera de P tal qu e xy = O ;

x i ) To do 1 0ca l i z ac i6n d e A e s un cuerpo ; x i i ) Toda c l a s e d e d iv i s ib il idad d e A admit e una e s t ruc t ur a

de grupo para e l producto ;

x i i i ) A e s i somor fo a un produc to s ubd ir ecto de cuerpo s .

* * GUCC I ONE , J . A . y GUC C I ONE , J . J . ( IAM - CONI CET) : H o m o i o g .ta d e

S e a k un an i l l o conmutat ivo arb itrar lo con un idad y s ea f1 , . . . , fr una suc e s i6n r e gular en k [Xl " " '�] ' En e s t e traba j o s e

c a l c ul an l a homo l o g í a y cohomo l o gía d e Hochschi ld d e A = k [Xl ' . . . Xn] I (fl , · · · , fr) c o n c o e f ic i ent e s e n un A - m6 dul o M . Lo s

r e s ul tado s o b t en ido s expr e s an e s t a s homo l o g í a s en func i6n d e comp l ej o s d e Ko s z ul gener a l i z ado s (ver ( Br -Ve ) y l a b ibl io gra fía que a l l í s e c i t a ) . Cuando r = 1 , l o s comp l ej o s d e Ko s zu l obt en ido s co inc iden con e l c l á s ico . E n e s t e c a s o s e pue d e c a l cula r t amb ién l a homo l o g ía c íc l i c a de A baj o l a h ip6t es i s de que k cont enga a Q y f s ea homo g éneo y s ingu l ar s 6 lo en e l o r igen .

R e f e r en c i a s

( B r - V e ) W . B RUNS , U . V E T T E R , D e t e rm i n an t a l· r in g s L N in Math . 1 2 3 7 .

104

GEOMETRIA ALGEBRAICA.

* HE I NT Z , J . U . ( IAM - CON I C E T ) : C ál c.ulo e 6 e c.túó d e la. c.la.u.6 uJta.

y.>Jto y ec.t,¿v a. .

Sea k un c uerpo , c o n c l au sur a al gebra ica k, y s ean X , . . . , X o n

ind e t erminada s . Dado s F 1 , • • • , F s E k [ X 1 , . . . , Xn

] c o n

d : = max d e g ( F . ) , s ea V : = { x E P ; F 1 (x) = 0 , . . . , F s ( x ) = O } l a l'!> i'!> s

1 var i edad a f ín d e fin ida por F 1 , . . . , F

s' S e da un a l gor itmo qu e

c a l c u l a e c uac ion e s homo génea s G 1 , . . . , G t E k [Xo " " , Xn ] para l a

c l aus ur a proye c t iva d e V e n e l espac io pro y e c t ivo n - d imen s io

nal sobr e k . E l número t y l o s grado s d e G 1 , . . . , Gt

e s t án aco -

t ado s por � d e g ( Gj ) = d O ( n 2) , y e l a l go r itmo t i en e comp l ej i -

J 3 dad s ecuenc i a l ( sd ) O ( n ) y para l e l a 0 (n 6 l o g 2 sd ) .

E s t e r e s ul t ado permi t e tran s fer ir r e sul tado s fundament a l e s d e

comp l e j idad d e l c á l culo de ba s e s s tandard d e i d ea l e s homo g é

n eo s al c a so a fín (ver D . La z ard : Grobner ba s e s , Gau s s ian el i

minat ion and Re s o l ut ion o f al gebr a i c equat ions ; Pro c . Eur o c a l

8 3 , Spr in ger LN Comput o Sc i . 1 6 2 ( 1 9'8 3 ) 1 4 6 - 1 5 6 , Y M . G iu s t i :

Sorne e ffec t iv it y pro b l ems in po l ynom i a l ideal t heory ; Pro c .

Eur o s am 8 4 , Spr ing er LN Comput o Sc i . 1 7 4 ( 1 9 8 4 ) 1 5 9 - 1 7 1 ) .

E s t e t r a b a j o h a s i d o r e a l i z a d o en c o n j un t o c o n L . CAN I GL I A ( U . B .A . ) y A . GALL I GO ( N i z a ) .

* KRI C K , T . E . ( U . B . A . ) : No ta. .6 o b Jt e el c.ál c.ulo e 6 e ct,¿vo d e Jta.d,¿

c.a.l e .6 .

S ea k un cuerpo y s ean X1

" " , Xn

inde t erminada s s 0 br e k .

Dado s F l " . . , F s E k [X 1 , . . . , Xn ] t a l e s qu e el ideal qu e generan

en k [ X 1 , . . . , Xn

l t enga d imen s i6n 0 , y d : = max d e g ( F . ) , s e l'!> i'!> s 1

c o n s t r uy en generador e s G 1 , . . . , G t d e l ideal rad ical d e l i d e a l

( F 1 , . . . , F s ) en t i empo :

105

- s ecuenc ial : s ° ( 1 ) d O ( n 2 )

(n . l o g sd ) o ( l ) . - para l elo :

Ademá s , s e t i en e que I 1 -:; i-:; t

d e g ( G . ) = dn . :L

Rel ac ionando t amb i én nue s tro s r e sul t ado s con l o s d e Alessandro Lo gar (A No t e in t he Compl ex ity o f t he Memb er s h ip Probl em in the Po l ynomial Ring ; Pr epr int ) , s e puede exh i b ir el m i smo t ipo de c o t a s para el c a so en que el idea l ( F 1 , . . . , F ) es e qu i d imen

s -

s ional de d imen s i6n y no t i en e component e s inmer s a s .

E l prop6 s i to futuro d e nue s t ro grupo de trabaj o e s e l c á l culo e fe c t ivo del radical de un ideal po l inom i a l , s in r e s t r i c c io n e s sobr e l a d imen s ión .

E s t e t r a b a j o h a s i d o r e a l i z a d o c o n j u n t a m en t e c o n J o o s H E I NT Z ( B u e n o s A i r e s ) .

* DI CKENSTE I N , A . M . y SE S SA , C . I . ( U . B . A . ) : D uali d a d d e Z a�i� ki ,

� e� i d u o � e i d e al e� p o li n o miale� d e dim e n b i 6 n O .

Dado 1 � [ [ z l " . . , Z ] un ideal con n

f in it o s c ero s , s e cons -

t ruye e fe c t ivament e con o p erado r e s re s idUal e s un s i s t ema l i n ea l homo géneo , cuya anul ac i6n en l o s c o e fic i ent e s d e un po l i nomio P e s e qu ival ent e a l a c o nd i c i6n P E l .

La cons t r uc c i6n d e l s i s t ema s e apoya , por un l ado , e n nue s t r o r e su l t ado pr evio p a r a int ers ecc iones comp l e t a s y , po r o tro , en un r e su l tado inéd ito de N . Co l e ff que pone en ev idenc ia l a dua l idad de Z ar i s k i para idea l e s cont en i endo una int ers ecc i6n

comp l et a O - d imen s iona l f i j a .

* DANON , S . P . ( U . B . A . ) : El pf1.O bl e m a d e la p eJ¡.:t e n e n c.. ia a i d e a

l e� p o l i n o m i al e� .

Un pro bl ema c entral de l Al gebr a Conmutat iva Computac. ional e s e l de saber d e c id ir efect ivament e s i un p o l inomio f e n l a s in det erminada s X . , i = 1 , . . . , n , a co e fic i ent e s en un cuerpo K ,

:L

106

pue d e s er r epr e s ent ado como c o mb ina c ión l ineal ( a co e f i c i en

t e s po l inomial e s ) d e otros p o l inomios f 1 , • • • , fm pr e f i j ado s .

S e a d = max ( d e g f . ) . En 1 9 2 6 Hermann d emo s t ró en (Her ) que s i 1

e l po l inomio f p er t enec e a l id e a l ( f 1 , • • • , fm ) , ent o n c e s e x i s t e

una r epr e s entac ión d e l a forma

en l a qu e

f = a 1 f 1 + • • • + am fm 2n ma x ( d e g a . f . ) � d e g f + 2 . d .

1 1

E s t a s c o t a s en l o s gr ado s mu e s t r an qu e e s po s ibl e d i s efiar un

al gor itmo que r e s ue l va e f e c t ivament e el probl ema de l a p er t e

n enc ia , pero e s t o s a l go r itmo s n o s e pu ed en imp l ement ar dado

que su comp l ej idad es d o b l ement e exponenc ial en e l número d e

var i a b l e s ( (en Ma - Me ) s e mue s t r a qu e e s t a compl ej idad e s inhe

r ent e a l pro bl ema ) .

En e s t e trabaj o s e r e s ue l v e e l pro b l ema d e l a p e r t en enc ia con

compl e j idad s imp l ement e exponenc ial baj o h ip6 t e s i s d e car á c t e r

geométr ico . E n part icular quedan compr end ido s l o s c a s o s d e in

t e r s ec c ión compl eta y d imen s ión c ero .

RE F E R E N C I A S

( H e r ) G . H E RMANN , D i e Frage der endl ich vielen Schritt e in der Teor ie der P o l yn o m i d e a l e , Ma t h . Annn a l en 9 5 ( 1 9 2 6 ) .

( Ma -M e ) E . MAY R-A . M EY E R , T h e c o mp l ex i t y o f t h e wo r d p r o b l em f o r c o mm u t a t i v e s em i g r o u p s a n d p o l yn o m i a l i d e a l s , A d v an c e s in Ma t h . 4 6 ( 1 9 8 2 ) , 3 0 5 - 3 2 9 .

( D - F - G - S ) A . D I C K E N S T E I N , N . F I T C HA S , M . G I U S T I , C . S E S S A , T h e memb e r s h i p p ro b l em f o r unm ix e d p o l yn o m i a l s i d e a l s i s s o l v a b l e in s in g l e ex p o n en t i a l t im e , P r o c . AA E C C -7 T o u l o u s e F r an c e 1 9 8 9 .

* CAN I G L IA , L . M . ( IAM- CONI CET) : U n at9 0 ��tmo pa�a eat e ul a� ta

6o �ma de C ho w de un � d eat po t�no m�at eq u�d�m e nf> ú n at IJ apt�e�

e�o n ef> •

S e a V una s ubvar i edad a l gebra i c a d e l e spac io pro ye c t ivo pn s�

br e un cuerpo a 1 gebra i c ament e c errado d e c arac t er i s t i c a a r b i

t r ar i a . Supongamo s que t o d a s l a s component e s irr educ ibl e s d e

107

v t i en en la m i sma d imen s i6n r . Cons ider emo s el e s pa c io L d e

t o d a s l a s s ubvar i edad e s l in e a l e s E d e pn d e d imen s i6n mayo r o

i gual que n - r + l . E s sab ido que e s t e e s pac io L t i en e una e s t r uc

t ur a c an6n i c a de subvar i e dad c er r ada d e un c i er t o e spac io pro

y e c t ivo pN . Ocurr e que e l s ubconj unto d e L formado por t o d a s

a que l l a s subvar i e dad e s l in e a l e s E que t i en en int er s e c c i6n n o

v a c í a con V e s una h ip e r s up e r fi c i e d e nue s t r o e spac io L . E n

o t r a s p a l abr a s , l a s subvar i edad e s l ineal e s E d e L qu e t o c an a V son a que l l a s qu e , en t anto punto s d e p N sat i s fa c en una e c ua

c i6n homo génea F = O , dond e F e s un po l inom io en N ind e t ermina

d a s s o b r e e l cuerpo d e b a s e . E s t e po l inomio F s e l l ama l a F o r

m a de C h O l;) d e V .

En e l pr e s ent e trabaj o damo s un a l go r itmo e f i c i ent ement e par a

l e l i z a b l e que c a l c u l a Forma s d e Chow d e var i edad e s e qu id imen

s i onal e s a par t ir d e l a s ecuac ion e s qu e l a s d e f inen . E l a l go

r itmo s 6 l o r e qu i e r e t éc n i c a s d e Algebra L in e a l s o b r e e l cuer

po d e ba s e y trabaj a en t i empo s ecuenc ia l s impl ement e expo n en

c i al y paral e l o po l inom ia l . La s apl i cac ion e s inmed i a t a s s o n e l

c á l c u l o d e l grado d e var i edad e s e qu i d imen s iona l e s y e l c á l c u

l o d e ecuac ion e s que d e f inan l a s component e s irr educ i b l e s d e

t a l e s var i edade s .

SOLERNO , P . L . lU . B . A . ) : El�m� n a Q�6 n �áp�da d e Quant� á � Qado � e�

e n R .

S e pr e s en t a un nuevo a l go r itmo que e l imina cuant i fi cador e s

para e l l enguaj e d e pr imer o r d en d e R y qu e func iona con 6 r

d en e s d e c o mp l ej idad má s baj o s qu e l o s conoc ido s ha s t a e l pr�

s ent e ( s imul t án e ament e en comp l ej idad s e cuenc ial y p ar a l e l a ) .

S e a � una fórmu l a dada en fo rma pr en exa :

� : ( Q l x ( l ) ) . . . ( Qrx ( r ) ) lP (y , x ( l ) , . :. , x ( r ) )

d ond e : Y : = (Y y ') X ( i ) . - ( X ( i ) X ( i ) ) l " " ' m ' . - 1 ' · · · ' n . 1. 1 .;;;;; i .;;;;; r ,

Q . (= { 3 , \1 } 1 -';;; i ';;;;; r y Q .X ( i) : = Q . X1( i )Q . xz( i) • . . Q .X ( i ) 1. . 1. 1. _ 1. 1. n . 1.

IP e s una f6rmul a s in cuant i f icado r e s fo rmada por c o n -

108

d ic i o n e s de s igno s o br e una fam i l ia de po l inom io s P .

S i n : = m + n I + . . . + nr y d : = I d e g ( P ) , ent o nc e s : P e:: Pep

O ( r ) Ex i s t e un a l gor itmo que func iona en t i empo s ecuenc i a l dn

y t i empo para l el o nO ( r ) ( l o g d ) o ( 1 ) y qu e c o n s t ruye una fó r mu -

l a � s in cuant i f i cador e s e n l a s var iab l e s l ibr e s Y 1 , · " ' Ym e qu iva l ent e a � . S e dan t amb i én apl icac i o n e s a l a g eomet r ía

e f e c t iva y a l a geometr ía d i fer enc i a l ( c á l cu l o d e func io n e s

d e Mo r s e ) .

Lo s r e s ul t ado s ant er ior e s para compl ej idad s ecuenc i a l eran

O ( n ) O ( r ) d e l o r d en dn ( C o l l ins ; Mo nk ; Wut hr i c h 1 9 7 5 ) y dn

( Gr igor ' e v , 1 9 8 6 ) para e l c a s o par t i c u l ar en qu e m= O . Par a e l

c a s o para l e l o s e t en í a nO ( n ) ( l o g d ) O ( l ) ( F it c ha s - G a l l i go

Mor g en s t ern , 1 9 8 7 ) y Ren e g ar ( 1 9 8 8 ) para e l ca s o m= O , r = l .

GRUPOS DE LIE.

BRE G A , A . O . y T l RAO , J . A . ( U . N . C . ) : Un . t ea � ema d e 6 aeta�� z a e�6n

en el �l g e b� a un�v e�� al de s l en , C ) .

S e pr e s en t a e l s i gu i ent e t eo r ema de fac t o r i z a c i ó n en el á l ge

bra un iver s a l U ( k) donde k = s l (n , C ) : s ea { /c. - A . : l .;;;; i < j ';;;; n} 1 J un s i s t ema d e r a í c e s po s it iva s d e k y s ea m+ l a subá l g ebra

n il p o t ent e gener ada por l o s v e c t o r e s r a íc e s c o r r e spond i en t e s

a n . - A. : 1 ';;;; i < j ';;;; n - 2 } U D . - A : 1 .;;;; i ';;;; n - 2 } . S i 1 J 1 n U E U ( k) m+

e s un v e c t o r dom inant e d e p e s o j ( A 1 - A n ) ent on c e s

u E U ( k) XA I - A n. E s t e r e su l t ado fu e c o nj e t urado por T irao ha

c e o c ho año s y permi t e conc l u i r l a c a r a c t er i z a c i ó n d e l a ima -

K g en en U ( k ) ® U ( a ) d e l an i l l o c l a s i f ic ant e U ( g ) d e un grupo

de L i e s em i s imp l e G , cuando G e s SU ( n , l ) .

ANDRUSKI EWI T S CH , N . y T l RAO , J . A . ( U . N . C . ) : U n t ea � ema d e � e� -

109

To d a s l a s r epr e s en t a c ione s que s e cons ider an s o n de d imen s ión f i n i t a .

DEF I NI e I ON . Una r epr e s entac ión L � GL (Y) d e un grupo a l g ebr a i c o r educ t ivo L s e d i c e e s fé r i c a (de rango u n o ) s i

a ) t i en e órb i t a s g enér ic ament e c errada s .

b ) ( L , M) e s un par d e G e l fand , donde M e s e l grupo d e i s o tro

p í a pr inc ipa l . ( Po r un t eo r ema d e Ma t s ush ima M e s r educ t ivo . Pongamo s W = (Norma l i zador en L d e M) /M .

c ) l a d imen s ión d e yM e s 1 .

TEOREMA . S e a aho r a L -+ G L ( N ) o t r a r epr e s en t a c ión . Entonc e s e l

homomo r f i smo d e r e s t r i c c ió n S I ( N e Y ) � S I ( N e yM) induc e un mo

nomo r f i smo S I e N e Y) L � S I ( N e yM) W c uya ima g en e s

Aquí S ' e s e l sub e spac io d e t o do s l o s po l inomio s homo g én eo s n d e grado n y s i LA e s e l conj unto d e toda s l a s r epr e s en t a c io

n e s irr educ i b l e s d e L d e d imen s ión f in ita

A M r = { y E L : y # 0 , m (y ) � n } n

dond e m e y ) e s e l grado d e homo g en e idad d e y * en l o s p o l inomio s harntiDlico s en Y .

Aún pod emo s gener a l i z ar e l enunc iado ant er ior s i (y , L ) e s un

"produc t o " d e r epr e s entac iones e s fér i c a s d e rango uno (ver

[ 1 ] ) . Ad emá s

e = E9 ,.. S ' 'N) M n y E L : m ( y ) � n 1. y.

d e fine una f i l t rac ión d e e = S ' (N) M .

TEOREMA . El an i l l o graduado a s o c iado a e s t a f i l t r a c ión e s i s o

mor fo a l an i l l o d e P - invar iant e s e n S I (N ) dond e P es e l s ub

grupo d e i s o t r o p ía: d e un el emento ine s tabl e d e d imen s i6n máx i

ma d e Y .

110

[ 1 ] "A r e s t r i c t io n t h eo r em f o r mo d u l e s hav i n g a s p h e r i c a l s u b mo d u l e " . Ap a r e c e r á e n T r an s a c t i o n s o f t h e AMS .

GAL I NA , E . (U . N . C . ) : Au:to v alo n e-6 y au:to e-6 pa c.,[o -6 d el o p enado n d e

V,[na c. -6 o bn e Sp in ( 2 N , 1 ) , SU ( N , l ) y i Sp ( 2 , R) .

S e a G un grupo r ed uc t ivo r e a l y K un s ub grupo max ima l d e G .

S ea ( T O' , Va ) una r ep r e s en t a c i6n irr educ ibl e de K d e p e s o máx i �

mo O' y ( s , S ) l a r epr e s en t a c i6n s p in d e K , s e d e f in e D e l o p e

rador d e D irac

S e s a b e que D es e l íp t ic o , e s enc ia lment e aut o a d j unt o y G - inva

r iant e . Para e l c a s o G = Sp in ( 2n , 1 ) y G = SU (n , l ) he o b t en ido

e] conj unt o d e par áme tro s de l a s s er i e s d i s c r e t a s que o cur r en

en L 2 ( G / K , Va ® S ) , su mul t ip l ic idad como una p o t enc ia de 2 , e l

conj unto f in i t o d e autov a l o r e s d e D y c ada aut o e s pac io c o mo

s uma d e d e t erminadas s er i e s d i s cr e t a s . Ad emá s , para e l c a s o

G = Sp ( 2 , R) encuentro e j empl o s d e s er i e s d i s cr et a s que o c ur r en

en L 2 ( G / K , Va ® S) cuya s mult ipl ic idad e s no son po t en c i a s d e 2 .

VARGAS , J . A . (U . N . C . ) : R e-6:tn,[ c. c.,[6n d e n epn e-6 e n:tac.,[o n e-6 d e c.ua

dna do ,[n:tegna bl e .

S e a G un grupo d e L i e r e a l s emi s imp l e y H un s ub gr upo s em i s i�

p I e d e G .

PROPOS I C I ON 1 . S i (� , V) e s una r epr e s entac ión d e c uadr ado in

t egrabl e d e G , entonc e s cada subr epr e s entac ión H - ir r e duc i b l e

d e V e s d e c uadr ado int egrabl e .

PROPOS I C I ON 2 . S i G = SU ( 2 , 1 ) Y H e s un sub grupo i s o mo r fo a

SU ( 1 , 1 ) y (� , V) e s una r epre s ent a c ión de cuadr ado int e gr ab l e

no ho l omor fa ent o nc e s V no cont i en e H - submódulo s irr educ ibl e s

no t r ivial e s .

PROPO S I C I ON 3 . S i G SU (n , l ) y H e s i s o mo r fo a SU ( n - l , l ) y

1 1 1

( n , V) e s una r e pr e s en t a c i6n l ím i t e d e s er i e d i s c r e t a ent o nc e s

V cont iene H - subm6 dul o s irr educ ibl e s no t r iv ia l e s .

* * MIATELLO , R . J . ( U . N . C . ) y WAL LACH , N . R . (Un iv . Rut ger s , U . S . A . ) :

F 6�m ula� d e Ku z n et� o v en g�upo� d e �ang o 1 .

En [K ] Ku z n e t s o v o b t uvo en el c a so en que G = SL ( 2 , R) r = ,

= Sl ( 2 , Z ) una impo r t ant e f6 rmul a qu e v�ncula c o e f i c i ent e s d e

Four i e r d e fo rma s automo r fa s d e cuadr ado int egrabl e c o n suma s

d e K l d o s t erman S (m , n ; c ) (m , n , c E N) . Po s t er iormen t e Pro s kur in

ext end i 6 la f6rmul a a gr up o s Fuchs iano s arb itrar io s y a fo rma s

d e p e s o arb i trar io ( [ P ] ) . Brug g emann ( [Br l ] ) prob6 una f6 rmu

l a aná l o ga , pero meno s exp l íc ita y má s r ec i ent ement e , Bar c h in i

o b t uvo un aná l o go de l a f6 rmu l a d e Brug gemann en [Br l ] , en e l

c a s o e n que G = SO (n , l ) ( [ B ] ) . E n un tr abaj o c onj unto c o n N .

R . Wa l l ac h [MW2 ] hemo s obt en ido una gener a l i z ac i6 n de l a f6 rmu

l a in ic i a l d e Kuz n e t sov e n e l c a s o d e G un grupo d e L i e s emi

s imp l e d e r ango r eal 1 ar b i trar io . E l mét o do e s tamb i én vá l i

do para fibrado s d e l ín ea s , por lo t anto gener a l i z a t o do s l o s

r e su l t ado s ant er ior e s . La d i ficul tad pr inc ipal en l a gen e r a l i

z a c i6n e s el d e t ermin ar un sus t ituto para l a s func io n e s d e

B e s s e l Jv e n l a f6rmul a o ri g ina l . La r e int erpr e t a c i6n apro p ia

da e s que Jv e s , s a lvo un fac t o r d e norma l i z a c i6n , l a trans fo.!:.

mada de Four ier de la tran s fo r mada T (v ) que t r an s fo rma ve c t o

r e s c6n ico s en v e c to r e s d e Wh i t t a ker ( [ GW] , [MW 1 ] ) . L a prueba

d e la general i z a c i ón d ep ende fuert emen t e d e l o s c á l culo s e x

p l íc ito s de l o s co e fic i en t e s de Four i er d e l a s M - s er i e s en

( [MW 1 ] ) . Un c a s o part icul ar de int er é s por l a s po s ibl e s apl i

c a c ione s e s e l d e l e spac io hiperb6 l i c o H3 ( G = S l ( 2 , C ) ) , en

el c ua l l a f6rmul a o b t en ida es muy e xpl í c ita .

[ B ] BARC H l N l , L . , Fo u r i e r c o e f f i c i en t s s f a u t o mo r p h i c f o rm s a n d a n e s t im a t e f o r c u s p f o rm s . P r e p r in t .

[ B r l ] B RU G G EMANN , R . , F o u r i e r c o e f f i c i ent s o f C u s p Fo r m s , l n v en t i o n e s Ma t h . 4 5 , 1 - 1 8 ( 1 9 7 8 ) .

[ B r 2 ] B R U G G EMANN , R . , Fo u r i e r C o e f f i c í en t s o f A u t o mo r p h i c Fo rms , L e c t u r e N o t e s in Ma t h . 8 6 5 , S p r in g e r V e r l a g ( 1 9 8 1 ) .

1 1 2

[ GW] G O O DMAN , R . , WALLAC H , N . R . , Wh i t t a k e r V e c t o r s an d C o n i c a l V e c t o r s . J o u r n a l o f F un c t i o n a l An a l y s i s 3 9 , 1 9 8 0 , 1 9 9 -2 7 9 .

[K] KU Z N E T S O V , N . , T h e c o nj e C t u r e o f P e t e r s s o n f o r f o rm s o f w e i g h t O an d t h e c o n j e c t u r e o f L inn i k , p r e p r in t 1 9 7 7 , Ma t h . S b o rn i k 1 1 1 1 5 3 , 3 3 4 - 3 8 3 ( 1 9 8 0 ) .

[MW 1 ] M I AT ELL O , R . , WAL LACH , N . R . , Co n s t r u c t i o n o f a u t o mo r p h i c f o rms b y m e a n s o f Wh i t t a k e r V e c t o r s , a p a r e c e r á en J o u r n a l o f F un c t i o n a l An a l y s i s .

[MW 2 ] M I AT ELLO , R . , WAL L A CH , N . R . , K u z n e t s o v f o rmu l a s f o r r a n k o n e g r o up s , a p a r e c e r á en J o u rn a l o f F un c t i o n a l An a l y s i s .

[ p ] PRO S KURIN , N . , S um f o rmu l a s f o r g en e r a l K lo o s t e rman s um s . S em in a r o v L o m i 8 2 , 1 0 3 - 1 3 5 ( 1 9 7 9 ) .

GEOMETRIA DIFERENCIAL. GEOMETRIA RIEMANNIANA.

SANCHE Z , C . U . (U . N . C . ) : Alg uno � R e� ultado � � o b�e Punt o � F¡j o �

d e S¡m et�la� y u n I n v a�¡ant e d e C h e n y Nagano .

En e s t e tr abaj o s e e s tud ian , en un e s pac io k� s im€tr ico , c o m

pac t o y c o n e xo M l o s s ubconj unto s A e M t a l e s que p a r a t o do

x E A l a s imetr ia de M en x f i j a t o do o t r o punt o d e A . E s t o s

subconj unto s s o n f in ito s y s e deno t a por Nk

(A) su c a r d inal i -

dad . S e e s tud ian e s t a s card ina l idad e s para l o s e spac io s k - s i

mét r ico s que son C - e s p ac io s d e Ka hl er ( e s d ec ir e - e spac io s

c o n c a r ac t er i s t ic a s d e Eul er po s it iva ) .

DRUETTA , M . J . (U . N . C . ) : E� pac.¡o � ho mo g � n e o � d e c.u�v a.tu�a. n o

p o � ¡t¡va. .

Dado un e spac io homo gén eo M irr educ ibl e ( s imp l ement e c on e xo )

d e c ur va t ura s ec c ional no po s i t iva y r an go (M) ;;;¡, 2 , s e t r a t a

d e encontrar cond i c io n e s par a que é s t e s ea u n e s pac io s imétr i

c o d e t ipo no c ompac to .

M s e pued e e xpr e s �r como un grupo d e L i e s o lubl e G c o n una mé I

t r i c a invar iant e a i z qu i erda d e curvatura no po s it iva . S i 9 e s e l á l gebra d e L i e de G , 9 = [g , g ] e a. donde a. , e l o r to gonal

1 1 3

de [ g , g ] r e sp e c t o d e l a mét r i c a , e s una subá 1 g ebra abe1 iana de

g .

S e e s t ud ian l a s ó r b i t a s G (yH ( oo) ) en M (oo) ( Y H e s l a geodé s ic a

a s o c iada al s ub grup o mono paramétr ico d e G d e t erminado p o r H

en a ) y sus lma g en e s por S e ' l a s imetr ía g e o d é s ic a en e , l a

ident idad d e G .

E l o b j e t ivo e s obt ener un subconj unto pro p io , c er r ado d e M ( oo)

qu e s e a invar iant e por G y S e ' par a ap l i c ar un t eo r ema d e P .

Eber l'e in ( " S imme t r y d i f feomo r ph i sm gro up o f a man i fo l d o f non

po s it ive curvatur e 1 1 " , a apar e c er en I nd iana Mat h emat i c s Jour

na1 ) que r e l a c iona subconj unt o s pro p io s c errado s invar iant e s

d e M ( oo) por e l grupo d e d i feomo r f i smo s d e M , con e l grupo de

ho l o nomía d e l e spac io .

GYS I N , L . M . (U . B . A . ) : U na g e n e�al� z a e�6 n d e la d e� �g ualdad �� o

p e��m ét�� ea e n l o � pla n o � el�pt�eo e h�p e� b 6l�eo .

La c l á s ic a d e s igua l dad i so p er imét r ica fue g en era l i z ada por

Ban c ho f f y Po h1 a l caso de curva s no n e c e s ar iamen t e s imp l e s ,

y a d imen s ión y c o d imen s ión arb itrar i a s .

En e s t e t r abaj o s e prue ba qu e , l l amando W2 a l p l ano h ip e r bó l i

co , e l ípt ico O euc l ídeo ; e a una curva c er r ada no n e c e sar ia

ment e s imp l e cont en ida en el pl ano ; y H ( r ) a l a func ión s h r ,

s en r , o r r e sp e c t ivament e

L2

_ 4 II 1 w 2 dP - J (H ( r ) - r ) d-+G � O

w 2 G n ( c x c )

(donde L e s l a l on g itud d e l a cur va , w ( p ) e s e l " w ind in g nr . "

de l a curva c o n r e s p e c t o a p , dP e s l a den s idad d e punt o s en

W2 , y d-+G la dens idad de geodés i c a s o r i entada s ) va l i endo la i gual

dad s i y s ó l o s i e e s una c ir cunfer enc ia o var ia s c ircun fer en

c ia s c o inc ident e s r ec o r r idas t o da s en l a m i sma d ir ec c iOn o

Apl ic ado a l c a s o d e curva s s imp l e s e s t o da l a s c l á s ic a s d e s i

gua l dade s i s o p e r imét r ic a s , y apl i c ado a l c a s o euc l íd eo da e l

r e sul t ado d e Bancho f f y Po h1 .

E s t e r e sul t ado t amb i én s e genera l i z a a d imen s ió n y c o d imen s ión

1 1 4

ar b it r a r i a s .

SALVAI , M . L . ( U . N . C . ) : So b � e la di 6 e� e n eia bilidad d e la 6 o li a

e i 6 n ho �o � 6 é�iea .

S e a M una var i edad r i emann iana compac t a d e curvatura s e c c ional

n e g a t iva K . S e d ic e que la curvatura d e M es g l ob a lment e a -

p inc h in g s i a < in f I K ( P ) / K ( Q ) 1 , donde e l ín f imo s e t o ma s o -x x

br e todo s l o s x , y en M , y t o do s l o s 2 - p l ano s P , Q en T xM , Ty M .

La curvatur a de M e s l o c a l m en t e a - p in c h in g s i

a < in f l K ( P ) / K ( Q ) 1 , donde e l ín f imo s e toma s o b r e t o do s l o s x y

x en M y t o do s l o s 2 - p l ano s P , Q en T M . No tar que l a pr imera x

cond ic ión imp l ica l a s e gunda .

En [H - P ] s e prueba que s i l a curvatura d e M e s g lo b a l m en t e

1 / 4 - p in c h in g , entonc e s l a fo l ia c ión ho ro s fér ica d e M e s d e

c l a s e C l . E n e l t r ab a j o [ G ] s e d a una demo s t r a c ión , impr ec i s a

y c o n error e s , d e un enunc iado equ i va l ent e , u sando herr a m i en

t a s d e G eome t r ía R i emann i an a , a d i fer enc ia qu e en [H - P ] . Hemo s

corr eg ido e s a prueba , y en contr ado una cond ic ión s uf i c i ent e

( en t érmino s d e c ampo s d e J a co b i en d imen s ió n do s ) para que el

r e sult a do s i ga s i endo v á l ido si en la h i pó t e s i s se c a mb ia g l o

b a l por l o c a l ment e ( e s t a g en era l i z a c ión fu e conj e t ur ada en

[ H - P ] ) . Cr e emo s qu e e s a cond ic ión su f i c i ent e e s verdader a , y e s t amo s t r a t ando d e pro bar l a .

R E F EREN C IA S

[H - P ] M . H I R S C H & C . P UGH , S mo o t hn e s s o f ho r o c y c l e f o l ia t i o n s , J . D i f f e r en t i a l G e o m e t r y 1 0 ( 1 9 7 5 ) .

[ G ] L . G REEN , T h e g e n e r a l i z e d g eo d e s i c f l o w , D u k e Ma t h . J . 4 1 ( 1 9 7 4 ) .

* * DOTT I , I . G . ( U . N . C . ) : E� ��u e�u�a� eo mpl eja� e n v a�i e d a d e�

ho mo g é n ea� .

S e a M una var i edad homo g énea d e Kahl er que adm i t e un grupo s o �

l ub l e y t r an s i t ivo S d e automo r f i smo s . E l pr inc ipal pro b l ema

1 1 5

abo r dado e n e s t e tr abaj o e s d e t erminar e l número d e e s t ruc t u

r a s d e Kahl er e n M , ( e s t ruc tur a s comp l ej a s pu ed en var iar ) t al

que S e s grupo d e i sometr ía s ho l o mo r fa s . S i gue d e r e su l t a

do s d e Do r fme i s t er qu e s e puede supo ner que M e s i somét r ica a

un grupo d e L i e so l ubl e S d e t ipo s p l it ( l o s aut o va l o r e s de

adx son r ea l e s , x E �) mun ido d e una e s t ruc t ur a de Kahl er inva

r iant e . Ma s aún G ind i k in - Vinb er g prueban que una t a l á l gebra s e

d e s c ompon e o r t o gona lment e

s u El) s - -1

donde u e s un ldea l ab e l iano j - invar iant e max ima l . Lo s r e su l t a

do s pr inc ipal e s d e l pr e s en t e t r abaj o s o n

• E l i d e a l u no d ep ende d e l a e s t ructura comp l ej a .

e En cada component e irr educ ibl e de �1 ex i s t e a l o sumo

una e s t ruc tura c o mp l ej a s a lvo conj ugac i6n .

No tamo s qu e r e su l t ado s d e Pyat et s k i i - Shap iro imp l ican que l a

c l a s e d e var i edad e s de Kahl er que c o r r e spond en a �1 s o n exac t a

ment e l o s domin io s homo g én eo s a c o t ado s d e CD •

* * DOTT I , I . y M I ATELLO , R . J . ( U . N . C . ) : I � o m et��a� d e t�po �nt e

��o � e n g�upo � d e L� e .

S ea G un grupo d e L i e c o n e xo c o n una métr ica invar iant e a i z

qu i erda y s ea I ( G ) el grupo t o t a l de i s ometr {a s . E s un pr o b l e �

ma n o r e su e l t o l a d e t erm ina c i6n d e I ( G ) . Un sub grupo impo r t an

t e U d e I lG ) e s t á dado por l a s i somet r í a s d e t ipo I x ' x E G ,

l l amada s i sometr la s d e t ipo int er ior . Por e j emp l o s i G e s c o m

pac t o s impl e o G e s s emi s imp l e s in fac to r e s c ompa c t o s , U d e t e!..

mina t o t a lmen t e a I ( G ) , por r e su l t ado s de O c h i a i - Ta kaha s h i y C .

Gordon . E l prop6 s it o d e l pr e s ent e trabaj o ( [ D .M] ) es dar condicio

n e s sobr e l o s po s ib l e s subgrupo s U cuando la métrica en G varía .

Ex i s t en fu er t e s r e st r i c c io n e s a l a r e a l i z ac i6 n d e sub grupo s

d e r ango no ma x imal . En e l c a s o d e un t o ro T en un grupo c o m

pac t o y s em i s imp l e probamo s un t eo r ema qu e da una c ondic i6 n

a l g e br a i c a n e c e s ar ia y sufic i ent e en t érmino d e l a s r a í c e s d e

T ( ver T h . 2 . 1 ) . S e o b t i ene t amb i én un r e s ul t ado e n e l c a so d e

sub grupo s d e rango máx imo . S e prueba qu e dado u n t a l sub grupo

1 1 6

c o n e xo H , ex i s t e una métr i c a e n G t a l q u e Uo = H (Th . 3 . 2 ) . S e

e xh i b en ad emá s una var i edad d e ej emp l o s mo s tr ando qu e U e s en

g en e r a l a l t ament e d i s co n exo . Por ej emp l o s e prueba (Th . 2 . 2 ,

Pro p . 3 . 2 ) : ( i ) S i G e s comp a c t o s em i s imp l e , T un t o r o max ima l ,

para t o da mét r i c a invar iant e a i z qu i erda con U = T , r e sul t a U

d i s co n e xo . ( i i ) S i G = SU ( 2 ) , para t o da mé tr ica invar iant e a

i z qu i erda U e s d i s c o n e xo . En part icul ar s i gu e de l o s r e su l t a

do s ant er io r e s que I ( G ) e s d i c onexo . No t amo s qu e en [ D . Z ] , Re

mar k 1 , p . 2 4 , s e a f irma e xa c t ament e lo c ontrar io , e s d e c ir qu e

en c i.er t a c l a s e d e grupo s s j mp l e s compa c t o s 1 ( G ) e s c o n e xo pa

r a t o da mé tr ica , l o cual no e s c o r r ecto.

[ D . M ] D O T T I , I . , M I A T E L L O , R . , Inn e r t y p e i s o m e t r i e s on L i e g r o u p s , a p a r e c e r ¡ e n J o u r n a l o f t h e L o n d o n Ma t h . S o c i e t �

[ D . Z ] D ' AT R I , J . , Z I L L E R , W . , N a t u r a l l y r e d u c t iv e m e t r i c s a n d E in s t e in m e t r i c s o n c o mp a c t L i e g r o u p s , Memo i r s AMS , 1 8 , ( 1 9 7 9 ) , 1 - 7 2 .

GARC I A , A . (U . N . C . ) y J IMENE Z , J . A . ( P enn syl van ia S t a t e Un iver

s i t y ) : E6 pacio 6 4 - � im lt�ic a 6 .

E s t e t r abaj o e s par t e d e un proyecto t en d i ent e a o b t en e r :

i ) l a c l a s i f ic a c i6n d e l o s e s pac io s 4 - s imétr i c o s s impl ement e

con exo s G I L d e t ipo r educ t ivo ( e s t o e s , G gr upo d e L i e c o n e xo

r educ t ivo , L compo nent e d e l a ident idad d e l conj unto d e puntos

f ij o s d e un automo r f i smo d e o r d en 4 de G ) ,

i i ) d e t erminar a que l l o s qu e adm i t en e s tructur a s a ) R i emann ia

na s ; b ) c ompl ej a s ; c ) s em i - kahl er ian a s ; invar iant e s baj o l a s

s imet r ía s d e f in ida s po r e l automo r f i smo .

E s c o n o c ida l a c l a s i fi c a c i6n en e l c a so comp a c t o (J . A . J imen e z .•

R i emann ian 4 - symmet r ic spac e s , Tr an s a c t io n s o f t h 0 Am . Mat h .

So c o 1 9 8 8 ) . Ac tua l ment e t en emo s r e s ul tado s ba s t ant e c o mp l et o s,

a n ivel d e á l gebra s , s o b r e ( i ) y ( i i ) cuando l a c o mp l ex i f ic a

c i6 n d e l á l gebra d e L i e d e G e s s imp l e c l á s ic a .

CORACH , G . (U . B . A . ) , PORTA , H . ( Un iv . o f I l l ino i s at Urbana ) y RECHT , L . ( Un iv . S im6n BO l ívar , Car a ca s ) : G eo m et��a d e o p e�ado -

1 17

Dada un ál gebra C * , A , se e s tud ia l a g eome t r ía d i fer en c ial del

e spac io G S d e el ement o s inver s ib l e s y herm i t iano s d e A . S e d e

mue s t r a qu e e l grupo d e inver s ib l e s d e A ac túa s o br e G S por

( g , a ) -+ g a g * ; e s t o d e fine , sobr e l a ó r b ita de a E G S , una

e s t ruc t ura d e fibr ado pr in c ipal c o n una conexión ; hay una no

c ión de curva s ho r i z ontal e s c o n r e s p e c t o a l a conexión ; e l l e

van t a m i ento ho r i zo n t a l d e curva s en G S s e obt i en e r e so l v i endo

una e c uac ión d i fer enc ial d e l t ipo x ( t ) = f ( t ) x ( t ) , r e l a c io na

da a l a s int e gr a l e s mul t ipl i c a t iva s d e Vo l t er r a y Po t a pov . Hay

a s imismo r e su l t ado s s o br e long i tud d e geod é s ica s en G S •

TEORIA DE AUTOMATAS, COMBINATORIA, TEORIA DE GRAFOS.

RY CKEBOER , H . (U . B . A . ) : N o � e � e q ui e� e a ut 6 m ata� p a�a m o � t�a�

q u e la� e x p� e � io n e� � eg ula� e� 6 0 n Q �� a da� pa�a la Q o m pl em e n

t a Q i 6 n .

, Como ya comentó L . C . E g gan , l a s d e mo s tr a c io n e s d e fami l i a s c e

r r a d a s para l a compl ement a c ión r ecun' en a l a c o r r e spo nd enc ia

ent r e l a s e xpr es io n e s r e gu l ar e s y l o s l en guaj e s ac eptado s por

autó ma t a s f in i to s .

T i en e a t r a c t ivo t eó r ico l o grar l a demo s t r a c ión s in r ecur r ir a

e s e art i f ic io .

E l l o s e l o gr a mo s t r ando qu e :

i ) Todo l enguaj e r e gu l ar int egra l a s o l u c ión d e un s i s t ema d e

ecua c ion e s d e l cua l e s d educ ibl e en fo rma d e expr e s ión r e gu

l ar .

i i ) E l s i s t ema d e ecua c io n e s e s d e duc ibre a par t ir d e l a e x

pr e s i ó n r e gu l ar .

i i i ) Lo s l enguaj e s comp l ementar io s sur gen d e mo d i f ic a r l o s

t érmino s ind e p end i ent e s d e l s i s t ema .

C o l a b o r o en e l p r e s en t e t r a b aj o l a L i c . M i r iam S o hn .

1 18

* n SOHN , M . ( U . B . A . ) : M o no id eh � int�etieo h ap e�i6di e o h .

Dado un aut óma t a d e t ermin í s t ico d e n e s tado s , l o s e l emento s

d e l mono i d e s in t á c t ic o son apl j c ac i o n e s d e 1 en 1 . n n Para ver s i e l mo no i d e s int á c t ico cont i en e a l gún grupo no t r i

v i a l , ba s t a ver s i a l guno s d e s us e l ement o s g e n er a un submo no i

d e que cont en ga un grupo no t r i v i a l .

Una ap l i c a c ión f : 1 -+ 1 n n genera un submono i d e qu e cont i en e

un grupo n o t r i v i a l s i , y s ó l o s i , ex i s t e un s ub c o n j unt o A d e '" � t a l que l a r e s t r ic c ión f : A -+ A e s una permut a c i ó n d i s t in t a

d e l a ident idad .

En e l pr e s ent e trabaj o s e da un al gor i tmo l in e a l para d ec i d i r

c uándo un e l emento d e l mo no i d e s in t á c t i c o genera un s ubmo no i

d e aper i ó d ico .

C o l a b o r 6 en e l p r e s en t e r e s u l t a d o e l I n g . R u g o Ry c k e b o e r .

* * Z UCCHELLO , R . J . ( E . S . L . A . r . ) : Hip e�g �a 6 o h eo m p u eh to h .

Dado e l par (H , { H . ; i = 1 , . . . , n } ) donde H e s un h i p er gr a fo o 1 o ( l l amado mo de l o ) c uyo conj unto d e v ér t i c e s e s V (Ho ) = { l , . . . , n}

y { H i ; i = l , o • • , n } e s un conj unto de h ip er grafo s ( l l amado s

s a t é l i t e s ) cuyo s c o n j unto s d e v ér t i c e s son do s a do s d i s j un

to s , l a o p erac ión d e compo s i c ió n d e f in i da por Che in , Hab i b y

Maur er , l e a s i gna un h i p e r g r a fo H , e l compu e s to d e Ho por e l

conj unt o { H i : i = l , . . . , n } .

S e e s tud ia l� compo s ic ió n para e l c a s o en qu e Ho y lo s s at � l i

t e s s o n gr a fo s .

S e enc uent r a b a j o qué c o nd i c ion e s un h i p e r gr a fo H adm i t e una

d e s c ompo s ic ió n en la cua l el mo d e l o s ea un grafo , o b i en t an

t o e l mo d e l o como l o s s a t é l i t e s s ean gra fo s .

S e e s tud i an l a s prop i edad e s d e l a s par t e s 2 - e s t a b l e s , l a s par ti c ione s 2 - e s t abl e s y lo s c o m i t � s 2 - e s t abl e s d e un hiper grafo qu e

s e encuen t r an v incul ado s al pro b l ema c i tado ar r i ba .

119

SALAZAR , R . and MONTENEGRO , E . ( Un iv . Cat6 l ica d e Val pa r a í so ,

C h i l e ) : G�a p h w�t h 9 � v en auto m o �p h�� m 9 � O UP a n d 9 � v e n nucl ea�

num b oL .

I n 1 9 3 8 , Fruc ht ( 1 ) pro ved tha t every f in i t e group may b e r e

pr e s ent ed by a graph ; in other words , given any finite group H , t he

r e i s a graph G who s e automorph i sm group i s i s omo rphic t o H .

Start ing from t h i s r e s ul t a gr eat many ma t hema t i c ians have s t �

d i ed the fo l l owing probl em : " G iven a f in i t e group H and g iven

a pr o p e r t y P , is ther e a graph G that r epr e s ent s H and t ha t

sat i s f i e s t h e pro p e r t y P ? " .

The a im o f t h i s paper i s to s o l ve a pro b l em o f such charac t e

r i s t ic s . The s t a t ement we g e t i s the fo l l ow ing : "Ev ery f in i t e

gr o up H may b e r ep r e s ent ed b y a graph G who s e nu c l ear numb er

is n � 2 , wher e n is a g iven po s i t iv e in t e ger .

( 1 ) F RU C H T , R . , H e r s t e l l u n g v o n G r a p h en m i t v o r g e g e b en e r a b s t r a k t e r G r u p p e ! . C o m p o s i t io Ma t h . , 6 ( 1 9 3 8 ) 239- 1 5 0 .

SALAZAR , R . , MONTENE G RO , E . ( Un iv . Cat6 l ica d e Val para i s o , Chil e) :

Auto m o � p h�� m 9�o uP an d ham�lto n�an p�o p e�t� e� p� e� e�v e d b y

t h e � u b� t�tut�o n .

When a l l the ver t ic e s o f a comp l et e gr aph Kn , a r e sub s t itut ed

( 1 ) by c o p i e s of t he c yc l e Cn _ 1 • we o b t a in a tr iva l ent fami l y

o f graphs d eno t ed by Kn ( Cn _ 1 ) . L e t Mk b e t he graph o b t a in ed

t hr o ugh suc c e s ive sub s t itut ion of k ver t ic e s of K , k < n � n by co p i e s o f t h e cycl e Cn _ 1 . I t s i s s hown .t ha t t h e graphs Mk

ar e ham i l t o n ian - c onnec t ed . The tr iva l ent graphs M a r e mem n b e r s o f K ( C 1 ) ' n n -

Now , i f al l t he v e r t i c e s o f K ar e sub s t itut ed in an homo ge n neous way ( 2 ) , b y i somo r p h ic cop i e s o f the c yc l e Cn _ 1 , wh i c h

i s d eno t ed by H CC 1 ) ' the r e sul t o bt a ined her e i s t h e fo l n n -l owing :

Aut (Hn ( Cn _ 1 ) ) � Aut ( Cn

) � gro up o f o r d e r 2n .

D , whe r e D n n i s t he d ihedral

1 20

( 1 ) S ALAZAR , R . , A f am i l y o f t r i v a l en t h a m i l t o n i an - c o nn e c t e d g r a p h s . An u a r i o I n s t i t u t o d e Ma t ema t icas U . C . V . p g . 3 0 - 4 2 , 1 9 8 9 .

( 2 ) M O N T E N E GRO , E . - S ALAZAR , R . , Au t o mo r p h i sm g ro u p o f a g r a p h a n d i t s s ub s t i t u t io n . S ubm i t t e d .

MONTENE G RO , E . , SALAZAR , R . ( Un iv . Ca t 6 l o c a d e Val p ar a í s o , Chile) :

A �e� ult 0 6 S a b�du� � � 6�o m t h e � u b� t�tut�o n á�am e wo � k .

I n 1 9 4 9 , R . Fruc ht ( 2 ) e s t a b l i s hed t hat any f in i t e group c an b e

r epr e s ent ed b y a graph o f d e gr e e thr e e in the s e n s e that t h e

automor p h i sm group o f the graph i s i s omo rph ic t o t h e g iven

group . I n 1 9 5 7 , G . S a b idus s i ( 4 ) gav e ano ther s t ep in t h i s d i

r ec t ion , prov ing t ha t ev ery f in i t e group can b e r epr e s ent ed by

an in f in i t e numb er o f r e gu l ar graphs . It is the o b j e c t o f t h i s

wo r k t o pr e s ent a pro o f wh i c h i s mo r e e l ementary t han t he e x i s

t ing i n t h e l it eratur e . T h e t e c hniques us ed ar e ba s ed on a g e

nera l i z a t io n o f a c o n s truc t io n g iven b y Frucht ( 1 ) i n h i s pa

p er o f 1 9 3 8 and in o n e o p erat ion named sub s t itut ion ( 3 ) .

I n general t erms , t h i s o p e r a t ion cons i s t s. in s ub s t itut in g a

ver t e x fo r one graph .

( 1 ) FRU C HT , R . , H e r s t e l l u n g v o n G r a p h en m i t vo r g e g e b en e r a b s t r a kt e r G r u p p e , C o mp o s i t io Ma t h . , 6 ( 1 9 3 8 ) , 2 3 9 - 2 5 0 .

( 2 ) FRUCHT , R . , G r a p h s o f d e g r e e t h r e e w i t h a g iv e n a b s t r a c t g r o up , C an a d . J . 1 ( 1 9 4 9 ) , 3 6 5 - 3 7 8 .

( 3 ) MONT E N E G RO , E . , Un r e s u l t a d o s o b r e e l o r d e n y e l t am a ñ o d e g r a f o s q u e r e p r e s en t an a u n g r u p o f in i t o , V i s io n e s C i en t í f i c a s , 2 ( 1 9 8 6 ) , 4 9 - 7 1 , V a l p a r a í s o , C h i l e .

( 4 ) S A B I D U S S I , G . , G r a p h s w i t h g iv e n g r o u p a n d g iv e n g r a p h s t h e o r e t i c a l p r o p e r t i e s , C an a d . J . Ma t h . , 9 ( 1 9 5 7 ) , 5 1 5 - 5 5 2 .

TEORIA DE CONTROL. TEORIA DE JUEGOS.

CES CO , J . C . (U . N . S . L . ) : A e o n v e�g ent t�an� 6 e� � e h em e to t h e eo

� e 0 6 a t u - g am e .

En e s t e tr abaj o s e d e f in e un es quema d e tran� fer enc i a s para

1 21

j u ego s cooperat ivo s n - p er s ona l e s con ut i l idad e s tran s fer ibl e s .

E l e s quema conver g e a l "cor e " d e l j u e go toda v e z qu e e s t e c o n

j un t o e s no va c í o . S e pr e s enta t amb i én un a l gor itmo d e c á l cu

l o a s o c iado . E l e s quema d e trans ferenc ia e s t á r e l ac ionado con

el mod e l o e s tud iado en St earns [ 1 ] .

[ 1 ] S T EARN S , R . E . , C o nv e r g en t t r a n s f e r s c h em e s f o r n - p e r s o n g a m e s , T r an s . Am e r . Ma t h . S o c . 1 3 4 , 4 4 9 - 4 5 9 , 1 9 6 9 .

QU I NTAS , L . , NAKAYAMA , M . Y MUTO , S . ( U . N . S . L . ) : Una no ei6 n d e

e�ta bi{idad e n mo d e{o � d e t�an� 6 e� en eia d e t e e n o {o g�a .

E s t a c o mun ic ac i6n e s t á b a s a da en l o s ar t í cul o s d e Na kayama y

Qu in t a s [ 1 ] y Na kayama , Qu int a s y Mut o [ 2 ] .

S e c o n s idera un mo d e l o mat emát i c o para mo d e l ar c 6 mo c i erto c o

noc im i ento o t ecno l o g ía ( " an info r ma t io n go o d " ) e s d i s eminado

d e s d e su g en erador ( e l innovado r ) ha s t a l o s usuar io s de d ic ha

t ecno l o gía .

S e a sume que e s t a t ecno l o gía puede s er l ibr ement e r e p l i c ada a

un c o s t o d e s pr e c ia b l e y que no e x i s t e una ade cuada l ey d e pa

t en t am i ento que e f e c t ivament e contro l e y / o l imit e e s t e pro c e

s o d e r ep l icac i6n .

S e mo d e l a e s t a s it ua c i6n como un j u ego n - p er s o n a l y s e intro

duc e un conc epto d e e s t a b i l idad ( " r e s al e - proo fn e s s " ) que pr e�

c r i b e ha s t a d6nde s e d i s eminará la t ecno l o gía . E s t e conc epto

pr e s c r ibe que aque l l o s adqu ir ent e s d e l a t ecno l o gía no t en

drán inc ent ivo s para r evender l a . E s t o en general pr e s c r ibe

una fam i l ia de po s ib l e s r e su l t ado s ( "r e sa l e - pr o o f t r a d e s " ) .

Para c ada uno de e s t o s r e su l t ado s s e e s tud ia el Co r e d e un

j ue go a s o c iado . S e dan cara c t er i z a c ione s d e l Co r e y c ond ic io

n e s n e c e sar ia s y suf i c i ent e s para qu e é s t e c o n s i st a de un so

l o pun t o ( l a imput a c i6n mo nopo l í s t i c a ) . S e o b s er va qu e en g e

n e r a l e l innovador n o go z a d e una po s ic i6n monopo l í s t i c a en

t r a t o s e s t a b l e s ( " r e s a l e proo f t r ade s " ) .

R E F E RE N C I A S

[ 1 ] NAKAYAMA , M . a n d Q U I N T AS , L . G . , T h e C o r e o f R e s a l e - P r o o f I n f o rm a t i o n T r a d e s , D i s c u s s io n P a p e r N ° 7 4 0 , T h e C en t e r f o r-

1 22

Ma t h ema t i c a l S t u d i e s in E c o n o m i c a n d Ma n a g em e n t S c i en c e , N o r t hw e s t e r n Un iv e r s i t y ( Ab r i l 1 9 8 8 ) .

[ 2 ] NAKAYAMA , M . , Q U I N T A S , L . G . a n d MUT O , S . , R e s a l e - P ro o f T r a d e s o f In f o rma t io n , D i s c u s s io n P a p e r N ° . 7 6 3 , T h e C e n t e r f o r Ma t h ema t i c a l S t u d i e s i n E c o n o m i c a n d Ma n a g em e n t S c i e n c e , N o r t hw e s t e rn Un iv e r s i t y ( J an u a r y 1 9 8 8 ) .

OL I VERA , E . Z . y AUR I OL , N . I . ( U . N . S . L . ) : r nt e� cam b�a b�l�da d d el

co n j unto d e punt o � d e eq u�l� b��o e n j u eg o � n - p e�� o nal e� e¿el�

e o � .

Para j u e go s b iper sona l e s en fo rma normal , convexidad e int er

camb i ab i l idad d e l c o nj unt o de punt o s d e e qu i l i b r io s s o n equ iv�

l ent e s .

En e s t a comun i cac i6n s e demu e s tra qu e para j u ego s n - p e r sonal e s

c íc l i c o s e s t a e qu iva l enc ia tamb i én va l e .

MARCH I , E . y OVI E DO , J . A . ( U . N . S . L . ) : C o n� t�u ee�6 n d e j u eg o � b �

�ae�o nal e� eo n p unto � d e e q u�l� b��o dad o � .

Aqu í s e pr e s entan t écn i c a s para c o n s t r u i r j u ego s b ir a c i o na l e s

con p r ed e t erminado s punt o s d e e qu i l ibr io s .

Tamb i én s e da una cond ic i6n n e c e sar ia y s u f i c i ent e para l a

ex i s t enc ia de un j u e go b ir a c iona l c o n un ún i c o pun t o d e equ i

l i br io .

* * D ' ATT E L L I S , C . E . ( U . B . A . - C . N . E . A . ) y GAR C IA , R . A . ( U . B . A . ) :

Vo � m �to d o � d e eo nt� o l pa�a � �� t ema� no - l� n eal e� .

S e e xh i b en do s m é t o do s d e contro l d e s i s t ema s no - l in e a l e s del

t ipo

x f ( x) + g ( x) u

y h ( x)

dond e x E Rn , u , y E R, f , g , h func i o n e s anal it i c a s .

E l pr imer o cons i s t e en una r ea l iment a c ión l in e a l d e l a s a l ida

qu e r e s ue l ve comp l et ament e - b a j o d e t erm inad a s h ip6 t e s i s -

123

e l p r o b l ema d e r e gu l a c i6n .

E l s e gundo mét o do ut i l i z a r eal imentac i6n no l in eal d e l o s e s t a

do s y a l guno s r e s ul t ado s a c erca d e l a evo l uc i6n d e l fluj o s o

b r e l a var i edad c en t r o , para o b t ener un c o mp o r t am i en t o e s t a b l e

d e l s i s t ema contr o l ado .

S e mue s t r an a l guno s ej emp l o s , y r e sul tado s s imu l ado s .

TRO PAREVS KY , M . I . ( U . B . A . ) : C o m p o �tam� e nt o � c a 6 t� c o � e n � �� t e

m a� d�� c � e to � .

E l t r abaj o pr e s en t a a l gun a s o b s ervac i o n e s s o b r e l a e x i s t en c ia

d e subconj unt o s e s t ab l e s , in e s t ab l e s y 6 r b i t a s p e r i6 d ic a s en

s i s t ema s d inám i c o s en t i empo d i s c r e t o en lo s qu e la var i a c i6n

d e un paráme t r o d e t erm ina d inám i c a s d i f e r ent e s inc luyendo com

p o r t am i ent o s c a6 t i c o s .

* * d e S P I NADE L , V . W . ( U . B . A . ) : R eg ula�� z a c � 6 n d e � o l u c� o n e� e n

u n � �� t em a d e c o nt�o l � u j et o a �u�do .

Al t r a t a r d e imp l emen t a r numér i c ament e un pr o b l ema d e c o n t r o l ,

s e d i s eña una c o n s trucc i6n de mo v im i ento s p a s o - a - p a so , en l o s

cua l e s hay c a s i s i empr e pr e s ent e un r u ido d e in fo rmac i6 n d e

u n t ipo u d e o t r o . P . e j . , puede t r a tar s e d e impr ec i s io n e s en

l a s med i c ion e s d e l e s t ado de l a s fa s e s o b i en r e t r a s o s en l a

informac i6n so br e e l e s t ado r ea l d e l s i s t ema . E n e s o s c a s o s ,

e s fac t i b l e que e l ru ido info rma t ivo d e s t ruya l a s o luc i6n

ideal. P o r e l l o , e l d i s eño d e pro c e d im i ento s p r á c t ico s d e con

t r o l d e b e tomar en cuent a l a e s t ab i l idad d e l a s so l uc ion e s .

A e s e r e s p e c t o , e s impor t ant e l l e gar a e s t ab l e c er e s t ima do s

que permitan r e gul ar i z a r so luc ion e s d e l s i s t ema d e c o ntro l

p a r a qu e s ean e s t a b l e s fr ent e a l ruido infórmat ivo . En e s t e

t r a b a j o , s e prueba una aco t ac i6 n un i forme l o c a l d e l a s s o l u

c io n e s que pued e s er út i l para d i s eñar un c o n t ro l - guia , e s t a�

do l a evo l uc i 6 n d e l a guía l l evada a c abo med iant e c á l c ul o s

e fe c t uado s c o n una c o mpu tado r a .

1 24

QU I NT , T . (U . N . S . L . ) : T h e �o � e o á an m - � �d e d a� � �g nm ent g am e .

S e c o n s idera una g eneral i z ac i6n d e l mer c ado d e c a s a s d e Shapley

y Shub i k ( 1 9 7 2 ) en e l cual hay m - d i f er ent e s t ipo s d e a g en t e s

e n l ugar de do s . E s t o s j ue go s pueden t en er " c o r e " vac ío . Una

subc l a s e d e j ue go s con " c o r e " no vac ío e s pr e s ent a da .


S HAP L EY , L . a n d S H U B I K , M . , T h e a s s i gnmen t g a m e 1 : t h e e o r e , I n t e rn a t i o n a 1 J o u r n a l o f G a m e T h e o r y 1 , 1 1 - 1 3 0 , 1 9 7 2 .

TEORIA DE LA APROXIMACION.

GONZALE Z , R . y T I DBALL , M . l U . N . R . ) : E� t�ma ��o n e� C��t��a� pa�a

un e� q u ema de ap�o x�m a c�6 n de la e �ua ��6 n de Ham�lto n - Ja � o b �

B ellma n .

E l obj e t ivo de e s t e tr abaj o e s pr e s entar una aprox ima c i6n d e

l a ecuac ión de Ham i l t o n - Jaco b i - B e l lman :

má x C \u l <,;; d<,;; m

n d dU d n + I g --- - f } = 0 , en � , c o n A E � , i= 1 i 3 x i

( 1 )

r e l ac ionada c o n e l p r o b l ema d e cont r o l ópt imo c o n ho r i z o nt e

in f in i t o y obt en e r e l o r d en d e c o nver genc ia d e d i c ha apro x i

mac ión .

E s c ono c ido que l a ecua c i6n ( 1 ) no t i en e en g en e r a l una s o l u ·

c i6 n e l , por l o que s e c o n s ider a l a l l amada so l uc i6 n de v i s

co s idad d e ( 1 ) .

Para encontrar d icha s o l uc i6n c o n s ider amo s l a e cuac i6n aproxi mada :

máx { uh (x) - ( 1 - A h ) uh ( x+ hg d ( x) ) - hfd ( x ) } l <,;; d<';; m A > O .

O , en �n , c o n x E �n ,

Demo s t ramo s aquí que l a velo c idad d e conver g en c ia d e l a s o l u

c i6n apr o x imada uh a l a func i6n u d e co s t o 6 p t imo d e l pro b l e

ma o r i g in a l e s d e o r d en y , e s d e c ir :

1 25

cuando s e sati s fa c e que

A > y L g

s i endo L g la con s t ant e d e l ip s c h it z ian idad d e g , l o que impl i

ca , en part icular que u e s una fun c i6n ho l d er iana d e o r den y o s e a :

l I u ( x) - u cX: ) 1 I .;;;; C l l x - xll Y •

Re sul t ado s d e e s t e t ipo fu eron d emo s t r ado s po r Capu z z o Do l c e

t t a e l s h i i en [ 2 ] donde fue lograda esta a c o t a c i6n usando h ip6 -

t e s i s fuert e s s o br e s emiconcav idad de l a s fun c io n e s f y g . En

e s t e t r a baj o s e demu e s t r a l a gener a l idad de la a c o t a c i6n ( 5 )

hac i endo uso d e t é cn i c a s d e l aná l i s i s conv e xo s in ut i l i z ar l a

hipó t e s i s d e s emiconcav idad .

FAVI ER , S . J . ( U . N . S . L . ) : C o nv e4g e n Q�a d e p4o m ed�o � d e �nte4 v a

lo � pa4a n0 4ma� d el t�po 04l� Q z .

Para x 1 , x2

, . . • , xk

; k punt o s d i s t int o s de l a r ec t a r e al R , y

o > O , d eno t amo s l . o = k

1 , [x . - o , x . + o ] ; i = 1 , • • • , k ; Y 1 1 l � = . U l . � ; suponemo s

u 1= 1 1 , u ademá s que l o S 1 , s i endo 1 un int er -

val o f i j o en R .

Para CP : R+ -+ R+ , c o nt inua , e s tr i c tament e c r e c i en t e y cp ( O ) = O

{ f : R -+ R/ I cP [ I f ( t ) I ] d t < 00 para algún c > O} l l amamo s Lcp [ I ] 1 c y d e f in imo s

11 f l l cp = in f { c > O : J 1 cp [ I f �t ) I ] d t .;;;; 1} .

TEOREMA 1. S ea

l im cp ( x) = 00 , x-+oo

cp , e s t r ict ament e c r e c i ent e , cp ( O ) = O ,

l im CP �AX) = $ ( A ) , con $ ( A ) > k para A > 1 x-+oo cp x)

( k = nO de int erva l o s ) entonc e s para f cont inua se t i en e

126

k -----'+) ma x { I f ( x . ) I }

0 -+0 1 i = 1

TEOREMA 2 . S ea � e s t r i c t ament e c r e c i ent e , � ( O ) O ,

l im � (x ) 00 , t a l qu e l im � ( A X ) = W ( A ) ex i s t e y e s f in i t o �( x ) X -1-00 x+oo

'rf A � O .

Supo ngamo s ad emá s W cont inua por d e r e c ha en " O " y W ( oo ) 00

Ent o n c e s para f cont inua s e t i en e

" fX r " L [ r J o � k I f ( x . ) I ----+> inf {c > O : l / k I H c

1 ) ";;;; 1 } 0 -+0 i = 1

E s t o s t eo r ema s s e apl ican a p r o b l ema s d e mej o r apro x ima c i6n

l o c a l .

MARANO , M . A . A . ( U . N . R . e . ) : A p� o x ¡m a �¡ 6 � e � l a m e d ¡a � o b � e ¡ �

t e � v al o � d¡� j u �to � .

E s s a b ido que una func i 6 n cont inua d e f in ida en un int e r va l o

t i en e un ún i c o mej o r apr o x imant e e n l a med ia cuando s e aproxi

ma s o br e un sub e spac io gener ado por un s i s t ema d e Tc hebyc h e f f .

E s t e r e sul t ado d e j a d e s er c i e r t o e n una un i6n d i s j un t a d e in

t erval o s . En e s t a s it uac ión s e e s t ud ia en e s t e t r abaj o e l r an

go d e l conj unto convexo d e mej o r e s aprox imant e s . S e o b t i en e

que en k int erva l o s e l r an go e s a l o sumo k - l cuando k no su

pera l a d imen s i6n d e l sub e s pac io apr o x imant e .

MARANO , M . A . A . ( U . N . R . e . ) : El alg o �¡tm o d e Po l ya e � el e� p a �¡o

� O '

El c o n c epto d e apr o x imant e e s t r i c t o , int r o duc ido po r R i c e [ 1 ] , e s ext end ido al e s pa c io � O d e suc e s ion e s t end i endo a O . S e d e -

P o mue s t r a que s i G e s un conj unto c onv e xo comp a c t o d e l qu e

sat i s fac e c i e r t a prop i edad apro x ima t iva ent onc e s e l m e j o r

127

aproxilmnt e en r P d e un e l emento f sobr e G conver g e cuando p + 00

a l apr o x imant e e s t r i c t o d e f s o b r e G .

[ 1 ] R I C E , J . R . • T c h eb y c h e f f a p p r o x ima t io n in a c o m p l e t e m e t r i c s p a c e . B u l l . Am e r . Ma t h . S o c . , 6 8 ( 1 9 6 2 ) , p p . 4 0 5 - 4 1 0 .

SERRANO , E . P . y ME LAS , O . E . (U . B . A . ) : R e pn e� enta c¡6 n t em p o nal

á n e c u e n c¡al a pant¡n d e l a tnan� á o nmada en o n d el ett e� .

C i e r t a s s eña l e s pueden cons iderar s e como una suc e s ión d e ev en

to s d e c o r t a dura c i ón y en un rango d e f in ido d e fr ecuenc ia .

Tal e s e l c a s o d e l a mú s ica , s i smo gr ama s , emi s ion e s a cú s t i c a s

que r e su l t an d e m é t o do s no d e s truct ivo s d e aná l i s i s d e mat er ia

l e s , e t c . D ic ho s event o s d e t erminan una d i s t r ibuc ión d e la e

n e r g ía d e l a s eñ a l e n e l domin io t i empo - fr e cu enc ia y l a carac

t er i z a c ión d e l a m i s ma c o n s t ituye un probl ema r e l e van t e en e l

aná l i s i s d e t a l c l a s e d e s eña l e s .

Son b i en cono c ido s l o s método s qu e genér ic ament e pu e d en d eno

m inar s e "Anál i s i s d e Four i er l o c al e s " a s í como l a s l im i t a c io

n e s que pr e s en t an , en part icular en e l c a s o d e s eña l e s do nde

c o nv j ven compon ent e s d e baj a s y a l t a s fr ecuen c ia s , y e s t a s úl

t ima s son de c o r t a dur ac ión .

En contrapart ida l o s m é t o do s b a s ado s en l a Tran s fo r mada en On

d e l e t t e s d e r e c i en t e d e sarro l l o promet en s er ven t a j o so s .

En e s t a comun icac ión s e pr e s en t an a l gun a s caract er í s t i c a s d e

una ba s e o r t o n or ma l d e L 2 ( R) d e ondel et t e s y d e l a trans for

mada d i s cr et a a so c iada , mo s t r ándo s e l a s bondad e s . d e l a r epr e

s entac ión t empo r a l - fr e c uenc i a l qu e d e s u apl icac ión r e sul t a .

ANALISIS NUMERICO, CALCULO COMPUTACIONAL.

CAPUTT I , T . (U . B . A . ) : M �to do � d e d¡n e c c¡o n e� 6 a ct¡ bl e� e n

o pt¡m¡ z a c¡ 6 n n o d ¡ 6 en e n c¡a bl e , 1 1 .

E l pr o b l ema d e o p t imi z a c i6n no d i fer enc iabl e y l a s t écn ica s

128

para r e s o l ve r l o j u e gan un ro l c entr a l en l o s e s t ud io s a c tua l e s

en pro gr amac i6n mat emá t i c a .

E l prop6 s i to d e e s t e trabaj o e s e l d e sarro l l o d e un mé t o do i t e

rat ivo d i s efiado para l a m in im i z a c i6n d e func ion e s o b j e t ivo con

vexa s no d i f e r enc iabl e s suj etas a un conj unto d e r e s t r i c c i o n e s

l ineal e s .

E s t e al gor i tmo gener a l i z a e l método d e l grad i ent e r educ ido d e

Wo l fe e n au s enc ia d e l a h ip6 t e s i s d e d i fer enc iab i l idad .

GONZALE Z , R . , SAGAS T I ZABAL , C . y T I DBALL , M . ( U . N . R . y U . N . C . ) :

S o l u el 6 n R4plda d e E e ua elo n ea d e Hamllt o n - Ja e o bl - B ellm a n e

I a aaea Vla e� etaa .

En e s t e trabaj o pr e s ent amo s una var i edad d e a l gor i tmo s a c e l e

r ado s para r e s o l v er l o s pr o b l ema s no l in ea l e s d e punto f ij o origlimdos por d i s c r e t i z a c i6n d e pr o b l ema s d e c o n t r o l 6 p t imo y

de j u ego s d i f er enc ia l e s .

En general e s po s i bl e s o l uc ionar e s to s p r o b l ema s r e s o lv i endo

l a s inecuac ion e s var iac i o na l e s a s o c iada s ( d e t ipo Ham i l t o n

Jaco b i - B e l l man o I s aac s ) . Cuando s e apl i c an l o s , m é t o do s d e el�

mento s f in i t o s o de d i fer enc i a s f in i t a s para r e s o l v er e s ta s

inecuaciones aproxirnruiamente , s e obtienen inecuaciones variacionales discr�

tas cuya soluci6n se logra hallando el punto fij o de un operador no l ineal

contractivo . La soluci6n de este problema de punto fij o es hallada frecuent�

ment e por un pro c e d im i ento i t er a t ivo qu e pu ed e c o nv er g er muy

l entament e cuando e l f a c t o r d e contr a c c i6n e s muy c er c ano a 1 . Lo s a l gor itmo s d e a c e 1 er a c i6n propue s to s e s tán ba s ado s en l a

r e s o l uc i6n d e l o s s i s t ema s l in eal e s .d e ecuac ion e s qu e apar e

c en imp l í c i t ament e en l a d e f in i c i6n d e l o p er ador contr a c t ivo ;

en l o s pro gr ama s d e c6mputo d e sarro l l ado s h emo s a p l icado l o s

mét o do s d e grad i en t e s conj ugado s para s o l�c ionar e s to s s i s t e

ma s .

Demo s t r amo s que l o s a l gor i tmo s ac e l erado s a quí pr e s ent a do s co�

ver gen en un número f in i to d e p a s o s a la s o l uc i 6 n e xa c t a d e l

pro b l ema d i s cr e t i z ado . La d emo s tr ac i6n s e b a s a en l a s prop i e

dad e s d e mono t o n í a d e l o p er ado r a s o c iado a l o s p r o b l ema s d e

1 29

cont r o l y en e l u s o d e un s i s t ema e s p e c i a l d e ine cuac i o n e s cua

s ivar iac ional e s en e l c a s o d e j u ego s d i fer enc ia l e s . S e pr e s en

t an var iada s r e gl a s d e d e t enc i6n d e l l a z o int erno d e l c 6 mpu to

d e l o s a l gor itmo s , que p ermi t en gar ant i z ar l a conv er g enc ia de

e s t e t ipo de pro c ed im i ent o s d e ac e l erac i6n baj o cond ic iones

muy general e s .

N I E L L , A . M . ( U . N . C . ) : No ta� � o b�e un m �to do pa�a la ap�o xima

Qi6n � im ultán ea d e la� �a� Q e� d e un p o l i n o mio .

Un método numér ico sumament e ef ica z para l a apro x imac i6n s imu l

t án ea d e todas l a s r a í c e s de un po l inomio , d e s ar ro l l ado or i g i

nal ment e por Pr es i é y P e tr i é , ha s ido r ec i ent ement e pr e s en t a

d o y ana l i z ado p o r Hop k in s , Mar s ha l l , S c hm idt y Z l o b ec , qu i e

n e s l o d enominan "Méto do PP" .

En l a pr e s ent e comun ic a c i6n s e inc l uyen var io s avanc e s s o b r e

e l cont en ido d e l t r abaj o pr ec i t ado : 1 ) S e s imp l if ica l a d emo s

t r a c ión de una impo r t ant e pro p i edad del método (a s a b e r , que

d e s pu é s d e l a pr imer a it erac ión l a suma d e l a s apro x imac ion e s

e s i gual a l a suma d e l a s ra íc e s ) ; 2 ) S e mej o r a e l aná l i s i s

d e c o nver g enc ia l o c a l , amp l iando l a t o l eranc ia par a l a apr o x i

ma c i 6n in ic i a l ; 3 ) S e propone una mo d i f i c a c ión d e l méto do que

mej o r a s u s t anc ialment e la convergenc i a .

SMI TH , J . E . ( U . N . C . ) : Suavi z a Qi6n d e dato � Q o n � pli n e� .

Dato s : 1 ) un in t er va l o ( a , b ) , y n ab s c i s a s { x C i ) } en ( a , b ) .

2 ) Un para l e l epíp edo R , d e m ar i s t a s [c ( j ) , d ( j ) ] , j = 1 , m .

3 ) Lo s n va l o r e s F ( x ( i ) ) d e una func i6n r ea l F y , en a l guno s

c a so s , l a s d er ivad a s d e r e c ha en x ( 1 ) e i z qu i erda en x (n ) , d e

F r e s p e c to d e x , o r d enado s e n un v e c t o r G d e d imen s ión m . S e

gún haya o no der i vad a s en l o s bo r de s , m val e n + 2 o n . La s

component e s d e G e s t án a fe c t ada s d e error e s ; e l va l o r verda

d ero d e b e s a t i s fac er l a s r e s tr icc i o n e s impue s t a s por R :

G e R � c ( j ) = < G ( j ) = < d ( j ) j = 1 , m

Pro b l ema . El e g ida l a c l a s e Z de l a s func ion e s spl ine apro x i -

1 30

mant e s S , s e cons truye , para c ada una , e l v e c t o r V , aná l o go a l

G c o n s tru ido p a r a F . S e s adm i s ibl e s i v e R . C o n u n func ional

J d e f in ir l a " s uavidad" d e S y o p t im i z ar J en R .

So l uc i6n propue s t a . S ea D ( i ) l a d i scont inu idad d e l a pr imer a

d er ivada d i s cont inua d e S en x C i ) , D e l vector {D ( i ) } .

S i Q e s l a ma tr i z nxm , t a l qu e D = QV , J e s e l func iona l

J (V) = < QV , QV> = < Q ' QV , V> = < D , D>

La mat r i z Q ' Q e s s emi d e f in ida po s i t iva (ma l c o nd i c io nad a ) .

La s o l uc i6n e s ún ica cuando R y K ( Q) no s e int er s ec an .

En c a s o contrar io , conv i ene usar o t r a s t écn i c a s .

E l método d e opt imi z a c i6 n e s e l d e grad i ent e conj ugado c o n r e s

t r i c c ione s , y 1 a imp 1 ement ac i6n n o u s a Q ' Q .

S e o bt uv i eron l a s ma tr i c e s Q d e s p l in e s po l igona l e s y c úb ic a s

p a r a l o s c a s o s per i6d ico ( s in d e r ivada s ) y n o per i6 d ic o .

S e d i spone d e pro gr ama s o p er a t ivo s y ej emp l o s d e a p 1 i c a c i6n .

D I AZ LOZANO d e MAC IAS , M . E . ( U . N . S . E . ) : L a úl. v e.lt.6 a d e. Mo o lt e

Pe.nlto .6 e. : una ealtaete.lt� z ae�6n y el algo lt�tm o a.6 o e�ado palta .6 u

o bt ene�6 n .

S e mue s t r a l a p e r t en enc ia d e l a inversa d e Mo o r e - P enro s e ( o

s eudo inver s a ) A+ d e una ma t r i z r ea l A dada , a una fam i l i a d e

ma t r ic e s que e s t á e n cor r e s pondenc ia b iyect iva c o n e l c onj un

t o d e e s pac io s comp l ementar io s d e l e s pac io c o l umna d e A y s e

prueba que A+ e s l a ma t r i z que corr e sponde a l comp l emen t o o r

t o gonal d e d ic ho e spac io . D e s d e e s ta per s p e c t iva , s e d e t ermi

na un pro c ed im i ento a l t ernat ivo par a e l c á l culo d e l a s eudo

inve r s a .

GUT I E RRE Z , R . H . , LAURA , P . A . A . Y ROS S I , R . E . ( U . T . N . , I MA - CONI

CET , U . N . S . ) : O pt�m� z a e�6n d e. auto v, alo lt e..6 en plto bl e.ma.6 6 o ltm u

lado .6 m e d�ant e. e.euae�o n e..6 �nte.gltal e.6 .

Un t r abaj o r ec i ent e d e C . W . B e r t ha mo s t rado d i fer ent e s a p l i -

131

c a c i u n e s de la o pt imi z a c i6n de Rayl e i gh en probl ema s de aut o

va l o r e s tra tado s con l o s mé t o do s c l á s ico s d e Rit z y d e Gal er

k in . En l a pr e s ent e comun i c a c i6n s e ut i l i z a el c onc epto d e o p

t im i z ac i6n d e Rayl e i gh , comb inado c o n e l método d e R i t z d e d e

t erminac ión d e l menor autoval o r d e ecua c io n e s int egral e s , en

a l guno s probl ema s r e l a t ivo s a s i s t ema s v ibr ant e s . En lugar d e

usar func iones co o r d enad a s e s p e c í f i c a s c o n c o e f i c i ent e s ind e

t erm inado s , en t a l e s func ion e s s e ut i l i z a un t érmino po t enc ial

cuyo expo nent e se d e j a ind e t erminado . Pue s t o que l a s apr o x ima

c io n e s o b t en ida s son c o t a s super io r e s , min im i z ando c o n r e s p ec

to a l exponent e menc io nado , s e mej o r a s ens i b l ement e l a apro x i

mac ión a l co e f i c i ent e d e fr ecuenc ia buscado en c ada c a s o . As i

mismo , s e mue s tr an compar a c i o n e s con c o t a s inf er ior e s o b t en i

d a s c o n e l método d e l a s t r a z a s , c o n c o t a s super ior e s o b t en i

d a s emp l eando una b a s e o r t o gonal d e l e spac io L 2 C O , 1 ) y con va

l o r e s obt en ido s med iant e el mét o do d e el emento s f in i t o s .

* LAURA , P . A . A . y CORT I NE Z , V . H . C I MA - CONI CET , U . N . S . ) : A náli

� i� d e plaea� vi b�ant e� m ediant e e l m lto do d e Kanto � o v i eh o p

timi z ado .

El "método d e r educ c ión a ecuac io n e s d i ferenc ial e s " (método

d e Kant o r o v i c h) o c upa una po s ic i6n int ermed ia , d e s d e el punto

d e v i s ta d e l a pr ec i s i6 n o b t en ida , ent r e l a s o luc i6n exac ta

d e un probl ema · dado y l a so luc i6n apr o x imada g enerada med ian

t e l a apl icac i6n d e l método d e R i t z o d e Gal erkin . Tal c o mo

exp l i c an Kant o r o v i c h y Krylov en s·u c l á s ico trat ado . . . " l a

ven t a j a d e l método c o n s i s t e e n que s ó l o par t e d e l a so l uc i6n

e s e s c o g ida " a pr io r i " m i en t r a s qu e e l r e s to d e l a s o l u c i6n

e s d e t erminada d e acuerdo c o n el c a r ác t er d e l pro bl ema " . La

pr ec i s i6n d e l metodo de Kant o r o v i c h pued e s er mej o r ada s i s e

inc l uy e un paráme t r o expon en c ial d e o p t imi z a c i6n "y " e n l a

par t e d e l a expr e s i6n que e s e s c o g ida " a pr ior i " . Dado qu e e l

mé todo d e Kant o r o v i c h p erm i t e o b t ener c o t a s super ior e s en e l

c a s o d e pro b l ema s d e autova l o r e s , minimi z ando a és t o s c o n r e�

p e c t o a " y " e s po s ibl e o p t imi z ar a l o s autova l o r e s en c ue s

t i6n . En e s ta comun i cac ión s e r e s u e l ven d iv e r so s pro b l ema s de

placas o l o s a s v ibrant e s d e e sp e s o r var iabl e med iant e la met o -

1 32

do l o gía propu e s ta , comparándo s e l a s fr e c uenc i a s natural e s o b

t en idas con va l o r e s d e t erminado s por o t r o s mé t o do s . S e o bt i e n e

muy buena conco rdanc ia en t o do s l o s c a so s .

TARAZAGA , P . (U . N . S . L . ) : Co :ta.6 paJLa au:to v aio JL e..6 d e. ma:tJLÚ . e..6 .6 i.

m UJLú.a.6 •

En e s t e trabaj o e s t omada en cuenta l a e s truc tur a geomé t r i c a

d e l sub e spac io d e ma tr i c e s s imétr i c a s , e s p ec i a l ment e s u l o c a

l i z ac i6n r e sp e c t o de l a id ent idad para o b t ener c o t a s infer io

r e s y s up er i o r e s para l o s autova l o r e s de d ic ha s ma tr i c e s .

E s t a s co t a s e s t án dada s en func i6n d e l a t r a z a d e l a ma tr i z

y su norma d e Fro b en ius y s o n l a s mej o r e s qu e s e pu ed en o bt e

ner usando só l o e s ta informac i6n .

Otr a s prop i edad e s d e l o s autova l o r e s d e una ma tr i z s o n e s tud i a

do s s o br e l a ba s e d e su l o c al i �ac i6n geométr i c a .

ECUACIONES PARABOLICAS.

BENI LAN , P . ( Un iv . B e s an�on) y BOU I LLET , J . E . ( U . B . A . ) : A n e. q ua

:ti.o n 0 6 di. 6 6 u.6 i.o n :typ e. who .6 e. .6 i. ng uiaJLi.:ti. e..6 d e.p e.n d o n :t h e. .6 i.g n

� 6 :t h e. .6 oiu:ti.o n .

For the pro b l em ut = a. ( u) xx ' t > 0 , x E R ; l I u ( x , t ) - uo ( x )" L1 (R)-+

-+ 0 , t -+ 0 + , wher e a. (r ) rn , r > °

r I r l m- l , r � 0 , n � 1 < m ,

and t he in i t i a l pro f i l e u ( x ) s a t i s f i e s o +

u E e ( R) , F - : o o ' o

in f F '1- < in f F o o

+ s uppor t uo

- .¡. <P , +

s up F o < s up F o < '" ,

we prove t he f o l l owing pr ec i s e b ehav iour o f t h e s o l ut ion

u (x , t ) for lar g e t ( c f . [ 1 1 ) :

THEOREM . Ther e ex i s t s a un i que u E e ( [ 0 , 00) ; LI ( R) ) n e sol ving

t he equ a t ion in D I ( ( 0 , 00) x R) .

133

Let vt vm , v ( O , x ) = u - ( x) . xx o

( i ) u � - v , and u ( t , x) > O fo r x < inf suppor t v ( t , . ) , t > O ;

( i i ) O < T � 00 such t hat +

i f t E ( O , T ) , F + ( t ) : = supp o r t u- ( t , . ) # � , and

sup F + ( t ) < sup F _ ( t ) � s up suppo r t v ( t ) , and

if t E ( T , oo) , u ( t , x) > O , a 1 1 x E R ;

(ii� T < +00 i f and o n 1 y i f fuo dx > O , and i f

1 M � O , 1 im t m+ 1

f u +

dx = O . t-+-oo

[ 1 ] B O U I L L ET , J . E . , Evo l u c ió n b a j o u t = a ( u ) d e p e r t u r b a c io � x x n e s c o m p a c t a s d e l e s t a d o u = c o n s t a n t e , C o mm . XXXV I I R e u n i o n An u a l UMA , B . B l a n c a , S e p . 1 9 8 7 .

KORTEN , M . K . (U . B . A . ) : E x�� e n e�� d e �� z �� d e � o l ue�o n e� d � b�

l e� n o n eg �� v �� d e u t = � ( u- 1 ) + .

TEOREMA . S ea O � u E L1

l o c ( Rn x ( O , T ) ) so l uc ió n d é b i l en

Rn x ( U , T ) d e l a ecuac ión u t = � (u - 1 ) + , i . e . ,

n f I [ ( u - 1 ) + M + u� t ] dx dt R x ( t 1 , t2 )

u� I t=t dx 2

J n u� l t=t dx R 1

para todos los O < t I < t2 < T Y � E C

OO, sop � ( " t ) compacto para

c ada t Y tal qu e cump l a que

sup t E ( O , T )

1 sup n R :? r R

r _ c l x l 2

J u ( x , t ) � ( x/R) e d x < 00 para c i er to

00 c > O , con W E e una func ión d e t r unc ac ión , r > O f ij o . o Ent o nc e s e x i s t e una fin ica med ida d e Bor e 1 po s it iva p qu e e s

tra z a d e u ( x , t ) , e s d ec ir

l im f u ( x , t ) H x ) dx = I Hx) dp ( x ) , para toda � E Coo (Rn) .

t '¡' O R Rn o

Ad emá s , p s a t i s fa c e l a c o nd ic ión ( d e c r e c im i ento en el inf in i

1 34

t o )

MENALD I , J . L . (Wayne S t a t e Un iver s i ty , USA) y TAR Z I A , D . A . (PRO

MAR , U . N . R . ) : U n a g en enal � z a ��ó n d e la � o l u ��ón d e Lam � - Clap e y

no n pana e l pno bl ema d e St e 6 an a u n a 6 a� e �o n u n a 6 u e nt e d e

e n eng 1.a .

E s b i en cono c ida l a c l á s i c a so l uc i6n d e Lamé - C l a p eyr o n para el

pro b l ema d e St e fan a una fase cor r e s pond i ent e a un ma t er i a l s�

m i - inf in i t o c o n co ef i c i ent e s t érmico s co n s t ant e s . S e g en e r a l i

z a e s t a s o l uc i6n para e l c a s o en que s e co n s ider e un t érm ino

part icul ar como fuent e o s umidero de c a l o r , es d e c ir , s e c o n

s id e r a e l s i gu i ent e p r o b l ema d e front era l ibr e :

O � e - ke = pi S ( _x

_ ) . t x x t Z a lt o < x < s ( t ) , t > O ,

e ( O , t ) B > O t > O

s ( O ) = O ,

e ( s ( t ) , t ) = O ke ( s ( t ) , t ) = - pl s ( t ) x t > O ,

para una t emp e r a t ura B > O en e l bo r d e f i j o x O y co e f i c i en

t e s t érmico s c o n s t ant e s k , p , � , l > O ( a = V k J . p �

La s o l uc ión e s t á dada po r { e lx, t) = B{ 1 - :e s eSZ erf(n) +

s�e I: lI:S (Y) eldy]

s ( t ) 2 a s lt n x E ( O , s ) , 2 a lt

dond e e l número s > O e s so l uc i6n de l a e c uac i6n

Z xex erf ( x) I

x Z 2 e r

O s i endo St e = Bf > O .

er f (r ) 13 ( 1' ) dI' St e

liT

Z e - r dr } ,

x > O ,

S e e s t ud ian l a s cond i c ion e s n e c e sar i a s y suf i c i en t e s p a r a l a

135

fun c i6n � = � ( n ) para l a e x i s t enc ia d e una ún ica so luc i6n d e l

p r o b l ema de front era l ibr e co r r e s pond i ent e .

S e e s tud ia e l probl ema para S t e « 1 , e l . cual e s t á c arac t er i

z ado por l a s o l uc i6n c ua s i - e s t a c ionar ia cuando l a func i6n � e s

c o n s t ant e y ver if ica � ( n ) = � ( O ) < 1 .

S e dan a s im ismo e s t imac ion e s para l a t emp eratur a y l a front e

r a l ibr e .

MARANGUN I C , P . R . y S TAMPE L LA , M . B . ( PROMAR , U . N . R . ) : A pa�� c�6 n de

z o na� pa� t o � a� e n un p�o b{ ema d e st e n an c a n ca{ o � e� p e cl n � co

d e� p� e c�a b{ e .

S e e s tud ia un probl ema d e S t e fan supon i endo d e spr ec iab l e l a

capac idad c a l o r í f ic a , para e l c a so t r id imen s iona l c o n l o s t r e s

t ipo s usual e s d e s imetr í a ( p l ana , c i l índr ica , e s fér i c a ) . E l

o b j et ivo e s anal i z ar s i una z o na pa s t o s a pu ede apar e c er s in

e s t a r ya p r e s ent e en e l in s t ant e ini c ia l .

En un t r abaj o r e c i ent e A . Fa s ano y M . Pr im i c er io prqbaron para

e l caso un id imen s iona l e l s i gu i ent e r e su l t ado : s i la t emp e r a

tur a en l a front era y l a d e fu s i6n s e supon en con s t ant e s , no

puede hab er nac im iento de una z o na p a s t o s a , ni s i q u i e ra e n

p r e s e n c ia d e un a fu e n t e d e c a l o r c o n s tan t e .

En l a pr e s ent e comun i cac i6n s e adm i t e que l a t emp e r a tura en

el bo r d e pueda s er una func i6n d e l t i empo CP ( t ) . Hac i endo un

t r a t am i ento un i f ic ado de l a s t r e s s imetr ía s , s e o b t i en e que

l a propo s ic i6n ant ed i c ha s i gu e s i endo vál ida s i cP es � o n s t a�

t e , pero no 1 0 e s en general en e l c a s o cont r ar io . En t a l s e�

t ido s e exh i b e un aprop iado e j emp l o y s e encuent r a una c l a s e

d e func i o n e s par a l a s cual e s , e l i g i endo ade cuadament e l a po s!

c i6 n in ic ial d e la front era l ibr e , apar e c e a po s t er io r i una

zona pa s t o s a .

TAR Z I A , D . A . ( PROMAR , U . N . R . ) Y VI LLA , L . T . ( I N I QUI , U . N . Sa . ) :

P�o b{ ema� d e c o n d u c c�6 n d e ca{ o � ca n una n u ente co n � eta�do

e n el. t�empo .

136

Se anal i z an probl ema s de va l o r in ic ial y de conto rno con un s u midero o fuent e de en ergía para l a e cuac i6n d e l c a l o r un i d imen

s iona1 en el int erva l o ( 0 , 1 ) y ( O , m) .

La fuent e e s un i forme en l a var iabl e e s pac i a l y d ep end e d e l

f l uj o d e l c a l o r en e l bo r d e x= O d e l ma t er ial c o n u n r e tardo

o > O en l a var iabl e t i empo .

S e o b t i en en e s t imac ion e s d e l a d i s tr ibuc i6n d e t emp era tur a en

func i6n d e l paráme t r o o y de su compo r t am i en t o c uando 0 + 0 + .

R E F EREN C I A S

[ C a ] CANNO N , J . R . , T h e o n e - d im en s i o n a l h e a t e q u a t i o n s , A d d i s o n W e s l e y ( 1 9 8 4 ) .

[TaVi] T A R Z I A , D . A . - V I L LA , L . T . , Rema r k s o n s o rn e n o n l in e a r i n i t i a l b o un d a r y v a l u e p r o b l em s in h e a t c o n d u c t i o n , Rei . Un i o n Ma t. A r g . , t o a p p e a r .

[V i ] V I LLA , L . T . , P r o b l ema s d e c o n t r o l p a r a un a e c u a c ió n un i d i m en s i o n a l n o homo g �n e a d e l c a l o r , Rev . Un i o n M a t . A r g . , 3 2 ( 1 9 8 6 ) , 1 6 3 - 1 6 9 .

ECUACIONES ELIPI'ICAS.

GARGU I CHEVI CH , G . G . y TAR Z I A , D . A . ( P ROMAR , U . N . R . ) : El pno bl �md

e�tdc¿o ndn¿o de S t e� dn d do� 6d� e� co n � n engld ¿nt ennd .

S e con s id e r a un pro b l ema d e conduc c i6n d e c a l o r e s t ac 10na r io

en un domin io n e Rn con front era r e gul ar r = r 1 U r 2 ( d i s j un

t o s ) con una fuent e d e ener gía int erna g y cond ic i o n e s d e c o n

t orno d e t ipo m i xto :

- flu = g en n B > O a u / - an r 2 q .

Compl e t ando 1 0 comun icado en [ 2 ] s e o b t iene que :

1 ) E l f l uj o d e c a l o r c r í t i c o q ( B , g ) ( el ma t er ia l pr e s en t a u c na s o l a s o l a fa s e o l a t emp eratura u = u e s d e s i gno c t e . g s i y s 6 l o s i q < q ( B , g ) ) e s una func i6n no c r e c i ent e d e B , c .

137

de g y t amb i én d e l domin io � d e acuerdo a una r e l a � i6 n de

o r d en ent r e l o s d o m in io s qu e t i en en a r 2 c o mo p a r t e c o mún

de sus front era s .

2) S e d e f in e un e s t imador infer ior y uno s up e r i o r p a r a qc (B , g)

ut i l i z ando pr inc i p io s d e máx imo .

3 ) En cada uno d e l o s tr e s pro b l ema s d e o p t imi z a c i6n d e l f l uj o

c o n r e s tr i c c ion e s s o br e l a t emp eratur a :

a ) Máx J q dy u :2 0 r 2

b ) Máx q u ;;: O

q= cte

y c ) Má x q , para q* dado, u ;;: O

q=Q . q*

la s o l uc i6n ex i s t e , es ún ica y se c a l c ul a en forma expl íc i

t a . Ad emá s en e l c a s o a ) l o s mul t ip l i c ado r e s d e Lagrange a

s o c iado s ( que s e o b t ienen emp l eando l a t é cn i c a d e o p t im i z a

c i6n d e func iona l e s c o nvexo s en e sp a c io s d e Bana c h) r e s ul

t an ind ep end i en t e s d e l a fu ent e d e ener g í a g .

Lo s r e s ul t ado s 1 ) y 2 ) general i z an l o s o b t en i do s en [ 1 ] y 3 )

l o s d e [ 3 ] p a r a e l c a s o g= O .

RE F E R EN C I A S

[ 1 ] B O U I L L E T , J . E . - S H I LL O R , M . - T AR Z I A , D . A . , C r i t i c a l o u t f l o w f o r s t e a d y - s t a t e S t e f an p r o b l em . Ap a r e c e r á e n "Applica b l e An a l� s i s " .

[ 2 ] GARGU I C H E V I CH , G . G . - TAR Z I A , D . A . , C o mun i c a c i ó n a l a XXXV I I I R e un i 6 n An u a l d e l a UMA , S an J u a n , 1 9 8 8 .

[ 3 ] G O N Z AL E Z , R . L . V . - T AR Z I A , D . A . , O p t im i z a t i o n o f h e a t f l ux in d o m a in s w i t h t em p e r a t u r e c o n s t r a in t s . Ap a r e c e r á en J . O p t im i z . T h . Ap p l .

TARZ I A , D . A . ( PROMAR , U . N . R . ) : U n do bl e p�o bl ema d e 6�o nt e�a l�

b�e : el �a4 0 e4 ta ��o na��o d el p�o bl ema de St e 6 a n a do � 6 a4 e4

� o n �o nd� ��o n e4 m� xta4 y � o n una pa� ed 4 em�- p e�m ea bl e .

S e c o n s i d e r a un pro b l ema d e c o nduc c i6n d e c a l o r e s t a c ionar io

en un dom in io � e Rn c o n fro nt era r e gu l ar r = r 1 U r 2 . S e a s u -

m � que l a t emp e r a tura d e c amb io d e fa s e e s O ° C . So br e l a por

c i6n d e front era r Z s e t i ene un fluj o d e c a l o r ( s a l i ent e )

q > O . La po r c i6n d e ' front era r 1 r e s tant e , que s e encuent r a

1 38

en cont a c t o t érmico c o n e l ext er ior a una t emp e r a tur a b > 0 ,

e s tá compu e s t a d e do s part e s f 1 = f 1 U f 1 , s i endo f 1 una t s s

pared s e m i -p e rm e a b l e ( c uer po n e gr o ) , e s d e c ir una par ed qu e d e

j a ent r ar c a l o r p ero imp i d e s u s a l ida [DuLi ] . S e p l an t e a e l pr o b l ema en e cua c i o n e s a d er ivada s p a r c i a l e s d e

t ipo e l íp t ic o c o n c o nd ic i o n e s d e c o nt o rno m i xt a s y c o n l a po

s ib i l idad d e l a pr e s enc i a d e do s front er a s l ibr e s : l a d e cam

b io d e fa s e ( en e l int er i o r d e n ) y la que s ep a r a en f l l o s s conj unt o s { e > b } Y { e = b } .

S i s e r ea l i z a un c amb io d e func i ó n inc6 gn i t a s e t r an s f o r ma a l

pro b l ema e n una i n ecua c i ó n var i a c ional e l íp t i c a . S e e s tud i an

r e l a c io n e s entr e l o s d a t o s c o n s t ant e s q , b > ° p a r a qu e l a s o

l uc ión d e l a inecuac i ó n var i a c ional ant er ior s ea d e s i gno no

c o n s t ant e en n , e s d ec ir , s e t en ga un c a s o e s t a c ionar io a do s

fa s e s c o n una par ed s em i - p ermeab l e .

Para e l c a s o par t i c u l a r f 1 = 0 (vac ío ) , e l pro b l ema s e r educ e s

a l e s tud i ado en [Ta ] .

[ DuLi] b UVAU T , G . - L I O N S , J . L . , L e s in e q u a t io n s en m e c a n i q u e e t e n p hy s i q u e , D u n o d ( 1 9 7 2 ) .

[ T a ] T AR Z I A , D . A . , An i n e q u a l i t y f o r t h e c o n s t a n t h e a t f l u x to o b t a in a s t e a d y - s t a t e t wo - p ha s e S t e f an p r o b l em , En g . Anal . , 5 ( 1 9 8 8 ) , 1 7 7 - 1 8 1 •

SAL I NAS , O . M . ( PEMA - I NT E C , U . N . L . ) : V e� ig ualdad d e Ha�n a e k y

á un c i 6 n d e G� e e n pa�a o p e�ado � e� el�ptieo � d eg �n e�ado � .

Cc n s id e ramo s e l o p erador n

Lu = - I i , j = 1

D . ( a . . D . u) 1 1J J

dond e l a ma tr i z A = [a . . ] e s s imétr i c a y ver i fi c a 1J o .;;; v e x )

n '1 n I A � ( X) � � .;;; I a . . l x ) � . � . .;;; w ( x) i= 1 1 1 i , j = 1 1 J 1 J

en c . t . p . d e un conj unt o ab i er t o y aco t ado íi e Rn y para t o do

� E Rn . La s fun c i on e s A l ' . . . • An s o n t a l e s que p e r m i t en c on s -

1 39

tru i r un e s pac io d e t ipo homo géneo qu e s e a so c ia d e man era na

tur a l a L .

E� e s t e t r aba j o s e prueba , baj o c o nd i c i o n e s d e t ipo Sawy er s o

br e (v , w) en d ic ho e s p a c io , una d e s i gu a l dad d e Harna c k no un i

forme y e s t ima/c ion e s int er ior e s d e l a func ión d e Gr e en c o r r e s

pond i ent e a L '.

E s t o s r e s ul t ado s g en�r a l i z an , entr e o t ro s , l o s o b t en ido s p o r

Chan i l l o y Whe e d en .

LAM I DO Z O , E . J . y MARIAN I , M . C . ( U . B . A . , CONI CET) : P�o bl ema d e

N eumann pa�a H - � up e� 6 �e�e� .

S ean B � { ( u , v) E R2 ; u2 +v2 < 1 } e l d i s co un idad y H : R3

+ R

una func ión c o nt inua y a co t ada . Co n s ider emo s e l s i gu i ent e p r� 3 - 3

b l ema d e conto rno : Dada f : a B + R , hal l ar X : B + R t a l qu e

( 1 ) flX H ( X) X A X en B u v

( 2 ) a x f s o b r e a B an

dond e A d eno t a e l produc to vec t o r ial en R3

y n la ' no rma l ex -

t er i o r a a B o

L l amamo s a ( 1 ) - ( 2 ) e l pro b l ema d e Neumann para e l s i s t ema d e

H - s up er f ic i e s . E n e l c a s o d e qu e l a s c o o rd enada s ( u , v) s e an

i s o t erma s , o s ea ] xu l � I Xv

l y Xu , Xv

= O , cada so l uc ión d e f in e

una sup e r f ic i e d e c urvatura med ia H ( X (u , v) ) e n e l pun t o X (u, v).

( 1 ) e s l a e c uac ión de Eul er - Lagrange de la func iona l

DH (Y ) = D (Y ) + � I BQ (Y) . yu A Yv du dv

dond e

Damo s c ond i c ion e s n e c e sar ia s , d emo s t r amo s qu e s i f= O l a s s o

l uc i o n e s son X = c t e . y de fin imo s una so luc i6 n d éb i l que ha

l l amo s po r min im i z a c i6n s o br e un convexo d e un e spac io d e Ba -

140

nach a s o c iado a l p r o b l ema .

BURACH I K , R . y MAE STRI P I ER I , A . ( U . B . A . ) : So b � e el auto v al o �

p�in Qipal d el p�o bl ema d e N euma n n Q o n p e� o .

Con s i d eramo s e l pro b l ema d e aut ova l o r e s con p e so con l a c o nd i

c ión d e contorno d e N eumann

1 tu >..m u en rl ( 1 ) 3u

3n O en 3rl

dond e e l r e c int o rl e s un ab i er t o a c o t ado d e RN c o n fr ont e r a

3 rl suav e . E l p e s o m E C (n) y .c = - a . . ( x) 3 . . + a . 3 . e s a c o e -l J l J J J e -f ic i ent e s C ( rl ) , a . . = a . . y ( a . . ) un i fo rmement e e 1 1p t i c o l J ] l l J i j

e n n . u = 1 e s una auto func ión po s i t iva d e autova l o r O . H e s s

y S enn [H - S ) han d emo s t r ado que e x i s t e o t r a auto func ión po s i

t iva s i y s ó l o s i m cambia de s i gno y Irl

m1/! " O , Y qu e no hay o -

t r a d e s i gno con s t ant e l in e a l ment e ind epend i ent e . S i

J m1/! dx < O e l autova l o r a s o c iado a u 1 e s po s i t ivo y t o d o rl

otro aut o v a l o r comp l ej o >.. no e s t á en l a banda O < Re >.. < A l ' He

mo s o b t en ido r e sul t ado s má s p r e c i so s in s p i rado s en [ G - L ) .

Una func ión w E C3

(IT) t a l que w > O en IT , ' �� = O s o br e 3 rl ,

.cw � O s o b r e 3 rl y .cw � O en int { m = O } e s l l amada fun c i 6 n a d

m i s i b l e . No t ar emo s

p (w) .cw sup { m< O } Iilw

E l r e su l t ado pr inc ipal v i ene dado por e l

inf { m> O }

.cw mw

TEOREMA 1 . S e a w una func i6n admi s ib l e t a ¡ qu e p _ (w) � p + (w) . Ent o n c e s l a b anda p _ Cw) � Re >.. < p + (w) no cont i e n e autova l o r e �

a meno s qu e w s ea un mú l t ip l o po s i t ivo d e 1.1 = 1 ó u 1 •

Como c o n s ecuenc ia d e e s t e ú l t imo t eo r ema t en emo s :

TEOREMA 2 . Supongamo s J[l

m1/! " O Y w una func ión adm i s ib l e no

141

c o n s tant e , t a l que p _ (w) < A l ' Donde A l es e l ún i c o autova l o r

n o nul o c o n au to func i6n po s i t iva u 1 d e ( 1 ) . Entonc e s p + (w) <

< A l ' a meno s que w s ea un múl t ip l o po s i t ivo d e u 1 •

TEOREMA 3 . S e a Jn

mw i O , entonc e s en l a r e c t a v er t i c a l Re ( z ) =

= A l ' Y en l a r e c t a Re ( z ) = O , no hay o tro s autova l o r e s d e ( 1 ) .

TEOREMA 4 . S i J mw < O , ent onc e s �' 1 = sup { p + (w) /w a dm i s i b l e n

y p _ (w) < A l } .


[ G - L ] GO S S E Z , J . P . & L AMI D O Z O , E . , O n t h e p r in c i p a l E i g en v a l u e o f a S e c o n d O r d e r L in ea r E l i p t i c P r o b l em . A r c h . f o r Me c h . an d An a l . 8 9 , 1 6 9 - 1 7 5 ( 1 9 8 5 ) .

[ H - S ] H E S S , P . & S E NN , S . , On p o s i t iv e S o l u t io n s o f a L in e a r E l l i p t i c E i g en v a l u e P r o b l em , Ma t h . Ann a l en 2 5 8 , 4 5 9 - 4 7 0 ( 1 9 8 2 ) .

ANALISIS REAL, ANALISIS ARMONICO, CONVEXIDAD.

A I MAR , H . Y FORZAN I , L . ( P EMA - I NTEC , U . N . L . ) : A e o taci6n d e o p e��

d o � e� ma ximal e4 i n d u cido � p o � el � emig�upo d e O�n� t ein - U hl en

b e c k. .

En [ 1 ] y [ 2 ] s e d emue s tr a , a par t ir d e un l ema d e Na t an s o n ,

que e l o p er ado r ma x ima l

P * f ( y ) sup I P r f ( y) I O � r -;; 1

d e l s emi grupo d e Orn s t e in - Uhl enb e c k

P f ( y ) r 2 n ( 1 - r )

J e R

_ 2 e s a c o t ado como o p er ador en LP ( e x dx) .

f ( z ) d z

E n e s t e traba j o inv e s t i gamo s l a s pro p i edad e s d e a c o t a c i6n y

142

t ipo déb i l c o n p e s o s d e o p erado r e s ma x ima l e s s im i l a r e s a P *

procurando una ext en s i6n d e c l a s e s Ap d e Muc kenhoupt a e s t e

cont exto .

[ 1 ] C AL D E RO N , C . P . , S o m e r ema r k s o n t h e mul t i p l e W e i e r s t r a s s t r an s f o rm a n d Ab e l s umma b i l i t y o f mu l t i p l e F o u r i e r - H e rm i t e s e r i e s , S t u d i a Ma t h . , Vo 1 . 3 2 ( 1 9 6 9 ) . p . 1 1 9 - 1 4 8 .

[ 2 ] MU C KE NH O U P T , B . , P o i s s o n int e g r a l s f o r H e rm i t e an d L a g u e r r e e x p an s io n s , T r a n s . Am e r . Ma t h . S o c . 1 3 9 ( 1 9 6 9 ) , 2 3 1 - 2 4 2 .

SAAL , L . y URC I UOLO , M . ( U . N . C . ) : I nx eg �at e� � �n g uta�e� � o p o �xa

da� e n ta �mag e n d e una á u n c�6n a nat�x�ca .

S e a { d } un grupo d e d i l a t a c io n e s en Rm , 11 11 una norma homo r gén ea a s o c iada a d y B l a c arr e s po nd i ent e bo l a un i t a r i a . S e a r g : BCRm + Rn una func i6n ana l í t i c a cuya ima g en g enera Rn ,

g ( O ) = O , Y k E Coo ( Rm _ { O } ) , homo g énea d e grado c r í t ico , t a l

qu e J ¿ k ( t ) d t O . Entonc e s el o p er ado r

Tf ( x) = v . p JB

f ( x - g ( t ) ) k ( t ) dt e s aco t ado en L P ( Rn ) , 1 < p < oo.

E l r e s ul t ado va l e r e emp l a z ando k por nfic l eo s má s genera l e s y

Rn por un grupo de L i e n i l p o t ent e , s imp l ement e c o n exo . Tam

b i én v a l e qu i t ando la h ip6 t e s i s d e ana l i t i c idad de g en c er o

p ero man t en i endo l a cond ic i6n d e qu e g s ea " apr o x imadament e

horno gén e a " .

HARBOURE , E . ( PEHA - I NTE C , U . N . L . ) , TORREA , J . L . ( Un iv . Au t . d e Ma

dr i d ) y V I V I AN I , B . ( PEMA - I NTE C , U . N . L . ) : U n n u e v o e n 6 0 q u e p a�a

et e� tud�o de to � e� pa c�o � x� enda .

E s t o s e s pac io s fueron int r o duc ido s por CO ifman , Meyer y S t e in

en conexi6n c o n e l e s tud io de d iv er so s pr o b l ema s d e l Aná l i s i s

d e Four i er . En e s t e trabaj o s e d emu e s t r a que e s to s e spac io s ,

d eno t a do s T P , pu e d en s er v i s to s como sub e s pac io s comp l ement a -q

do s d e l o s e spac io s . d e L eb e s gu e a v a l o r e s v e c t o r i a l e s , LPq ,

L r e sp e c t o a med ida s apr o p iada s .

143

Se o bt i en en r e su l t ado s de dua l idad e int erpo l ac ión y se dan

cond i c ion e s s uf i c i ent e s para qu e un o p er ado r s ea aco t ado en

e s to s e spac io s .

FORTE CUNTO , A . M . y TORAN ZOS , F . A . ( U . B . A . ) : Co nt'¿nu,¿dad d e la

á u n c,¿ 6 n de v'¿� '¿ b'¿l'¿dad en Rn •

En c o mun i cac ion e s ant er io r e s a l a U . M . A . ( Fo r t e Cunt o , 1 9 8 5 y

1 9 8 6 ) s e c a ra c t er i z ó l a cont inuidad d e l a func ión d e v i s ib i l i

dad d e G . B e er en e l pl ano . E s tud iamo s a qul l a r e l ac ió n ent r e

l a s no c io n e s d e "v i s ib i l idad c l ar a " ( S t a vr a ka s , 1 9 7 3 ) y "ra

yo s s a l i ent e s " ( To r an z o s , 1 9 8 8 ) . Como subpro du c t o s e ana l i z a

l a genera l i z a c ión a Rn d e l o s t eo r ema s d e l ·p l ano qu e menc iona

mo s má s a r r iba . Ha s t a e l mo ment o d e env iar e s t e r e sumen s e ha

o b t en ido una cond ic ión s u f i c i ent e para l a cont inu idad d e d i

c ha func ión , má s l ema s pr ev io s qu e t i enden a demo s t rar l a c a

r a c t er i z a c ión comp l e t a d e l o s punt o s d e cont inu idad .

BRE S SAN , J . C . ( U . B . A . ) : S u b e� pa c'¿o � d e co n v ex.,¿dad .•

E l conc epto d e s ub e s pac io d e conv ex idad puede int r o duc ir s e en

fo rma aná l o ga al d e sub e spac io t o po l ó g ico . El o b j eto d e l a

pre s ent e comun i c a c ión e s def in ir y d a r a l guna s prop i edad e s d e

e s t o s qu e s e dedu z c an d e l a s d e l e s pac io d e convex idad d e l

que fo rman par t e . S e gún l a s cond ic ion e s qu e cump l a el sub con

j un t o , s e e s tud ian l a s pro p iedad e s d e l e s pa c io que s i gu en v a

l i endo en e l s ub e spac io d e conv e x idad g ener ado y s e 4an c o n

t r a e j emp l o s d e a qu e l l a s que n o s o n her edada s por el s ub e spa

c io . Al guna s d e l a s pro p i edad e s e s tud i a da s s o n : i ) T 1 , i i ) d�

min io f in it o ( D F) , i i i ) Car a t héodo r y , iv ) fam i l ia c o b er t o r a

de c onvexo s max ima l e s (MC) , v ) convex idad d e f in ida por s e gmen

t o s ( S ) , v i ) id empo t enc ia d e l mirador ( 1 ) , v i i ) Brunn , v i i i )

c onmut a t iv idad ent r e l a cápsula convexa y e l " j o in" ( JHC ) ,

ix) To r an z o s , x ) Rado n , x i ) He l l y , x i i ) Kakut an i .

La pr e s en t e comun icac ión e s cont inua c i6n d e o t r a s pr e s ent a

da s por e l aut o r e n l a s Reun io n e s Anua l e s d e la U . M . A . d e

1 9 8 7 y 1 9 8 8 .

1 44

HANSEN , G . L . ( U . B . A . ) : S o b� e ei t eo � ema d e M�n ko w� k� ( o K� e�n

M�ima n en d�m en� �6n 6�n�ta ) .

S e apl ican l o s conc ept o s d e ima g en e s fér ica , r ayo s front er i

z o s y r ayo s extr emal e s para o b t ener ext en s i o n e s d e l t eor ema

c l á s i c o d e Minkows k i d e r e pr e s entac ión de conj unt o s c o nv exo s

c o mpac to s en En como cáp sul a convexa d e l conj unt o de s u s pun

t o s extr ema l e s . En p ar t icu l a r s e obt i en e una car act er i z a c i6n

d e l o s conj unt o s qu e pu eden s er r epr e s ent ado s en esta fo rma .

Lo s r e su l t ado s fundamen t a l e s son :

TEOREMA . Sea A un co nvexo c er r ado no vac ío en En . S i

( a ) La ima g en e s f ér ica d e A e s ab i er t a en l a e s fer a un i t a r ia

o ( b ) A no cont iene rayos front er i z o s en tonc e s A = conv ext A .

TEOREMA . S e a A un cOnv e xo c er r ado no vac ío en En . Ent o nc e s

A = c o nv ext A s i y só l o s i A no contiene rayos extr ema l e s n i

r e c t a s .

ANALISIS FUNCIONAL, TEORlA DE OPERADORES.

* * BENEDEK , A . Y PANZ ONE , R . ( U . N . S . ) : E� pae�o� d e 6 u n e�o n e�

d � 6 e� e n e�a bi e� .

S ea Q un domin io aco t ado d e contorno COO y s e an 1 � P < 00 ,

r < s , ent ero s po s i t ivo s . E l e s pac io wP ( Q ) : = r , s

Wr , p ( Q ) n W s , p ( Q ) co inc idA con l a c l ausura en Ws , p ( Q ) d e l a o

fam i l ia D ( Q ) : = { cp E Coo CIT) ; Da q, = O en a n , l a l < r } , r

y e s e l sub e s pac io d e W s , p ( Q ) fo rmado por l a s fun c ion e s que

v er i f ican Daf = O c . d . en a Q , l a l < r .

AGUI RRE TELLE Z , M . ( U . N . C . P . B � A . ) Y TRI ONE , S . E . ( U . B . A. ) : T h e

d�� t�� b ut ¿o nai Han k el t�an� 6 0 �m 0 6 o ( k ) (m2 + p ) .

145

En e s t a nota damo s s ent ido a c i er t a s c l a s e s de t r an s fo rmada s

d e Hankel d e d i s t r ibuc ion e s d e l a med ida d e D i r a c 8 (k ) (m2 +p ) , donde m e s un número r ea l po s i t ivo y P e s l a forma cuadr á t i c a

no d e generada e n n var iabl e s d a d a po r

2 2 2 P = P ( x) = X l + . . . + Xp - Xp+ l

donde , p + q = n (n d imen s ión d e l e spac io ) .

2 - X

p + q

Un int er e s ant e r e s ul t ado e s l a fó rmu l a s i gu i ent e :

00 (m

2)

v 8 ( k+V )

( P ) , v ! L v= o

Otro t eo r ema probado e s l a va l id e z d e l a fó rmu l a d e i n t e r cam

b io d e l a convo l uc ión con e l pr o ducto , a s a b er

* * PAN ZONE , P . A . ( U . N . S . ) : P�o ducto d e dl� t�l b u clo n e� .

TEOREMA . Val en l o s s i gu i ent e s produc to s :

l l - r -Z - r -I

a ) x + . x

b )

c )

r - p p - r - l x +

. x_

O

( _ 1 ) r . 7T • ¡¡ ( 2 r ) ( 2 r ) ! . 2

( - l ) r. 7T

s en (1Tp ) . 2 • ¡¡

s i r = 1 , 2 , 3 , . . .

s i r es entero , O E;;; Re p < 1 , P f O

s i Re ( A + ].l ) > - 1 , c.on A , ].l E e

d ) No existe el pro duc to x: . x� fuera de l o s c a so s enunc i ado s.

CE RUTT I , R . A . ( U . N . No r d e s t e ) : P�o du cto � d e dl� t�l b u clo n e� .

S e e xt i enden l o s produc t o s mu lt ipl ica t ivo s d e d i s t r ibuc i o n e s

un id imen s ional e s d e b ido s a B . F i s her a c i erto t ipo d e d i s t r i

buc ion e s n - d imen s iona l e s l l amada s causal e s (ant icausal e s ) :

l a s d i s tr ibuc ion e s (m2

+P± i O )A

; A E C , m E R , donde

1 46

2 2 2 2 P = X l + . . . + Xp

- Xp + l - . . . - X

p + q ; p+q = n, n = dimensión del espacio.

Al guno s r e sul t ado s o b t en ido s son l o s s igu i ent e s :

) 2 - r 2 - s I 2 I ( - 1 ) r 7r 2 2 2 -s c 2 (m + P ) . [ (m + P ) In m +P 1 + (r- l ) ! . [ sgn (m +P) . (m +P) J •

. 6 ( r - l ) (m2 + p ) = 2 (m 2 +p ) - r - s . l n I m2 +p ! .

cuando m= O , l o s r e sul t ado s fueron obt en ido s con d i s t inta s c on d ic ione s p or S . E . Tr ione ( D i s t r ibut ional mu l t ipl icat ive products, Trabaj o s de Ma t emát ica N ° 2 2 , I AM - CON I CE T ) .

GU I CHAL , E . N . y PAOL IN I , G . B . (U . N . S . ) : El e� pae�o d e m o m e nto �

d e una � u e e� �6 n d e expo n e n e�al e� .

- A . t 2 Se cons idera l a suc e s ión { e 1 } . N

e L ( O , T ) , ° < T � 00 , don -1 E de { A i } i E N e s una suc e s ión cr ec i ent e de n6mero s r ea l e s po s i t i -vo s que ver i f i c a : i ) A . -+ 00 cuando i 1 -+ oo ' , ¿ l / A . < 00 1 i i ) 3 ex E R , ex > O ta l que A j + l - A j � ex , V j E N .

- L t Se e s tud ia e l e spac io de �omento s d e { e 1 }

i E N ' e s dec ir , e l

• conj unto d e t o d a s a que l l a s suc e s ion e s num�r i c a s { C j}

j E N par a

l a s cual e s ex i s t e un e l emento f ( t ) E L2 ( 0 , T ) t a l que : - L t

( f ( t ) , e J ) = C . J j E N

L l amaremo s a e s to s e'spac io s M eT ) , s i O < T < oo , y M en e l c a -

147

so T = oo .

En [ 1 ] , Ko ro b e in i k d emu e s tr a qu e s e pu ede d e f in ir en M ( T ) l a

no rma :

II c l l 2 = sup n

n L c kc 1 cr ( n ) 1 1 , k k , 1 = "

dond e cr ( n ) , 1 � 1 , k < n son l o s e l ement o s d e l a ma tr i z in -1 , k

- t... t ver s a de l a ma t r i z de G r am de { e 1 } 1 $ i$n

' c o n l o cual r e -

sul t a que M ( T ) e s un e s pac io d e Bana c h .

S e d emue s t r an l o s s i gu i ent e s r e su l t a do s :

PROPOS I C I ON . a ) M ( T ) , i2 , cua l qu i er a s ea T > O . e s d e c ir

que { e- A i t

} i € N c o n s t i tuy e una suc e s i6n de B e s s e l . b) M ( T ) = M ,

V T > O . c ) M e s d e n s o en i2 , y l a inc l us i6n i : M � t 2 e s con

t inua .

R E F E R E N C I A

[ 1 ] K O R O BE I N I K , J u . F . Ma t h ema t i c s o f t h e U S S R - I z v e s t i j a -Vo 1 . 1 3 - N ° Z , 2 7 7 - 3 0 6 ( 1 9 7 9 ) .

ANDRUCHOW , E . Y S TOJANO F F , D . (U . B . A . ) i G e o m et�la d e O � b ¡ t a � UnLta�..[a.6 1 1 . S e mo s t r 6 que s i un e l emento b d e una C * - á l g e br a A c o n 1 ve

r i f ic a qu e d imC * ( b ) < 00 , entonc e s l a 6 r b ita un i t a r i a d e b . e s

una subvar i edad COO de A y un e s p a c i o h o mo g é n e o baj o l a a c c i ó n

d e l grupo un i t a r io . S e c a l oul an a qu í s e c c i o n e s l o c a l e s C OO d e

e s t e f i brado , e n t érmi n o s d e una d e s c o mp o s i c i 6 n m i n i ma l d e

C * ( b ) . S e i n t r o duc e un a co n e x i ó n ( l l ama d a d e t r a : a c er o ) q u e

dep �nd e s 6 l o d e b y n o d e l a r e pr e s en t a c i 6 n d e C * ( b ) ( e s d e

c i r , d e l s i s t ema m i n i ma 1 e l e g ido ) . S e e xh i b e n l a s e c ua c i o n e s

d i f e r enc i a l e s d e l e va n t a m i en t o ho r i z o n t a l d e c u rv a s , d e tran�

po r t e par a l e l o y g e o d é s i c:: a s , en t é r m i n o s d e l o p e r a d o r " i nv e!. s a r e l a t iva ho r i z o n t a l " de 0 b = d ( 1T b ) l ( e s d ec i r : S t a l que

S O b S = S , 0 b S o b = 0 b Y R S = H 1 ) . Da d a un a s e c c i 6 n l o c a l w d e i

1T b , s e c a l c ul a o t r a s e c c i6n l o c a l s c o n l a p r o p i e d a d d e qu e

148

d l s ) b = S . S e o bt i enen con e l l a nueva s expr e s io n e s d e l o s in

var iant e s menc ionado s , en t érmino s d e una d e s compo s i c i6 n m in i

mal d e (: :fe ( b ) .


AND RU C H OW , E . , S TO J ANO F F , D . , G e �m e t r í a d e O r b i t a s Un i t a r i a s , J o u r n a l o f O p e r a t o r T h e o r y ( p o r . a p a r e c e r ) .

ANDRUCHOW , E . y STOJANO FF , D . ( U . B . A . ) : N�l p o t ent e� e n C * - álg e

bll.a.� •

S ea A una C :fe - á l gebr a , s ea a E A un n i l po t ent e d e o r d en n t a l

que a :fe + an - 1 e s inv er s ibl e . S e d emu e s t r a qu e ent o nc e s

S e a ) = { uau - 1 : u E A- 1 } e s subvar iedad ana l í t i c a d e A . S e o b

t i ene ademá s , b E S C a ) t a l que b :fe +bn - 1 e s un i t ar io y s e c on s -

- 1 truyen s e c c ion e s l o c a l e s d e l a apl icac i6n � b : A + S C a ) dada

por � b ( u) = ubu - 1 . Se d e f in e l a ap l ic a c i6n � : S e a ) + Pn CA ) ,

donde P (A) e s el conj unto d e s i st ema s d e n pr o y e c t o r e s d e A , n con l a pro p i edad d e que l a r epr e s entac i6n ma t r ic i a l d e

c E S e a ) e n � ( c ) e s t r ian gul ar super ior . S e pru eba que l a s

s ec c io n e s ant er io r e s son g l o b a l e s en � - l (� C b ) ) .

S e d e f in e una noc i6n d e i s o mo r f i smo d e r an go s d e proyec t o r e s

en C :fe - á l gebr a s , qu e p erm i t e carac t er i z a r l o s s i s t ema s d e pro

yector e s que s e l evan tan a un n i l po t ent e . Con e l l o s e o b t i e

n en cond ic ion e s para que do s n i l po t ent e s a 1 , a 2 que ver i f i c an

a � + a� - l E A- 1 i - 1 2 s ean s im i l ar e s . 1. 1. ' - ,

R E F E R EN C I A S

- AND�UCHOW , E . , S T O J AN O F F , D . , N i l p o t en t O p e r a t o r s a n d S y s t em s o f P r o j e c t o r s , J o u r n a l o f O p e r a t o r T h e o r y 2 0 ( 1 9 8 8 ) , 3 5 9 - 3 7 4 .

- ANDRU CHOW , E . , S T O J ANO F F , D . , D i f f e r en t i a b l e S t r u c t u r e o f S i m i l a r i t y O r b i t s , J o u r n a l o f O p e r a t o r T h e o r y ( en p r en s a ) .

- H ERRERO , D . A . , Ap p r o x ima t i o n o f H i l b e r t S p a c e O p e r a t o r s , v o L I , R e s e a r c h No t e s in Ma t h . 7 2 , P i tman , B o s t o n , 1 9 8 2 .

1 49

MATEMATICA APLICADA, APLICACIONES DE LA MATEMATICA,

FISICA-MATEMATICA.

P RE T I , M . C . , VI LLA , L . T . y G RO S S I , R . O . ( U . N . S a . ) : Co n� � d e�a ��o

n e� � o b� e la e �ua��6n d e ü � e � u e n ��a� d e una v�ga en v o la d � z o .

En e s t e t r abaj o s e r ea l i z an c o n s iderac ion e s s o br e l a e c ua c i6n

d e frecuenc i a s de una v i ga qu e e j ecuta v ibrac io n e s t r an s ver s�

l e s l i br e s uno d e cuyo s extr emo s está r í g idament e empo t r ado y

e l o t r o s e encuent r a l ib r e .

Se r e a l i z a l a d e t ermina c i6n d e int erva l o s que cont i en en ra í

c e s , l a prueba d e que cada int erva l o cont i en e una ún i c a r a í z

y u n aná l i s i s a s int6 t i co d e l a s m i s ma s , qu e p er m i t e a t a c a r e l

pro b l ema numér i c o de d € t erm ina r l a s r a í c e s d e l a e c ua c ión d e

fr e c u enc ia s , c o n l a c l ar idad e informac i6n nec e s ar i a s p a r a e l

u s o d e l método numér ico má s adecuado . E s t e aná l i s i s d a l a s e

gur idad que t o d a s l a s r a í c e s han s ido t en id a s en cuent a . La

a p l i c a c i6n d i r e c t a d e un método de r e so l uc ión de ecua c ion e s

pu e d e c onduc ir a "no d e t e c t a r " una o var i a s r a í c e s . Dado qu e

s e t r a t a d e un pro b l ema o r i g inado en l a in g en i er í a en e l c ua l

e s imp o r t ant e d e t erminar l o s pr imero s autov a l o r e s � e s pr e c i s o

t en e r l a s e gur idad qu e no fa l t a n in guno d e e l l o s . S e adm i t e

qu e e l pro bl ema no e s de gran c o mp l ej idad y qu e l a c o r r e c t a

d e t erminac i6n d e l a s r a í c e s no e s d i f í c i l de l o grar , p e r o e s

t e t ipo d e aná l i s i s r e s u l t a impo r t ant e para l a c o n s i d er a c i 6 n

d e p r o b l ema s má s comp l i c ado s . T a l e s e l c a s o d e un a v i ga en

vo l a d i z o qu e soporta una ma s a c o n c entr ada .

RE G I NATO , J . C . ( U . N . R . C . ) , TARZ I A , D . A . ( U . N . R . ) y CANTE RO , A .

( U . N . R . C . ) : El m �to do d el balan � e �nteg �al �al6��o apl� �ado

al e � e e�m� ento d e �a� e e� d e e ult�vo � .

S e e s t ud ia un mo d e l o de c r e c im i ento d e ra íc e s d e c u l t ivo s a

t r av é s d e un pro bl ema d e front era l ibr e [ RT C ] . S e e s tud ian

d i fe r enc i a s en d i spon i b i l idad y t r a n s po r t e de nutr i ent e s en

t r e l a sup e r f i c i e d e l a ra í z y l a r i z o s f era med iant e un me c a

n i smo d e ab s o r c ión a c t iv a t ipo M i c hael i s - Ment en [Cu] .

La s e c uac ion e s r e sul tant e s d e l mo d e l o s o n r e su e l t a s ut i l i z an -

150

do e l método d e l ba l anc e int e gr a l c a 1 6 r ico [ Go l . Se o b t i en e un

s i s t ema d e ecuac i on e s d i fer enc i a l e s para la front era l ibr e

( c r e c im i ento r ad i a l d e l a r a í z ) y l a c onc entr ac i6n en l a fron

t er a ( in t er f a z r a í z - su e lo ) . S e dan var io s ej emp l o s , c o n va l o

r e s exp e r iment a l e s t ipo , en func i ó n d e l o s paráme t r o s r e l evan

t e s d e l s i s t ema .

[ C u ] C U S HNANN , J . H . , N u t r i en t t r an s p o r t in s i d e a n d o u t s i d e t h e r o o t r h i z o s p h e r e : T h e o r y , S o i l S c i . S o c o Am e r . J . 4 6 0 98 2 � 7 0 4 - 7 0 9 .

[ Go l G O O DMAN , T . R . , T h e h e a t - b a l an c e in t e g r a l a n d i t s a p p l i c a t io n s t o p ro b l em s invo l v i n g a c h an g e o f p h a s e , T r an s . A S M E , 8 0 ( 1 9 5 8 ) , 3 3 5 - 3 4 2 .

[ R T C l R E G I NATO , J . C . - TARZ I A , D . A . - C AN T E RO , A . , O n t h e f r e e b o u n d a r y p r o b l em f o r t h e M i c ha e l i s -M e n t en a b s o r p t i o n mo d e l f o r r o o t g r o w t h .

GUS P I , F . P . ( U . N . R . ) : A pl� eae�6n d e la m at��z d e H�l b e�t a la

� e� o l u e � 6 n de alg u n o � p�o bl ema� d e eam p o � p o t e n é�al e� .

E l c á l cu l o d e l p o t enc ial n ewt o n i ano , d e l a a t r ac c i 6 n gr av i t a

to r ia y d e l o s e f ec to s ma gn é t ico s c au s ado s en pun t o s ext er io

r e s por c uerpo s d e r evo luc ión en t o r no a un ej e v er t i c a l e s

u sua lmen t e engorro s o y r e qu i e r e l a int e grac ió n numér i c a d e

func ione s tra s c endent e s super io r e s o l a eva luac i6 n d e t r an s

formada s d e Hanke l .

En e l pr e s en t e t r a b a j o s e d e s arro l l a un método numér i c o al t er

nat ivo d e gr an a g i l idad a trav é s d e l a r educ c i6 n d e l cuerpo a

una fu ent e equiva l en t e compu e s ta por pun t o s p e s ado s o p o r s e g

men t o s ub i c ado s e n e l ej e d e s imetr ía .

La fuent e qu eda d e t erm inada por un s i s t ema l in e a l cuya ma t r i z

d e c o e f i c i en t e s e s l a ma tr i z d e H i l b er t u o t r a r e l a c io nada , y

s e d edu c e una pro p i edad que exp l ic i t a l a so luc i6n en t érmino s

d e l o s c o ef ic i en t e s d e J o s p o l inom i o s d e Jaco b i .

Lo s v a lo r e s d e l c ampo po t enc ial o b t en ido s d e e s t a man er a s o n

pr á c t i c amen t e exact o s s i l a par t e sup er ior d e l cuerpo e s má s

pro funda que l a m i t a d apr o x ima da d e su rad io s up e r i o r , aunqu e

t amb i én l o s cuerpo s má s sup erf ic i a l e s y a fl o r an t e s p r o duc en

1 5 1

exc e l ent e s r e sul t ado s s i s e emp l ea u n a p r e c i s i 6 n ad e cuada en

la comput ador a .

NOR I E GA , R . J . y S CH I F I N I , C . G . (U . B . A . ) : S¡m et��a� d e ta� e eua

e ¡ o n e� d e eam po y d et L a g �ang¡ano .

. í í ( a a a Se c o n s i d e r a un o bj e t o B = B g . . ; g . . h ; A . ; A . . ; A . ' h ) d e ma -a a l.] l.] , 1. l. , ] l. , ] n e r a t a l que ex i s t a L = ( g í j ; A� ; A� , j ) que v e r i f i que B� = E� (L) ,

a . 1 s i en do g . . l a métr i c a d e l e s pac io - t i empo , A . l o s po t enc la e s l. J 1.

de gau g e c o r r e spond i ent e s a una c o n e x i 6 n arb i t r ar i a s o b r e un

G - f i brado pr inc ip a l y E� ( L ) = � - __ d_. (�) l a s e xp r e s io -

dA� d X] dAq. · 1 l � J n e s d e Eul er - Lagran g e d e L . S e d emue s t r a qu e s i B� e s un gau -

ge t en s o r , o s e a , s i e s covar iant e tant o po r t r a n s forma c ion e s

d e gauge como po r c amb io d e c o o r d enada s , e x i s t e en t o n c e s una

den s idad e s c a l a r L e qu iva l en t e a L en el s en t ido de t en e r l a s

m i sma s í - í e xpr e s ion e s d e Eul er - Lagran g e ( E ( L ) = E ( L ) ) . Jun t o a a

con un r e su l tado ant er i o r ( R . J . No r i ega , " Gau g e invar i anc e o f

t h e f i e l d e qua t i o n s and t h e Lagrang ian in gau g e f i e la theor ie� �

p o r apar ec er ) , e s t o ú l t imo imp l ica l a e x i s t en c ia d e una d en -"-

s idad e s c a l ar L , inva r iant e por t r a n s formac ion e s d e gauge , t a l

que B i = E i ( L ) . E s t o p er m i t e mo s tr a r l a un i c idad d e l a s ecua -a a c io n e s d e Yang - M i l l s s in suponer qu e e l s i s t ema e s t é mín ima

ment e aco p l ado a l a grav i t a c i6n v ía Re l a t iv idad G en e r a l .

La d emo s t r ac i6n s e ba s a en l a r educ c i6 n d e l a s i t ua c i6n e s t u

d i ada a un t eo r ema p r o b ado e n o tr o trabaj o ant er i o r (M . C . L6 -p e z , R . J . Nor i e g a , e G . S c h i f in i , " The e qu ivar iant inv er s e pro

b l em and t he un i qu en e s s o f t h e Yan g - M i l l s e qua t ion s " , Journal

o f Ma t hema t ical Phys ic s , en pr en s a ) , a p'a r t ir d e lo cua l s e

ana l i z a l a t en s o r i a l idad d e l a expr e s ión obt en id a .

NOR IE GA , R . J . (U . B . A . ) y TABOADA , H. H . ( C . N . E . A . ) : E n 6 0 q u e v a

�¡a e¡o nat p o � e o n e x¡o n e� d e ta� e e uae¡o n e� d e eam p o d e E¡n�

t ün - Yang - M¡tt� .

152

La int eracc i6n entr e un c ampo grav itator io y uno d e gau g e l i

br e d e fu ent e s e s t á go b ernada por l a s ecuac ion e s d e c ampo d e

E in s t e in - Yan g - M i l l s [ E - Y -Ml . L a s mi sma s pu eden o b t ener s e me

d iant e l a var iac ión de un l a grang iano L d e p end i ent e d e l a mé

tr ica y de sus derivadas d e ha s ta s e gundo o r d en , d e l po t enc ia l de

gau ge y su pr imera d e r ivada , s i su expr e s ión d e Eul er - Lagrange

l E - Ll c o r r e s pond i ent e a l a métr ica e s d e g en erada , y si e s l i

neal en l a d er ivada d e s e gundo o r d en d e l a m i s ma .

En e s t e traba j o s e apl i c a un enfo qu e var iac ional a l t ernat ivo :

en una var i edad e s pac i o t i empo d e d imen s ión 4 , s e p l ant ea una

dens idad e s c a l ar e invar iant e d e gauge L qu e d ep end e de la mé

t r i c a , d e una conex ión s imétr ica ar b i trar ia y d e su pr imera d�

r ivada , d e l po t enc i a l de gauge y de su pr imer a d er ivada . Ad e

má s , s e p id e que l a expr e s i6n d e E - L c o r r e spond i en t e a l a co

n e x ión s ó l o d e p en da d e l a métr i c a y d e s u der ivada pr imer a y d e l a c on ex i ón . En t a l s i tuac ión L r e su l t a mín ima ment e a c o p l a

do y e s l a suma d e tr e s d en s idad e s e s c a l a r e s e inv ar iant e s d e

gauge . Una d e t ipo gr av i t a c ional : a g 1 / 2 . K , c o n K e s c a l ar cur

vatura d e f in ido a part ir d e l a c o n ex ión arb i t r ar ia ( qu e r e s ul

t a ser l a de L ev i - C iv i t a s i s e cump l e que s u e xpr e s ión d e E - L el.

s e anul e ) . O t r a d e t ipo gauge : Lo ( gbc ; Fbc ) , que med iant e l a

a p l icac ión d e r e c i en t e s t eo r ema s r e s ul t a s er l a u s ua l . Amb a s

o r i g inan l a s ecua c ion e s d e c ampo E - Y - M . L a s expr e s ion e s E - L

d e l a t er c era : L 1 , son idént icament e nul a s y ent o n c e s no actúa .

E s t e trabaj o e s l a gener a l i z ac ió n natur a l d e uno d e Mc Kel l ar ,

c a so par t icular d e l pr e s en t e , cuando e l grupo d e L i e e s '

G = U ( 1 ) .

Z ANDRON , O . ( U . N . R . ) : Fo �m�l�� m o H�m�lto n��no co v ��nt e � o b� e

v ��ed�d e� co n e� t�u ctu�� d e � up e�g�up9 .

Sobr e una s up e rvar i edad G c o n e s t ructura d e sup er grupo , l a

c ua l t i en e un sub grupo bo s ó n i c o H e G y c o n s ider ado e s t e sub grupo como un grupo d e s imet r í a d e gauge exac t o , e s po s ib l e construir e l forma l i smo c anón i c o covar iant e para l 'a grav ed a d , l a s d if e r ent e s su

'per gravedade s y p a r a e l a c o p lamiento d e l a s

153

sup e r g r av edad e s con d i fer ent e s mu l t ip l e t e s s up e r s imé tr ico s .

S e con s t ruye e l e s pac io fibrado pr inc ipa l G (M , H , P ) cuya f ibra

e s d i f e omó r f i c a a l grupo bo s ó n i c o d e L i e H . La var i edad c o c i en

t e M = G / H e s e l s up e r e spac io f í s ico y l a p r o y e c c ión P e s t á

dada por e l map eo P : G � H .

S e d e f in e un a 1 - sup erfo rma p s eudo - c o n e x i ó n y en toda l a super

var i edad G , med iant e e l map eo y : T ( G ) � � (donde � e s el á l g e

b r a d e L i e gra dua da , a s o c iada al sup er grupo G ) l a cual permi

t e d e f in ir una d e r ivada covar iant e . D i c ha p s eudo - c o n e x i ó n r e

pr e s en t a e l po t en c i a l genera l i z a do d e Yan g - M i l l s d e l a t eo r í a

sup e r s imé t r i c a .

En e s t a e s t ruc t ur a g eomé tr ica l a D - forma d en s idad La gran g iana

l queda dada por un po l inomio d e la 2 - sup er f o r ma curvatura g e

n e r a l i z ada R ( y ) d e f in ida en l a sup ervar i edad G . E l impu l so TI , c anó n ico conj ugado d e l a var iabl e d inámica y , qu eda d e f in ido

como la D - 2 - sup er fo rma que s e o b t i e n e por var iac ión func ional

d e la d e n s idad L a grang iana con r e s p e c t o d e la 2 - super fo rma v e

l o c idad g e n e ra l i z ada d� . L a dens idad Ham i l t o n i ana covar iant e

( D - forma bo s ó n i c a ) r e sul t a a s í dada po r X = dy A TI - l . Ut i l i z ando e l c o n c ep t o d e c o r c he t e s graduado s ent r e fo rma s e s

po s ib l e dar una e c uac i ó n ent r e forma s d e l t ipo dA = (A,tLr) + dA,

l a cual perm i t e o b t en er l a s ecua c io n e s Ham i l t o n i ana s covar ian

t e s para l a s d if e r en t e s s up er gravedad e s .

E l Ham i l t o n iano HT e s una var iabl e d inám i c a d e pr imer a c l a s e ,

fun c ión d e X y d e l o s víncu lo s pr imar io s d e l s i s t ema .

OVEJERO , R . G . ( U . N . Sa . ) : La e�t�u ctu�a � im pL é ct i c a d el e� p a c i o

d e 6 a� e � o b� e el m o d el o d e KL ein y � u� c o n� e c u e n cia� 61� i c a� .

El mo d e l o d e Kl e in d e l p l ano pro y e c t i vo ut i l i z a para su r epr�

s en t a c ión l o s punt o s int er ior e s a una c ó n ic a en un p l ano euc l l d e o . E s t e m i smo mo d e l o e s su s c ep t ibl e d e r epr e s en t a r s e en for

ma dua l med i an t e l a s r e c t a s ext er ior e s a d ic ha cón i c a , en fo r

ma t a l que do s p l ano s p r o y e c t ivo s pu ed en ub i c ar s e s imu l t án e a

men t e s o b r e un m ismo p l ano eu c l íd eo . La e l e c c ió n d e un t r ián -

1 5 4

gu l a aut opo l ar a la c 6 n i c a y una parametr i z a c i 6 n s o br e sus l a

do s ( dual ment e , sus vér t ic e s ) l o s t r a n s fo rma e n s endo s e s p a

c io s v e c t o r ial e s , dua l e s ent r e s í , qu e s irven p a r a s o po r t e d e

un e s pac io d e fa s e cuya e s t r uc t u r a s imp l é c t i c a s e s i gu e n a t u

r a l ment e d e e sa dua l idad . E l i g i endo e s a c6n ica como l a s e c c i6 n

a t i empo c on s t an t e d e l c o no d e l u z s e g en e ra l i z a l a v incu l a

c i6 n natural ent r e l a s mecán i c a s r e l a t iv i s t a y cuán t i c a mo s

t r ada s an t e r io rment e ( * ) , propo r c ionando a s í nu eva int e r pr e t a

c i 6 n para e s t a úl t ima .

c * ) O V E J E RO , R . , S o b r e l a n e c e s i d a d l 6 g i c a d e l a c u an t i z a c i 6 n d e l a e n e r g í a e n l o s p r o c e s o s p e r i 6 d i c o s d e l a m e c á n i c a c l a s i c a r e l a t iv i s t a . C o m un i c a c i 6 n p r e s en t a d a a l a X X XV I I I R e u n i 6 n d e l a DMA .

155

In Memorian Domingo Antonio Herrero

El 12 de abril de 1991 falleció en Tempe, Arizona, EE.UU. , Domingo Antonio Herrero. Para quienes lo conocimos desde nuestros primeros años de Ciencias Exactas, aún en

la calle Perú, Domingo fue una de las presencias más destacadas de la Licenciatura en Ciencias Matemáticas de la Universidad de Buenos Aires .

Recordamos y recordaremos siempre su entusiasmo perpetuo, su interés y dedicación a problemas que otros considerábamos accesorios -o imposibles- en nuestro quehacer de estudiantes , su humor . . . bueno, . . . pero su humor al fin, bienintencionado y sin dobleces, en sus ojos hundidos tras gruesos lentes de miopía: no eran miopes, sin embargo, su visión y sensibilidad de ser humano.

Había nacido en Buenos Aires, el 17 de noviembre de 1940 , y concluído sus estudios secundarios en 1959, en la escuela'" industrial " Ing. Luis A. Huergo" ; trabaj aba como dibuj ante, y profesor de esa escuela, durante los primeros años de la Licenciatura, que concluyó en 1964. Fue auxiliar docente, desde entonces y hasta mediados de 1 965, mientras comenzaba sus estudios de graduado con Alberto González Domínguez. Por entonces conoce a Marta Pecuch, con quien luego contrae matrimonio.

Las visicitudes de esos años ya presagiaban las dificultades que Herrero tendría luego para arraigarse en su propio país : lo hallamos de Profesor Asistente en el Instituto Balseiro, luego y fugazmente en Buenos Aires en ese lamentable 1 966, luego en Santiago de

156

Chile, y finalmente en enero de 1968 llega a Chicago, donde recibe su Doctorado en 1970. Vendrían luego su postdoctorado en Albany, Campinas en Brasil , Río Cuarto , San Luis, la Universidad Simón Bolívar y el IVIC venezolanos, hasta el regreso, esta vez defi nitivo, a los EE.UU. en 1980: la University of Georgia (Athens) primero, y luego, y para si ..!mpre, la Arizona State University (Phoenix) , en 1983.

Domingo Herrero trabajó en el área de aproximación de operadores : entre los tópicos más importantes se encuentran la caracterización de la clausura de operadores nilpotentes, o, más generalmente, la clausura del conjunto de operadores cuyo espectro es un conjunto compacto dado, en el plano. Otro tema importante es la clausura de las órbitas de similitud : j unto con Constantin Apostol y Dan Voiculescu, Domingo caracterizó espectralmente el conjunto de todos los operadores que se encuentran en la clausura de la órbita de similitud de un operador dado.

Autor de más de 1 1 5 artículos de investigación, fue contribuyente frecuente de nuestra Revista. Escribió los libros " Approximation of Hilbert Space Operators" , vol. 1, (Pitman, 1982) , y vol. II (en colaboración, Pitman, 1984) . Fue miembro del elenco editor de cuatro revistas de la especialidad, y ha sido referee de otras muchas y muy prestigiosas. Más detalles de la repercusión de la obra de Herrero se pueden encontrar en dos números del Houston Journal of Mathematics , dedicados a su memoria, aparecidos en febrero y marzo de 1992 .

J .E.Bouillet , N .Salinas.

157

ERNEST COROMINAS

( 1913 - 1992)

El d í a 2 4 de enero de 1 9 9 2 f al l ec ió en Lyon ( Fr anc i a ) el do c

tor Ern e s t Coro mina s , de cuya Facul tad d e C i enc i a s era pro fe

sor emér ito y e l cual , dur ant e l a s d é c ada s d e l o s año s 4 0 y 5 0

e s tuvo muy v in c ul ado con l a mat emá t i c a ar g ent ina y v ene z o l ana .

Ern e s t Coromina s nac ió en Bar c e lona ( E s pañ a ) en 1 9 1 3 , en cuya

un iver s idad e s tud ió l a l ic enc iatura en c i enc i a s ma t emát i c a s y

t amb ién l a carr er a d e arqu it ectur a . Ju s t o a l t erm inar su s e s t�

d io s emp e z ó l a gu erra c iv i l e spaño l a ( 1 9 3 6 - 1 9 3 9 ) en l a que to

mó par t e a c t iva c omo o f ic ial d e z apado r e s d e l ej é r c ito r epub l i.

c ano , p o r l o cual , a l t erminar l a cont i enda tuvo qu e ex i l iar s e

pr imer o a Franc ia y luego a Chil e , d e s d e donde p a s ó a l a Ar

gent ina en 1 94 1 contratado como pro f e s o r d e ma temá t i c a s de l a

Facul tad de C i enc i a s Económica s d e l a Un iv er s idad Nac iona l d e

Cuyo , c o n s ed e e n Mendo z a , entonc e s de r e c i ent e c r eac ión . E s

tuvo en Mendo z a d e s d e 1 9 4 1 ha s t a 1 9 4 6' dando a l l í l o s pr imero s

cur s o s d e e s t ad í s t i c a mat emát ica y tomando par t e a c t iva en l a s

r eun ione s y c o n gr e so s o r gan i z ado s por l a Un ión Mat emát ica Ar

gent ina , en cuya r ev i s t a pub l ic6 do s traba j o s int er e s ant e s ( sE. br e la t e o r ia d e l a d e r i v a c i6n, 1 94 3 y So b r e l a s d e r i v a da i g e

n e r a l i z a da s d e Peano , 1 94 6 ) . De spué s d e contraer matr imo n io

con una mendo c ina , E d i t h Guevar a , y trabaj ar dur ant e un año en

e l In s t ituto d e Mat emát i c a de Ro s ar io , d ir i g ido por B eppo Lev�

en 1 9 4 7 ac eptó un c a r go d e "at t a c hé de r ec herc h e s " del CNRS de

Franc ia , p a s ando a Par i? a t r aba j ar con A . Denj o y , con qu i en

hi z o una val io s a t e s i s de e s t ado , publ icada en e l Bu l l e t i n de

la So c i e t é Ma t Mma t i q u e de Franc e (vo l . 8 1 , 1 9 5 3 , 1 7 2 - 2 2 2 ) s o

br e l a t eo r ía d e l a d er ivac ión y conj unto s o r d enado s , t r a s l a

dándo s e d e spu é s un año a Pr inc eton ( 1 9 5 8 ) y lue go a Car a c a s

de cuya Un iver s idad Central fue pro f e so r durant e 5 año s .

En 1 9 64 fu e nombrado pro f e s o r a s o c iado de l a Un ive r s idad de

158

Lyo n (Franc ia) , en 1 9 7 3 pr o f e s o r t itul ar y en 1 9 8 2 pro f e s o r

emér i t o d e l a mi sma ,· e n cuya opor tun idad l a Facult a d d e C i en

c ia s , a t r av é s d e sus d i s c ípul o s y co l e ga s , l e r endió un emo

t ivo homenaj e . Uno d e sus a l umno s (Maur i c e Pouz a t ) a l hab l ar

en nombr e d e su s c o l e ga s d ij o : "todo s cono c emo s su par t ic ipa

c ió n en l a v ida mat emá t ica del d epar t amento y todo s l a admira

mo s y r e sp e t amo s . En su s c l a s e s , l a s mat emát ica s d evenían p a l

pabl e s , s en s ibl e s , v iva s y fuent e con s t ant e d e in sp irac ión .

D e s pué s d e e s t o s 1 8 afia s d e su ac tuac ión do c en t e y d e inv e s t i

gac ión t en emo s , grac ias a el l a , una e s c u e l a l ione s a d e á l gebra

o r d inal " .

S i b i en no muy ext en sa , l a obra d e Co rominas s o br e c o nj unt o s

o r d enado s y t eo r ía d e l a d er ivac ión y en g en e r a l sobr e t ema s

d iver so s d e l a t eor ía d e func iones d e var iab l e r eal , pro l o n ga

c ió n en var io s punto s d e l a d e su mae s tro Denj oy , ha s ido r e

cono c ida en congr e so s y r eun io n e s ded icada s a e s a e sp e c ial idad

y pro s e gu ida por numero s o s alumno s . Po r part e d e Amér i c a Lat i

na , s u actuac ión en Mendo z a y Caraca s fué , en su épo c a , p ione

r a en muc ho s a sp e c t o s . A través d e v i s i t a s e sporád i c a s para

d ic t ar cur so s y confer �nc i a s , Coromina s mantuvo s i empr e v incu -

1 a c i6n con l a mat emát ica d e nue s tr o s pa i s e s .

L . A . S an t a l ó

Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo Hong Kong

V.I. Amol'd, Steklov Mathematical Institute, Moscow, USSR

Ordinary Differential Equations Translated from the Russian b y R . Cooke

1 992. IV, 334 pp. 272 figs. (Springer-Textbook) Softcover DM 78,- ISBN 3-540-548 1 3-0

(Translated from the 3rd original Russian edition published by Publisher Nauka, Moscow, 1984)

There are dozens of books on ODEs, but none with the elegant geometric insight of Amol'd's book. Amol'd puts a clear emphasis on the qualitative and geometric properties of ODEs and their solutions, tather than on the routine presentation of algorithms for solving �peci.!'J c!asses cf eGaations. Vcctüí Gcids and one-parameter groups of transformations are introduced right at the start and Amol'd uses this " language" throughout the book. This approach allows him to explain some of the real mathematics of ODEs in a very understandable way. The text is also rich with examples and connections with mechanics. Where possible, Amol'd proceeds by physical reasoning, using it as a convenient shorthand for much longer formal mathematical reasoning. Following Arnol'd's guiding geometric and qualitative principIes, there are 272 figures in the book, but not a single complicated formula. This book is an excellent text for a course whose goal is a mathematical treatment of differential equations and the related physical systems.

Revista de la Unión Matemática Argentina · Instituto de Matemática Universidad Nacional del Sur...

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