Analisis numerico

Teoria de interpolacion

Interpolacion de

Langrange

Interpolacion de Newton-

Gregory

Tema 4

Por lo general en una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede

suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que

desconocemos. Para calcular la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos

utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una

aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la

función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los

valores de la función a partir de otros ya conocidos.  

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es

la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos

(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan

polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.

Interpolación

 

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

 

La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por:  x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi

 Polinomio Interpolante de Newton-Gregory

La fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la

trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida

Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,

iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así

sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-

zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así

sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del

Polinomio Interpolante de Gauss.

Polinomio Interpolante deGauss

Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por

los n+1 puntos: , donde se supone que  si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula

del Polinomio Interpolante de Lagrange.

Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento

de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del

polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se

propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado,

se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se

cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

 Polinomio Interpolante de Lagrange