Algebra Booleana Estructuras Discreta II El Álgebra de Boole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que estudia las variables, operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George Boole, matemático británico quien la definió a mediados del siglo XIX. A mediados del siglo XX el trabajo de Boole es tomado por Claude Shannon para la descripción de circuitos eléctricos, más específicamente circuitos con relés

2012

Francsico J.C.

Yurisky Y.Z.

01/08/2012

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a

variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este

resultado es único.

3. Ley de impotencia:

4. Ley de complemento:

1. Ley conmutativa:

2. Ley asociativa:

5. Ley distributiva:

Distributiva por la izquierda:

Distributiva por la derecha:

1. Ley de cancelación:

7. Ley de identidad:

8 Ley de dominación:

9. Leyes de De Morgan:

Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes: se le da a cada uno

un valor igual se asignamos el valor número 1 para cada uno de ellos

1; 1;

1; 1;

´ 0.

W X

Y Z

Z

= == ==

En este sentido:

( , , , ) ( ´́ )́ ( )́

( , , , ) 1.1 (1 0) (1 0)

( , , , ) 1 1 1

P W X Y Z WX X Z Y Z

P W X Y Z

P W X Y Z

= + + + +

= + + + += + +

De acuerdo a esto tenemos que ( , , , ) ( ´ ´) ( ´)P W X Y Z WX X Z Y Z= + + + +

EsEsEsEs EEEEquivalentequivalentequivalentequivalente

Para el siguiente tenemos

( , , , ) ´Q W X Y Z X Z Y= + +

Se aplica el mismo procedimiento y

( , , , ) 1 0 1Q W X Y Z = + +

De acuerdo a esto tenemos que ( , , , ) ´Q W X Y Z X Z Y= + +

No es No es No es No es EquivalenteEquivalenteEquivalenteEquivalente

Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguiente Polinomio: ( , , ) ( ´)( ´ ´)( ´ )P X Y Z X Y X Z Y Z= + + +

Solución:

( , , ) ( ´)( ´ ´)( ´ )P X Y Z X Y X Z Y Z= + + +

Se le asignara a cada variable restante

( , , ) ( ´ ´)( ´ )( ´ ´)P X Y Z X Y ZZ X Z YY Y Z XX= + + + + + +

Se aplica la propiedad distributiva

( ´ )( ´ ´)( ´ ´ )( ´ ´ ´)( ´ ´)( ´ )( ´ ´)X Y Z X Y Z X Z Y X Z Y Y Z XX Y Z X Y Z X= + + + + + + + + + + + + + +

Polinomio en forma Normal ConjuntivaPolinomio en forma Normal ConjuntivaPolinomio en forma Normal ConjuntivaPolinomio en forma Normal Conjuntiva

Encuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguiente polinomio: ( , , ) ( ´) ´P X Y Z X Y Z= +

Solución

( , , ) ( ´) ´P X Y Z X Y Z= +

Propiedad Distributiva

( , , ) ( ´ ´ ´)P X Y Z XZ Y Z= +

Luego se complementa las variables restantes

( )( , , ) ´ ´ ( ´ ´ )́P X Y Z XZ YY Y Z XX= + + +

( , , ) ( ´) ( ´ ´)( ´ ´ ) ( ´ ´ ´)P X Y Z XZ XZ Y Y Z X Y Z X= + + + + +

Polinomio en forma norma DisyuntivaPolinomio en forma norma DisyuntivaPolinomio en forma norma DisyuntivaPolinomio en forma norma Disyuntiva

Circuitos Lógicos

Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y

exactamente una salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0

o 1; estos datos son procesados por el circuito para dar un valor en su

salida, 0 o 1.

Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por

ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.

Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales

denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos:

• Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT.

• Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND.

AND

OR

Compuertas Lógicas

Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio

P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´