Universidad Fermín Toro.Facultad de Ingeniería.

Cátedra de Matemática II.

INTEGRALES DE FUNCIONES TRANSCENDENTALES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

REVISTA DIGITAL

Estudiante:

Mario Piai

Cedula: 24.162.647

INDICE

Aplicación de integrales en la función logaritmo natural:

La función exponencial y la función exponencial en base «a». La función logaritmo en base «a».

Aplicación de integrales en funciones trigonométricas y sus inversas.

Funciones trigonométricas hiperbólicas, sus inversas: Dominio, rango y gráficas.

Aplicación de integrales en funciones trigonométricas hiperbólicas y sus inversas.

Integrales que incluyen potencias de las funciones trigonométricas.

DERIVADAS E INTEGRALES RELACIONADAS CON EL LOG. NATURAL

Es aquí donde se pueden transformar en expresiones más sencillas en particular para aplicar derivadas a expresiones complejas y para simplificar resultados de las soluciones de integrales.

Ejemplo: Derivar:

Notamos su solución aplicando las propiedades logarítmicas.

El logaritmo natural es una pieza fundamental para la resolución de algunas integrales, como por ejemplo:

realizando un cambio de variable al denominador nos quedaría: u= y2 - 25, du = 2ydy, sustituyendo nuevamente a la integral:

devolviendo el cambio: lny2 - 25+c.

FUNCION EXPONENCIAL

Esta se define como la inversa de la función logaritmo natural y sus propiedades son las mismas a las de la potenciación.

F(x) positiva0, +

Derivadas con función exponencialEjemplo: y =

Y’=

=

= .Para las integrales se efectúan mediante propiedades y si requiere por cambios de variables. Ejemplos:

= = = •

• = ex –

• =

hacemos t = ex + 1; dt = ex dx; = = ln (t)+ C .

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arco seno: es la función inversa del seno del ángulo. 2) Arco coseno: es la función inversa del coseno del ángulo. 3) Arco tangente: es la función inversa de la tangente del ángulo.

Potencias de las funciones trigonométricas:

En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:

Ya sea con exponente impar y positivo o con dos exponentes pares y positivos..

FUNCIONES HIPERBOLICAS

Estas son análogas a las funciones trigonométricas y se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial.

Combinaciones:Cosh u = ½ (e ^u + e ^-u) (coseno hiperbólico de u). Senh u = ½ (e ^u - e ^-u) (seno hiperbólico de u)

Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto (x, y) en el círculo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto (x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1. A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “senh u”.

De las funciones hiperbólicas restantes:

La tangente:

Curva de las funciones cosh, senh y tanh:

y otras líneas: Cotangente:

Secante:

Cosecante:

Curvas de las funciones coth, sech, csch:

Dominios y Rangos de las Funciones Hiperbólicas:

Seno hiperbólico:Dominio: Reales Rango: Reales

Coseno hiperbólico: Dominio: Reales Rango: (1, oo)

Tangente hiperbólica: Dominio: Reales Rango: (-1, 1)

Cotangente hiperbólica:Dominio: (-oo, 0) (0, oo) Rango: (-oo, -1) (1, oo)

Secante hiperbólica: Dominio: Reales Rango: (0, 1)

Cosecante hiperbólica: Dominio: (-oo, 0) (0, oo) Rango: (-oo, 0) (0, oo)

Funciones Hiperbólicas Inversas

Usamos las inversas de las seis funciones hiperbólicas en la integración.

Dado que d (senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x y la notación de su inversa es y = senh ^ -1 x.

Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.

La función y = cosh x no es inyectada, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es y = cosh ^ x.

Para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x. Igual que y = cosh, la función y = senh x = 1 / cosh x no es inyectada, pero tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es y = senh ^ -1 x.

Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = senh ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x.

La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectabas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es: y = tan^ -1 x, y = catch^ -1 x, y = cosh ^ -1 x.

Graficas:

Seno hiperbólico inverso:

Coseno hiperbólico inverso:

Tangente hiperbólica inversa:

Secante hiperbólico inverso:

Cosecante hiperbólica inversa:

Aplicación de integrales en funciones trigonométricas hiperbólicas y sus inversas.

La integración de dichas funciones hiperbólicas se realizan igual que la integración de las mismas trigonométricas, estas identidades son de mucha utilidad para resolver ciertas integrales que producen funciones trigonométricas inversas:

Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener paciencia que cualquier otro talento. (Isaac Newton)