Modelo

Teoría General de los Sistemas (TGS)

Procesos de análisis y síntesis

Definiciones generales...

Requisitos funcionales de un

modelo

EVALUACIÓN DE LOS

SISTEMAS Y SU

REPRESENTACIÓN:

EL MODELO

Evaluación de los sistemas: proceso de

síntesis y análisis

Proceso de análisis…

Proceso de síntesis…

Las síntesis se realizan general-

mente con la finalidad de ex-

traer ideas principales de una

exposición mayor, generalmente

para estudio o para una exposi-

ción sucinta. En general se ca-

racterizan por su brevedad, aun-

que pueden existir ejemplos de

una longitud considerable si el

tema lo requiere así.

Es la desintegración de un to-

do en las partes que lo com-

ponen, para llegar a conocer

sus elementos y /o principios.

Ese todo puede ser obra de la

naturaleza, como cuando se

analiza una planta, o un pro-

ducto cultural, como cuando

se estudian los elementos del

sistema comunicacional. La

función del análisis es cono-

cer mejor el objeto de estu-

dio..

El modelo

Un modelo es una representación simplifica-

da de la realidad, que se elabora para facili-

tar su comprensión y estudio, que permiten

ver de forma clara y sencilla las distintas va-

riables y las relaciones que se establecen en-

tre ellas.

Requisitos funcionales de un modelo...

Variables de estado, de fase y físicas...

VARIABLE DE ESTADO

Una variable de estado es una magnitud física

macroscópica que caracteriza el estado de un sis-

tema en equilibrio. Entonces, dado un sistema ter-

modinámico en equilibrio, puede escogerse un

número finito de variables de estado, tal que sus

valores determinan unívocamente el estado del

VARIABLE DE FASE

Se define a las variables de fase como el conjun-

to particular de variables de estado que se com-

pone de una variable y sus “n-1” derivadas.

No todas las variables físicas son variables de

estado.

VARIABLE FISICA

Método casi intuitivo donde su en-

foque es a menudo el punto de par-

tida para crear funciones de trans-

ferencia de plantas complejas con

muchas interconexiones.

Un propósito claramente definido.

Identificar las consideraciones esenciales

(incluir en el modelo).

Desechar consideraciones superfluas (estas

son fuente de confusión).

El modelo debe representar la realidad en for-

ma simplificada.

Un modelo funcional

es un instrumento que

sirve a su propósito en

forma adecuada y que

deja satisfecho al utili-

zador.

Representaciones de

las variables

Forma cónica controlable.

Considere las ecuaciones dinámicas dadas en las ecuaciones:

dx(t)dt=Axt+ But…….(1)

yt= Cxt+ Dut……..(2)

La ecuación característica de A es:

sI-A= Sn+ an-1Sn-1+ …+a1S+ a0=0

Las ecuaciones dinámicas en las ecuaciones 1 y 2 se transforman a la forma canónica

controlable (FCC) a partir de la forma de las ecuaciones:

dx(t)dt=Axt+ But…….(3)

yt= Cxt+ Dut…….(4)

Mediante la transformación de la ecuación:

xt= Pxt…….(5)

Con:

P=SM…….(6)

En donde:

S= B AB A2B … An-1B……7

Y:

M= a1a2…an-11a2a3…10⋮⋮…an-11…10…⋮00⋮00 …… (M)

A= P-1AP= 010…0001…0⋮0-a0⋮0-a1⋮⋱⋮0⋯1-a2…-an-1…… (8)

B = P-1B= 00⋮01…… (9)

Las matrices C y D están dadas por la ecuación y no siguen ningún patrón en particu-

lar. La transformación FCC requiere que P-1 exista, lo que implica que la matriz S de-

be tener inversa, ya que la inversa de M siempre existe debido a que su determinante

es (-1)n-1, el cual no es cero. La matriz S de n*n en la ecuación (7) se define más ade-

lante como la matriz de controlabilidad.

Controlabilidad: se relacio-

na con la existencia de so-

luciones para sistemas con

retroalimentación.

Representaciones de

las variables

Observabilidad: Se rela-

ciona con la condición

de observación de las

variables de estado a

partir de las variables

de salida.

Forma canónica observable.

La forma dual de la transformación de la FCC es la forma canónica observable (FCO).

El sistema descrito por las ecuaciones (1) y (2) se transforma a la FCO mediante la

transformación:

X(t)=Qx(t) (10)

Las ecuaciones transformadas son como las dadas en las ecuaciones (3) y (4). Por lo

que:

A=Q`-1AQ B=Q-1B C=CQ D=D (11)

En donde:

A= Q`-1AQ= 01⋯0-a000⋯0-a10⋮01⋮0…0-a2⋱⋮⋮…0-an-1

C=CQ= 0 0 … 0 1

Los elementos de las matrices B y D no están restringidos a ninguna forma. Observe

que A y C son las transpuestas de A y B de las ecuaciones (8) y (9), respectivamente.

La matriz Q de la transformación FCO está dada por:

Q=(MV)-1

En donde M está dada en la ecuación (M), y:

V= CCACA2⋮CAn-1 n x n

La matriz V a menudo se define como la matriz de observabilidad, y V-1 debe existir

para que la transformación FCO sea posible.