Autores:Skarlett Juárez C.I 16.686.723Carlos Castillo C.I 20.108.470Yheisy Sánchez C.I 14.027.606

Maracay, 07 de Diciembre del 2014

Prof.: Luis AponteOptimización de Operaciones

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSION MARACAY ESTADO ARAGUA

LLas derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en un punto dado 8ª,b) llamado “punto crítico”, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa.

LLas derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto crítico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

EEl producto de las derivadas parciales de segundo orden en el punto crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla.

Máximo

Punto de Silla

Mínimo

LLos métodos Quasi-Newton, se utilizan si la derivada de la función objetivo es difícil de calcular, o ésta viene dada de forma numérica. Se basan en sustituir las derivadas por aproximaciones en diferencias finitas.

LLa idea fundamental de los métodos Quasi-Newton es intentar construir una aproximación de la inversa del Hessiano, usando información obtenida durante el proceso de descenso Estos métodos son similares a los métodos de gradiente conjugado en el sentido de que se basan principalmente en propiedades de las funciones cuadráticas.

CCuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

El resultado del proceso de construcción de un modelo es una ecuación. El procedimiento de construcción del modelo experimental y la secuencia experimental son usados en la búsqueda de una región para la respuesta de mejora que es el método de ascendencia rápida . Aquí se usaran diseños experimentales factoriales o fraccionados la economía y simplicidad del diseño pueden ser muy importantes.El diseño de experimentos es un procedimiento que construye una secuencia de experimentos para obtener una región de mejora que constituya un método de mejora ascendente. Así el resultado total de operaciones puede involucrar más de un experimento. Uno de los principios que asumimos es que el modelo se puede representar en un plano lo cual es una aproximación razonable de un sistema inicial en la región X1, X2, X3,…Xk

.

1. Decidimos un modelo de primer orden apropiado a un plano o un hiperplano usando el diseño ortogonal. Dos niveles de diseño pueden ser los apropiados aunque las corridas centrales sean las más recomendadas.2. Calcular una trayectoria de ascenso pronunciado si se quiere maximizar la respuesta (máximo incremento). Si se requiere la mínima respuesta, uno debe calcular la trayectoria descendente (máximo decremento)..

3. La conducta experimental corre separada de la trayectoria. Esto es que se tiene una corrida y se realizan otras para comparar los resultados. Los resultados normalmente muestran los valores de la respuesta mejorada. Para alguna región la mejora desciende y eventualmente desaparece. Frecuentemente la primera corrida es tomada cerca del perímetro del diseño.(Se busca el valor de 1 para la variable más importante y así se confirma el experimento).

4. Para algún punto tenemos una aproximación del máximo o del mínimo que se localiza en la trayectoria. Se elige la base del segundo experimento. El diseño puede ser otra vez de primer orden. Se toma las corridas centrales para probar la curvatura y los grados de libertad.5. Se realiza un segundo experimento se ajusta a los datos. Se realiza la prueba de carencia de ajuste. Si la carencia de ajuste no es significativa, se obtiene una segunda trayectoria de un nuevo modelo. Esto generalmente se llama corrección a medio camino. Se conducen experimentos sencillos o replicados para obtener una segunda trayectoria. Es una razón por la cual la mejora no es tan fuerte como en la primera trayectoria. Después que la mejora va disminuyendo se elaboran experimentos y procesos de optimización más sofisticados.

DESARROLLO DEL PROCEDIMIENTO:

El movimiento en XEl movimiento en Xjj en la trayectoria de en la trayectoria de ascenso pronunciado es proporcional a la ascenso pronunciado es proporcional a la magnitud de los coeficientes de regresión bmagnitud de los coeficientes de regresión bjj con la dirección tomada de los signos de los con la dirección tomada de los signos de los coeficientes.coeficientes.La trayectoria descendente necesita que la La trayectoria descendente necesita que la dirección sea opuesta al signo del dirección sea opuesta al signo del coeficiente.coeficiente.POR EJEMPLO:

si se produce una ecuación Y = 20+3 X1 -1.5 X2 . La trayectoria es en X1 positiva y en X2 negativa. Además X1 se mueve el doble de X2 por cada unidad. La figura 1 indica la naturaleza de la trayectoria de ascenso pronunciado para este ejemplo. La trayectoria esta dad por los renglones nota que la trayectoria es perpendicular a la línea de respuesta constante. Para K = 3 las líneas se convierten en planos y la trayectoria se mueve perpendicular a estos planos. Mientras la trayectoria que se obtiene del movimiento de Xj es proporcional a los coeficientes de regresión bj. Quizá el lector entienda mejor en base al desarrollo matemático del procedimiento.

11.- El ascenso pronunciado es la primera técnica de optimización. Funciona si empezamos en un punto alejado del óptimo. Si usas un punto en el extremo de la superficie de respuesta el ascenso pronunciado lo conseguirás moviéndote muy poco del punto de salida.22.- En ocasiones es útil hacer observaciones individuales en cada punto de la trayectoria, replicas u otras corridas.33.- También se pueden aplicar otras técnicas de optimización. Existen algunos métodos para el ascenso más rápido.44.- Algunos diseños se ajustan después de las primeras mediciones, dependiendo de los resultados obtenidos. Se debe tener cuidado porque es fácil perder la región del optimo.

¿Qué hay sobre la segunda fase? ¿Qué hay sobre la segunda fase? Si se modifica el sistema o se ajusta después de la primera lectura, el Si se modifica el sistema o se ajusta después de la primera lectura, el resultado no dará información sobre la primera etapa de resultado no dará información sobre la primera etapa de experimentación. Se deben tener presentes los grados de libertad para experimentación. Se deben tener presentes los grados de libertad para saber si es útil el ajuste posterior o nos causara más problemas.saber si es útil el ajuste posterior o nos causara más problemas.

Si tenemos un grado de libertad Si tenemos un grado de libertad la función será cuadrática y esto la función será cuadrática y esto determina la curvatura. En este determina la curvatura. En este caso la metodología del ascenso caso la metodología del ascenso o descenso pronunciado se o descenso pronunciado se vuelve ineficiente.:vuelve ineficiente.:Cuando los términos de Cuando los términos de segundo orden estén segundo orden estén relacionados y además estén al relacionados y además estén al cuadrado son dominantes y no cuadrado son dominantes y no podemos hablar de ascenso podemos hablar de ascenso pronunciado. pronunciado. Si los términos de segundo Si los términos de segundo orden son estadísticamente orden son estadísticamente significativo entonces significativo entonces aproximaremos con los de aproximaremos con los de primer orden siempre y cuando primer orden siempre y cuando sea razonable una estrategia de sea razonable una estrategia de experimentación.experimentación.

¿Qué pasa después del ascenso ¿Qué pasa después del ascenso pronunciado?pronunciado?La mejora en la calidad implica La mejora en la calidad implica análisis y diseño de experimentos, análisis y diseño de experimentos, cuando es exitosa es una cuando es exitosa es una experiencia interactiva. si la experiencia interactiva. si la curvatura y la interacción se curvatura y la interacción se encuentran entonces el encuentran entonces el procedimiento de ascenso procedimiento de ascenso pronunciado será truncado. En pronunciado será truncado. En este punto el investigador está este punto el investigador está seguro de encontrar mejores seguro de encontrar mejores condiciones en ajustar a un condiciones en ajustar a un segundo modelo. El diseño de segundo modelo. El diseño de primer orden de dos niveles con primer orden de dos niveles con corridas centrales incrementa la corridas centrales incrementa la posibilidad de estimar términos posibilidad de estimar términos de segundo orden.de segundo orden.

La elección de los rangos de los factores es una decisión importante y La elección de los rangos de los factores es una decisión importante y no debe ser tomado a la ligera. Si se hace una decisión descuidada se no debe ser tomado a la ligera. Si se hace una decisión descuidada se obtiene un ineficiente proceso de optimización. Desde el principio se obtiene un ineficiente proceso de optimización. Desde el principio se deben establecer las unidades en las que cada variable será medida y deben establecer las unidades en las que cada variable será medida y claro que el conocimiento en el sistema será una de las claves de la claro que el conocimiento en el sistema será una de las claves de la elección. elección.   Se debe usar la información disponible, más actual. Se debe usar la información disponible, más actual.   Un cambio en la escala no cambia la dirección de los factores pero si Un cambio en la escala no cambia la dirección de los factores pero si puede cambiar la trayectoria de ascenso; un cambio de magnitud de un puede cambiar la trayectoria de ascenso; un cambio de magnitud de un factor.factor.

Suponiendo que tenemos una situación Suponiendo que tenemos una situación ideal donde Xideal donde X11 es el tiempo y X es el tiempo y X22 es la es la temperatura y la estructura de la regresión temperatura y la estructura de la regresión que involucra un beneficio es la siguiente.que involucra un beneficio es la siguiente.

Donde Beta es el coeficiente correspondiente a (+1, -1) donde la Donde Beta es el coeficiente correspondiente a (+1, -1) donde la temperatura es de 50 temperatura es de 50 ooC y el tiempo de 1.0 hr. supongamos que el C y el tiempo de 1.0 hr. supongamos que el investigador A elige los rangos (+1,-1) mientras el investigador B investigador A elige los rangos (+1,-1) mientras el investigador B elige 50 elige 50 ooC pero .5 del tiempo de nuevo en (+1,-1). C pero .5 del tiempo de nuevo en (+1,-1). El modelo para El modelo para el investigador B estará dado porel investigador B estará dado por

Suponga que el investigador Suponga que el investigador AA elige los factores en el rango r elige los factores en el rango r11,r,r22,…r,…rKK y y

el investigador el investigador BB elige los valores en el rango r´elige los valores en el rango r´11,r´,r´22,…r´,…r´kk , donde a , donde ajj =r =rjj/r/r´́jj. Se refiere a que los movimientos relativos a lo largo de la trayectoria . Se refiere a que los movimientos relativos a lo largo de la trayectoria son como siguen:son como siguen:ΔΔ1 , 1 , ΔΔ2 ,… 2 ,… ΔΔK y K y ΔΔ´1 ´1 ΔΔ{2 ,…, {2 ,…, ΔΔ{k para el investigador A y B {k para el investigador A y B respectivamente son respectivamente son ΔΔ j/ j/ ΔΔ´j = a´j = a22j para j=1,2,…kj para j=1,2,…k

Con lo anterior sabemos que no importa que investigador establezca Con lo anterior sabemos que no importa que investigador establezca la escala de los factores sino de cuanto conocimiento tenga del la escala de los factores sino de cuanto conocimiento tenga del sistema que maneja. Como lo vimos anteriormente cada sistema en sistema que maneja. Como lo vimos anteriormente cada sistema en particular nos permite una mejor elección del rango de los factores particular nos permite una mejor elección del rango de los factores dependiendo que tan estudiado este el sistema.dependiendo que tan estudiado este el sistema.

Un vistazo general nos dice que podemos obtener una mejora con Un vistazo general nos dice que podemos obtener una mejora con ascenso pronunciado si tenemos varias trayectorias posibles para la ascenso pronunciado si tenemos varias trayectorias posibles para la mejora.mejora.  El método en si mismo nos enseña a elegir cada vez mejor los rangos El método en si mismo nos enseña a elegir cada vez mejor los rangos en los que se deben mover los factores particularmente donde la en los que se deben mover los factores particularmente donde la meta es la optimizaciónmeta es la optimización.

EEste método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de LaGrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena

EEn los problemas de optimización, los multiplicadores de LaGrange, nombrados así en honor a Joseph Louis LaGrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

LLo propuso Joseph Louis LaGrange (1736-1813), unmatemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica. La lectura de una obra del astrónomo inglésEdmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. nombrado profesor de laEscuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.

EEn su obra Miscelánea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante elcálculo de variantes.

RRealizó un trabajo sobre el ealizó un trabajo sobre el equilibrio lunar,equilibrio lunar,donde razonaba la causa de que donde razonaba la causa de que la Lunala Lunasiempre mostrara la misma cara, siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por lade un premio por laAcademia de Ciencias de París.Academia de Ciencias de París.En 1795 se le concedió una En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique,de la École Polytechnique,LaGrange fue nombrado LaGrange fue nombrado profesor, y quienesprofesor, y quienesasistieron a sus clases las asistieron a sus clases las describieron comodescribieron como«perfectas en forma y contenido»«perfectas en forma y contenido»

El El método de los Multiplicadores de LaGrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.ElEl método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con n restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nuevafunción sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

LLa a demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

Lo que es equivalente a:

DemostraciónDemostraciónLos multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada.

INTERPRETAR gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de LaGrange.

APROXIMAR las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.

VISUALIZARVISUALIZAR algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.

IDENTIFICAR, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.

APROXIMAR las soluciones del problema a partir de la observaciones cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.

ADQUIRIR habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.

CComo en el caso no restringido en el que usamos la matriz Hessiana y el criterio de Sylvester para determinar la naturaleza de los puntos críticos, en presencia de multiplicadores de LaGrange existe un método análogo para descubrir si un punto crítico v0 es máximo, mínimo, o punto silla.

Si |H|>0 entonces v0 es un máximo local en f limitada a S

Si |H|<0 entonces v0 es un mínimo local en f limitada a S

Si |H|=0 entonces el criterio no concluye nada

EExaminamos los determinantes de las submatrices en la diagonal de orden mayor o igual a 3:

Si todos ellos son mayores que 0, tenemos un mínimo local en v0.

Si el primer subdeterminantes de tamaño 3x3 es mayor que cero, el siguiente (el de 4x4) es menor que cero, y de esa manera los subdeterminantes van alternando su signo, tenemos un máximo local en v0

Si todos los subdeterminantes son distintos de cero, pero no siguen ninguno de los dos patrones anteriores, tenemos un punto silla en v0.

Si no se da ninguno de los tres casos anteriores, el criterio no concluye nada.

.

FunciónEl método la grangiano aplica cálculo diferencial, el cual implica el cálculo de derivadas parciales, y hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dado que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero para invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CD, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CD, dado que sólo tiene US$100 de ingresos disponibles para gastar.

Basado en los resultados de un análisis la grangiano, una persona o empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la maximización continua de la utilidad teniendo en cuenta los cambios de las restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo favorito, por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una cantidad más baja de ese artículo o que trabaje más horas para conseguir más ingresos y costear el precio más alto00000000

El multiplicador la grangiano, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda, representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada por un aumento en la restricción de presupuesto.

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL SIGNO DE UNA FORMA

CUADRÁTICA NO RESTRINGIDA

AUTOVALORES DE UNA MATRIZ A(matrices simétricas)

Se trata de obtener las raíces de la ecuación característica: A- = 0donde A es la matriz cuadrada de orden n, es la matriz identidad de orden n.

DEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

DEFINIDA POSITIVA i > 0, i=1,...,nDEFINIDA NEGATIVA i < 0, i=1,...,n

SEMIDEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

SEMIDEFINIDA POSITIVAi0, i=1,...,n

con al menos un j =0 y un k>0 , 1k,jn

SEMIDEFINIDA NEGATIVAi0, i=1,...,n

con al menos un j =0 y un k<0 , 1k,jn

INDEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

INDEFINIDA i > 0 j < 0

NULACONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

NULA i = 0, i=1,...,n

AUTOVALORES DE UNA MATRIZ A(matrices simétricas)

Se trata de obtener las raíces de la ecuación característica: A- = 0donde A es la matriz cuadrada de orden n, es la matriz identidad de orden n.

DEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

DEFINIDA POSITIVA i > 0, i=1,...,nDEFINIDA NEGATIVA i < 0, i=1,...,n

SEMIDEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

SEMIDEFINIDA POSITIVAi0, i=1,...,n

con al menos un j =0 y un k>0 , 1k,jn

SEMIDEFINIDA NEGATIVAi0, i=1,...,n

con al menos un j =0 y un k<0 , 1k,jn

INDEFINIDASCONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

INDEFINIDA i > 0 j < 0

NULACONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTENULA i = 0, i=1,...,n

Planteamiento:Opt. F(x)s. a: hi(x)=bi , con i= 1, ..., m.Las ecuaciones son funcionalmente independientes:rg(Jh(x))=m para al menos un punto x Dh, siendo n>m , n= nº de variables, y m=nº de restricciones.Para una función lagrangiana como ésta:,las condiciones de primer orden (necesarias) y las de segundo orden(suficientes), es decir, tras haber cumplido las de primer orden, son las siguientes, siempre que L(x,)C2 en (x*,*).

CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO (primer orden)

L(x*,*)=

CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÁXIMO LOCAL (2º orden)

HL(x*,*) DEFINIDA NEGATIVA

CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÍNIMO LOCAL (2º orden)

HL(x*,*) DEFINIDA POSITIVA

C.S. DE EXTREMO LOCAL(segundo orden)

HL(x , ) DEFINIDA NEGATIVA

(x , ) MAXIMO L )

* *

* *

OCAL de L(x,

x MAXIMO LOCAL de F(x) sujeta a h(x) = b*

HL(x , ) DEFINIDA POSITIVA

(x , ) MINIMO L )

* *

* *

OCAL de L(x,

x MINIMO LOCAL de F(x) sujeta a h(x) = b*

L((x1, x2, x3, x4, x5)= = F(x1, x2, x3, x4, x5)+ 1 b1 - h1(x1, x2, x3, x4, x5)+ 2 b2 - h2(x1, x2, x3, x4, x5) 

Suponiendo que en el punto crítico (x*, *), la matriz hessiana de la función lagrangiana es la siguiente:

HL(x , ) =* *

1 2 0 5 4 -1 22 3 -1 0 0 0 30 -1 4 1 3 0 15 0 1 7 9 2 114 0 3 9 8 4 3-1 0 0 2 4 0 02 3 1 11 3 0 0

Para formar el H3* se toman las tres primeras

filas y tres primeras columnas de la matriz hessiana de la función lagrangiana en el punto crítico, y se orlan con las tres primeras columnas de la matriz jacobiana de las restricciones con signo cambiado, y las tres primeras filas de la matriz jacobiana de las restricciones traspuesta con signo cambiado ("con signo cambiado" dado como está construida la función lagrangiana del problema. Para los menores orlados de orden 4 y 5 se hará lo mismo, pero en vez de tomar 3 filas y 3 columnas, se tomarán 4 y 5, respectivamente. Nótese que el menor orlado de orden 5 es el determinante de la matriz hessiana de la función lagrangiana.

Para H3*

1 2 0 5 4 -1 22 3 -1 0 0 0 30 -1 4 1 3 0 15 0 1 7 9 2 114 0 3 9 8 4 3-1 0 0 2 4 0 02 3 1 11 3 0 0

HL(x , ) =* *

1 2 0 -1 2

2 3 -1 0 30 -1 4 0 1-1 0 0 0 02 3 1 0 0

3*H =

Para H4*

1 2 0 5 4 -1 22 3 -1 0 0 0 30 -1 4 1 3 0 15 0 1 7 9 2 114 0 3 9 8 4 3-1 0 0 2 4 0 02 3 1 11 3 0 0

HL(x , ) =* *

1 2 0 5 -1 22 3 -1 0 0 30 -1 4 1 0 15 0 1 7 2 11-1 0 0 2 0 02 3 1 11 0 0

4*H =

H5* = │HL│

NOTA: Como las m, 2, primeras columnas de Jh(x) son L.I., las condiciones enunciadas anteriormente actúan como CN y S.

1 02 3

0

1º.- Planteamiento de la siguiente

ecuación:

mxmMcon 0

)xJh(-

)x(Jh-I-HL*

*txx

INDEFINIDA 0<y 0>NEGATIVA NIDA SEMIDEFI 0y 0ni 0POSITIVA NIDA SEMIDEFI 0y 0> ni 0

NEGATIVA DEFINIDA ni 0< POSITIVA DEFINIDA ni 0>

ji

jii

jii

i

i

,,,2 ,1 ,,,2 ,1

,,2 ,1,,2 ,1

1º.- Planteamiento del sistema de m ecuaciones Jh(x*) dx = 0.2º.- “Resolución” del sistema compatible indeterminado (Cramer) despejando m variables, dxj , en función de las (n-m) restantes. 3º.- Sustitución de esas variables en el polinomio cuadrático dxt HLxx dx . 4º.- Obtención de la matriz simétrica de orden (n-m) que represente a la forma cuadrática restringida. 5º.- Estudio del signo de la matriz obtenida en el paso anterior mediante alguno de los métodos ya explicados para formas cuadráticas no restringidas (autovalores, menores principales conducente...).

Sea f(x) una función derivable hasta orden n en x = c.

• El polinomio de Taylor de f(x) en x = c es

Pn(x) = f(c) + f0(c)1! (x − c) + f00(c)2! (x − c)2 + ··· + f(n)(c)n! (x − c)n .

Cuando c = 0, resulta el polinomio de McLaurin

Pn(x) = f(0) + f0(0)1! x + f00(0)2! x2 + ··· + f(n)(0)

Propiedad:

Si Pn(x) es el polinomio de Taylor de orden n de f(x) en x = c, entonces se cumple

Pn(c) = f(c), P0n(c) = f0(c), P00n (c) = f00(c),..., P(n) n (c) = f(n)(c).

AplicaciónLos polinomios de Taylor permiten aproximar el valor de una función f(x)para x próximos a c. Observa que para construir el polinomio de Taylorusamos únicamente valores de f y sus derivadas (consecutivas) en x = c.

Polinomio de Taylor

Ejerci

cios

resue

ltos

Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por

Solución:

. Prueba que la función f definida por

satisface la ecuación:

Hallamos las derivadas parciales

Solución:

Dada la función definida por Halla

y

.

Considerando como una constante, tenemos:

Solución:

Considerando como una constante, tenemos:

.